高中数学专题复习与研究
高中数学复习讲义
高中数学复习讲义一、代数1.1 一元一次方程1.2 一元二次方程1.3 平面直角坐标系1.4 解析几何与向量1.5 指数与对数1.6 三角函数与三角恒等变换1.7 数列与数学归纳法二、几何2.1 平面与立体几何基本概念2.2 直线与角2.3 三角形与三角形的性质2.4 四边形与四边形的性质2.5 圆与圆的性质2.6 空间几何与立体几何三、概率与统计3.1 随机事件与概率的计算3.2 组合与排列3.3 抽样与统计四、数学思想方法4.1 推理与证明4.2 逻辑与谬误4.3 数学建模与解题策略五、应用题本讲义将针对高中数学涵盖的主要内容进行复习总结，旨在帮助大家全面复习数学知识，掌握解题方法和技巧，为高考做好充分准备。
一、代数1.1 一元一次方程一元一次方程是数学中最基础的方程形式之一，解一元一次方程需要掌握方程的基本性质和求解方法。
我们将重点讲解常见的一元一次方程类型，并提供解题思路和方法。
掌握一元一次方程的求解技巧对于解决实际问题具有重要意义。
1.2 一元二次方程一元二次方程在高中数学中起着重要的作用，解一元二次方程需要掌握配方法、因式分解法以及求根公式等知识点。
我们将介绍一元二次方程的基本概念和解法，并通过大量例题帮助大家提高解题能力。
1.3 平面直角坐标系平面直角坐标系是研究平面几何和解析几何的基础，了解坐标系的性质和坐标变换的规律对于解决几何问题至关重要。
我们将详细介绍直角坐标系的相关概念和性质，并结合实例进行讲解，帮助大家掌握平面直角坐标系的应用。
1.4 解析几何与向量解析几何是将代数与几何相结合的重要数学分支，研究空间中点、直线、平面等几何对象的解析表达和性质。
向量是解析几何中的重要工具，学习向量的表示方法和运算规律有助于解决几何问题。
我们将讲解解析几何基本概念和向量的数学性质，并通过练习题提高大家的解题能力。
1.5 指数与对数指数和对数是高中数学中重要的数学工具和运算方法，涉及到数学表达式的简化、方程的求解等。
高三数学复习专题课型技巧及模式
高三数学复习专题课型技巧及模式一、问题的提出新课程改革实施三年来，在实践中发现问题、解决问题，在问题的解决过程中将新课程改革工作逐步推进。
其中，模块教学强调螺旋上升，淡化了数学学科的知识结构和体系，但是数学作为高中课程，功能之一是为高等学校输送合格的学生，学科知识结构的过分淡化将不利于继续深造学生的发展。
因此，作为高三复习工作的任务之一，就是要在系统复习知识的同时，打破模块分割的界限，将知识系统化、结构化，帮助学生整体把握高中阶段的数学知识和思想方法，这样就造成了高三复习时间紧，任务重，如何在有限的时间内最大限度的调动学生参与课堂教学的积极性，从而最大限度的提高高三复习课的效率是课题研究的主要问题。
二、研究的目标高三数学常见的课型有：基础知识复习课、解题教学课、试卷讲评课等。
我们预期通过行动研究的方法，探索、研究、归纳、总结每一种课型的高效教学模式，通过典型课例逐步推广，并且在教学实践中不断修改，不断完善，使每位老师对每种课型都能掌握运用1—2种适合自己教学风格、适合自己学生特点的高效教学模式。
同时，也期待着在不断的研究与学习的过程中，逐步更新观念，改进教学，从而提高高三复习课的效率。
三、研究的内容1.基础知识复习课课型及其教学模式;2.解题教学课课型及其教学模式;3.试卷讲评课课型及其教学模四、研究的理论依据建构主义认为，数学新知识的学习活动，是主体在自己的头脑里建立和发展数学认知结构的过程，是数学活动及其经验内化过程。
这种内化的过程，或者是以同化的形式把客体纳入到已有的认识结构之中，以便同与自己不相适应的客体一致，从而使原有的认识结构发生质的变化。
由此不难看出，完成这样的过程，完全是自主行为，而且只有通过主体积极主动的智力参与才能实现，别人是根本无法替代的。
所谓“智力参与”，就是主体将自己的注意力、观察力、记忆力、想象力、思维力和语言能力都参与进去。
由于数学建构学习活动的本质是思维构造，所以这是一个创造的过程。
高考数学一轮总复习课件：专题研究-函数模型及应用
思考题1 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利 润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系 如图②(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别求A，B两种产品的利润与投资之间的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元投资资金，并将全部投入A，B两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万 元？
【解析】 (1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2% ＝100×(1＋1.2%)，
2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋ 1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，
3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋ 1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.
≈
13.1，
又x∈N*，所以至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱
到原来的14以下．故选C.
(2)(2021·沧州七校联考)某工厂产生的废气经过过滤后排
放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中
的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函
数关系为P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．如果在前5个小时的过 滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需过滤的时间是
专题研究二 函数模型及应用
题型一 分段函数模型
例2 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众 出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低 廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产 新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产 一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总
(专题讲座)2022届高三数学复习备考总结与反思
客观题机阅，主观题手阅，然后进行扫描，一方面通过智
学网实时监控学生对每个章节掌握情况，另一方面也时刻
监督学生的规范答题。
二、强化时间意识，制定科学实际的教学进度
第一阶段：一轮复习，时间为2021年5月下旬至2022年3月中旬。
3.练习与测试：
（2）周练习与小题限时训练：从一轮复习开始到2022年10月底，
于纠错我们没有单独组编训练，一方面是穿插在周练，小
题训练和补充练习之中。另一方面是，所有的练习都通过
智学网扫描，智学网每周出一次个性化手册。高三上学期
百分之九十的学生都订了个性化手册，每周五下午安排两
节课的时间让学生完成落实个性化手册。
二、强化时间意识，制定科学实际的教学进度
第一阶段：一轮复习，时间为2021年5月下旬至2022年3月中旬。
不会做的尽量得步骤分”是我们一直追求的目标。
①平时训练中，要求学生看题时要审题要规范，读题要慢，关键字眼、重
点条件标上记号；想题时要思维规范，常规题型很快找到最优解题思路、
解题方法；解题时要运算规范，准确、简洁、快速，掌握必要的运算技巧，
立足一次成功；答题时要书写规范，包含文字、符号、字母等，力求解题
是我们复习备考的指南。
一、认真学习新课程标准，高考评价体系，把握备考方向
3、研究课本和2021年高考试题
研究课本和高考试题活动，是我们常规教研活动之一，研究的
内容主要有：
（1）学习新教材与旧教材之间的变化，准确把握重点知识；
对于新教材上的一些典型例题与习题，我们还会摘选出来给
学生做；
（2）研究高考试题命题要求和原则，寻找命题规律和特点；
高中数学专题复习经典平面几何难题解析
AAB 经典平面几何题目解析经典难题（一）1、已知：如图，O 为半圆的圆心，C,E 是圆上的两点，CD AB ⊥，,EF AB EG CO ⊥⊥ 求证：CD=GF 。
证明：从已知条件,EF AB EG CO ⊥⊥G ,O,F,E 四点共圆，因为090EGO ∠=，所以 内接四边形的外接圆的直径为OE ，作出这个圆。
构造直角三角形，可以得到:sin sin GF NF GNF OE GNF =∠=∠又因为¼¼GOFGOF GNF GEF =⇒∠=∠ 又在RT DCO ∆中，得到sin GD OC COD =∠又圆内接四边形的性质可以得到COD GEF ∠=∠，又OE=OC 所以得到：CD=GF.2、已知，如图，P 为正方形ABCD 内点，015PAD PDA ∠=∠=. 求证：PBC ∆为等边三角形。
证明：将三角形PAD 绕点D 顺时针到DCE ，连接PE ，如图所示。
这样可以得到060PDE ∠=，因为PD=DE ，所以三角形 PDE 为等边三角形，因此PE=DE=CE(其实E 为三角形PDC 的内心)。
同时得到060PED ∠=.又0150APD DEC ∠=∠=所以有0150PEC ∠=.因此有D PEC CE ∆∆≌所以有 PC=CD.由PDC PD C P P AB ∆⇒=∆≌.所以PB=PC=BC.因此PBC ∆为等边三角形。
方法二：用三角法。
设正方形的边长为a 。
P在三角形PAD 中，用正弦定理有：00sin152sin15sin sin sin150AD PA a PA a APD ADP =⇒=⨯=∠∠ 在三角形BAD 中，依据余弦定理有：222202002cos (2sin15)22sin15cos 75AB PA AB PA BAP a a a a PB +-⋅∠=+-⨯=222022024sin 154sin 15a a a a =+-=所以PB a =这样得到PB PC BC a === 因此三角形PBC 为等边三角形。
高三数学复习备考计划建议(通用9篇)
高三数学复习备考计划建议（通用9篇）高三数学复习备考计划建议篇1一、抓《考试说明》与信息研究第二轮复习中，不可能再面面俱到。
要在复习中做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效率，就必须认真研究《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，同时还应关注近三年的高考试题以及对试题的评价报告，捕捉高考信息，吸收新课程的新思想、新理念，从而转化为课堂教学的具体内容，使复习有的放矢，事半功倍。
二、突出对课本基础知识的再挖掘近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。
强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。
尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。
当然回归课本不是死记硬背，而是抓纲悟本，引导学生对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推广发挥其应有的作用。
三、加强客观题的解题速度和正确率的强化训练选择、填空题都是客观试题，它的特点是：概念性强、量化突出、充满思辨性、形数皆备、解法多样形、题量大，分值高，实现对“三基”的考查。
每次小题训练应不断强化自己选择题的解法，如特值法、数形结合等，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速。
通过训练，要达到这样一个目的：大部分同学都能在45分钟以内完成十道选择题和五道填空题，并且失误控制在两题之内。
四、重视第二轮专题复习，提高解题能力第一轮复习重在基础，指导思想是全面、系统、灵活。
在抓好单元知识、夯实“三基”的基础上，注意知识的完整性、系统性，初步建立明晰的知识网络。
第二轮复习则是在第一轮的基础上，对知识进行巩固和强化，是数学解题能力大幅度提高的阶段。
其指导思想是巩固、完善、综合、提高。
巩固，是巩固第一轮复习成果，强化知识系统的记忆；完善，是通过专题复习、查漏补缺，进一步完善知识体系；综合，是减少单一知识的训练，增强知识的交汇点，增强题目的综合性和灵活性；提高，是培养、提高分析问题和解决问题的能力。
2025届高中数学高考复习课件：高考大题研究-利用导数研究不等式恒(能)成立问题
(2)对于∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)，试求实数a的 取值范围．
解析：对于∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[1，e]，都有f(x1)≥g(x2)，则f(x1)min≥g(x2)min， 由(1)知函数f(x)在[－1，0)上单调递增， 在(0，1]上单调递减，在(1，2]上单调递增，又f(－1)＝a－5，f(1)＝a－1， 故当x∈[－1，2]时f(x)min＝f(－1)＝a－5， 因为g(x)＝x2(2ln x－3)，且x∈[1，e]，则g′(x)＝4x(ln x－1)≤4x(1－1)＝0， 故函数g(x)在[1，e]上单调递减，故g(x)min＝g(e)＝－e2， 由题意可得a－5≥－e2，故a≥5－e2. 所以实数a的取值范围为[5－e2，＋∞)．
题后师说
“等价转化法”解决不等式恒成立问题
在不等式恒成立问题中，如果不能分离参数或分离参数后的函数的 最值比较难求，可以把含参不等式整理成f(x，a)＞0或f(x，a)≥0的形 式，然后从研究函数的性质入手，通过讨论函数的单调性和极值， 直接用参数表达函数的最值，然后根据题意，建立关于参数的不等 式，解不等式即得参数的取值范围． (1)如果f(x，a)有最小值g(a)，则f(x，a)＞0恒成立⇔g(a)＞0，f(x， a)≥0恒成立⇔g(a)≥0. (2)如果f(x，a)有最大值g(a)，则f(x，a)＜0恒成立⇔g(a)＜0，f(x， a)≤0恒成立⇔g(a)≤0.
利用导数研究不等式恒(能)成立问题
掌握利用导数解决不等式恒(能)成立问题，提高学生分析问题、解 决问题的能力．
关键能力·题型剖析
题型一分离参数法求参数范围 例1 [2024·河南郑州模拟]已知函数f(x)＝x3(ln x－a)(a∈R)． (1)求函数f(x)的单调区间；
高中数学复习解题教学方法研究
的 数 学 结 论 往 往 是 与 复 杂 的 数 学 运 算 结 伴 同行 的 “ 会 思 学
考” “ 与 学会 运 算 ” 关 系 可 比喻 为 汽 车 两 边 的 车 轮 不 可 偏 的
废 某 一 方． 为 普 通 中学 的学 生 更 是 要 抓 好 这 一 点 ， 生 在 作 学
程， 因而 解 题 反 思 的对 象 应 逐 渐 南 数 学 知 识 与 数 学 方 法 这 些 相 对 具 体 的 层 面 向数 学 观 念 、 题 策 略 等 更 高 层 次 发 展 ， 解
“ 殊 ” “ 般 ” 间转 换 ， 者 说 不 能 在 “ 殊 ” “ 般 ” 特 与 一 之 或 特 与 一
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教 学 方 法
％ 繇 ＪＡ Ｕ ＡＮ Ａ 一 一 ｉ ｏＸ Ｅ Ｆ ＧＦ 一 一 ～… …
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高皿； 数誊妻习 题
◎ 陈 木 春 （ 北 石 首 新 厂 高级 中 学 湖 ４４ ０ ） ３ ４ １
【 要 】 学解题 活 动本来 是 一种 非常 有趣 的 智 力娱 摘 数
乐 ， 受应 试 教 育 的 影 响 ， 了高 三 ， 少 学 生 对 数 学 题 有 但 到 不
一
二、 深化解 题 反思 是提 高 学生数 学解 题 能 力的有 效途 径 高ｊ学生解题不少 ， 不少学生解 题能力提 高缓慢 ， 但 尤 其 是 当 新 问 题 情 景 出现 时 ， 映 出 的 应 变 与 迁 移 能 力 并 不 反 强 ， 其 原 因 ： 方 面 部 分 教 师 的解 题 教 学 仅 仅 停 留在 表 面 究 一
就 会 引 起 积 极 的强 化 作 用 ． 时 ， 能 及 时 引 导 学 生 对 多 题 此 若
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高中数学专题复习与研究――用分类讨论的的思想解题广东省南海市桂城中学 王宗祥参数广泛地存在于中学数学的各类问题中，也是近几年来高考重点考查的热点问题之一。
以命题的条件和结论的结构为标准，含参数的问题可分为两种类型，。
一种类型的问题是根据参数在允许值范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围或参数应满足的条件。
本文拟就第一类问题的解题思想方法――分类与讨论作一些探讨，不妥之处，敬请斧正。
解决第一类型的参数问题，通常要用“分类讨论”的方法，即根据问题的条件和所涉及到的概念；运用的定理、公式、性质以及运算的需要，图形的位置等进行科学合理的分类，然后逐类分别加以讨论，探求出各自的结果，最后归纳出命题的结论，达到解决问题的目的。
它实际上是一种化难为易。
化繁为简的解题策略和方法。
一、科学合理的分类把一个集合A 分成若干个非空真子集A i （i=1、2、3···n ）（n ≥2，n ∈N ），使集合A 中的每一个元素属于且仅属于某一个子集。
即①A 1∪A 2∪A 3∪···∪A n ＝A ②A i ∩A j ＝φ（i,j ∈N,且i ≠j ）。
则称对集A 进行了一次科学的分类（或称一次逻辑划分）科学的分类满足两个条件：条件①保证分类不遗漏；条件②保证分类不重复。
在此基础上根据问题的条件和性质，应尽可能减少分类。
二、确定分类标准在确定讨论的对象后，最困难是确定分类的标准，一般来讲，分类标准的确定通常有三种：（1）根据数学概念来确定分类标准例如：绝对值的定义是： ⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a所以在解含有绝对值的不等式|log 31x|+|log 31 (3－x)|≥1时，就必须根据确定log 31x ，log 1（3－x ）正负的x 值1和2将定义域（0，3）分成三个区间进行讨论，即0＜x ＜1，1≤x ＜2，2≤x ＜3三种情形分类讨论。
例1、 已知动点M 到原点O 的距离为m ，到直线L ：x ＝2的距离为n ，且m+n ＝4（1）求点M 的轨迹方程。
（2）过原点O 作倾斜角为α的直线与点M 的轨迹曲线交于P,Q 两点，求弦长｜PQ ｜的最大值及对应的倾斜角α。
解：（1）设点M 的坐标为（x,y ），依题意可得：22y x ++2-x = 4根据绝对值的概念,轨迹方程取决于x ＞2还是x ≤2，所以以2为标准进行分类讨论可 得轨迹方程为：y 2= ⎩⎨⎧<≤--<≤--)32()3(12)21()1(4x x x x解（2）如图1，由于P ，Q 的位置变化， 弦长｜PQ ｜的表达式不同，故必须分 点P ，Q 都在曲线y 2=4(x+1)以及一点 在曲线y 2=4(x+1)上而另一点在 曲线y 2=－12（x －3）上可求得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<-<≤+≤=)32(cos 18)30(cos 183(sin 42παπαπαααπαPQ 从而知当3πα=或32πα=时,.316max =PQ （2）根据数学中的定理，公式和性质确定分类标准。
数学中的某些公式，定理，性质在不同条件下有不同的结论，在运用它们时，就要分类讨论，分类的依据是公式中的条件。
例如，对数函数y ＝log a x 的单调性是分0＜a ＜1和a ＞1两种情况给出的，所以在解底数中含有字母的不等式；如log x 31>－1就应以底数x ＞1和0＜x ＜1进行分类讨论，即：当x ＞1时，x 131>, 当0＜x ＜1时，x131<. 又如，等比数列前几项和公式是分别给出的：⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1()1(11q qq a q na S nn所以在解这类问题时，如果q 是可以变化的量，就要以q 为标准进行分类讨论。
例2，设首项为1，公比为q （q ＞0）的等比数列的前n 项和为S n ,又设T n ＝1+n nS S ，n ＝1，2，···求T n解：当q ＝1时，S n ＝n ，T n ＝1+n n, 1lim =∴∞→n n T当q ≠1时，S n ＝111111111+++--=--=--n nn n n nq q T qq S qq 于是当0＜q ＜1时，1lim ,0lim =∴=∞→∞→n n nn T q 当q ＞1时，qT q nn n n 1lim ,01lim=∴=∞→∞→ 综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧>≤<=∞→)1(1)10(1lim q qq T n n（3）根据运算的需要确定分类标准。
例如：解不等式组⎩⎨⎧<<<<a x x 143显然，应以3，4为标准将a 分为1＜a ≤3，3＜a ≤4，a ＞4三种情况进行讨论。
例3，解关于x 的不等式组⎩⎨⎧-<-<1)1(log 22log 22a x a xx a a其中a ＞0且a ≠1。
解，由于不等式中均含有参数a ，其解的状况均取决于a ＞1还是a ＜1，所以1为标准进行分类，（Ⅰ）当0＜a ＜1时，可求得解为:21<<+x a ;（Ⅱ）当a ＞1时，可解得:⎩⎨⎧+<<>102a x x , 此时不等式组是否有解关键取决于1+a与2的大小关系，所以以21=+a 即a ＝3为标准进行第二次分类。
（1）当1＜a ≤3时解集为Φ（2）当a ＞3时解集为 ).1,2(+a 综上所述：当0＜a ＜1时，原不等式解集为 (2, )1+a ;当1＜a ≤3时，解集为Φ；当a ＞3时，解集为 (2,)1+a .三、分类讨论的方法和步骤（1）确定是否需要分类讨论以及需要讨论时的对象和它的取值范围；（2）确定分类标准科学合理分类； （3）逐类进行讨论得出各类结果； （4）归纳各类结论。
例4，若函数f （x ）＝a+bcosx+csinx 的图象经过点（0,1）和（2π,1）两点，且x ∈[0,2π]时，｜f （x ）｜≤2恒成立，试求a 的取值范围。
解：由f （0）＝a+b ＝1，f （2π）＝a+c ＝1，求得b ＝c ＝1－a f （x ）＝a+（1－a ）（sinx+cosx ）＝a+2（1－a ）sin （x+4π）∵1)4(22,4344≤+≤∴≤+≤ππππx sim x ①当a ≤1时，1≤f （x ）≤a ＋2（1－a ）∵｜f （x ）｜≤2∴只要a+2（1－a ）≤2解得a ≥2-∴－2≤a ≤1；②当a ＞1时，a ＋2（1－a ）≤f （x ）≤1，∴只要a ＋2（1－a ）≥－2，解得a ≤4+32 , ∴1＜a ≤4+32，综合①，②知实数a 的取值范围为[－2，4+32]。
例5，已知函数f （x ）＝sim 2x-asim 22x),(R a R x ∈∈ 试求以a 表示f （x ）的最大值b 。
解：原函数化为f （x ）＝16)4()4(cos 22-+--a a x令t ＝cosx ，则－1≤t ≤1记g （t ）＝－（-t 16)4()422-+a a 。
t ∈[－1，1]因为二次函数g （t ）的最大值的取得与二次函数y=g(t)的图象的顶点的横坐标相对于定义域[－1，1]的位置密切相关，所以以4a相对于区间[－1，1]的位置分三种情况讨论： （1）当－1≤4a ≤1，即－4≤a ≤4时，b=g(t)max ＝16)4(2-a , 此时t=4a ;（2）当4a＜－1, 即a ＜－4时，b ＝－a , 此时 t=1-（3）当4a＞1, 即a ＞4时，b ＝0, 此时, t=1 综上所述：b ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-≤≤-->)4()44(16)4()4(02a a a a a 例6、等差数列｛a n ｝的公差d ＜0，S n 为前n 项之和，若S p ＝S q ，（p,q ∈N ，p ≠q ）试用d ，p ，q 表示S n 的最大值。
略解：由S p ＝S q p ≠q 可求得d q p a 211-+-= ∵d ＜0，∴a 1＞0，当且仅当⎩⎨⎧≤≥+001n n a a 时S n 最大。
由a n ≥0 得n ≤21++q p ，由a n+1≤0得，n ≥21-+q p ∴21-+q p ≤n ≤21++q p ，∵n ∈N ，∴要以21-+q p 是否为正整数即p+q 是奇数还是偶数为标准分两类讨论。
（1）当p+q 为偶数时n ＝2q p +，S n 最大且为(S n )max =d q p 8)(2+-（2）当p+q 为奇数时，n ＝21-+q p 或n ＝21++q p , S n 最大，且 为（S n ）max＝d q p 8)(12+- 分类讨论的思想是一种重要的解题策略，对于培养学生思维的严密性，严谨性和灵活性以及提高学生分析问题和解决问题的能力无疑具有较大的帮助。
然而并不是问题中一出现含参数问题就一定得分类讨论，如果能结合利用数形结合的思想，函数的思想等解题思想方法可避免或简化分类讨论，从而达到迅速、准确的解题效果。
例7、解关于x 的不等式：223x x -+≥a －略解：运用数形结合的思想解题如图： 在同一坐标系内作出y ＝223x x -+和y ＝a －x 的图象，以L 1 , L 2, L 3在y 轴上的截距作为分类标准， 知: 当a ≤－1时; －1≤x ≤3 3当－1＜a ≤3时; 27212++--+a a a ≤x ≤3当3＜a ≤1+22时; 2721272122++-++≤≤++--+a a a x a a a 当a ＞1+22时，不等式无解。
例8、实数k 为何值时，方程kx 2+2|x|+k=0有实数解？略解：运用函数的思想解题： 由方程可得k ＝212x x +-因此方程有解时k 的了值范围就是函数f （x ）＝212xx +-的值域，显然－1≤f(x)≤0故－1≤k ≤0即为所求。