第五章 常 用 算 法2

常 用 算 法 -------------------------• • • • • • 排序算法 --〉比较互换 选择法 冒泡法 查找算法 --〉顺序查找 折半查找 素数的求法 --〉定义法 筛选法 解一元方程 --〉牛顿迭代法 二分法 数值积分 --〉矩形法 梯形法 辛普生法 数值转换 --〉B<->O<->D<->H
第一轮比较，初始化设最大元素下标为ｉＭａｘ＝１ 3 5 iMax=1 3 5 7 iMax=2 3 5 7 9 7 9 iMax=2 9 ４ iMax=3 ４ iMax=3 3 5 7 9 ４ iMax=4 iMax=4 S(1) S(iMax)的结果 9 5 7 3 ４ iMax=4 ４
如此下去，第二轮找到7，第三轮5，．．．． 选择法的公式表示： For i=1 to N-1 iMax=I for j=I+1 to N if(S(j) OP S(iMax)) then iMax=j next j ‘注意比较对象的转变 ‘初始化iMax,在每轮比较开始处
7.2.2 折半查找 折半查找法是对有序数列进行查找的一种高效查找办法，其基 本思想是逐步缩小查找范围，因为是有序数列，所以采取半分 作为分割范围可使比较次数最少. 比较过程:（设数列已做降序排序处理） 设置三个指针,分别指向数组序列 S 的Top,Bottom和Middle,其 中Middle=(Top+Bottom)/2,进行下列判断 X = 15
上述循环完成以后,数组中所有不为 0 的元素即为 m 范 围内的所有素数集合. 注意: 在查找素数之前要初始化一个大小至少为 m 数 组来进行比较. 非素数标志可以把数值置为零或者其他标志 最小素数从 2 开始
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7.4 解一元方程
迭代法的基本思想 迭代算法是一种重要的逐次逼近的方法，是常用算法之 一，其基本思想是将非线性方程 F(x)=0 逐步转化某种线性方 程并求解，直到此线性方程和一元方程在根处的线性方程非 常相似即可认为找到根。步骤如下： 1、将F(x)=0 转化为x=g(x)的形式 2、给出一个初值x0，由式子求出 x1= g(x0) 3、判断|x1-x0|<ε是否成立，如不成立，将 x0 = x1 4、转去继续执行第2步 可见迭代要利用上一次的迭代结果，所以必须初始化一个 迭代初值。通常表现为 根 所在的近似位置。
第一轮比较：
1 2 3 5 5
2 1 1 1 1
3 3 2 2 2
5 5 5 3 3
4 4 4 4 4
第一轮结束，找到最大值 5
第二轮比较：
5 5 5 5
1 2 3 4
2 1 1 1
3 3 2 2
4 4 4 3
第二轮结束，找到第二最大值 4
第三轮结果：5 4 3 1 2 第四轮结果：5 4 3 2 1 公式表示：(N为排序的维数, OP为操作，降序为 “>”) for (i=1 to N-1) for (j=i+1 to N) ‘外层循环N-1次 ‘内层依赖外层
牛顿迭代法解一元方程 三要素：迭代初值，元方程，导数方程 X0=a :X1=X0 （X1=a） Do X0=X1 F (x)= F’ (x)= X1=X0-F(x)/F’(x) ‘为下一次迭代做准备 ‘ ‘ ‘计算下一次的迭代值 ‘初始化迭代初值
Loop While Abs(X1-X0)>Precision ‘直到结果非常相近 ‘X1 即为结果 其中 Precision为要求的精度. VB例题点此进入
7.4.1 牛顿迭代法的基本思想
y f(x) f(x1)
牛顿迭代公式为： Xn+1=Xn - F(Xn)/F’(Xn)
f(x2)
其中，F’(X)为F(X)的 导数方程,因为迭代要 利用上一次的迭代结果， 所以必须初始化一个迭 代初值。通常表现为 根 所在的近似位置。
f(x3) 0 x3 x2 x1
if(S(j) OP S(j+1)) then t=S(j):S(j)=S(j+1):S(j)=t ‘立即互换 end if next j next i
7.2 常用的查找算法
7.2.1 顺序查找 顺序查找表现是把待查找的数与数组中的数从头 到尾逐一比较，用一变量 P 来表示当前比较的位置， 初始为1，当待查找的数与数组中 P 位置的元素相等时 即可结束,否则 P=P+1 继续比较，当 P 大于 数组的最大 长度,也应该结束． 注意退出的两种情况，分别为 数组的最大长度． 找到 和 P大于
折半查找的公式表示： result = False ‘初始化逻辑变量 Top = 1:bottom = N:middle=(top+bottom)/2 ‘初始化指针 Do While (result = False and middle<>bottom) ‘构造循环 middle = (bottom +Top) / 2 ‘初始化指针 If X = S(middle) Then ‘判断 result = True ‘找到 Else If X > S(middle) Then ‘根据大小 Top = middle + 1 ‘确定下一步比较范围 Else bottom = middle - 1 End If End If Loop ‘下一步通过分析result的真值来区分是否找到
பைடு நூலகம்
用Do While进行顺序查找（ｘ为待查找的数）： P=1 Do while x<>S(p) And p<N p=p+1 Loop ‘退出的两种情况 If x=S(p) then ‘找到，处理 else ‘没找到，处理 end if VB例题点此进入 ‘初始化比较位置
用For Next进行顺序查找（ｘ为待查找的数）： For p = 1 To N If a(p) = x Then Exit For End If Next ‘退出的两种情况 If p > N Then ‘没找到，处理 Else ‘找到，处理 End If VB例题点此进入
第一轮比较：
9 4 4 4 4
4 9 7 7 7
7 7 9 5 5
5 5 5 9 2
2 2 2 2 9
第一轮结束，最大值 9沉到最底
第二轮比较：
4 4 4 4
7 7 5 5
5 5 7 2
2 2 2 7
9 9 9 9
第二轮结束，次大值7沉到倒数第二
冒泡法的公式表示： For i=1 to N-1 for j=1 to N-i ‘比较次数逐次减少
y f(x2)
x1 0
f(x) x x2
f(x1)
二分法解一元方程的公式表示： F1=F(X1):F2=F(X2) Do X=(X1+X2)/2:F=F(X) if (F*F1)>=0 then X1=X:F1=F End if If (F*F1)<=0 then X2=X:F2=F End if Loop while Abs(X1-X2)>Precision And F>Precision_of_F
7.1 常用的排序算法
1：比较互换法 基本过程（以降序为例）：将第一个元素顺序与其后 面的元素比较，比第一个大则进行交换，第一轮完毕 后，最大的元素被挪到了第一个位置，第二轮从第二 个元素开始重复上面的过程，结束后得到第二个最大 的元素，如此下去经过 N-1 轮的比较，可将 N 个数 排好 :举例 原始数据： 1，2，3，5，4 要求：降序
1
Top
3
4
6
8
10
Middle
12
15
18
20
25
Bottom
1) 若待查找的数 X 等于S(Middle),则已经找到,位置就是Middle.否 则进行下面的判断. 2) 如果 X 小于 S(Middle),因为是有序数列,则 X 必定落在Top 和 Middle-1的范围之内,下一步查找只需在此范围之内进行即可.即 Top位置不动,Bottom变为 Middle-1.重复 1) 即可. 3) 如果 X 不小于 S(Middle),则 X 必定落在 Middle+1 和 Bottom之 间,下一步查找范围应该是 Top=Middle+1 和 Bottom,设定完Top後 即可转到 1) 继续判断. 注意: 在此循环过程中,Top,Middle,Bottom都是表示位置的整数,如果循 环到 Top=Middle 或者 Middle=Bottom,则表明此数列中没有我们 要找的数.应该退出循环.
根据定义判断是否素数的公式表示 I=2:j=sqr(m) ‘初始化
Do While(I<=j) and (m Mod i)<>0 I=I+1 Loop ‘根据退出的两种情况来判断是否素数 If I>j then ‘是素数 else ‘有整除情况 end if VB例题点此进入
7.3.2 用筛选法求素数(用来找出指定范围的所有素数)
算法简介: 首先把 2 - m 内所有数放入筛中,然后找出筛中 最小的素数,并将该数在范围之内的所有倍数的数去掉, 依次进行,直到筛中的最小的素数已经超出 m 的范围. 理解: 最小素数去掉所有倍数以后的数中近邻的数即 是下次循环的最小素数. 退出的条件是:最小素数已经等于最大的数,即 指定的查找范围.
if （S(j) OP S(i)）then t=S(i):S(i)=S(j):S(j)=t End if Next j Next I VB例题点此进入 ‘交换
2：选择法排序 特点：比较後不立即互换元素，而是记下其位置并 在每一轮比较完毕后和Ｓ（ｉ）互换． 首先，比较的元素不同，以降序为例，是当前元素 与上次比较後的最大元素进行比较，因此，在进行 比较之前，要有一个初始化最大元素的过程． 其次，确定完毕的元素的互换是在每一轮完成后进 行的，而不是在比较後进行的． 再次，互换元素的不同，为Ｓ（i）和Ｓ（iMax） :举例 原始数据： 3，5，7，9，4 要求：降序