C_1插值B样条曲线

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b样条曲线曲率简易求解算法

b样条曲线曲率简易求解算法摘要：I.引言- 介绍b 样条曲线- 阐述曲率在曲线设计中的重要性II.b 样条曲线的定义与性质- 定义b 样条曲线- 介绍b 样条曲线的性质III.曲率的计算方法- 详细介绍b 样条曲率的计算方法- 解释各参数的含义及计算过程IV.曲率简易求解算法- 介绍曲率简易求解算法- 阐述算法的原理与步骤V.算法实现与分析- 给出算法实现代码- 分析算法的效率与准确性VI.结论- 总结文章内容- 指出算法的局限性与改进方向正文：I.引言b 样条曲线是一种具有广泛应用的曲线类型，广泛应用于计算机图形学、数值分析、建模等领域。

在曲线设计中，曲率是一个重要的参数，它反映了曲线在某一点处的弯曲程度。

因此，如何高效地计算b 样条曲率成为曲线处理领域的一个研究热点。

本文将介绍一种曲率简易求解算法，并对算法的原理与实现进行详细分析。

II.b 样条曲线的定义与性质b 样条曲线是一种以基函数和控制点加权求和表示的曲线，具有局部性和加权特性。

b 样条曲线可以表示为：C(u) = Σ[Ni(u) * Pi]其中，Ni(u) 是基函数，Pi 是控制点，u 是参数值。

b 样条曲线的性质包括：1) 局部性，即在某一区间内，曲线可以用基函数和控制点的有限和表示；2) 加权特性，即不同控制点对曲线的贡献程度不同，权重由基函数决定。

III.曲率的计算方法b 样条曲率的计算方法主要依赖于de Boor 算法，该算法利用b 样条曲线的性质，通过递归方式计算曲率。

具体计算过程如下：1) 计算第一阶导数C"(u)：C"(u) = Σ[Ni(u) * Ni(u)]2) 计算第二阶导数C""(u)：C""(u) = Σ[Ni(u) * (Ni(u) + Ni(u+1))]其中，Ni(u) 表示第i 个基函数在参数u 处的取值，Ni(u+1) 表示第i 个基函数在参数u+1 处的取值。

B样条曲线

Bezier曲线
给定P0、P1、P2、P3，三次曲线的参数形式如下：
三次曲线的动态图如下：
对于三次曲线，可由线性贝塞尔曲线描述的中介点 Q0、Q1、Q2，和由二次曲线描述的点R0、R1所建构。P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝塞尔曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。
Bezier曲线
更高阶的贝塞尔曲线，可以用以下公式表示：用表示由点 P0、P1、…、Pn所决定的贝塞尔曲线。则有：
高阶曲线的动态图如下：
要“画”出贝塞尔曲线，一般需要进行较多的计算，然后绘制出来。
Bezier曲线 Bezier曲线的一般化形式：
即：
其中多项式：
又称作 n 阶的伯恩斯坦基底多项式，定义 00 = 1。
B样条曲线
Bezier曲线改变一点曲线整体受影响
B样条曲线
B样条曲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的优点：
易于进行局部修改；更逼近特征多边形；
是低阶次的曲线。
B样条曲线改变一点曲线局部受影响
B样条曲线
均匀B样条曲线的参数表达式为：
式中为n次B样条基函数，其形式为：
其中
B样条曲线
B样条曲线的C语言实现
  #include<graphics.h> #include<conio.h> float px[10]={50,90,150,120,220,300,380,320,450,500}; float py[10]={100,60,50,150,240,100,100,200,250,130}; void B_spline() { float a0,a1,a2,a3,b0,b1,b2,b3; int k,x,y; float i,t,dt,n=10; setcolor(15); dt=1/n; for(k=0;k<10;k++) { if(k==0) moveto(px[k],py[k]);  lineto(px[k],py[k]); } setcolor(4); for(k=0;k<10-3;k++) {       if(getch()==17)exit();

b样条曲线设计实例

b样条曲线设计实例以下是一个b样条曲线设计实例：假设要设计一个光滑的曲线，连接三个控制点 A、B 和 C。

其中，控制点 A 的坐标为 (0, 0)，控制点 B 的坐标为 (2, 3)，控制点 C 的坐标为 (4, 1)。

首先，我们需要确定曲线的顺序。

对于这个例子，我们选择二次b样条曲线，即顺序为2。

接着，我们需要确定节点向量。

节点向量的长度等于控制点的数量加上顺序的数量。

在这个例子中，控制点的数量为3，顺序为2，所以节点向量的长度为5。

节点向量可以选择均匀分布，也可以根据需要进行调整。

在这个例子中，我们选择均匀分布的节点向量，即 (0, 0, 1, 2, 3)。

然后，我们可以使用节点向量和控制点的坐标来计算b样条曲线上的点的坐标。

对于每个参数值 t，其中 t 的取值范围为 0 到 4（即节点向量的最后一个元素），计算b样条曲线上的点的坐标。

例如，当 t = 1 时，使用节点向量和控制点的坐标进行计算。

首先，确定控制点的权重，计算公式为：w0 = (t - t0) / (t2 - t0)w1 = (t - t0) / (t3 - t1)w2 = (t - t1) / (t4 - t2)其中，t0 = 0，t1 = t2 = 1，t3 = t4 = 2。

计算得到 w0 = 0，w1 = 0，w2 = 1。

然后，根据权重和控制点的坐标计算曲线上的点的坐标，计算公式为：P(t) = w0 * A + w1 * B + w2 * C代入控制点的坐标 A = (0, 0)， B = (2, 3)， C = (4, 1)，得到：P(t) = 0 * (0, 0) + 0 * (2, 3) + 1 * (4, 1) = (4, 1)所以，当 t = 1 时，曲线上的点的坐标为 (4, 1)。

通过类似的计算，可以得到其他参数值对应的曲线上的点的坐标。

最后，连接这些点，就得到了b样条曲线。

样条曲面插值

样条曲面插值
样条曲面插值是一种数学方法，用于从离散的点集构建平滑的曲面。

这些点通常表示在二维或三维空间中的位置，而样条曲面则用于近似这些点并创建一个连续的曲面。

插值是指根据已知的离散数据点来推断出其他位置上的数值。

样条曲面插值的目标是通过一个连续且光滑的曲面，最好地逼近这些离散数据点。

常见的样条曲面插值方法包括：
1. 双三次插值样条曲面（Bicubic Interpolation）：这种方法使用双三次样条插值来创建一个连续的曲面，它在每个方向上都使用三次多项式来逼近数据点。

2. Bezier曲面：Bezier曲面是由Bezier曲线推广而来的，它利用多个Bezier曲线的控制点来构建曲面。

3. B样条曲面（B-spline Surface）：B样条曲面使用多个B样条来构建曲面，这些B样条由节点序列和控制点确定。

4. 样条插值基础上的曲面拟合：在这种方法中，通过使用已知数据点，先进行样条插值以获得一个曲面网络，然后利用这个网络进行曲面拟合。

这些方法都有其独特的优势和适用场景，但都旨在从离散的点集构建出平滑、连续的曲面，使得对数据的预测和分析更加准确和可靠。

B样条曲线与曲面

四、B样条曲线与曲面Bezier曲线具有很多优越性，但有二点不足：1）特征多边形顶点数决定了它的阶次数，当n较大时，不仅计算量增大，稳定性降低，且控制顶点对曲线的形状控制减弱；2）不具有局部性，即修改一控制点对曲线产生全局性影响。

1972年Gordon等用B样条基代替Bernstein基函数，从而改进上述缺点。

Ｂ样条曲线的数学表达式为：在上式中，0 ≤ u ≤ 1；i= 0, 1, 2, …, m所以可以看出：Ｂ样条曲线是分段定义的。

如果给定 m+n+1 个顶点 Pi ( i=0, 1, 2,…, m+n)，则可定义m+1 段 n 次的参数曲线。

在以上表达式中：Nk,n(u) 为 n 次B样条基函数，也称Ｂ样条分段混合函数。

其表达式为：式中：0 ≤ u ≤1k = 0, 1, 2, …, n1．均匀B样条曲线1 一次均匀B样条曲线的矩阵表示空间n+1个顶点（i = 0，1，…，n）定义n段一次（k＝0,1，n=1）均匀B样条曲线，即每相邻两个点可构造一曲线段Pi（u），其定义表达为：＝（1－u）Pi－1 ＋ u Pi＝ N0，1（u）Pi－1 ＋ N1，1（u）Pi第i段曲线端点位置矢量：，且一次均匀B样条曲线就是控制多边形。

2 二次均匀B样条曲线的空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，…，n）定义n－1段二次（k＝0,1,2， n=2）均匀B样条曲线，每相邻三个点可构造一曲线段Pi（u）（i=1，…，n－1），其定义表达为：＝（1 － 2 u ＋ u 2）Pi－1 ＋（1 ＋ 2 u － 2u2）Pi ＋u 2 Pi＋1＝ N0，2（u）Pi－1 ＋ N1，2（u）Pi ＋ N2，2（u）Pi＋1端点位置矢量：，，即曲线的起点和终点分别位于控制多边形Pi-1Pi和PiPi+1的中点。

若、、三个顶点位于同一条直线上，蜕化成直线边上的一段直线。

端点一阶导数矢量：，，，，即曲线的起点切矢和终点切矢分别和二边重合，且相邻两曲线段在节点处具有一阶导数连续。

在线轨迹平滑算法-概述说明以及解释

在线轨迹平滑算法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述在线轨迹平滑算法是一种用于处理轨迹数据的技术，旨在通过对轨迹点进行插值和平滑操作，提高轨迹的准确性和可读性。

轨迹数据通常是由移动设备、传感器或其他数据采集设备获取到的，它描述了一系列位置点的变化情况。

然而，由于设备采集误差和噪声的存在，轨迹数据往往会出现不平滑和不准确的情况，给后续的数据分析和应用带来了困扰。

在线轨迹平滑算法旨在通过数学插值和信号处理技术，对轨迹数据进行平滑处理，以得到更加精确和连续的轨迹。

它可以修复轨迹中的噪声点、缺失点和异常点，填补轨迹的空缺部分，并减少轨迹的抖动和不规则性。

通过在线处理方式，算法可以实时响应轨迹采集过程中的变化，适应不同的应用场景和数据类型。

本文将介绍两种常用的在线轨迹平滑算法：线性插值算法和B样条插值算法。

线性插值算法是一种简单而有效的平滑方法，它通过对轨迹点之间的直线进行插值，得到平滑的轨迹曲线。

B样条插值算法是一种基于参数曲线的插值方法，它通过拟合轨迹点和控制点之间的曲线，获得更加灵活和精确的轨迹平滑结果。

最后，我们将对这两种算法进行总结，并比较它们的优劣。

通过本文的介绍和讨论，读者可以了解到在线轨迹平滑算法的基本原理和应用，以及如何根据实际需求选择合适的算法进行轨迹处理。

1.2文章结构在文章结构部分，我们将对整篇文章的组织和布局进行介绍。

本文将按照以下结构展开：第一部分是引言，主要包括概述、文章结构和目的。

在概述部分，我们将简要介绍在线轨迹平滑算法的背景和应用场景。

文章结构部分将提供读者对整篇文章的脉络有一个清晰的了解，以便更好的理解和掌握文章内容。

最后，目的部分将明确本文的研究目标和意义。

接下来是正文部分，主要包括线性插值算法和B样条插值算法两个方面的内容。

在线轨迹平滑算法的核心思想将在这一部分进行详细介绍和分析。

线性插值算法是最简单直观的一种插值方法，我们将对其原理和实现进行深入探讨。

而B样条插值算法则是一种更加灵活和平滑的插值方法，我们将对其原理、优势和应用进行详细介绍，并与线性插值算法进行比较。

闭合B样条曲线控制点的快速求解算法及应用

０引言
Ｂ样条曲线在训算机辅助设计与制造中应用广泛。构造
Ｂ样条曲线一有正算和反算两种方式，反算即插值方式是般已知曲线上的型值点｛，｝反解出控制点｛，由控制点｛ｌＰ｝再Ｐ｝构造Ｂ样条曲线，种方法能够有效地解决计算机辅助几何这
１７２１，ｏ３，ｏ计算机工程与设计Ｃｍｕｒｎｉｅｎｄｅｇ３４０１Ｖ１２Ｎ．．４ｏｐｔＥｇｅｉａＤｓｎｅｎｒｇｎｉ
闭合Ｂ样条曲线控制点的快速求解算法及应用
任菲，王家润，仇建伟，聂芸
ＱｉｋａｇｒｈｏｌｉｇｃｎｒｌｏｎｓｆｌｓｄＢ—ｐｉｅｕｖｎｐｌａｉｎｕｃｌｏｉｍｆｏｖｎｏｔｉｔｏｏｅＳｌｒｅｄａｐｉｔｔｓｏｐｃｎｃａｃｏ
ＲＥｅ，ＷＡＮＧＪａｒｒＱＩＪｎｗｅ，ＮＩｕＮＦｉｉ—ｌ，ｌｌＵａ— ｉｉＥＹｎ
法，具有较少的存储空间和计算量。在此基础上，根据追赶法的原理，计了闭合Ｂ样条曲线控制点的快速求解算法。通过设数值实验和在等值线光滑中的实际应用，明了该算法的可靠性和有效性。表关键词：Ｂ样条曲线闭合曲线；控制点；Ｌｕ分解；追赶法；等值线光滑中图法分类号：Ｐ９Ｔ３１文献标识码：Ａ文章编号：００７２（ｏ１Ｏ一３４０ｔ０．０４２ｌ）４ｌ７ —５

bezier bezier曲线、b-样条生成原理

贝塞尔曲线（Bezier Curve）和B样条（B-Spline）是计算机图形学中常用的两种曲线生成方法，它们在图形设计、动画制作、CAD软件等领域被广泛应用。

本文将从贝塞尔曲线和B样条的生成原理入手，深入探讨它们的内在机制和应用。

一、贝塞尔曲线的生成原理贝塞尔曲线是一种由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于1962年在汽车工业中首次引入的曲线生成方法。

其生成原理基于一组控制点来描述曲线的形状，这组控制点通过线性插值的方式来确定曲线的路径。

贝塞尔曲线的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点：从给定的控制点集合中选择若干个点作为曲线的控制点。

2. 插值计算：根据控制点的位置和权重，通过插值计算得到曲线上的点。

3. 曲线绘制：利用插值计算得到的曲线上的点，进行绘制来呈现出贝塞尔曲线的形状。

在具体应用中，贝塞尔曲线的生成可以通过线性插值、二次插值和三次插值等不同插值方式来实现，其中三次插值的贝塞尔曲线应用最为广泛，其生成原理更为复杂，但也更为灵活。

二、B样条的生成原理B样条（B-Spline）是另一种常用的曲线生成方法，在实际应用中具有一定的优势。

B样条的生成原理与贝塞尔曲线不同，它是基于多项式函数的分段插值来描述曲线的形状。

B样条的生成过程可以简要描述如下：1. 定义控制点和节点向量：B样条需要定义一组控制点和一组节点向量（Knot Vector）来描述曲线的形状。

2. 基函数计算：根据节点向量和控制点，计算出关联的基函数（Basis Function）。

3. 曲线计算：利用基函数和控制点的权重，通过计算得到曲线上的点。

相比于贝塞尔曲线，B样条更为灵活，可以更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。

三、应用比较与总结贝塞尔曲线和B样条是两种常用的曲线生成方法，它们各自具有一些优势和劣势，在实际应用中需要根据具体情况做出选择。

1. 灵活性比较：B样条相对于贝塞尔曲线更加灵活，能够更精细地描述曲线的形状，并且能够进行局部编辑，使得曲线的变形更加方便。

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１引言
参数曲线曲面是 CAGD 研究的主要内容 , 其中的 B é zier 方法、 B 样条方法 ,NURBS 方法因其良好的光顺性、凸包性、形状可调性等 ,而受到人们的重视 ,并广泛应用于机械、汽车、航天等各个领域。然而这几种方法在插值方面却有不足之处 ,B é zier 方法的光滑拼接条件苛刻 ,B 样条方法和 NURBS 方法不具有插值功能。传统的方法是反算控制顶点 ,这种方法需解大型线性方程 ,计算费用较大 ,且曲线的形状难以局部修改。本文介绍一种具有保形均匀三次 B 样条插值曲线。在给定的控制多边形的每 2 个顶点之间插入 2 个 deBoor 点 , 形成一个新的控制多边形 , 由此所产生的均匀 B 样条曲线插值于给定的控制多边形的所有顶点。进一步建立相邻四个插值点与新的控制顶点的关系 , 从而构造一组插值基函数 ,插值曲线由所构造的基函数和型值点直接表示 , 插值曲线具有保形凸性和 C1 连续性。
V2i −1 = λi ti Pi −1 + (1 + λi − 2λi ti ) Pi − λi (1 − ti ) Pi +1 V2i = −λi ti Pi −1 + (1 − λi + 2λi ti ) Pi + λi (1 − ti ) Pi +1 (4) V2i +1 = λi +1ti +1 Pi + (1 + λi +1 − 2λi +1ti +1 ) Pi +1 − λi +1 (1 − ti +1 ) Pi + 2 V = − λ t P + (1 − λ + 2 λ t ) P + λ (1 − t ) P i +1 i +1 i i +1 i +1 i +1 i +1 i +1 i +1 i+2 2i + 2 由 V2i −1 , Pi ,V2 i ,V2i +1 , Pi +1 , V2 i + 2 , , 可生成插值于 Pi , Pi +1 的三次均匀 B 样条曲线 E0,3 (t )V2i −1 + E1,3 (t ) Pi + E2,3 (t )V2i + E3,3 (t )V2i +1 , (0 ≤ t ≤ 1) Pi (t ) = E0,3 (t − 1) Pi + E1,3 (t − 1)V2i + E2,3 (t − 1)V2 i +1 + E3,3 (t − 1) Pi +1 , (1 ≤ t ≤ 2) E (t − 2)V + E (t − 2)V + E (t − 2) P + E (t − 2)V , (2 ≤ t ≤ 3) 2i 1,3 2 i +1 2,3 i +1 3,3 2i + 2 0,3 将 (4) 式代入上式并整理得 : 3 ∑ BS1 j (t ) Pi + j −1 , (0 ≤ t ≤ 1) j=0 3 Pi (t ) = ∑ BS 2 j (t − 1) Pi + j −1 , (1 ≤ t ≤ 2) ２均匀Ｂ样条曲线及其性质 j=0 3 给定 n + 1(n ≥ k ) 个空间点 Vi (i = 0,1,L, n) , 它对应的 k 次均匀 B ∑ BS3 j (t − 2) Pi + j −1 , (2 ≤ t ≤ 3) 样条曲线可分段表示为 j=0 k 其中 BS 1 j (t ), BS 2 j (t ), BS3 j (t ), ( j = 0,1, 2,3) 如下 r (u ) = ∑ Ei , k (u )Vi +l , l = 0,1,L , n − k , 0 ≤ u ≤ 1 (1) BS10 (t ) = λi ti ( E0,3 (t ) − E 2,3 (t )) i =0 式中 Ei , k (u ) 是均匀 k 次 B 样条基函数 , 且有 : BS11 (t ) = (1 + λi − 2λi ti ) E0,3 (t ) + E1,3 (t ) j j k k −i (−1) Ck +1 (u + n − i − j ) +(1 − λi + 2λi ti ) E2,3 (t ) + λi +1ti +1 E3,3 (t ) Ei ,k (u ) = ∑ , i = 0,1,L k (2) k! j=0 = λ BS ( t ) i (1 − ti )( E2,3 (t ) − E0,3 (t )) + (1 + λi +1 − 2λi +1ti +1 )E 3,3 (t ) 12 当 k = 3 时 ,相应的三次均匀 B样条曲线的分段表示为 BS13 (t ) = −λi +1 (1 − ti +1 )E 3,3 (t ) 3 BS 20 (t ) = −λi ti E1,3 (t ) rl (u ) = ∑ Ei ,3 (u )Vi +l (0 ≤ u ≤ 1, l = 0,1, L , n − 3) (3) i =0 BS 21 (t ) = E0,3 (t ) + (1 − λi + 2λi ti ) E1,3 (t ) + λi +1ti +1 E2,3 (t ) 其中 Ei ,3 (u ) 是均匀三次 B 样条曲线的基函数。 BS 22 (t ) = λi (1 − ti )E1,3 (t ) + (1 + λi +1 − 2λi +1ti +1 )E 2,3 (t ) + E3,3 (t ) BS (t ) = −λ (1 − t )E (t ) ３插值三次均匀Ｂ样条曲线 2,3 i +1 i +1 23 在平面上给定点列 Pi (i = 1, 2,L , n) , 我们的方法是构造均匀三 BS30 (t ) = −λi ti E0,3 (t ) 次 B 样条曲线的 deBoor 点列 Vi ,使得由新的 deBoor 点列生成的三次 BS31 (t ) = (1 − λi + 2λi ti ) E0,3 (t ) + λi +1ti +1 ( E1,3 (t ) − E3,3 (t )) 均匀 B样条曲线插值 Pi ,进而构造一组插值基函数 ,插值曲线由所构 BS32 (t ) = λi (1 − ti ) E0,3 (t ) + (1 + λi +1 − 2λi +1ti +1 ) E1,3 (t ) 造的基函数和给定的型值点直接生成 , 并且是 C1 连续的和保形的。 + E2,3 (t ) + (1 − λi +1 + 2λi +1ti +1 )E 3,3 (t ) 在首末端点处各取两个延伸点分别为: BS33 (t ) = λi +1 (1 − ti +1 )( E3,3 (t ) − E1,3 (t )) P0 = P 1 + (P 1 − 2P 2 +P 3 ) / 4，P n +1 = P n + (P n − 2P n−1 + P n− 2 ) / 4 设给定的控制多边形 < P ,下 n− 1)确定 λi 的范围 , 使得插值三次 B 样条曲线是保形的。面当 1, P 2 ,L , P n > 的边矢量为 ai = P i +1 − P i (i = 1, 2, ai = Pi − Pi (i = 1, 2,L, n −1) , 则 a0 = (a1 − a2 ) / 4 , a0 × a1 = a1 × a2 / 4 , 可知由 P0 , P1 , ai −1 × ai 和 ai × ai＋1 有相同的方向 ,则 Pi −1 , Pi , Pi +1 , Pi + 2 构成的三边形是凸 P2 , P3 构成的三边形是凸的 , 过 P 的插值曲线没有拐点 ,同理可的。易知过 Pi 以 Pi 点处的切矢 Ti 为方向的切线与过 Pi +1 以 Pi +1 点处的 1, P 2 证 Pn− 2 , Pn−1 , Pn , Pn +1 构成的三边形也是凸的 , 从而可保证插值曲线切矢 Ti +1 为方向的切线相交 , 其交点记为 Pi ∗ = Pi + ai × ai +1 / Ti × Ti +1 Ti 。在首尾不会出现多余的拐点。当 ai −1 × ai 和 ai × ai＋1 方向相反时 , 则 Pi −1 , Pi , Pi +1 , Pi + 2 构成的三边形有设待构造的保凸均匀三次 B样条插值曲线在给定的控制多边一条拐向边 , 这时记 Pi ∗ = ( Pi + Pi +1 ) / 2 , 取形的每个顶点 Pi (i = 1, 2,L , n) 处的切矢量为 Ti = ti ai −1 + (1 − ti ) ai ( 式中 0 < λi < Pi * − Pi / T , 0 < λi +1 < Pi * − Pi +1 / Ti +1 (5) ti 是切矢量调节参数 ) 。则可保证构成的三边形与 P , P , P , P 构成 V2i −1 , V2i , V2i+1 ,V2i +2 i −1 i i +1 i+2 对于相邻四点 Pi −1 , Pi , Pi +1 , Pi + 2 , 下面构造 deBoor 点的三边形有相同的凸性。由 B样条曲线的变差减少性质知 :当三边 ; ; ; V2i−1 = P − λ T V = P + λ T V = P − λ T V = P + λ T i i i 2i +2 i +1 i +1 i +1 2i i i 2 i +1 i +1 i +1 i +1 形 < Pi −1 , Pi , Pi +1 , Pi + 2 > 是凸多边形时 , P i (t ) 也是凸的 , 否则有唯一把 Ti 及 ai = Pi +1 − Pi 代入上式得到个拐点。因此当 λi 按 (5) 式取值时 , 所构造的曲线是保形的。由本文算法得到的 C1 保形均匀三次插值曲线如图 1 。