三次样条插值的MATLAB实现
matlab实现三次样条插值法
题目背景：对y=1/（1+x^2）在[-1，1]区间以Xn=-1+0.1*（n-1），n=1 (21)为插值点做三次样条插值求解思路简析：以插值为四段三次函数为例进行说明（题干为插值20段三次函数），可看出方程组为q*x=d，其中q为方程组系数矩阵，x为所求三次函数的系数矩阵，其中方程组系数矩阵和d均呈规律性变化（边界点除外，首位两个点特殊堪虑）function qiujieyangtiao %%定义求解函数q=zeros(80); %%方程组的系数矩阵，赋初值为0n=-1:0.1:1; %%插值点的横坐标nd=zeros(80,1); %%插值点q*x=d中的dy=zeros(21,1); %%插值点的纵坐标向量a=1;for i=-1:0.1:1y(a)=1/(1+i^2);a=a+1; %%给插值点的纵坐标y通过原函数赋值endq(1,3)=2;q(1,4)=6*n(1);q(2,1)=1;q(2,2)=n(1);q(2,3)=n(1)^2;q(2,4)=n(1)^3;d(2)=y(1); %%给左端边界点的两个方程组系数赋值j=2;for i=3:4:75q(i,i-1)=1;q(i,i)=2*n(j);q(i,i+1)=3*n(j)^2;q(i,i+3)=-1;q(i,i+4)=-2*n(j);q(i,i+5)=-3*n(j)^2;d(i)=0;q(i+1,i)=2;q(i+1,i+1)=6*n(j);q(i+1,i+4)=-2;q(i+1,i+5)=-6*n(j);d(i+1)=0;q(i+2,i-2)=1;q(i+2,i-1)=n(j);q(i+2,i)=n(j)^2;q(i+2,i+1)=n(j)^3;d(i+2)=y(j);q(i+3,i+2)=1;q(i+3,i+3)=n(j);q(i+3,i+4)=n(j)^2;q(i+3,i+5)=n(j)^3;d(i+3)=y(j);j=j+1;end %%给系数矩阵赋值q(79,79)=2;q(79,80)=6*n(21);d(79)=0;q(80,77)=1;q(80,78)=n(21);q(80,79)=n(21)^2;q(80,80)=n(21)^3;d(80)=y(21); %%给右端边界点的两个方程组系数赋值result=q\d; %%求解系数矩阵function A=fun(x)if x>=-1&&x<-0.9A=result(1)+result(2)*x+result(3)*x*x+result(4)*x*x*x;elseif x>=-0.9&x<-0.8A=result(5)+result(6)*x+result(7)*x*x+result(8)*x*x*x;elseif x>=-0.8&x<-0.7A=result(9)+result(10)*x+result(11)*x*x+result(12)*x*x*x; elseif x>=-0.7&x<-0.6A=result(13)+result(14)*x+result(15)*x*x+result(16)*x*x*x; elseif x>=-0.6&x<-0.5A=result(17)+result(18)*x+result(19)*x*x+result(20)*x*x*x; elseif x>=-0.5&x<-0.4A=result(21)+result(22)*x+result(23)*x*x+result(24)*x*x*x; elseif x>=-0.4&x<-0.3A=result(25)+result(26)*x+result(27)*x*x+result(28)*x*x*x; elseif x>=-0.3&x<-0.2A=result(29)+result(30)*x+result(31)*x*x+result(32)*x*x*x; elseif x>=-0.2&x<-0.1A=result(33)+result(34)*x+result(35)*x*x+result(36)*x*x*x; elseif x>=-0.1&x<0A=result(37)+result(38)*x+result(39)*x*x+result(40)*x*x*x; elseif x>=0&x<0.1A=result(41)+result(42)*x+result(43)*x*x+result(44)*x*x*x; elseif x>=0.1&x<0.2A=result(45)+result(46)*x+result(47)*x*x+result(48)*x*x*x; elseif x>=0.2&x<0.3A=result(49)+result(50)*x+result(51)*x*x+result(52)*x*x*x; elseif x>=0.3&x<0.4A=result(53)+result(54)*x+result(55)*x*x+result(56)*x*x*x; elseif x>=0.4&x<0.5A=result(57)+result(58)*x+result(59)*x*x+result(60)*x*x*x; elseif x>=0.5&x<0.6A=result(61)+result(62)*x+result(63)*x*x+result(64)*x*x*x; elseif x>=0.6&x<0.7A=result(65)+result(66)*x+result(67)*x*x+result(68)*x*x*x; elseif x>=0.7&x<0.8A=result(69)+result(70)*x+result(71)*x*x+result(72)*x*x*x; elseif x>=0.8&x<0.9A=result(73)+result(74)*x+result(75)*x*x+result(76)*x*x*x; elseA=result(77)+result(78)*x+result(79)*x*x+result(80)*x*x*x; endend %%插值函数用子函数表达，方便调用x=linspace(-1,1);for i=1:length(x)A(i)=fun(x(i));endY=1./(1+x.^2);plot(x,Y,'--',x,A,':')legend('primitive','fitting') %%将原函数与该插值函数画在同一图上进行比较grid ontitle('三次样条插值')for m=1:20fprintf("S%d=%.3f+%.3f*x+%.3f*x.^2+%.3f*x.^3\n",m,result(4*m-3,1),result(4*m-2,1),result(4*m-1,1),result(4*m,1)) %%输出结果endend输出结果：S1=2.049+3.619*x+3.104*x.^2+1.035*x.^3S2=1.010+0.156*x+-0.743*x.^2+-0.390*x.^3S3=1.137+0.632*x+-0.149*x.^2+-0.143*x.^3S4=1.054+0.273*x+-0.660*x.^2+-0.386*x.^3S5=1.023+0.120*x+-0.916*x.^2+-0.528*x.^3S6=1.003+-0.002*x+-1.160*x.^2+-0.691*x.^3S7=0.997+-0.044*x+-1.265*x.^2+-0.779*x.^3S8=0.998+-0.034*x+-1.233*x.^2+-0.743*x.^3S9=1.000+-0.010*x+-1.113*x.^2+-0.543*x.^3S10=1.000+-0.000*x+-1.010*x.^2+-0.200*x.^3S11=1.000+-0.000*x+-1.010*x.^2+0.200*x.^3S12=1.000+0.010*x+-1.113*x.^2+0.543*x.^3S13=0.998+0.034*x+-1.233*x.^2+0.743*x.^3S14=0.997+0.044*x+-1.265*x.^2+0.779*x.^3S15=1.003+0.002*x+-1.160*x.^2+0.691*x.^3S16=1.023+-0.120*x+-0.916*x.^2+0.528*x.^3S17=1.054+-0.273*x+-0.660*x.^2+0.386*x.^3S18=1.137+-0.632*x+-0.149*x.^2+0.143*x.^3S19=1.010+-0.156*x+-0.743*x.^2+0.390*x.^3S20=2.049+-3.619*x+3.104*x.^2+-1.035*x.^3对比图。
MATLAB数值实验一(数据的插值运算及其应用完整版)
佛山科学技术学院实 验 报 告课程名称 数值分析 实验项目 插值法与数据拟合 专业班级 机械工程 姓 名 余红杰 学 号 10 指导教师 陈剑 成 绩 日 期 月 日一、实验目的1、学会Lagrange 插值、牛顿插值和三次样条插值等基本插值方法；2、讨论插值的Runge 现象3、学会Matlab 提供的插值函数的使用方法，会用这些函数解决实际问题。
二、实验原理1、拉格朗日插值多项式2、牛顿插值多项式3、三次样条插值 三、实验步骤1、用MATLAB 编写独立的拉格朗日插值多项式函数2、用MATLAB 编写独立的牛顿插值多项式函数3、用MATLAB 编写独立的三次样条函数（边界条件为第一、二种情形）4、已知函数在下列各点的值为：根据步骤1,2,3编好的程序，试分别用4次拉格朗日多项式4()L x 、牛顿插值多项式4()P x 以及三次样条函数()S x (自然边界条件)对数据进行插值，并用图给出 ｛(,),0.20.08,0,1,2,,10i i i x y x i i =+=｝，4()L x 、4()P x 和()S x 。
5、在区间[-1,1]上分别取10,20n =用两组等距节点对龙格函数21(),(11)125f x x x=-≤≤+作多项式插值，对不同n 值，分别画出插值函数及()f x 的图形。
6、下列数据点的插值可以得到平方根函数的近似，在区间[0,64]上作图。
（1）用这9个点作8次多项式插值8()L x 。
（2）用三次样条（第一边界条件）程序求()S x 。
7、对于给函数21()125f x x =+在区间[-1,1]上取10.2(0,1,,10)i x i i =-+=，试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第5题的结果比较。
四、实验过程与结果：1、Lagrange 插值多项式源代码：function ya=lag(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 ya=0; mu=1; %初始化%循环方式求L 系数，并求和： for i = 1:length(y) for j = 1:length(x) if i ~= jmu = mu * (xa - x(j) ) / ( x(i) - x(j) ); else continue end endya = ya + y(i) * mu ; mu = 1; end2、Newton 源代码：function ya = newton(x,y,xa) %x 所有已知插值点 %y 插值点对应函数值 %xa 所求点，自变量 %ya 所求点插值估计量 %建立系数零矩阵D 及初始化：D = zeros(length(x)-1);ya = y(1);xi = 1;%求出矩阵D，该矩阵第一行为牛顿插值多项式系数：for i=1:(length(x)-1)D(i,1) = (y(i+1) -y(i))/(x(i+1) -x(i));endfor j=2:(length(x)-1)for i=1:(length(x)-j)D(i,j) = (D(i+1,j-1) - D(i,j-1)) / (x(i+j) - x(i)); endend%xi为单个多项式（x-x(1))(x-x(2))...的值for i=1:(length(x)-1)for j=1:ixi = xi*(xa - x(j));endya = ya + D(1,i)*xi;xi = 1;end3、三次样条插值多项式（1）（第一边界条件）源代码：function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x) _____________(1)%第一类边界条件下三次样条插值；%xi 所求点；%yi 所求点函数值；%x 已知插值点；%y 已知插值点函数值；%f_0左端点一次导数值；%f_n右端点一次导数值；n = length(x0);z = length(y0);h = zeros(n-1,1);k=zeros(n-2,1);l=zeros(n-2,1);S=2*eye(n);for i=1:n-1h(i)= x0(i+1)-x0(i);endfor i=1:n-2k(i)= h(i+1)/(h(i+1)+h(i));l(i)= 1-k(i);end%对于第一种边界条件：k = [1;k]; _______________________(2)l = [l;1]; _______________________(3)%构建系数矩阵S：for i = 1:n-1S(i,i+1) = k(i);S(i+1,i) = l(i);end%建立均差表：F=zeros(n-1,2);for i = 1:n-1F(i,1) = (y0(i+1)-y0(i))/(x0(i+1)-x0(i));endD = zeros(n-2,1);for i = 1:n-2F(i,2) = (F(i+1,1)-F(i,1))/(x0(i+2)-x0(i));D(i,1) = 6 * F(i,2);end%构建函数D：d0 = 6*(F(1,2)-f_0)/h(1); ___________(4)dn = 6*(f_n-F(n-1,2))/h(n-1); ___________(5)D = [d0;D;dn]; ______________(6)m= S\D;%寻找x所在位置，并求出对应插值：for i = 1:length(x)for j = 1:n-1if (x(i)<=x0(j+1))&(x(i)>=x0(j))y(i) =( m(j)*(x0(j+1)-x(i))^3)/(6*h(j))+...(m(j+1)*(x(i)-x0(j))^3)/(6*h(j))+...(y0(j)-(m(j)*h(j)^2)/6)*(x0(j+1)-x(i))/h(j)+... (y0(j+1)-(m(j+1)*h(j)^2)/6)*(x(i)-x0(j))/h(j) ; break;else continue;endendend（2）（自然边界条件）源代码：仅仅需要对上面部分标注的位置做如下修改:__(1):function y=yt2(x0,y0,x)__(2):k=[0;k]__(3):l=[l;0]__(4)+(5):删除—(6):D=[0:D:0]4、——————————————PS:另建了一个f方程文件，后面有一题也有用到。
Matlab实验报告六(三次样条与分段线性插值)范文
本题是给出粗略等分点让你插入更多点用双线性插值法来作出更清晰的山区地貌图。
2.问题求解
x=0:400:2800;
y=0:400:2400;
z=[1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940;
1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200;
2.分段线性插值与计算量与n无关;n越大，误差越小.
3.三次样条插值比分段线性插值更光滑。
4.‘linear’：分段线性插值；‘spline’：三次样条值。
【实验环境】
MatlabR2010b
二、实验内容
问题1对函数 ，x[-5,5]，分别用分段线性插值和三次样条插值作插值（其中插值节点不少于20），并分别作出每种插值方法的误差曲线.
本次实验因为是我们课本没有的内容，心理上给了我很大的压力，幸好我们还能根据老师的课件以及例题去掌握这次实验所需要的各种插值法，但结果还好，两道题都做出来了。
plot(x,y,'*',x1,yl,'r',x1,y2,'b')
y0=1./(1+x1.^2);
y3=yl-y0;
y4=ys-y0;
holdon
plot(x1,y3,'y',x1,y4,'g')
3.结果
4误。
问题2山区地貌图在某山区（平面区域（0，2800）（0，2400）内，单位：米）测得一些地点的高程（单位：米）如表1，试作出该山区的地貌图.
1.分析问题
本题先取出少量的插值节点并作出图形，再用分段线性插值法和三次样条插值法做出更精确的图形，最后在作出误差曲线。
matlab三次样条插值例题解析
文章标题：深度解析Matlab三次样条插值1. 前言在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。
而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。
本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。
2. 三次样条插值概述三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。
在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。
该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。
3. 三次样条插值的基本原理在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。
这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。
通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。
4. Matlab中的三次样条插值实现在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。
通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。
spline函数也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。
5. 三次样条插值的适用范围和局限性虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。
在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。
6. 个人观点和总结通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。
在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。
我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。
通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。
在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。
三次样条插值函数MATLAB编程实现
三次样条插值函数为()()[)()[]1011,,,,n n n S x x x x S x S x x x x-⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩ 利用三次埃尔米特插值函数表示三次样条插值函数，即()()()()())111111,,j j j j j j j j j j j S x y x y x m x m x x x x ααββ++++++⎡=+++∈⎣（0,1,,1j n =-）基函数满足()()()()()()21112111121121111212jj j j j j j j j j j j j j j j j j j jj j j j x x x x x x x x xx xx x x x x x xx xx x x x xx x x x x x xααββ++++++++++++⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫--=+ ⎪⎪ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎛⎫-=-⎪ ⎪-⎝⎭⎛⎫-=-⎪ ⎪-⎝⎭由上式易得()()()()()()()()()()()()()()1331111331112211112211612612246246j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j jj j j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx ααββ+++++++++++++++''=---+''=-+--+''=---+''=---则有()()()()()()()()()()()111111113333111111122221111661212242466j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j S x y x y x m x m x x x x x y x y x x x x x x x x x x x x x m x m x x x x x x x x x ααββ+++++++++++++++++++''''''''''=+++⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎡⎤++⎢⎥+-+-⎢⎥----⎣⎦)1,j j x x x +⎡⎤⎢⎥⎡∈⎣⎢⎥⎣⎦（0,1,,1j n =-）同理有()()()()()()()()()()()()()()()11111113333111111122221111661212242466j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j S x y x y x m x m x x x x x y x y x x x x x x x x x x x x x m x m x x x x x x x x x ααββ------------------''''''''''=+++⎡⎤⎡⎤++⎢⎥⎢⎥=-+-+⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡++⎢⎥+-+-⎢⎥----⎣⎦⎣)1,j j x x x -⎤⎢⎥⎡∈⎣⎢⎥⎦（1,,j n =）根据样条函数二阶导数连续性，即()()100j j j j S x S x +''''+=-（1,,1j n =-）即()()()()()()()()()()()()()()()()111111332211111111113322111166426624j j jj j j j j j j jj j jj j j j j j jj j j j jj j j j j jjj jj jj jj x x y x x y x x x x m m x x xx xx xx x x y x x y x x x x m m x x xx xx xx ++++++++++--------------+++--------=+++----（1,,1j n =-）化简得()()()()()111111111111233j j j j j j j j j j j j j j j j j j jj j xx m x x m x x m x x x x y y y y x x x x +-+--+-++-+--+-+---=-+---（1,,1j n =-）可得线性方程组()()()()()()()()()()0121201023231213121221111110212110211032213221322122233333n n n n n n n n n n n n m m x x x x x x m x x x x x x m x x x x x x m m m x x x x y y y y x x x x x x x x y y y y x x x x y ------⨯+-+⨯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪---⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭---+------+---=()()()121112112113n n n n n n n n n n n n n x x x x y y y x x x x ----------⨯⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-- ⎪-+- ⎪--⎝⎭为了使样条插值问题有惟一解，我们在原有方程基础上增加两个边界条件。
MATLAB三次样条插值之三弯矩法
ＭATLＡＢ三次样条插值之三弯矩法首先说这个程序并不完善，为了实现通用（１，２，…,ｎ）格式解题，以及为调用追赶法程序，没有针对节点数在三个以下的情况进行分类讨论。
希望能有朋友给出更好的方法。
首先，通过函数saｎwanｊ得到方程的系数矩阵，即追赶法方程的四个向量参数,接下来调用追赶法(在inteｒｓaｎwj函数中），得到三次样条分段函数系数因子,然后进行多项式合并得到分段函数的解析式，程序最后部分通过判断输入值的区间自动选择对应的分段函数并计算改点的值。
附:追赶法程序cｈase％%%％％%%%%%%%％%fｕncｔiｏｎ [nｅwv,w,newu，neｗd]=sanwj（ｘ,y,x０,y0,y1ａ,y1b）ﻫ％三弯矩样条插值ﻫ％将插值点分两次输入，x0y０单独输入ﻫ% 边值条件a的二阶导数 y1a 和ｂ的二阶导数ｙ1b，这里建议将y１ａ和y1b换成y2a和ｙ2b,以便于和三转角代码相区别ﻫn=length(x);m=leｎgth(y);ｉf m~=nﻫerrｏｒ(＇x or y 输入有误,再来'）;endﻫv=ｏneｓ(ｎ-１，1);u=ｏnes(n－１,1）;d=zeros（n－１,１）;ﻫw=２*ｏnes(n+１)；ﻫh0=x（１）-x0;ﻫh=zerｏs(n-１,1);for k＝1:n-１ﻫｈ(k)＝x（k+1)－x（k);ﻫenｄｖ(1)＝h0/(ｈ0+h(1）);u(1)＝1－v（1）;ｄ（１)＝6*((y（2）-y(1）)/h（1)-(y(1)-y０)/ｈ0）/(h0+ｈ(１）);ﻫ%ｆoｒ k＝2:ｎ-1ﻫｖ(ｋ）＝h(ｋ-１)/(ｈ(k-１)+h(ｋ)）;ﻫu(k)=1－v(k);ﻫd（k)＝6*((y(ｋ+１)-ｙ（ｋ)）/h（k）-(ｙ(k）-y(ｋ-1）)/ｈ(k－1))／(h（k-1)+h(k));ｅndnewv=[v;1］;ﻫnewu=［1;u]；d0=6＊（(y(1)-y0)/h0-y1a)/h0;d(n)=6＊（y1ｂ-(ｙ(n）－ｙ(n-1))／ｈ(n-1))／h(ｎ-1）;newd=［d0;d];%%%%%%％％%％％％ｆunctｉon iｎｔersａnｗj（x，y,ｘ0,y0,y1a，y1b)%三弯矩样条插值ﻫ%第一部分ﻫn=leｎgtｈ(ｘ）;ｍ＝length(y);iｆ m~＝nﻫeｒror（'ｘｏｒy 输入有误，再来');enｄﻫ%重新定义hﻫh=zｅｒｏs(n,1）;h(1)=x（1）-ｘ０;fｏr k=2:nh（k)=ｘ(ｋ)－x(k-1)；ﻫend％sptep1调用三弯矩函数ﻫ[a,b,c,d]=sanwj(x，ｙ,ｘ0,ｙ0,y１ａ,y1b);% 三对角方程ﻫM＝cｈaｓe(a,b,ｃ,ｄ);% 求插值函数ﻫfｐrintf（＇三次样条(三弯矩)插值的函数表达式\ｎ')；sｙｍｓ X ；ﻫfpｒintf('Ｓ0--1:\n');S（１)＝cｏlｌeｃｔ（（(１/６）*M(2)*（X－x0)．^3－(1/6)*M(1)*(X－ｘ（1))．^3+(y(1)-(M(2)*h(１）.^2）/6)*(X－x０)－(y０－(Ｍ(1)*h（1)．^2）/6）＊(Ｘ-x(1））)/ｈ（1));ﻫfoｒ k=2：nｆpｒinｔｆ（＇Ｓ%d-－%d:\n',k-1,k)；Ｓ(ｋ)=ｃｏllect((（1／６)*M(ｋ+1)*(X-x(k－1)).＾３-(1／6)*M(ｋ)*(X-x(ｋ)).^３＋(y(k）-（M(k+1)*h(k).^2)/6）*(X－ｘ（ｋ-1)）-(y(k-１)-(M(k)＊ｈ(k)．^2)/６)*(X-ｘ（k)))/h(ｋ)）;ｅndﻫS=S．';ﻫｄisp（S);ﻫfprintf('以上为样条函数(三弯矩)解析式，显示为手写如下：＼n＇）；ﻫpreｔtｙ(S);%第二部分%是否继续运行程序ﻫmｙlｏop=iｎput('继续运行程序输入“1”，否则输入“0”\n＇);ﻫｉｆmyloｏpｗhile ｍylｏopxi＝input('输入需要计算的点的值，并按回车键\ｎ＇)；if ｘi＞ｘ0｜xi<x(ｎ）ﻫfｐrintf（＇现在开始计算输入点的插值函数值……\n');elseﻫfprintｆ（'输入数值不在插值范围内,请重新输入\n');ﻫｘi=inpｕｔ('输入需要计算的点的值,并按回车键……＼ｎ');eｎd％确定输入的数值应该使用哪个解析式newx=[x0;ｘ］;[r,suoy］＝min(ａbs(newｘ－xi)）；ﻫfpｒintｆ（'输入点的插值函数值为:\n\n＇)；fpr ｉntf(＇＼t＇);if ｘi＜=nｅwx(sｕｏy）ﻫf=ｓubs（S(suoy-１),X,xi）;ﻫelsef=sｕｂs(S(suoy）,X,ｘｉ)；eｎdｄisp(f);ﻫmｙloop＝inｐut('继续计算输入“1”，终止计算输入“０”\n')；endelsereturn；ｅnｄ%%%%%%％%%%%%functｉon[x]=chasｅ(a,ｂ,c,d)%追赶法解性方程组 a是下三角b是对角线c是上三角 d是常数项%输入的a ｂｃ d 均为列向量ﻫn=lengｔh(b)；ﻫu=ｚｅros(n,1）;ﻫv=zeroｓ(n，1);ﻫx=zerｏs（n,1);%追v(１）=c(1）/b(1);u(１)=d(1)/b(１）；for i＝2：n-１v（i)=c（ｉ)／（b(i)-v(i－1)*a(ｉ－1)）；u(i)=(d(i)－u（i-１)*a（i-1))/(b(i)-v(i-１)＊a(i-1）)；enｄﻫu(n）＝(ｄ(n）－ｕ(n-1）*a(n－1))/（b（n)-v(n-１)*a(n-1）)；ﻫ%赶ﻫx （n)=u(n）;ﻫfoｒｉ=n-1:-１:1x(i)＝u(i)－v(ｉ)*ｘ(ｉ+1);ﻫeｎd。
三次样条插值端点约束条件的构造与Matlab实现
三次样条插值端点约束条件的构造与Matlab实现邢丽【摘要】Spline interpolation techniques are increasingly important in engineering calculations. The boundary conditions of the cubic spline interpolation are given according to the actual problem in the state of the endpoint. Through researching cubic spline function interpolation constraints for different endpoints, using Matlab computational analysis, each interval segment cubic spline function body expression is showed. The point of interpolation is calculated and each interval segment graph is displayed which is applied to practical problems. Endpoint constraints as well as mixed boundary conditions is focused on.% 在工程计算中，样条插值技术的研究越来越重要。
三次样条插值的边界条件是根据实际问题在端点的状态给出。
通过研究三次样条函数插值，针对不同的端点约束，用 Matlab 计算分析，显示各区间段三次样条函数体表达式，计算出已给点插值并显示各区间分段曲线图，并应用到实际问题中。
重点讨论端点约束条件以及混合边界条件。
【期刊名称】《上海第二工业大学学报》【年(卷),期】2012(000)004【总页数】5页(P319-323)【关键词】计算数学;三次样条插值;端点约束;Matlab【作者】邢丽【作者单位】上海第二工业大学理学院,上海201209【正文语种】中文【中图分类】P315.31在工程计算中，插值技术的研究越来越重要。
三次样条插值函数的构造与Matlab实现
自动测量与控制 Automatic Measurement and Control
O. I. Automation 2006, Vol. 25, No. 11
三次样条插值函数的构造与 Matlab 实现
许小勇 1 ，钟太勇 1,2 （ 1. 云南民族大学 数学与计算机科学学院， 云南 昆明 650031 ； 2. 郧阳师范高等专科学校 数学系， 湖北 丹江口 442700 ） 摘要： 三次样条插值函数边界条件由实际问题对三次样条插值在端点的状态要求给出。以第 1 边界条件为例， 用节点处二阶导数表示三次样条插值函数，用追赶法求解相关方程组。通过 Matlab 编制三次样条函数的通用程序， 可直接显示各区间段三次样条函数体表达式，计算出已给点插值并显示各区间分段曲线图。 关键词： 三次样条；插值函数； Matlab 程序 中图分类号： O242.1 文献标识码： A
注意到 S(x) 在 [x j, x j+1 ]（ j=1,2,… ,n- 1 ）上是三 次多项式，于是 S"(x)在 [x j, x j+1 ] 上是一次多项式， 如果 S"(x) 在 [x j,x j+1 ]（ j=1,2,… ,n -1）两端点上的值 已知，设 S"(x j)=M j，S"(x j+1 )=M j+1 ，则 S"(x) 的表达 x j+1 − x x −xj Mj + M j+1 ， 其 中 h j ＝ 式 为 ： S'' ( x ) = hj hj x j+1 -x j，对 S"(x) 进行两次积分，则得到 1 个具有 2
S j (x) ＝ a j x 3 ＋ b j x 2 ＋ c j x ＋ d j , (j ＝ 1,2, … ,n - 1) (1)
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MATLAB 程序设计期中考查
在许多问题中，通常根据实验、观测或经验得到的函数表或离散点上的信息，去研究分析函数的有关特性。
其中插值法是一种最基本的方法，以下给出最基本的插值问题——三次样条插值的基本提法：
对插值区间[]b a ,进行划分：b x x x a n ≤<⋯⋯<<≤10，函数()x f y =在节点
i x 上的值()()n i x f y i i ⋯⋯==,2,1,0，并且如果函数()x S 在每个小区间[]1,+i i x x 上
是三次多项式，于[]b a ,上有二阶连续导数，则称()x S 是[]b a ,上的三次样条函数，如果()x S 在节点i x 上还满足条件 则称()x S 为三次样条插值函数。
三次样条插值问题提法：对[]b a ,上给定的数表如下.
求一个分段三次多项式函数()x S 满足插值条件()()n i y x S i i ⋯⋯==,1,0 式，并在
插值区间[]b a ,上有二阶连续导数。
这就需要推导三次样条插值公式： 记()x f '在节点i x 处的值为()i i m x f ='(n i ⋯⋯=,1,0)(这不是给定插值问题数表中的已知值)。
在每个小区间[]1,+i i x x 利用三次Hermite 插值公式，得三次插值公式：
()()()()1111+++++++=i i i i i i i i i m m x y x y x x S ββαα，[]1,+∈i i x x x 。
为了得到这个公式需要n 4个条件：
(1).非端点处的界点有n 2个；(2).一阶导数连续有1-n 个条件；(3).二阶导数
连续有1-n 个条件，其中边界条件：○1()()n
n m x S m x S ='=' 00
其中：()⎩⎨⎧=≠=j i j i x j i
,1,0α ()0='j i x α ()0=j i x β 且(1,0,=j i )。
()⎩⎨
⎧=≠='j i j i x j i
,1,0β ，i m 为对应变量的一阶导数。
其推导过程如下：
为了确定i m 的值，把()x S 展开为： +
()()
()()
,12
122
21+++--+
--i i
i i i i
i i m h x x x x m h x x x x
这里i i i x x h -=+1，对()x S 连续求两次导，得：
()()
()i i i
i i i i
i i i i
i i y y h x x x m h x x x m h x x x x S --++
--+
--=
''+++++13
112
1
2
1
26246426。
于是
考虑()x S ''在节点i x 处的右极限值，得： ()()i i i
i i i i i y y h m h m h x S -+--
=+''++1216
240。
同理，在相邻小区间[]i i x x ,1-上可得()x S ''的表达式为： 及()x S ''在节点i x 处的左极限值为：
()()12
1
1116
420-------+=
-''i i i i i i i i y y h m h m h x S 。
利用()x S 二阶导数于节点i x 处的连续性条件()()00-''=+''i i x S x S ，这里1,2,1-⋯⋯=n i ，有下式成立：
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++--++---211211111311121i i i i i i i i i i i i i h y y h y y m h m h h m h ，用i i h h 111+-除等式两边，并注意[]11,,++=-=i i i
i
i i i x x f h y y f y
，上式可简记为： 且[][]()1111
1,,31+----+=+=-=+=
i i i i i i i i
i i i i i i i i x x f x x f g h h h h h h μλλμλ
最后求得n m m ⋯⋯1的线性方程组为：
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯----n n n n n n n n g g g g m m m m 1211211122112000200000020002 λμμλμλλμ (**) 通过以上复杂的求解和迭代，就可以求解出插值函数的近似表达式。
得出来的表达式就可以用MATLAB 软件来求解。
具体求解过程如下：
已知n 对数据点()()()(),,,,,,,,332211n n y x y x y x y x ⋯⋯，假设函数关系为
()x f y =，但解析式不确定，数据插值就是构造函数关系式()x g y =，使()n i x i ,,3,2,1⋯⋯=，满足关系()()i i x f x g =。
例题：求满足下面函数表所给出的插值条件的三次自然样条函数。
分析：表中所列出的是函数对点，首先要把对应的插值函数求出来，再用
MATLAB 软件来求区间[]5,1上间隔为0.5的各点的值。
求解过程如下：
因自然样条插值函数的边界条件为
这里3=n ，故确定3210,,,m m m m 的方程组形式形如上面的(**)式，其中系数i i μλ,
和i g 可按如下步骤进行：
将上述参数带入(**)式，得到以下方程组： 解得： 由公式 +()()
()()
,12
122
21+++--+
--i i
i i i i
i i m h x x x x m h x x x x
可知，
由所求出的表达式可知区间[]5,1可分为[][]5,44,1⋃，对两个区间分别用MATLAB 命令即可： 针对第一个区间：
147
828123-++-=x x x y ; 其图像如下
命令如下：
x=1:4;y=(-1/8)*x.^3+(2/8)*x.^2+(7/4)*x-1;xi=1:0.5:4; y1=interp1(x,y,xi,'spline') 其运行结果如下： y1 =
Columns 1 through 6
0.8750 1.7656 2.5000 2.9844 3.1250 2.8281 Column 7
2.0000 针对第二个区间：。