专题08分类讨论思想在二次函数最值中的应用-备战2020高考技巧大全之高中数学黄金解题模板(原卷版)
二次函数复习二次函数解决最值问题的思路与策略
二次函数复习二次函数解决最值问题的思路与策略二次函数复习：解决最值问题的思路与策略二次函数在高中数学中是一个重要的内容，涉及到了最值问题的求解。
本文将从复习二次函数的基本形式开始，逐步介绍解决最值问题的思路与策略。
一、二次函数的基本形式二次函数一般具有如下基本形式：f(x) = ax^2 + bx + c (a≠0)其中，a、b、c为实数，且a不等于0。
通过调整a、b、c的值，可以使二次函数的图像发生上下平移、左右平移和翻转等变化。
二、最值问题的定义在二次函数中，最值问题通常指的是求解函数的最大值或最小值。
最大值对应函数的顶点，最小值对应函数的谷点。
三、解决最值问题的思路解决最值问题的思路可以总结为以下几个步骤：1. 了解函数的基本形式：首先确定二次函数的基本形式，即f(x) = ax^2 + bx + c。
根据实际问题的给定条件，确定a、b、c的值。
2. 求解顶点坐标：通过平移变换，将二次函数的图像平移到合适的位置，使其顶点的坐标易于计算。
顶点的横坐标可通过 x = -b/(2a) 得到，而纵坐标可通过代入横坐标得到。
3. 判断最值类型：根据二次函数的开口方向（即a的正负）来判断最值类型。
当a>0时，函数开口向上，为最小值问题；当a<0时，函数开口向下，为最大值问题。
4. 求解最值：根据最值类型和顶点的坐标，可以直接得到函数的最值。
四、解决最值问题的策略解决最值问题的策略根据具体情况有所不同，下面列举了几种常见的策略：1. 利用函数的图像分析：通过观察二次函数的图像，分析函数在定义域上的变化趋势，找到最值所处的位置。
2. 利用对称性求解：当二次函数关于y轴对称时，可以利用对称性直接得到函数的最值。
3. 应用配方法：对于一些复杂的二次函数，可以通过配方法将其化简为标准的二次函数形式，然后再求解最值。
4. 利用一元二次不等式求解：通过将二次函数转化为一元二次不等式，可以得到函数的最值所在的区间，进而求解最值。
二次函数应用题最值解法技巧
二次函数应用题最值解法技巧
求解二次函数的最值，是高中数学教学中常见的问题，也是学生学习，应对考试经常遇到的难题。
下面介绍一般常用的求解二次函数最值的技巧：
一、求图像上最大最小值的步骤：
1、分析二次函数的几个重要关于最值的性质。
首先，二次函数的最值总是取决于它的顶点，而顶点的横纵坐标即为二次函数的最值。
2、求得顶点的横纵坐标，可以采用求导法：二次函数y=ax2+bx+c的导数为y'=2ax+b，上下两个函数图像关于x轴对称，故用y'=0即可求得函数最大最小值点的横坐标值。
3、求得二次函数最值点的横坐标后，就可以替换到y=ax2+bx+c中，求出该点处函数的值，就是函数的最值。
二、求导法求解二次函数最值的注意事项：
1、求导时，需要用合适的表达式；
2、求导法仅适用于求确定数学函数的最大最小值，不能用来求未定义函数或参数函数的最大最小值；
3、求导时，需要判断函数在不同区域的极大值极小值情况，以及确定顶点的横纵坐标值。
以上内容是求解求解二次函数的最值的常用技巧，但是学生在复习时，还需要多积累二次函数求解最值的实际应用实例，熟悉不同情况下的求解步骤，加强对求解最值的熟练操作。
备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题08 分类讨论思想在二次函数最值中的应用(解析版)
【高考地位】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 二次函数在闭区间上最值问题在高考各省市的考题中经常出现，由于二次函数分类讨论参变量取不同的值时，可引起函数性质的变化，因此研究二次函数在区间上的最值问题常见处理方法是有必要的.【方法点评】类型 求二次函数最值问题使用情景：二次函数在区间上的最值问题解题模板：第一步 通过观察函数的特征，分析二次函数的表达式中是否具有参数，且参数的位置在什么位置；第二步 通过讨论二次函数的对称轴和已知区间之间的关系进行分类讨论； 第三步 根据二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值；第四步 得出结论.例1已知函数()y f x =是二次函数，且满足(0)3f =，(1)(3)0f f -== （1）求()y f x =的解析式；（2）若[,2]x t t ∈+，试将()y f x =的最大值表示成关于t 的函数()g t ．【答案】（1）2()23f x x x =-++；（2）2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪=-<<⎨⎪-++≥⎩．【解析】试题解析：（1）由题可设()(1)(3)f x a x x =+-， 又(0)3f =，得a ＝－1，得2()23f x x x =-++ （2）由（1）知，()y f x =的对称轴为01x =，若1t ≥，则()y f x =在[,2]t t +上是减函数，2max ()23y f t t t ==-++…8分 若21t +≤，即1t ≤-，则()y f x =在[,2]t t +上是增函数，2max (2)23y f t t t =+=--+若12t t <<+，即11t -≤≤，则max (1)4y f ==故 2223(1)()4(11)23(1)t t t g t t t t t ⎧--+≤-⎪=-<<⎨⎪-++≥⎩。
如何解决二次函数的最值问题
如何解决二次函数的最值问题二次函数是高中数学中的一个重要概念，在学习过程中，我们常常会遇到解决二次函数的最值问题。
解决这类问题有一定的方法和技巧，本文将会介绍如何解决二次函数的最值问题，希望能对读者有所帮助。
一、求解二次函数的最值问题的基本思路：解决二次函数的最值问题，首先需要确定函数的开口方向。
我们知道，二次函数的图像可以是一个开口向上的抛物线，也可以是一个开口向下的抛物线。
其中，开口向上的抛物线的最小值为最小值，开口向下的抛物线的最大值为最大值。
因此，第一步就是确定二次函数的开口方向。
我们可以通过判断二次函数的二次项系数的正负来确定开口方向。
如果二次项系数为正，那么图像的开口方向就是向上；如果二次项系数为负，那么图像的开口方向就是向下。
确定开口方向后，我们需要找到二次函数的顶点。
顶点是二次函数图像的最值点，对于开口向上的抛物线，顶点即为最小值点；对于开口向下的抛物线，顶点即为最大值点。
通过求解二次函数的顶点，我们就能得到二次函数的最值。
二、求解二次函数的最值问题的具体方法：1. 确定开口方向：设二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，在该函数中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
若a>0，则二次函数的图像开口向上；若a<0，则二次函数的图像开口向下。
2. 求解顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过公式来求解。
设顶点坐标为(h,k)，则有：h = -b / (2a)k = f(h) = ah² + bh + c通过求解h和k的值，我们可以得到二次函数的顶点坐标。
3. 求解最值：根据开口方向，我们可以判断最小值或最大值的位置。
若二次函数的开口向上，则最小值为顶点的纵坐标k；若二次函数的开口向下，则最大值为顶点的纵坐标k。
通过上述步骤，我们可以求解二次函数的最值问题。
三、解决二次函数的最值问题的实例：为了更好地理解上述方法，我们来看一个具体的例子：例题：求解二次函数f(x) = 2x² - 8x + 5 的最值。
二次函数的最值与最值问题的应用
二次函数的最值与最值问题的应用二次函数是数学中常见的一类函数，具有很多重要的性质和应用。
其中最值与最值问题是二次函数的重要内容之一。
本文将详细介绍二次函数的最值性质，以及如何利用最值问题解决实际应用中的相关问题。
一、二次函数的基本性质二次函数的一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像为抛物线，开口方向取决于a的正负性。
在讨论二次函数的最值之前，我们先了解一些与最值相关的基本性质。
1. 首先，二次函数的开口方向由系数a的正负性决定。
当a > 0时，抛物线开口向上，函数的最小值出现在顶点上；当a < 0时，抛物线开口向下，函数的最大值出现在顶点上。
2. 其次，二次函数的顶点即为函数的最值点。
顶点坐标为（h, k），其中h为抛物线的对称轴的横坐标，k为函数的最值（最小值或最大值）。
3. 再次，二次函数的对称轴与顶点的横坐标相同。
对称轴的方程为x = h。
二、二次函数的最值问题二次函数的最值问题是指求解函数的最小值或最大值的问题。
在实际应用中，最值问题经常出现，例如求解投掷问题中的飞行距离最大值或者盈利问题中的最大利润等。
1. 求解二次函数的最值为了求解二次函数的最值，我们可以利用二次函数图像的特点，即找出抛物线的顶点坐标。
通过完成平方项的平方，将二次函数转换为顶点形式，可以轻松地求解最值问题。
例如，对于函数y = x² - 4x + 3，我们可以完成平方项的平方，将其转换为顶点形式：y = (x - 2)² - 1从中可以看出，顶点坐标为（2, -1），函数的最小值为-1。
因此，原二次函数的最小值为-1。
2. 应用最值问题最值问题在实际应用中非常常见，下面以一个具体的应用为例进行解析。
例题：某商品的价格为p（元），销量为x（件），已知该商品的价格和销量满足二次函数关系p = 0.5x² - 2x + 8，求该商品的最佳销量以及最佳价格。
分类讨论思想在求二次函数最值中的应用
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数学思想方法在二次函数中的应用
数学思想方法在二次函数中的应用数学思想方法广泛应用于各个数学领域中，其中二次函数作为数学中的重要概念之一，也同样涉及到数学思想方法的运用。
以下是数学思想方法在二次函数中的几个应用。
一、借助图像思维解决二次函数问题二次函数的图像为抛物线，通过对图像的观察和分析，可以解决一些与二次函数相关的问题。
分析图像的开口方向。
当二次函数的二次项系数大于0时，抛物线开口向上，二次项系数小于0时，抛物线开口向下。
然后，观察图像与坐标轴的交点。
二次函数与x轴相交的点称为零点，与y轴相交的点称为截距。
通过求解二次函数与x轴的交点，可以求得其零点；通过求解二次函数与y轴的交点，可以求得其截距。
还可以利用图像的对称性推出二次函数的对称轴和顶点信息。
对称轴是垂直于x轴的一条线，抛物线关于对称轴对称；顶点是抛物线的最高点或最低点，是抛物线的极值点。
二、使用函数分析法解决二次函数问题函数分析法是一种通过对函数的定义域、值域、增减性、极值和凹凸性进行分析，以推导出函数的性质和解决问题的方法。
对于二次函数。
可以通过求解二次函数的导数来确定函数的增减性、极值点和凹凸性。
二次函数的导函数是一次函数。
求解一次函数的零点，得到增减性的分界点；然后，通过求解一次函数的导数的零点，得到极值点。
二次函数导数的符号与一次函数的增减性相同。
当二次函数的导数大于0时，二次函数递增；当导数小于0时，二次函数递减。
通过分析函数的增减性和极值点，可以得到二次函数在不同区间的变化趋势和取值范围，从而对二次函数进行更深入的理解和应用。
方程法是指通过建立方程，利用方程的性质来解决问题的方法。
对于二次函数，可以通过建立二次方程来解决与二次函数相关的问题。
求解二次函数的极值点、零点等问题。
对于求解二次函数的极值点，可以通过将二次函数转化为标准形式，并观察得到的一次函数的系数来确定极值点的横坐标。
对于求解二次函数的零点，可以先将二次函数转化为标准形式，然后使用求根公式或配方法来求解方程的解。
高中数学中的二次函数的最值问题
高中数学中的二次函数的最值问题二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
而在二次函数的研究中，最值问题是一个重要的方面。
本文将探讨高中数学中的二次函数的最值问题，并从不同角度进行分析和讨论。
一、二次函数的基本特征二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
二次函数的图像一般为抛物线，开口的方向取决于a的正负。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的最值问题在二次函数中，最值问题是研究函数的最大值和最小值的问题。
我们可以通过求解二次函数的导数来找到函数的最值点。
首先，通过求导可以得到二次函数的导函数f'(x) = 2ax + b。
然后，令导函数等于零，即2ax + b = 0，解方程可以得到最值点的横坐标。
最后，将横坐标代入二次函数中，求得最值点的纵坐标。
三、二次函数最值问题的几个例子1. 求解二次函数f(x) = x^2 + 2x - 3的最大值和最小值。
首先，求导得到f'(x) = 2x + 2。
令f'(x) = 0，解方程得到x = -1。
将x = -1代入原函数f(x)，得到f(-1) = -2。
因此，最大值为-2，最小值为f(-1) = -2。
2. 求解二次函数f(x) = -2x^2 + 4x + 1的最大值和最小值。
同样地，求导得到f'(x) = -4x + 4。
令f'(x) = 0，解方程得到x = 1。
将x = 1代入原函数f(x)，得到f(1) = 3。
因此，最大值为3，最小值为f(1) = 3。
3. 求解二次函数f(x) = 3x^2 - 6x + 2的最大值和最小值。
求导得到f'(x) = 6x - 6。
令f'(x) = 0，解方程得到x = 1。
将x = 1代入原函数f(x)，得到f(1) = -1。
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【高考地位】
分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用
. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 二次函数在闭区间
上最值问题在高考各省市的考题中经常出现，由于二次函数分类讨论参变量取不同的值时
，可引起函数性质的变化，因此研究二次函数在区间上的最值问题常见处理方法是有必要的.
【方法点评】
类型
求二次函数最值问题使用情景：二次函数在区间上的最值问题
解题模板：第一步
通过观察函数的特征，分析二次函数的表达式中是否具有参数，且参数的位置在什么位置；
第二步
通过讨论二次函数的对称轴和已知区间之间的关系进行分类讨论；第三步
根据二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值；
第四步
得出结论. 例1已知函数()y
f x 是二次函数，且满足(0)3f ，(1)(3)0f f （1）求()y
f x 的解析式；[来源:学*科*网]（2）若[,2]x t t ，试将()y f x 的最大值表示成关于t 的函数()
g t ．
例2 已知函数2(=(0,,)f x ax bx c a b R c R ），若函数()f x 的最小值是(1)0,(0)1f f 且对称轴是1x ，()(0)()()(0)f x x
g x f x x ．
（1）求(2)(2)g g 的值；
（2）在（1）条件下求()f x 在区间,2t t ()t R 的最小值．
【变式演练1】已知函数
2()21f x x ax ，[来源:Z&xx&]（1）求()f x 在区间1,2的最小值()g a ；（2）求()f x 在区间1,2的值域
【变式演练2】设函数2()
,,f x x ax b a b R ．（1）当2a 时，记函数|()|f x 在[0，4]上的最大值为()g b ，求()g b 的最小值；
（2）存在实数a ，使得当[0,]x
b 时，2()6f x 恒成立，求b 的最大值及此时a 的值．[来源:学,科,网]
【变式演练3】记函数
2()f x ax bx c （a ，b ，c 均为常数，且0a ）．（1）若1a ，c f b
f （c b ），求2f 的值；（2）若1b ，a c 时，函数x f y 在区间[1,2]上的最大值为()
g a ，求()g a ．
【变式演练4】已知二次函数
2()y f x x bx c 的图象过点)13,1(，且函数y 1()2f x 是偶函数．（1）求()f x 的解析式；
（2）已知2t ,x x x f x g ]13[2，求函数x g 在]2,[t 上的最大值和最小值；
（3）函数()y f x 的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
[来源:学_科_网]
【高考再现】
1. 【2016高考浙江文数】已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b<0”是“f （f （x ））的最小值与
f （x ）的最小值相等”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
2. 【2015高考湖北，文17】a 为实数，函数错误！未找到引用源。
在区间错误！未找到引用源。
上的最大值记为错误！未找到引用源。
. 当错误！未找到引用源。
_________时，错误！未找到引用源。
的值最小. 3. 【2015高考浙江，理
18】已知函数2()(,)f x x ax b a b R ，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]上的最大值.
（1）证明：当||2a 时，(,)
2M a b ；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ，求||
||a b 的最大值. 4.【2014江苏，理10】已知函数2()1f x x mx ，若对于任意的,1x m m 都有()0f x ，则实数m 的取值范围为.。