高考数学母题解密专题07 圆锥曲线附答案解析(北京专版)

第二步，设方程．根据上述判断设方程为 x2 y2 1(a b 0) 或 y2 x2 1(a b 0) ．
a2 b2
a2 b2
第三步，找关系．根据已知条件，建立关于 a, b, c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系 c2 a2－b2
）．
第四步，得椭圆方程．解方程组，将解代入所设方程，即为所求．
5 ，c
a2 1 ，
∴ a2 1 5 ， a
解得 a 1 ， 2
故选 D.
【名师点评】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中 a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意 在考查学生的转化能力和计算求解能力.
x2
【母题原题 3】【2019 年北京高考（理）】已知椭圆
a2
y2 b2
1（a＞b＞0）的离心率为 1
2
，则
A．a2=2b2
B．3a2=4b2
C．a=2b
D．3a=4b
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意利用离心率的定义和 a, b, c 的关系可得满足题意的等式.
【详解】
椭圆的离心率 e c 1 , c2 a2 b2 ,化简得 3a2 4b2 , a2
故选 B. 【名师点评】本题考查椭圆的标准方程与几何性质,属于容易题,注重基础知识､基本运算能力的考查.
顶点 轴 渐近线 离心率 e
A1(a, 0), A2 (a, 0)
A1(0, a), A2 (0, a)
线段 A1A2 是双曲线的实轴，线段 B1B2 是双曲线的虚轴；
实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b
ybx a
yax b
e 2c c (e 1) 2a a
1．（2020·北京顺义·高三一模）抛物线 y2 2 px p 0 的焦点是双曲线 x2 y2 p 的一个焦点，则 p
【分析】
依据题意不妨作出焦点在 x 轴上的开口向右的抛物线，根据垂直平分线的定义和抛物线的定义可知，线段 FQ 的垂直平分线经过点 P ，即求解.
【详解】
如图所示：
．
因为线段 FQ 的垂直平分线上的点到 F , Q 的距离相等，又点 P 在抛物线上，根据定义可知， PQ PF ，所以线段 FQ 的垂直平分线经过点 P .
6．抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解． 7．有关抛物线上一点 M 到抛物线焦点 F 和到已知点 E（E 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依
据抛物线的图形，过点 E 作准线 l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点 F 和到已知点 E 的距离之 和是最小值．
（2）只需要根据一个条件得到关于 a, b, c 的齐次式，结合 b2 a2－c2 转化为 a,c 的齐次式，然后等式
（不等式）两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 或 e2 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得 e（e 的取值范围）．
3．在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值 为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一 支．同时注意定义的转化应用．求双曲线方程时，一是注意判断标准形式；二是注意 a、b、c 的关系易 错易混.
（）
A． 2 2
B．8
C．4
D．1பைடு நூலகம்
2．（2020·北京市八一中学高三月考）已知抛物线 x2 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4，则点 A 到抛物线焦点的
距离为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
3．（2020·北京东城·高三一模）若双曲线 C :
x2
y2 b2
1b
0 的一条渐近线与直线
不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.
4．抛物线的离心率 e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦 半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即
PF
x
p
或
PF
y
p
，使问题简化．
2
2
8．与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦 长公式是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是 p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标 的差，这是正确解题的关键．
（3） S△PF1F2
1 2
|
PF1
||
PF2
|·sin
．
2．解决已知椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求 解．
3．与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．理解顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了．
4．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已
经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
5．确定及应用抛物线性质的关键与技巧： （1）关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． （2）技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解．
专题 07 圆锥曲线
【母题原题 1】 【2020 年北京高考】设抛物线的顶点为 O ，焦点为 F ，准线为 l ． P 是抛物线上异于 O 的一点，过 P 作 PQ l 于 Q ，则线段 FQ 的垂直平分线（ ）．
A．经过点 O
B．经过点 P
C．平行于直线 OP
D．垂直于直线 OP
【答案】B
【解析】
y2 b2 k
1(a
0,b
0,
b2 k a2 ) ．
（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为 mx2 ny2 1mn 0 ．
（ 6） 与 椭 圆
x2 a2
y2 b2
1(a>b>0)有 共 同 焦 点 的 双 曲 线 方 程 可 设 为
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0,
b2 a2) ．
和解三角形知识的结合，利用数形结合思想以及题中隐含的相等关系或不等关系列方程或者不等式，进 而求离心率的取值或取值范围．
2．双曲线问题一般以选择题或填空题的形式考查，主要以双曲线的标准方程、渐近线、离心率为主，注 意双曲线的定义和解三角形知识的结合，利用数形结合思想以及题中隐含的相等关系或不等关系列方程 或者不等式，进而求离心率的取值或取值范围．
8．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式：
（1）焦点在
x 轴上的双曲线的标准方程为
x2 a2
y2 b2
1(a＞0，b＞0)，焦点分别为
F1(－c，0)，F2(c，
0)，焦距为 2c，且 c2 a2 b2 ，如图 1 所示；
（2）焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程为
y2 a2
x2 b2
x2 a2
y2 b2
(a
0,b
0,
0) ．
（3）若双曲线的渐近线方程为
y
n m
x ，则双曲线方程可设为
x2 m2
y2 n2
(m
0, n
0,
0) 或
n2 x2 m2 y2 (m 0, n 0, 0) ．
x2
（4）与双曲线
a2
y2 b2
1(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为
x2 a2 k
弦定理．以椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 上一点
P(x0 ,
y0 )
( y0
0) 和焦点
F1
(－c，0)，F2
(c，0)为顶点
的 △PF1F2 中，若 F1PF2 ，注意以下公式的灵活运用：
（1）| PF1 PF2 | 2a ；
（2） 4c2 | PF1 |2 | PF2 |2 －2 | PF1 || PF2 | cos ；
9．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论．特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程．
【方法总结】
1．椭圆定义的集合语言: P {M || MF1 MF2 | 2a, 2a | F1F2 |} 往往是解决计算问题的关键，椭圆上的
一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余
故选：B. 【名师点评】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
【母题原题
2】【2019
年北京高考（文）】已知双曲线
x2 a2
y2
1（a＞0）的离心率是
5 则 a=
A． 6
B．4
C．2
1
D．
2
【答案】D
【解析】
【分析】
本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于 a 的方程求解.
【详解】
∵双曲线的离心率 e c a
离心率公式变形，即 e c a
1 b2 a2
1 ，注意区分双曲线中 a，b，c 的关系与椭圆中
1
b2 c2
a，b，c 的关系，在椭圆中 a2 b2 c2 ，而在双曲线中 c2 a2 b2 .
（2）根据条件列含 a, c 的齐次方程，利用双曲线的离心率公式 e c 转化为含 e 或 e2 的方程，求解可 a
注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨
论或把椭圆的方程设为 mx2 ny2＝1(m 0，n 0且m n) ．
2．椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：