第6讲 方差分析-正交分析-1
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正交试验方差分析
1（50） 1（6.5） 1（2.0） 1 1 2 2 2（7.0） 2（2.4） 3（7.5） 3（2.8 2 3 1 3 2 3
2（55） 1
3（58） 1
8பைடு நூலகம்
9 K1j
3
3 15.76
2
3 25.18
1
2 22.65
3
1 20.74
10.9
8.95
T 65.58
K2j
K3j K1j2 K2j2 K3j2
n
对上式做如下变换
SST ( X ij X ) 2 ( X ij X i. X i. X ) 2
i 1 j 1 i 1 j 1
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2 (X ij X i. )( X i. X )
各式的物理意义
X
所有数据的平均值称为总平均 值 第i个水平的数据平均值称为组平均值 随机误差，又称为组内离差平方和
X i.
SSE 表示每一个数据与其组平均值的离差平方和，反映了实验中的
SS A
表示组平均值与总的平均值得离差平方和，反映了由于因素不同水平引 起的差异又称为组间离差平方和
再稍做整理
X 总和 2 2 SST ( X ij X ) ( X ij ) N i 1 j 1 i 1 j 1 X 总和 校正项CF N
2 2 i 1 j 1 r n i 1 j 1 r n i 1 j 1
r
n
r
n
r
n
( X ij X i. ) ( X i. X ) 2
2 i 1 j 1 i 1 j 1
第6章-正交试验设计结果的方差分析
（4）计算F值
• 各均方除以误差的均方，例如：
FABiblioteka VA Ve或FA
VA V e
FAB
VAB Ve
或
FAB
VAB Ve
（5）显著性检验
• 例如： • 若 FAF(fA,f，e)则因素A对试验结果有显著影
响 • 若 F A BF (fA B,fe，)则交互作用A×B对试验结
果有显著影响
（6）列方差分析表
设：
QT
n
x
2 i
i1
n
T xi i1
②各因素引起的离差平方和
• 第j列所引起的离差平方和 ：
Sj
1( m r p1
Kp2j
)T2 n
k
ST S j Se j 1
③交互作用的离差平方和
• 若交互作用只占有一列，则其离差平方和就等于 所在列的离差平方和
• 若交互作用占有多列，则其离差平方和等于所占 多列离差平方和之和，
• 例：3时
S S S AB （ AB ） 1 （ AB ） 2
④试验误差的离差平方和
• 方差分析时，在进行表头设计时一般要求留有空 列，即误差列
• 误差的离差平方和为所有空列所对应离差平方和 之和 ：
Se S空列
（2）计算自由度
①总自由度 ：＝n－1 ②任一列离差平方和对应的自由度 ：
＝m－1 ③交互作用的自由度 ：（以A×B为例） ×B＝ × ×B＝(m－1 ) 若m ＝ 2， ×B＝ 若m ＝ 3， ×B＝ 2 ＋ ④误差的自由度：
• 方差分析的基本步骤如下： • (1)计算离差平方和 • (2)计算自由度 • (3)计算平均离差平方和(均方) • (4)计算F 值 • (5)显著性检验
5第六章方差分析
练习
• 以小鼠研究正常肝核糖核酸（RNA）对癌细 胞的生物学作用，试验分为对照组（生理 盐水）、水层 RNA组和酚层RNA组，分别用 此三种不同处理诱导肝细胞的FDP酶活力， 得数据如下。该三组资料均服从正态分布， 试比较三组均数有无差别?
ex_36.sas
表 6.1 对照组
2.79 2.69 3.11 3.47 1.77 2.44 2.83 2.52
复相关系数（确定系数），变异系数，均方根，总均数
对自变量的检验
R-Square:等于模型的平方和除以总 平方和，用于度量在因变量的变差 里能够由模型决定的比例有多少， 越接近1，效果越好。
检验的显著水平、自由度、 误差均方
具有相同字母的组间 均值差异没有统计学意义。
第2组具有A和B两个字母，所以 第二组和第三组，第一组均没有差异。
单因素方差分析
假设某单因素试验有k个处理，每个处理有n次重 复，共有nk个观测值。这类试验资料的数据模式
如下表所示。
（一）总平方和的分解 在上表中，反映全部观测值总变异的总平方和
是各观测值xij与总平均数的离均差平方和，记 为SST。即
kn
SST
( xij x.. ) 2
i1 j 1
nj 组内样本容量j 1,2,,n ki 组数，即水平数i 1,2,,k x.. 总平均数 xij i水平下第 j个样样本
变 差
组间 变差
总 变 差 组内 变差
组数（水平数）
（二）总自由度的剖分
在计算总平方和时，资料中的各个观测值要
kn
受 (xij x这..) 一0 条件的约束，故总自由度等于 i1 j1
资料中观测值的总个数减1，即kn-1。
dfT kn 1 df t k 1 df e dfT df t
第6讲方差分析正交分析
Ti为各因素同一水平试验指标（增 重）之和。
如 A因素第1水平 T1=y1+y2+y3=63.4+68.9+64.9=197.2， A因素第2水平 T2=y4+y5+y6=64.3+70.2+65.8=200.3， A因素第3水平 T3=y7+y8+y9=71.4+69.5+73.7=214.6；
1 号试验处理是 A1B1C1，即配 方I、用量15g、食盐 为0；2号试验处理是A1B2C2，即配方II 、 用 量 25g 、 食 盐 为 4g，… ；9号试验处理为A3B3C2，即配方III、 用量20 重复观测值正交试验 因素间有交互作用
上一张 下一张 主 页 退 出
在这9个水平组合中，A因素各水平下包括 了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同， 但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水 平时，B因素和C因素不同水平的效应相互抵消。 所以A因素3个水平间具有可比性。同样，B、 C因素3个水平间亦具有可比性。
上一张 下一张 主 页 退 出
个水平组合，就能反映包含27个水平组合的 情况，找出最佳的生产条件。
二、正交设计的基本原理
Ａ Ｂ Ｃ
图中标有试验号的九个“(·)”，就是利用正 交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。 即：
(1)A1B1C1 (4)A1B2C2 (7)A1B3C3
(2)A2B1C2 (5)A2B2C3 (8)A2B3C1
上一张 下一张 主 页 退 出
（2）不完全方案
将某些水平组合在一起形成少数几 个水平组合。 目的：探讨某些水平组合的综合作 用。
正交试验是在全部水平组合中选出有 代表性的部分水平组合设置的试验
正交检验的极差分析和方差分析教材
正交检验的极差分析和方差分析教材正交检验的极差分析和方差分析引言：正交检验的极差分析和方差分析是统计学中常用的两种分析方法。
它们被广泛应用于实验设计和数据分析中，可以帮助我们判断变量之间的差异是否显著，并且确定是哪些因素对变量影响最为显著。
本文将重点介绍正交检验的极差分析和方差分析的基本原理和应用方法。
一、正交检验的极差分析1.1 基本原理正交检验的极差分析是通过观察不同水平的自变量对因变量的影响，推断不同水平之间的差异是否显著的一种方法。
它基于方差分析的原理，通过计算不同水平之间的平均差和标准差，判断不同水平之间的差异是否超过了预期的随机误差范围，从而得出结论。
1.2 应用方法首先，确定研究的自变量和因变量，并确定自变量的水平。
然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个水平下的极差。
接下来，计算整体样本数据的均值和方差，以及不同水平之间的平均差和标准差。
最后，使用统计方法，比较差异是否显著，并进一步推断不同水平之间的差异。
1.3 实例分析以某品牌洗衣机的不同水平温度对洗涤效果（洗涤时间）为例，通过极差分析探究不同水平温度下洗涤效果是否存在显著差异。
首先，选择3个不同水平的温度：40℃、60℃和80℃。
然后，使用这3个水平的温度进行多次洗涤实验，每次实验记录洗涤时间。
接下来，计算每个水平下的极差，并计算整体样本数据的均值和方差。
最后，使用正交检验的极差分析方法，比较不同水平之间的差异是否显著。
二、方差分析2.1 基本原理方差分析是通过比较不同组之间的方差大小，来判断不同组之间的差异是否显著的一种方法。
它基于总体方差和组内方差之间的关系，通过计算F统计量来比较差异是否显著。
2.2 应用方法首先，确定研究的自变量和因变量，并确定不同组别。
然后，通过随机抽样的方式获取样本数据，并计算每个组别的均值和方差。
接下来，计算总体样本数据的均值和方差，以及组内方差和组间方差。
最后，使用统计方法，计算F统计量，并比较差异是否显著。
正交试验设计中的方差分析
方差分析（ANOVA）是一种统计技术， 用于比较三个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
目的
通过方差分析，可以确定不同组之间 的平均值差异是否由随机误差引起， 还是由处理因素或自变量引起。
方差分析的数学模型
数学模型
方差分析使用数学模型来描述数据之间的关系，特别是不同组之间的平均值差异。模型通常包括组间差异和组内 差异两部分。
医学研究
通过正交试验设计中的方差分析，研究不同治疗方案、药物剂量等因素对疾病治疗效果的影响，为临床 治疗提供科学依据。
方差分析的局限性
04
方差分析对数据的要求
独立性
数据必须是相互独立的，不存 在相互关联或依赖关系。
正态性
数据应符合正态分布，才能保 证统计推断的准确性。
同方差性
各组数据的方差应相等，否则 可能导致误判。
制定试验方案
根据正交表设计试验方案，确定每个因素的每个 水平。
实施试验
按照试验方案进行试验，记录每个试验的结果。
方差分析
利用方差分析法对试验结果进行分析，确定各因 素对试验结果的影响程度和显著性。
优化方案
根据方差分析结果，优化试验方案，进行下一步试验。
方差分析的基本原理
02
方差分析的定义与目的
定义
拉丁方设计方差分
析
适用于需要控制试验条件的试验， 通过拉丁方设计平衡试验条件和 试验误差。
正交试验设计中的方差分析步骤
确定试验因素和水平
根据研究目的和实际情况确定试验因 素和水平。
制定正交表
根据试验因素和水平选择合适的正交 表。
安排试验
按照正交表进行试验，记录试验数据。
方差分析
对试验数据进行方差分析，包括自由 度、离均平方和、均方、F值等计算。
正交试验设计中的方差分析
个水平，每个水平做p次试验，则n=mp。
那么正交试验的方差分析可以从以下几步进行：
1.计算差方和（离差平方和）： 包括以下几部分：
1)各因素差方和：
正交试验都是多因素多水平的试验，因此有必要对各因素的 差方和进行计算。 各因素差方和等于它的各水平均值k1A,k2A,…,kmA之间偏差平 方和。 以因素A为例，它在正交表中的某列，用xij表示A在第i个水 平的第j次试验结果，则;
即：fA×B=fA×fB 试验误差的自由度fe＝fT－f因 。
3.计算平均差方和（均方）： 在计算各因素的差方和时，按照前面的讲述，它是各水平的 偏差方的和，其大小与水平数有关，故此还不能确切的反映 各因素的情况。为了消除水平数的影响，可以计算其平均差 方和：
因素的平均差方和＝因素差方和 ＝Q因 因素的自由度 f因
试验误差的差方和是所有试验结果在不同水平下的指标值与该 水平下的均值之间的差的平方和。它是由随机误差引起的，故 叫误差的差方和。
Qe QT ( QA QB QN )
2.计算自由度：
试验的总自由度： fT n 1
各因素自由度： f因 m 1
如果有交互作用，则交互作用的自由度为两因素自由度之积:
一．几个数据处理中常用的数理统计名词：
首先对几个数理统计名词进行回顾
1. 平均值 x
就是所有数据的和除以数据的个数。
x
1 n
n i 1
xi
1 n
x1
x2
xn
总体平均值：
1 n
n
xi
i 1
n
总体：数理统计学中指的是研究对象的某一特性值的全体； 样本：从总体中随机抽出的一组测量值。
2.极差 R： 就是一组数据中的最大值减去最小值得到的差值。 3.差方和Q： 测量值对平均值的偏差的平方和，就叫～。也叫离差平方和。
那么正交试验的方差分析可以从以下几步进行：
1.计算差方和（离差平方和）： 包括以下几部分：
1)各因素差方和：
正交试验都是多因素多水平的试验，因此有必要对各因素的 差方和进行计算。 各因素差方和等于它的各水平均值k1A,k2A,…,kmA之间偏差平 方和。 以因素A为例，它在正交表中的某列，用xij表示A在第i个水 平的第j次试验结果，则;
即：fA×B=fA×fB 试验误差的自由度fe＝fT－f因 。
3.计算平均差方和（均方）： 在计算各因素的差方和时，按照前面的讲述，它是各水平的 偏差方的和，其大小与水平数有关，故此还不能确切的反映 各因素的情况。为了消除水平数的影响，可以计算其平均差 方和：
因素的平均差方和＝因素差方和 ＝Q因 因素的自由度 f因
试验误差的差方和是所有试验结果在不同水平下的指标值与该 水平下的均值之间的差的平方和。它是由随机误差引起的，故 叫误差的差方和。
Qe QT ( QA QB QN )
2.计算自由度：
试验的总自由度： fT n 1
各因素自由度： f因 m 1
如果有交互作用，则交互作用的自由度为两因素自由度之积:
一．几个数据处理中常用的数理统计名词：
首先对几个数理统计名词进行回顾
1. 平均值 x
就是所有数据的和除以数据的个数。
x
1 n
n i 1
xi
1 n
x1
x2
xn
总体平均值：
1 n
n
xi
i 1
n
总体：数理统计学中指的是研究对象的某一特性值的全体； 样本：从总体中随机抽出的一组测量值。
2.极差 R： 就是一组数据中的最大值减去最小值得到的差值。 3.差方和Q： 测量值对平均值的偏差的平方和，就叫～。也叫离差平方和。
QC工具方法培训-正交试验、方差分析
0.381 0.487
125
0.174
11
0.553 0.684
26
0.374 0.478
150
0.159
12
0.532 0.661
27
0.367 0.470
200
0.138
13
0.512 0.641
28
0.361 0.463
300
0.113
14
0.497 0.623
29
0.355 0.456
400
652 4.922819 0.035945 4.256495
9
132.4444
总计
2496
11
设α=0.05，则 F1-0.05(2,9)=4.26 拒绝原假设
13
第一节 方差分析
水平
数据
课堂练习： A1 6
5
7
A2 2
1
3
方差分析：单因素方差分析
SUMMARY
组
观测数 求和
A1
3
18
A2
3
6
方差分析
0.095
15
0.482 0.606
30
0.349 0.449 1000 0.062
1%
0.418 0.393 0.372 0.354 0.325 0.302 0.283 0.267 0.254 0.228 0.208 0.181 0.143 0.123 0.081
21
第二节 回归分析
(三) 一元线性回归方程——定量分析
i1 j 1
16
第一节 方差分析
水平
A1：原结构 A2：改进方案1 A3：改进方案2
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17
一. 单独观测值正交试验结果的方差分析
总变异 = 处理间 + 误差 处理间 = A因素 + B因素 + C因素 SST = SSA+SSB+SSC+SSe dfT = dfA + dfB + dfC + dfe
18
用n表示试验次数；a、b、c表示A、B、C因 素各水平重复数；ka、kb、kc表示A、B、C因素的 水平数。本例，n=9、a=b=c=3、 ka=kb=kc=3
11
任两列中，同一横行所组成的数字对出现
的次数相等
例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出 现两次；L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。即每 个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次 数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均 匀的。
38
A因素各水平平均数的多重比较
33
B因素平方和
SSB =ΣT2B / br - C
=(441.82+475.52+430.12)/3×2 -100860.3756 =185.2077
C因素平方和
SSC = ΣT2C / cr - C
= (423.92+473.22+450.32)/3×2 -100860.3756
= 202.8811
12
在这9个水平组合中，A因素各水平下包括 了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同， 但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水 平时，B因素和C因素不同水平的效应相互抵消。 所以A因素3个水平间具有可比性。同样，B、 C因素3个水平间亦具有可比性。
13
正交表的类别 1、相同水平正交表 如L4(23)、L8(27)、L12(211) 、L9(34)、L27(313) 2、混合水平正交表 各列中出现的最大数 L8（27） 字不完全相同的正交表称为混合水平正交表。 列数，正交表上最多允许安排的因素个数 如L8(4×24)表中有一列最大数字为4，有4列最 因素的水平数 实验的次数 大数字为2。也就是说该表可以安排一个4水平 正交表的代号 因 素 和 4 个 2 水 平 因 素 。 再 如 L16(44×23) ， L16(4×212)等都混合水平正交表。
6
二、正交设计的基本原理
Ａ Ｂ Ｃ
7
图中标有试验号的九个“( ·)”，就是利用正 即： (1)A1B1C1 (4)A1B2C2 (7)A1B3C3 (2)A2B1C2 (5)A2B2C3 (8)A2B3C1 (3)A3B1C3 (6)A3B2C1 (9)A3B3C2
交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
14
四、正交设计
【例】 在进行矿物质元素对架子猪补饲试验 1.选用正交表的原则： 中，考察补饲配方、用量、食盐3个因素，每个 因素都有3个水平。试安排一个正交试验方案。 试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中 括号内的底数；因素的个数（包括交互作用）应 若不考察交互作用 自由度＝因素个数×(水平数-1)=3*2=6 不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交 L9(34)总自由度9-1=8，故可以选用 互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由 若要考察交互作用 度 则应选用L27(313)，此时所安排的试验方案 实际上是全面试验方案。
8
上述选择 ，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次 。对于A、B、C 3个因素来说， 是在27个全面试验点中选择9个试验
点 ，仅 是全面试验的 三分之一。
从图中可以看到 ，9个试验点在选优区中分布是
均衡的，在立方体的每个平面上 ，都恰是3个试验点；
在立方体的每条线上也恰有一个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强 的代表性 ， 能够比较全面地反映选优区内的基本情 况。
T1=y1+y4+y7=63.4+64.3+71.4 = 199.1
… B因素第3水平
T3 = y3+y6+y9 = 64.9+65.8+73.7 = 204.4。
同理可求得C因素各水平试验指标之和。
21
x 为各因素同一水平试验指标的平均数。
如A因素第1水平 x1 =197.2/3=65.7333， A因素第2水平 x2 =200.3/3=66.7667， A因素第3水平 x3 =214.6/3=71.5333。 同理可求得B、C因素各水平试验指标的平 均数。
dfe = dfT-dfA-dfB-dfC = 8-2-2-2 = 2
26
列出方差分析表，进行F 检验
27
三个因素对增重的影响都不显著 原因：可能试验误差大
误差自由度小(仅为2)，灵敏度低
各因素对增重影响都不显著，不再进行
各因素水平间的多重比较
直观从表中选择平均数பைடு நூலகம்的水平组合
28
成最优水平组合：A3B3C2。
本例MSe1/ MSe2<1，MSe1与MSe2差异不显著， 合并的误差MSe，即 MSe = ( SSe1+ SSe2)/(dfe1+ dfe2)
= (15.2012+315.6845)/(2+8) = 33.09 F检验结果表明: 矿物质元素配方对架子猪增重有 统计学意义，另外两个因素作用无统计学差异； 二个单位组间差异有统计学意义。
正交试验是在全部水平组合中选出有 代表性的部分水平组合设置的试验 正交设计就是安排多因素试验 、寻求最 优水平组合 的一种高效率试验设计方法
5
例如：影响某品种鸡的生产性能有3个
因素： A因素是饲料配方，设A1、A2、A3 3个水 平；B因素是光照，设B1、B2、B3 3个水平；C 因素是温度，设C1、C2、C3 3个水平。这是一 个3因素3水平的试验 ，各因素的水平之间全部 可能的组合有27种 。 可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9 个水平组合，就能反映包含27个水平组合的 情况，找出最佳的生产条件。
dfC = kc-1 = 3-1 =2 dfe1= dft-dfA-dfB-dfC = 8－2－2－2 = 2 dfe2=dfT-dfr -dft =17-1-8 = 8
36
列出方差分析表，进行 F 检验
37
首先检验MSe1与MSe2差异的显著性
若不显著，则计算合并误差
若F检验显著，说明存在交互作用, 不能合并。
34
模型误差平方和
SSe1 = SSt – SSA – SSB - SSC
=819.6244 - 416.3344 -185.2077 -202.8811
=15.2012
试验误差平方和
SSe2 =SST – SSr - SSt =1978.5444-843.2355 - 819.6244 =315.6845
9
三、正交表及其特性
10
数学工作者制定，供选用 2水平正交表：L8(27)、L4(23)、L16(215)等 3水平正交表有L9(34)、L27(313)等
正交表特性：
任一列中，不同数字出现的次数相等
例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各 出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们 各出现3次 。
41629.6011=57.4289 B因素平方和 2 TB /b-C SSB = Σ
B水平数
=(199.12+208.62+204.42)/3 41629.6011 =15.1089
24
C因素平方和
SSC=ΣT2C/c-C
C水平数
=(198.72+206.92+206.52)/3 –
41629.6011 =14.2489
误差平方和
SSe=SST-SSA-SSB-SSC =101.2489 – 57.4289 – 15.1089 – 14.2489 =14.4622
25
总自由度
dfT =n-1=9-1=8
A因素自由度
B因素自由度
dfA =ka-1=3-1=2
dfB =kb-1=3-1=2
C因素自由度
误差自由度
dfC =kc-1=3-1=2
31
矫正数 （校正数）
C =T2/ (r×n) = 1347.42/(2×9) = 100860.3756
总平方和
SST=Σy2-C =63.42+68.92+…+92.82 －100860.3756 =1978.5444
单位组间平方和
SSr=ΣT2r /n － C =(612.12+735.32)/9 － 100860.3756 =843.2355
第六讲方差分析（五）：
正交实验设计 及统计分析
1
一、多因素试验设计
多 因素试验 是指在同一试验中同 时研究两 个或两个以上试验因素的试 验。 多因素试验设计方案由该试验的所 有试验因素的水平组合（即处理）构 成。多因素试验方案分为完全方案和 不完全方案两类。
2
A1B2 在列出因素水平组合（即处理）时 ，要求 A1B3 每一个因素的每个水平都要碰见一次，这时，组 合数等于各个因素水平数的乘积。 A2B1 例如以3种饲料配方对3个品种肉鸭进行试 A2B2 验。共有3×3=9 个水平组合（处理）。这 9 A2B3 个水平组合（处理）就构成了这两个因素的试验 A3B1 方案。 A3B2 A3B3
35
总自由度 单位组自由度 处理自由度 A因素自由度 B因素自由度 C因素自由度
模型误差自由度 试验误差自由度
一. 单独观测值正交试验结果的方差分析
总变异 = 处理间 + 误差 处理间 = A因素 + B因素 + C因素 SST = SSA+SSB+SSC+SSe dfT = dfA + dfB + dfC + dfe
18
用n表示试验次数；a、b、c表示A、B、C因 素各水平重复数；ka、kb、kc表示A、B、C因素的 水平数。本例，n=9、a=b=c=3、 ka=kb=kc=3
11
任两列中，同一横行所组成的数字对出现
的次数相等
例如 L8(27)中(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)各出 现两次；L9(34) 中 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)各出现1次。即每 个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次 数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均 匀的。
38
A因素各水平平均数的多重比较
33
B因素平方和
SSB =ΣT2B / br - C
=(441.82+475.52+430.12)/3×2 -100860.3756 =185.2077
C因素平方和
SSC = ΣT2C / cr - C
= (423.92+473.22+450.32)/3×2 -100860.3756
= 202.8811
12
在这9个水平组合中，A因素各水平下包括 了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同， 但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水 平时，B因素和C因素不同水平的效应相互抵消。 所以A因素3个水平间具有可比性。同样，B、 C因素3个水平间亦具有可比性。
13
正交表的类别 1、相同水平正交表 如L4(23)、L8(27)、L12(211) 、L9(34)、L27(313) 2、混合水平正交表 各列中出现的最大数 L8（27） 字不完全相同的正交表称为混合水平正交表。 列数，正交表上最多允许安排的因素个数 如L8(4×24)表中有一列最大数字为4，有4列最 因素的水平数 实验的次数 大数字为2。也就是说该表可以安排一个4水平 正交表的代号 因 素 和 4 个 2 水 平 因 素 。 再 如 L16(44×23) ， L16(4×212)等都混合水平正交表。
6
二、正交设计的基本原理
Ａ Ｂ Ｃ
7
图中标有试验号的九个“( ·)”，就是利用正 即： (1)A1B1C1 (4)A1B2C2 (7)A1B3C3 (2)A2B1C2 (5)A2B2C3 (8)A2B3C1 (3)A3B1C3 (6)A3B2C1 (9)A3B3C2
交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。
14
四、正交设计
【例】 在进行矿物质元素对架子猪补饲试验 1.选用正交表的原则： 中，考察补饲配方、用量、食盐3个因素，每个 因素都有3个水平。试安排一个正交试验方案。 试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中 括号内的底数；因素的个数（包括交互作用）应 若不考察交互作用 自由度＝因素个数×(水平数-1)=3*2=6 不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交 L9(34)总自由度9-1=8，故可以选用 互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由 若要考察交互作用 度 则应选用L27(313)，此时所安排的试验方案 实际上是全面试验方案。
8
上述选择 ，保证了A因素的每个水平与B因素、C 因素的各个水平在试验中各搭配一次 。对于A、B、C 3个因素来说， 是在27个全面试验点中选择9个试验
点 ，仅 是全面试验的 三分之一。
从图中可以看到 ，9个试验点在选优区中分布是
均衡的，在立方体的每个平面上 ，都恰是3个试验点；
在立方体的每条线上也恰有一个试验点。 9个试验点均衡地分布于整个立方体内 ，有很强 的代表性 ， 能够比较全面地反映选优区内的基本情 况。
T1=y1+y4+y7=63.4+64.3+71.4 = 199.1
… B因素第3水平
T3 = y3+y6+y9 = 64.9+65.8+73.7 = 204.4。
同理可求得C因素各水平试验指标之和。
21
x 为各因素同一水平试验指标的平均数。
如A因素第1水平 x1 =197.2/3=65.7333， A因素第2水平 x2 =200.3/3=66.7667， A因素第3水平 x3 =214.6/3=71.5333。 同理可求得B、C因素各水平试验指标的平 均数。
dfe = dfT-dfA-dfB-dfC = 8-2-2-2 = 2
26
列出方差分析表，进行F 检验
27
三个因素对增重的影响都不显著 原因：可能试验误差大
误差自由度小(仅为2)，灵敏度低
各因素对增重影响都不显著，不再进行
各因素水平间的多重比较
直观从表中选择平均数பைடு நூலகம்的水平组合
28
成最优水平组合：A3B3C2。
本例MSe1/ MSe2<1，MSe1与MSe2差异不显著， 合并的误差MSe，即 MSe = ( SSe1+ SSe2)/(dfe1+ dfe2)
= (15.2012+315.6845)/(2+8) = 33.09 F检验结果表明: 矿物质元素配方对架子猪增重有 统计学意义，另外两个因素作用无统计学差异； 二个单位组间差异有统计学意义。
正交试验是在全部水平组合中选出有 代表性的部分水平组合设置的试验 正交设计就是安排多因素试验 、寻求最 优水平组合 的一种高效率试验设计方法
5
例如：影响某品种鸡的生产性能有3个
因素： A因素是饲料配方，设A1、A2、A3 3个水 平；B因素是光照，设B1、B2、B3 3个水平；C 因素是温度，设C1、C2、C3 3个水平。这是一 个3因素3水平的试验 ，各因素的水平之间全部 可能的组合有27种 。 可利用正交表L9(34)安排，试验方案仅包含9 个水平组合，就能反映包含27个水平组合的 情况，找出最佳的生产条件。
dfC = kc-1 = 3-1 =2 dfe1= dft-dfA-dfB-dfC = 8－2－2－2 = 2 dfe2=dfT-dfr -dft =17-1-8 = 8
36
列出方差分析表，进行 F 检验
37
首先检验MSe1与MSe2差异的显著性
若不显著，则计算合并误差
若F检验显著，说明存在交互作用, 不能合并。
34
模型误差平方和
SSe1 = SSt – SSA – SSB - SSC
=819.6244 - 416.3344 -185.2077 -202.8811
=15.2012
试验误差平方和
SSe2 =SST – SSr - SSt =1978.5444-843.2355 - 819.6244 =315.6845
9
三、正交表及其特性
10
数学工作者制定，供选用 2水平正交表：L8(27)、L4(23)、L16(215)等 3水平正交表有L9(34)、L27(313)等
正交表特性：
任一列中，不同数字出现的次数相等
例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各 出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们 各出现3次 。
41629.6011=57.4289 B因素平方和 2 TB /b-C SSB = Σ
B水平数
=(199.12+208.62+204.42)/3 41629.6011 =15.1089
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C因素平方和
SSC=ΣT2C/c-C
C水平数
=(198.72+206.92+206.52)/3 –
41629.6011 =14.2489
误差平方和
SSe=SST-SSA-SSB-SSC =101.2489 – 57.4289 – 15.1089 – 14.2489 =14.4622
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总自由度
dfT =n-1=9-1=8
A因素自由度
B因素自由度
dfA =ka-1=3-1=2
dfB =kb-1=3-1=2
C因素自由度
误差自由度
dfC =kc-1=3-1=2
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矫正数 （校正数）
C =T2/ (r×n) = 1347.42/(2×9) = 100860.3756
总平方和
SST=Σy2-C =63.42+68.92+…+92.82 －100860.3756 =1978.5444
单位组间平方和
SSr=ΣT2r /n － C =(612.12+735.32)/9 － 100860.3756 =843.2355
第六讲方差分析（五）：
正交实验设计 及统计分析
1
一、多因素试验设计
多 因素试验 是指在同一试验中同 时研究两 个或两个以上试验因素的试 验。 多因素试验设计方案由该试验的所 有试验因素的水平组合（即处理）构 成。多因素试验方案分为完全方案和 不完全方案两类。
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A1B2 在列出因素水平组合（即处理）时 ，要求 A1B3 每一个因素的每个水平都要碰见一次，这时，组 合数等于各个因素水平数的乘积。 A2B1 例如以3种饲料配方对3个品种肉鸭进行试 A2B2 验。共有3×3=9 个水平组合（处理）。这 9 A2B3 个水平组合（处理）就构成了这两个因素的试验 A3B1 方案。 A3B2 A3B3
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总自由度 单位组自由度 处理自由度 A因素自由度 B因素自由度 C因素自由度
模型误差自由度 试验误差自由度