跃迁几率和费米黄金规则
第3章 费米能级
.
以后就表示从状态(1)跃迁到状态(2)的几率。
上式表示电子从E1态跃迁到E2态的微扰矩阵元，又叫跃迁动量矩阵元。 它是电子的终态(2)波函数的共扼复数ψ 2*与对始态(1)波函数ψ 1进行 H’运算得到结果的标量积。
要计算跃迁几率(即求a2(t))必须知道微扰算符H’的具体形式。如果假定微扰是 简谐函数，则按照费米黄金准则，跃迁几率可以表示为：
.Hale Waihona Puke 半导体异质结激光器中粒子数反转
.
光子与载流子的相互作用
光子与半导体内部载流子相互作用表现为 以下几个物理过程：
.
半导体内量子跃迁的特点
由于半导体能带中电子(空穴)的态密度很高，因此在光子作用下产生的 跃迁不是在分立的、固定的两个能级之间，而是发生在非局部能级的导带与 价带之间。在分析半导体中的跃迁过程时不仅要考虑电子的跃迁几率，还必 须考虑参与跃迁的电子态密度分布，而这又与掺杂浓度和激励水平有关。因 此，半导体中的跃迁过程具有明显不同于双能级系统的特点： (a)半导体能带中电子的态密度很高，用来产生粒子数反转分布的电子数很大， 因而可能具有很高的量子跃迁速率，获得很大的光增益系数。 (b)半导体中同一能带内的载流子相互作用很强。这种互作用过程的碰撞时间比 辐射过程的时间常数要小，所以发生电子跃迁后留下来的空态能够很快被带 内电子所补充，使能带内仍保持激励态的准平衡分布，可以用准费米能级描 述载流子的分布特性。 (c)半导体中被激发的电子态可以通过扩散或传导在晶体中传播，因此有可能用 比较简单的办法(如p—n结注入)使半导体内很快达到并维持其粒子数分布反 转状态，可以实现很高的能量转换效率。这是半导体激光器的突出优点。 (d)半导体中跃迁发生在占据一定能量范围的大量的导带电子和价带空穴之间， 因此辐射谱线较宽，单色性较差。
黄金费米定律
黄金费米定律
一、费米子具有整数自旋
费米子的自旋是1/2的整数倍。
这是量子力学中一个非常重要的概念，因为这表明费米子的自旋方向不能改变，只能沿着一个方向旋转。
这个性质也使得费米子在自然界中扮演着非常重要的角色，例如电子、质子和中子等都是费米子。
二、费米子的行为受到泡利不相容原理的限制
泡利不相容原理是量子力学中的一个重要原理，它表明两个相同的费米子不能占据相同的量子态。
这个原理可以解释为什么在原子中，电子不能占据相同的能级，从而保证了原子结构的稳定性。
三、在绝对零度下，费米子组成的系统会呈现出凝聚态
在绝对零度下，费米子组成的系统会呈现出凝聚态，即所有费米子都占据最低能量的量子态。
这个现象被称为“费米凝聚”，它在低温物理和超导研究中扮演着非常重要的角色。
四、费米子的行为受到交换作用的影响
交换作用是量子力学中的一个重要概念，它表明交换两个费米子会改变它们的量子态。
这个概念在解释粒子相互作用和核物理中的许多现象时都非常重要。
例如，在解释核磁共振现象时，就需要考虑到交换作用的影响。
总之，黄金费米定律是量子力学中一个非常重要的原理，它描述了费米子的行为和相互作用。
这些原理不仅在物理学中有广泛的应用，也在化学、材料科学和生物学等多个领域中扮演着重要的角色。
因此，理解和掌握黄金费米定律对于学习和研究物理学以及相关领域都具有非常重要的意义。
跃迁几率和费米黄金规则
（5.7.11）
Fmk
2 2
2
1 e
i (mk ) t
mk
2
1 e
i (mk ) t 2
mk
（5.7.12）
Fmk
2
B B
5.7跃迁几率和费米黄金规则
式中
1 ei (mk )t i (mk ) t /2 sin(mk )t / 2 B ie （5.7.13） mk (mk ) / 2
Wk m lim am (t )
t
2
1
2 2
t ( H mk
2
mk
2
)
（5.7.4）
2 t (mk )
跃迁速率是
H mk
2
dWk m 2 2 (mk ) wk m 2 H mk dt 2 2 ( Em Ek ) H mk
2 mk 2
[1 cos mk t ]
sin 2 4 H mk
2
mk t
2 mk
（5.7.2）
为进一步简化（5.7.2）式，可用 函数的公式
sin 2 xt lim ( x) 2 t tx
（5.7.3）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
当t 时，可将（5.7.2）式化为
跃迁速率为
2
2 t
Fmk ( Em Ek )
2
（5.7.16）
wk m
dWk m 2 2 Fmk ( Em Ek ) dt
（5.7.17）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
由（5.7.16）可见，跃迁过程满足能量守恒。当且尽 Em Ek 当周期微扰的频率 满足 时，才能发 生跃迁。而且，当微扰作用时间足够长后，跃迁速 率与时间无关。 3. 由（5.7.16）还可以得出 Wk m Wmk （5.7.18） Wk m 表示从 k态跃迁到 m 态的几率， Wmk相反。 4. 比较（5.7.4）与（5.7.16）可见，当周期性微扰的 频率趋于零时，（5.7.16）过渡到（5.7.4）。这一 结果表示当频率趋于零时，周期微扰过渡到常微 扰，这是很自然的。
微扰理论
第五章 微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。
因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。
本章将介绍微扰论和变分法。
本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。
§5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录： 氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。
假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程ˆH E ψψ= 满足下列条件： ˆH 可分解为 0ˆH 和 ˆH '两部分，而且 0ˆH 远大于ˆH'。
00ˆˆˆˆˆ H H H H H ''=+ 0ˆH 的本征值和本征函数已经求出，即 0ˆH 的本征方程(0)(0)(00ˆn n n H E ψψ=中，能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。
微扰论的任务就是从0ˆH 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰ˆH ' 后，ˆH 的本征值和本征函数。
3. 0ˆH 的能级无简并。
严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。
例如我们要通过微扰计算ˆH '对 0ˆH 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)nE 无简并，它相应的波函数只有(0)n ψ一个。
其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。
4. 0H 的能级组成分离谱。
严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分离谱内，(0)n ψ是束缚态。
周世勋《量子力学教程》(第2版)-微扰理论笔记和课后习题(含考研真题)详解(圣才出品)
第5章微扰理论5.1复习笔记一、定态微扰理论1．适用范围及使用条件求分立能级及所属波函数的修正。
适用条件是：一方面要求H 可分成两部分，即'0H H H +=，同时0H 的本征值和本征函数已知或较易计算；另一方面又要求0H 把H 的主要部分尽可能包括进去，使剩下的微扰'H 比较小，以保证微扰计算收敛较快，即'(0)(0)(0)(0)1,mnn mn mH E E E E <<≠-（1）非简并情况微扰作用下的哈密顿量可表示为：'0H H H +=第n 个能级可近似表示为：∑+-++=mmnnmnn nn EEH H E E)0()0(2''')0(相应的波函数可近似表示为：∑+-+=mm mn mn nn E E H )0()0()0('')0(ψψψ（2）简并情况能级的一级修正由久期方程0det )1('=-v k v E H μμδ即)1(''2'1'2)1('22'21'1'12)1('11=---nkk k k knknE H H H H E H H H H E H给出。
个实根，记为有k k f E )1(k k f E ,,2,1,)1( =αα，分别把每一个根)1(αk E 代入方程∑==-kf v v v k va E H 1)1('0)(μαμδ，即可求得相应的解，记为v a α，于是可得出新的零级波函数∑>>=vkv vkv a φα||。
相应的能量为：)1()0(αk k k E E E +=。
2．氢原子的一级斯塔克效应（1）斯塔克（Stark）效应：原子在外电场作用下所产生的谱线分裂的现象。
（2）用简并情况下的微扰论解释氢原子的斯塔克效应：由于电子在氢原子中受到球对称的库仑场的作用，第n 个能级有2n 度简并。
黄金费米定律
黄金费米定律黄金费米定律，也被称为费米悖论，是由意大利物理学家恩里科·费米于1950年提出的。
该定律是指，在银河系中，存在着大量的外星智慧生命，然而我们迄今为止仍未能与外星文明取得任何联系。
黄金费米定律不是基于实验证据，而是建立在一系列假设和推测之上。
费米进一步指出，根据当前已知的宇宙尺度和星系数量，我们可以推断银河系内存在着大量智慧生命。
然而，对于为何我们尚未获得任何外星信号的解释，黄金费米定律认为存在多种可能性。
首先，外星智慧生命可能存在技术不足以与我们进行通信的问题。
费米认为，即使外星文明与地球上的智慧生命存在一定的技术差距，我们也应该能够接收到他们使用的通信信号。
然而，这种技术差距可能是巨大的，超出我们当前能力所能理解的范围。
其次，黄金费米定律也提到了外星文明可能选择隐蔽的原因。
他们可能有意识地隐藏自己，以避免被探测到或干扰其他文明。
这可能是因为他们感到威胁，或者有其他不愿意被发现的原因。
此外，外星文明也可能对地球上的智慧生命缺乏兴趣，或者认为我们还不足以与他们进行有意义的交流。
还有一种可能性是，我们对探索外星信号的方法和范围有限。
我们目前主要依赖于射电望远镜来探测外星信号，但这只是一种方法。
可能存在其他类型的信号或通信方式，我们尚未发现或无法接收到。
此外，我们也可能只是不慎错过了外星信号，或者技术上无法识别它们。
除了以上的可能性外，黄金费米定律还提到了时间尺度的问题。
宇宙存在了数十亿年，而我们人类存在的时间相对较短。
因此，即使其他外星文明存在，我们与他们进行交流的时间窗口可能非常狭窄，或者已经错过了。
总的来说，黄金费米定律意味着尽管银河系可能存在大量智慧生命，但我们至今为止尚未与外星文明取得任何接触的原因可能是多方面的：技术差距、选择性隐蔽或缺乏兴趣、探测方法的有限性以及时间尺度的问题等等。
然而，真正的原因仍是一个谜，直到我们能够获得更多的数据和证据，我们对外星生命的探索将继续进行。
5.7跃迁几率
二式合记：
2πt Wk →m = | Fmk |2 δ (ε m − ε k ± hω) h
（5）跃迁速率
或：
Wk→m 2π ωk→m = = | Fmk |2 δ (ε m − ε k ± hω) t h 2π ωk →m = 2 | Fmk |2 δ (ωmk ± ω) h
（6）讨论 a. δ(εm-εk ± hω) 描写了能量守恒：εm-εk ± hω= 0。 b. εk >εm 时，跃迁速率可写为：
t <0 t >0
（2）求 am(t) H’(t)在 H0 的第 k 个和第 m 个本征态 φk 和 φm 之 间的微扰矩阵元是：
ˆ ′ Hmk =< φm | H′(t) | φk >
ˆ =< φm | F[eiωt + e−iωt ] | φk >
ˆ =< φm | F | φk > [eiωt + e−iωt ]
ω→ωmk
lim
e
−1
= it
Fmk am (t) = − h
ei 2ωmkt −1 + it 第二项起主要作用 2ωmk
第一项是振荡项，不随时间增加
(II) 当ω = −ωmk 时，同理有：
Fmk am (t) = − h
ei 2ωmkt −1 it + 2ωmk 第一项起 主要作用
4 | Fmk |2 sin 2 1 (ωmk −ω)t1 2 Wk→m = h2 (ωmk −ω)2
Wk → m |Fmk |2t1 / h2
ωmk - ω -4π -2π 0 2π 4π / t1 / t1 / t1 / t1
（2）能量守恒不严格成立，即在跃迁过程中，εm = εk + hω或 ωmk = ω不严格成立，它们只是在上图原点处严格成立。因为在 区间[-2π/t1 , 2π/t1]，跃迁几率都不为零， 所以 既可能有 也可能有 ωmk = ω， ω-2π/t1 < ωmk <ω+2π/t1。 ∆ωmk ≈(1/t1) 也就是说 ωmk 有一个不确定范围。由于k能级是分立的，εk 是 确定的，注意到 ωmk = 1/h (εm-εk)，所以 ωmk 的不确定来自于 末态能量εm 的不确定，即：
5.7跃迁几率
∆E ∆t ≈ h
此式称为能量和时间的测不准关系。由此式可知，测量能 量越准确（∆E 小），则用于测量的时间∆t 就越长。
1 t ′ am (t ) = ∫ Hmk eiωmkt dt ih 0
′ Hmk = ih
∫
t
0
eiωmkt dt
H’mk 与 t 无关(0 ≤ t ≤ t1)
′ Hmk iωmkt =− e −1 hωmk
[
]
′ Hmk iωmkt / 2 iωmkt / 2 −iωmkt / 2 =− e e −e hωmk
ω→ωmk
lim
e
−1
= it
Fmk am (t) = − h
ei 2ωmkt −1 + it 第二项起主要作用 2ωmk
第一项是振荡项，不随时间增加
(II) 当ω = −ωmk 时，同理有：
Fmk am (t) = − h
ei 2ωmkt −1 it + 2ωmk 第一项起 主要作用
（3）几点分析
ei[ωmk +ω]t −1 ei[ωmk −ω]t −1 Fmk am (t) = − [ωmk +ω] + [ωmk −ω] h
(I) 当ω = ωmk 时，即微扰频率ω 与 Bohr 频率相等时， 上式第二项分子分母皆为零。求其极限得：
i[ωmk −ω]t [ωmk −ω]
二式合记：
2πt Wk →m = | Fmk |2 δ (ε m − ε k ± hω) h
（5）跃迁速率
或：
Wk→m 2π ωk→m = = | Fmk |2 δ (ε m − ε k ± hω) t h 2π ωk →m = 2 | Fmk |2 δ (ωmk ± ω) h
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（5.7.21）
从 k 态到
m态的跃迁几率是
4 2
2
Wk m
(mk ) H mk
2
（5.7.22）
（5.7.22）是表明，外来微扰 H 虽然是非周期性的， k 态跃迁的，只是那些频 但能引起从 态到 m 率 mk ，能引起共振反共振的傅立叶分量。而 其他傅立叶分量，由于跃迁过程中能量守恒的限制， 对跃迁无贡献。
跃迁速率为
2
2 t
Fmk ( Em Ek )
2
（5.7.16）
wk m
dWk m 2 2 Fmk ( Em Ek ) dt
（5.7.17）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
由（5.7.16）可见，跃迁过程满足能量守恒。当且尽 Em Ek 当周期微扰的频率 满足 时，才能发 生跃迁。而且，当微扰作用时间足够长后，跃迁速 率与时间无关。 3. 由（5.7.16）还可以得出 Wk m Wmk （5.7.18） Wk m 表示从 k态跃迁到 m 态的几率， Wmk相反。 4. 比较（5.7.4）与（5.7.16）可见，当周期性微扰的 频率趋于零时，（5.7.16）过渡到（5.7.4）。这一 结果表示当频率趋于零时，周期微扰过渡到常微 扰，这是很自然的。
（5.7.5）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
（5.7.4）（5.7.5）式表明，对于常微扰，经过足够长 时间后，它的跃迁速率与时间无关。而且跃迁过程满 足能量守恒定律，只在初态能量与末态能量相等时， 跃迁几率才不为零。 应该指出，对于实际问题；由于自由度一般不只一个， 因此能级总有简并。能量相同并不意味着只有一个状态。 特别是，如果跃迁的末态是散射态，它相应的能谱是连 续谱。应该讨论的实际情况是，从能量为 Ek的 k 态到 能量处于Em Em dEm 的所有状态的跃迁几率。为此，假定 末态的态密度是 ( Em , ) ，其中 表示除能量外的其他守 恒量，则在能量间隔dEm ，简并态态间隔 d 的态密度 是 (m , )dmd ，相应的跃迁几率是
sin 2 (mk t / 2) (mk / 2)2
4 / t
2 / t
0
2 / t
4 / t
mk
5.7跃迁几率和费米黄金规则
容易看出，满足（5.7.12）式的 Wk m具有以下性质 1. 当 mk mk 时，起主要作用的是 B ，可略 去 B ；当 mk mk 时，起主要作用的是 B ，可略去 B 。在 mk mk 外的其他区域， 近似为零。 2. 在共振区 mk mk 和反共振区 mk mk 中，Wk m 可近似表示为
W
2 t
( Em , ) H mk
2
（5.7.7） （5.7.8）
dW 2 2 ( Em , ) w H mk dt
5.7跃迁几率和费米黄金规则
（5.7.8）式称为费米黄金规则。它对讨论粒子的 跃迁具有特别重要的意义。（5.7.8）式中态密度 的具体形式取决于末态的具体形式。 二．周期微扰的跃迁几率 ˆ it A ˆ (t ) e eit F ˆ eit eit 记微扰为 H （5.7.9） 2
Wk m
Fmk
2
2
mk 4sin t 2 (mk )2
2
（5.7.15）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
当t 时，
mk Wk m 2 t 2 2 t 2 2 Fmk (mk ) Fmk
Wk m lim am (t )
t
2
1
2 2
t ( H mk
2）
2 t (mk )
跃迁速率是
H mk
2
dWk m 2 2 (mk ) wk m 2 H mk dt 2 2 ( Em Ek ) H mk
ˆ ˆ A F 式中 2是与时间无关的算符，
是周期性微扰的角频率。
（5.7.10）
无微扰体系的薛定谔方程是
ˆ E H 0 k k k
5.7跃迁几率和费米黄金规则
1 t imk t am (t ) H mk e dt i 0 Fmk ei (mk )t 1 ei (mk )t 1 mk mk * ˆ 式中 Fmk m Fk dr
（5.7.20）
跃迁几率振幅是
1 T (t )eimk t dt am H mk i 0 1 T imk t ( )e it dte d H mk i 0 1 ( ) (mk ) 2 d H mk i 2 (mk ) H mk i
2 mk 2
[1 cos mk t ]
sin 2 4 H mk
2
mk t
2 mk
（5.7.2）
为进一步简化（5.7.2）式，可用 函数的公式
sin 2 xt lim ( x) 2 t tx
（5.7.3）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
当t 时，可将（5.7.2）式化为
得 跃迁几率是 Wk m
（5.7.11）
Fmk
2 2
2
1 e
i (mk ) t
mk
2
1 e
i (mk ) t 2
mk
（5.7.12）
Fmk
2
B B
5.7跃迁几率和费米黄金规则
式中
1 ei (mk )t i (mk ) t /2 sin(mk )t / 2 B ie （5.7.13） mk (mk ) / 2
1 am (t ) i
t
0
eimk t dt H mk
(eimk t 1) H mk
mk
（5.7.1）
5.7跃迁几率和费米黄金规则
am ( t )
2 2
H mk
2 2
2
2 H mk
2 mk
imk t imk t e 1 e 1
5.7跃迁几率和费米黄金规则
另一方面，注意到函数sin2 (mk t / 2) / (mk / 2)2在mk 0 处 有极大值，在mk 2 / t 为零，而次极大的峰值远低 于主极大的峰值。如图所示。从图中我们也可以看出 当 t 时，函数 sin2 (mk t / 2) / (mk / 2)2 趋于 函数， 这是只有在 mk 0处变成无穷大，其他各处均为零。
5.7跃迁几率和费米黄金规则
W 2 t
2
Em
( Em , ) (mk )dEmd H mk ( Em , ) (mk )dmk d （5.7.6） H mk
2
2
2 t
Em
不失普遍性，选 1，且 Em 足够小时， （5.7.6）是近似为
1 ei (mk )t i (mk )t /2 sin(mk )t / 2 B ie （5.7.14） mk (mk ) / 2
由（5.7.12~14）式可见，当 mk时，B的分母和分子 都为零，利用函数极限的洛必达法则，可知 B 随时间 mk 增加，因而当 mk 时 B 起重要作用。同理当 mk 时达到共振， B 项在 时 B 起重要作用。这表明， B 项在 mk 时达到反共振。
5.7跃迁几率和费米黄金规则
利用上一节中含时微扰理论的一些基本公式，本节将 具体计算几种情况下的跃迁几率。 一．常微扰的跃迁几率 ˆ 是个常数，并且只在(0, t ) 时间间隔内起 假定微扰 H 作用，则体系在 t 0 时处在 k 态，在t t 时跃迁 到 m 态的几率振幅是
三．非周期微扰的跃迁几率 若在时间间隔 0 t T 内加入非周期微扰 H (t ) ， 将 H (t ) 作傅立叶展开
H (t ) H ()eit d
（5.7.19）
1 it H ( ) H ( t ) e dt 2 1 T it H ( t ) e dt 2 0