备战2017高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题34简单几何体表面积和体积求法Word版含解析

【高考地位】空间几何体的表面积和体积是立体几何的重要内容之一，空间几何体的表面积、体积的计算是高考常考的热点．解决这类问题的方法主要有：基本几何体的求积公式法、分形割补法、等体积法等. 在高考中多以选择题、填空题出现，其难度属中档题.【方法点评】方法一 公式法使用情景：几何体是规则的几何体解题模板：第一步 先求出几何体表面积和体积公式中的基本量； 第二步 再代入几何体的表面积和体积公式即可得出结论.例1 三棱锥A BCD -的外接球为球O ，球O 的直径是AD ，且,ABC BCD ∆∆都是边长为的等边三角形，则三棱锥A BCD -的体积是 （ ）A ．6 B ．12 C.4D ．12【答案】B 【解析】考点：三棱锥体积【点评】（1）对于表面积的公式不要死记硬背，多面体的表面积就是表面的几个面的面积直接相加，旋转体的就是展开再求；（2）直接求解该题的关键是正确求出三棱锥底面的垂线. 例2 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A B D 【答案】B 【解析】试题分析：因为ABC ∆是边长为的正三角形，所以ABC ∆外接圆的半径为r =O 到面ABC的距离是3d ===又因为SC 是圆的直径，所以S 到面ABC 的距离是23d =，因此三棱锥的体积是11233436ABC V S d ∆=⨯=⨯=，故选B.考点：1、外接球的性质及圆内接三角形的性质；2、棱锥的体积公式.【方法点晴】本题主要考查外接球的性质及圆内接三角形的性质、棱锥的体积公式，属于难题.圆内接多面体问题是将多面体和旋转体相结合的题型，既能考查旋转体的对称形又能考查多面体的各种位置关系，做题过程中主要注意以下两点：①多面体每个面都分别在一个圆面上，圆心是多边形外接圆圆心；②注意运用性质d =.【变式演练1】在三棱锥P ABC -中，侧面PAB 、侧面PAC 、侧PBC 两两互相垂直，且::1:2:3PA PB PC =，设三棱锥P ABC -的体积为1V ，三棱锥P ABC -的外接球的体积为2V ，则21V V =（ ） AB ．113π CD ．83π 【答案】A 【解析】考点：1、三棱锥的外接球；2、三棱锥与球的体积．【变式演练2】已知一个圆柱的底面半径和高分别为和，2h r π<，侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长是宽的2倍，则该圆柱的表面积与侧面积的比是（ ） A ．1ππ+ B ．12ππ+ C ．122ππ+ D ．142ππ+ 【答案】A【解析】试题分析：由题意可知22r h r h ππ=∴=，侧面积为2rh π，底面积为22r π，所以圆柱的表面积与侧面积的比是22212r rh rh πππππ++=.考点：圆柱表面积侧面积.方法二 割补法使用情景：几何体是不规则的几何体或者直接求比较困难 解题模板：第一步 先分割或补形；第二步 再求分割的各部分的面积和体积或求补形后的几何体的体积； 第三步 最后求出所求的几何体的体积.例2 如图1，已知三棱锥P ABC -中，10PA BC PB AC ====，PC AB ==P ABC -的体积.【答案】详见解析.【点评】（1）补形法是立体几何中最为常用的辅助工具，它能将一般几何体的有关问题通过补形成特殊的几何体再求解。

如本题将三棱锥补成特殊的长方体便可轻松求解。

当然补形前后的两种图形的内在联系应该非常熟悉是求解关键。

（2）若按常规方法利用体积公式求解，底面积可以设法求出，但顶点到底面的高无法作出，自然无法求出。

若能换个角度来思考，注意到三棱锥有三对边两两相等，若能把它放在一个特定的长方体中，则问题不难解决。

【变式演练3】四边形ABCD 中，A(0,0),B(1,0),C(2,1),D(0,3)，绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积.【答案】详见解析.考点：空间立体几何的体积、表面积；割补法；【变式演练4】如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且60,DAB PAB ∠=∆是边长为的正三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ,已知点M 是PD 的中点. （1） 证明:PB 平面AMC ; （2） 求三棱锥P AMC -的体积.【答案】(1)见解析；（2）2116a . 【解析】试题分析：(1) 连结BD 交AC 于O ，连结OM ,由三角形中位线性质可得OMPB ，由线面平行的判定定理可得PB 平面ACM .(2) 取AB 中点N ,连接PN ,则PN AB ⊥，由平面PAB ⊥平面ABCD ，可知PN ⊥平面ABCD ,利用求之即可.考点：1.线面平行的判定与性质；2.线面垂直的判定与性质；3.多面体体积.【名师点睛】本题考查线面平行的判定与性质、线面垂直的判定与性质、多面体体积，属中档题；线面平行是空间位置关系中一种重要的关系，也是高考常考知识点之一，高考对线面平行的考查常有以下两个命题角度：1.以多面体为载体，证明线面平行；2.以多面体为载体，考查与线面平行有关的探索性问题.方法三 等体积法使用情景：一般三棱锥解题模板：第一步 先变换三棱锥的顶点； 第二步 运用等体积法求出几何体的体积.例3 在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 为梯形，23AB DC AB CD M =∥，，为AE 的中点，设E ABCD -的体积为V ，那么三棱锥M EBC -的体积为（ ）. （Ａ）25V （Ｂ）13V （Ｃ）23V （Ｄ）310V 【答案】详见解析.【变式演练5】在三棱锥ABC S -中，ABC ∆是边长为SAC ⊥平面ABC ，2==SC SA ，M 、N 分别为AB 、SB 的中点.（Ⅰ）证明：AC ⊥SB ； （Ⅱ）求三棱锥CMN B -的体积.【答案】【解析】试题分析：（1）取AC 中点D，连接SD，DB，证明AC⊥平面SDB，由线面垂直的性质可得AC ⊥SB；（2）由V B-CMN=V N-CMB，即可求得三棱锥B-CMN的体积试题解析：（Ⅰ）证明：如图，取中点，连结，.∵，∴.又∵是正三角形，∴.∵，∴⊥平面又在平面内，∴⊥.考点：直线与平面垂直的性质及棱锥体积.【变式演练6】如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=， 2,AB PD ==,O 为AC 与BD 的交点，E 为棱PB 上一点．（Ⅰ）证明：平面EAC ⊥平面PBD ；(Ⅱ)若PD ∥平面EAC ,求三棱锥P EAD -的体积.【答案】（I ）证明见解析；（II ）22. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知得BD AC PD AC ⊥⊥,，由此能证明平面EAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）由已知得PD ∥OE ，取AD 中点H ，连结BH ，由此利用12P EAD E PAD B PAD V V V ---==即可求得三棱锥P EAD -的体积.BH AB ==.12P EAD E PAD B PAD V V V ---==1123PAD S BH =⨯⨯⨯△112622=⨯⨯=. 考点：1.平面与平面垂直的判定；2.棱柱，棱锥，棱台的体积.【高考再现】1. 【2016高考浙江理数】如图，在△ABC 中，AB =BC =2，∠ABC =120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD =DA ，PB =BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .【答案】12故BD =在PBD ∆中，PD AD x ==，2PB BA ==.由余弦定理可得2222222(4)cos 2222PD PB BD x x BPD PD PB x +-+--+∠===⋅⋅⋅，所以30BPD ∠=.EDCBAP过P 作直线BD 的垂线，垂足为O .设PO d =则11sin 22PBD S BD d PD PB BPD ∆=⨯=⋅∠，12sin 302d x =⋅，解得d =而BCD ∆的面积111sin )2sin 30)222S CD BC BCD x x =⋅∠=⋅=. 设PO 与平面ABC 所成角为θ，则点P 到平面ABC 的距离sin h d θ=. 故四面体PBCD的体积11111sin )33332BcD BcD BcD V S h S d S d x θ∆∆∆=⨯=≤⋅=⨯=.设t ==，因为0x ≤≤12t ≤≤.则|x =（2x <≤|x x ==故x .此时，16V t =21414()66t t t t-=⋅=-. 由（1）可知，函数()V t 在(1,2]单调递减，故141()(1)(1)612V t V <=-=. 综上，四面体PBCD 的体积的最大值为12.考点：1、空间几何体的体积；2、用导数研究函数的最值．【思路点睛】先根据已知条件求出四面体的体积，再对x 的取值范围讨论，用导数研究函数的单调性，进而可得四面体的体积的最大值．2.【2016高考新课标1文数】（本题满分12分）如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,P A =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G . （I ）证明G 是AB 的中点；（II ）在答题卡第（18）题图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F （说明作法及理由）,并求四面体PDEF 的体积．PABD CGE【答案】（I ）见解析（II ）作图见解析,体积为43【解析】所以AB ⊥平面PED ,故.AB PG ⊥又由已知可得,PA PB =,从而G 是AB 的中点.在等腰直角三角形EFP 中,可得 2.==EF PF 所以四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V 考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.3. 2016高考新课标Ⅲ文数]如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABCD ，ADBC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN平面PAB ；（II ）求四面体N BCM -的体积.【答案】（Ⅰ）见解析；． 【解析】（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点， 所以N 到平面ABCD 的距离为PA 21. 取BC 的中点E ，连结AE .由3==AC AB 得BC AE ⊥，522=-=BE AB AE .由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故525421=⨯⨯=∆BCM S ， 所以四面体BCM N -的体积354231=⨯⨯=∆-PA S V BCM BCM N . 考点：1、直线与平面间的平行与垂直关系；2、三棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又推出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．4. 【2016高考上海理数】将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。