14.3.1因式分解练习题(提取公因式)
14.3 因式分解(讲+练)【14大题型】
14.3 因式分解因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.注意：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.题型1：因式分解的概念1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解且完全正确的是（ ）A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4B．x2﹣2x﹣3＝x（x﹣2）﹣3C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2D．x3﹣x＝x（x2﹣1）【变式1-1】下列各式的变形中，属于因式分解的是( )A．(x+1)(x−3)=x2−2x−3B．x2−y2=(x+y)(x−y)C．x2−xy−1=x(x−y)D．x2−2x+2=(x−1)2+1【变式1-2】下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A．a(x+y)=ax+ay B．a2−4=(a+2)(a−2)题型2：找公因式2.代数式 15a 3b 3(a−b) ， 5a 2b(b−a) ， −120a 3b 3(a 2−b 2) 中的公因式是（ ）A ．5a 2b(b−a)B ．5a 2b 2(b−a)C ．5ab(b−a)D ．120a 3b 3(b 2−a 2)提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法。
注意：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.题型3：提公因式法分解因式3.（1）分解因式：a 2-3a ； （2）分解因式：3x 2y-6xy 2．m m题型4：提公因式法与整体思想4.已知xy=-3，满足x+y=2，求代数式x2y+xy2的值．题型5：平方差公式法分解因式5.因式分解：m2（1）a2-9；（2）25−14题型6：完全平方公式法分解因式6.因式分解：（1）x2-4x+4．（2）16m2-8mn+n2．（3）4x2+20x+25；7.因式分解：（1）x2-3x+2；（2）x2-2x-15（3）x2-7x+12．题型8：分组分解法分解因式8.因式分解：（1）x2+4x-a2+4．（2）9-x2+2xy-y2．题型9：利用因式分解简便运算9.计算：（1）2022+202×196+982（2）652-352；10.已知多项式2x-x+m有一个因式(2x+1),求m的值.题型11：利用因式分解求代数式的值11.已知a+b=5，ab=3，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．题型12：利用因式分解解决整除问题12.求证：对于任意自然数n，（n+7）2-（n-5）2都能被24整除.题型13：因式分解与几何问题13.如图，边长为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，计算a2b+2ab+ab2的值．a2+4ab+3b2因式分解.【变式13-2】如图，长为m，宽为x(m>x)的大长方形被分割成7 小块，除阴影A，B 外，其余5 块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为y．记阴影A 与B 的面积差为S．（1）分别用含m，x，y的代数式表示阴影A，B 的面积；（2）先化简S，再求当m=6，y=1 时S的值；（3）当x取任何实数时，面积差S 的值都保持不变，问m 与y应满足什么条件？题型14：因式分解与三角形问题14.△ABC的三边长分别为a，b，c，且2a+ab＝2c+bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形，还是直角三角形？并说明理由．【变式14-1】若△ABC的三边长分别为a、b、c，且b2+2ab=c2+2ac，判断△ABC的形状.【变式14-2】已知在△ABC中，三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+bc−ac−b2=0，请判断△ABC的形状，并写出你的理由.【变式14-3】已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足等式a2+b2+c2=ab+bc+ac，试猜想该三角形的形状，并证明你的猜想．一、单选题1．同学们把多项式2x2−4xy+2x提取公因式2x后，则另一个因式应为（ ）A．x−2y B．x−2y+1C．x−4y+1D．x−2y−12．下列多项式中不能用公式进行因式分解的是（ ）A．a2+a+ 1B．a2+b2-2ab C．−a2+25b2D．−4−b243．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（ ）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y）B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）4．如图，长与宽分别为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a3b+2a2b2+ab3的值为（ ）A．2560B．490C．70D．495．计算-22021+(-2)2020所得的结果是( )A．-22020B．-2 2021C．22020D．-26．若c2﹣a2﹣2ab﹣b2＝10，a+b+c＝﹣5，则a+b﹣c的值是（ ）A．2B．5C．20D．97．已知n是正整数，则下列数中一定能整除(2n+3)2−25的是()A．6B．3C．4D．58．观察下列分解因式的过程：x2−2xy+y2−16=(x−y)2−16=(x−y+4)(x−y−4)，这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种分组的思想方法，已知a，b，c满足a2−b2−ac+bc=0，则以a，b，c为三条线段首尾顺次连接围成一个三角形，下列描述正确的是（ ）A．围成一个等腰三角形B．围成一个直角三角形C．围成一个等腰直角三角形D．不能围成三角形二、填空题9．下列因式分解正确的是 （填序号）①x2−2x=x(x−2)；②x2−2x+1=x(x−2)+1；③x2−4=(x+4)(x−4)；④4x2+4x+1=( 2x+1)210．分解因式：ax2﹣4axy+4ay2= ．11．已知：m+n=5，mn=4，则：m2n+mn2= ．12．因式分解：1－a2＋2ab－b2＝ .13．边长为a、b的长方形，它的周长为14，面积为10，则a2b+a b2的值为 ．14．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足关系式：a 4＋b 2c 2﹣a 2c 2﹣b 4＝0，则△ABC 的形状是 .15．甲、乙两个同学分解因式x 2+ax +b 时，甲看错了b ，分解结果为（x +2）（x +4）；乙看错了a ，分解结果为（x +1）（x +9），则多项式x 2+ax +b 分解因式的正确结果为 ．三、解答题16．因式分解：（1）a 3−36a（2）14x 2+xy +y 2（3）(a 2+4)2−16a 217．把下列各式因式分解：（1）x 2（y ﹣2）﹣x （2﹣y ）（2）25（x ﹣y ）2+10（y ﹣x ）+1（3）（x 2+y 2）2﹣4x 2y 2（4）4m 2﹣n 2﹣4m+1．18．已知二次三项式x 2+px+q 的常数项与（x-1）（x-9）的常数项相同，而它的一次项与（x-2）（x-4）的一次项相同，试将此多项式因式分解．19．给出三个多项式：12x 2+2x ﹣1，12x 2+4x+1，12x 2﹣2x ．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．四、综合题20．已知 a 2−3a +1=0 ，求（1）a 2+1a 2的值。
14.3.1因式分解-提公因式法
( 3x2y )
25a b 15a b 5a b
3 2 2
3 3
( 5 a 2b )
用心观察，找到答案
多项式 8x+12y 8ax+12ay 公因式
4 4a
8a
3
bx+12a2b2y
4 a 2b
9x2-6xy+3x
3x
指出下列各多项式中各项的公因式, 并试着分解因式。
①ax+ay+a 2 ②3mx-6nx ③4a2b+10ab2 4 3 3 3 ④x y +x y ⑤12x2yz-9x3y2
一个整数写成什么形式？ 把一个整数写成几个整数的乘积的 形式叫做因数分解。
因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的乘积
的形式，叫做把这个多项式因式分解
(分解因式)。
ma mb m(a b)
因式分解
公因式的定义： 一个多项式的各项都有的公共的 因式，叫做这个多项式的公因式。
ma mb mc
公因式
a 3x 2ab 3 3 xy 2 3x y
例1: 找出3 x
2
– 6 x 的公因式。并分解因式。
指数：相同字母 1 的最低次幂 3 x 系数：各项系数的 想一想 字母：各 最大公约数。 项的相同 另一个因式x-2是 字母 如何得到的？ 所以，公因式是3x
3x2-6x=3x（x-2）
提公因式法—因式分解的步骤：
计算：
2 2 97 96 2 2
99 98
已知:a+b=5，ab=4， 求:ab2+a2b-a-b的值. 解： ab2+a2b-a-b =ab(b+a)-(a+b) =(a+b)(ab-1) =5×(4-1) =15
八年级数学人教版上册同步练习提公因式法(解析版)
14.3.1提公因式法一、单选题1．在3257x x x k +++中，若有一个因式为(2)x +，则k 的值为（ ）A ．2B ．2-C ．6D ．6- 【答案】A【分析】根据因式分解的意义可设()()322572x x x k x x mx n +++=+++，再利用整式乘法计算()()22x x mx n +++后得()()32222x m x n m x n +++++，即可根据因式分解与整式乘法的关系求解．【详解】设()()322572x x x k x x mx n +++=+++， ∵()()22x x mx n +++ 322222x mx nx x mx n =+++++()()32222x m x n m x n =+++++3257x x x k =+++，∴25m ，27n m +=， 2k n =，解得3m =，1n =，2k =．故选：A ．【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．2．下列各式由左边到右边是因式分解且分解结果正确的是（ ）A ．()3a 43a 12-=-B ．()()24x 94x 34x 3-=+-C ．()22x 4x 4x 2-+=-D ．()3224a 6a 2a 2a 2a 3a ++=+ 【答案】C【分析】根据因式分解的意义求解即可．【详解】A 、()34312a a -=-是整式的乘法，故A 不符合题意；B 、()()2492323x x x -=+-，原式分解不正确，故B 不符合题意；C 、()22442x x x -+=-，分解正确，故C 符合题意；D 、()3224622231a a a a a a ++=++，原式分解不正确，故D 不符合题意；故选：C ．【点评】本题考查了因式分解的意义，利用因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．3．下列从左到右是因式分解的是（ ）．A ．（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2B ．（a ＋b ）2 ＝a 2＋2ab ＋b 2C ．（x ＋2）（x －5）＝x 2－3x ＋10D ．x 2＋2x －15＝（x －3）（x ＋5） 【答案】D【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】A 、是整式的乘法，故A 错误；B 、是整式的乘法，故B 错误；C 、是整式的乘法，故C 错误；D 、符合因式分解，故D 正确；故选：D ．【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别．4．下列等式中，从左到右的变形正确的是（ ）A ．()22242x x x ++=+B ．()()2444x x x -=+-C ．()222244x y x xy y +=++D ．()()2x 2x 3x 6+-=-【答案】C【分析】分别对各选项进行变形，然后对照进行判断即可得到答案．【详解】A 、()22241+3x x x ++=+，原选项变形错误，故不符合题意；B 、()()2422x x x -=+-，原选项变形错误，故不符合题意；C 、()222244x y x xy y +=++，原选项变形正确，故符合题意；D 、2(2)(3)6x x x x +=---，原选项变形错误，故不符合题意；故选：C ．【点评】此题主要考查了整式的乘法和因式分解，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．5．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ） A ．都是因式分解B ．都是乘法运算C ．①是因式分解，②是乘法运算D ．①是乘法运算，②是因式分解【答案】D 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．【详解】①2(2)(1)2x x x x +-=+-，从左到右的变形是整式的乘法；②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形是因式分解；所以①是乘法运算，②因式分解．故选：D ．【点评】此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义． 6．下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A ．2105525x x x x x -=⋅-B ．()a x y ax ay +=+C ．()22442x x x -+=-D ．()()2163443x x x x x -+=-++ 【答案】C【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义解答．【详解】A 、2105525x x x x x -=⋅-，不是分解因式；B 、()a x y ax ay +=+，不是分解因式；C 、()22442x x x -+=-，是分解因式；D 、()()2163443x x x x x -+=-++，不是分解因式； 故选：C ．【点评】此题考查多项式的分解因式，熟记定义及分解因式后式子的特点是解题的关键．7．下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）A ．a （m+n ）＝am+anB ．10x 2﹣5x ＝5x （2x ﹣1）C ．x 2﹣16+6x ＝（x+4）（x ﹣4）+6xD ．a 2﹣b 2﹣c 2＝（a ﹣b ）（a+b ）﹣c 2【答案】B【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．【详解】A ．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；B ．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；C ．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；D ．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；故选：B ．【点评】此题考查了因式分解的定义.掌握其定义是解答此题的关键.8．（﹣2）2019+（﹣2）2020等于（ ）A ．﹣22019B ．﹣22020C ．22019D ．﹣2【答案】C【分析】直接提取公因式（−2）2019，进而计算得出答案．【详解】（−2）2019＋（−2）2020＝（−2）2019×（1−2）＝22019．故选：C ．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．二、填空题目9．多项式39x -，29x -与269x x -+的公因式为______．【答案】3x -【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项．【详解】因为3x ﹣9＝3（x ﹣3），x 2﹣9＝（x +3）（x ﹣3），x 2﹣6x +9＝（x ﹣3）2，所以多项式3x ﹣9，x 2﹣9与x 2﹣6x +9的公因式为（x ﹣3）．故答案：3x -．【点评】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”．10．已知22()()24x my x ny x xy y -+=+-，则22m n mn -的值为______．【答案】8.-【分析】由22()()24x my x ny x xy y -+=+-可得()222224,x n m xy mny x xy y +--=+-可得：2,4,n m mn -=-=-即2,4,m n mn -=-=再把22m n mn -分解因式，再整体代入求值即可．【详解】 22()()24x my x ny x xy y -+=+-，222224,x nxy mxy mny x xy y ∴+--=+-()222224,x n m xy mny x xy y ∴+--=+-2,4,n m mn ∴-=-=-2,4,m n mn ∴-=-=∴ ()22m n m n mn mn =--()428.=⨯-=-故答案为：8.-【点评】本题考查的是整式的乘法，多项式的恒等，因式分解的应用，掌握以上知识是解题的关键． 11．多项式22y y m ++因式分解后有一个因式是(1)y -，则m =_______．【答案】3-【分析】由于x 的多项式y 2+2y+m 分解因式后有一个因式是(y-1)，所以当y=1时多项式的值为0，由此得到关于m 的方程，解方程即可求出m 的值．【详解】∵多项式y 2+2y+m 因式分解后有一个因式为（y-1），∵当y=1时多项式的值为0，即1+2+m=0，解得m=-3．故答案为：-3．【点评】本题考查了因式分解的意义，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解． 12．已知x 2－3x －1＝0，则2x 3－3x 2－11x ＋1＝________．【答案】4【分析】根据x 2－3x －1＝0可得x 2－3x ＝1，再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值．【详解】∵x 2－3x －1＝0，∴x 2－3x ＝1，∴3223111x x x --+=223132611x x x x -+-+=()22233111x x x x x -+-+将x 2－3x ＝1代入原式=221113x x x +-+=23)13(x x -+将x 2－3x ＝1代入原式=314+=，故答案为：4．【点评】本题考查代数式求值，因式分解法的应用．解决此题的关键是掌握“降次”思想和整体思想．三、解答题13．仔细阅读下面例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是x ＋2，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式px ＋n ，得25x x m ++＝（x ＋2）（px ＋n ），对比等式左右两边x 的二次项系数，可知p ＝1，于是25x x m ++＝（x ＋2）（x ＋n ）．则25x x m ++＝2x ＋（n ＋2）x ＋2n ，∴n ＋2＝5，m ＝2n ，解得n ＝3，m ＝6，∴另一个因式为x ＋3，m 的值为6依照以上方法解答下面问题：（1）若二次三项式2x ﹣7x ＋12可分解为（x ﹣3）（x ＋a ），则a ＝ ；（2）若二次三项式22x ＋bx ﹣6可分解为（2x ＋3）（x ﹣2），则b ＝ ；（3）已知代数式23x ＋2x ＋kx ﹣3有一个因式是2x ﹣1，求另一个因式以及k 的值．【答案】（1）-4；（2）-1；（3）另一个因式为2x ＋x ＋3，k 的值为5．【分析】（1）仿照题干中给出的方法计算即可；（2）仿照题干中给出的方法计算即可；（3）设出另一个因式为（2ax bx c ++），对比两边三次项系数可得a ＝1，再参照题干给出的方法计算即可．【详解】（1）∵2(3)()33x x a x x ax a -+=-+-＝2(3)3x a x a +--＝2712x x -+．∴a ﹣3＝﹣7，﹣3a ＝12，解得：a ＝﹣4.（2）∵2(23)(2)2346x x x x x +-=+--＝226x x --．＝226x bx +-．∴b ＝﹣1．（3）设另一个因式为（2ax bx c ++），得32223(21)()x x kx x ax bx c ++-=-++．对比左右两边三次项系数可得：a ＝1．于是32223(21)()x x kx x x bx c ++-=-++．则3232232232222(21)(2)x x kx x x bx bx cx c x b x c b x c ++-=-+-+-=+-+--．∴﹣c ＝﹣3，2b ﹣1＝1，2c ﹣b ＝k ．解得：c ＝3，b ＝1，k ＝5．故另一个因式为23x x ++，k 的值为5．【点评】本题以阅读材料给出的方法为背景考查了因式分解、整式乘法、合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．14．解答下列各题：（1）计算：()()()22x 12x 52x 5+-+-（2）分解因式：()225m 2x y 5mn --． 【答案】（1）426x +；（2）()()5m 2x y+n 2x y n ---【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式分别计算前后两部分，然后进行加减运算即可；（2）先提取公因式5m ，再利用平方差公式计算．【详解】（1）原式2241=4425x x x +++-=426x +（2）原式()22=5m 2x y n -⎡⎤-⎣⎦()()=5m 2x y+n 2x y n ---【点评】本题考查整式的混合运算和因式分解，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式的法则． 15．将下列各式因式分解：（1）324x xy -；（2）（x ﹣y ）2x +6xy （y ﹣x ）+9（x ﹣y ）2y ．【答案】（1）x （x+2y ）（x-2y ）；（2）（x ﹣y ）2(3)x y -．【分析】（1）先提取公因式x ，后变形成为22(2)x y -，用平方差公式分解即可；（2）先将6xy （y ﹣x ）变形为－6xy （ｘ﹣ｙ），后提取公因式，再用完全平方公式分解即可．【详解】（1）324x xy -=22(4)x x y -=22[(2)]x x y -=x （x+2y ）（x-2y ）；（2）（x ﹣y ）2x +6xy （y ﹣x ）+9（x ﹣y ）2y=（x ﹣y ）2x －6xy （x ﹣y ）+9（x ﹣y ）2y=（x ﹣y ）（2x －6xy +92y ）=（x ﹣y ）2(3)x y -．【点评】本题考查了提取公因式法，平方差公式法，完全平方公式法分解因式，熟练掌握先提后套用公式分解因式是解题的关键．16．我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为a 的大正方体进行以下探索：（1）在大正方体一角截去一个棱长为()<b b a 的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________；（2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵BC a =，AB a b =-，CF b =，∴长方体①的体积为()ab a b -．类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简）（3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________；（4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________．（5）已知4a b -=，2ab =，求33a b -的值．【答案】（1）33a b -；（2）()2b a b -，()2a a b -；（3）()+ab a b -()2b a b -()2+a a b -()()22a b a ab b =-++；（4）()()3322a b a b a ab b -=-++；（5）88.【分析】（1）由大的正方体的体积为3,a 截去的小正方体的体积为3,b 从而可得答案；（2）由,,ED OD b DM a b ===-,,GH HJ a HN a b ===-利用长方体的体积公式直接可得答案； （3）提取公因式-a b ，即可得到答案；（4）由（1）（3）的结论结合等体积的方法可得答案；（5）利用()2222,a b a b ab +=-+先求解22,a b + 再利用()()3322a b a b a ab b -=-++，再整体代入求值即可得到答案．【详解】（1）由大的正方体的体积为3,a 截去的小正方体的体积为3,b所以截去后得到的几何体的体积为：33,a b -故答案为：33.a b -（2）,,ED OD b DM a b ===-由长方体的体积公式可得：长方体②的体积为()2b a b -，,,GH HJ a HN a b ===-所以长方体③的体积为()2,aa b - 故答案为：()2b a b -，()2.a a b -（3）由题意得：()+ab a b -()2b a b -()2+a a b -()()22.a b a ab b =-++故答案为：()+ab a b -()2b a b -()2+a a b -()()22.a b a ab b =-++（4）由（1）（3）的结论，可以得到的等式为：()()3322.a b a b a ab b -=-++故答案为：()()3322.a b a b a ab b -=-++（5） 4a b -=，2ab =，()222216420,a b a b ab ∴+=-+=+=()()3322a b a b a ab b -=-++，()33420288.a b ∴-=⨯+=【点评】本题考查的是完全平方公式的变形，提公因式分解因式，代数恒等式的几何意义，掌握利用不同的方法表示同一个几何体的体积得到代数恒等式，以及应用得到的恒等式解决问题是解题的关键． 17．已知7,12a b ab -==-（1）求22ab a b -的值（2）求22a b +的值【答案】（1）84；（2）25．【分析】（1）先提取公因式ab -将所求式子因式分解为()ab a b --，再将已知式子的值代入即可得； （2）利用完全平方公式进行变形求值即可得．【详解】（1）7,12a b ab -==-，()22ab a b ab a b ∴-=--，()127=--⨯，84=；（2）7,12a b ab -==-，()249a b ∴-=，22249a b ab ∴+-=，()2221249a b ∴+-⨯-=，2225a b ∴+=．【点评】本题考查了利用因式分解和完全平方公式进行变形求值，熟练掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题关键．18．设333201720182019x y z ==，322222x mx nx x mx n =+++++，且=．求111x y z++的值． 【答案】1．【分析】由322222x mx nx x mx n =+++++，可得000x y z >>>，，，令333201720182019x y z k ===，由=变形得=可得2111111x y z x y z ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭因式分解11111110x y z x y z ⎛⎫⎛⎫++++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由000x y z >>>，，，1110x y z ++>，可得1111x y z ++=． 【详解】∵322222x mx nx x mx n =+++++，∴000x y z >>>，，，或,,x y z 一正，两负，333201720182019x y z ==说明x ，y ，z 同号，∴000x y z >>>，，，令333201720182019x y z k ===，=++，=+，=+，111x y z ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，111x y z=++， ∴2111111x y z x y z ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭， ∴11111110x y z x y z ⎛⎫⎛⎫++++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∵000x y z >>>，，，1110x y z++>， ∴1111x y z++=． 【点评】本题考查立方根条件求值问题，掌握立方根的性质，巧秒恒等变形使实际问题简化，利用等式两边平方，因式分解求出代数式的值是解题关键．19．已知5x y +=，4xy =，求下列各式的值．（1）x y -；（2）33x y xy +．【答案】（1）3±；（2）68【分析】（1）根据完全平方公式的变形公式（x ﹣y ）2=(x+y)2﹣4xy 进行求解即可；（2）利用完全平方公式求解x 2+y 2，再将所求代数式因式分解，进而代入数值即可求解．【详解】（1）∵5x y +=，4xy =，∴（x ﹣y ）2=(x+y)2﹣4xy=52﹣4×4=9，∴x ﹣y=±3；（2）∵（x+y ）2= x 2+y 2+2xy ，∴x 2+y 2=52﹣2×4=17，∴33x y xy +=xy(x 2+y 2)=4×17=68．【点评】本题考查代数式求值、完全平方公式、平方根、因式分解、有理数的混合运算，熟记完全平方公式，灵活运用公式是解答的关键．20．仔细阅读下面的例题：例题：已知二次三项式25x x m ++有一个因式是2x +，求另一个因式及m 的值．解：设另一个因式为x n +，得25(2)()x x m x x n ++=++，则225(2)2x x m x n x n ++=+++，25n ∴+=，2m n =，解得3n =，6m =，∴另一个因式为3x +，m 的值为6．依照以上方法解答下列问题：（1）若二次三项式254x x -+可分解为(1)()x x a -+，则a =________；（2）若二次三项式226x bx +-可分解为(23)(2)x x +-，则b =________；（3）已知二次三项式229x x k +-有一个因式是21x -，求另一个因式以及k 的值．【答案】（1）4-；（2）1-；（3）另一个因式为5x +，k 的值为5．【分析】（1）将(1)()x x a -+展开，根据所给出的二次三项式即可求出a 的值；（2）（2x +3）（x ﹣2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b 的值；（3）设另一个因式为（x +n ），得2x 2+9x ﹣k ＝（2x ﹣1）（x +n ），可知2n ﹣1＝9，﹣k ＝﹣n ，继而求出n 和k 的值及另一个因式．【详解】（1）∵(1)()x x a -+＝x 2+（a ﹣1）x ﹣a ＝254x x -+，∴a ﹣1＝﹣5，解得：a ＝﹣4；故答案是：﹣4（2）∵（2x +3）（x ﹣2）＝2x 2﹣x ﹣6＝2x 2+bx ﹣6，∴b ＝﹣1．故答案是：﹣1．（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，解得n＝5，k＝5，∴另一个因式为x+5，k的值为5．【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．祝福语祝你考试成功!。
人教版八年级数学上册《14.3因式分解》练习题-带参考答案
人教版八年级数学上册《14.3因式分解》练习题-带参考答案一、选择题1．使用提公因式法分解时，公因式是（）A．B．C．2ab D．2．下列因式分解正确的是（）A．B．C．D．3．把多项式分解因式等于（）A．B．C．m（a﹣2）（m﹣1）D．m（a﹣2）（m＋1）4．下列多项式因式分解的结果中不含因式的是（）A．B．C．D．5．已知，那么代数式的值为（）A．6 B．7 C．13 D．426．已知则的值为（）A．57 B．120 C．D．7．如果多项式可分解为，则的值分别为（）A．B．C．D．8．定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”.例如：22+32+2×2×3＝25，其中“25”就是一个“完全数”.则任取两个自然数可得到小于200且不重复的“完全数”的个数有（）A．14个B．15个C．26个D．60个二、填空题9．分解因式：．10．把因式分解的结果是.11．若是多项式的一个因式，则k的值是.12．已知多项式P，Q的乘积为，若，则．13．生活中我们经常用到密码，如手机解锁、密码支付等为方便记忆，有一种用“因式分解”法产生的密码，其原理是：将一个多项式分解成多个因式，如：将多项式分解结果为当时，此时可得到数字密码将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，则．三、计算题14．因式分解（1）（2）15．把下列各式因式分解（1）（2）（3）16．分解因式时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为．（1）求a、b的值．（2）分解因式的正确答案是什么？17．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及到了高中还要学习的十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式；（2）三边满足，判断的形状．参考答案：1．C2．C3．D4．D5．D6．D7．D8．B9．10．11．12．13．3014．（1）解：；（2）解：．15．（1）解：原式=6x2 (2x2－x－28) =6x2 (2x＋7)(x－4)（2）解：原式=a5(2－3a)＋2a3(2－3a)2＋a(2－3a)3 =a(2－3a)[a4＋2a2(2－3a)＋(2－3a)2] =a(2－3a)(a2＋2－3a)2 =a(2－3a)(a－1)2(a－2)2（3）解：原式=a4bc + a3(b3 + c3) + 2a2b2c2 + abc(b3+c3) + b3c3 =bc(a4+ 2a2bc+ b2c2) + a(b3 + c3)(a2 + bc) =bc(a2 + bc)2 + a(b3 + c3)(a2 + bc) =(a2 + bc)[bc(a2 + bc) + a(b3 + c3)] =(a2 + bc)[(bca2 + ab3)+(b2c2 + ac3)] =(a2 + bc)[ab(ca+b2)+ c2(b2+ac)] =(a2 +bc)(b2 +ac)(c2 +ab)16．（1）解：∵分解因式时，甲看错了a的值，分解的结果是∴甲没有看错b，即；∵分解因式时，乙看错了b的值∴乙没有看错a，即（2）解：∵，，∴17．（1）解：．（2）解：∵∴∴∴或∴的形状是等腰三角形。
14.3.1提公因式法
注意：首项为负，应提出负号。
例题精讲
例4 分解因式：
(1) x( x y) y( x y)
2
(2)5a b( x y) 10a b ( y x)
3 2 4 3
3
把括号看作整体
相同(相反)的括号看作一个整体。
归纳总结
提公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这 个公因式提出来，将多项式写成公因式 与另一个因式的乘积的形式。这种分解 因式的方法叫做提公因式法。
．
3.（盐城·中考）因式分解 2a 2 4a ______.
2 【解析】用提公因式法因式分解： a 4 a 2 a (a 2)
2
答案：2a(a-2)
4.写出下列多项式各项的公因式.
（1）ma+mb m
（2）4kx－8ky 4k
（3）5y3+20y2 5y2 ab
（4）a2b－2ab2+ab
提公因式法的一般步骤 ：
1、确定提取的公因式； 2、提取公因式。
诊断
小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y)
错误
公因式没有提尽， 还可以提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y)
注意：公因式要提尽。
小亮解的有误吗？
把3x2 - 6xy+x分解因式
m
4k
5y2
ab 2x
(5) 4x2-8ax+2x
(6) 3(a+b)2-6(a+b)3
3(a+b)2
【例题】
【例1】把8a3b2 + 12ab3c 分解因式. 分析：找公因式 1.系数的最大公约数 2.找相同字母 aｂ 4
14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册
知识点 2 提公因式法分解因式 (1)公因式：多项式中每项都有的__因__式__； (2)一般地，如果多项式的各项有_公__因__式___，可以把这个公因式提取出 来，将多项式写成公因式与另一个因式的__乘__积__的形式，这种分解因 式的方法叫做提公因式法.
多项式2a2b3＋4ab2c的公因式是_2_a_b_2__. 多项式m(a－x)－mn(a－x)的公因式是_m__(_a_－__x_) _.
计算： 3×24＋6×24＋4×22. 解：原式＝3×24＋6×24＋24
＝(3＋6＋1)×24 ＝160.
计算： 42×20.23＋72×20.23－20.23×14. 解：原式＝(42＋72－14)×20.23
＝100×20.23 ＝2 023.
如图，长方形的长、宽分别为a，b，周长为10，面积为6， 则a2b＋ab2的值为( B ) A．60 B．30 C．15 D．16
5．确定下列多项式的公因式，并分解因式． (1)ax＋ay； 解：ax，ay的公因式为a， 原式＝a(x＋y)． (2)3mx－6nx2； 解：3mx，－6nx2的公因式为3x， 原式＝3x(m－2nx)．
(3)4a2b＋10ab－2ab2. 解：4a2b，10ab，－2ab2的公因式为2ab， 原式＝2ab(2a＋5－b)．
八年级上册 人教版数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 因式分解(1)——提公因式法
复习导入
计算： (1)2(x＋y)＝__2_x_＋__2_y_； (2)(x＋1)(x－1)＝__x_2_－__1_； (3)(a＋b)2＝__a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_.
新知探究
知识点 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的_积___的形式，像这样的式子变形叫做 这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
14.3.1提公因式法
解：原式=
= =
3 2 24 x ( 12x 28 x )
4 x (24x3÷4x+12x2÷4x-28x÷4x)
4 x (6x2+3x-7)
当多项式第一项系数是 负数，通常先提出“-” 号，使括号内第一项系 数变为正数，注意括号 内各项都要变号。
利用因式分解简化运算
14.3.1
提供因式法
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法
(1) x 2 x x( x 1) ( 2) x 1 ( x 1)(x 1)
2
(3)ma+mb+mc= m(a+b+c) (4) x2-6x+9= (x-3)2
因式分解定义
把一个多项式化成几个整式的积 的形式,这种变形叫做把这个多项 式因式分解（也叫分解因式）.
14.3.1
提供因式法
分解因式： (1)ax－ay； (2)－3ax ＋12ax －15ax； (3)2m(m－n) ＋6(n－m) ； (4)4x
n＋ 1 3 2 3 2
－12x ＋32x
n
n－ 1
.
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法： 一看系数 二看字母 三看指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
说出下列各多项式的公因式： m (1)ma + mb ； 4k (2)4kx - 8ky ； 5y2 (3)5y3+20y2 ； (4)a2b-2ab2+ab . ab
最大公约数 一看系数
相同字母 二看字母
最低指数
三看指数
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
最大公约数
4
【精】八年级数学《14.3 因式分解-提公因式》同步复习资料【1】【含解析
八年级数学《14.3 因式分解-提公因式》同步复习资料【1】一．选择题（共15小题）1．若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣82．已知a+b=3，ab=2，计算：a2b+ab2等于（）A．5 B．6 C．9 D．13．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（）A．2 B．﹣2 C．﹣299D．2994．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣15．多项式a n﹣a3n+a n+2分解因式的结果是（）A．a n（1﹣a3+a2）B．a n（﹣a2n+a2）C．a n（1﹣a2n+a2）D．a n（﹣a3+a n）6．若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（）A．﹣1 B．0 C．1 D．27．多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣48．将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）因式分解，应提的公因式是（）A．3x﹣9y B．3x+9y C．a﹣b D．3（a﹣b）9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）10．下列各式分解正确的是（）A．12xyz﹣9x2y2=3xyz（4﹣3xy）B．3a2y﹣3ay+3y=3y（a2﹣a+1）C．﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x+y﹣z）D．a2b+5ab﹣b=b（a2+5a）11．把多项式m（n﹣2）﹣m2（2﹣n）分解因式得（）A．（n﹣2）（m2+m）B．（n﹣2）（n﹣m）2C．m（n﹣2）（m+1）D．m（n﹣2）（1﹣m）12．若（m+n）3﹣mn（m+n）=（m+n）•A，则A表示的多项式是（）A．m2+n2B．m2﹣mn+n2C．m2﹣3mn+n2D．m2+mn+n213．已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为（）A．12 B．﹣12 C．﹣24 D．2414．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）15．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c）C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）二．填空题（共15小题）16．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=．17．若a=2，a﹣2b=3，则2a2﹣4ab的值为．18．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=．19．分解因式：m（x﹣y）+n（y﹣x）=．20．因式分解：6x3y﹣12xy2+3xy=．21．因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=．22．因式分解：12x（a+b）﹣4y（a+b）=．23．分解因式：2x2y﹣12xy+18y=．24．因式分解（a+b）（a+b﹣1）﹣a﹣b+1的结果为．25．将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）分解因式，应提取的公因式是．26．若要把多项式﹣12xy2（x+y）+18x2y（x+y）因式分解，则应提取的公因式为．27．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于．28．利用分解因式计算：32013+6×32012﹣32014=．29．长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为．30．分解因式：（m﹣n）2﹣（n﹣m）（m﹣2n）=．三．解答题（共10小题）31．因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）32．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（17﹣13x）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（30x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值．（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3．34．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2．35．因式分解：①﹣6（2a﹣b）2﹣4（b﹣2a）2②6（x+y）2﹣2（x﹣y）（x+y）③﹣3（x﹣y）2﹣（y﹣x）3④3a（m﹣n）﹣2b（n﹣m）⑤9（a﹣b）（a+b）﹣3（a﹣b）2⑥3a（a+b）（a﹣b）﹣2b（b﹣a）36．把多项式（a+b﹣c）（a﹣b+c）﹣（b+c﹣a）（c﹣a﹣b）因式分解．37．先化简，再求值：（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．（1）3x2y﹣6xy（2）5x2y3﹣25x3y2（3）﹣4m3+16m2﹣26m（4）2（a﹣3）2﹣a+3（5）3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2（6）18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3（7）15x3y2+5x2y﹣20x2y3（8）6x（x+y）﹣4y（x+y）（9）a（x﹣a）+b（a﹣x）﹣c（x﹣a）（10）（m+n）（p+q）﹣（m+n）（p﹣q）39．把下列各式因式分解：（1）7（a﹣1）+x（a﹣1）；（2）3（a﹣b）2+6（b﹣a）；（3）2（m﹣n）2﹣m（m﹣n）；（4）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）2；（5）m（a2+b2）+n（a2+b2）；（6）18（a﹣b）2﹣12b（b﹣a）2；（7）（2a+b）（2a﹣3b）﹣3a（2a+b）；（8）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）．40．把下列各式分解因式：（1）18a3bc﹣45a2b2c2；（2）﹣20a﹣15ab；（3）18x n+1﹣24x n；（4）（m+n）（x﹣y）﹣（m+n）（x+y）；（5）15（a+b）2+3y（b+a）；（6）2a（b﹣c）+3（c﹣b）．14.3《因式分解-提公因式》同步复习资料【1】参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．若ab=﹣3，a﹣2b=5，则a2b﹣2ab2的值是（）A．﹣15 B．15 C．2 D．﹣8【解答】解：∵ab=﹣3，a﹣2b=5，a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b）=﹣3×5=﹣15．故选：A．2．已知a+b=3，ab=2，计算：a2b+ab2等于（）A．5 B．6 C．9 D．1【解答】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=2×3=6．故选：B．3．计算（﹣2）100+（﹣2）99的结果是（）A．2 B．﹣2 C．﹣299 D．299【解答】解：原式=（﹣2）99[（﹣2）+1]=﹣（﹣2）99=299，故选：D．4．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣2的值为（）A．2 B．0 C．﹣2 D．﹣1【解答】解：由题意得到a+b=0，则原式=a（a+b）﹣2=0﹣2=﹣2，故选C5．多项式a n﹣a3n+a n+2分解因式的结果是（）A．a n（1﹣a3+a2）B．a n（﹣a2n+a2） C．a n（1﹣a2n+a2）D．a n（﹣a3+a n）【解答】解：a n﹣a3n+a n+2=a n（1﹣a2n+a2），故选：C．6．若代数式x2+ax可以分解因式，则常数a不可以取（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【解答】解：∵代数式x2+ax可以分解因式，∴常数a不可以取0．故选：B．7．多项式（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解答】解：（x+2）（2x﹣1）﹣（x+2）=（x+2）（2x﹣2）=（x+m）（2x+n），可得m=2，n=﹣2，则m﹣n=2﹣（﹣2）=2+2=4，故选C8．将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）因式分解，应提的公因式是（）A．3x﹣9y B．3x+9y C．a﹣b D．3（a﹣b）【解答】解：将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）=3x（a﹣b）+9y（a﹣b）因式分解，应提的公因式是3（a﹣b）．故选D9．分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）的正确结果是（）A．（x﹣3）（b2+b）B．b（x﹣3）（b+1）C．（x﹣3）（b2﹣b）D．b（x﹣3）（b﹣1）【解答】解：b2（x﹣3）+b（x﹣3），=b（x﹣3）（b+1）．故选B．10．下列各式分解正确的是（）A．12xyz﹣9x2y2=3xyz（4﹣3xy）B．3a2y﹣3ay+3y=3y（a2﹣a+1）C．﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x+y﹣z）D．a2b+5ab﹣b=b（a2+5a）【解答】解：A、应为12xyz﹣9x2y2=3xy（4z﹣3xy）；故本选项错误．B、3a2y﹣3ay+3y=3y（a2﹣a+1）；正确．C、应为﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x﹣y+z）；故本选项错误．D、应为a2b+5ab﹣b=b（a2+5a﹣1）；故本选项错误．故选B．11．把多项式m（n﹣2）﹣m2（2﹣n）分解因式得（）A．（n﹣2）（m2+m）B．（n﹣2）（n﹣m）2C．m（n﹣2）（m+1） D．m（n﹣2）（1﹣m）【解答】解：m（n﹣2）﹣m2（2﹣n），=m（n﹣2）+m2（n﹣2），=m（n﹣2）（m+1），故选C．12．若（m+n）3﹣mn（m+n）=（m+n）•A，则A表示的多项式是（）A．m2+n2B．m2﹣mn+n2C．m2﹣3mn+n2D．m2+mn+n2【解答】解：（m+n）3﹣mn（m+n），=（m+n）[（m+n）2﹣mn]，=（m+n）（m2+2mn+n2﹣mn），=（m+n）（m2+mn+n2）．所以A表示的多项式是（m2+mn+n2）．故选D．13．已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为（）A．12 B．﹣12 C．﹣24 D．24【解答】解：∵x+y=6，xy=4，∴x2y+xy2=xy（x+y）=4×6=24．故选：D．14．把多项式3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2分解因式的结果是（）A．（x﹣y）（3m﹣2x﹣2y） B．（x﹣y）（3m﹣2x+2y）C．（x﹣y）（3m+2x﹣2y）D．（y﹣x）（3m+2x﹣2y）【解答】解：3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2，=3m（x﹣y）﹣2（x﹣y）2，=（x﹣y）（3m﹣2x+2y）．故选B．15．把﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y）分解因式正确的结果是（）A．（x﹣y）（﹣a﹣b+c）B．（y﹣x）（a﹣b﹣c） C．﹣（x﹣y）（a+b﹣c）D．﹣（y﹣x）（a+b﹣c）【解答】解：﹣a（x﹣y）﹣b（y﹣x）+c（x﹣y），=a（y﹣x）﹣b（y﹣x）﹣c（y﹣x），=（y﹣x）（a﹣b﹣c）．故选B．二．填空题（共15小题）16．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=﹣31．【解答】解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13），=（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13），=（3x﹣7）（x﹣8）=（3x+a）（x+b），则a=﹣7，b=﹣8，故a+3b=﹣7﹣24=﹣31，故答案为：﹣31．17．若a=2，a﹣2b=3，则2a2﹣4ab的值为12．【解答】解：∵a=2，a﹣2b=3，∴2a2﹣4ab=2a（a﹣2b）=2×2×3=12．故答案为：12．18．因式分解：x2﹣2x+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．【解答】解：原式=x（x﹣2）+（x﹣2）=（x+1）（x﹣2）．故答案是：（x+1）（x﹣2）．19．分解因式：m（x﹣y）+n（y﹣x）=（x﹣y）（m﹣n）．【解答】解：m（x﹣y）+n（y﹣x）=m（x﹣y）﹣n（x﹣y）=（x﹣y）（m﹣n）．故答案为：（x﹣y）（m﹣n）．20．因式分解：6x3y﹣12xy2+3xy=3xy（2x2﹣4y+1）．【解答】解：6x3y﹣12xy2+3xy=3xy（2x2﹣4y+1）．故答案为：3xy（2x2﹣4y+1）．21．因式分解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n）=n（n﹣m）（m+1）．【解答】解：mn（n﹣m）﹣n（m﹣n），=mn（n﹣m）+n（n﹣m），=n（n﹣m）（m+1）．故答案为：n（n﹣m）（m+1）．22．因式分解：12x（a+b）﹣4y（a+b）=4（a+b）（3x﹣y）．【解答】解：12x（a+b）﹣4y（a+b），=4（a+b）（3x﹣y），故答案为：4（a+b）（3x﹣y）．23．分解因式：2x2y﹣12xy+18y=2y（x﹣3）2．【解答】解：原式=2y（x2﹣6x+9）=2y（x﹣3）2，故答案为：2y（x﹣3）2键．24．因式分解（a+b）（a+b﹣1）﹣a﹣b+1的结果为（a+b﹣1）2．【解答】解：（a+b）（a+b﹣1）﹣a﹣b+1，=（a+b）（a+b﹣1）﹣（a+b﹣1），=（a+b﹣1）（a+b﹣1），=（a+b﹣1）2．25．将3x（a﹣b）﹣9y（b﹣a）分解因式，应提取的公因式是3（a﹣b）．【解答】解：原式=3x（a﹣b）+9y（a﹣b），应提前的公因式为3（a﹣b）．故答案为：3（a﹣b）．26．若要把多项式﹣12xy2（x+y）+18x2y（x+y）因式分解，则应提取的公因式为﹣6xy（x+y）．【解答】解：﹣12xy2（x+y）+18x2y（x+y）因式分解时，公因式是﹣6xy（x+y）．故答案为：﹣6xy（x+y）．27．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于m（a﹣2）（m﹣1）．【解答】解：m2（a﹣2）+m（2﹣a）=m2（a﹣2）﹣m（a﹣2）=m（a﹣2）（m﹣1）．故答案为：m（a﹣2）（m﹣1）．28．利用分解因式计算：32013+6×32012﹣32014=0．【解答】解：32013+6×32012﹣32014=32012×（3+6﹣32）=0．故答案为：0．29．长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为70．【解答】解：∵长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为14，面积为10，∴a+b==7，ab=10，∴a2b+ab2=ab（a+b）=10×7=70，故答案为：70．30．分解因式：（m﹣n）2﹣（n﹣m）（m﹣2n）=（m﹣n）（2m﹣3n）．【解答】解：（m﹣n）2﹣（n﹣m）（m﹣2n），=（m﹣n）2+（m﹣n）（m﹣2n），=（m﹣n）（m﹣n+m﹣2n），=（m﹣n）（2m﹣3n）．故答案为：（m﹣n）（2m﹣3n）．三．解答题（共10小题）31．因式分解：（1）2x（a﹣b）+3y（b﹣a）（2）x（x2﹣xy）﹣（4x2﹣4xy）【解答】解：（1）原式=2x（a﹣b）﹣3y（a﹣b）=（a﹣b）（2x﹣3y）；（2）原式=x2（x﹣y）﹣4x（x﹣y）=x（x﹣y）（x﹣4）．32．已知（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（17﹣13x）（11x﹣23）可因式分解成（ax+b）（30x+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c的值．【解答】解：（19x﹣31）（13x﹣17）﹣（17﹣13x）（11x﹣23）=（19x﹣31）（13x﹣17）+（13x﹣17）（11x﹣23）=（13x﹣17）（30x﹣54）∴a=13，b=﹣17，c=﹣54，∴a+b+c=﹣58．33．把下列各式分解因式：（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3．【解答】解：（1）2m（m﹣n）2﹣8m2（n﹣m）=2m（m﹣n）[（m﹣n）+4m]=2m（m﹣n）（5m﹣n）；（2）﹣8a2b+12ab2﹣4a3b3=﹣4ab（2a﹣3b+a2b2）．34．因式分解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2．【解答】解：（x+y）2（x﹣y）﹣（x+y）（x﹣y）2=（x+y）（x﹣y）[（x+y）﹣（x﹣y）]=2y（x+y）（x﹣y）．35．因式分解：①﹣6（2a﹣b）2﹣4（b﹣2a）2②6（x+y）2﹣2（x﹣y）（x+y）③﹣3（x﹣y）2﹣（y﹣x）3④3a（m﹣n）﹣2b（n﹣m）⑤9（a﹣b）（a+b）﹣3（a﹣b）2⑥3a（a+b）（a﹣b）﹣2b（b﹣a）【解答】解：①﹣6（2a﹣b）2﹣4（b﹣2a）2=﹣10（2a﹣b）2②6（x+y）2﹣2（x﹣y）（x+y）=2（x+y）[3（x+y）﹣（x﹣y）]=2（x+y）（2x+4y）=4（x+y）（x+2y）；③﹣3（x﹣y）2﹣（y﹣x）3=﹣3（x﹣y）2+（x﹣y）3=（x﹣y）2（﹣3+x﹣y）；④3a（m﹣n）﹣2b（n﹣m）=3a（m﹣n）+2b（m﹣n）=（m﹣n）（3a+2b）；⑤9（a﹣b）（a+b）﹣3（a﹣b）2=3（a﹣b）[3（a+b）﹣（a﹣b）]=3（a﹣b）（2a+4b）=6（a﹣b）（a+2b）；⑥3a（a+b）（a﹣b）﹣2b（b﹣a）=3a（a+b）（a﹣b）+2b（a﹣b）=（a﹣b）（3a2+3ab+2b）．36．把多项式（a+b﹣c）（a﹣b+c）﹣（b+c﹣a）（c﹣a﹣b）因式分解．【解答】解：（a+b﹣c）（a﹣b+c）﹣（b+c﹣a）（c﹣a﹣b），=（a+b﹣c）（a﹣b+c）+（b+c﹣a）（a+b﹣c），=（a+b﹣c）[（a﹣b+c）+（b+c﹣a）]，=（a+b﹣c）（a﹣b+c+b+c﹣a），=2c（a+b﹣c）．37．先化简，再求值：（1）已知a+b=2，ab=2，求a3b+2a2b2+ab3的值．（2）求（2x﹣y）（2x+y）﹣（2y+x）（2y﹣x）的值，其中x=2，y=1．【解答】解：（1）原式=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，当a+b=2，ab=2时，原式=2×22=8；（2）原式=4x2﹣y2﹣（4y2﹣x2）=5x2﹣5y2，当x=2，y=1时，原式=5×22﹣5×12=15．38．把下列各式分解因式：（1）3x2y﹣6xy（2）5x2y3﹣25x3y2（3）﹣4m3+16m2﹣26m（4）2（a﹣3）2﹣a+3（5）3m（x﹣y）﹣2（y﹣x）2（6）18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3（7）15x3y2+5x2y﹣20x2y3（8）6x（x+y）﹣4y（x+y）（9）a（x﹣a）+b（a﹣x）﹣c（x﹣a）（10）（m+n）（p+q）﹣（m+n）（p﹣q）【解答】解：（1）原式=3xy（x﹣2）；（2）原式=5x2y2（y﹣5x）；（3）原式=﹣2m（2m2﹣8m+13）；（4）原式=2（a﹣3）2﹣（a﹣3）=（a﹣3）（2a﹣7）；（5）原式=3m（x﹣y）﹣2（x﹣y）2=（x﹣y）（3m﹣2x+2y）；（6）原式=6（a﹣b）2（5b﹣2a）；（7）15x3y2+5x2y﹣20x2y3（7）原式=5x2y（3xy+1﹣4y2）；（8）原式=2（x+y）（3x﹣2y）；（9）原式=（x﹣a）（a﹣b﹣c）；（10）原式=2q（m+n）；39．把下列各式因式分解：（1）7（a﹣1）+x（a﹣1）；（2）3（a﹣b）2+6（b﹣a）；（3）2（m﹣n）2﹣m（m﹣n）；（4）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）2；（5）m（a2+b2）+n（a2+b2）；（6）18（a﹣b）2﹣12b（b﹣a）2；（7）（2a+b）（2a﹣3b）﹣3a（2a+b）；（8）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）．【解答】解：（1）7（a﹣1）+x（a﹣1）=（a﹣1）（7+x）；（2）3（a﹣b）2+6（b﹣a）=3（a﹣b）（a﹣b﹣2）；（3）2（m﹣n）2﹣m（m﹣n）=（m﹣n）（2m﹣2n﹣m）=（m﹣n）（m﹣2n）；（4）x（x﹣y）2﹣y（y﹣x）2；=（x﹣y）2（x﹣y）=（x﹣y）3；=（a2+b2）（m+n）；（6）18（a﹣b）2﹣12b（b﹣a）2；=6（a﹣b）2（3﹣2）=6（a﹣b）2；（7）（2a+b）（2a﹣3b）﹣3a（2a+b）=（2a+b）（2a﹣3b﹣3a）=（2a+b）（﹣a﹣b）=﹣（2a+b）（a+b）；（8）x（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）=x（x+y）（x﹣y﹣1）．40．把下列各式分解因式：（1）18a3bc﹣45a2b2c2；（2）﹣20a﹣15ab；（3）18x n+1﹣24x n；（4）（m+n）（x﹣y）﹣（m+n）（x+y）；（5）15（a+b）2+3y（b+a）；（6）2a（b﹣c）+3（c﹣b）．【解答】解：（1）18a3bc﹣45a2b2c2=9a2bc（2a﹣5bc）；（2）﹣20a﹣15ab=﹣5a（4+3b）；（3）18x n+1﹣24x n=6x n（3x﹣4）；（4）（m+n）（x﹣y）﹣（m+n）（x+y）=（m+n）（x﹣y﹣x﹣y）=﹣2y（m+n）；=3（a+b）[5（a+b）+y]=3（a+b）（5a+5b+y）；（6）2a（b﹣c）+3（c﹣b）=（2a﹣3）（b﹣c）．。
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14.3.1因式分解(提公因式)
教材分析：人民教育出版社义务教育教科书八年级数学 上册 十四章整式乘法与因式分解 14.3.1因式分解(提公因式)
教学目标：熟练运用提公因式法进行因式分解
教学重点：1、公因式
2、提公因式后剩什么
教学难点：熟练运用提公因式法进行因式分解
教学过程：
一、复习
1、代数式的规范书写；
2、单项式的系数、指数； 3多项式的各个项分析； 4、乘法分配率的逆运用； 5、最小公倍数求法
二、新知识探究：
1、因式分解：把一个多项式分解为几个单项式的积的形式，叫因式分解。
2、公因式：多项式各项都含有的因式的积，叫这几个多项式的公因式。
（各项系数的最小公倍数与各项中相同字母的最低次方的积）
3、提公因式：公因式乘以多项式各项除以公因式的商的和
三、练习过程
因式分解练习题(提取公因式)
知识点一 因式分解的定义理解
把一个多项式化成 的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
【例题 】 1．下列变形是分解因式的是( )
A ．6x 2y 2=3xy ·2xy
B ．a 2－4ab+4b 2=(a －2b)2
C ．(x+2)(x+1)=x 2+3x+2
D ．x 2－9－6x=(x+3)(x －3)－6x
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A 、2222)1(xy y x x xy -=-
B 、)3)(3(92
-+=-x x x
C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-
D 、c b a x c bx ax ++=++)(
3、下列分解因式结果正确的是( )
A. a 2b +7ab －b =b (a 2+7a )
B. 3x 2y －3xy +6y =3y (x 2－x +2)
C. 8xyz －6x 2y 2=2xyz (4－3xy )
D. －2a 2+4ab －6ac =－2a (a －2b －3c )
知识点二：确定多项式的公因式的方法
1、我们把多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、找公因式的方法
1、ay ax +
2、36mx my -
3、2410a ab +
4、2
155a a + 5、22x y xy - 6、22129xyz x y -
7、()()m x y n x y -+- 8、()()2x m n y m n +++
9、3()()abc m n ab m n --- 10、2312()9()x a b m b a --- 知识点三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。
1、__()x y x y +=+
2、__()b a a b -=-
3、__()z y y z -+=-
4、()2
2___()y x x y -=- 5、33()__()y x x y -=- 6、44()__()x y y x --=- 7、22()___()()n n a b b a n -=-为自然数 8、2121()___()()n n a b b a n ++-=-为自然数
【专项训练】
一、把下列各式分解因式。
1、nx ny -
2、2a ab +
3、3246x x -
4、282m n mn +
5、23222515x y x y -
6、22129xyz x y -
7、2
336a y ay y -+
8、259a b ab b -+ 9、2x xy xz -+- 10、223241228x y xy y --+
11、323612ma ma ma -+- 12、32222561421x yz x y z xy z +-
13、3222315520x y x y x y +- 14、432163256x x x --+ 二：把下列各式分解因式。
1、()()x a b y a b +-+
2、5()2()x x y y x y -+-
3、6()4()q p q p p q +-+
4、()()()()m n P q m n p q ++-+-
5、2()()a a b a b -+-
6、2
()()x x y y x y ---
7、(2)(23)3(2)a b a b a a b +--+ 8、2()()()x x y x y x x y +--+
9、()()p x y q y x --- 10、(3)2(3)m a a -+- 11、()()()a b a b b a +--+
12、()()()a x a b a x c x a -+--- 13、333(1)(1)x y x z --- 14、22()()ab a b a b a --+-
15、()()mx a b nx b a --- 16、(2)(23)5(2)(32)a b a b a b a b a -----
17、(3)(3)()(3)a b a b a b b a +-+-- 18、2()()a x y b y x -+-
19、232()2()()x x y y x y x ----- 20、32()()()()x a x b a x b x --+--
21、234()()()y x x x y y x -+--- 22、2123(23)(32)()()n n a b b a a b n +----为自然数
三、利用因式分解计算。
1、7.6199.8 4.3199.8 1.9199.8⨯+⨯-⨯
2、2.186 1.237 1.237 1.186⨯-⨯
3、212019(3)(3)63-+-+⨯
4、198420032003200319841984⨯-⨯
四：利用因式分解证明下列各题。
1、求证：当n 为整数时，2n n +必能被2整除。
2、证明：一个三位数的百位上数字与个位上数字交换位置，则所得的三位数与原数之差能被99整除。
3、证明：2002200120003431037-⨯+⨯能被整除。
五：利用因式分解解答列各题。
1、22已知a+b=13，ab=40， 求2a b+2ab 的值。
2、32232132
a b ab +=
=已知，，求a b+2a b +ab 的值。