2020浙江新中考数学一轮复习第18讲 矩形、菱形与正方形

【答案】寻找点 F 时，可以 B 为圆心，AE＝5 为半径 作圆交正方形的边于点 F.由题中射线 BM 交正方形的 一边于点 F 知有如下两种情形：
∴BM＝52或152.
1．(2018·湘潭)如图，已知点 E、F、G、H 分别是菱形
ABCD 各边的中点，则四边形 EFGH 是( B )
A．正方形
B．矩形
5．(2019·宁波)如图，矩形 EFGH 的顶点 E，G 分别在菱 形 ABCD 的边 AD，BC 上，顶点 F、H 在菱形 ABCD 的对角 线 BD 上． (1)求证：BG＝DE； (2)若 E 为 AD 中点，FH＝2，求菱形 ABCD 的周长．
【答案】(1)证明：在矩形 EFGH 中，EH＝FG，EH∥FG. ∴∠GFH＝∠EHF. ∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE. 在菱形 ABCD 中，AD∥BC. ∴∠GBF＝∠EDH. ∴△BGF≌△DEH(AAS)， ∴BG＝DE.
A．①或② B．②或③ C．③或④ D．①或④
【答案】(1)①16 ②24 ③8 3 (2)D
【解后感悟】(1)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭 示图形的数量关系是解题关键；(2)结合图形，利用图形 条件、已知条件综合判定．
2．(2019·河北)如图，菱形 ABCD 中，∠D＝150°，
则∠1＝( D )
10 时，△DOE 的周长是 12.则正确结论的序号是①__②__③___⑤_．⑦
【解后感悟】(1)结合图形，利用图形条件、已知条件 综合判定；(2)熟记各种特殊几何图形，利用性质、揭 示图形的数量关系是解题关键．
1．(2019·十堰)矩形具有而平行四边形不一定具有
的性质是( C )
A．对边相等
(3)成立． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，
在△CBF 与△DCE 中，B∠F＝ FBCCE＝，∠ECD， BC＝DC，
∴△CBF≌△DCE(SAS)， ∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE， ∵EG＝DE，∴CF＝EG， ∵DE⊥EG， ∴∠DEC＋∠CEG＝90°， ∵∠CDE＋∠DEC＝90°， ∴∠CDE＝∠CEG， ∴∠BCF＝∠CEG，∴CF∥EG， ∴四边形 CEGF 是平行四边形， ∴FG∥CE，FG＝CE.
C．菱形
D．平行四边形
2．(2019·广州)如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC 的垂直
平分线 EF 分别交 BC，AD 于点 E，F，若 BE＝3，AF＝5，
则 AC 的长为( A )
A．4 5
B．4 3
C．10
D．8
3．(2019·深圳)已知菱形 ABCD，E，F 是动点，边长
为 4，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几
⑤PD＝ 2EC.其中正确结论的序号是 ①②④⑤ ．
【课本改变题】 教材母题——浙教版八下第147页，作业题第5题 (1)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC， CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°. 求证：BE＝CF；
(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在 边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH ＝90°，EF＝4.求GH的长；
【思路分析】(1)只要证明四边形 CEGF 是平行四边形即可得出 FG ＝CE，FG∥CE； (2)添加辅助线后证明△HGE≌△CED，利用对应边相等求证四边形 GHBF 是矩形后，利用等量代换即可求出 FG＝CE，FG∥CE； (3)证明△CBF≌△DCE 后，即可证明四边形 CEGF 是平行四边形．
【解后感悟】本题是三角形与四边形综合问题，涉及全等三 角形、平行四边形、矩形、正方形的判定与性质．解题的关 键是利用全等三角形的对应边相等进行线段的等量代换，从 而求证出平行四边形．
4．如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC 于点 E，PF⊥CD 于点 F，连结 EF.给出下列五个结论：①AP＝ EF；②AP⊥EF；③△APD 一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；
【答案】(1)FG＝CE FG∥CE
(2)过点 G 作 GH⊥CB 的延长线于点 H， ∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°， ∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE，
在△HGE 与△CED 中，∠ ∠GHHGEE＝ ＝∠ ∠DDCEEC，， EG＝DE，
∴△HGE≌△CED(AAS)， ∴GH＝CE，HE＝CD， ∵CE＝BF，∴GH＝BF， ∵GH∥BF，∴四边形 GHBF 是平行四边形，∵∠FBE＝90°， ∴四边形 GHBF 是矩形． ∴GF＝BH，FG∥CH， ∴FG∥CE， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴CD＝BC， ∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB， ∴BH＝EC，∴FG＝EC.
A．30°
B．25°
C．20°
D．15°
类型三 正方形的性质与判定
例3 (1)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC 的 垂直平分线 EF 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，且 BE ＝BF，添加一个条件，能证明四边形 BECF 为正方
形的是__①__②___③_ ．
①BC＝AC； ②CF⊥BF； ③BD＝DF； ④AC＝BF. (2)如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相 交于点 O，点 E 是 OC 上一点(不与点 O、C 重合)， AF⊥BE 于点 F，AF 交 BD 于点 G，则下述结论： ①△ABG≌△BCE；②AG＝BE；③∠DAG＝∠BGF；
④AE＝DG 中，一定成立的有_①___②___④_ ．
【解后感悟】正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形， 特殊的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质．正方形的 判定方法有两条道路： (1)先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是正方形； (2)先判定四边形是菱形，再判定这个菱形是正方形．
3．如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC，∠A)
(3)本题的证明方法有多种，可根据正方形的对角线互 相垂直平分且相等，将正方形分成四个直角三角形的 面积和来求证，也可通过对角线求出正方形的边长来 求证．
11 证明：S 正方形 ABCD＝S△AOB＋S△AOD＋S△COD＋S△BOC＝4×2×2a ×12a＝12a2.∴结论正确．
【知识梳理】 1．平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定可 通过边、角、对角线、整体图形四个维度说明． 2．注意平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定书写 格式要规范．
【方法与对策】这题是从特殊到一般的规律探究题．从课本 题出发逐步提出问题，解决问题，然后根据这些解题体验， 领悟解题方法，再来解决一般性问题，这是中考命题热点之 一，平时学习要重视一些典型的基本图形．
警示点 23：正方形多解性 若正方形 ABCD 的边长为 4，E 为 BC 边上一点，BE＝3， M 为线段 AE 上一点，射线 BM 交正方形的一边于点 F， 且 BF＝AE，则 BM 的长为________．
(2)如图，连结 EG. 在菱形 ABCD 中，AD 綊 BC. ∵E 为 AD 中点， ∴AE＝ED. ∵BG＝DE，∴BG＝AE， ∴AE 綊 BG. ∴四边形 ABGE 为平行四边形． ∴AB＝EG. 在矩形 EFGH 中，EG＝FH＝2. ∴AB＝2， ∴菱形的周长为 8.
【提示】课后请完成作业本BP23－24练习．
第18讲 矩形、菱形与正方形
【问题】(1)平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系．
(2)将平行四边形、矩形、菱形、正方形填入它们的包含关 系图中：
(3)如图，菱形 ABCD，某同学根据菱形面积计算 公式推导出对角线长为 a 的正方形面积是 S＝12a2， 对此结论，你认为是否正确？若正确，请给予 证明；若不正确，举出一个反例来说明．
B．对角相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
类型二 菱形的性质与判定
例2 (1)如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，连结 OE， ①若菱形的边长是 10，一条对角线长是 12，则此菱形的另一条 对角线长是________； ②若 OE＝3，则菱形的周长是________； ③若∠ABC＝60°，周长是 16，则菱形的面积是________． (2)已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝ 90°，③AC＝BD，④AC⊥BD 四个条件中，选一个作为补充条件 后，使得四边形 ABCD 是菱形，现有下列四种选法，其中都正确 的是( )
个？( D )
①△BEC≌△AFC；②△ECF 为等边三角形；
③∠AGE＝∠AFC；④若 AF＝1，则GGFE＝13.
A．1
B．2
C．3
D．4
4．(2018·丽水模拟)如图，在正方形 ABCD 中，点 F 为 CD 上一点，BF 与 AC 交于点 E.若∠CBF＝20°，则∠AED
等于 65 度．
(3)已知点E，H，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC， CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝ 4.直接写出下列两题的答案： ①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，求GH 的长；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，求GH 的长(用n的代数式表示)．
【分析与解】(1)证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠EAB＋∠AEB＝90°. ∵∠EOB＝∠AOF＝90°， ∴∠FBC＋∠AEB＝90°，∴∠EAB＝∠FBC， ∴△ABE≌△BCF，∴BE＝CF.
BE⊥AD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE＝( C )
A．2
B．3
C．2 2
D．2 3
类型四 特殊平行四边形的综合运用
例4 如图 1，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 BC，AB 上 的点，且 CE＝BF.连结 DE，过点 E 作 EG⊥DE，使 EG＝DE，连结 FG，FC. (1)请判断：FG 与 CE 的数量关系是________，位置关系是 ________； (2)如图 2，若点 E，F 分别是边 CB，BA 延长线上的点，其他条 件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图 3，若点 E，F 分别是边 BC，AB 延长线上的点，其他条 件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．