单向点啮合蜗轮凸齿面接触状况分析

偏置渐开线蜗杆单向点啮合传动凸齿面接触状况分析（共15页） 长春大学 赵翼瀚内 容 提 要本文讨论了单向点啮合传动蜗轮凸齿面工作时分析齿面接触状况的数值计算方法，用此方法计算所得数据，可以用来评估传动参数对实际重合度、承载能力等的影响，为选择传动参数提供依据。

关键词 Ⅰ型传动 Ⅱ型传动 Ⅲ型传动 Ⅲ型传动瞬时接触线 齿线 齿线侧隙 隐型接触点由文献 【3—1】的论述可知，文中讨论的单向点啮合传动，其蜗轮不仅凹齿面是渐开线曲面，而且与蜗杆点啮合的凸齿面也是渐开线曲面，此渐开线曲面是由啮合原理所确定的曲面，而非近似替代曲面；此齿面的几何特性，受到蜗杆锥角和齿形角、传动中心距和基圆柱切平面倾角等多个要素影响，每个要素的变动都要影响传动的性能。

因此，蜗轮齿面的几何参数有多种不同的数据可以选择，不同参数的蜗轮齿面与蜗杆啮合时其传动性能（如重合度、传动效率、承载能力等）将会有所不同。

本文讨论了一种分析齿面接触状况的数值计算方法，可以用来评估传动参数对单向点啮合传动凸面工作时实际重合度、承载能力等的影响，为选择传动参数提供依据。

本文讨论的齿面接触状况的数值计算方法包含三个方面的内容：偏置渐开线蜗杆和非渐开线齿面蜗轮的啮合及其齿面接触线；固定截面上蜗杆、蜗轮齿面的齿廓曲线；固定截面上蜗杆、蜗轮齿廓曲线侧隙的数值分析。

（一）偏置渐开线蜗杆和非渐开线齿面蜗轮的啮合——Ⅲ型传动的啮合偏置渐开线蜗杆可以和渐开线齿面蜗轮啮合实现直母线接触传动【3—2】（称为Ⅰ型传动）或单向点啮合传动【3—1】（称为Ⅱ型传动），此外，偏置渐开线蜗杆还可以和非渐开线齿面的蜗轮啮合实现曲线接触传动（称为Ⅲ型传动）。

分析Ⅲ型这种线接触传动有利于评估偏置渐开线蜗杆点啮合传动（Ⅱ型传动）的性能，反过来，分析渐开线蜗杆点啮合传动也有利于了解偏置渐开线蜗杆和非渐开线齿面蜗轮线啮合（Ⅲ型传动）的特征。

Ⅲ型传动的蜗轮凹齿面A 2是渐开线曲面，它与蜗杆齿面A 1仍是直母线接触；但蜗轮的凸齿面T 2不是渐开线曲面，凸齿面T 2也可和蜗杆齿面T 1实现线接触传动。

现 在以右旋蜗杆与蜗轮啮合（参阅图3—1a ）为例， 讨论Ⅲ型传动T 1和T 2齿面的啮合问题。

1、渐开线蜗杆T 1齿面的矢函数(1) 基圆柱Q T1上右旋螺旋线L T1的矢函数 图3—1如图3—1b 所示，坐标架σ1(d )=[()()()()1111,,d d d d oi j k ；] 是一个与蜗杆T 1齿面基圆Q T1固联的绕蜗杆轴线转动的坐标架，——1——()()()111d d d i j k 、、分别是坐标轴X 1(d)、Y 1(d)、Z 1(d)上单位矢量。

在σ1(d )中，螺旋线L T1上任意一点M 的矢径()()()()()()()111111()()01()sin ()d d d d d d d T T JT JT d d T r COS i r j z p z ρρϕϕϕϕ==+++ (3—1）式中r JT1：基圆柱Q T1的半径；φ(d)：点M 的矢径()1d T ρ 在O 1(d)X 1(d)Y 1(d)平面上投影的有向角（以X 1（ｄ）轴为基线计）；z 0：螺旋线起始点M 0在z 1（（ｄ）轴上的坐标（M 0点是螺旋线L T1与o 1(d )X 1(d)Z 1(d)平面的第一个交点（自o 1X 1Y 1平面 计），它在o 1(d )Z 1(d)轴的坐标 Z 1(d) =z 0 )；螺旋线参数P T =s T /2π , s T 为螺线螺距。

（2）螺旋线L T1的切线矢量())()()()()()1111111()sin d d d d d d d T JT JT T d d T r i r COS j p k d ρϕϕϕ==-++（ （３—２）()1d Ｔ （３—３） 螺旋线L T1的切线单位矢量()()()()()()111111()1cos sin cos cos d d d d d d T T d T i j T αλϕλϕ⎛⎫ ⎪==-+ ⎪ ⎪⎝⎭＋(3—4)式中1cos T λ=　1sin T λ=(3) 蜗杆T 1齿面矢量函数 ()()()()()11111(,)d d d d d T T TT T T R R ϕμρμα==+（3—5）式中μT1是参数，它是齿面上的点沿其所在齿面母线至母线与基圆柱切点之间的一段母线长度值，以后简称“母线段长”。

将式（3—1）、（3—4）代入（3—5）得到 蜗杆T 1齿面矢量函数 ——2——()11sin d T K λ()()()()11111()()()1111()()1011(sin )(sin )(sin )d d d d T JT T T d d d JT T T d d T T T R r COS COS i r COS COS j Z p k ϕμλϕϕμλϕϕμλ=-+++++ (3—6)２、T 1齿面法线单位矢量由于()()1()()1111()()()()()11111(sin cos cos )(cos cos sin )d d T d d JT T T d d d d d JT T T T R r i r j p k ϕμλϕϕϕμλϕ∂=-+∂+- ＋ (3—7)(d)()()T1()()11111()11R cos sin cos cos sin d d d d T T T d T i j k λϕλϕμλ∂=-+∂+ （3—8）所以齿面法线矢量()()()111()1()()()()()111111221(sin cos )d d d T T T d T d d d d d JT T T T JT JT TR R N r p i p j r k r p μϕμϕϕ∂∂=⨯∂∂=-+-+ （3—9）()1d T r μ= Ｎ （3—10）齿面法线单位矢量())()()()1()()11111()11sin cos )d d d d d T d d T T T JT d T N n p i p j r k N ϕϕ==-+-（ ()()()()()1111111sin sin sin cos cos d d D d d T T T i j K λϕλϕλ=-+- (3—11)3、 T 1和T 2齿面接触点的相对速度在蜗杆齿面T 1和蜗轮齿面T 2在接触点处，蜗杆接触点相对蜗轮接触点的相对速度12V在动坐标系σ1（d ）中的矢函数（请读者参阅参考文献【3－3】自行推导）表达式为——3——()()()()()121111210111[(sin cos cos )cos (sin )]d d d d d JT T T T T T V r Z p i ωϕμλϕωϕμλ=-++Ω++()()()()1111121011[(cos cos sin )sin (sin )]d d d d JT T T T T T r Z p j ωϕμλϕωϕμλ+--Ω++ ()()()1211111[cos()cos sin()]d d d JT T T r a k ωϕμλϕ-+Ω-+Ω- （３—１２）上式中Ω1 是动坐标架的O 1((d)X 1((d)轴与不动坐标架的O 1X 1轴之间所夹的有向角；ω1、ω2分别是蜗杆、蜗轮的角速度。

４、渐开线蜗杆T 1齿面和蜗轮非渐开线凸齿面T 2啮合（Ⅲ型传动）的啮合函数 由式（3—11）、（3—12）可得啮合函数（参阅【３－4】、【3—5】、【3—6】） ()()112d d T T n VΦ=∙=()()1212111sin()[cos()cos d d T JT T r μωϕωϕλ-+Ω++Ω ()()201121()sin sin()cos d d T T T z p a ωϕλϕωλ-++Ω-11cos ]T T p ωλ+ (3—13) 5、渐开线蜗杆和非渐开线凸齿面蜗轮啮合（Ⅲ型传动）的齿面接触线渐开线蜗杆和非渐开线凸齿面蜗轮（Ⅲ型传动）啮合传动时，在坐标系σ1(d)中，蜗杆T 1齿面上的瞬时接触线由下面的方程组确定【3—4】 ：()()()111(,)d d d T T T T R R ϕμ=Φ ＝　０（３—１４）将啮合函数式（3—13）代入啮合方程 ФT =0 经整理后得()121101()1cos ()sin sin()d T T T T T d i p z p λμϕλϕ-++Ω＝111()()11cos cos tan()sin()T T JT d d r aλλϕϕ+-+Ω+Ω (3—15)（注 式（3—15）也可由文献【3—3】的式（25）导出，读者可自行验证）蜗杆齿面接触线上各点的参数（μT1 ，φ(d)）满足 式（3—15）所列条件。

Ⅲ型传动蜗杆T 1齿面上的接触线可由式（3—14）确定，并可据此进而确定蜗轮的齿面矢函数【3—3】。

式（3—15）是由式（3—1）及（3—12）推导来的。

为了灵活、准确地使用式（3—15）确定蜗杆齿面上的接触线，这里要强调两个要点：（1） 在式（3—1）中，Z 0是蜗杆基圆柱Q T1上的螺旋线L T1与坐标平面O 1(d)X 1(d)Z 1(d) 的第一个交点M 0（参看图3－１b ）在O 1(d)Z 1(d)轴的坐标值。

σ1(d) =[o 1(d ); ()()()111,,d d d i j k ]是与蜗杆基圆柱Q T1相固联的坐标架，它们联接前可绕O 1(d) Z 1(d) 轴相对转动，两者可以选择任意一个相对位置进行联接，显然，Z 0的数值与联接的相对位置有关。

因此，蜗杆基圆——4——柱Q T1上同一条螺旋线L T1的矢函数式（3—1）中，其Z 0的数值可能是不同的，并且螺旋线 L T1上同一点的φ(d) 数值也要随联接的相对位置变动而变动。

（2） 式（3—12）中的1Ω是动坐标架σ1(d)的()1d i与固定坐标架σ11111[;,,]o i j k =的1i （111i j k、、是坐标轴x 1、y 1、z 1上的单位矢量）之间的有向角。

有时，为了研究或计算的方便，要求蜗杆转至某一位置时，1Ω有一个特定的数值，所以，蜗杆上的同一点其式（3—12）中的1Ω的数值也可能是不同的。

从上面的分析可知，由于蜗杆基圆柱Q T1与坐标架σ1(d)的相对位置不同，基圆柱Q T1上的同一根螺旋线L T1，其矢函数表达式中的Z 0值可能是不同的，同时蜗杆齿面上同一点所对应的φ(d)及1Ω的数值也会不同，但是，螺旋线L T1的几何特性及蜗杆、蜗轮的相对运动不会因此发生改变；同时，根据式（3—14）、（3—15）所确定的蜗杆齿面上的瞬时接触线也不会发生改变。

（二）Ⅲ型传动经过蜗杆齿面特定点的T 1齿面接触线的计算如图3—2所示，点J （J 1,J 2） 是偏置渐开线蜗杆与渐开线齿面蜗轮凸齿面点啮合传动（Ⅱ型传动）运转时的某一时刻t ，蜗杆与蜗轮齿面的接触点，J 1点是蜗杆齿面上的点，它应在倾角为θ1的蜗杆基圆柱Q T1的切平面РT1上, РT1上的N ——N 线是齿面接触点的轨迹，即啮合线，点J 1在N ——Ｎ线上。