2018_2019年高中数学第一章计数原理1.1第二课时两个计数原理的综合应用学案

第二课时两个计数原理的综合应用
题型一选抽取与分配问题
某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？
[思路导引] 由题意可知有1人既会英语又会日语，分类讨论．
[解] 由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人．则可分三类：
第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法．
第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法．
第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2×6＝12(种)方法．
故共有2＋6＋12＝20(种)选法．
选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法
(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．
(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．
②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
[跟踪训练]
1．高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，则不同的分配方案有( )
A．16种 B．18种 C．37种 D．48种
[解析] 高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践有43种不同的分配方案，若三个班都不去工厂甲则有33种不同的分配方案．则满足条件的不同的分配方案有43－33＝37种．故选C.
[答案] C
2．甲、乙、丙、丁4个人各写1张贺卡，放在一起，再各取1张不是自己所写的贺卡，共有多少种不同取法？
[解] 第一步，甲取1张不是自己所写的贺卡，有3种取法；
第二步，由甲取出的那张贺卡的供卡人取，也有3种取法；
第三步，由剩余两人中任一人取，此时只有1种取法；
第四步，最后1个人取，只有1种取法．
由分步乘法计数原理可知，共有3×3×1×1＝9种取法．
题型二用计数原理解决组数问题
用0,1,2,3,4五个数字，
(1)可以排出多少个三位数字的电话号码？
(2)可以排成多少个三位数？
(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？
[思路导引] 排数时“0”不能在首位，但电话号码“0”可以在首位．
[解] (1)三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝53＝125(种)．
(2)三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100(种)．
(3)被2整除的数即偶数，末位数字可取0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12(种)排法；一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18(种)排法．因而有12＋18＝30(种)排法．即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．
组数问题的常见类型及解决原则
(1)常见的组数问题
①组成的数为“奇数”、“偶数”、“被某数整除的数”；
②在某一定范围内的数的问题；
③各位数字和为某一定值问题；
④各位数字之间满足某种关系问题等．
(2)解决原则
①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．
②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位．
[跟踪训练]
1．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( )
A．24 B．18 C．12 D．6
[解析] 由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种．因此总共有12＋6＝18种情况．故选B.
[答案] B
2．如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称这样的三位数为凸数(如120,342,275等)，那么所有凸数个数是多少？
[解] 分8类，当中间数为2时，百位只能选1，个位可选1,0，由分步乘法计数原理，有1×2＝2个；
当中间数为3时，百位可选1,2，个位可选0,1,2，由分步乘法计数原理，有2×3＝6个；同理可得：
当中间数为4时，有3×4＝12个；
当中间数为5时，有4×5＝20个；
当中间数为6时，有5×6＝30个；
当中间数为7时，有6×7＝42个；
当中间数为8时，有7×8＝56个；
当中间数为9时，有8×9＝72个．
故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240个．
题型三用计数原理解决涂色种植问题
如图所示，要给“优”、“化”、“指”、“导”四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？
[解] 优、化、指、导四个区域依次涂色，分四步．
第一步，涂“优”区域，有3种选择．
第二步，涂“化”区域，有2种选择．
第三步，涂“指”区域，由于它与“优”、“化”区域颜色不同，有1种选择．
第四步，涂“导”区域，由于它与“化”“指”区域颜色不同，有1种选择．
所以根据分步乘法计数原理，得不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6(种)．
求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：
(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计
数原理分析；
(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．
[跟踪训练]
从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，
其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．
[解] 解法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6(种)不同种植方法．
同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)不同种植方法．
故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．
解法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同种植方法24－6＝18(种)．
1.本节课的重点是选(抽)取与分配问题，用计数原理解决组数、涂色(种植)问题，也是本节课的难点．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)选(抽)取与分配问题，见典例1；
(2)用计数原理解决组数问题，见典例2；
(3)用计数原理解决涂色(种植)问题，见典例3.
3．在解决具体问题时，首先弄清楚是“分类”还是“分步”，还要清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么．简单地说，“分类互斥”“分步互依”，关键是看能否独立完成这件事．与此同时，还要注意分类、分步时不要重复和遗漏．。