2020浙江新中考数学一轮复习第18讲 矩形、菱形与正方形
∴BM＝52或152.
1．(2018·湘潭)如图，已知点 E、F、G、H 分别是菱形
ABCD 各边的中点，则四边形 EFGH 是( B )
A．正方形
B．矩形
5．(2019·宁波)如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱 形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F、H 在菱形 ABCD 的对角 线 BD 上． (1)求证：BG＝DE； (2)若 E 为 AD 中点，FH＝2，求菱形 ABCD 的周长．
【答案】(1)证明：在矩形 EFGH 中，EH＝FG，EH∥FG. ∴∠GFH＝∠EHF. ∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE. 在菱形 ABCD 中，AD∥BC. ∴∠GBF＝∠EDH. ∴△BGF≌△DEH(AAS)， ∴BG＝DE.
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④
【答案】(1)①16 ②24 ③8 3 (2)D
【解后感悟】(1)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭 示图形的数量关系是解题关键；(2)结合图形，利用图形 条件、已知条件综合判定．
2．(2019·河北)如图，菱形 ABCD 中，∠D＝150°，
则∠1＝( D )
10 时，△DOE 的周长是 12.则正确结论的序号是①__②__③___⑤_．⑦
【解后感悟】(1)结合图形，利用图形条件、已知条件 综合判定；(2)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭 示图形的数量关系是解题关键．
1．(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有
的性质是( C )
A．对边相等
(3)成立． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，
在△CBF 与△DCE 中，B∠F＝ FBCCE＝，∠ECD， BC＝DC，
∴△CBF≌△DCE(SAS)， ∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE， ∵EG＝DE，∴CF＝EG， ∵DE⊥EG， ∴∠DEC＋∠CEG＝90°， ∵∠CDE＋∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝∠CEG， ∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG， ∴四边形 CEGF 是平行四边形， ∴FG∥CE，FG＝CE.
C．菱形
D．平行四边形
2．(2019·广州)如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直
平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE＝3，AF＝5，
则 AC 的长为( A )
A．4 5
B．4 3
C．10
D．8
3．(2019·深圳)已知菱形 ABCD，E，F 是动点，边长
为 4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几
⑤PD＝ 2EC.其中正确结论的序号是 ①②④⑤ ．
【课本改变题】 教材母题——浙教版八下第147页，作业题第5题 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC， CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF；
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在 边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH ＝90°，EF＝4.求GH的长；
【思路分析】(1)只要证明四边形 CEGF 是平行四边形即可得出 FG ＝CE，FG∥CE； (2)添加辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形 GHBF 是矩形后，利用等量代换即可求出 FG＝CE，FG∥CE； (3)证明△CBF≌△DCE 后，即可证明四边形 CEGF 是平行四边形．
【解后感悟】本题是三角形与四边形综合问题，涉及全等三 角形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质．解题的关 键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从 而求证出平行四边形．
4．如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC 于点 E，PF⊥CD 于点 F，连结 EF.给出下列五个结论：①AP＝ EF；②AP⊥EF；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；
【答案】(1)FG＝CE FG∥CE
(2)过点 G 作 GH⊥CB 的延长线于点 H， ∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°， ∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，
在△HGE 与△CED 中，∠ ∠GHHGEE＝ ＝∠ ∠DDCEEC，， EG＝DE，
∴△HGE≌△CED(AAS)， ∴GH＝CE，HE＝CD， ∵CE＝BF，∴GH＝BF， ∵GH∥BF，∴四边形 GHBF 是平行四边形，∵∠FBE＝90°， ∴四边形 GHBF 是矩形． ∴GF＝BH，FG∥CH， ∴FG∥CE， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴CD＝BC， ∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB， ∴BH＝EC，∴FG＝EC.
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
类型三 正方形的性质与判定
例3 (1)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC 的 垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 BE ＝BF，添加一个条件，能证明四边形 BECF 为正方
形的是__①__②___③_ ．
①BC＝AC； ②CF⊥BF； ③BD＝DF； ④AC＝BF. (2)如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相 交于点 O，点 E 是 OC 上一点(不与点 O、C 重合)， AF⊥BE 于点 F，AF 交 BD 于点 G，则下述结论： ①△ABG≌△BCE；②AG＝BE；③∠DAG＝∠BGF；
④AE＝DG 中，一定成立的有_①___②___④_ ．
【解后感悟】正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形， 特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质．正方形的 判定方法有两条道路： (1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是正方形； (2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是正方形．
3．如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC，∠A)
(3)本题的证明方法有多种，可根据正方形的对角线互 相垂直平分且相等，将正方形分成四个直角三角形的 面积和来求证，也可通过对角线求出正方形的边长来 求证．
11 证明：S 正方形 ABCD＝S△AOB＋S△AOD＋S△COD＋S△BOC＝4×2×2a ×12a＝12a2.∴结论正确．
【知识梳理】 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定可 通过边、角、对角线、整体图形四个维度说明． 2．注意平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定书写 格式要规范．
【方法与对策】这题是从特殊到一般的规律探究题．从课本 题出发逐步提出问题，解决问题，然后根据这些解题体验， 领悟解题方法，再来解决一般性问题，这是中考命题热点之 一，平时学习要重视一些典型的基本图形．
警示点 23：正方形多解性 若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 边上一点，BE＝3， M 为线段 AE 上一点，射线 BM 交正方形的一边于点 F， 且 BF＝AE，则 BM 的长为________．
(2)如图，连结 EG. 在菱形 ABCD 中，AD 綊 BC. ∵E 为 AD 中点， ∴AE＝ED. ∵BG＝DE，∴BG＝AE， ∴AE 綊 BG. ∴四边形 ABGE 为平行四边形． ∴AB＝EG. 在矩形 EFGH 中，EG＝FH＝2. ∴AB＝2， ∴菱形的周长为 8.
【提示】课后请完成作业本BP23－24练习．
第18讲 矩形、菱形与正方形
【问题】(1)平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系．
(2)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关 系图中：
(3)如图，菱形 ABCD，某同学根据菱形面积计算 公式推导出对角线长为 a 的正方形面积是 S＝12a2， 对此结论，你认为是否正确？若正确，请给予 证明；若不正确，举出一个反例来说明．
B．对角相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
类型二 菱形的性质与判定
例2 (1)如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，连结 OE， ①若菱形的边长是 10，一条对角线长是 12，则此菱形的另一条 对角线长是________； ②若 OE＝3，则菱形的周长是________； ③若∠ABC＝60°，周长是 16，则菱形的面积是________． (2)已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝ 90°，③AC＝BD，④AC⊥BD 四个条件中，选一个作为补充条件 后，使得四边形 ABCD 是菱形，现有下列四种选法，其中都正确 的是( )
个？( D )
①△BEC≌△AFC；②△ECF 为等边三角形；
③∠AGE＝∠AFC；④若 AF＝1，则GGFE＝13.
A．1
B．2
C．3
D．4
4．(2018·丽水模拟)如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为 CD 上一点，BF 与 AC 交于点 E.若∠CBF＝20°，则∠AED
等于 65 度．
(3)已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC， CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝ 4.直接写出下列两题的答案： ①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH 的长；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH 的长(用n的代数式表示)．
【分析与解】(1)证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EAB＋∠AEB＝90°. ∵∠EOB＝∠AOF＝90°， ∴∠FBC＋∠AEB＝90°，∴∠EAB＝∠FBC， ∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.
BE⊥AD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE＝( C )
A．2
B．3
C．2 2
D．2 3
类型四 特殊平行四边形的综合运用
例4 如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上 的点，且 CE＝BF.连结 DE，过点 E 作 EG⊥DE，使 EG＝DE，连结 FG，FC. (1)请判断：FG 与 CE 的数量关系是________，位置关系是 ________； (2)如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其他条 件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其他条 件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
2020年中考数学专题复习讲义(第五章 第十八讲 矩形 菱形 正方形)
第十九讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。
这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例1 （2019•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=34，那么该矩形的周长为（）A．72cm B．36cm C．20cmD．16cm对应训练1．（2019•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则ADAB的值为（）A．12B．33C．23D．22考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 （2019•泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．对应训练2．（2019•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．1 D．17考点三：和正方形有关的证明题例3 （2019•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF ，再利用“边角边”证明△AOD 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD ，连接DF 交OE 于G ，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，再求出AG ，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD ． 解：（1）AD=CF ．理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中，AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD ，即∠AOD=∠COF ，在△AOD 和△COF 中，AO CO AOD COF OD OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△COF （SAS ）， ∴AD=CF ；（2）与（1）同理求出CF=AD ，如图，连接DF 交OE 于G ，则DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，∵正方形ODEF 的边长为2，∴OE=2×2=2，∴DG=OG=12OE=12×2=1， ∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt △ADG 中，AD=22224117AG DG +=+=，∴CF=AD=17．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．对应训练3．（2019•三明）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE=PB ．（1）求证：△BCP ≌△DCP ；（2）求证：∠DPE=∠ABC ；（3）把正方形ABCD 改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．3．（1）证明：在正方形ABCD 中，BC=DC ，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP 和△DCP 中，BC DC BCP DCP PC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCP ≌△DCP （SAS ）； （2）证明：由（1）知，△BCP ≌△DCP ，∴∠CBP=∠CDP ，∵PE=PB ，∴∠CBP=∠E ，∴∠DPE=∠DCE ，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E ，即∠DPE=∠DCE ，∵AB ∥CD ，∴∠DCE=∠ABC ，∴∠DPE=∠ABC ；（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC ，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故答案为：58．考点四：四边形综合性题目例4 （2019•资阳）在一个边长为a （单位：cm ）的正方形ABCD 中，点E 、M 分别是线段AC ，CD 上的动点，连结DE 并延长交正方形的边于点F ，过点M 作MN ⊥DF 于H ，交AD 于N ．（1）如图1，当点M 与点C 重合，求证：DF=MN ；（2）如图2，假设点M 从点C 出发，以1cm/s 的速度沿CD 向点D 运动，点E 同时从点思路分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；易证△MND ∽△DFA，∴ND DMAF AD=，即ND a tat aa t-=-，得ND=t．∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，∴AF=DM，即ata t-=t，得t=0，不合题意．∴此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，∴t=12a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；又由△NDM∽△DCF，∴DN DCDM FC=，即t aa t FC=-，∴FC=()a a tt-．∴()a a tt-=a-t，∴t=a，此时点F与点C重合．综上所述，当t=a或t=12a时，△MNF能够成为等腰三角形．点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．对应训练4．（2019•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．4．解：（1）①BF=AD ，BF ⊥AD ；②BF=AD ，BF ⊥AD 仍然成立，证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=CF ，∠FCD=90°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，在△BCF 和△ACD 中BC ACBCF ACD CF CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△ACD （SAS ），∴BF=AD ，∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF ⊥AD ；（2）证明：连接DF ，∵四边形CDEF 是矩形，∴∠FCD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，∵AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，∴34BC CF AC CD ==，∴△BCF ∽△ACD ，∴∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF ⊥AD，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB2=AC2+BC2=32+42=25，∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=43，CF=1，∴DF2=CD2+CF2=(43)2+12=259，∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+259=2509．【聚焦山东中考】1．（2019•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF2．（2019•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．3-1B．3-5C．5+1D．5-13．（2019•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．4．（2019•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．5．（2019•济南）如图，在正方形ABCD 中，边长为2的等边三角形AEF 的顶点E 、F 分别在BC 和CD 上，下列结论：①CE=CF ；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF ；④S 正方形ABCD =2+3．其中正确的序号是 （把你认为正确的都填上）．6．（2019•济宁）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、DC 上的点，且AF ⊥BE ．（1）求证：AF=BE ；（2）如图2，在正方形ABCD 中，M 、N 、P 、Q 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，且MP ⊥NQ ．MP 与NQ 是否相等？并说明理由．6．（1）证明：在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF ⊥BE ，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF ，∵在△ABE 和△DAF 中，ABE DAF AB ADBAE D ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△DAF （ASA ），∴AF=BE ；（2）解：MP 与NQ 相等．理由如下：如图，过点A 作AF ∥MP 交CD 于F ，过点B 作BE ∥NQ 交AD 于E ， 则与（1）的情况完全相同．7．（2019•青岛）已知：如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别是边AD 、BC 的中点，E ，F 分别是线段BM ，CM 的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= 时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）8．（2019•淄博）矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD 中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．8．解：（1）正方形的最大面积是16．设AM =x （0≤x ≤4），则MD =4-x ．∵四边形MNEF 是正方形，∴MN =MF ，∠AMN +∠FMD =90°．∵∠AMN +∠ANM =90°，∴∠ANM =∠FMD ．∵在△ANM 和△DMF 中A D ANM FMD MN FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANM ≌△DMF （AAS ）．∴DM =AN ．∴S 正方形MNEF =MN 2=AM 2+AN 2，=x2+（4-x）2，=2（x-2）2+8∵函数S正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上，对称轴是x=2，在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，∵0≤x≤4，∴当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大．最大值是16．（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．9．（2019•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．9．解：（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，【备考真题过关】一、选择题1．（2019•铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．（2019•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．（2013•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25 B．20 C．15 D．104．（2019•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2019•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．123D．1636．（2019•巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（）A．24 B．16 C．43D．237（2019•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC 的长是（）A．2 B．4 C．2 3D．438．（2019•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2019•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S210．（2019•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．（2019•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm12．（2019•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题13．（2019•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为------ 度时，两条对角线长度相等．14．（2019•淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．15．（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于．16．（2019•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．17．（2019•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，则tan ∠DBE的值是．18．（2019•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ．19．（2019•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGB k=，则ADAB=用含k的代数式表示）．20．（2019•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC 交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．21．（2019•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．22．（2019•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．23．（2019•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．24．（2019•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是 ．25．（2019•荆州）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1、BC 1．若∠ACB=30°，AB=1，CC 1=x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ；②当x=1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x=2时，△BDD 1为等边三角形；④s=38（x-2）2 （0＜x ＜2）； 其中正确的是 （填序号）．三、解答题26．（2019•南通）如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ．求证：四边形BCDE 是矩形．26．证明：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∵在△BAE 和△CAD 中AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CAD （SAS ）， ∴∠BEA=∠CDA ，BE=CD ，∵DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠BEA=∠CDA ，∴∠BED=∠CDE ，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD ，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE 是矩形．27．（2019•广州）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD相交于O ，AB=5，AO=4，求BD 的长．27．解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=2254-=3，∴BD=2BO=2×3=6．28．（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE ⊥AG ，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG=DE+HG ，连接BH ．求证：∠ABH=∠CDE ．28．证明：如图，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠ABG=∠DAF=90°，∵DE ⊥AG ，∴∠2+∠EAD=90°，又∵∠1+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在△ABG 和△DAF 中， 1 290AB AD ABG DAF =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABG ≌△DAF （ASA ），∴AF=BG ，AG=DF ，∠AFD=∠BGA ，∵AG=DE+HG ，AG=DE+EF ，∴EF=HG ，在△AEF 和△BHG 中，AF BG AFD BGA EF HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BHG （SAS ），∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，∠3+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠ABH=∠CDE ．29．（2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD 中，点M 是对角线BD 上的一点，过点M 作ME ∥CD 交BC 于点E ，作MF ∥BC 交CD 于点F ．求证：AM=EF ．29．证明：过M 点作MQ ⊥AD ，垂足为Q ，作MP 垂足AB ，垂足为P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形MFDQ 和四边形PBEM 是正方形，四边形APMQ 是矩形，∴AP=QM=DF=MF ，PM=PB=ME ，∵在△APM 和△FME 中，AP MF APM FME PM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△APM ≌△FME （SAS ）， ∴AM=EF ．30．（2019•铁岭）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．30．（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．31．（2019•南宁）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．31．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=CD ，∠B=∠D ，∵点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，在Rt △AEB 中，∠B=60°，AB=4，sin60°=4AE AE AB =， 解得AE=23．32．（2019•贵阳）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC ．（1）求证：AE=EC ；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由．32．（1）证明：如图，连接AC ，∵BD 也是菱形ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分AC ，∴AE=EC ；（2）解：点F 是线段BC 的中点．理由如下：在菱形ABCD 中，AB=BC ，又∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AE=EC ，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°， ∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于F ，∴AF 是△ABC 的BC 边上的中线，∴点F 是线段BC 的中点．33．（2019•曲靖）如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G ．（1）求证：△DCF ≌△ADG ．（2）若点E 是AB 的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．33．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=90°，∵CF ⊥DE ，∴∠CFD=∠CFG=90°，35．（2019•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．35．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，线段PA 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PE ，在直线BA 上取点F ，使BF=BP ，且点F 与点E 在BC 同侧，连接EF ，CF ．（1）如图 ，当点P 在CB 延长线上时，求证：四边形PCFE 是平行四边形；（2）如图 ，当点P 在线段BC 上时，四边形PCFE 是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE 的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP 长；若没有，请说明理由．36．解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=∠PBA=90°∵在△PBA 和△FBC 中，AB BC PBA ABC BP BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA ≌△FBC （SAS ），∴PA=FC ，∠PAB=∠FCB ．∵PA=PE ，∴PE=FC ．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP ∥FC ，∴四边形EPCF 是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF 是平行四边形，∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC ，∠ABC=∠CBF=90°∵在△PBA 和△FBC 中，AB BC PBA ABC BP BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA ≌△FBC （SAS ），∴PA=FC ，∠PAB=∠FCB ．∵PA=PE ，。
中考数学一轮复习第五章四边形第二节矩形菱形正方形课件
(1)判定一个四边形是菱形时，一是证明四条边相等；二是 先证明它是平行四边形，进而再证明它是菱形．(2)运用菱 形的性质时，要注意菱形的对角线互相垂直这个条件；此 外，菱形的对角线所在的直线是菱形的对称轴，运用这一 性质可以求出线段和的最小值．
3．正方形的判定 (1)有一组邻边__相__等___的矩形是正方形； (2)对角线互相__垂__直___的矩形是正方形； (3)有一个角是__直__角___的菱形是正方形； (4)对角线 _相__等__的菱形是正方形．
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形是特 殊的菱形，还是特殊的矩形，它们之间的关系如图：
1．(2013·济南)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交 于点O，AB＝4，∠AOD＝120°，求AC的长．
解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝BO＝CO＝DO. ∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝AB＝4，∴AC＝2AO＝8.
2．(2014·济南)如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的 中点．求证：EB＝EC.
3．(2017·商河一模)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，OE⊥AB，垂足为E.若∠ADC＝120°，则∠AOE ＝__6_0_°___．
4．(2016·历城一模)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°， BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行 线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连 接BG，DF.若AB＝12，BC＝5，则四边形BDFG的周长为__2_6__．
第18讲 尺规作图与定义、命题、定理
第十八讲——尺规作图与定义、命题、定理考向一 基本作图1．（2020·陕西中考真题）如图，已知△ABC ，AC ＞AB ，∠C ＝45°．请用尺规作图法，在AC 边上求作一点P ，使∠PBC ＝45°．（保留作图痕迹．不写作法）2．（2020·湖北襄阳市·中考真题）如图，Rt ABC V 中，90ABC Ð=°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ）A ．DB DE =B ．AB AE =C ．EDC BAC Ð=ÐD ．DAC C Ð=Ð3．（2020·浙江台州市·中考真题）如图，已知线段AB ，分别以A ，B 为圆心，大于12AB 同样长为半径画弧，两弧交于点C ，D ，连接AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，则下列说法错误的是（ ）A ．AB 平分∠CAD B ．CD 平分∠ACBC ．AB ⊥CD D ．AB=CD1．（2020·湖南湘西·中考真题）已知AOB Ð，作AOB Ð的平分线OM ，在射线OM 上截取线段OC ，分别以O 、C 为圆心，大于12OC 的长为半径画弧，两弧相交于E ，F ．画直线EF ，分别交OA 于D ，交OB 于G ．那么，ODG V 一定是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形2．（2020·广东深圳市·中考真题）如图，已知AB =AC ，BC =6，尺规作图痕迹可求出BD =（）A ．2B ．3C ．4D ．53．（2020·河北中考真题）如图1，已知ABC Ð，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC Ð内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ³，12b DE <的长考向二 复杂作图1．（2020·福建中考真题）如图，C 为线段AB 外一点．（1）求作四边形ABCD ，使得//CD AB ，且2CD AB =；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为,M N ，求证：,,M P N 三点在同一条直线上．2．（2020·柳州市柳林中学中考真题）通过如下尺规作图，能确定点D 是BC 边中点的是（ ）A ．B ．C ．D ．1．（2020·浙江衢州市·中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（ ）A．B．C．D．V中．2．（2020·甘肃兰州市·中考真题）如图，在Rt ABC()1利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离(PD的长)等于PC的长；()2利用尺规作图，作出()1中的线段PD．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)考向三圆中的作图问题1．（2020·浙江嘉兴市·中考模拟）如图，已知，．（1）在图中，用尺规作出的内切圆，并标出与边，，的切点，，（保留痕迹，不必写作法）；（2）连接，，求的度数．2．（2020·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝BC ＝8，按下列步骤作图：①以点A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ；②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ；③以点O 为圆心，线段OA 长为半径作圆．则⊙O 的半径为（ ）A ．B ．10C ．4D ．51．（2020·黑龙江绥化市·中考真题）（1）如图，已知线段AB 和点O ，利用直尺和圆规作ABC V ，使点O 是ABC V 的内心（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在所画的ABC V 中，若90,6,8C AC BC Ð=°==，则ABC V 的内切圆半径是______．2．（2020·江苏盐城市·中考真题）如图，点O 是正方形，ABCD 的中心．（1）用直尺和圆规在正方形内部作一点E （异于点O ），使得;EB EC =（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接,EB EC EO 、、求证：BEO CEO Ð=Ð．考向四 逻辑推理1．（2020·北京中考真题）如图是某剧场第一排座位分布图：甲、乙、丙、丁四人购票，所购票分别为2，3，4，5．每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位之和最小．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲甲购买1，2号座位的票，乙购买3，5，7号座位的票，丙选座购票后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票，写出一种满足条件的购票的先后顺序______．2．（2020·北京平谷区·九年级二模）如图，是某企业甲、乙两位员工的能力测试结果的网状图，以O 为圆心的五个同心圆分别代表能力水平的五个等级由低到高分别赋分1至5分，由原点出发的五条线段分别指向能力水平的五个维度，网状图能够更加直观的描述测试者的优势和不足，观察图形，有以下几个推断：①甲和乙的动手操作能力都很强；②缺少探索学习的能力是甲自身的不足；③与甲相比乙需要加强与他人的沟通合作能力；④乙的综合评分比甲要高．其中合理的是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①②③④1．（2020·北京门头沟区·九年级一模）疫情期间，甲、乙、丙、丁4名同学约定周一至周五每天做一组俯卧撑．为了增加趣味性，他们通过游戏方式确定每个人每天的训练计划．首先，按如图方式摆放五张卡片，正面标有不同的数字代表每天做俯卧撑的个数，反面标有1x ，2x ，3x ，4x ，5x 便于记录． 具体游戏规则如下：甲同学：同时翻开1x ，2x ，将两个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，3x ，4x ，5x 按原顺序记录在表格中；乙同学：同时翻开1x ，2x ，3x ，将三个数字进行比较，然后由小到大记录在表格中，4x ，5x 按原顺序记录在表格中；以此类推，到丁同学时，五张卡片全部翻开，并由小到大记录在表格中．下表记录的是这四名同学五天的训练计划：星期一星期二星期三星期四星期五甲同学2x 1x 3x 4x 5x 乙同学2x 3x 1x 4x 5x 丙同学丁同学4x 5x 2x 3x 1x 根据记录结果解决问题：（1）补全上表中丙同学的训练计划；（2）已知每名同学每天至少做30个，五天最多做180个．①如果236x =，340x =，那么1x 所有可能取值为__________________________；②这四名同学星期_________做俯卧撑的总个数最多，总个数最多为_________个．考向五 真命题、假命题1．（2020·云南昆明市·中考真题）下列判断正确的是（ ）A ．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查B ．一组数据6，5，8，7，9的中位数是8C ．甲、乙两组学生身高的方差分别为S 甲2＝2.3，S 乙2＝1.8．则甲组学生的身高较整齐D ．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题2．（2020·内蒙古通辽市·中考真题）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是( )（1）无理数都是无限小数；（2）因式分解()()211ax a a x x -=+-；（3）棱长是1cm 的正方体的表面展开图的周长一定是14cm ；（4）弧长是20cm p ，面积是2240cm p 的扇形的圆心角是120°．A ．14B ．12C ．34D ．11．（2020·广西贵港市·中考真题）下列命题中真命题是（ ）A 的算术平方根是2B ．数据2，0，3，2，3的方差是65C ．正六边形的内角和为360°D ．对角线互相垂直的四边形是菱形2．（2020·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）A ．一个角的补角一定大于这个角B ．平行于同一条直线的两条直线平行C ．等边三角形是中心对称图形D ．旋转改变图形的形状和大小考向六 互逆命题与互逆定理1．（2020·上海市九年级期中）下列定理中，没有逆定理的是（ ）．A ．两直线平行，同旁内角互补B ．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等C ．等腰三角形两个底角相等D ．同角的余角相等2．（2020·内蒙古包头市·）下列命题：（1）对于(0)k y k x =¹，当0k >时，y 随x 的增大而减小；（2）菱形的对角线互相垂直；（3）若b c a a >，则ab ac >；（4=，则22a b =；其中原命题和逆命题均为真命题的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个1．（2020·广东广州市·）下列命题的逆命题成立的是（ ）A．全等三角形的对应角相等B．两个角都是45o，则这两个角相等C．有两边相等的三角形是等腰三角形D．菱形的对角线互相垂直2．（2020·安徽滁州市·九年级二模）命题“等边三角形的重心与内心重合”的逆命题_________________．考向七 反证法1．（2020·安徽宿州市·）为了说明命题“等腰三角形腰上的高小于腰”是假命题，可以找的反例是_____．2．（2020·吉林长春市·）用反证法证明命题“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，且d＞r，则点P 在⊙O的外部”，首先应假设_____．1．（2020·湖北宜昌市·中考真题）能说明“锐角a，锐角b的和是锐角”是假命题的例证图是（）．A．B．C．D．2．（2020·浙江宁波市·九年级一模）用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，应首先假设这个四边形中（）A．没有一个角是锐角B．每一个角都是钝角或直角C．至少有一个角是钝角或直角D．所有角都是锐角1．（2020·上海九年级二模）现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．（2019·湖南郴州市·中考真题）如图，分别以线段AB 的两端点A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，在线段AB 的两侧分别交于点E ，F ，作直线EF 交AB 于点O ．在直线EF 上任取一点P （不与O 重合），连接PA ，PB ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．PA PB =B ．OA OB =C ．OP OF =D ．PO AB^3．（2020·浙江嘉兴市·中考模拟）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l 和l 外一点P ，用直尺和圆规作直线PQ ，使PQ ⊥l 与点Q ．”分别作出了下列四个图形．其中做法错误的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2020·湖北宜昌市·中考模拟）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．（2020·河北中考模拟）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（ ）A ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC ．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ6．（2019·辽宁铁岭市·中考真题）如图，60MAN Ð=°，点B 为AM 上一点，以点A 为圆心、任意长为半径画弧，交AM 于点E ，交AN 于点D ．再分别以点D ，E 为圆心、大于12DE 的长为半径画弧，两弧交于点F ．作射线AF ，在AF 上取点G ，连接BG ，过点G 作GC AN ^，垂足为点C ．若6AG =，则BG 的长可能为（ ）A ．1B ．2CD ．7．（2019·广西中考真题）如图，在ABC D 中，,40AC BC A =Ð=°，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG Ð的度数为（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°8．（2019·内蒙古巴彦淖尔市·中考真题）如图，在Rt ABC D 中，90B =o ∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG D 的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．529．（2019·新疆中考真题）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，以点B 为圆心，适当长为半径的画弧，分别交BA ，BC 于点M 、N ；再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D ，则下列说法中不正确的是（）A ．BP 是∠ABC 的平分线B ．AD=BDC ．:1:3CBD ABD S S =V V D ．CD=12BD 10．（2019·山东潍坊市·中考真题）如图，已知AOB Ð．按照以下步骤作图：①以点O 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交AOB Ð的两边于C ，D 两点，连接CD ．②分别以点C ，D 为圆心，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在AOB Ð内交于点E ，连接CE ，DE ．③连接OE 交CD 于点M ．下列结论中错误的是（ ）A ．CEO DEO Ð=ÐB ．CM MD =C ．OCD ECD Ð=Ð D ．12OCED S CD OE =×四边形11．（2009·黑龙江鸡西市·中考真题）尺规作图作AOB Ð的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP V V ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS12．（2020·渠县崇德实验学校九年级一模）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A 、B 、C 三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：第一题第二题第三题第四题第五题得分甲C C A B B 4乙C C B B C 3丙B C C B B 2丁B C C B A （1）则丁同学的得分是 ；（2）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可）13．（2020·安徽九年级三模）命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的逆命题是__________．14．（2020·安徽滁州市·九年级其他模拟）命题“若两个三角形全等，则它们关于一条直线对称”的逆命题是：__________．15．（2020·安徽合肥市·九年级二模）命题：“如果m是自然数，那么它是有理数”，则它的逆命题为：__________.a>”是假命题，这个值可以是a= 16．（2020·北京九年级二模）用一个a的值说明命题“若21a>，则1_____________．17．（2020·丰台区·北京十八中九年级零模）某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：第一题第二题第三题第四题第五题得分甲C C A B B4乙C C B B C3丙B C C B B2丁B C C B A（1）则甲同学错的是第题；（2）丁同学的得分是；（3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是（写出一种即可）．18．（2020·山东德州市·中考模拟）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）19．（2019·甘肃中考真题）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）20．（2020·山东临沂市·）已知1O e 的半径为1r ，2O e 的半径为2r ，以1O 为圆心，以12r r +的长为半径画弧，再以线段12O O 的中点P 为圆心，以1212O O 的长为半径画弧，两弧交于点A ，连接1Q A ，2O A ，1O A 交1O e 于点B ，过点B 作2O A 的平行线BC 交12O O 于点C ．（1）求证：BC 是2O e 的切线；（2）若12r =，21r =，126O O =，求阴影部分的面积．21．（2020·山西中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．×年×月×日 星期日没有直角尺也能作出直角今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB ，现根据木板的情况，要过AB 上的一点C ，作出AB 的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB 上量出30CD cm =，然后分别以D ，C 为圆心，以50cm 与40cm 为半径画圆弧，两弧相交于点E ，作直线CE ，则DCE Ð必为90°．办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M ，N 两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M 与点C 重合，用铅笔在木板上将点N 对应的位置标记为点Q ，保持点N 不动，将木棒绕点N 旋转，使点M 落在AB 上，在木板上将点M 对应的位置标记为点R ．然后将RQ 延长，在延长线上截取线段QS MN =，得到点S ，作直线SC ，则90RCS Ð=°．我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……任务：（1）填空；“办法一”依据的一个数学定理是_____________________________________；（2）根据“办法二”的操作过程，证明90RCS Ð=°；（3）①尺规作图：请在图③的木板上，过点C 作出AB 的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法）；②说明你的作法依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）22．（2020·山东青岛市·中考真题）已知：ABC V ．．求作：O e ，使它经过点B 和点C ，并且圆心O 在A Ð的平分线上，23．（2020·青海中考真题）如图，在Rt ABC V 中，90C Ð=°．（1）尺规作图：作Rt ABC V 的外接圆O e ；作ACB Ð的角平分线交O e 于点D ，连接AD ．（不写作法，保留作图痕迹） （2）若AC =6，BC =8，求AD 的长．1．（2020·广西中考真题）如图，在ABC V 中，,80BA BC B =Ð=°，观察图中尺规作图的痕迹，则DCE Ð的度数为（ ）A ．60oB ．65oC ．70oD ．75o2．（2020·贵州贵阳市·中考真题）如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，利用尺规在BC ，BA 上分别截取BE ，BD ，使BE BD =；分别以D ，E 为圆心、以大于12DE 为长的半径作弧，两弧在CBA Ð内交于点F ；作射线BF 交AC 于点G ，若1CG =，P 为AB 上一动点，则GP 的最小值为（ ）A ．无法确定B ．12C ．1D ．23．（2020·四川雅安市·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ）A ．对顶角相等B ．过直线外一点作直线的平行线C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b a c ==，，那么b c=4．（2020·安徽中考真题）已知点,,A B C 在O e 上．则下列命题为真命题的是（ ）A ．若半径OB 平分弦AC ．则四边形OABC 是平行四边形B ．若四边形OABC 是平行四边形．则120ABC Ð=°C ．若120ABC Ð=°．则弦AC 平分半径OBD ．若弦AC 平分半径OB ．则半径OB 平分弦AC5．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）A ．顶点在圆上的角叫圆周角B ．三点确定一个圆C ．圆的切线垂直于半径D ．三角形的内心到三角形三边的距离相等6．（2020·辽宁盘锦市·九年级一模）下列命题中，是假命题的是（ ）A ．正十七边形的外角和等于360°B ．方程210x x ++=无实数根C ．位似图形必定相似D ．样本方差越大，数据波动越小7．（2020·北京八中九年级月考）数学中有一些命题的特征是：原命题是真命题，但它的逆命题却是假命题．例如：如果a ＞2，那么a 2＞4．下列命题中，具有以上特征的命题是（ ）A ．两直线平行，同位角相等B ．如果|a |＝1，那么a ＝1C ．全等三角形的对应角相等D ．如果x ＞y ，那么mx ＞my8．（2020·河北邢台市·九年级二模）能说明命题“关于x 的不等式组103x x m -£ìí->î的解集为无解”是假命题的反例是（ ）A ．3m =-B ．2m =-C ．1m =-D ．0m =9．（2020·河北九年级二模）求证：两直线平行，内错角相等如图1，若//AB CD ，且AB 、CD 被EF 所截，求证：AOF EO D¢Ð=Ð以下是打乱的用反证法证明的过程①如图2，过点O 作直线A B ¢¢，使A OF EO D ¢¢Ð=Ð，②依据理论依据1，可得//A B CD ¢¢，③假设AOF EO D ¢Ð¹Ð，④AOF EO D ¢\Ð=Ð．⑤与理论依据2矛盾，\假设不成立．证明步骤的正确顺序是（ ）A ．①②③④⑤B ．①③②⑤④C ．③①④②⑤D ．③①②⑤④10．（2020·浙江衢州市·中考模拟）下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P 作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是（ ）A ．①B ．②C ．③D ．④11．（2020·湖南郴州市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，4,8AD AB ==．分别以点,B D 为圆心，以大于12B D 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F ．作直线EF 分别与,,DC DB AB 交于点,,M O N ，则MN =__________．12．（2020·湖北荆州市·中考真题）已知：ABC V ，求作ABC V 的外接圆，作法：①分别作线段BC ，AC 的垂直平分线EF 和MN ，它们交于点O ；②以点O 为圆心，OB 的长为半径画弧，如图⊙O 即为所求，以上作图用到的数学依据是___________________．13．（2020·宁夏中考真题）如图，在ABC V 中，84C Ð=°，分别以点A 、B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M 、N ，作直线MN 交AC 点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA 、BC 于点E 、F ，再分别以点E 、F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP ，此时射线BP 恰好经过点D ，则A Ð=_____度．14．（2020·广东九年级一模）小明背对小亮按小列四个步骤操作：（1）分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌现有的张数相同；（2）从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；（3）从右边一堆拿出两张，放入中间一堆；（4）左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆，当小亮知道小明操作的步骤后，便准确地说出中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是_______________．15．（2020·杭州市九年级期中）命题“对顶角相等”的逆命题是__________．16．（2020·安徽九年级其他模拟）命题“如果0a b -=，那么a b =”的逆命题为____________．17．（2020·北京平谷区·九年级二模）用一个a 的值说明命题“a -一定表示一个负数”是错误的，a 的值可以是__________．18．（2020·吉林长春市·九年级零模）用反证法证明：“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.第一步应假设：______．19．（2020·四川达州市·中考真题）如图，点O 在ABC Ð的边BC 上，以OB 为半径作O e ，ABC Ð的平分线BM 交O e 于点D ，过点D 作DE BA ^于点E ．（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；（2）判断O e 与DE 交点的个数，并说明理由．20．（2020·甘肃金昌市·中考真题）如图，在ABC V 中，D 是BC 边上一点，且BD BA =．（1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）①作ABC Ð的角平分线交AD 于点E ；②作线段DC 的垂直平分线交DC 于点F ．（2）连接EF ，直接写出线段EF 和AC 的数量关系及位置关系．21．（2020·江苏无锡市·中考真题）如图，已知ABC D 是锐角三角形()AC AB <．（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；作直线l ，使l 上的各点到B 、C 两点的距离相等；设直线l 与AB 、BC 分别交于点M 、N ，作一个圆，使得圆心O 在线段MN 上，且与边AB 、BC 相切；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若53BM =，2BC =，则O e 的半径为________．22．（2020·江苏泰州市·中考真题）如图，已知线段a ，点A 在平面直角坐标系xOy 内，（1）用直尺和圆规在第一象限内作出点P ，使点P 到两坐标轴的距离相等，且与点A 的距离等于a ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）在（1）的条件下，若a »，A 点的坐标为()3,1，求P 点的坐标．23．（2020·湖南长沙市·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：AOB Ð 求作：AOB Ð的平分线做法：（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ，（2）分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在AOB Ð的内部相交于点C （3）画射线OC ，射线OC 即为所求．请你根据提供的材料完成下面问题：（1）这种作已知角平分线的方法的依据是__________________(填序号)．①SSS ②SAS ③AAS ④ASA（2）请你证明OC 为AOB Ð的平分线．24．（2020·江苏南通市·中考真题）（1）如图①，点D在AB上，点E在AC上，AD＝AE，∠B＝∠C．求证：AB＝AC．（2）如图②，A为⊙O上一点，按以下步骤作图：①连接OA；②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；③在射线OB上截取BC＝OA；④连接AC．若AC＝3，求⊙O的半径．。
中考数学一轮复习课件-第二十讲矩形菱形正方形
3.(202X·桂林中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别是边AD,AB的中点. (1)求证:△ABE≌△ADF; (2)若BE= 3 ,∠C=60°,求菱形ABCD的面积.
【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,∵点E,F分别是边AD,AB的中点,
∴AF=AE,
AB AD,
在△ABE和△ADF中, A A,
考点三正方形的性质与判定 【示范题3】(202X·北部湾中考)如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上的一个动 点(点E与点A,B不重合),连接CE,过点B作BF⊥CE于点G,交AD于点F. (1)求证:△ABF≌△BCE. (2)如图2,当点E运动到AB中点时,连接DG,求证:DC=DG. (3)如图3,在(2)的条件下,过点C作CM⊥DG于点H,分别交AD,BF于点M,N,求 MN
∴∠EDC=∠DAF,∴△EDC∽△DAF,
∴DE＝CE，即 10 ＝ 1 ，
AD FD
2 F5
5
3.(202X·遂宁中考)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别是线段BC,AD的中点,过 点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证:△BDE≌△FAE; (2)求证:四边形ADCF为矩形.
第二十讲 矩形、菱形、正方形
一、矩形、菱形、正方形的性质和判定
名称 判 定
1.有一个角是___直__角____的 平行四边形(定义) 2.对角线___相__等____的平行 矩形 四边形 3.有三个角是___直__角____的 四边形
性质
除具有平行四边形的性质外,还 有: 1.矩形的四个角都是__直__角_____ 2.矩形的对角线___相__等____ 3.既是___中__心__对__称____图形,又是 轴对称图形
2020版中考数学一轮复习人教版 课件：矩形、菱形、正方形
类型之三 正方形的性质与判定 3 (2019·防城港模拟)如图 24-6，在▱ABCD 中，点 E，F，G，H 分别在边 AB，
BC，CD，DA 上，AE＝CG，AH＝CF，且 EG 平分∠HEF.
(1)求证：△AEH≌△CGF.
图 24-6
(2)若∠EFG＝90°.求证：四边形 EFGH 是正方形．
(1)菱形的两条对角线将菱形分成条对角线乘积的 一半 .
对角线的乘积
【温馨提示】菱形的面积计算公式为 S ＝ 菱形
2
，可以推广到任意对角
线互相垂直的四边形，即对角线互相垂直的四边形的面积等于两条对角线乘积的
一半．
同时，利用面积找等量关系是求线段或探究线段之间数量关系的常用方法． 【易错提醒】对角线相等且互相垂直的四边形不一定是菱形，如图 24-1 所示的四 边形 ABCD 不是菱形．
(1)有一个角是 直角 的平行四边形是矩形； 判定 (2)有三个角是 直角 的四边形是矩形；
(3)对角线 相等 的平行四边形是矩形． (1)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形； 拓展 (2)矩形的面积＝长×宽.
考点 2 菱形[核心考点] 定义 有一组 邻边 相等的平行四边形叫做菱形．
图 24-1
考点 3 正方形[核心考点] 定义 有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
(1)正方形具有平行四边形的所有性质； (2)正方形的四条边 相等 ； 性质 (3)正方形的四个角都是 直角 ； (4)正方形的对角线相等且互相 垂直平分 ，每条对角线平分一组对角； (5)正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
3．(2018·淮安)如图 24-1，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别为 6 和 8，则这 个菱形的周长是( A )
2020年中考数学复习 第4章 图形的性质 第18课时 菱形、矩形、正方形(精练)试题
第18课时 菱形、矩形、正方形(时间：45分钟)1．(2018·台州中考)下列命题正确的是( C )A ．对角线相等的四边形是平行四边形B ．对角线相等的四边形是矩形C ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D ．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠ACB ＝30°，则∠AOB 的大小为( B )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°(第2题图)) (第3题图))3．(2018·淮安中考)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( A )A ．20B ．24C ．40D ．484．(2018·贵阳中考)如图，在菱形ABCD 中，E 是AC 的中点，EF ∥CB ，交AB 于点F ，如果EF ＝3，那么菱形ABCD 的周长为( A )A ．24B ．18C ．12D ．9(第4题图)) (第5题图))5．如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C′处，BC ′交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是( C )A ．AD ＝BC ′B ．∠EBD ＝∠EDBC ．△ABE ∽△CBD D ．sin ∠ABE ＝AE ED6．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC ，②∠ABC ＝90°，③AC ＝BD ，④AC ⊥BD 中选两个作为补充条件，使▱ABCD 为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( B )A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④(第6题图))(第7题图))7．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE⊥BD，垂足为点E ，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝__22.5__度．8．(2018·湖州中考)如图，已知菱形ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O.若tan ∠BAC ＝13，AC ＝6，则BD 的长是__2__．(第8题图)) (第9题图)) 9．(2018·柳州中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB＝2.(1)求菱形ABCD的周长；(2)若AC＝2，求BD的长．解：(1)∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴菱形ABCD的周长为2×4＝8；(2)∵四边形ABCD是菱形，AC＝2，AB＝2，∴AC⊥BD，AO＝1，∴BO＝AB2－AO2＝22－12＝3，∴BD＝2BO＝2 3.10.(2018·南通中考)如图，▱ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC延长线于点F.(1)求证：CF＝AB；(2)连接BD，BF，当∠BCD＝90°时，求证BD＝BF.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE＝∠FEC.∵BE＝CE，∠AEB＝∠CEF，∴△AEB≌△FEC，∴CF＝AB；(2)连接AC.∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC.∵AB＝CF，AB∥CF，∴四边形ACFB是平行四边形，∴BF＝AC，∴BD＝BF.11．(2018·襄阳中考改编)如图，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.(1)求证：四边形CEGF 是正方形； (2)求AGBE的值．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BCD ＝90°，∠BCA ＝45°. ∵GE ⊥BC ，GF ⊥CD ，∴∠CEG ＝∠CFG＝∠ECF＝90°，∴四边形CEGF 是矩形，∠CGE ＝∠ECG＝45°， ∴EG ＝EC ，∴四边形CEGF 是正方形； (2)解：∵四边形CEGF 是正方形， ∴∠CEG ＝∠B＝90°，∠ECG ＝45°， ∴GE ∥AB ，CGCE ＝2，∴AG BE ＝CGCE＝ 2.12．(2018·南通中考)正方形ABCD 的边长AB ＝2，E 为AB 的中点，F 为BC 的中点，AF 分别与DE ，BD 相交于点M ，N ，则MN 的长为( C )A .556 B .253－1 C .4515 D .33(第12题图))13．(2018·宿迁中考)如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为边CD 的中点，若菱形ABCD 的周长为16，∠BAD ＝60°，则△OCE 的面积是( A )(第13题图))A . 3B ．2C ．2 3D ．414．(2018·宜昌中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC.以AB 为直径的半圆交AC 于点D ，交BC 于点E.延长AE 至点F ，使EF ＝AE ，连接FB ，FC.(1)求证：四边形ABFC 是菱形；(2)若AD ＝7，BE ＝2，求半圆和菱形ABFC 的面积． (1)证明：∵AB 为半圆的直径， ∴∠AEB ＝90°. ∵AB ＝AC ，∴CE ＝BE. 又∵EF＝AE ，∴四边形ABFC 是平行四边形． 又∵AB＝AC(或∠AEB＝90°)， ∴四边形ABFC 是菱形； (2)解：设CD ＝x.∵AD ＝7，BE ＝CE ＝2，∴AB ＝AC ＝7＋x. 连接BD.∵AB 为半圆的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2， ∴(7＋x)2－72＝42－x 2， ∴x 1＝1，x 2＝－8(舍去)， ∴AB ＝AC ＝8，∴S 半圆＝12×π×42＝8π，S 菱形ABFC ＝815.。
初三中考复习-矩形、菱形、正方形复习课课件
1 3 2
例1：已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，则该菱形的面积是
（）
C
例2：如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE＝________． 15°
小结：
平行四边形
正
矩形
方
形
菱形
四边形
两组对边 分别平行
平行四边形
矩形 有一个角是直角且邻边相等
1．（2013湖北宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个
数是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
C
2．（2013四川资阳）在矩形ABCD中，对角线ACBD相交于点O，若∠AOB＝60°，AC＝10，则AB＝
___________．
5
3．（2013辽宁铁岭）如图△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并 延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE，
）
2.矩形的四个角都相等； （
）
3.菱形的对角线互相垂直平分； （
）
4.有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形； （
）
5.一组对边平行的四边形是梯形； （
）
6.有两个角相等的梯形是等腰梯形； （
）
7.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （
）
8.对角线相等的四边形是矩形； （
）
9.正方形既是轴对称图形又是中心对称图形。（
三、几种特殊四边形的常用判定方法：
四边形
平行 四边形
条件
1、定义：两组对边分别平行 3、一组对边平行且相等 5、两组对角分别相等
浙教版八年级下矩形、菱形、正方形复习课件
对特例的忽视
详细描述
学生在判断四边形是否为矩形、菱形或正方形时，可能会忽视一些特例。例如，对于矩形和正方形，学生可能会忽视它们的对角线相等且互相平分这一特例，从而在判断时出现错误。
矩形、菱形、正方形判定的易错点
总结词
详细描述
总结词
详细描述
总结词
详细描述
混淆面积计算公式
学生在计算矩形、菱形或正方形的面积时，可能会混淆面积计算公式。例如，将矩形的面积计算公式误记为“长x宽”，而实际上矩形的面积计算公式应为“长x宽”。
对题目信息的理解不准确
详细描述
学生在解决涉及矩形、菱形或正方形的综合问题时，可能会因为对题目信息的理解不准确而出现错误。例如，在解决一个涉及正方形和圆的综合问题时，学生可能会因为对题目中给出的圆的半径理解错误而导致解题思路出现偏差。
总结词
矩形、菱形、正方形综合应用的易错点
解题步骤不规范
总结词
学生在解决涉及矩形、菱形或正方形的综合问题时，可能会因为解题步骤不规范而出现错误。例如，在解决一个涉及矩形和三角形的综合问题时，学生可能会因为解题步骤不规范而导致最后得出的答案错误。
详细描述
矩形、菱形、正方形判定的易错点
总结词
忽视判定定理中的前提条件
详细描述
学生在应用判定定理时，常常会忽视定理中的前提条件。例如，在应用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”这一判定定理时，学生可能会忽视“平行四边形”这一前提条件，从而错误地将一组邻边相等的四边形判定为菱形。
矩形、菱形、正方形判定的易错点
邻边相等的矩形是正方形。
对角线相等的菱形是正方形。
一个内角为直角的菱形是正方形。
正方形的性质和判定
02
矩形、菱形、正方形的面积计算
中考数学总复习(浙江地区 )考点跟踪突破22 矩形、菱形与正方形
2019-2020年中考数学总复习（浙江地区）考点跟踪突破22 矩形、菱形与正方形一、选择题[来源:学§科§网Z§X§X§K]1．(xx·无锡)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( C )[来源:]A．对角线相等B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．邻边互相垂直2．(xx·宁夏)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边上的中点，连结EF，若EF＝2，BD＝2，则菱形ABCD的面积为( A ) A．2 2 B. 2 C．6 2 D．8 2,第2题图),第3题图) 3．(xx·荆门)如图，在矩形ABCD中(AD＞AB)，点E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为点F，在下列结论中，不一定正确的是( B )[来源:][来源:学§科§网Z§X §X§K]A．△AFD≌△DCE B．AF＝ADC．AB＝AF D．BE＝AD－DF[来源:Z&xx&k]4．(xx·宜宾)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC 的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是( A )[来源:] A．4.8 B．5 C．6 D．7.2二、填空题5．(xx·扬州)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为__24__．,第5题图),第6题图) 6．(xx·齐齐哈尔)如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件_AC⊥BD或∠AOB＝90°或AB＝BC_，使其成为菱形(只填一个即可)．7．(xx·包头)如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE ⊥BD，垂足为点E，若∠EAC＝2∠CAD，则∠BAE＝__22.5__度．,第7题图) ,第8题图)8．(xx ·南京)如图，菱形ABCD 的面积为120 cm 2，正方形AECF 的面积为50 cm 2，则菱形的边长为___13___cm .三、解答题9．(xx ·沈阳)如图，△ABC ≌△ABD ，点E 在边AB 上，CE ∥BD ，连结DE.求证：(1)∠CEB ＝∠CBE ；(2)四边形BCED 是菱形．[来源:][来源:Z*xx*k]证明：(1)∵△ABC ≌△ABD ，∴∠ABC ＝∠ABD ，∵CE ∥BD ，∴∠CEB ＝∠DBE ，∴∠CEB ＝∠CBE ；(2)∵△ABC ≌△ABD ，∴BC ＝BD ，∵∠CEB ＝∠CBE ，∴CE ＝CB ，∴CE ＝BD ，∵CE ∥BD ，∴四边形CEDB 是平行四边形，∵BC ＝BD ，∴四边形CEDB 是菱形．10. (xx ·云南)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，BE ∥AC ，CE ∥BD.(1)求tan ∠DBC 的值；(2)求证：四边形OBEC 是矩形．(1)解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∠DBC ＝12∠ABC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°，∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2，∴∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，则tan ∠DBC ＝tan30°＝33(2)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，即∠BOC ＝90°，∵BE ∥OC ，CE ∥OB ，∴四边形OBEC 是矩形．B 组 能力提升11．(xx ·呼和浩特)如图，面积为24的正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中E ，F ，G 分别在AB ，BC ，FD 上．若BF ＝62，则小正方形的周长为( C )A.568 B.566 C.562 D.1063点拨：∵四边形ABCD是正方形，面积为24，∴BC＝CD＝26，∠B＝∠C＝90°，∵四边形EFGH是正方形，∴∠EFG＝90°，∵∠EFB＋∠DFC＝90°，∠FEB＋∠EFB＝90°，∴∠FEB＝∠DFC，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BEF∽△CFD，∴EFFD＝BFCD，∵BF＝62，∴CF＝362，DF＝CD2＋CF2＝562，∴EF562＝6226，∴EF＝568，∴正方形EFGH的周长为562.故选C.12．(xx·菏泽)如图，在正方形ABCD外作等腰直角△CDE，DE＝CE，连结BE，则tan∠EBC＝___13___．13．(xx·潍坊)正方形ABCD内接于⊙O，如图所示，在劣弧AB︵上取一点E，连结DE，BE，过点D作DF∥BE交⊙O于点F，连结BF，AF，且AF与DE相交于点G，求证：(1)四边形EBFD是矩形；(2)DG＝BE.证明：(1)∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BED＝∠BAD＝90°，∠BFD＝∠BCD＝90°，又∵DF∥BE，∴∠EDF＋∠BED＝180°，∴∠EDF＝90°，∴四边形EBFD是矩形．(2)∵正方形ABCD内接于⊙O，∴AD︵的度数是90°，∴∠AFD＝45°，又∵∠GDF ＝90°，∴∠DGF＝∠DFA＝45°，∴DG＝DF，又∵在矩形EBFD中，BE＝DF，∴BE＝DG.[来源:Z#xx#k]C组拓展培优14．(xx·兰州)阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连结起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题，有如下思路：连结AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；[来源:Z#xx#k]参考小敏思考问题的方法解决一下问题：(2)如图②，在(1)的条件下，若连结AC，BD.①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形，写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形，直接写出结论．解：(1)是平行四边形，证明：如图③，连结AC，∵E是AB的中点，F是BC的中点，∴EF∥AC，EF＝12AC，同理HG∥AC，HG＝12AC，综上可得：EF∥HG，EF＝HG，故四边形EFGH是平行四边形．(2)①AC＝BD.理由如下：由(1)知，四边形EFGH是平行四边形，且FG＝12BD，HG＝12AC，∴当AC＝BD时，FG＝HG，∴平行四边形EFGH是菱形；②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形．理由如下：由(1)知，四边形EFGH是平行四边形，∵AC⊥BD，GH∥AC，∴GH⊥BD，∵GF∥BD，∴GH⊥GF，∴∠HGF＝90°，∴四边形EFGH为矩形．7 wb34957 888D 袍0P28791 7077 灷39784 9B68 魨27367 6AE7 櫧25665 6441 摁O39060 9894 颔V。
2020中考数学重点考点突破附解析： 矩形、菱形和正方形
矩形、菱形和正方形一．选择题1．（2019•朝阳）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（）A．5√6B．6√5C．10D．6√3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD=12BD，OC=12AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴设DE＝x，OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，AC＝6x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，∵x＞0，∴DE=√5，AC＝6√5，∴CD =√DE 2+CE 2=√(√5)2+52=√30，∴AD =√AC 2−CD 2=√(6√5)2−(√30)2=5√6，故选：A ．2．（2019•锦州）在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，M 是对角线BD 上的动点，过点M 作ME ⊥BC 于点E ，连接AM ，当△ADM 是等腰三角形时，ME 的长为（） A ．32 B ．65 C ．32或35D ．32或65 【解答】解：①当AD ＝DM 时．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠C ＝90°，CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝4，∴BD =√CD 2+BC 2=5，∴BM ＝BD ＝DM ＝5﹣4＝1，∵ME ⊥BC ，DC ⊥BC ，∴ME ∥CD ，∴BM BD =ME CD ，∴15=ME 3，∴ME =35．②当M ′A ＝M ′D 时，易证M ′E ′是△BDC 的中位线，∴M ′E ′=12CD =32，故选：C ．3．（2019•陕西）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝6，若点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，G ，H 分别是AC 的三等分点，则四边形EHFG 的面积为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．4【解答】解：∵BE ＝2AE ，DF ＝2FC ，∴AE BE =12，CF DF =12∵G 、H 分别是AC 的三等分点∴AG GC =12，CH AH =12∴AE BE =AG GC∴EG ∥BC∴EG BC =AE AB =13，且BC ＝6∴EG ＝2，同理可得HF ∥AD ，HF ＝2∴四边形EHFG 为平行四边形，且EG 和HF 间距离为1∴S 四边形EHFG ＝2×1＝2，故选：C ．4．（2019•深圳）已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（）①△BEC≌△AFC；②△ECF为等边三角形；③∠AGE＝∠AFC；④若AF＝1，则GFEG=13．A．1B．2C．3D．4【解答】解：①△REC≌△AFC（SAS），正确；②∵△BEC≌△AFC，∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，∵∠BCE+∠ECA＝∠BCA＝60°，∴∠ACF+∠ECA＝60，∴△CEF是等边三角形，故②正确；③∵∠AGE＝∠CAF+∠AFG＝60°+∠AFG；∠AFC＝∠CFG+∠AFG＝60°+∠AFG，∴∠AGE＝∠AFC，故③正确正确；④过点E作EM∥BC交AC于点M，易证△AEM 是等边三角形，则EM ＝AE ＝3，∵AF ∥EM ，∴则GF EG =AF EM =13．故④正确，故①②③④都正确．故选：D ．5．（2019•泸州）一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为（）A ．8B ．12C ．16D ．32【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴AO ＝CO =12AC ，DO ＝BO =12BD ，AC ⊥BD ，∵面积为28，∴12AC •BD ＝2OD •AO ＝28 ①∵菱形的边长为6，∴OD 2+OA 2＝36 ②，由①②两式可得：（OD +AO ）2＝OD 2+OA 2+2OD •AO ＝36+28＝64．∴OD +AO ＝8，∴2（OD+AO）＝16，即该菱形的两条对角线的长度之和为16．故选：C．6．（2019•呼和浩特）已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为（）A．2√2B．2√5C．4√2D．2√10【解答】解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴OA＝OC=12AC＝1，OB＝OD，AC⊥BD，∴OB=√AB2−OA2=√32−12=2√2，∴BD＝2OB＝4√2；故选：C．7．（2019•贵港）如图，E是正方形ABCD的边AB的中点，点H与B关于CE对称，EH的延长线与AD 交于点F，与CD的延长线交于点N，点P在AD的延长线上，作正方形DPMN，连接CP，记正方形ABCD，DPMN的面积分别为S1，S2，则下列结论错误的是（）A ．S 1+S 2＝CP 2B ．AF ＝2FDC ．CD ＝4PDD ．cos ∠HCD =35 【解答】解：∵正方形ABCD ，DPMN 的面积分别为S 1，S 2，∴S 1＝CD 2，S 2＝PD 2，在Rt △PCD 中，PC 2＝CD 2+PD 2，∴S 1+S 2＝CP 2，故A 结论正确；连接CF ，∵点H 与B 关于CE 对称，∴CH ＝CB ，∠BCE ＝∠ECH ，在△BCE 和△HCE 中，{CH =CB ∠ECH =∠BCE CE =CE∴△BCE ≌△HCE （SAS ），∴BE ＝EH ，∠EHC ＝∠B ＝90°，∠BEC ＝∠HEC ，∴CH ＝CD ，在Rt △FCH 和Rt △FCD 中{CH =CD CF =CF∴Rt △FCH ≌Rt △FCD （HL ），∴∠FCH ＝∠FCD ，FH ＝FD ，∴∠ECH +∠FCH =12∠BCD ＝45°，即∠ECF ＝45°，作FG ⊥EC 于G ，∴△CFG 是等腰直角三角形，∴FG ＝CG ，∵∠BEC ＝∠HEC ，∠B ＝∠FGE ＝90°，∴△FEG ∽△CEB ，∴EG FG =EB BC =12，∴FG ＝2EG ，设EG ＝x ，则FG ＝2x ，∴CG ＝2x ，CF ＝2√2x ，∴EC ＝3x ，∵EB 2+BC 2＝EC 2，∴54BC 2＝9x 2， ∴BC 2=365x 2， ∴BC =6√55x ， 在Rt △FDC 中，FD =√CF 2−CD 2=√(2√2x)2−365x 2=2√55x ， ∴3FD ＝AD ，∴AF ＝2FD ，故B 结论正确；∵AB ∥CN ，∴ND AE =FD AF =12，∵PD ＝ND ，AE =12CD ，∴CD ＝4PD ，故C 结论正确；∵EG ＝x ，FG ＝2x ，∴EF =√5x ，∵FH ＝FD =2√55x ，∵BC =6√55x ，∴AE =3√55x ，作HQ ⊥AD 于Q ，HS ⊥CD 于S ，∴HQ ∥AB ，∴HQ AE =HF EF ，即3√55x =2√55x √5x ，∴HQ =6√525x ，∴CS ＝CD ﹣HQ =6√55x −6√525x =24√525x∴cos ∠HCD =CS CH =24√525x 6√55x =45，故结论D 错误， 故选：D ．8．（2019•黄石）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B'的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（1，4）C．（3，2）D．（﹣1，0）【解答】解：如图所示，由旋转得：CB'＝CB＝2，∠BCB'＝90°，∵四边形ABCD是正方形，且O是AB的中点，∴OB＝1，∴B'（2+1，2），即B'（3，2），故选：C．9．（2019•郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是（）A ．√2B ．2C ．√3D ．4【解答】解：设正方形ADOF 的边长为x ，由题意得：BE ＝BD ＝4，CE ＝CF ＝6，∴BC ＝BE +CE ＝BD +CF ＝10，在Rt △ABC 中，AC 2+AB 2＝BC 2，即（6+x ）2+（x +4）2＝102，整理得，x 2+10x ﹣24＝0，解得：x ＝2，或x ＝﹣12（舍去），∴x ＝2，即正方形ADOF 的边长是2；故选：B ．10．（2019•孝感）如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G ．若BC ＝4，DE ＝AF ＝1，则GF 的长为（ ）A ．135B ．125C ．195D ．165【解答】解：正方形ABCD 中，∵BC ＝4，∴BC ＝CD ＝AD ＝4，∠BCE ＝∠CDF ＝90°，∵AF ＝DE ＝1，∴DF ＝CE ＝3，∴BE ＝CF ＝5，在△BCE 和△CDF 中，{BC =CD ∠BCE =∠CDF CE =DF，∴△BCE ≌△CDF （SAS ），∴∠CBE ＝∠DCF ，∵∠CBE +∠CEB ＝∠ECG +∠CEB ＝90°＝∠CGE ，cos ∠CBE ＝cos ∠ECG =BC BE =CG CE ， ∴45=CG 3，CG =125， ∴GF ＝CF ﹣CG ＝5−125=135，故选：A ．二．填空题11．（2019•营口）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝5，AB ＝3，点E 从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿AD 向点D 运动，同时点F 从点C 出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB 向点B 运动，当点E 到达点D 时，点E ，F 同时停止运动．连接BE ，EF ，设点E 运动的时间为t ，若△BEF 是以BE 为底的等腰三角形，则t 的值为 ．【解答】解：如图，过点E 作EG ⊥BC 于G ，∴四边形ABGE 是矩形，∴AB ＝EG ＝3，AE ＝BG ＝2t ，∵BF ＝EF ＝5﹣t ，FG ＝|2t ﹣（5﹣t ）|＝|3t ﹣5|，∴EF 2＝FG 2+EG 2，∴（5﹣t ）2＝（3t ﹣5）2+9，∴t =5±√74故答案为：5±√74．12．（2019•徐州）如图，矩形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，M 、N 分别为BC 、OC 的中点．若MN ＝4，则AC 的长为 ．【解答】解：∵M 、N 分别为BC 、OC 的中点，∴BO ＝2MN ＝8．∵四边形ABCD 是矩形，∴AC＝BD＝2BO＝16．故答案为16．13．（2019•十堰）如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE＝3，则菱形的周长为．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO，∵点E是BC的中点，∴OE是△BCD的中位线，∴CD＝2OE＝2×3＝6，∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24；故答案为：24．14．（2019•东营）如图，在平面直角坐标系中，△ACE是以菱形ABCD的对角线AC为边的等边三角形，AC＝2，点C与点E关于x轴对称，则点D的坐标是．【解答】解：如图，∵△ACE 是以菱形ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，AC ＝2，∴CH ＝1，∴AH =√3，∵∠ABO ＝∠DCH ＝30°，∴DH ＝AO =√33，∴OD =√3−√33−√33=√33，∴点D 的坐标是（√33，0）． 故答案为：（√33，0）．15．（2019•鞍山）如图，正方形A 0B 0C 0A 1的边长为1，正方形A 1B 1C 1A 2的边长为2，正方形A 2B 2C 2A 3的边长为4，正方形A 3B 3C 3A 4的边长为8……依此规律继续作正方形A n B n ∁n A n +1，且点A 0，A 1，A 2，A 3，…，A n +1在同一条直线上，连接A 0C 1交A 1B 1于点D 1，连接A 1C 2交A 2B 2于点D 2，连接A 2C 3交A 3B 3于点D 3……记四边形A 0B 0C 0D 1的面积为S 1，四边形A 1B 1C 1D 2的面积为S 2，四边形A 2B 2C 2D 3的面积为S 3……四边形A n ﹣1B n ﹣1C n ﹣1D n 的面积为S n ，则S 2019＝ ．．【解答】解：∵四边形A 0B 0C 0A 1与四边形A 1B 1C 1A 2都是正方形，∴A 1D 1∥A 2C 1，∴A 1D 1A 2C 1=A 0A 1A 0A 2， ∴A 1D 12=11+2， ∴A 1D 1=23，同理可得：A 2D 2=43，∴S 1＝1−12×1×23=40−13×40，S 2＝4−13×4，S 3＝42−13×42，…，S n ＝4n ﹣1−13×4n ﹣1=23×4n ﹣1， ∴S 2019=23×42018，故答案为：23×42018． 三、解答题16．（2019•宁夏）如图，已知矩形ABCD 中，点E ，F 分别是AD ，AB 上的点，EF ⊥EC ，且AE ＝CD ．（1）求证：AF ＝DE ；（2）若DE =25AD ，求tan ∠AFE ．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AFE+∠AEF＝∠AEF+∠DEC＝90°，∴∠AFE＝∠DEC，在△AEF与△DCE中，{∠A=∠D∠AFE=∠DEC AE=CD，∴△AEF≌△DCE（AAS），∴AF＝DE；（2）解：∵DE=25AD，∴AE=32DE，∵AF＝DE，∴tan∠AFE=32DEDE=32．17．（2019•哈尔滨）已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．（1）如图1，求证：AE＝CF；（2）如图2，当∠ADB＝30°时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠ABE ＝∠CDF ，∵AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°，在△ABE 和△CDF 中，{∠ABE =∠CDF ∠AEB =∠CFD AB =CD， ∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴AE ＝CF ；（2）解：△ABE 的面积＝△CDF 的面积＝△BCE 的面积＝△ADF 的面积＝矩形ABCD 面积的18．理由如下：∵AD ∥BC ，∴∠CBD ＝∠ADB ＝30°，∵∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝60°，∵AE ⊥BD ，∴∠BAE ＝30°，∴BE =12AB ，AE =12AD ，∴△ABE 的面积=12BE ×AE =12×12AB ×12AD =18AB ×AD =18矩形ABCD 的面积，∵△ABE ≌△CDF ，∴△CDF 的面积═18矩形ABCD 的面积；作EG ⊥BC 于G ，如图所示：∵∠CBD ＝30°，∴EG =12BE =12×12AB =14AB ，∴△BCE 的面积=12BC ×EG =12BC ×14AB =18BC ×AB =18矩形ABCD 的面积，同理：△ADF 的面积=18矩形ABCD 的面积．18．（2019•青海）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作AF ∥BC 交BE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求证：△AEF ≌△DEB ；（2）证明四边形ADCF 是菱形．【解答】证明：（1）∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE∵△ABC 是直角三角形，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，∴AE ＝DE ，BD ＝CD在△AFE 和△DBE 中，{∠AFE =∠DBE ∠AEF =∠BED AE =DE，∴△AFE ≌△DBE （AAS ）（2）由（1）知，AF ＝BD ，且BD ＝CD ，∴AF ＝CD ，且AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形∵∠BAC ＝90°，D 是BC 的中点，∴AD =12BC ＝CD ，∴四边形ADCF 是菱形．19．（2019•兰州）如图，AC ＝8，分别以A 、C 为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B 和D ．依次连接A 、B 、C 、D ，连接BD 交AC 于点O ．（1）判断四边形ABCD 的形状并说明理由；（2）求BD 的长．【解答】解：（1）四边形ABCD为菱形；由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD为菱形；（2）∵四边形ABCD为菱形，∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，在Rt△AOB中，OB=√52−42=3，∴BD＝2OB＝6．20．（2019•潍坊）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H．连接HF，AF，其中AF交EC于点M．（1）求证：△AHF为等腰直角三角形．（2）若AB＝3，EC＝5，求EM的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD，四边形ECGF都是正方形∴DA∥BC，AD＝CD，FG＝CG，∠B＝∠CGF＝90°∵AD∥BC，AH∥DG∴四边形AHGD是平行四边形∴AH＝DG，AD＝HG＝CD∵CD＝HG，∠ECG＝∠CGF＝90°，FG＝CG ∴△DCG≌△HGF（SAS）∴DG＝HF，∠HFG＝∠HGD∴AH＝HF，∵∠HGD+∠DGF＝90°∴∠HFG+∠DGF＝90°∴DG⊥HF，且AH∥DG∴AH⊥HF，且AH＝HF∴△AHF为等腰直角三角形．（2）∵AB＝3，EC＝5，∴AD＝CD＝3，DE＝2，EF＝5∵AD∥EF∴EMDM =EFAD=53，且DE＝2∴EM=5 421．（2019•凉山州）如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB．过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F．求证：OE＝OF．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形．∴∠BOE＝∠AOF＝90°，OB＝OA．又∵AM⊥BE，∴∠MEA+∠MAE＝90°＝∠AFO+∠MAE，∴∠MEA＝∠AFO．∴△BOE≌△AOF（AAS）．∴OE＝OF．22．（2019•天门）如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF．求证：（1）AE⊥BF；（2）四边形BEGF是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠ABE ＝∠BCF ＝90°，在△ABE 和△BCF 中，{AB =BC∠ABE =∠BCF BE =CF，∴△ABE ≌△BCF （SAS ），∴AE ＝BF ，∠BAE ＝∠CBF ，∵EG ∥BF ，∴∠CBF ＝∠CEG ，∵∠BAE +∠BEA ＝90°，∴∠CEG +∠BEA ＝90°，∴AE ⊥EG ，∴AE ⊥BF ；（2）延长AB 至点P ，使BP ＝BE ，连接EP ，如图所示： 则AP ＝CE ，∠EBP ＝90°，∴∠P ＝45°，∵CG 为正方形ABCD 外角的平分线，∴∠ECG ＝45°，∴∠P ＝∠ECG ，由（1）得∠BAE ＝∠CEG ，在△APE 和△ECG 中，{∠P =∠ECGAP =CE ∠BAE =∠CEG，∴△APE ≌△ECG （ASA ），∴AE＝EG，∵AE＝BF，∴EG＝BF，∵EG∥BF，∴四边形BEGF是平行四边形．。