样条插值
样条插值
作业
• 教材第146页习题：20、22、25、26
数值分析
数值分析
三次样条插值
数值分析
余下的n+3个条件的确定：
（1）n+1个插值节点条件，即s3(xk)=f(xk)=yk; （2）两个边界条件！
数值分析
三次样条插值的边界
数值分析
构造三次样条插值函数S ( x )的基本方法
(1)三弯矩插值法
（2）三转角方 （3）基于B样条的三次样条插值函数
数值分析
f (1.25) ≈ S (1.25) = S1 (1.25) = 1.0336,Q 1.25 ∈[1.2,1.4].
数值分析
数值分析
B（皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier））样条
数值分析
样条函数插值
定义：记
k ⎧ x , x≥0 k x+ = ⎨ ⎩ 0, x < 0
k x+ (k = 1, 2,L ) 称为 k 次半截单项式，并规定
• • • • • 一元函数插值（一元Lagrange插值） 二元函数插值（二元Lagrange插值） Hermite插值 分段低次插值 样条插值
数值分析
样条插值
• 分段低次插值，收敛性好，但光滑性不够理想。为了得到光 滑度更高的插值函数，引入样条插值函数。 • “样条”名词来源于工程中船体和汽车等的外形设计：给出 外形曲线上的一组离散点(样点),(xi , yi),i = 0, 1, 2, …, n, 将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定,使其在 其它地方自由弯曲,这种样条所表示的曲线,称为样条曲线(函 数). • 这样，整个曲线不仅通过样点，并且在整个区间上其一阶 导数，二阶导数是连续的。
样条插值实验报告
四、三次样条插值1. 样条函数插值的原理给定区间［a,b］上划分A:a=x<x<<x<x=b，若分段函数S(x)满足:01n-1n1.S(x)在各个子区间［x,x］,i=0,1,,n-1上均为x的三次多项式；ii+12.S(x)在整个区间［a,b］上有直至二阶的连续导数。
则称S(x)为［a,b］上依次划分的三次样条函数，简称样条函数。
具体地有分段表达式：ax3+bx2+cx+d,x G[x,x]000001ax3+bx2+cx+d,x G[x,x]111112S(x)=\ax3+bx2+cx+d,x G[x,x](1)222223ax3+bx2+cx+d,x G[x,x]、°*n-1n—T•••n-1n-1n-1n共有4n个参数a,b,c,d,i=0,1,,n，它们在内节点处满足iiii'S(x)=S(x),…i-0i+0<S'(x)=S'(x),i=1,2,,n-1.(2)i-0i-0S''(x)=S''(x),Ji-0i+0满足样条函数定义的函数集合称为分划A上的三次样条函数空间，记为S(3,A),可以证明S(3,A)为线性空间。
若S(x)G S(3,A)，且进一步满足插值条件S(x)=y=f(x),i=0,1,,n(3)iii其中y为节点x处的给定函数值(若被插函数了(x)已知;••则用了(x)代替之)，iii则称S(x)为以x,x,,x,x为节点的三次样条函数。
01n-1n其中式(3)插值节点提供了n+1个约束条件；加上式(2)的3n-3个，合起来共有4n-2个；欲求4n个待定参数的唯一解；尚缺两个条件。
这两个条件一般由样条函数的边界条件提供。
常用三类边界条件;他们分别与三次样条函数;构成不同边界条件的样条函数插值问题。
2. 三类样条函数插值问题2.1第二类边界条件给定边界条件两端的一阶导数值：S'(x)=y'=m,S'(x)=y'=m000nnn这相当于样条两短处的方向给定(压铁在两端点的压力方向确定)，对应的插值问题如下：对于分划A:a=x<x<<x<x=b,给定节点对应的函数值01n—1ny,y,y,,y,以及两端点处的一阶导数值y'=m,y'=m，求三次样条函数012n00nnS(x)，使…f S(x)=y,i=0,1,,n2iiI S'(x)=m,S'(x)=mJ00n…n2.2第一类边界条件给定边界两端的二阶导数值：S''(x)=y''=M,S''(x)=y''=M000nnn这相当于在样条两端处外加一个力矩，使梁两端点处有相应的曲率。
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。
对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。
2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。
常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。
-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。
-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。
三次样条插值具有良好的平滑性和精度。
4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。
样条插值方法-空间分析-空间统计
空间统计方法-样条插值1. 样条插值拉格朗日插值和牛顿插值的结果中，插值函数的为n-1次多项式函数（n 是已知点的个数）。
当样本点很多时，多项式的次数会很高。
这会导致插值结果对已知点的取值非常敏感。
样条插值可以解决上述问题。
样条插值的基础是样条函数。
样条函数是一种特殊的函数，由多项式分段定义, 通常是指分段定义的多项式参数曲线。
在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。
用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，分段插值具有良好的稳定性和收敛性，可以避免被称为龙格现象的数值不稳定的出现。
并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。
样条插值一般包括线性样条插值、二次样条插值和三次样条插值，其中三次样条插值最为实用，本节主要介绍三次样条插值。
样条函数插值采用两种不同的计算方法：规则样条(Regularized Spline)和张力样条(Tension Spline)。
设在区间[a,b]上取n+1个节点01a x x x n b =<<<=L ，函数f(x)y =在各个节点处的函数值为f(x )(i 0,1,,1)i i y n ==-L ,若S(x)满足S(x )y ,(i 0,1,,1)i i n ==-L ；S (x )在区间[a ,b ]上具有连续的二阶导数；在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上S(x)是三次多项式。
则称S(x)是函数y f(x)=在区间[a,b]上的三次样条插值函数。
从定义可知，要求出S(x)在每个小区间1[x ,x ](i 0,1,,1)i i n +=-L 上要确定4个待定系数，共有n 个小区间，根据上述条件(2)有S(x 0)S(x 0)i i -=+S (x 0)S (x 0),i 1,2,,1i i n ''-=+=-LS (x 0)S (x 0)i i ''''-=+共有3n-3个条件，再加上条件(1),共有4n-2个条件，因此还需2个条件才能确定S(x)，通常在区间[a,b]的端点0a x ,b x n ==上各加一个条件(称为边界条件)，可根据实际问题的要求给定。
数值计算_样条插值方法
多项式插值方法—样条插值-5-4-3-2-1012345-0.500.511.52f (x)P 5(x)P 10(x)当插值节点过多→龙格现象插值多项式虽然满足插值条件，但是在节点之外，靠近插值区间端点处与实际函数偏离较大，出现了震荡现象如何解决龙格现象？☐根据数据特点选用三角函数或有理函数☐由于多项式的优良性能，更偏爱多项式☐使用分段函数数学模型，在较小的区间段上使用低次多项式插值要点与学习目标☐掌握样条插值的概念和数学模型☐了解样条插值函数系数的确定方法样条插值☐改善分段线性插值和二次插值的精度☐保持曲线的光滑性☐样条的概念三次样条插值函数对于给定的函数表 x)(x f yxx 1xny 1yn思考：根据该定义，关于四个节点的三次样条插值函数的数学模型是什么？需要多少个约束方程才能确定该样条？分段样条插值的数学模型231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩以四个节点为例，四个节点的样条插值函数思考：该函数能否由节点数据完全确定？231101112130123220212223122333031323323()=,[,]()()=,[,]()=,[,]S x a a x a x a x x x x S x S x a a x a x a x x x x S x a a x a x a x x x x ⎧+++∈⎪=+++∈⎨⎪+++∈⎩(0)(0)(1,2,...,1)'(0)'(0)(1,2, (1)''(0)''(0)(1,2, (1)()(0,1,...,)i i i i i ii i S x S x i n S x S x i n S x S x i n S x y i n -=+=-⎧⎪-=+=-⎪⎨-=+=-⎪⎪==⎩样条插值问题的边界条件归根到底，样条插值问题是线性方程组求解的问题。
样条插值法公式
样条插值法公式样条插值法是一种在数学和计算机科学中非常有用的数值分析方法。
咱们今天就来好好聊聊这个听起来有点高大上的“样条插值法公式”。
想象一下，你正在做一个科学实验，测量了一些数据点，但是这些点之间的空白区域你不知道具体数值是多少。
这时候，样条插值法就派上用场啦！先来说说什么是样条插值法。
简单来说，就是通过一系列的分段多项式来连接给定的数据点，使得曲线不仅经过这些点，而且还很光滑。
样条插值法公式有很多种，比如三次样条插值公式。
咱们就以三次样条插值为例来深入了解一下。
假设我们有 n + 1 个数据点 (x₀, y₀), (x₁, y₁),..., (xₙ, yₙ) ，并且x₀ < x₁ <... < xₙ 。
对于每个区间 [xᵢ, xᵢ₊₁] ，我们定义一个三次多项式 Sᵢ(x) = aᵢ(x - xᵢ)³+ bᵢ(x - xᵢ)² + cᵢ(x - xᵢ) + dᵢ。
为了确定这些系数 aᵢ、bᵢ、cᵢ、dᵢ，我们需要满足一些条件。
首先，Sᵢ(xᵢ) = yᵢ，Sᵢ(xᵢ₊₁) = yᵢ₊₁，这保证了曲线经过给定的数据点。
然后，还需要满足在每个节点处一阶导数和二阶导数连续。
这一堆条件看起来很复杂，但其实就是为了让我们得到的曲线既经过点，又光滑自然。
我记得有一次，我在帮一个学生解决物理实验中的数据处理问题。
实验是测量一个物体自由下落的高度和时间的关系。
但是由于测量设备的精度问题，得到的数据点并不是很连续。
我们就用样条插值法来填补这些空缺。
通过计算那些复杂的公式，一点点地确定系数，最终得到了一条非常漂亮的曲线，准确地反映了物体下落的规律。
那个学生当时眼睛都亮了，直说：“老师，这太神奇了！”在实际应用中，样条插值法可广泛用于图像处理、工程设计、金融分析等领域。
比如说，在图像处理中，对图像进行缩放或者变形时，就可以用样条插值来保持图像的质量。
总之，样条插值法公式虽然看起来有点吓人，但只要我们掌握了它的原理和方法，就能在很多情况下发挥大作用，解决那些让我们头疼的数据空缺问题。
第三章(二) 埃尔米特-样条插值法
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 x x . x1 x 0 1 0
2
设
x x1 g 0 (x) a(x x0 ) , x 0 x1
2
∵g0(x0)=g0(x1)=0, g'0(x1)=0
据用得越多越好，解决这一矛盾的办法就是改用分段低次插值。
所谓分段低次插值就是用分段多项式来代替单个高阶多项式
作插值，即先把整个插值区间分成若干个小区间，然后在每个子 区间上分别用低次插值多项式（如线性插值或抛物线插值等）， 然后再将每个子区间上的插值函数拼接在一起，作为整个插值区 间上的插值函数。
• 分段线性插值
2
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 . x1 x 0 x1 x 0
2
2
x x1 x x0 g 0 (x) (x x0 ) , ( x ) ( x x1 ) g1 . x 0 x1 x1 x 0
, [ 1,1]. 0 ( x ) ? x L1
将[−1,1]10等分，步长 h = 2/10 = 0.2, 取节点 xi = −1 + 0.2i, i =
0,1,2,…,10。以 (xi, f(xi))为插值点，构造L10(x)：
Ｌ1 0 ( x )
) f ( x i ) li ( x )
先构造 h0(x), 设
由h0(x0) = 1,
x x1 h0 ( x ) (a bx ) . x 0 x1
2
∵h0(x1)=h'0(x1)=0
样条插值
后得到P(t)上的点 Pj[ r 1] (t )
清华大学
计算机图形学
P
[1] j k 3
3] Pj[k 4 2] Pj[k 3
Pj[ k 1]
Pj[ 2 ] Pj[1]
Pj k 2
1] Pj[k 2
清华大学
计算机图形学
3.3.3 de Boor 算法
• 欲计算B样条曲线上对应一点P(t)，可以利用B样条曲 线方程，但是采用de Boor 算法，计算更加快捷。
– de Boor 算法的导出
P(t ) Pi N i ,k (t )
i 0 j n i j k 1
PN
i
j
i ,k
P(t ) Pj N (t )
1 j 0 1 j ,k
清华大学 计算机图形学
n 1
• Boehm给出了这些未知新顶点的计算公式
Pj1 Pj , 1 Pj (1 j ) Pj 1 j Pj , P1 P , j 1 j
j
t tj t j k 1 t j
(t )
t ti ti k t Pi N i ,k 1 (t ) N i 1,k 1 (t ) ti k ti 1 i j k 1 ti k 1 ti t ti ti k 1 t Pi Pi 1 N i ,k 1 (t ) ti k 1 ti i j k 1 ti k 1 ti
Riesenfield, Gordan, ...
清华大学
计算机图形学
• 如何理解B-样条？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M j 1
j 1
, j 1, , n 1,
jM
其中
j
2M
jM
d j, ,d
j
j 1, , n 1, 6 f [ x j 1 , x j , x j 1 ].
h j 1 h j 1 h j
, j
hj h j 1 h j
解：这里 n 2，区间 [ 1,1]分为 [ 1，]， ，]两个子区间 0 [0 1 S (x) a x 3 b x 2 c x d , x [ 1, 0 ] 0 0 0 0 0 并设： S ( x ) 3 2 S 1 ( x ) a 1 x b1 x c 1 x d 1 , x [ 0 ,1] S 0 ( 1 ) 1, S 0 ( 0 ) 0 ： S 1 ( 0 ) 0 , S 1 (1) 1 a 0 b0 c 0 1 d 0 0 可得： d1 0 a b c 1 1 1 1
hj 6
M j
hj 3
M j 1
y j 1 y j hj
,
h j 1 6
M j 1 M j
j
h j 1 3 hj 6
M j
y j y j 1 h j 1 y j y j 1 h j 1
. y j 1 y j hj
h j 1 h j 3
j 1
S ( xi 0) S ( xi 0) S ( x i 0 ) S ( x i 0 ) S ( x 0 ) S ( x 0 ) i i
i 1, 2 , , n 1
共有3(n1)个条件。因此，要确定一个三次样条函数，还需要另 增加4n3(n1) = n+3 个条件。 利用样条函数进行插值，即取插值函数为样条函数，称为样条 插值。例如 分段线性插值是一次样条插值。 已知函数y = f (x)在区间[a, b]上的n +1个节点a = x0<x1<… < xn = b上的值yj=f (xj)(j=0,1,…,n)，求插值函数S (x)使其满足：
M j
2
(x xj) 6hj
3
M
M jh j 6
2
)
x j1 x hj
( y j1
2
M
hj j1 6
2
)
x xj hj
,
s ( x )
( x j 1 x ) 2h j
M j
(x x j ) 2h j
M j 1
y j 1 y j hj
M j 1 M j 6
由定义，这里增加了n +1个插值条件，要确定S (x)还需要补 充两个条件。通常会根据问题的具体情况。在区间的两个端点处 给出条件，称为边界条件。常用的边界条件有以下三种： （1）给定两端点处的导数值S (a) = y 0，S (b) = y n， 特别地，当y 0 = y n = 0时，样条曲线在端点处呈水平状态。 （2）给定两端点处的二阶导数S (a) = y 0，S (b) = y n， 特别地，当y 0 = y n = 0时，称为自然边界条件。
在第一边界条件下： h0 h0 y1 y 0 s ( x 0 0 ) M 0 M1 f 0 3 6 h0
2M 0 M 1 6 h0 ( y1 y 0 h0 f 0 ) : d 0
M n 1 2 M n
6 h n 1
( f n
y n y n 1 h n 1
2.8
样条插值
分段插值具有良好的稳定性和收敛性，有效地避免了龙格现象 的发生，且算法简单，因此在实际应用中占有重要地位，但是，其 光滑性较差。前面所介绍的方法只保证函数连续或其一阶导数连续， 满足不了许多工程技术提出的对插值函数的光滑性有较高要求的计 算问题。 例如，船体、飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮 曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有 连续的曲率，即二阶导数连续。对于分段插值，要增加光滑度， 就要采用更高阶的导数值，而这一点实际应用中往往是很难提供 的。为解决这一类问题，导致产生了样条插值。 所谓样条（Spline）本来是工程设计中使用的一种绘图工具， 它是一种富有弹性的细长木条，在飞机或轮船制造过程中，被用于 描绘光滑的外形曲线。
, 连续性条件和边界条件
，可得关于 数.
m j的三
对角方程组，求出
三弯矩法：令
则 s ( x )
m j，得到三次样条插值函
s ( x j ) M j , j 0 , , n , h j x j 1 x j .
x j1 x hj Mj x xj hj M , x [ x j , x j 1 ].
) : d n
2 1
1 2
1
2 1
n1
M 0 d0 M d 1 1 , d n1 M n1 n1 2 M n dn
hj
为了求 M 0 , , M n , 要用导数连续条件
s ( x j 0 ) hj 3 M j hj 6 M j 1 y j 1 y j hj
: s ( x j 0) s ( x j 0)
,
s ( x j 1 0 ) s ( x j 0 ) h j 1 6 M j 1
c1
y j 1 y j hj
1 6
h j ( M j 1 M j ), c 2
3
y j x j 1 y j 1 x j hj
j1
1 6
h j ( x j 1 M j x j M j 1 ).
s( x )
( x j1 x ) 6hj (yj
由插值和函数连续条件
再由内节点处一、二阶
导数的连续条件：
S 0 (0 ) S1 (0) c 0 c1 S 0 ( 0 ) S 1( 0 ) b 0 b1
而由自然边界条件：
S 0 ( 1) 0 6 a 0 2b0 0 S 1(1) 0 6 a 1 2 b1 0 a 0 , a 1 , b 0 , b1 : a 0 a 1 1 2 , b 0 b1 3 2 , C 0 C1 0
二、三次样条插值函数的建立
求三次样条插值函数常 用三弯矩法和三转角法 .
三转角法：假定
s ( x j ) m j ( j 0 , , n ) , 根据分段三次
n
埃尔米特插值多项式，
s ( x ) [ f j j ( x ) m j j ( x ) ],
j0
由插值条件
因此联立可解得：
从而得到问题的解为：
1 3 3 2 x [ 1, 0 ] x x , 2 2 S (x) 1 x 3 3 x 2 , x [ 0 ,1] 2 2
这种解法称为待定系数法，当n较大时，由于要解 4n阶的线性方程组，工作量太大，因此，一般不采用待 定系数法，而考虑另外的较简单的方法，即取节点上的 导数或二阶导数值为参数，来导出三次样条插值函数的 表达式。
（3）如果f (x)是以b a为周期的周期函数，则S (x)也是应具有同样 周期 的周期函数，在端点处应满足S (a+0) = S (b0)，S (a+0) = S (b 0) .
例 已知函数f (x)在三个点处的值为f (1)=1, f (0) = 0,f (1)=1，在区
间[1,1]上，求f (x)在自然边界条件下的三次样条插值多项式。
（1）S(xj)=yj(j=0,1,…,n)； （2）在每小区间[xj,xj+1](j=0,1,…,n-1)上S (x)是三次多项式，记 为Sj (x)；
（3）S (x)在[a, b]上二阶连续可微。
则S (x)称为f (x)的三次样条插值函数，它通过上述给定点，为二 阶连续可导的分段三次多项式函数。
使用时，用压铁将其固定在一些给定的型值点上，在其它地 方任其自然弯曲，并稍作调整，使样条具有满意的形状（各段接 口处呈光滑状），然后沿样条画出曲线，称为样条曲线，它实际 上是由分段三次曲线拼接而成，在连接点即型值点上，不仅函数 自身是连续的，而且它的一阶和二阶导数也是连续的。由此抽象 出数学模型称为样条函数。 给定区间[a, b]的一个划分a = x0 < x1<…<xn = b，如果函数S (x)满足 （1）在每个小区[xi,xi+1](i=0,1,…,n-1) 上S (x)是m次多项式； （2）S (x)在[a, b]上具有m1阶连续导数。 则称S(x)为关于上述划分的m次样条函数。
显然，按此定义，折线是一次样条函数。而用“样条”绘出的 图形为三次样条函数曲线，也是最常用的样条函数。那么，确定一 个三次样条函数需要多少个条件呢？由上述样条函数定义（1）中 知，S(x)在每个小区间[xi,xi+1]上是一个三次多项式，因此需要确定4 个待定常数，一共有n个小区间，故应确定4n个参数。由定义中条 件（2），S (x)应在n1个内点上具有二阶连续导数，即应满足条件：
在第二边界条件下：
2 2
M
0
f 0, M
n
f n.
1 f 0 d2 , d n2 n 1 f n
0
1
2
2
2
n2
n1
M 1 d1 M2 n2 M n2 2 M n1 d n1