备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题21三角形中的最值问题Word版含解析版
三角形内最值问题
三角形内最值问题
三角形内最值问题是一个常见的问题，它涉及到在给定三角形中找到某些几何量的最大值或最小值。
下面是一些解决这类问题的一般方法：
1. 基础几何知识：解决这类问题需要掌握一些基本的几何知识，如三角形的性质、三角函数、勾股定理等。
2. 对称性：考虑三角形是否具有某种对称性，如轴对称或中心对称，这有助于找到最值的位置。
3. 极值定理：在某些情况下，可以使用极值定理（如AM-GM不等式、Cauchy-Schwarz不等式等）来找到最值。
4. 函数建模：将问题转化为函数的最值问题，然后使用导数或其他数学工具来找到最值。
5. 参数方程：有时可以通过引入参数来表示几何量，然后通过参数的变化找到最值。
6. 优化技术：可以使用一些优化技术，如梯度下降、牛顿法等，来找到最值。
解决三角形内最值问题的具体方法取决于问题的具体情况和给定的条件。
在处理这类问题时，需要仔细分析问题，选择合适的数学工具和方法来解决。
三角形中的最值问题
三角形中的最值问题三角形中的最值问题一、利用三角函数有界性求最值 例1.1．在△ABC 中，2222a c b ac +=(1)求B 的大小； (2)2cos A ＋cos C 的最大值． 二、利用均值不等式求最值 例2.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． 例3.3．已知ABC 中，30C =︒，2AB =，则ABC 面积的最大值为__________． 三、利用有限与无限思想求最值 例4.4．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．例5.5．已知ABC 中，302C AB AC =︒==，，点P 满足34PA PB ⋅=−,则PC 的最小值为_______．例6.6．已知ABC ∆中，3AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________． 四、利用解析法求最值 例7.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AC 边的中点，且60B =︒，4a c +=，则线段BD 长的最小值为_______． 五、利用向量法求最值 例8.8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AC 边的中点，且60B =︒，4a c +=，则线段BD 长的最小值为_______．通过对以上几道例题的分析，我们发现，对涉及三角的最值问题，虽然具有一定的灵活性，但只要我们能结合题意，从实际出发选取恰当的方法，就能使问题得到较好的解决．因此，教师在平时的教学过程中，要注重学生的数学思想方法的生成、发展内化、升华过程，以达到举一反三、触类旁通的效果． 六、与其它知识点交汇的最值问题研究三角形的对象主要是边、角和面积，其中边与角是研究问题的主体，且这些对象都是以实数大小体现出来，所以它们可以与其它知识点进行交汇，如向量、数列、不等式等，等解题时要综合运用这些知识和相关方法，灵活处理． 例9.9．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若向量n ，m 分别满足：()5cos 1cos cos 822A B A B n m A B −−⎛⎫⎛⎫==−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，且98m n ⋅=．（1）求tan tan A B 的值； （2）求222sin ab Ca b c +−的最大值．综上所述，我们不难发现：求三角形中不定量（式）的取值范围或最值掌握正（余）弦定理的“本”（边化角，角化边）是解决问题的前提条件，能充分而又正确运用正（余）弦定理的“本”去实现三角形中边角关系的互换是解决问题所必须具备的能力，而问题能解决的关键是在正确运用正（余）弦定理的“本”的基础上合理运用不等式思想和三角函数思想，并通过利用不等式的性质（均值不等式等）和三角函数的有界性求出所求问题的结论． 同步练习10．已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ）A 5B 25C 35D 511．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos 2cos b C c B =，且2c =，则ABC ∆面积的最大值为__________．12．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +−=−，则ABC 面积的最大值为____________.13．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若()()3 1cosA sinB sin A cosB −=+，6a c +=，则ABC ∆的面积的最大值为________14．已知A ，B ，C 为ABC 的三个内角，若cos 0A >，且cos23sin 10A A −+=，求()()31sin 2cos 2C A A B C −+−+的最大值． 15．ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 16．在ABC ，若33A a π==，，求ABC 面积的最大值．17．已知ABC 中，132CA AB CB ==，，则ABC 面积的最大值为__________．18．等腰△ABC 中，AB =AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD =3，则△ABC 的面积最大值为_____． 19．已知ABC 中，2AB =，3AC BC =，则ABC 面积的最大值是__________．三角形中的最值问题三角形中的最值问题一、利用三角函数有界性求最值 例1.1．在△ABC 中，222a c b +=+(1)求B 的大小； (2)＋cos C 的最大值． 二、利用均值不等式求最值 例2.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知2(tan A ＋tan B)＝tan tan cos cos A BB A+. (1)证明：a ＋b ＝2c ； (2)求cos C 的最小值． 例3.3．已知ABC 中，30C =︒，2AB =，则ABC 面积的最大值为__________． 三、利用有限与无限思想求最值 例4.4．如图在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是___________．例5.5．已知ABC 中，302C AB AC =︒==，，点P 满足34PA PB ⋅=−,则PC 的最小值为_______．例6.6．已知ABC ∆中，AB AC ==ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，则ABC ∆面积的最大值为__________． 四、利用解析法求最值 例7.7．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AC 边的中点，且60B =︒，4a c +=，则线段BD 长的最小值为_______． 五、利用向量法求最值 例8.8．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 为AC 边的中点，且60B =︒，4a c +=，则线段BD 长的最小值为_______．通过对以上几道例题的分析，我们发现，对涉及三角的最值问题，虽然具有一定的灵活性，但只要我们能结合题意，从实际出发选取恰当的方法，就能使问题得到较好的解决．因此，教师在平时的教学过程中，要注重学生的数学思想方法的生成、发展内化、升华过程，以达到举一反三、触类旁通的效果． 六、与其它知识点交汇的最值问题研究三角形的对象主要是边、角和面积，其中边与角是研究问题的主体，且这些对象都是以实数大小体现出来，所以它们可以与其它知识点进行交汇，如向量、数列、不等式等，等解题时要综合运用这些知识和相关方法，灵活处理． 例9.9．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若向量n ，m 分别满足：()5cos 1cos cos 822A B A B n m A B −−⎛⎫⎛⎫==−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，且98m n ⋅=．（1）求tan tan A B 的值； （2）求222sin ab Ca b c +−的最大值．综上所述，我们不难发现：求三角形中不定量（式）的取值范围或最值掌握正（余）弦定理的“本”（边化角，角化边）是解决问题的前提条件，能充分而又正确运用正（余）弦定理的“本”去实现三角形中边角关系的互换是解决问题所必须具备的能力，而问题能解决的关键是在正确运用正（余）弦定理的“本”的基础上合理运用不等式思想和三角函数思想，并通过利用不等式的性质（均值不等式等）和三角函数的有界性求出所求问题的结论． 同步练习10．已知△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，若满足a 2+b 2+2c 2＝8，则△ABC 面积的最大值为（ ） A 5B ．55C ．355D 511．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos 2cos b C c B =，且2c =，则ABC ∆面积的最大值为__________．12．已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +−=−，则ABC 面积的最大值为____________.13．在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若()()3 1cosA sinB sin A cosB −=+，6a c +=，则ABC ∆的面积的最大值为________14．已知A ，B ，C 为ABC 的三个内角，若cos 0A >，且cos23sin 10A A −+=，求()()1sin 2cos 2C A A B C −−+的最大值． 15．ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 16．在ABC ，若33A a π==，，求ABC 面积的最大值．17．已知ABC 中，132CA AB CB ==，，则ABC 面积的最大值为__________．18．等腰△ABC 中，AB =AC ，BD 为AC 边上的中线，且BD =3，则△ABC 的面积最大值为_____．19．已知ABC 中，2AB =，AC =，则ABC 面积的最大值是__________．参考答案：1．（1）π4（2）1【详解】试题分析：（1）由余弦定理及题设得222cos 222a cb B ac ac +−===⇒4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=⇒3cos cos()4A C A A π+=+−cos()4A π=−⇒当4A π∠=cos A C +取得最大值1．试题解析： （1）由余弦定理及题设得222cos 2a c b B ac +−===又∵0B π<∠<，∴4B π∠=；（2）由（1）知34A C π∠+∠=，3cos cos()4A C A A π+=+−cos sin 22A A A =−+cos()4A A A π+=−，因为304A π<∠<，所以当4A π∠=cos A C +取得最大值1．考点：1、解三角形；2、函数的最值.2．（1）见解析；（2）12．【详解】试题分析：（1）根据三角函数的基本关系式，可化简得2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+，再根据A B C π++=，即可得到sin sin 2sin A B C +=，利用正弦定理，可作出证明；（2）由（1）2a bc +=，利用余弦定理列出方程，再利用基本不等式，可得cos C 的最小值. 试题解析：（1）由题意知，sin sin sin sin 2()cos cos cos cos cos cos A B A BA B A B A B+=+， 化简得：2(sin cos sin cos )sin sin A B B A A B +=+即2sin()sin sin A B A B +=+，因为A B C π++=，所以sin()sin()sin A B C C π+=−=， 从而sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=.（2）由（1）知，2a b c +=，所以222222()3112cos ()22842a b a b a b c b a C ab ab a b ++−+−===+−≥，当且仅当a b =时，等号成立，故cos C 的最小值为12. 考点：三角恒等变换的应用；正弦定理；余弦定理.【方法点晴】本题主要考查了三角恒等变换的应用、正弦定理与余弦定理的应用，涉及到三角函数的基本关系式和三角形中的性质和基本不等式的应用，着重考查了转化与化归思想和学生的推理与运算能力，以及知识间的融合，属于中档试题，解答中熟记三角函数恒等变换的公式是解答问题的关键.3．22．【分析】利用余弦定理和基本不等式求出(42ab ≤，利用ABC 面积公式即可求出ABC 面积的最大值.【详解】设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，由余弦定理，得2222222cos302a b ab a b ab =+−︒=+≥．所以(42ab ≤=，当且仅当a b =时等号成立．所以11sin 224ABCSab C ab ==≤所以ABC 面积的最大值为2故答案为：24．【详解】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B=∠C=75°，∠E=30°，BC=2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE AD ，当D 与C 重合时，AB 最短，此时与AB交于F ，在△BCF 中，∠B=∠BFC=75°，∠FCB=30°，由正弦定理知，sin sin BF BCFCB BFC=∠∠，即o o2sin 30sin 75BF =，解得AB .考点：正余弦定理；数形结合思想512##12−【分析】以BC 中点为原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算可得2211224x y ⎛⎛⎫++−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．进而根据圆的几何性质即可求出结果.【详解】以BC 中点为原点，以BC 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()01A ，，()B ，．设()P x y ，，则()(),1,3,PA x y PB x y =−−−−−，由34PA PB ⋅=−,得221124x y ⎛⎛⎫+−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭．所以点P 的轨迹是圆心为12M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，半径为12的圆，MC =．由圆的几何性质可知，PC 12．12．6【详解】设||2BC a=，以BC所在直线为x轴、其中垂线OA所在直线为y轴建立直角坐标系（如图所示），则(,0),(,0),B aC a A−，设(,)P x y，由22233PB PC PA+==，得222222()()3(1x a y x a yx y⎧+++−+=⎪⎨+=⎪⎩，即2222223231x y ax y a⎧+=−⎪⎨⎪+−+−=⎩，则272211ay⎧−=⎪≤≤，则222(3)2(3)a a−−≤≤−+即22272(3)22(3)2a a a−−≤−≤−+解得a≤122ABCS a∆=⨯≤即ABC∆面积的最大值为16.7【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，求得1244cD a c⎛⎫+⎪⎪⎝⎭，，再利用两点间距离公式结合基本不等式求解.【详解】如图所示，以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则点()102A c C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 因为D 为AC 边的中点，所以点124c D a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2221244c BD a c ⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2214a c ac =++， 21()4a c ac ⎡⎤=+−⎣⎦， 144ac =−≥214342a c +⎛⎫−= ⎪⎝⎭． 当且仅当2a c ==时取等号，所以线段BD8【分析】以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，求得1244c D a c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，，再利用两点间距离公式结合基本不等式求解. 【详解】如图所示，以点B 为坐标原点建立平面直角坐标系，则点()102A c C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，． 因为D 为AC 边的中点，所以点124c D a ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以2221244c BD a c ⎫⎛⎫=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()2214a c ac =++， 21()4a c ac ⎡⎤=+−⎣⎦， 144ac =−≥214342a c +⎛⎫−= ⎪⎝⎭． 当且仅当2a c ==时取等号，所以线段BD9．（1）19；（2）38−．【分析】（1）根据()5cos 1cos cos 822A B A B n m A B −−⎛⎫⎛⎫==−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，利用数量积的坐标运算化简求解；（2）根据余弦定理化简得到222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+−，再结合（1）1tan tan 9A B =，利用两角和的正切公式结合基本不等式求解.【详解】（1）因为()5cos 1cos cos 822A B A B n m A B −−⎛⎫⎛⎫==−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，由数量积的坐标运算可得：()()()255191991cos cos 1cos 1cos cos cos sin sin 82828888A B A B A B A B A B A B −⎡⎤⎡⎤⎡⎤−++=−+++−=−+=⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简整理得：cos cos 9sin sin A B A B =， 因为cos cos 0A B ≠， 所以1tan tan 9A B =． （2）由余弦定理得2222cos a b c ab C +−=， 所以222sin sin 1tan 2cos 2ab C ab C C a b c ab C ==+−，又因为（1）知1tan tan 9A B =， 所以A ，B 皆为锐角，即tan 0A >，tan 0B >，所以()()tan tan 993tan tan tan 1tan tan 884A B A B A B A B ++==+≥⨯=−，所以()222sin 113tan tan 228ab C C A B a b c ==−+≤−+−， 即222sin 38ab C a b c ≤−+−， 所以222sin ab Ca b c +−的最大值为38−．10．B【解析】根据a 2+b 2+2c 2＝8，得到22282a b c +=−，由余弦定理得到22cos 83ab C c =−，由正弦定理得到2sin 4ab C S =，两式平方相加得()()()22224834ab c S =−+，而222822a b c ab +=−≥，两式结合有()()()()222222248283165S c c c c ≤−−−=−，再用基本不等式求解.【详解】因为a 2+b 2+2c 2＝8， 所以22282a b c +=−，由余弦定理得222283cos 22a b c c C ab ab +−−==， 即22cos 83ab C c =−① 由正弦定理得in 12s S ab C =，即2sin 4ab C S =②由①，②平方相加得()()()()()222222222483482ab c S a b c =−+≤+=−，所以()()()()2222222222116556448283165525c c S cc c c ⎛⎫−+≤−−−=−≤= ⎪⎝⎭，即245S ≤，所以S ≤， 当且仅当22a b =且221655c c −=即222128,55a b c ===时，取等号. 故选：B【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理及基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 11．3【分析】根据cos 2cos b C c B =，利用正弦定理得sin cos 2cos sin B C B C =，再利用两角和的正弦，有sin 3cos sin =A B C ，再根据2c =，表示：2sin sin Aa C=，2sin sin B b C =，然后代入正弦定理三角形面积公式求解.【详解】由cos 2cos b C c B =得sin cos 2cos sin B C B C =， 所以sin sin()sin cos cos sin 3cos sin A B C B C B C B C =+=+=， 由2c =可得2sin sin sin a bC A B==， 所以2sin sin Aa C=，2sin sin B b C =，所以2114sin sin sin sin sin 2sin 22sin sin ∆=⋅==⋅ABC A B Aab C C B C S C 6sin cos 3sin 23==B B B 当4B π=时，ABC ∆面积取得最大值3.【点睛】本题主要考查正弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 12【分析】先利用正弦定理将条件()(sin sin )()sin a b A B c b C +−=−中的角转化为边的关系，再利用余弦定理求解出角A 的值，再利用边a 的余弦定理和均值不等式求出bc 的最大值后即可求解出面积的最大值.【详解】因为()(sin sin )()sin a b A B c b C +−=−， 所以根据正弦定理得:(a b)()(c b)a b c +−=−，化简可得:222b c a bc +−=， 即2221cos 22b c a A bc +−==，(A 为三角形内角) 解得:60A ︒=，又224b c bc bc +−=≥，(b =c 时等号成立)故1sin 2ABC S bc A ∆=≤【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于中档题目，解题的关键有两点，首先是利用正余弦定理实现边角之间的互化，其次是利用余弦定理和均值不等式求出三角形边的乘积的最大值.13．【解析】利用正弦定理得出,,a b c 的关系，利用余弦定理，同角三角函数基本关系式可求得sin B ，利用基本不等式，三角形面积公式即可求解.【详解】()()3cos sin sin 1cos A B A B −=+，3sin sin sin cos cos sin sin sin B A A B A B A C =++=+，∴由正弦定理可得：36b a c =+=， ∴解得2b =.6a c +=，6a c ∴=+≥9ac ≤（当且仅当3a c ==时等号成立）， 2222()2416cos 22a c b a c ac acB ac ac ac +−+−−−∴===，可得sin B ===11csin 22S a B ac ∴==⨯=≤=3a c ==时等号成立）.故答案为：【点睛】本题主要考查的是正弦定理，余弦定理的应用，基本不等式的应用以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握正余弦定理是解本题的关键，是中档题. 14【分析】由cos23sin 10A A −+=结合二倍角余弦公式求得sin A ，进而得到角A ，然后利用将()()1sin 2cos 2C A A B C −−+，转化为关于角C 的三角函数求解. 【详解】由cos23sin 10A A −+=得212sin 3sin 10A A −−+=，即22sin 3sin 20A A +−=， 解得1sin 2A =或sin 2A =−（舍去）， 又因为0A π<<， 所以6A π=或56A π=， 由cos 0A >，则6A π=，所以56B C π+=，从而()()1sin 2cos 22C A A B C −+−+，1sin cos 632C B C ππ⎛⎫⎛⎫=−−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11cos cos 2222C C C C =−++，C ，又因为506C π<<， 所以(]sin 01C ∈，，C ≤ 故当2C π=15．（1）23π；（2）3+ 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +−⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB −−=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +−∴==−⋅，()0,A π∈，23A π∴=.（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+−⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +−⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+−⋅≥+−=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为3+[方法二]：正弦化角（通性通法） 设,66ππαα=+=−B C ，则66ππα−<<，根据正弦定理可知sin sin sin a b cA B C===以sin )b c B C +=+sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++− ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦α=≤0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC周长的最大值为3+[方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c．令13sin ,20,2b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin b c θθ+=6πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()b c +=所以ABC周长的最大值为3+【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.16【分析】利用余弦定理结合基本不等式求解.【详解】由余弦定理得：2222232cos3b c bc b c bc π=+−=+−∵222b c bc +≥， ∴229b c bc bc =+−≥∴9bc ≤，当且仅当b c =时等号成立∴1sin 244ABCSbc A ==≤所以ABC 17．3【分析】设AC x =，则2BC x =，根据余弦定理及面积公式可得ABC S ∆，再由二次函数的性质即可求得ABC S ∆的最大值；或利用坐标法求出点C 的轨迹方程，即求. 【详解】解法一： 设AC x =，由12CA CB =，得2BC x =． 由余弦定理，得22223(2)3cos 232x x x A x x+−−==⨯．所以sin A ==所以13333sin 22222ABCx SAC AB A =⋅===．由2323x x x x +>⎧⎨−<⎩，，得13x <<．所以当25x =时，ABC 面积的最大值为3．解法二：以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,0,3,0A B ，设(),C x y ．由12CACB =12=． 即22(1)4x y ++=．所以点C 的轨迹是圆心为()1,0M −，半径为2的圆（不含与AB 共线的两点）． 所以13322ABCc c SAB y y =⋅=≤． 即ABC 面积的最大值为3． 故答案为：3 18．6【详解】设1,2AB AC x AD x ===，由题设可得222219554cos 4x x A x x +−==−，则22255sin 1()4A x=−−，故2222422115()sin [(9)]244S x A x x ∆==−−，即242242151945[(9)][81]444162S x x x x ∆=−−=−+−，则当24522098x =−=−时，2max 19451()[4002081]1443641624S ∆=−⨯+⨯−=⨯=，即max ()6S ∆=，应填答案6．点睛：本题以三角形中的边角关系为背景设置了求三角形面积的最大值问题．求解时，先运用余弦定理求得等腰三角形的顶角的余弦值，再运用三角函数中的平方关系求出其正弦值，然后依据三角形的面积公式，建立关于三角形的边长的函数关系，进而借助二次函数的图像和性质，分析探求出其最大值使得问题获解． 19【详解】依题意，设BC a =，则AC =，又2AB =，由余弦定理得：)2222cos a AB a AB B =+−⋅，即224cos 40a a B +−=，∴2421cos 42a aB a a −==−，∴2221cos 14a B a =+−，∴22221sin 1cos 24a B B a =−=−−，∵11sin 2sin sin 22ABC S AB BC B a B a B =⋅=⨯=，∴()24222222211sin 22143444ABCa a Sa B a a a a ⎛⎫==−−=−+−=−−+ ⎪⎝⎭，当24a =，即2a =时，∴23max S=，∴max S点睛：本题考查三角恒等式，余弦定理在解三角形中的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得面积的表达式是关键，也是难点，属于难题；设BC a =，则AC =，利用余弦定理可求得2221cos 14a B a =+−，再利用三角形的面积公式可求得sin ABCSa B =，继而可求()221434ABC S a =−−+，从而可得ABC 面积的最大值.。
与三角形有关的三类最值问题的解法
思路探寻与三角形有关的最值问题在高中数学中十分常见，通常要求根据三角形的边、角及其关系，求三角形的角、边长、周长、面积的最值.与三角形有关的最值问题侧重于考查勾股定理、正余弦定理、三角函数的定义、诱导公式、辅助角公式、两角和差公式等.下面结合实例来探讨一下与三角形有关的最值问题的解法.一、求三角形中角的最值求三角形中角的最值一般较为简单，解题的关键在于灵活运用正余弦定理和三角函数中的基本公式.通常要先根据正弦定理：sin A a=sin B b=sin C c和余弦定理：a2+b2-c2=2ab cos C、a2+c2-b2=2ac cos B、b2+c2-a2=2bc cos A将边化为角，然后根据三角函数的诱导公式、辅助角公式、两角和差公式等化简关系式，最后利用三角函数的有界性，或借助基本不等式求得最值.例1.在△ABC中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c，若a2+b2=2c2，求角C的最小值.解：∵a2+b2=2c2，由余弦定理cos C=a 2+b2-c2 2ab，可得cos C=a2+b2-12()a2+b22ab=a2+b24ab，∵a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，∴a2+b24ab≥2ab4ab=12，∴cos C的最小值为12，∵0<C<180o，∴角C的最小值为π3.要求角C的最小值，需先求得有关角C的关系式，于是根据余弦定理求得cos C的表达式，将问题转化为求得a2+b24ab最值，然后利用基本不等式即可求得cos C的最小值，从而得到角C的最小值.二、求三角形周长的最值求三角形周长的最值，往往要先运用正弦或余弦定理，把问题中所给的条件转化为与边长有关的式子，然后求得a+b+c的表达式，再根据三角形的性质、三角函数中的基本公式将该式化简，借助基本不等式或三角函数的有界性求得周长的最值.例2.已知在△ABC中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c,b=3,B=π3，求△ABC的周长最大值.解：由正弦定理asin A=b sin B=c sin C，可得a+c=2()sin A+sin C，∵C=π-B-A=2π3-A，∴a+c=2éëêùûúsin A+sinæèöø2π3-A=23sinæèöøA+π6，∵A∈æèöø0，2π3，∴a+c∈(]3，23，即a+b+c∈(]23，33∴△ABC周长的最大值为33.△ABC的周长可用a+b+c来表示，由于a+c未知，所以需运用正弦定理将将角化为边，求得a+c的表达式，再运用两角的和差公式和辅助角公式将其化简为只含有正弦函数的形式，根据正弦函数的有界性求得最值.三、求三角形面积的最值三角形面积的最值问题比较常见，常需运用正余弦定理、三角形的面积公式S=12ab sin C来求解.解题的一般思路为：①运用正弦或余弦定理进行边角互化，根据三角形的面积公式S=12ab sin C得到三角形面积的表达式，②根据三角函数的有界性求得三角形的面积最值.例3.在△ABC中，角A,B,C的对边长分别为a,b,c,a cos B=()2c-b cos A，a=2，求△ABC面积的最大值.解：由正弦定理可得，a cos B=()2c-b cos A=2sin C cos A-sin B cos A，47思路探寻∵sin C =sin ()A +B =sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A ，∴cos A =12，∵a sin A =b sin B =c sin C，∴bc =B C =163sin B sin æèöø2π3-B =83sin æèöø2B -π6+43，∵0＜B ＜2π3，∴-π6＜2B -π6＜7π6，当2B -π6=π2，即B =π3时，bc 取最大值4，∵S △ABC =12bc sin A ≤3，∴△ABC 面积的最大值为3.解答本题，需先运用正弦定理进行边角互化，将a cos B =()2c -b cos A 等价转化为sin A cos B =(2sin C -)sin B cos A ，求得角A ，再根据正弦定理求得bc ，便可根据公式S =12ab sin C 求得三角形面积的表达式，最后根据三角函数的有界性求得最值.可见，求解与三角形有关的最值问题，关键要运用正余弦定理进行边角互化，求得角、周长、面积的表达式，然后运用基本不等式、三角函数的有界性来求得最值.一般地，可运用正弦定理来将角化为边，运用余弦定理来将边化为角.在解题的过程中，要注意挖掘一下隐含条件：（1）三角形的内角和为180o ；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3）三角形的三边、三角均为正数.这些条件都是隐含在题目当中，若没有挖掘出来，便会缺少解题的条件，得出错误的答案.（作者单位：安徽省蚌埠第二中学）在学习中，我们经常会遇到求不等式恒成立问题中参数的取值范围.此类问题一般较为复杂，通常要求根据含有参数的不等式、方程、函数求使不等式恒成立时参数的取值范围.由于这类问题涉及的知识点较多，所以其求解途径多种多样.本文结合例题，谈一谈求参数的取值范围的两种常用途径：分离参数、数形结合.一、分离参数分离参数法是求不等式恒成立问题中参数的取值范围的重要方法.其大致的解题步骤为：①对含有参数的不等式、方程、函数进行变形，使参数单独置于一侧，变量置于另一侧，如a ≥f ()x 、a ≤f ()x ；②将问题转化为函数的最值问题，如a ≥f ()x 等价于a ≥f ()x max ，a ≤f ()x 等价于a ≤f ()x min ；③根据函数的单调性求得其最值；④建立新不等式，求出参数的取值范围.例1.已知f ()x =x ln x +a x，g ()x =x -e x -1+1.若∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2恒成立，则实数a 的取值范围为______.解：由题意可知，∀x 1∈éëùû12,3，x 2∈()-∞,+∞，f ()x 1≥g ()x 2等价于f ()x 1min ≥g ()x 2max ，∵g '()x =1-ex -1，当g '()x =0时，x =1，当x 2∈()-∞,1时，g '()x >0，g ()x 单调递增；当x 2∈()1,+∞时，g '()x <0，g ()x 单调递减，∴g ()x 2max =g ()1=1，∴f ()x =x ln x +a x ≥1在x ∈éëùû12,3上恒成立，即a ≥x -x 2ln x 在x ∈éëùû12,3上恒成立，令h ()x =x -x 2ln x ，x ∈éëùû12,3，朱红玉48。
三角形中最值问题常用解题技巧
三角形中最值问题常用解题技巧三角形是几何中非常常见的一种平面图形，它由三条相交的直线组成。
由于三角形的性质非常特殊，因此它也被广泛应用于各种领域，比如工程学、地理学、天文学等。
在学习三角形的时候，我们经常会遇到最值问题，比如：在一个三角形中，如何求出它的最大面积？或者是最小角度？这些最值问题是几何中常见的一类题目，解决它们需要我们掌握一些特定的解题技巧。
下面，我们就来介绍一些常用的三角形中最值问题解题技巧。
第一个解题技巧是使用勾股定理。
勾股定理是三角形中最基本的定理之一，它告诉我们，在一个直角三角形中，斜边的平方等于它的两个直角边的平方和。
这个定理可以帮助我们求出直角三角形的斜边长度，也可以帮助我们求出非直角三角形的斜边长度。
第二个解题技巧是使用三角形面积公式。
三角形面积公式是求出三角形面积的常用方法之一，它告诉我们，三角形的面积等于底乘继续：三角形的高。
三角形的高是一条连接三角形的一个顶点和底边的直线，且这条直线与底边垂直。
因此，我们只要求出三角形的底和高，就可以使用这个公式来计算出它的面积。
第三个解题技巧是使用余弦定理。
余弦定理是三角形中另一个非常重要的定理，它告诉我们，在一个三角形中，两边的乘积除以它们的夹角余弦值，等于第三边的长度的平方。
这个定理可以帮助我们求出三角形的某一边的长度，也可以帮助我们求出三角形的某一个角的度数。
第四个解题技巧是使用正弦定理。
正弦定理与余弦定理非常相似，它也是一个三角形中常用的定理。
正弦定理告诉我们，在一个三角形中，两边的乘积除以它们的夹角正弦值，等于第三边的长度的平方。
这个定理同样可以帮助我们求出三角形的某一边的长度，也可以帮助我们求出三角形的某一个角的度数。
总结起来，解决三角形中最值问题的常用技巧有：使用勾股定理、使用三角形面继续：使用正弦定理。
这些定理和公式都是三角形中非常常用的，如果你能熟练运用它们，就可以轻松解决许多三角形中最值问题。
举个例子，如果你想求出一个三角形的最大面积，你可以使用三角形面积公式，求出不同的高和底的组合，最后取最大值即可。
高考数学复习：把握三角函数与解三角形中的最值问题
的取值范围是________.
解析
(1)f(x)＝3sin
x＋4cos
x＝535sin
x＋45cos
x＝5sin(x＋φ)，其中
cos
φ＝35，sin
φ
＝45，π4<φ<π2.因为 0≤x≤π，所以π4<x＋φ<32π.所以当 x＋φ＝π2时，f(x)max＝5；当 x＝π
时，f(x)min＝5sin(π＋φ)＝－5sin φ＝－4.所以 f(x)的值域为[－4，5].
1
@《创新设计》
解 (1)连接 OM，依题意可得，在△OCM 中，OC＝1，CM＝ 2，OM＝2，
所以 cos ∠COM＝22＋21×2－2（×12）2＝34，
所以点 M 的横坐标为 2×34＝32.
(2)设∠AOM＝θ，θ∈0，23π，则∠BOM＝23π－θ，
S△MAB＝S△OAM＋S△OBM－S△OAB
sAinDC＝ 4 sin
233π＝sinDπ3－C C，
∴AD＝8sin C，DC＝8sinπ3－C，
∴△ADC的周长为
AD＋DC＋AC＝8sin C＋8sinπ3－C＋4 3
＝8sin
C＋
3 2 cos
C－12sin
C＋4
3
18
@《创新设计》
＝812sin
C＋
23cos
C＋4
3
＝8sinC＋π3＋4 3， ∵∠ADC＝23π，∴0<C<π3，∴π3<C＋π3<23π，
9
解
(1)由已知条件，得
bcos
A＋acos
B＝2
3 3 bsin
C.
由正弦定理，得
怎样解答三角形中的最值问题
思路探寻解三角形中的最值问题一般与三角形的边、角、面积有关.要想顺利解答此类问题，同学们需首先根据题意，灵活运用正余弦定理、三角恒等变换的技巧求出并化简目标式，然后通过边角互化、构造几何图形、坐标运算等来求得最值.一、通过边角互化求最值通过边角互化，可将解三角形中的最值问题转化为三角函数最值问题，灵活运用三角恒等变换的技巧和三角函数的性质便可求得最值.例1.已知三角形ABC 的面积为S ，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若10c 2+5a 2=4b 2，则20S15a 2+6b 2的最大值是.解：根据题意将10c 2+5a 2=4b 2进行变形可得15a 2+6b 2=10a 2+10b 2-10c 2，由余弦定理得10a 2+10b 2-10c 2=10(a 2+b 2-c 2)=20ab cos C ，所以20S 15a 2+6b 2=10ab sin C 20ab cos C =12tan C，而cos C =a 2+b 2-c 22ab =32a 2+35b 22ab ，所以cos C ≥310，当且仅当5a 2=2b 2时，“=”成立，所以tan C ≤13，故20S 15a 2+6b 2=12tan C ≤16，即20S 15a 2+6b2的最大值是16.在解答本题时，我们需将已知关系式与目标式关联起来，根据余弦定理将边化为角.在得到角C 的表达式后，根据基本不等式求得cos C 的最值，进而求得目标式的最值.二、通过构造几何图形求最值.在解答解三角形最值问题时，我们可以根据题意，构造出合适的几何图形，通过解直角三角形来求得问题的答案.很多解三角形问题都可通过作高构造直角三角形来求解，这样能使问题得以简化.例2.在锐角三角形ABC 中，已知2sin 2A +sin 2B =2sin 2C ,则1tan A +1tan B +1tan C 的最小值为.解析：我们可以根据题意画出三角形，作出高线，将斜三角形化为直角三角形，根据三角函数的定义把对应的正弦、正切值表示出来，利用两角和的正切公式和基本不等式求得最值.解：由正弦定理得2a 2+b 2=2c 2.如图，作BD ⊥AC 于D ，设AD =x ,CD =y ,BD =h .因为2a 2+b 2=2c 2，所以2()y 2+h 2+()x +y 2=2()x 2+h 2，化简得x =3y .又1-tan A tan C tan A -tan C =-1tan B ，则1tan A +1tan B +1tan C=1tan A +1tan C +tan A tan C -1tan A +tan C=x h+y h +h 2xy -1h x +h y=13y 4h +h 4y ≥当且仅当13y 2=h 2时等号成立.三、通过坐标运算求最值.通过坐标运算求解三角形中最值问题的关键是根据题意建立合适的直角坐标系.一般需结合三角形的特点，如等边、等腰三角形的对称性、直角三角形的两条直角边垂直等来建立坐标系.通过坐标运算，可将问题转化为解析几何问题.例3.在ΔABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a 2+b 2+2c 2=8，则ΔABC 的面积的最大值为.解：以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系.设A æèöø-c 2,0,B æèöøc2,0,C ()x ,y ,由a 2+b 2+2c 2=8，得æèöøx -c 22+y 2+æèöøx +c 22+y 2+2c 2=8，即x 22=4-54c 2，所以点C 在以原点()0,0为圆心为半径的圆上，所以S ≤=ùûúæèöø4-54c 2+54c 2≤.我们通过坐标运算求得A 点的轨迹，然后根据圆的性质和基本不等式即可求得ΔABC 的面积的最大值.我们可以通过边角互化、构造几何图形、坐标运算来将问题转化为三角函数、平面几何、解析几何问题，借助三角函数的性质、平面几何和解析几何知识来求得最值.（作者单位：福建师范大学第二附属中学）D x y54 Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
解三角形中的最值、范围问题--高考数学【解析版】
专题25 解三角形中的最值、范围问题近几年高考对解三角形问题考查，大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式.与平面几何相结合的问题，要注重几何图形的特点的利用.由于新教材将正弦定理、余弦定理列入平面向量的应用，与平面向量相结合的命题将会出现.另外，“结构不良问题”作为实验，给予考生充分的选择空间，充分考查学生对数学本质的理解，引导中学数学在数学概念与数学方法的教学中，重视培养数学核心素养，克服“机械刷题”现象．同时，也增大了解题的难度.【重点知识回眸】（一） 余弦定理变形应用：变式()()2221cos a b c bc A =+-+在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的最值（二）三角形中的不等关系（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：sin sin cos cos a b A B A B A B >⇔>⇔>⇒<其中由cos cos A B A B >⇔<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >⇔>仅在一个三角形内有效.（三）解三角形中处理不等关系的几种方法 1．三角形中的最值、范围问题的解题策略和步骤（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值 （3）①定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围．②构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示．③求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 2．求解三角形中的最值、范围问题的注意点(1)涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．(2)注意题目中的隐含条件，如A ＋B ＋C ＝π，0＜A ＜π，b －c ＜a ＜b ＋c ，三角形中大边对大角等．【典型考题解析】热点一 三角形角(函数值)相关的最值(范围)问题【典例1】（2021·山西·祁县中学高三阶段练习（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（ ） A ．1 B ．32C ．43D ．54【答案】C【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B+=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B+=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数， 故112tan tan B C≥整理得tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B CA B C B C B C B C+⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C-取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．【典例2】（2021·河南·高三开学考试（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin tan sin sin A A B C =，则cos A 的最小值为________. 【答案】23【分析】先根据题目条件和正弦定理得到2cos a A bc=，结合cos A 的余弦定理表达式，得到,,a b c 的关系，利用此关系求cos A 的最小值.【详解】由条件可知，2sin cos sin sin A A B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc +-==，化简可得2223a b c =+.所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=，当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23. 故答案为：23【典例3】（2020·浙江·高考真题）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 30b A a =． （I ）求角B 的大小；（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围． 【答案】（I ）3B π=；（II ）3132⎤+⎥⎝⎦ 【解析】 【分析】（I ）方法二：首先利用正弦定理边化角，然后结合特殊角的三角函数值即可确定角B 的大小；（II ）方法二：结合(Ⅰ)的结论将含有三个角的三角函数式化简为只含有角A 的三角函数式，然后由三角形为锐角三角形确定角A 的取值范围，最后结合三角函数的性质即可求得cos cos cos A B C ++的取值范围. 【详解】 （I ）[方法一]：余弦定理由2sin 3b A a =，得222233sin 4a a A b ==⎝⎭，即22231cos 4a A b -=．结合余弦定222cos 2b c a A bc +-=，∴2222223124b c a a bc b ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即224442222222242223b c b c a b c b a c a a c ----++=, 即444222222220a b c a c a b b c +++--=, 即44422222222222a b c a c a b b c a c +++--=,即()()22222a c b ac +-=,∵ABC 为锐角三角形，∴2220a c b +->， ∴222a c b ac +-=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，又B 为ABC 的一个内角，故3B π=．[方法二]【最优解】：正弦定理边化角由2sin 3b A a =，结合正弦定理可得：32sin sin 3,sin B A A B =∴=ABC 为锐角三角形，故3B π=.（II ）[方法一]：余弦定理基本不等式 因为3B π=，并利用余弦定理整理得222b a c ac =+-，即223()ac a c b =+-．结合22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，得2a c b +≤． 由临界状态（不妨取2A π=）可知3a cb+= 而ABC 为锐角三角形，所以3a cb+> 由余弦定理得2222221cos cos cos 222b c a a b c A B C bc ab+-+-++=++， 222b a c ac =+-，代入化简得1cos cos cos 12a c A B C b +⎛⎫++=+⎪⎝⎭ 故cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦．[方法二]【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有： 12cos cos cos cos cos 23A B C A A π⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭131cos cos 22A A A =-+311cos 22A A =++1sin 62A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由203202A A πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，则3sin 6A π⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦，1313sin 622A π⎤+⎛⎫++∈⎥ ⎪⎝⎭⎝⎦. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是3132⎤+⎥⎝⎦.【整体点评】（I ）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222a c b ac +-=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II ）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解. 【总结提升】求角(函数值)的最值(范围)问题一般先将边转化为角表示，再根据三角恒等变换及三角形内角和定理转化为一个角的一个三角函数表示，然后求解． 热点二 三角形边(周长)相关的最值(范围)【典例4】（2018·北京·高考真题（文））若ABC 2223)a c b +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；ca的取值范围是_________. 【答案】 60 (2,)+∞ 【解析】 【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan 3B =3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题. 【详解】)22231sin 2ABC S a c b ac B ∆=+-=， 22223a c b ac +-∴=cos 3B =sin 3,cos 3B B B π∴∠=，则231sin cos sin sin 311322sin sin sin tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫---⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====+， C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)31tan ,3,tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,+∞. 【典例5】（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】 【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++， 在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++ ()44233211m m ≥=-+⋅+， 当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当ACAB取最小值时，31m =. 31.【典例6】（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c a a c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.【典例7】（2020·全国·高考真题（理））ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ． （1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值. 【答案】（1）23π；（2）33+ 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）方法一：利用余弦定理可得到()29AC AB AC AB +-⋅=，利用基本不等式可求得AC AB +的最大值，进而得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈，23A π∴=. （2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式由余弦定理得：2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅229AC AB AC AB =++⋅=， 即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号）， ()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：3AC AB +≤AC AB =时取等号），ABC ∴周长323L AC AB BC =++≤+ABC ∴周长的最大值为33+[方法二]：正弦化角（通性通法） 设,66ππαα=+=-B C ，则66ππα-<<，根据正弦定理可知23sin sin sin a b cA B C===23(sin sin )b c B C +=+23sin sin 66ππαα⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦233α=≤当且仅当0α=，即6B C π==时，等号成立．此时ABC 周长的最大值为33+ [方法三]：余弦与三角换元结合在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．由余弦定理得229b c bc =++，即2213924⎛⎫++= ⎪⎝⎭b c c ．令13sin ,20,223b c c θπθθ⎧+=⎪⎛⎫∈⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎩，得3sin 3b c θθ+==23236πθ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭6C π=时，max ()23b c +=所以ABC 周长的最大值为323+ 【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值. 方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.【典例8】（2022·全国·高考真题）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin 21sin 1cos2A BA B=++．(1)若23C π=，求B ； (2)求222a b c+的最小值． 【答案】(1)π6；(2)425． 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cos sin 21sin 1cos2A BA B=++化成()cos sin A B B +=，再结合π02B <<，即可求出； （2）由（1）知，π2C B =+，π22A B =-，再利用正弦定理以及二倍角公式将222a b c +化成2224cos 5cos B B +-，然后利用基本不等式即可解出． (1) 因为2cos sin 22sin cos sin 1sin 1cos 22cos cos A B B B B A B B B ===++，即()1sin cos cos sin sin cos cos 2B A B A B A BC =-=+=-=， 而π02B <<，所以π6B =；(2)由（1）知，sin cos 0B C =->，所以πππ,022C B <<<<， 而πsin cos sin 2B C C ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以π2C B =+，即有π22A B =-． 所以222222222sin sin cos 21cos sin cos a b A B B Bc C B+++-==()2222222cos11cos 24cos 5285425cos cos B BB BB-+-==+-≥=． 当且仅当22cos B =222a b c +的最小值为425．【规律方法】求边(周长)的最值(范围)问题一般通过三角中的正、余弦定理将边转化为角的三角函数值，再结合角的范围求解，有时也可将角转化为边，利用均值不等式或函数最值求解． 热点三 求三角形面积的最值(范围)【典例9】（2023·山西大同·高三阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2b A a c =+，且2b =，则ABC 面积的最大值为___________. 3133【分析】利用余弦定理进行角化边后，结合基本不等式，三角形面积公式求解.【详解】由余弦定理，2cos 2b A a c =+可化为222222b c a b a c bc +-⋅=+，整理可得2224c a ac b ++==，由余弦定理2221cos 22a cb B ac +-==-，又(0,)B π∈，故23B π=，根据基本不等式22423a c ac ac ac ac =++≥+=，23a c ==取得等号，故133sin 243ABC S ac B ac ==≤，即ABC 面积的最大值为33. 故答案为：33. 【典例10】（2022·全国·高三专题练习）已知A ，B ，C 分别是椭圆22143x y +=上的三个动点，则ABC 面积最大值为_____________. 【答案】92##4.5【分析】作变换'2'3x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=，A B C '''是圆的内接三角形，圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，则ABC A B C S bS a'''=，求出A B C S '''，代入即可得出答案. 【详解】作变换'2''3x x y y y =⎧⎪⎨==⎪⎩之后椭圆变为圆，方程为224x y '+'=， A B C '''是圆的内接三角形，设A B C '''的半径为R ，设,,A B C '''所对应边长为,,a b c '''，所以 211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22A B C Sa b C R A R B C R A B C ''''''''''==⋅⋅⋅=⋅⋅'' 32sin sin sin 23A B C R ++⎛⎫≤ ⎝''⎪⎭'，当且仅当3A B C π===时取等， 因为sin y x =在()0,π上为凸函数，则sin sin sin sin 33A B C A B C ''''+'+≤'++，3332222sin sin sin 3322sin 2sin 3334A B C A B C A B C SR R R R π'''++++⎛⎫'⎛⎫⎛⎫=≤==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭'''''，当且仅当3A B C π===时取等， 所以圆的内接三角形面积最大时为等边三角形，因此2333343344A B C S R '''==⨯=，又因为ABC A B C S b S a '''=， ∴393322ABC A B C b SS a'''==⨯=. 故答案为：92.【典例11】（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2)33(). 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于B 的三角方程，最后根据A,B,C 均为三角形内角解得3B π=.(2)根据三角形面积公式1sin 2ABCSac B =⋅，又根据正弦定理和1c =得到ABCS 关于C 的函数，由于ABC 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于2π来计算C 的定义域，最后求解()ABCS C 的值域.【详解】 (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅22sincos cos sin 3321231333(sin cos )sin 3tan 38tan C CC C C ππππ--= 又因3,tan 62C C ππ<<>331338tan C << 33ABCS <<. 故ABCS的取值范围是33(【典例12】（2021·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，)sin 3cos b C a b C =-.(1)求角B 的大小；(2)若点D 满足=a AD cDC ，且||23BD =ABC 面积的最小值. 【答案】(1)π3B = (2)43【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再结合三角恒等变换即可求解；（2）由题意得||||=a DC c AD ，进而利用三角面积可转化1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCD ABD BC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ，从而有sin sin ∠=∠DBC ABD ，再由面积公式与基本不等式求解即可（1）因为()sin 3cos b C a b C =-，所以()sin sin 3sin sin cos B C A B C =-. 因为sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，所以sin sin 3(sin cos cos sin sin cos )3cos sin =+-=B C B C B C B C B C . 因为sin 0C ≠， 所以tan 3B =. 又因为0πB <<， 所以π3B =.（2）因为=a AD cDC ， 所以点D 在线段AC 上，且||||=a DC c AD . 因为1sin ||21||sin 2⋅⋅⋅∠===⋅⋅⋅∠△△BCDABDBC BD DBC DC S BC S AB AD AB BD ABD ， 所以sin sin ∠=∠DBC ABD ， 即BD 为ABC ∠的角平分线. 由（1）得π3B =， 所以π6ABD CBD ∠=∠=. 由ABC ABD BCD S S S =+△△△，得1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =⋅+⋅，即2()4=+≥ac a c ac ，得16≥ac ，当且仅当a c =时，等号成立，11sin 16sin 432323=≥⨯=△ABC S ac ππ.故ABC 面积的最小值为43. 【规律方法】求三角形面积的最值(范围)的两种思路(1)将三角形面积表示为边或角的函数，再根据条件求范围．(2)若已知三角形的一个内角(不妨设为A)，及其对边，则可根据余弦定理，利用基本不等式求bc 的最值从而求出三角形面积的最值．【精选精练】一、单选题1．（2022·上海市松江一中高三阶段练习）在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边，B 是A 、C 的等差中项，则a c +与2b 的大小关系是（ ）A ．2a c b +>B ．2a c b +<C ．2a c b +≥D ．2a c b +≤【答案】D【分析】根据等差中项的性质及内角和的性质求出B ，再由余弦定理及基本不等式计算可得.【详解】解：依题意，在ABC 中B 是A 、C 的等差中项，所以2A+C =B ， 又A C B π++=，所以3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-()22222233a c ac a c ac ac a c ac =+-=++-=+-，又22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当a c =时取等号，所以2332a c ac +⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭，所以()()()222213324a c a c ac a c a c +⎛⎫+-≥+-=+ ⎪⎝⎭，即()2214b ac ≥+，即()224b a c ≥+，所以2a c b +≤； 故选：D2．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知ABC 的内角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ， 内角A 的角平分线交边BC 于D 点， 且 4=AD ．若(2)cos cos 0b c A a C ++=， 则ABC 面积的最小值是（ ） A ．16 B ．3C ．64 D ．643【答案】B【分析】利用正弦定理及诱导公式可得23A π=，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得. 【详解】∵(2)cos cos 0b c A a C ++=， ∴2sin cos sin cos sin cos 0B A C A A C ++=， 即()2sin cos sin 2sin cos sin 0B A C A B A B ++=+=， 又()0,B π∈，sin 0B >，∴2cos 10A +=，即1cos 2A =-，又()0,A π∈，∴23A π=， 由题可知ABCABDACDS SS=+，4=AD ，所以1211sin4sin 4sin 232323bc c b πππ=⨯+⨯，即()4bc b c =+， 又()48bc b c bc =+≥，即64bc ≥， 当且仅当b c =取等号，所以1213sin 641632322ABCSbc π=≥⨯⨯=. 故选：B.3．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（理））在等腰ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则ABC 的面积的最大值是（ ） A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】A【分析】利用余弦定理得到边长的关系式，然后结合勾股定理和基本不等式即可求得ABC 面积的最大值． 【详解】设2AB AC m ==，2BC n =，由于ADB CDB π∠=-∠，在ABD △和BCD △中应用余弦定理可得：2222949466m m m n m m+-+-=-，整理可得：2292m n =-，结合勾股定理可得ABC 的面积：22222111()2434222S BC AC BC n m n n n =⨯-=⨯⨯-=- 222243(43)62n n n n +-=-≤⨯=，当且仅当22n =时等号成立． 则ABC 面积的最大值为6． 故选：A.4．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒ ，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a c + 的最小值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．7【答案】B【分析】根据三角形面积可得到111a c +=，将4a c +变为11(4)()a c a c++，展开后利用基本不等式，即可求得答案.【详解】由题意得111sin120sin 60sin60222ac a c =+ ，即ac a c =+ ，得111a c+=，得 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥425459c aa c⋅+=+=， 当且仅当4c aa c=，即23c a ==时，取等号， 故选：B ． 二、多选题5．（2020·全国·高三专题练习）如图，ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为),,3cos cos 2sin a b c a C c A b B +=，且3CAB π∠=.若D 是ABC 外一点，1,3DC AD ==，则下列说法中正确的是（ ）A ．ABC 的内角3B π= B ．ABC 的内角3C π=C ．四边形ABCD 533 D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】AB【分析】根据正弦定理进行边化角求角B ，从而判断选项A ，B 正确；把四边形ABCD 的面积表示成ADC ∠的三角函数，从而根据三角函数求最值 【详解】因为()3cos cos 2sin a C c A b B +=，所以由正弦定理，得()23sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，所以()23sin 2sin A C B +=，又因为A B C π++=，所以()sin sin A C B +=，所以23sin 2sin B B = 因为sin 0,B ≠所以3sin 2B =， 又因为3CAB π∠=，所以20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以3B π=，所以3C A B ππ=--=，因此A ，B 正确；四边形ABCD 面积等于231sin 42ABC ACDS SAC AD DC ADC +=+⋅⋅∠()22312cos sin 42AD DC AD DC ADC AD DC ADC =⨯+-⋅⋅∠+⋅⋅∠ ()31916cos 3sin 42ADC ADC =⨯+-⋅∠+⨯∠ 533sin 23ADC π⎛⎫=+∠- ⎪⎝⎭， 所以当32ADC ππ∠-=即sin 13ADC π⎛⎫∠-= ⎪⎝⎭时，ABCACDSS+取最大值5332+， 所以四边形ABCD 面积的最大值为5332+， 因此C ，D 错误 故选：AB6．（2022·云南·高三阶段练习）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，13AA =，点M 满足12A M MA =，点P 在底面ABCD 的边界及其内部运动，且满足4AMP π∠≤，则下列结论正确的是（ ）A ．点P 所在区域面积为4πB ．线段1PC 17C ．有且仅有一个点P 使得1MP PC ⊥D ．四面体11P A CD -的体积取值范围为[6,8]【答案】AD【分析】A 选项，由1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=求解判断； B 选项，若PC 取最小值时，则线段1PC 长度最小，由A ，P ，C 三点共线求解判断； C 选项，由点P 与点F 重合，由点P 与点E 重合，利用余弦定理求解判断；，D 选项，由点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，当P与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小求解判断. 【详解】如图所示：A 选项，当1MA AP ==时，MP 与底面ABCD 的所成角4πθ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211144π⨯=π，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，PC 取得最小值，即min ||421PC =-，则221min (421)34282PC =-+=-，B 错误； C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时2221134PC FB BC C C =++=，由余弦定理得：1cos MFC ∠=22211123436022234MF C F C M MF C F +-+-==⋅⨯⨯，则12MFC π∠=，同理可得：12MEC π∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；D 选项，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为11111124583325A CD S AH ⋅=⨯⨯⨯⨯=△，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH ∽△△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[]6,8 ，D 正确， 故选：AD ． 三、填空题7．（2022·贵州遵义·高三开学考试（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin sin 2B Cb a B +=，2a =△ABC 周长的最大值为________．【答案】32【分析】根据正弦定理，结合三角恒等变换可得3A π=，再根据余弦定理与基本不等式求解周长最大值即可.【详解】由正弦定理，sin sin 2B C b a B +=即sin sin sin sin 22A B A B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又sin 0B ≠，故sin sin 22A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即cossin 2AA =. 由二倍角公式有cos2sin cos 222A A A =，因为0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故cos 02A ≠，所以1sin 22A =，所以26A π=，即3A π=.由余弦定理22222cos 3b c bc π=+-，结合基本不等式有()()2222332b c b c bc b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭，即()2124b c +≤，()28b c +≤，故22b c +≤，当且仅当2b c ==时取等号. 故△ABC 周长的最大值为a b c ++的最大值为22232+=. 故答案为：328．（2021·江西南昌·高三阶段练习）已知ABC 的内角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且满足2224,4c c a b ==+， 则ABC 的面积取得最大值时，cos C =______．【答案】33434-【分析】根据余弦定理结合同角三角函数的关系可得sin C ，进而表达出ABCS ，结合基本不等式求解ABCS的最值，进而求得cos C 即可.【详解】由余弦定理，()222222243cos 222a b a b a b c b C ab ab a+-++-===-，又()0,C π∈，故2222349sin 1cos 122b a b C C a a -⎛⎫=-=--=⎪⎝⎭，故 2222114949sin 2224ABCa b b a b Sab C ab a --===. 又222416a b c +==，故()2222416496425564254420ABCb b b b b b b S----===222564258405b b +-≤=，当且仅当22256425b b =-，即425b =时取等号. 此时2322721642525a =-⨯=，即4175a =. 故ABC 的面积取得最大值时，42333345cos 23441725b C a ⨯=-=-=-⨯. 故答案为：33434-【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方9．（2021·河南·高三开学考试（理））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin tan sin sin A A B C =，则sin A 的最大值为________，此时cos B =________． 【答案】5366【分析】由已知条件结合正余弦定理可得2223b c a +=，再利用余弦定理结合基本不等式可求出cos A 的最小值，从而可求出sin A 的最大值，则可求出cos2B ，再利用二倍角公式可求出cos B . 【详解】由条件可知，2sin cos sin sin AA B C=，由正弦定理得2cos a A bc =，由余弦定理得，2222cos 2b c a a A bc bc+-==，则2223a b c =+． 所以222222223cos 2333b c b c b c bc A bc bc bc ++-+==≥=， 当且仅当b c =时取得等号，cos A 取得最小值23． 因为()0,A π∈， 所以25sin 1cos 3A A =-≤，当且仅当b c =时取得等号， 故sin A 的最大值为53． 此时B C =，所以2cos2cos()cos 3B A A π=-=-=-，所以222cos 13B -=-，因为角B 为锐角， 所以6cos 6B =． 故答案为：53，66 10．（2022·全国·高三专题练习）ABC 的外接圆半径为1，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若cos cos 3a B b A +=0CA CB ⋅<，则C ∠=________；32a b +的最大值为_________【答案】23π27 【分析】由余弦定理求得c ，由向量数量积可得C 为锐角，再由正弦定理结合外接圆半径可求得C ，用正弦定理把32a b +表示为A 的三角函数，利用两角和与差的正弦公式变形化函数为一个角的一个三角函数形式，然后利用正弦函数性质得最大值．【详解】222222cos cos 322a c b c b a a B b A a b c ac cb+-+-+=⋅+⋅==,又22sin c R C ==，所以3sin 2C =， 0CA CB ⋅<，所以C 是钝角，所以23C π=， 由2sin sin a bA B==得2sin a A =，2sin b B =， 326sin 4sin 6sin 4sin()3a b A B A A π+=+=+-316sin 4(cos sin )4sin 23cos 22A A A A A =+-=+2327(sin cos )77A A =+， 设2cos 7ϕ=，3sin 7ϕ=（ϕ为锐角），则3227sin()a b A ϕ+=+，由23C π=得03A π<<，31sin 27ϕ=>，ϕ为锐角，则62ππϕ<<， 所以2A πϕ=-时，32a b +取得最大值27．故答案为：23π；27． 四、解答题11．（2022·湖北·襄阳五中高三阶段练习）在ABC 中，4tan ,3CAB D ∠=为BC 上一点，32=AD(1)若D 为BC 的中点，32BC =ABC 的面积；(2)若45DAB ∠=︒，求ABC 的面积的最小值. 【答案】(1)9 (2)92【分析】（1）根据中线向量公式可得,b c 关系，结合余弦定理可求452bc =，从而可求面积. （2）根据不同三角形的面积关系可得34355b c bc +=，利用基本不等式可求bc 的最小值，从而可求面积的最小值. （1）因为D 为BC 的中点，所以()12AD AB AC =+， ()222124AD AB AC AB AC ∴=++⋅. 记角,,A B C 的对边分别为,,a b c ， 因为4tan 3A =，故A 为锐角，所以43sin ,cos 55CAB CAB ∠∠==， 则221318245c b bc ⎛⎫=++⋅ ⎪⎝⎭. 又由余弦定理得：2231825c b bc =+-⋅两式联立解得：452bc =，所以11454sin 92225ABCS bc CAB ∠==⨯⨯=. （2）445,tan 3DAB A ∠==，()41113tan tan ,sin 475213CAD CAB DAB CAD ∠∠∠∠-∴=-===+， 1132sin 32sin 22ABCCAD BADSSSb CADc DAB ∠∠=+=⋅+⋅ 1sin 2bc CAB ∠=， 即34355b c bc +=， 即34345323,5554b c bc b c bc +=≥⋅≥（当且仅当153,22b c ==时取得最小值）所以114549sin 22452ABCSbc CAB ∠=≥⨯⨯=.12．（2022·广东广州·高三开学考试）在ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2a b b c +=.(1)求证：2C B =； (2)求4cos a bb B+的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)43【分析】（1）由已知及余弦定理可推出2cos b a b C =-,利用正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式化简可得()sin sin B C B =-，即可证明结论； （2）利用（1）的结论将4cos a b b B +边化角，结合三角恒等变换可得43=4cos cos cos a b B b B B++，由基本不等式可求得答案. （1）证明：在ABC 中，由已知及余弦定理，得()2222cos a b b c a b ab C +==+-，即2cos b a b C =-,由正弦定理，得sin sin 2sin cos B A B C =-，又()πA B C =-+， 故()sin sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos B B C B C B C B C B C =+-=+-cos sin sin cos B C B C =-()sin C B =-.∵()0sin sin B C B <=-，∴0πC B C <-<<, ∵()πB C B C +-=<，∴B C B =-，故2C B =. （2）由（1）2C B =得()30,πB C B +=∈，∴π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由（1）()12cos a b C =+，2C B =得()2522cos 1452cos 52cos 2cos cos cos cos B a b C B b B B B B+-+++===334cos 24cos 43cos cos B B B B =+≥⋅=， 当且仅当ππ0,63B ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时等号成立， 所以当π6B =时，4cos a bb B+的最小值为43.13．（2022·广东·高三开学考试）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对边为a 、b 、c ，tan tan 33B C ++=(1)求角A ；(2)若4a =，求b c +的取值范围． 【答案】(1)π3A = (2)(43,8⎤⎦【分析】（1）利用两角和的正切公式及诱导公式计算可得；（2）利用正弦定理将边化角，再转化为关于B 的三角函数，根据B 的取值范围及正弦函数的性质计算可得. （1）解：因为tan tan 33tan tan B C B C++=，所以tan tan 33tan tan B C B C ++=，所以tan tan 3(tan tan 1)B C B C +=-，从而tan tan 31tan tan B CB C +=--， 即tan()3B C +=-，所以tan 3A =，因为(0,π)A ∈，所以π3A =． （2）解：因为4a =，π3A =，由正弦定理，有83sin sin sin 3b c a B C A ===所以83sin 3b B =，83832π833143sin sin cos sin 4cos sin 3333223c C B B B B B ⎛⎫⎛⎫==-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以π43sin 4cos 8sin 6b c B B B ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，又因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ62B <<，所以ππ2π363B <+<，所以3πsin 126B ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，从而b c +的取值范围为(43,8⎤⎦． 14．（2022·河南·高三开学考试（文））已知,,a b c 分别为ABC 的内角,,A B C 所对的边，且()()sin sin sin sin a c b A C B c B +--+=(1)求角A 的大小；(2)若23a =ABC 面积的最大值.【答案】(1)3π； (2)33.【分析】（1）由正弦定理化角为边，再利用余弦定理及特殊角的三角函数即得；（2）由余弦定理表示出,a b 关系，再由基本不等式得出ab 的最大值，从而可得面积最大值；或利用正弦定理边角互化，然后利用三角恒等变换及三角函数的性质即得． （1）在ABC 中，由题意及正弦定理得()()a c b a c b bc +--+=， 整理得222b c a bc +-=，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， 因为0A π<<， 所以3A π=；（2）方法一：由（1）知，3A π=，又23a =，所以22122b c bc bc bc bc =+--=，所以12bc ，当且仅当23b c ==时，等号成立， 所以()max 113sin 1233222ABC Sbc A ==⨯⨯=； 方法二：由（1）知，3A π=，又23a =，所以由正弦定理，知234sin sin sin sin3a b c A B C π====， 所以4sin ,4sin b B c C ==， 所以13sin 8sin sin 43sin sin 22ABCSbc A B C B C ==⨯=， 又因为23B C π+=， 所以23143sin sin 43sin sin 43sin cos sin 322B C B B B B B π⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31cos223sin222B B ⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭23sin 236B π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，因为23B C π+=，所以270,23666B B ππππ<<-<-<，所以当262B ππ-=，即3B π=时，ABC 的面积取得最大值，最大值为33.15．（2022·上海·模拟预测）在如图所示的五边形中，620AD BC AB ===，，O 为AB 中点，曲线CMD 上任一点到O 距离相等，角120DAB ABC ∠=∠=︒，P ，Q 关于OM 对称；(1)若点P 与点C 重合，求POB ∠的大小； (2)求五边形MQABP 面积S 的最大值， 【答案】(1)33arcsin 14(2)2874【分析】（1）利用余弦定理求出OC ，再利用正弦定理即可得出答案； （2）根据题意可得,QOMPOMAOQBOPS SSS==，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，根据三角形的面积公式结合三角函数的性质即可得出答案.(1)解：若点P 与点C 重合，连接OC ，10,6,120OB BC BP ABC ===∠=︒，在OBP 中，2222cos 1003660196OC OB BP OB BP OBP =+-⋅∠=++=， 所以14OC =， 因为sin sin BC OCPOB OBP=∠∠，所以36sin 332sin 1414BC OBPPOB OC ⨯⋅∠∠===， 所以33arcsin14POB ∠=；(2)解：连接,,,QA PB OQ OP ，因为曲线CMD 上任一点到O 距离相等， 所以14OP OQ OM OC ====， 因为P ，Q 关于OM 对称， 所以,QOMPOMAOQBOPSSSS==，设QOM POM α∠=∠=，则2AOQ BOP πα∠=∠=-，则()2AOQQOMMQABP S SS=+五边形112sin sin 222OQ OA OQ OM παα⎡⎤⎛⎫=⋅⋅-+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦196sin 140cos αα=+()2874sin αϕ=+，其中5tan 7ϕ=， 当()sin 1αϕ+=时，MQABP S 五边形取得最大值2874， 所以五边形MQABP 面积S 的最大值为2874.16．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）在平面四边形ABCD 中，30CBD ∠=，4BC =，23BD = (1)若ABD △为等边三角形，求ACD △的面积． (2)若60BAD ∠=，求AC 的最大值． 【答案】(1)3 (2)232+【分析】（1）利用余弦定理求出CD 的长，结合勾股定理可知90BDC ∠=，进而可求得ADC ∠的大小，利用三角形的面积公式可求得ACD △的面积；（2）设()0120ADB αα∠=<<，利用正弦定理可得出AD ，利用余弦定理可得出2AC 关于α的表达式，利用三角恒等变换结合正弦型函数的基本性质可求得AC 的最大值. （1）解：在BCD △中，由余弦定理，得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅⋅∠． 即231612242342CD =+-⨯⨯⨯=，所以2CD =， 所以222BD CD BC +=，因此90BDC ∠=，因为ABD △为等边三角形，所以60ADB ∠=，23AD BD ==，所以150ADC ∠=．所以111sin 2323222ACD S AD CD ADC =⋅⋅⋅∠=⨯⨯⨯=△.（2）解：设()0120ADB αα∠=<<，则120ABD α∠=-， 在ABD △中，由正弦定理得sin sin AD BDABD BAD=∠∠，即()23sin60sin 120AD α=-，所以()4sin 120AD α=-． 在ACD △中，由余弦定理，得2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠， ()()()224sin 120424sin 1202cos 90AC ααα⎡⎤=-+-⨯-⨯⨯+⎣⎦ 231314cos sin 16cos sin sin 483sin2162222αααααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 0120α<<，则02240α<<，故当290α=时，即当45α=时，2AC 取到最大值8316+，即AC 的最大值为232+.17．（2023·河北·高三阶段练习）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若4b =，在 ①()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-，②cos2()3cos 1A C B ++= 两个条件中任选一个完成以下问题： (1)求B ；(2)若D 在AC 上，且BD AC ⊥，求BD 的最大值． 【答案】(1)π3B = (2)23【分析】（1）选①，利用正弦定理得到222a c b ac +-=，再利用余弦定理求出π3B =；选②：利用诱导公式和二倍角公式得到1cos 2B =，从而求出π3B =；（2）法一：利用余弦定理得到2216a c ac =+-，利用基本不等式求出16ac ≤，求出面积的最大值，从而求出BD 的最大值；法二：利用正弦定理ABC 外接圆的直径，进而利用正弦定理表示面积，利用三角函数的有界性求出面积最大值，进而求出BD 的最大值. (1)若选①，由正弦定理得，()()()b c b c a c a +-=- 即222b c a ac -=-，即222a c b ac +-= ∴2221cos 222a cb ac B ac ac +-===， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， 若选②,∵cos 2()3cos cos 2(π)3cos cos 23cos 1A C B B B B B ++=-+=+=， ∴22cos 13cos 1B B -+=，即22cos 3cos 20B B +-=， 即cos 2B =-（舍）或1cos 2B =， ∵(0,π)B ∈，∴π3B =， (2)∵BD AC ⊥，BD 为AC 边上的高，当面积最大时，高取得最大值 法一：由余弦定理得，22222162cos b a c ac B a c ac ==+-=+-， 由重要不等式得162ac ac ac ≥-=， 当且仅当a c =时取等， 所以1sin 432ABC S ac B =≤△ 所以AC 边上的高的最大值为432312b = 法二：由正弦定理得ABC 外接圆的直径为832sin 3b R B ==， 利用正弦定理表示面积得：118383sin sin sin sin 2233ABC S ac B A C B ==⋅△ 1838332π1632πsin sin sin sin 2332333A A A A ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解答三角形最值问题的几种措施
三角形最值问题对同学们的运算以及逻辑推理能力有较高的要求.此类问题通常侧重于考查正余弦定理、三角函数的定义、三角函数的单调性、基本不等式等.本文结合一道三角形最值问题，谈一谈解答此类问题的常用措施.例题：已知在ΔABC 中，点D 在边BC 上，BD =2CD ,AD =BD ，求tan A cos 2B 的最大值.一、利用基本不等式我们知道，若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，该式称为基本不等式.而运用基本不等式求最值，往往要确保：（1）两个数均为正数；（2）两数的和或积为定值；（3）当且仅当a =b 时取等号.在解答三角形最值问题时，要先灵活运用正余弦定理进行边角互化，把目标式化为只含边或角的式子；然后运用一些配凑技巧，如凑系数、添项、去常数项、平方等，配凑出两式的和或积，并使其中之一为定值，即可运用基本不等式求得最值.解法1.如图1所示，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，由AD =BD ，DE ⊥AB 可得E 为AB 的中点.因为BD =2CD ,AD =BD ，所以DE ∥CF ，所以AE =BE =2EF ，所以F 为AE 的中点.可得BE =2AF ，即AF =12BE .所以DE CF =BD BC =23，所以CF =32DE .在RtΔACF 中，tan A =CF AF =3DE BE.在RtΔBDE 中，DE 2+BE 2=BD 2，所以BD 2≥2DE ⋅BE ，而cos B =BE BD ，所以tan A cos 2B =3DE BE ⋅(BE BD)2=3DE ⋅BE BD 2≤3DE ⋅BE 2DE ⋅BE =32，当且仅当DE =BE ，即B =45°时不等式取等号，故tan A cos 2B 的最大值为32.先添加辅助线，根据等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质，建立各边之间的比例关系，从而求得tan A 、cos B 的表达式，得出tan A cos 2B =3DE ⋅BEBD 2.而在RtΔBDE 中，DE 2+BE 2=BD 2，由基本不等式可得BD 2≥2DE ⋅BE ，通过约分即可求得目标式的最值.二、利用三角函数的性质三角函数具有有界性和单调性，而这两种性质是求三角函数最值的重要依据.在解答三角形最值问题时，可先根据正余弦定理将边角关系化为关于角的关系式，并用角的三角函数式表示出目标式，将问题转化为三角函数最值问题；然后利用三角函数中的诱导公式、二倍角公式、辅助角公式等进行恒等变形，将目标式化为只含有一种三角函数名称的式子，进而利用三角函数的有界性和单调性求最值.解法2.设ΔABC 的三个内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，CD =m (m >0)，则AD =BD =2m ，因为∠ADB 与∠ADC 互为邻补角，所以cos∠ADB =-cos∠ADC .在ΔABD 中，由余弦定理得c 2=4m 2+4m 2-2×2m ×2m cos∠ADB ，化简得c 2=8m 2-8m 2cos∠ADB ，即c 2=8m 2+8m 2cos∠ADC ①；在ΔACD 中，由余弦定理得b 2=4m 2+m 2-2×2m ×m cos∠ADC ，化简得b 2=5m 2-4m 2cos∠ADC ，所以2b 2=10m 2-8m 2cos∠ADC ②.将①+②得c 2+2b 2=18m 2，又因为a =3m ，所以c 2+2b 2=2a 2.在ΔABC 中，由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac=a 2+c 2-(a 2-12c 2)2ac =3c4a，由正弦定理可得cos B =3c 4a =3sin C 4sin A，所以4sin A cos B =3sin C =3sin(A +B )=3sin A cos B +3cos A sin B ，整理得sin A cos B =3cos A sin B ，所以tan A =3tan B .所以tan A cos 2B =3tan B cos 2B =3sin B cos B =32sin2B ≤32，思路探寻图149当sin2B =1，即B =45°时，tan A cos 2B 取最大值32.我们先根据余弦定理求得tan A 、cos B 的表达式，得出tan A cos 2B 的表达式，并根据tan B =sin Bcos B以及二倍角公式sin2B =2sin B cos B ，将目标式化为只含有正弦函数的式子，即可运用正弦函数的有界性求得目标式的最值.解法3.因为BD =2CD ,AD =BD ，所以AD =2CD .因为AD =BD ，所以∠BAD =∠B ，所以∠DAC =∠A -BAD =∠A -∠B .在ΔACD 中，由正弦定理得AD sin C =CDsin∠DAC，即2CD sin(A +B )=CDsin(A -B )，所以2sin(A -B )=sin(A +B )，可得2sin A cos B -2cos A sin B =sin A cos B +cos A sin B ，整理得sin A cos B =3cos A sin B ，所以tan A =3tan B .以下同解法2，具体过程略.该解法主要运用了正弦定理，根据角之间的关系进行三角恒等变换，得到tan A =3tan B ，再根据正弦函数的有界性求得最值.我们还也可以根据正切函数的定义和勾股定理，在RtΔBDE 中，求得tan B =DE BE =CF3AF，在RtΔACF 中，求得tan A =CF AF ，从而得出tan B =13tan A ，再根据正弦函数的有界性求得最值.利用三角函数的性质求解三角形最值问题，关键是将目标式化为关于角的三角函数式，并将其化简为只含有一种三角函数名称的式子，就能根据三角函数的有界性和单调性顺利求得最值.三、构建坐标系运用坐标法求解三角形最值问题，需先根据三角形的特征，建立合适的平面直角坐标系：可以三角形的一条底边为坐标轴，以一个顶点或底边的中点为原点；也可以三角形底边为x 轴，底边的中垂线为y 轴来建立坐标系.在建立坐标系后，求得各个点的坐标，再运用两点间的距离公式、直线的斜率公式和方程、三角函数的定义来求得角、边长以及目标式，最后运用函数的性质、三角函数的性质、基本不等式求最值.解法4.如图2所示，以D 为原点，DC 为x 轴，建立平面直角坐标系xDy ，设CD =m (m >0),∠ADB =θ，则点C (m ,0),B (-2m ,0),A (-2m cos θ,2m sin θ)，所以tan B =k AB =2m sin θ-2m cos θ+2m =sin θ1-cos θ，tan C =-k AC =2m sin θ2m cos θ+m =2sin θ2cos θ+1.可得cos 2B =11+tan 2B=1-cos θ2，tan A =-tan(B +C )=tan B +tan Ctan B tan C -1=(sin θ1-cos θ+2sin θ2cos θ+1)÷(sin θ1-cos θ⋅2sin θ2cos θ+1-1)=3sin θ1-cos θ.所以tan A cos 2B =3sin θ1-cos θ⋅1-cos θ2=32sin θ≤32，当sin θ=1，即θ=90°时，AD ⊥BC ，不等式取等号，故tan A cos 2B 的最大值为32.为了便于求得各点的坐标，以D 为原点，DC 为x 轴，建立平面直角坐标系xDy ，并设∠ADB =θ，用θ表示出cos 2B 、tan A 以及tan A cos 2B ，即可利用正弦函数的有界性求得最值.解法5.因为AD =BD ，过O 作DO ⊥AB ,以O 为原点，AB 为x 轴，OD 为y 轴建立如图3所示的平面直角坐标系xOy .设CD =m (m >0)，易知AD =BD =2m ，所以点C (-m cos B ,3m sin B ),A (-2m cos B ,0)，可得tan A =k AC =3m sin Bm cos B=3tan B .所以tan A cos 2B =3tan B cos 2B=3sin B cos B =32sin2B ≤32，当sin2B =1，即B =45°时，tan A cos 2B 取最大值32.根据等腰三角形三线合一的性质，过点O 作DO ⊥AB ,以O 为原点，AB 为x 轴，OD 为y 轴建立平面直角坐标系xOy ，即可快速求得D 、C 的坐标.再用角B 的三角函数表示出tan A cos 2B ，便可根据正弦函数的有界性求得问题的答案.求解三角形最值问题的思路较多，无论运用哪种思路解题，都需灵活运用正余弦定理进行边角互化，求得目标式，然后根据目标式的结构特征，选用合适的方法求最值.（作者单位：山东省牟平第一中学）图3思路探寻图250。
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【高考地位】三角形中的范围与最值问题，是学生学习解三角形的过程中比较害怕的问题，它不仅仅需要用到三角变换、正余弦定理，往往还需要涉及基本不等式以及求函数值域. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 求三角形面积的最值问题使用情景：一般三角形中解题模板：第一步 通过观察分析，决定选用合适的公式；第二步 通过运算、变形，利用三角函数的诱导公式、恒等变换以及边角转化、正弦余弦定理等，将问题转化为三角变换、基本不等式、函数值域等类型加以解决；第三步 得出结论.例1 求满足2,AB AC ==的ABC 的面积的最大值.【答案】.【点评】本题结合函数的知识，以学生熟悉的三角形为载体，考察了面积公式、余弦定理等知识，是一道考察解三角形的好题.例 2 已知ABC ∆的三个内角A B C ，，的对边依次为a b c ，，，外接圆半径为1，且满足tan 2tan A c bB b-=，则ABC ∆面积的最大值为___________.【解析】 试题分析:由tan 2tan A c b B b -=可得B B C A B B A s i ns i ns i n 2c o s s i n c o s s i n -=,即1sin sin 2cos cos sin BC A B A -=,也即A B A C B A c o s s i n c o s s i n 2c o s s i n -=,故A CB A cos sin 2)sin(=+,也即1cos 2=A ,则060=A ,由正弦定理可得3sin 2==A a ,再由余弦定理可得cb b c 3)(32-+=,即cb b c cb 4)(332≥+=+,所以3≤cb ,故43343sin 21≤==∆bc A bc S ABC ,应填4. 考点：三角变换基本不等式正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用．【点评】正弦定理和余弦定理是高中数学中较为重要的知识点和考点.本题以三角形的外接圆的半径及tan 2tan A c bB b-=条件为背景精心设置了一道求三角形面积最大值的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,综合运用正弦定理求出060=A ,再借助余弦定理和基本不等式求得3≤cb .从而求得43343sin 21≤==∆bc A bc S ABC ,进而使得问题获解. 【变式演练1】已知ABC 外接圆的半径为，若面积22()ABCSa b c =--且4sin sin 3B C +=，则sin A = ，ABCS的最大值为【答案】8sin 17A =，25617.考点：1．正弦定理；2．解斜三角形．【变式演练2】在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，，，已知cos (2)cos c B a b C =-．（1）求角C 的大小；（2）若4AB =，求ABC ∆的面积S 的最大值，并判断当S 最大时ABC ∆的形状．【答案】（1）3C π=；（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理化和三角形内角和定理简cos (2)cos c B a b C =-，得1c o s 2C =，故3C π=；（2）由余弦定理和基本不等式，有22162a b ab ab +=+≥，16ab ≤，ABC S ∆=≤，当且仅当a b =时等号成立，故为等边三角形． 试题解析：（2）由题知，4c =，3C π=，∴4ABC S ab ∆=．∵由余弦定理可知：2222cos a b c ab C +=+， 22162a b ab ab +=+≥，∴16ab ≤．当且仅当“a b =”时等号成立，∴ABC S ∆最大值是 考点：解三角形．【变式演练3】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()s i n c o sc o s s i nA B B A ba B ++=． （1）求；（2）若1cos 3A =，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）1a =；（2.【解析】试题分析：（1）根据余弦定理，正弦定理，和A B C π+=-，将已知化为22222222a c b b c a c abc abc a +-+-+=解得1a =；（2）因为1cos 3A =，所以sin 3A =，由余弦定理得22213bc b c +-=，所以34bc ≤，再结合三角形面积公式求得最大值为4. 试题解析：考点：解三角形．类型二 求三角形中边或角的取值范围使用情景：三角形中解题模板：第一步 通过观察分析，将所给的边或角的关系转化为角或边之间的关系；第二步 利用三角恒等变换、正弦定理、余弦定理及其辅助角公式等转化； 第三步 得出结论.例3已知ABC ∆是锐角三角形，若B A 2=，则ba的取值范围是（ ） A. )3,2( B. )2,2( C. )3,1( D. )2,1( 【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，在ABC ∆中，由正弦定理可得sin sin a A b B=，又因为B A 2=，所以 sin sin 22cos sin sin a A B B b B B ===，又因为锐角三角形，所以2(0,)2A B π=∈且(2)3(0,)2A B B πππ-+=-∈，所以64B ππ<<，所以2cos B ∈，所以ba的取值范围是)3,2(，故选A ． 考点：正弦定理及三角形的性质．【点评】①本题易错在求B 的范围上，容易忽视“ABC 是锐角三角形”这个条件；②本题涉及三角形边角之间的关系，考察边角互化，化多元为一元，体现了解题的通性通法.解三角形问题的本质就是实现边角的转化，本题给的是角条件，求的是边之比的范围，思路很清晰，借助正弦定理把边转到角上，问题就转化为三角函数的最值问题，而定义域即角的范围就成了关键，锐角三角形就是保证三个角均为锐角，利用好内角和定理及2A B =，建立B 的不等关系即可．例4在△ABC 中，若3sin 2sin C B =，点E ，F 分别是AC ，AB 的中点，则BECF的取值范围为 ． 【答案】17(,)48【解析】设b t a =，结合23c b =，由,a b c a c b b c a+>⎧⎪+>⎨⎪+>⎩可得2393,9525b b a a ⎛⎫<<∴<< ⎪⎝⎭.222135114917,,,12614166448BE BE CF t CF ⎛⎫⎛⎫∴=-∈∴∈ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭,故答案为17(,)48. 考点：1、余弦定理的应用；2、正弦定理及求范围问题.【点评】本题主要考查三角形中位线定理、正弦定理及求范围问题，属于难题.求范围问题的常见方法有①配方法；②换元法；③不等式法；④图象法；⑤函数单调性法：将问题转化为关于某一参变量的函数后，首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域；本题就是先将BECF表示为关于的函数，再根据方法⑤解答的. 【变式演练4】在钝角ABC ∆中，已知1,2a b ==，则最大边的取值范围是 . 【答案】()3,5【解析】试题分析：因为是钝角三角形的最大边,所以C 是最大角.22212+>c 即52>c ,5>∴c 或5-<c （舍）,又1212+<<-c ,35<<∴c ,故应填()3,5.考点：余弦定理.【变式演练5】ABC ∆各角的对应边分别为c b a ,,，满足1≥+++ba c c ab ，则角A 的范围是______. 【答案】]3,0(π【解析】考点：余弦定理.【变式演练6】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为，，，已知sin sin sin A C p B +=（p R ∈），且214ac b =． （1）当54p =，1b =时，求，的值； （2）若角B 为锐角，求p 的取值范围．【答案】（1）1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或141a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）2p << 【解析】试题分析：（1）由题设并利用正弦定理，得5,41,4a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得114a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或141a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩；（2）由（1）可知a c pb +=，根据余弦定理有231cos 22p B =+，因为cos (0,1)B ∈，所以23(,2)2p ∈，2p << 试题解析：（1）由题设并利用正弦定理，得5,41,4a c ac ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得1,1,4a c =⎧⎪⎨=⎪⎩或1,41.a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩考点：解三角形.【变式演练7】在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、,且满足(),c o s 2c o s c c B a b C =-.（1）求角C 的大小；（2）求ABC ∆的周长的最大值. 【答案】（1）3π=C ；（2）【解析】试题分析：（1）利用正弦定理结合两角和差的正弦公式进行化简即可求角C 的大小；（2）根据余弦定理结合基本不等式的应用求出b a +的范围即可求ABC ∆的周长的最大值. 试题解析： （1）依题意,cos cos 2cos c B b C a C+=, 由正弦定理得,sin cos sin cos 2sin cos C B B C A C +=,()1sin()2sin cos ,sin 2sin cos ,sin 0,cos ,0,,23B C A C A A C A C C C ππ+==≠∴=∈=. （2）()()22222222cos ,3,33,12,c a b ab C a b ab a b ab a b a b a b =+-+-=+=++≥∴+≤+≤(当且仅当a b ==),ABC ∴∆ 的周长最大值为 考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理.【高考再现】1. 【2016高考江苏卷】在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是 ▲ . 【答案】8.考点：三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形ABC 中恒有tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++，这类同于正余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识2．【2016年高考北京理数】（本小题13分）在∆ABC 中，222+=+a c b .（1）求B ∠ 的大小；（2cos cos A C + 的最大值. 【答案】（1）4π；（2）. 【解析】考点：1.三角恒等变形；2.余弦定理.【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角与几何产生联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)提供了理论依据，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据．其主要方法有：化角法，化边法，面积法，运用初等几何法．注意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想．3. 【2016高考山东理数】（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan tan 2(tan tan ).cos cos A BA B B A+=+ （Ⅰ）证明：a +b =2c ; （Ⅱ）求cos C 的最小值. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）根据两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理即可证明； （Ⅱ）根据余弦定理公式表示出cosC ，由基本不等式求cos C 的最小值.()∏由()I 知2a bc +=, 所以 2222222cos 22a b a b a b c C ab ab +⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭==311842b a a b ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立. 故 cos C 的最小值为12. 考点：1.和差倍半的三角函数；2. 正弦定理、余弦定理；3. 基本不等式.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转化，达到证明目的；三角形中的求角问题，往往要利用余弦定理用边表示角的函数.本题覆盖面较广，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.4.【2015高考新课标1，理16】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 . 【答案】【解析】如图所示，延长BA ，CD 交于E ，平移AD ，当A 与D 重合与E 点时，AB 最长，在△BCE 中，∠B =∠C =75°，∠E =30°，BC =2，由正弦定理可得sin sin BC BEE C=∠∠，即o o2sin 30sin 75BE=，解得BE=，【考点定位】正余弦定理；数形结合思想【名师点睛】本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC 长定，平移AD ，当AD 重合时，AB 最长，当CD 重合时AB 最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB 的长，即可求出AB 的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.5.【2015高考山东，理16】设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（I ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（II ）ABC ∆【解析】（I ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=-sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=-【考点定位】1、诱导公式；2、三角函数的二倍角公式；3、余弦定理；4、基本不等式. 【名师点睛】本题考查了三角函数的诱导公式、二倍角公式与解三角形的基本知识和基本不等式，意在考查学生综合利用所学知识分析解决问题的能力，余弦定理结合基本不等式解决三角形的面积问题是一种成熟的思路.6.【2015高考湖南，理17】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为，，，tan a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=；（2）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）9]8.【考点定位】1.正弦定理；2.三角恒等变形；3.三角函数的性质.【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理解三角形以及三角恒等变形等知识点，属于中档题，高考解答题对三角三角函数的考查主要以三角恒等变形，三角函数的图象和性质，利用正余弦定理解三角形为主，难度中等，因此只要掌握基本的解题方法与技巧即可，在三角函数求值问题中，一般运用恒等变换，将未知角变换为已知角求解，在研究三角函数的图象和性质问题时，一般先运用三角恒等变形，将表达式转化为一个角的三角函数的形式求解，对于三角函数与解三角形相结合的题目，要注意通过正余弦定理以及面积公式实现边角互化，求出相关的边和角的大小.【反馈练习】1．【2017届湖北襄阳市四校高三上学期期中联考数学试卷，理8】在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，若3a A π==，则b c +的最大值为( )A ．4B ．C ．．2 【答案】C 【解析】考点：1、余弦定理；2、基本不等式．2．【 2017届山西康杰中学高三10月月考数学试卷，文19】已知顶点在单位圆上的△ABC ，角A ，B ，C 所对的边分别是，，，且2cos cos cos a A c B b C =+． （1）求cos A 的值；（2）若b a ≥，求2b c -的取值范围．【答案】（1）1cos 2A =；（2）． 【解析】试题分析：（1）由正弦定理可得： 2sin cos sin()A A B C =+⇒ 1cos 3A =；（2）由1cos 2A =⇒3A π=，由2s in s in b cB C ==⇒2sb B =，2sin c C =⇒24sin 2sin b c B C-=-)6B π=-⇒2)6b c B π-=-∈．试题解析：（1）因为2cos cos cos a A c B b C =+， 由正弦得，2sin cos sin cos sin cos A A C B B C =+， 所以2sin cos sin()A A B C =+．因为sin()sin B C A +=，且sin 0A ≠，所以1cos 2A =． （2）由1cos 2A =，得3A π=，由2sin sin b cB C==，得2sin b B =，2sin c C =， 所以2243b c π-=6B π=-． 因为b a ≥，所以233B ππ≤<，即662B πππ≤-<，所以2)6b c B π-=-∈．考点：1、解三角形；2、三角恒等变换．3．【2017届湖北黄冈市高三9月质检数学试卷，文18】ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1cos 3A =． （1）求2cos cos 22B CA ++的值； （2）若a =ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）详见解析；（2）4．【解析】试题解析：（1）222sin cos 2sin 2cos 122B C AA A π+-+=+- 2221cos cos 2cos 12cos 122A A A A +=+-=+-1111321299+=+⨯-=- （2）1cos 3A =，可得sin 3A ==由余弦定理可得2222222c o s 3a b c b c A b c b c =+-=+-24233bc bc bc ≥-=，即有23944bc a ≤=， 当且仅当32b c ==，取得等号．∴ABC ∆的面积为119sin 22434bc A ≤⨯⨯=，即有32b c ==时，ABC ∆．考点：1、三角恒等变换；2、余弦定理；3、正弦定理．【易错点睛】本题主要考查了三角恒等变换、余弦定理和正弦定理的综合应用，考查学生综合运用知识的能力，属中档题．其解题过程中容易出现以下错误：其一是不能正确地运用倍角公式和三角形的内角和为π对其进行化简，进而导致出现错误；其二是不能正确地运用基本不等式对其进行放缩，进而导致出现错误．其解题的关键是综合知识的灵活运用． 4. 【2016届浙江镇海中学高三5月模拟数学试卷，文18】在ABC ∆中，,||2B C A B A C =∙=．（1）求ABC ∆三边的平方和；（2）当ABC ∆的面积最大时，求cos B 的值． 【答案】（1）16；（2）1030． 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用余弦定理求解；（2）借助题设与基本不等式探求． 试题解析：（2）由（1）知：2210AB AC +=，所以2252AB AC AB AC +∙≤=，当且仅当AB AC =时取“=”号， 因为cos 2AB AC A ∙∙=，所以2cos A AB AC=∙，从而sin A ==ABC ∆的面积11sin22S AB AC A AB AC=∙∙=∙∙2=≤=，当且仅当AB AC=时取“=”号．因为2210AB AC+=，所以当AB AC=时，AB AC==故2cosBCBAB===．考点：三角形的面积公式及余弦定理等有关知识的综合运用．5.【2016届河南省豫北重点中学高三下第二次联考数学卷，文19】在ABC∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b ccos(2)cosC b A=.（1）求角A的大小；（2）求25cos()2sin22CBπ--的取值范围.【答案】（1）6Aπ=；（2）2(1]2-.【解析】试题解析：（1cos2sin cos cosA CB AC A=,)2sin cosA CB A+=2sin cosB B A=，又B为三角形的内角，所以sin0B≠，于是cos A=又A为三角形内角，因此，6Aπ=.（2）255cos()2sin sin cos 1sin cos()1226C B B C B B ππ--=+-=+--，553sin coscos sin sin 1sin 1)16626B B B B B B πππ=++-=--=-- 由6A π=可知，5(0,)6B π∈，所以2(,)663B πππ-∈-，从而1sin()(,1]62B π-∈-,)1(1]6B π--∈， 故25cos()2sin 22CB π--的取值范围为(1]. 考点：解三角形.6. 【2016届陕西师大附中高三下第十次模拟数学试卷，文19】在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边为c b a 、、，且满足cos 2cos 22cos cos 66A B A A ππ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求角B 的值； （2）若3=b 且a b ≤，求c a 21-的取值范围． 【答案】（1）233B ππ=或；（2）)3,23[． 【解析】故233B ππ=或． （2）因为b a ≤，所以3B π=，由正弦定理2sin sin sin a c bA C B====，得a=2sinA,c=2sinC ，122sin sin 2sin sin 233sin cos 226a c A C A A A A A ππ⎛⎫∴-=-=-- ⎪⎝⎭⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭因为b a ≤，所以2,33662A A πππππ≤<≤-<，所以126a c A π⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭． 考点：1.三角恒等变换；2.正弦定理和余弦定理．7. 【2016届安徽省淮北一中高三最后一卷数学试卷，理19】如图，在平面直角坐标系中，角α的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,42ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，将角α的终边绕原点逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，过B 作BC y ⊥轴于点C ；（1）若点AB 的横坐标； （2）求AOC ∆的面积S 的最大值； 【答案】（1）12-；（2）18【解析】（2）因为1,sin ,32OA OC AOC ππαα⎛⎫==+∠=- ⎪⎝⎭， 所以11sin sin sin 2232SOA OC AOC ππαα⎛⎫⎛⎫=∠=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211sin cos cos 22211sin cos cos 222αααααα⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭111cos 2sin 22422αα⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭11sin 2cos 242281sin 243ααπα⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭又,42ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以542,363πππα⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，所以当5236ππα+=，则4πα=时，sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最大值12，所以S 考点：三角函数的定义，两角和与差的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的性质8. 【2016届江西省九江市高三下学期三模理科数学试卷，理19】在A B C ∆中，三边c b a ,,所对应的角分别是C B A ,,，已知c b a ,,成等比数列.（1）若332tan 1tan 1=+C A ，求角B 的值； （2）若ABC ∆外接圆的面积为π4，求ABC ∆面积的取值范围.【答案】（1）3π=B ；（2）]33,0(∈∆ABC S .【解析】试题解析：（1）11cos cos sin()tan tan sin sin sin sin A C A C A C A C A C ++=+==， 又∵c b a ,,成等比数列，得ac b =2，由正弦定理有C A B sin sin sin 2=，∵B C A -=+π，∴B C A sin )sin(=+，得332sin sin 2=B B ，即23sin =B ， 由ac b =2知，不是最大边，∴3π=B .（2）∵ABC ∆外接圆的面积为π4，∴ABC ∆的外接圆的半径2=R ，由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=，得ac b c a B 2cos 222-+=，又ac b =2，∴21cos ≥B .当且仅当c a =时取等号，又∵B 为ABC ∆的内角，∴30π≤<B ， 由正弦定理R Bb 2sin =，得B b sin 4=. ∴ABC ∆的面积B B b B ac S ABC 32sin 8sin 21sin 21===∆， ∵30π≤<B ，∴23sin 0≤<B ，∴]33,0(∈∆ABC S . 考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、均值不等式.9. 【2015-2016学年福建省福州格致中学高二上学期期末理科数学试卷，理19】设锐角△ABC的三内角,,A B C 的对边分别为 ,,a b c 向量m (1,sin )A A = ， 3(sin ,)2A = ，已知m 与共线.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，c B =，且△ABC B 的取值范围.【答案】（1）3A π=（2）0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（Ⅰ）利用向量平行，得到关于A 的关系式，利用二倍角公式、两角差的正弦函数化简，求出角A 的大小；（Ⅱ）通过2a =，c B =，且△ABC ，得到B 的余弦值的范围，然后求角B 的取值范围（2）因为2a =，c B =，则1sin 2ABC S ac B =2122B =⨯⨯2B =1cos 22B-=2B =.由已知，2B <1cos 22B >. 因为B 是锐角，所以023B π<<，即06B π<<， 故角B 的取值范围是0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 考点：1.三角函数的恒等变换及化简求值；2.解三角形。