最短路径问题
最短路径问题
最短路径问题1、牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地。
牧马人到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？问：当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？解：1）点A 、B 在直线l 异侧时，连接AB ，AB 与直线l 的交点C 就是所求的点。
即这个点到点A 、点B 的距离和最短。
2) 点A 、B 在直线l 同侧时，利用轴对称先找到一个点B 关于直线l 的对称点B ׳,再连接AB ׳,交直线l 与C 点，C 点就是所求的点。
即点C 到点A 、B 的距离之和最短。
证明：在直线l 上任取一点C ׳,连接AC ׳、BC ׳、B ׳C ׳ 在△AB ׳C ׳中，AB ׳＜AC ׳+B ׳C ׳ 即 AC+B ׳C ＜AC ׳+B ׳C ׳ ∵ B 、B ׳关于直线l 对称 ∴ BC=B ׳C ，BC ׳=B ׳C ׳ ∴ AC+BC ＜AC ׳+B ׳C ׳所以C 点到A 、B 的距离之和最短。
总结：利用轴对称知识和三角形三边关系定理来解决。
C A B lB ׳C ׳CBA lB ׳CABl2、（造桥选址问题） 如图（1），A 和B 两地在一条河的两岸，现在在河上造一座桥MN 。
桥造在何处可使A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）1）问题可转化为：当点N 在直线b 的什么位置时，AM+MN+NB 最小？ 由于河宽MN 是固定的，所以AM+NB 最小时，AM+MN+NB 就最小。
2）问题接着可转化为：当点N 在直线b 的什么位置时，AM+NB 最小？（1） (2) 3）将AM 沿与河岸垂直的方向平移，点M 移动到N ，点A 移动到A ׳， 则AA ׳=MN ，AM+NB=A ׳N+NB.问题接着又转化为：当点N 在直线b 的什么位置时，A ׳N+NB 最小？ 解：如图（2），过点A 作河岸的垂线，并在垂线上截取AA ׳=MN ，连接A ׳B ，交河岸b 于N 点，N 点就是所求的点。
最短路径问题介绍
最短路径问题介绍全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最短路径问题是指在一个带有边权的图中，寻找连接图中两个特定节点的最短路径的问题。
在实际生活中，最短路径问题广泛应用于交通运输、通信网络、物流配送等领域。
通过解决最短路径问题，可以使得资源的利用更加高效，节约时间和成本，提高运输效率，并且在紧急情况下可以迅速找到应急通道。
最短路径问题属于图论中的基础问题，通常通过图的表示方法可以简单地描述出这样一个问题。
图是由节点和边组成的集合，节点表示不同的位置或者对象，边表示节点之间的连接关系。
在最短路径问题中，每条边都有一个权重或者距离，表示从一个节点到另一个节点移动的代价。
最短路径即是在图中找到一条路径，使得该路径上的边权和最小。
在解决最短路径问题的过程中，存在着多种算法可以应用。
最著名的算法之一是Dijkstra算法，该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题，即从一个给定的起点到图中所有其他节点的最短路径。
该算法通过维护一个距离数组和一个集合来不断更新节点之间的最短距离，直到找到目标节点为止。
除了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法外，还有一些其他与最短路径问题相关的算法和技术。
例如A*算法是一种启发式搜索算法，结合了BFS和Dijkstra算法的特点，对图中的节点进行评估和排序，以加速搜索过程。
Bellman-Ford算法是一种解决含有负权边的最短路径问题的算法，通过多次迭代来找到最短路径。
一些基于图神经网络的深度学习方法也被应用于最短路径问题的解决中，可以获得更快速和精确的路径搜索结果。
在实际应用中，最短路径问题可以通过计算机程序来实现，利用各种算法和数据结构来求解。
利用图的邻接矩阵或者邻接表来表示图的连接关系，再结合Dijkstra或者Floyd-Warshall算法来计算最短路径。
第21讲 最短路径问题
第21讲 最短路径问题一、方法剖析与提炼引例：如图，A 、B 是笔直公路l 同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是300m 和500m ，两村庄之间的距离为d(已知d 2=400000m 2)，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小，则最小距离为___________m 。
【解答】1000。
【解析】如图，作点B 关于公路l 的对称点B′，连接AB′交公路于点C ，CA+CB最短距离就是AB′的长度。
根据勾股定理可以求得AB′=1000m 。
【解法】同侧的两点，通过轴对称变换成异侧，利用两点之间线段最短确定最小距离。
【解释】通过生活中的实际例子，让学生感受最短路径来源于生活，并引出求最短路径常用的方法，利用轴对称变换找对称点及两点之间线段最短（即饮马问题）。
学习时可作如下归纳：（1）在初中范围内和边的不等量有关的知识有哪些，引出两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边；（2）在此图中哪种变换方式比较适合将马路同侧的两条线段变换到异侧，并且保持线段长度不变，旨在复习轴对称、平移、旋转等变换特点；（3）在移动变换中，有没有可能将两条线段置于共线的情形，即最短路径。
例1：已知正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，求DN+MN 的最小值。
【解答】连结BD 交AC 于点O ，根据正方形的对称性可知，B 点即为D 的对称点。
连结BM 交AC 于点N ，则BM 的值为DN+MN 的最小值。
所以BM=10。
【解析】如图，点B 即为点D 关于AC 的对称点，连接BM ，BM 的长度即为DN+MN的最小距离。
在Rt△BCM 中，根据勾股定理可求得BM=10。
【解法】此题 DN ，MN 这两条线段中，M ，D 两点固定，只有N 一个点是移动的，故只需确定点N ，使得距离之和最短即可。
【解释】此例从最基本的图形出发，让学生易于接受，敢于探索。
学生依据正方形自身拥有的轴对称性找到对称点，将同侧两条线段利用翻折变成异侧的两条线段，利用两点之间线段最短找到最短路径。
最短路径问题例题与讲解
13.4 课题学习最短路径问题1．最短路径问题(1)求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时点C是直线l与AB的交点．(2)求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．如下图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求，我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B.如下：证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点．解：如下图：(1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M.(3)则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不管题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．(1)假设要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？(2)假设要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：(1)到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边，所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2)要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A(或B)点关于EF的对称点，连接对称点与B点，与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A，B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于12AB 为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线，与EF 的交点P 即为所求．(2)如图2，画出点A 关于河岸EF 的对称点A ′，连接A ′B 交EF 于P ，则P 到A ，B 的距离和最短．【例3】 如图，从A 地到B 地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A 地到B 地的路程最短？思路导引：从A 到B 要走的路线是A →M →N →B ，如下图，而MN 是定值，于是要使路程最短，只要AM ＋BN 最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN 到AC ，从C 到B 应是余下的路程，连接BC 的线段即为最短的，此时不难说明点N 即为建桥位置，MN 即为所建的桥．解：(1)如图2，过点A 作AC 垂直于河岸，且使AC 等于河宽．(2)连接BC与河岸的一边交于点N.(3)过点N作河岸的垂线交另一条河岸于点M.则MN为所建的桥的位置．4．生活中的距离最短问题由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想方法转化在一条线段上，从而解决这个问题，运用轴对称性质，能将两条线段通过类似于镜面反射的方式转化成一条线段，如图，AO＋BO＝AC的长．所以作已知点关于某直线的对称点是解决这类问题的基本方法．【例4】(实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？图a 图b解：如图b.(1)作C点关于OA的对称点C1，作D点关于OB的对称点D1，(2)连接C1D1，分别交OA，OB于P，Q，那么小明沿C→P→Q→D 的路线行走，所走的总路程最短．利用轴对称和三角形的三边关系是解决几何中的最大值问题的关键．先做出其中一点关于对称轴的对称点，然后连接对称点和另一个点，所得直线与对称轴的交点，即为所求．根据垂直平分线的性质和三角形中两边之差小于第三边易证明这就是最大值．破疑点解决距离的最值问题的关键运用轴对称变换及三角形三边关系是解决一些距离的最值问题的有效方法．【例5】如下图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大．分析：此题的突破点是作点A(或B)关于直线l的对称点A′(或B′)，作直线A′B(AB′)与直线l交于点C，把问题转化为三角形任意两边之差小于第三边来解决．解：如下图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，A′B的连线交l于点C，则点C即为所求．理由：在直线l上任找一点C′(异于点C)，连接CA，C′A，C′A′，C′B.因为点A，A′关于直线l对称，所以l为线段AA′的垂直平分线，则有CA＝CA′，所以CA －CB＝CA′－CB＝A′B.又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′B＜CA－CB.点拨：根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．。
初二数学最短路径技巧
初二数学最短路径技巧
在初二数学中，最短路径问题是一个常见的题型。
这类问题通常涉及到几何图形，如三角形、四边形等，要求找出从一点到另一点的最短路径。
解决最短路径问题的一般步骤如下：
1. 确定起点和终点：首先明确问题的起点和终点，这是解题的基础。
2. 构建几何模型：根据题目描述，将问题抽象化为一个几何模型。
这可能涉及到三角形、四边形、圆等几何图形。
3. 应用几何定理：根据几何定理，如勾股定理、三角形的三边关系等，来分析最短路径。
4. 求解最短路径：通过计算和推理，找出起点到终点的最短路径。
下面是一个具体的例子：
题目：一个池塘的四周是一条宽1米的马路，现在要在马路的四周每隔2米种一棵树。
四个角各种一棵，请问需要多少棵树？
分析：
1. 确定起点和终点：起点是马路的起点，终点是马路的终点。
2. 构建几何模型：将马路和池塘抽象为一个矩形，四个角各种一棵树。
3. 应用几何定理：由于四个角各种一棵树，因此最短路径是从一个角到其对角线的中点。
根据勾股定理，最短距离为 $\sqrt{2}$ 米。
4. 求解最短路径：由于每隔2米种一棵树，因此需要的树的数量为
$\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 = \sqrt{2}$ 棵。
通过以上步骤，我们可以求解出最短路径问题。
需要注意的是，这类问题需要灵活运用几何知识和定理，同时还需要一定的计算能力。
Dijkstra算法详细讲解
最短路径之Dijkstra算法详细讲解１最短路径算法在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径. 算法具体的形式包括：(１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点,求最短路径的问题.（２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点,求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
(３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
(４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。
用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。
最常用的路径算法有：Dijkstra算法、A＊算法、Bellman—Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法.本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。
２Dijkstra算法2.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等.2。
2 Dijkstra算法思想Dijkstra算法思想为:设G=（V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了)，第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U表示)，按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
最短路径问题
A
O
N
3. 两定两动型最值
例：在∠MON的内部有点A和点B，在OM 上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形 ABCD周长最短．
M
A
B
O
N
例：（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去 河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30 米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程 最短？
A
C
D
B
4. 垂线段最短型
最短路径问题
1.两定一动型：两定点到一动 点的距离和最小
原理：两点之间线段最短。
例：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两 个定点A与B的距离之和最小， 即CA+CB的和最小.
B A
l
2.两动一定型 例：在∠MON的内部有一点A，在OM上找 一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长 最短．
M
A
D
E
B
C
3.正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且 DM=2，N是AC上的一动点，DN+MN的最小值 为————
课堂小结
通过本节课的学习，
你有哪些收获 ？作业CD NhomakorabeaA
B
典型例题
1．如图，在等边△ABC中，AB = 6，AD⊥BC， E是AC上的一点，M是AD上的一点，且AE = 2， 求EM+EC的最小值
A
A
E M
E
M
H
B
D
CB
D
C
2.正方形ABCD的面积为12， ABE是等边三角 形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一 点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值是
例1：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点 B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短．
最短路径的十二个基本问题
两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 A B＇．
原理
分别作点 P 关于两直 线的对称点 P＇和 P＇＇， 在直线 l1 、l2 上分别求 连 P＇P＇＇，与两直线交 点 M、N，使△PMN 的 点即为 M，N． 周长最小．
两点之间线段最短． PM+MN+PN 的最小值为 线段 P＇P＇＇的长．
【十二个基本问题】
【问题 1】
作法
图形
原理
连 AB，与 l 交点即为
P．
在直线 l 上求一点 P，
使 PA+PB 值最小．
【问题 2】“将军饮马”
作法
作 B 关于 l 的对称点
B＇连 A B＇，与 l 交点
在直线 l 上求一点 P，
即为 P．
使 PA+PB 值最小．
【问题 3】
作法
图形 图形
两点之间线段最短． PA+PB 最小值为 AB．
原理
将点 A 向下平移 MN 的
长度单位得 A＇，连 A＇
B，交 n 于点 N，过 N 作
直线 m ∥ n ，在 m 、n ， NM⊥ m 于 M．
上分别求点 M、N，使
MN⊥ m ，且 AM+MN+BN
的值最小．
【问题 6】
作法
图形
将点 A 向右平移 a 个
长度单位得 A＇，作 A＇
关于 l 的对称点 A＇＇，连 在直线 l 上求两点 M、N
对称点 B＇，连 A＇B＇ l2 上一定点，在 l2 上求 交l2 于 M，交 l1 于 N．
点 M，在 l1 上求点 N，
使 AM+MN+NB 的 值 最
小．
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最短路径问题最短路径问题是一个非常能联系实际的问题，下面我们以具体例题来看看这类问题的解法例1、假设A、B、C、D、E各个城市之间旅费如下图所示。
某人想从城市A出发游览各城市一遍，而所用费用最少。
试编程序输出结果。
解这类题时同学们往往不得要领，不少同学采用穷举法把所有可能的情况全部列出，再找出其中最短的那条路径；或是采用递归或深度搜索，找出所有路径，再找出最短的那条。
这两种方法可见都是费时非常多的解法，如果城市数目多的话则很可能要超时了。
实际上我们知道，递归、深度搜索等算法一般用于求所有解问题（例如求A出发每个城市走一遍一共有哪几种走法），而这几种算法对于求最短路径这类最优解问题显然是不合适的，以下介绍的几种算法就要优越很多。
首先，对于这类图我们都应该先建立一个邻接矩阵来存放任意两点间的距离数据，以便在程序中方便调用，如下：const dis:array[1..5,1..5] of integer =( ( 0, 7, 3,10,15), ( 7, 0, 5,13,12), ( 3, 5, 0, 5,10), (10,13, 5, 0,11), (15,12,10,11, 0)); 以下是几种解法：一、宽度优先搜索宽度优先搜索并不是一种很优秀的算法，只里只是简单介绍一下它的算法。
具体方法是：1、从A点开始依次展开得到AB、AC、AD、AE四个新结点（第二层结点），当然每个新结点要记录下其距离；2、再次以AB展开得到ABC、ABD、ABE三个新结点（第三层结点），而由AC结点可展开得到ACB、ACD、ACE三个新结点，自然AD可以展开得到ADB、ADC、ADE，AE可以展开得到AEB、AEC、AED等新结点，对于每个结点也须记录下其距离；3、再把第三层结点全部展开，得到所有的第四层结点：ABCD、ABCE、ABDC、ABDE 、ABEC、ABED……AEDB、AEDC，每个结点也需记录下其距离；4、再把第四层结点全部展开，得到所有的第五层结点：ABCDE、ABCED、……、AE DBC、AEDCB，每个结点也需记录下其距离；5、到此，所有可能的结点均已展开，而第五层结点中最小的那个就是题目的解了。
由上可见，这种算法也是把所有的可能路径都列出来再找最短的那条，显而易见这也是一种很费时的算法。
二、A＊算法A＊算法是在宽度优先搜索算法的基础上，每次并不是把所有可展的结点展开，而是对所有没有展开的结点，利用一个自己确定的估价函数对所有没展开的结点进行估价，从而找出最应该被展开的结点（也就是说我们要找的答案最有可能是从该结点展开），而把该结点展开，直到找到目标结点为止。
这种算法最关键的问题就是如何确定估价函数，估价函数越准则越快找到答案。
A＊算法实现起来并不难，只不过难在找准估价函数，大家可以自已找资料看看。
三、等代价搜索法等代价搜索法也是基于宽度优先搜索上进行了部分优化的一种算法，它与A＊算法的相似之处都是每次只展开某一个结点（不是展开所有结点），不同之处在于：它不需要去另找专门的估价函数，而是以该结点到A点的距离作为估价值，也就是说，等代价搜索法是A＊算法的一种简化版本。
它的大体思路是：1、从A点开始依次展开得到AB（7）、AC（3）、AD（10）、AE（15）四个新结点，把第一层结点A标记为已展开，并且每个新结点要记录下其距离（括号中的数字）；2、把未展开过的AB、AC、AD、AE四个结点中距离最小的一个展开，即展开AC（3）结点，得到ACB（8）、ACD（16）、ACE（13）三个结点，并把结点AC标记为已展开；3、再从未展开的所有结点中找出距离最小的一个展开，即展开AB（7）结点，得到ABC（12）、ABD（20）、ABE（19）三个结点，并把结点AB标记为已展开；4、再次从未展开的所有结点中找出距离最小的一个展开，即展开ACB（8）结点… …；5、每次展开所有未展开的结点中距离最小的那个结点，直到展开的新结点中出现目标情况（结点含有5个字母）时，即得到了结果。
由上可见，A＊算法和等代价搜索法并没有象宽度优先搜索一样展开所有结点，只是根据某一原则（或某一估价函数值）每次展开距离A点最近的那个结点（或是估价函数计算出的最可能的那个结点），反复下去即可最终得到答案。
虽然中途有时也展开了一些并不是答案的结点，但这种展开并不是大规模的，不是全部展开，因而耗时要比宽度优先搜索小得多。
例2、题目基本同例1、但只要求求A到E点的最短路径（并不要求每个城市都要走一遍）。
题目一改，问题的关键变了，所要求的结果并不是要求每个点都要走一遍，而是不管走哪几个点，只要距离最短即可。
再用宽度优先搜索已经没有什么意义了，那么等代价搜索能不能再用在这题上呢？答案是肯定的，但到底搜索到什么时候才能得到答案呢？这可是个很荆手的问题。
是不是搜索到一个结点是以E 结束时就停止呢？显然不对。
那么是不是要把所有以E为结束的结点全部搜索出来呢？这简直就是宽度优先搜索了，显然不对。
实际上，应该是搜索到：当我们确定将要展开的某个结点（即所有未展开的结点中距离最小的那个点）的最后一个字母是E时，这个结点就是我们所要求的答案！那么，除了等代价搜索外，有没有其它办法了呢？下面就介绍求最短路径问题的第四种算法：四、Warshall算法该算法的中心思想是：任意两点i,j间的最短距离（记为Dij）会等于从i点出发到达j点的以任一点为中转点的所有可能的方案中，距离最短的一个。
即：Dij=min(Dij,Dik+Dkj，……)，1<=k<=5。
这样，我所就找到了一个类似动态规划的表达式，只不过这里我们不把它当作动态规划去处理，而是做一个二维数组用以存放任意两点间的最短距离，利用上述公式不断地对数组中的数据进行处理，直到各数据不再变化为止，这时即可得到A到E的最短路径。
算法如下：1、把上述邻接矩阵直接赋值给最短距离矩阵D；2、i=1; 3、j=1；4、repeat5、c=false; {用以判断第6步是否有某个Dij值被修改过}6、Dij=min(Dij,Dik+Dkj，……), k=1 to 5 如果Dij被修改则c=true7、I=I+18、J=j+19、Until not c 10、打印D15 这种算法是产生这样一个过程：不断地求一个数字最短距离矩阵中的数据的值，而当所有数据都已经不能再变化时，就已经达到了目标的平衡状态，这时最短距离矩阵中的值就是对应的两点间的最短距离。
五、动态规划动态规划算法已经成为了许多难题的首选算法，只不过在很多的题目中动态规划的算法表达式比较难找准，而恰恰最短距离问题如果用动态规划算法考虑则可以非常容易地找准那个算法表达式。
我们知道，动态规划算法与递归算法的不同之处在于它们的算法表达式：递归：类似f(n)=x1*f(n-1)+x2*f(n-2)………，即可以找到一个确定的关系的表达式；动态规划：类似f(n)=min(f(n-1)+x1,f(n-2)+x2……)，即我们无法找到确定关系的表达式，只能找到这样一个不确定关系的表达式，f(n)的值是动态的，随着f(n-1),f(n -2)等值的改变而确定跟谁相关。
就本题来说，我们记f(5)为A到E点的最短距离，则f(4)为A到D点的最短距离，f(1) 为A到A点的最短距离（为0）。
于是，f(5)的值应该是所有与E点相邻的点的最短距离值再加上该点到E点的直接距离（dis矩阵中的值）所得到的值中最小的一个。
我们可以得到这样一个关系式：f(5)=min(f(1)+dis(1,5), f(2)+dis(2,5), f(3)+dis(3,5), f(4)+dis(4,5)) 以此关系式作一个递归函数即可求得A到E点的最短距离。
不过，为了节省时间，我们可以把f(1)-f(4)已经算得的结果保存起来给后面的递归直接调用，这样就能节约大量的递归空间和时间，这对于数据量大时尤为重要。
六、标号法标号法是一种非常直观的求最短路径的算法，单从分析过程来看，我们可以用一个数轴简单地表示这种算法：1、以A点为0点，展开与其相邻的点，并在数轴中标出。
2、因为C点离起点A最近，因此可以断定C点一定是由A直接到C点这条路径是最短的（因为A、C两点间没有其它的点，所以C点可以确定是由A点直接到达为最短路径）。
因而就可以以已经确定的C点为当前展开点，展开与C点想连的所有点A'、B'、D'、E'。
3、由数轴可见，A与A'点相比，A点离原点近，因而保留A点，删除A'点，相应的，B、B'点保留B点，D、D'保留D'，E、E'保留E'，得到下图：4、此时再以离原点最近的未展开的点B联接的所有点，处理后，再展开离原点离近未展开的D点，处理后得到如下图的最终结果：5、由上图可以得出结论：点C、B、D、E就是点A 到它们的最短路径（注意：这些路径并不是经过了所有点，而是只经过了其中的若干个点，而且到每一个点的那条路径不一定相同）。
因而A到E的最短距离就是13。
至于它经过了哪几个点大家可在上述过程中加以记录即可。
上述就是解最短路径问题的常用方法，但对于实际的题目到底用哪种方法？用该方法是不是需要做些变动？这种能力往往是很多同学所欠缺的，这只能靠平常地多学多练多总结才能把自己的能力与成绩挂上钩。
下面我们就再看一个例题。
例3、Internet消息发布问题描述：设Internet上有N个站点，通常从一个站点发送消息给其他N－1个站点，需依次发送N－1次。
这样从一个站点发布消息传遍N个站点时，可能要较长时间。
而当一个站点发布消息给另一个站点后，已获得消息的这两个站点就可以同时发布消息给另外两个站点，此后就有四个站点可以同时发布消息，这种发布消息方法应该会缩短消息传遍N个站点的时间。
请您编一个程序，设从每一个站点都可以向其他N－1个站点同时发送消息，编程求出从第一个站点开始发布消息传遍N个站点的最短时间。
输入：由文件Input4.dat输入数据，文件的第一行是Internet上的站点数N（1<=N< =100），第二行起是邻接矩阵严格的下三角部分，各行是整数或字符X。
A(I, J)表示从I站点发送消息给J站点所需要的时间。
假设网络是无方向的，故A(I, J)＝A(J, I)，当A(I, J)＝X时，表示从站点I不能直接向站点J发送消息；A(I, I)＝0表示没有必要自己给自己送消息（1<=I<=N），严格的下三角阵表示如下：A(2, 1) A(3, 1), A(3, 2) A(4, 1), A(4, 2), A(4, 3) ┇A(N, 1), A(N, 2)……A(N, N-1) 每一测试点一个输入文件，Input4.001、Input4.002、……。