九年级数学上册《第三章证明》教案(2)人教新课标版
人教版九年级数学上册教学计划【精选6篇】
人教版九年级数学上册教学计划【精选6篇】(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《命题+定理与证明》教案
《命题、定理与证明》教案第一章：命题的概念与分类1.1 命题的定义引入命题的概念，让学生理解命题是由题设和结论组成的陈述句。
举例说明命题的正确性和错误性。
1.2 命题的分类分类介绍简单命题和复合命题，包括并列命题、蕴含命题和条件命题。
引导学生理解命题的逻辑关系，如且、或、非等。
第二章：定理与证明2.1 定理的定义与特点解释定理的概念，强调定理是经过证明的命题。
引导学生了解定理的重要性和应用价值。
2.2 证明的方法与要求介绍直接证明、反证法、归纳法等常见的证明方法。
强调证明的逻辑严密性和步骤完整性。
第三章：几何定理与证明3.1 几何定理的分类分类介绍几何定理，如三角形的性质定理、四边形的性质定理等。
强调几何定理在几何学中的基础性作用。
3.2 几何证明的基本步骤与技巧引导学生掌握几何证明的基本步骤，包括命题的引入、证明的假设、证明的逻辑推理和结论的得出。
介绍几何证明中常用的技巧，如相似三角形的性质、平行线的性质等。
第四章：代数定理与证明4.1 代数定理的分类分类介绍代数定理，如多项式的性质定理、方程的解的定理等。
强调代数定理在代数学中的基础性作用。
4.2 代数证明的基本步骤与技巧引导学生掌握代数证明的基本步骤，包括命题的引入、证明的假设、证明的逻辑推理和结论的得出。
介绍代数证明中常用的技巧，如因式分解、恒等式的性质等。
第五章：命题、定理与证明的应用5.1 命题、定理与证明在数学中的应用通过实际问题引入命题、定理与证明的应用，让学生理解其在数学问题解决中的重要性。
引导学生运用命题、定理与证明的方法解决实际问题。
5.2 命题、定理与证明在其他学科中的应用引导学生思考命题、定理与证明在其他学科中的应用，如物理学、化学等。
鼓励学生探索命题、定理与证明在生活中的应用。
第六章：逻辑推理与命题、定理6.1 逻辑推理的基本概念引入逻辑推理的概念，让学生理解逻辑推理是推理的一种，是思维的基本形式。
解释演绎推理、归纳推理和类比推理等逻辑推理的基本类型。
2023年秋新课标人教版九年级数学教案(全册)
2023年秋新课标人教版九年级数学教案(全册)第一单元：有理数课时安排- 第一课时：正数和负数的概念和表示法（1课时）- 第二课时：有理数的加法和减法（2课时）- 第三课时：有理数的乘法和除法（2课时）- 第四课时：有理数的混合运算（1课时）教学目标1. 了解正数、负数的概念及表示法；2. 掌握有理数的加法和减法运算方法；3. 掌握有理数的乘法和除法运算方法；4. 能够在各种情境中，灵活应用有理数的混合运算。
教学重点- 有理数的加法和减法运算；- 有理数的乘法和除法运算；- 有理数的混合运算。
教学难点- 有理数的混合运算。
教学准备- 教师：课件、教案、教具；- 学生：课本、作业本。
教学过程第一课时：正数和负数的概念和表示法（1课时）1. 导入新课：通过生活中的例子向学生引入正数和负数的概念。
2. 创设情境：提出有关温度正负数的问题，引导学生思考不同情境下正数和负数的含义。
3. 概念讲解：讲解正数和负数的定义及表示法，通过示意图和实际例子进行说明。
4. 练：让学生完成课本上的相关练。
第二课时：有理数的加法和减法（2课时）1. 复：复正数和负数的概念和表示法。
2. 讲解有理数的加法和减法原则：同号相加、异号相减。
3. 案例分析：通过案例讲解加法和减法的具体步骤和注意事项。
4. 练：让学生完成课本上的相关练，加深对加法和减法运算的理解。
第三课时：有理数的乘法和除法（2课时）1. 复：复有理数的加法和减法原则。
2. 讲解有理数的乘法和除法原则：同号为正，异号为负。
3. 案例分析：通过案例讲解乘法和除法的具体步骤和注意事项。
4. 练：让学生完成课本上的相关练，提高对乘法和除法运算的熟练程度。
第四课时：有理数的混合运算（1课时）1. 复：复有理数的加法、减法、乘法和除法原则。
2. 讲解有理数的混合运算方法：先乘除后加减。
3. 练：让学生完成课本上的相关练，巩固对有理数混合运算方法的掌握程度。
课堂总结- 总结本单元研究内容，强调正数和负数的概念及表示法，以及有理数的加减乘除运算方法。
新课标人教版教材数学九年级上册教学计划
数学九年上册教课划九年特别，既要达成新的教课任，又要考到在九年下册初中段整个数学知行全面、系的复。
因此在拟订九年上学期的教课划，必定要注意的安排，同掌握好教课度。
一、学情剖析通上期末剖析，本班学生计在很重的两极分化。
一是平成比突出的学生基本上掌握了学的数学的方法和技巧，但学数学趣不厚，怕吃苦，，少，欠研精神；二是相当部分学生因各样原由，数学已落伍很很，基本失了学数学的趣。
二、指思想1、持党的十八大教育方，以《初中数学新程准》准，深入展开新程教课改革。
以提升学生中考成出点，着重培育学生的基知和基本技术，提升学生解答的能力。
2、通本学期的堂教课，达成九年上册数学教课任。
3、依据状况，适合达成九年下册新授教课内容。
三、教课目1、知技术目：掌握二次根式的观点、性及算；会解一元二次方程；理解旋的基天性；掌握及与相关的观点、性；理解概率在生活中的用。
2、程方法目：培育学生的察、研究、推理、的能力，展学生合情推理能力、推理能力和推理表达能力，提升知适用能力。
3、度感情目：一步感觉数学与平时生活密不行分的系，同学生行唯物主世界教育。
四、教材剖析1、第21章一元二次方程：本章主假如掌握配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程，并运用一元二次方程解决。
本章要点是解一元二次方程的思路及详细方法。
本章的点是解一元二次方程。
2、第22章二次函数：.通情境的剖析确立二次函数的表达式，领会二次函数的意。
会用描点法画出二次函数的像，从像上函数的性。
会依据公式确立像的点和称，并能解决的。
会用二次函数的像求一元二次方程的近似解。
3、第23章旋：本章主假如研究和理解旋的性，能按要求作出平面形旋后的形。
本章的要点是中心称的观点、性与作。
本章的点是辨中心称形，按要求作出平面形旋后的形。
4、第24章：理解及相关观点，掌握弧、弦、心角的关系，研究点与、直与、与之的地点关系，研究周角与心角的关系，直径所周角的特色，切与切点的半径之的关系，正多形与的关系⋯⋯。
高中数学第三章推理与证明2数学证明教案(含解析)北师大版选修1_2
2数学证明数学证明看下面两个命题：(1)三角函数都是周期函数，y ＝tan x 是三角函数，所以y ＝tan x 是周期函数；(2)循环小数是有理数，0.332·是循环小数，所以0.332·是有理数． 问题1：这两个问题中的第一句都说明什么？ 提示：一般性道理． 问题2：第二句又说什么？提示：特殊示例． 问题3：第三句呢？提示：由一般性道理对特殊示例作出判断．1．演绎推理的一般模式三段论是最常见的一种演绎推理形式，包括 大前提：一般性道理； 小前提：研究对象的特殊情况； 结论：由大前提和小前提作出的判断． 2．合情推理与演绎推理的关系合情推理是认识世界、发现问题的基础，演绎推理是证明命题、建立理论体系的基础．1．数学问题的解决和证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，解决问题的关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提．2．三段论中的大前提提供了一个一般性原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般性原理与特殊情况的内在联系，从而得到了第三个命题——结论．3．三段论推理的结论正确与否，取决于两个前提是否正确，推理形式是否正确．把演绎推理写成三段论[例1](1)等腰三角形的两底角相等，∠A，∠B是等腰三角形的两底角，则∠A＝∠B.(2)以a n＝2n＋3为通项公式的数列{a n}为等差数列．[思路点拨] 首先分析出每个题的大前提、小前提及结论，再利用三段论形式写出来．[精解详析] (1)等腰三角形两底角相等，大前提∠A，∠B是等腰三角形的两底角，小前提∠A＝∠B.结论(2)数列{a n}中，如果当n≥2时，a n－a n－1为常数，则{a n}为等差数列，大前提通项公式a n＝2n＋3时，若n≥2，则a n－a n－1＝2n＋3－[2(n－1)＋3]＝2(常数)，小前提以a n＝2n＋3为通项公式的数列为等差数列．结论[一点通] 三段论由大前提、小前提和结论组成．大前提提供一般性原理，小前提提供特殊情况，两者结合起来，体现一般性原理与特殊情况的内在联系，在用三段论写推理过程时，关键是明确命题的大、小前提，而大、小前提在书写过程中是可以省略的．1．推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是( )A．①B．②C．③ D．①和②解析：选B ①是大前提，②是小前提，③是结论．2．“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等．”此推理的大前提为( )A．正方形的对角线相等B．矩形的对角线相等C．等腰梯形的对角线相等D．矩形的对边平行且相等答案：B3．用三段论的形式写出下列演绎推理．(1)能被2整除的数都是偶数，34能被2整除，所以34是偶数．(2)奇函数f(x)若在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0.现有f(x)＝x，x∈R是奇函数，则有f(0)＝0.解：(1)能被2整除的数都是偶数， (大前提)34能被2整除， (小前提)所以34是偶数． (结论)(2)奇函数f(x)若在x＝0处有定义，则必有f(0)＝0，(大前提)f(x)＝x，x∈R是奇函数，且在x＝0处有定义， (小前提)则有f(0)＝0.(结论)演绎推理的判断[例2](1)自然数是整数，大前提－6是整数，小前提所以，－6是自然数．结论(2)中国的大学分布在中国各地，大前提北京大学是中国的大学，小前提所以，北京大学分布在中国各地．结论(3)三角函数是周期函数，大前提y＝sin x(0＜x＜π)是三角函数，小前提y＝sin x(0＜x＜π)是周期函数．结论[思路点拨] 判断三段论推理是否正确，必须严格按其推理规则进行考察，其推理规则为：所有M都是P，S是M，则S是P.既要看大前提、小前提是否有误，也要看推理形式是否合乎规范．[精解详析] (1)推理形式错误，自然数是整数为大前提，小前提应是判断某数为自然数，而不是某数为整数．(2)推理形式错误，大前提中M是“中国的大学”，它的含义是中国的每一所大学，而小前提中的“中国的大学”仅表示中国的一所大学，二者是两个不同的概念，犯了偷换概念错误．(3)推理形式错误，大前提中的“三角函数”和小前提中的“三角函数”概念不同．[一点通] 判断演绎推理是否正确的方法(1)看推理形式是否为由一般到特殊的推理，只有由一般到特殊的推理才是演绎推理，这是最易出错的地方；(2)看大前提是否正确，大前提往往是定义、定理、性质等，注意其中有无前提条件；(3)看小前提是否正确，注意小前提必须在大前提范围之内；(4)看推理过程是否正确，即看由大前提、小前提得到的结论是否正确．4．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确解析：选A 若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．5．观察下面的演绎推理过程，判断正确的是( )大前提：若直线a⊥直线l，且直线b⊥直线l，则a∥b.小前提：正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1⊥AA1，且AD⊥AA1.结论：A1B1∥AD.A．推理正确B．大前提出错导致推理错误C．小前提出错导致推理错误D．仅结论错误解析：选B 由l⊥a，l⊥b得出a∥b只在平面内成立，在空间中不成立，故大前提错误.用三段论证明几何问题[例3] DE∥BA，求证：ED ＝AF，写出三段论形式的演绎推理．[思路点拨] 证明ED＝AF，可证明四边形AEDF为平行四边形．[精解详析] 因为同位角相等，两条直线平行，大前提∠BFD与∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提所以FD∥AE.结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，大前提DE∥BA，且FD∥AE，小前提所以四边形AFDE为平行四边形．结论因为平行四边形的对边相等，大前提ED和AF为平行四边形AFDE的对边，小前提所以ED＝AF.结论[一点通](1)三段论推理的根据，从集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P.(2)在几何证明题中，每一步实际上都暗含着一般性原理，都可以分析出大前提和小前提，把一般性原理用于特殊情况，从而得到结论．6．已知△ABC中，A＝30°，B＝45°，求证：a<b.证明：∵A＝30°，B＝45°，∴A<B.∴a<b.此问题的证明过程中蕴含的“三段论”中的大前提是________________．解析：大前提是三角形中“大边对大角，小边对小角”的一个结论．答案：在△ABC中，若A<B，则a<b7.如图，已知在梯形ABCD中，AB＝DC＝DA，AC和BD是梯形的对角线．求证：AC平分∠BCD.证明：∵等腰三角形两底角相等，大前提△ADC是等腰三角形，∠1和∠2是两个底角，小前提∴∠1＝∠2.结论∵两条平行线被第三条直线截得的内错角相等，大前提∠1和∠3是平行线AD，BC被AC截得的内错角，小前提∴∠1＝∠3.结论∵等于同一个角的两个角相等，大前提∠2＝∠1，∠3＝∠1，小前提∴∠2＝∠3，即AC平分∠BCD.结论用三段论证明代数问题[例4] 已知n124成等差数列，又b n 1(n＝1，2,3，…)．证明：{b n}为等比数列．＝a2n[证明] ∵lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，∴2lg a2＝lg a1＋lg a4，即a22＝a1a4.设{a n}的公差为d，即(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，a1d＝d2，从而d(d－a1)＝0.①若d ＝0，{a n }为常数列，相应{b n }也是常数列，此时{b n }是首项为正数，公比为1的等比数列．②若d ＝a 1≠0，则a 2n ＝a 1＋(2n－1)d ＝2nd ，b n ＝1a 2n ＝12n d. 这时{b n }是首项b 1＝12d ，公比为12的等比数列．综上可知，{b n }为等比数列． [一点通](1)在证明或推理过程中，对于大前提，有一些是我们早已熟悉的公理、定理、定义、性质、公式，这些内容很多时候在证明或推理的过程中可以直接利用，不需再重新指出．因此，就会出现隐性三段论．(2)本题在推理过程中，好似未用到演绎推理的三段论，其实不然．只是大前提“等比数列的判定方法”在证明过程中省略，并不影响结论的正确性．8．“因为y ＝sin x 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数，所以sin 3π7>sin 2π5”，上述推理中，大前提为________________，小前提为________________，结论为________________．答案：y ＝sin x 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的增函数 3π7∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，且3π7>2π5 sin 3π7>sin 2π59．已知函数f (x )＝ax＋bx ，其中a >0，b >0，x ∈(0，＋∞)，确定f (x )的单调区间，并证明在每个单调区间上的增减性．解：设0<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1＋bx 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 2＋bx 2 ＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a x 1x 2－b .当0<x 1<x 2≤ab时，则 x 2－x 1>0,0<x 1x 2<a b ，ax 1x 2>b ，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， ∴f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，a b 上是减少的．当x 2>x 1≥ab时，则 x 2－x 1>0，x 1x 2>a b ，ax 1x 2<b ，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫a b ，＋∞上是增加的．1．应用三段论解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提．但为了叙述简洁，如果大前提是人们熟知的，则可以省略不写．2．合情推理与演绎推理是常见的两种推理方式，二者的主要区别与联系是： 推理方式 意义主要形式 结论的真假 合情推理 认识世界、发现问题的基础 归纳推理、 类比推理 不确定 演绎推理证明命题、建立理论体系的基础三段论真1．下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B 对于A ，小前提与结论互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确；对于C 和D ，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．故选B.2．“9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故此奇数是3的倍数”，上述推理是( )A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错解析：选C ∵大前提，小前提，推理形式都正确，∴结论正确．3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，∴b 2＋c 2－a 2＜0，∴a 2＞b 2＋c 2.4．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③解析：选A 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．5.如图，α⊥β，α∩β＝l ，P ∈α，PO ⊥l 交l 于O ，则可以得到的结论是________．解析：由面面垂直的性质定理知PO ⊥β. 答案：PO ⊥β6．函数y ＝2x ＋5的图像是一条直线，用三段论表示为： 大前提：_____________________________________________； 小前提：_____________________________________________； 结 论：_____________________________________________. 答案：一次函数的图像是一条直线 函数y ＝2x ＋5是一次函数 函数y ＝2x ＋5的图像是一条直线7．已知a ，b ，m 均为正实数，b <a ，用三段论形式证明b a <b ＋ma ＋m. 证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)b <a ，m >0， (小前提)所以，mb <ma . (结论) 因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向， (大前提)mb <ma ， (小前提)所以，mb ＋ab <ma ＋ab ，即b (a ＋m )<a (b ＋m )， (结论) 因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向， (大前提)b (a ＋m )<a (b ＋m )，a (a ＋m )>0， (小前提)所以，b a ＋m a a ＋m <a b ＋m a a ＋m ，即b a <b ＋ma ＋m. (结论)8.如图，正三棱柱ABC A 1B 1C 1的棱长均为a ，D ，E 分别为C 1C ，AB 的中点，A 1B 交AB 1于点G .(1)求证：A 1B ⊥AD ； (2)求证：CE ∥平面AB 1D .证明：(1)如图，连接A 1D ，DG ，BD ，∵三棱柱ABC A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱， ∴四边形A 1ABB 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1. ∵D 是C 1C 的中点， ∴△A 1C 1D ≌△BCD ，∴A 1D ＝BD .∵G 为A 1B 的中点， ∴A 1B ⊥DG . 又∵DG ∩AB 1＝G ， ∴A 1B ⊥平面AB 1D ，又∵AD 平面AB 1D ，∴A 1B ⊥AD . (2)连接GE ，∵EG ∥A 1A ，DC ∥AA 1， ∴GE ∥DC .∵GE ＝12AA 1＝12a ，DC ＝12CC 1＝12a ，∴GE ＝DC .∴四边形GECD 为平行四边形，∴EC ∥GD .又∵E C ⃘平面AB 1D ，DG 平面AB 1D ， ∴EC ∥平面AB 1D .9．求证：函数f (x )＝2x－12x ＋1是奇函数且在定义域上是增函数．证明：f (x )＝2x＋1－22x＋1＝1－22x ＋1， 所以f (x )的定义域为R.f (－x )＋f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－22－x＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1 ＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2x ＋22－x ＋1＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋2x ＋2·2x1＋2x＝2－21＋2x1＋2x＝2－2＝0，即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－21＋2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋2x 2 ＝22x 1－2x 21＋2x 21＋2x 1，由于x 1<x 2，从而2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0. 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )为增函数．。
北师大版九年级数学上册第三章证明(三)回顾与思考(第一课时)导学案
形成结论：
小组长评价：
课堂小结：
通过本节课的学习，你收获了什么?
达标检测：
1、(15分)在□ABCD中，O为对角线AC、BD的交点，则图中共有( )对全等三角形.
A、2对；B、3对；C、4对；D、5对.
2、(15分)菱形的对角线长分别是12cm，15cm，则菱形的面积是cm2.
3、(15分)三角形三条中位线围成的三角形的周长为20，则原三角形的周长为.
4、(15分)已知CD是Rt△ABC斜边上的中线，且AC=5，BC=12，则CD=.
5、(15分)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD，AB=1cm，AD=6cm，CD=9cm，则BC=cm.
6、(25分)已知：如图，四边形ABCD是一个正方形，E是BC延长线上的一个点，且AC=EC.求∠DAE的度数.
哲觉中学九年级数学学科导学案(个案)
主备人：苏勇审核人：审批人：编号：
执教人：苏勇使用时间：2013年10月16日学生姓名：班级：九年级(2)班
课题：
第三章证明（三）回顾与思考
课型：
复习课
教师复备栏或学生笔记栏
学习目标：
1、通过复习各种四边形的性质定理，进一步提高推理论证能力；
2、体会三角形的中位线性质的应用.
学习重点、难点：
重点：利用各种四边形的性质解决具体的问题.
难点：四边形性质的灵活应用.
知识链接：
学法指导：
先写后说，互动交流.
自主学习：
1、各类四边形的性质：
2、三角形中位线的定义：叫做三角形的中位线.
3、三角形中位线的性质定理：三角形的中位线平行于，且等于.
4、直角三角形斜边上的中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于
高中数学 第三章 三角恒等变换 第二节 简单的三角恒等变换(第二课时)示范教案数学教案
第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时导入新课思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π4－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开． 思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，本节主要研究函数y ＝a sin x ＋b cos x 的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能． 推进新课新知探究 提出问题①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期，最大值和最小值是多少？ ②函数y ＝a sin x ＋b cos x 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是2π，函数y ＝sin2x 的周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．函数y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋b a 2＋b2cos x )，∵(a a 2＋b2)2＋(b a 2＋b2)2＝1，从而可令a a 2＋b2＝cos φ，b a 2＋b 2＝sin φ，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．因此，我们有如下结论：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．讨论结果：①y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.②～③(略)见活动．应用示例思路1例1如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α. 求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行： (1)找出S 与α之间的函数关系； (2)由得出的函数关系，求S 的最大值． 解：在Rt△OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α，图1在Rt△OAD 中，DA OA＝tan60°＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36 ＝13(32sin2α＋12cos2α)－36＝13sin(2α＋π6)－36.由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36.因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36.点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.[0，π]上的单调递增区间．活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：y＝sin4x＋23sin x cos x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x －π6)．故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，π3]，[5π6，π]．点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值． 活动：学生在解此题时，对f (x )是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f (x )的图象关于M (3π4，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题．一般地，定义在R 上的函数y ＝f (x )对定义域内任意x 满足条件：f (x ＋a )＝2b －f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，所以，得cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，得f (3π4－x )＝－f (3π4＋x )．取x ＝0，得f (3π4)＝－f (3π4)，所以f (3π4)＝0.∵f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0.又ω>0，得3ωπ4＝π2＋k π，k ＝0,1,2，….∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．所以，综合得ω＝23或ω＝2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的Rt△ABC 中，∠A ＝90°，a 为斜边，∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n ，且a 2＝2mn .问：是否能在区间(π，2π]中找到角θ，恰使等式cos θ－sin θ＝4(cosB ＋C2－cosB －C2)成立？若能，找出这样的角θ；若不能，请说明理由．图2解：在Rt△BAD 中，AB m ＝cos B 2，在Rt△BAC 中，ABa＝sin C ，∴m cos B2＝a sin C .同理，n cos C2＝a sin B .∴mn cos B 2cos C2＝a 2sin B sin C .而a 2＝2mn ，∴cos B 2cos C 2＝2sin B sin C ＝8sin B 2·cos B 2cos C 2sin C 2.∴sin B 2sin C 2＝18.积化和差，得4(cosB ＋C2－cosB －C2)＝－1，若存在θ使等式cos θ－sin θ＝4(cos B ＋C2－cosB －C2)成立，则2cos(θ＋π4)＝－1，∴cos(θ＋π4)＝－22.而π<θ≤2π，∴5π4<θ＋π4≤9π4.∴这样的θ不存在． 点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论. 例2已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43.从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2α－β＋tan β1－tan2α－βtan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1.又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13<1.且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2.又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)，∴π2<β<π，－π<－β<－π2.∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α；若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．知能训练课本本节练习4.解答：4.(1)y ＝12sin4x .最小正周期为π2，递增区间为[－π8＋k π2，π8＋k π2](k ∈Z )，最大值为12；(2)y ＝cos x ＋2.最小正周期为2π，递增区间为[π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )，最大值为3；(3)y ＝2sin(4x ＋π3)．最小正周期为π2，递增区间为[－5π24＋k π2，π24＋k π2](k ∈Z )，最大值为2.课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．作业课本复习参考题A组11、12.设计感想1．本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y＝a sin x＋b cos x 的函数转化为形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题 1.sin10°＋sin20°cos10°＋cos20°的值是( )A ．tan10°＋tan20° B.33C ．tan5°D ．2－ 3 答案：D2．若α－β＝π4，则sin αsin β的最大值是( )A.2－24 B.2＋24C.34 D ．1 答案：B3．若cos αsin x ＝12，则函数y ＝sin αcos x 的值域是( )A ．[－32，12]B ．[－12，12]C ．[－12，32] D ．[－1,1]答案：B4．log 2(1＋tan19°)＋log 2(1＋tan26°)＝________. 答案：15．已知函数f (x )＝cos2x cos(π3－2x )，求f (x )的单调递减区间、最小正周期及最大值．答案：解：f (x )＝12[cos π3＋cos(4x －π3)]＝12cos(4x －π3)＋14，由2k π≤4x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得原函数的单调递减区间是[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )，T ＝π2，最大值是34. 6．已知sin A ＝－35，cos B ＝－941，A ∈(3π2，2π)，B ∈(π，3π2)，求sin(2A －B2)的值，并判定2A －B2所在的象限．答案：解：cos A ＝45，sin2A ＝－2425，cos2A ＝1－2sin 2A ＝725， ∵B ∈(π，3π2)， ∴B 2∈(π2，3π4)． ∴sin B 2＝541，cos B 2＝－441. ∴sin(2A －B 2)＝sin2A cos B 2－cos2A sin B 2＝61411 025. 又cos(2A －B 2)＝cos2A cos B 2＋sin2A sin B 2<0， ∴2A －B 2是第二象限角． 7．已知f (0)＝a ，f (π2)＝b ，解函数方程：f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·cos y . 答案：解：分别取⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝t ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2＋t ，y ＝π2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝π2＋t ，代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ f t ＋f －t ＝2f 0·cos t ， ①f π＋t ＋f t ＝0， ②f π＋t ＋f －t ＝－2f π2·sin t ， ③①＋②－③，得2f (t )＝2f (0)cos t ＋2f (π2)sin t . ∵f (0)＝a ，f (π2)＝b ， ∴f (x )＝a cos x ＋b sin x .。
九年级数学上册《第三章证明(三)》回顾与思考(一)教案
九年级数学上册《第三章证明（三）》回顾与思考（一）教案学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经对平行四边形、矩形、菱形、正方形的一些相关性质和判定的定理有所了解，在本章前面几节课中，又学习了三角形中位线的定义和性质，并探索了连接四边形各边中点所成的四边形的形状等结论，还通过特殊四边形的学习，掌握了直角三角形斜边中线的性质以及判定一个三角形为直角三角形的定理。
学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，已经经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会了合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。
掌握了简单证明的方法，解决了简单的现实问题，同时在以前的数学学习中学生已经经历很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作与交流的能力。
二、教学任务分析教科书基于学生对平行四边形、特殊平行四边形性质判定扎实掌握的基础之上，提出了本课的具体学习任务：体会在证明过程中所运用的归纳、转化等数学思想方法。
通过小组的交流讨论，使学生对所学内容在思想方法上有一定的提升。
为此，本节课的教学目标是：①能够理顺平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，熟练掌握这些四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述已知、求证、证明。
②掌握三角形中位线的定义和性质，能够推导出依次连接一个四边形四条边的中点所构成的四边形是什么特殊四边形。
③会熟练应用所学定理进行证明。
体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。
④学会对证明方法的总结。
三、教学过程分析本节课是证明（三）回顾与思考的第一个课时，这一课时主要是对定理的理顺，由于在证明（一）、（二）中，一些相关的定理曾以结论的形式串联总结过，因此学生已经了解定理及一些它们之间的关系，而且有一定的能力可以将这些定理以一个线索串联，所以这一课时共分四个环节：第一个环节，台下准备——学生搜集整理资料；第二环节：台上展示——学生创设线索展示成绩；第三环节：你圈我点——师生共同反思小结；第四环节：布置作业。
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课题第三章证明
知
识
结
构
第三章证明（三）
平行四边形的性质边：对边平行且相等
角：对角相等，邻角互补
对角线：互相平分
平行四边形的判定 1两组对边分别平行的四边形是平行四边形
2两组对边分别相等的四边形是平行四边形
3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
4对角分别相等的四边形是平行四边形
5对角线互相平分的四边形是平行四边形
矩形的性质：四个角是直角，对角线相等
判定1有一个角是直角的平行四边形是矩形
2三个角是直角的平行四边形是矩形
3对角线相等的平行四边形是矩形
菱形的性质：四个边相等，对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角判别： 1．对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
2 四条边都相等的四边形是菱形．
3 一组邻边相等的平行四边形是菱形
本章教学地位
本章的设计思路与第一章类似，从内容上它是《证明》（一）和《证明》（二）的继续，在本章中，作为论证前提的结论更加丰富，因此证明的方法和过程对学生更具挑战性。
本章强调新旧内容的联系，强调直观与抽象的结合，此为，教科书还注意渗透和归纳、类比、转化等数学思想方法。
教科书还注意引导学生探索证明的不同思路和方法，并进行适当的比较和讨论，以开阔学生的视野，培养学生的思维能力。
教学目标1 经历和探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理论证能力
2进一步掌握综合法的证明方法，能够证明与平行四边形、等腰梯形、矩形、菱形、以及正方形等有关的性质定理及判定定理，并能够证明其他相关的结论。
3体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法，
教学重点及其原因1、掌握平行四边形的性质定理，证明平行四边形的判定定理及相关结论。
掌握和运用
三角形中位线定理。
2、掌握矩形的性质和判定以及证明方法，菱形的性质及判定定理的证明．
3、特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．
课
时
安
排
第三章证明（三）
1 平行四边形 3 课时
2 特殊的平行四边形
3 课时
回顾和思考 2 课时
教学难点及其原因
1、探索证明过程，感悟归纳类比、转化的数学思想。
探索证明的思路和方法
2、三角形中位线定理的证明
3、运用综合法证明矩形性质和判定。
4、菱形的性质及判定定理的证明．
5、特殊四边形——矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的灵活应用．
教学
方
法
讲练结合启问——交流式教学法互动学习法。