10恒定磁场3
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厦门大学 大学物理B 第07章 恒定磁场(3)
I lj 由 B dl I
i S i
L 0 i
L
d
Bc
⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙⊙
i
得:
a
B
l
b
1 B 0 jS 2
作业：
习题7-5： 如两平行长直导线相距d=40 cm，每根导线载有 电流I1=I2=20 A，电流流向如图所示。求：(1) 两导 线所在平面内与该两导线等距的一点 A 处的磁感应 强度；(2) 通过图中斜线所示面积的磁通量(r1=r3=10 cm， r2=10 cm， l=25 cm)。
0 / 2, d m 0 / 2 , d m 0
• 闭合曲面（外法线方向为面元正方向）：
穿出 : 0 / 2, d m 0 穿入 : / 2 , d m 0
3.磁场的高斯定理
1 n 静电场的高斯定理： SE dS qi内 0 i 1 恒定磁场： B dS ?
S
电流元：毕奥─萨伐尔定律 0 Idl er Biblioteka B 4 r 2d m 0
Idl1 , Idl2 ,... dB1 , dB2 ,...
d m1, d m 2 ,... d m1 d m 2 ... d mN 0
Id l
r
2.1 解题要点
1）分析磁场特点，选择适当的积分回路 2）计算
B dl 3）计算 I
L
i
i
4）由
L
B dl 0 I i 求 B
i
2.2 几种常见电流的磁场 （1）无限长载流圆柱体的磁场 按电流的对称性分析， 磁场也应该有柱对称性！
电磁场 恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
2）无外场时，各分子环流无规取向，总体磁矩为零，此时无宏观 磁场。有外场时，这些微磁矩受到力矩
的作用，趋于沿外场方向排列（
）。此时，出现
的有
序分布，总磁场不再为零，宏观上呈现磁性。这个过程，称为物 质（媒质）的磁化。 3）磁化的后果，就是媒质产生附加的磁场，叠加于外磁场之上， 空间的磁场，由二者共同决定。
（沿 R 方向）那么前者对后者的磁场作用力可表示为
eR方向由施力者指向
受力者
其中 ，称为真空磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场
• 这个规律没有官方的名称，但常常称为 Ampere 定律，
其在磁场中的地位与 Coulomb 定律在电场中的地位相
当。因此，对于真空中的两个载流回路 的作用力 和 ， 对
工程电磁场导论：恒定磁场
•
也可以定义磁力线（ B 线），其微分方程：
工程电磁场导论：恒定磁场
【例3－1】有限长直线电流的磁场问题。
•
考虑对称性，选取柱坐标，导线中点为坐标原点，导线与 z 轴重 合。显然，磁场与 维度无关。
取元电流
在 z′处，其在 P
点产生的元磁场
其中
工程电磁场导论：恒定磁场 因此
故
工程电磁场导论：恒定磁场
工程电磁场导论：恒定磁场
• 各向同性线性磁介质，有本构方程
称为磁化率，是一个无量纲的纯数。此时有
其中
为相对磁导率，
为磁导率。
工程电磁场导论：恒定磁场 一些磁介质的性能
工程电磁场导论：恒定磁场
• 对于铁磁介质，情况十分复杂。
等式 仍然成立，但是
不成立。 M～H 间没有线性关系。
工程电磁场导论：恒定磁场
10恒定磁场 - 安培环路定律
L
I1 I1
L
I2 I 3 I1
（ ） 0 I1 I 2
问
1） B 是否与回路 L 外电流有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L上各处 B 0？ L 是否回路 L 内无电流穿过？
4.4 磁偶极子
1 定义： 磁偶极子是指所围成的
面积趋近于0时的载流回路， 用矢量磁偶极矩表示。
0 M A dV 4π V R 4π
J M M
0
M en S R dS
磁化电流模型
两种磁化电流密度与磁化强度的关系为 ：
K M M en
4.5 磁媒质
总结以上分析可得：
① 媒质中磁偶极子产生的磁场，可以看做是由磁化电流
产生的磁场（见公式4-5-10和4-5-11）。 分布的磁化电流所产生的磁场等效地描述； ② 与自由电流一样，磁化电流也遵从毕奥--沙伐定律产 生恒定磁场；
图 磁偶极子受磁场力而转动
4.5 磁媒质
1 磁化的概念：
无外磁场作用时，介质对外不 显磁性， n mi 0
i 1
图3.2.14 介质的磁化
在外磁场作用下，磁偶极子 发生旋转， n
mi 0
i 1
4.5 磁媒质
2 磁化强度：
磁媒质中单位体积内磁偶极矩的矢量和定义为
磁化强度。
M lim
m
i 1
n
i
V 0
V
（A/m）
矢量磁位：
0 m eR A 2 dV 4 V R
磁偶极子模型
4.5 磁媒质
3 等效磁化电流密度：
磁化后，媒质中形成新的电流，称为磁化电流。形成磁化 电流的电子仍然被束缚在原子或分子周围，所以又称为束缚电
I1 I1
L
I2 I 3 I1
（ ） 0 I1 I 2
问
1） B 是否与回路 L 外电流有关？ 2）若 B d l 0 ，是否回路 L上各处 B 0？ L 是否回路 L 内无电流穿过？
4.4 磁偶极子
1 定义： 磁偶极子是指所围成的
面积趋近于0时的载流回路， 用矢量磁偶极矩表示。
0 M A dV 4π V R 4π
J M M
0
M en S R dS
磁化电流模型
两种磁化电流密度与磁化强度的关系为 ：
K M M en
4.5 磁媒质
总结以上分析可得：
① 媒质中磁偶极子产生的磁场，可以看做是由磁化电流
产生的磁场（见公式4-5-10和4-5-11）。 分布的磁化电流所产生的磁场等效地描述； ② 与自由电流一样，磁化电流也遵从毕奥--沙伐定律产 生恒定磁场；
图 磁偶极子受磁场力而转动
4.5 磁媒质
1 磁化的概念：
无外磁场作用时，介质对外不 显磁性， n mi 0
i 1
图3.2.14 介质的磁化
在外磁场作用下，磁偶极子 发生旋转， n
mi 0
i 1
4.5 磁媒质
2 磁化强度：
磁媒质中单位体积内磁偶极矩的矢量和定义为
磁化强度。
M lim
m
i 1
n
i
V 0
V
（A/m）
矢量磁位：
0 m eR A 2 dV 4 V R
磁偶极子模型
4.5 磁媒质
3 等效磁化电流密度：
磁化后，媒质中形成新的电流，称为磁化电流。形成磁化 电流的电子仍然被束缚在原子或分子周围，所以又称为束缚电
第3章-2-磁化+边界条件+电感
(r
1)
J (b2 2b
a2 )
ez
磁介质中自由电流激发磁化电流。
思考：为什么r=a-，r=b+ 没有磁化电流？ 真空r＝1
例题3-8 删
19
3.4 恒定磁场的边界条件
S B dS 0
B 0
L H dl I
H J
B H
2A J
利用上面方程讨论介质分界面的B、H、A的变化规律
20
3.4 恒定磁场的边界条件
定义磁场强度:
B
0
Pm
J
H B Pm A / m
0
（3-30）
B 0(H Pm)
D 0E P
H J
磁介质中安培环路定理的微分形式。
（3-31）
12
3.3 磁偶极子与介质磁化
3.3.3 介质中的恒定磁场方程 1. 磁场强度、安培环路定理 磁介质中安培环路定理的积分形式。
H J
上式两边取面积分：
B1n =0
21
3.4 恒定磁场的边界条件
3.4.2 磁场强度的切向边界条件
en
H1
H dl I
△h→0H1
L
l1
H2
l2
Jsl
1
l 1 h
et
2
2
JS
H1 etl H2 etl Jsl
H2
积分方向与电流呈右手关系！
(H1 H2 ) et Js
（3-40）
H1t H 2t J s 讨论：1）如果JS =0, 则
即
A1n A2n
综合两个结论，有 A1 A2 （3-42）
表明在媒质分界面上磁矢位 A 是连续的。 23
3.4 恒定磁场的边界条件
大学物理电磁场第3章讲义教材
zˆ4(a20Iaz22)3/2
2
0
d'
B(z)2(a20Iaz22)3/2 z
3.2 真空中的静磁场基本方程
1. 磁通连续性定理
定义穿过磁场中给定曲面S 的磁感应强度B 的通量为磁通：
BdS 单位 韦伯Wb
S
若S面为闭合曲面
ΦBdS0
磁通连续 性定理
上页 下页
ΦBdS0
注意
① 磁通连续性原理也称磁场的高斯定理，表明磁力线是无头
Bdl 2B0I
l
得到
B
0I 2
e
323
I’ II 3 2 2-- 2 22 2 I 3 2 3 2-- 22 2
lBdl2B 0I3 2 3 2--22 2
得到
B
0I 2
32 -2 32 -22
e
同轴电缆的磁场分布
上页 下页
4.真空中的磁场方程
B (r)40 VJR 2R ˆd V '
磁矢位
注意 1 A是从矢量恒等式得出，是引入的辅助计算 量，无明确的物理意义；
2 A适用于整个磁场区域；
③因
mBdSAdS Stokes’ A dl
S
S
l
m Adl
l
A的单位 Wb/m （韦伯/米）
④ 恒定磁场中A满足库仑规范
A0
2 . 磁矢位 A 的求解
应用磁矢位A求解恒定磁场问题也可以分为 场源问题和边值问题。
③ 洛仑兹力垂直于电荷运动方向，只改变电荷运动方向， 对电荷不做功，而库仑力改变电荷运动速度做功。
上页 下页
安培力定律
真空中
描述两个电流回路之间相互作用力的规律。
l1
恒定磁场
1恒定磁场1．真空中位于'r点的点电荷q的电位的泊松方程为（）2．由（）可知，无界空间中的恒定磁场由恒定磁场的散度和旋度方程共同决定3．恒定磁场在自由空间中是（）场4．磁通连续性定律公式物理意义：穿过任意闭和面的磁通量为（）。
即进入闭和面S的磁力线数与穿出闭和面S的磁力线数（），磁力线是闭和的5．安培环路定律公式物理意义：磁感应强度B沿任意闭和路径l的线积分，（）穿过路径l所围面积的总电流与的乘积6．一个载流的小闭和圆环称为（）7．电流环的面积与电流的乘积，称为（）8．在远离偶极子处，磁偶极子和电偶极子的场分布是（）的，但在偶极子附近，二者场分布（）9．磁力线是（）的，电力线是间断的10．介质在磁场作用下会产生（）11．磁化引起的分子电流、原子电流相当于（）12．磁偶极子产生（）磁场，叠加于原场之上，使磁场发生变化。
磁化的结果使介质中的合成磁场可能减弱，也可能增强13．介质磁性能分类：（）磁性介质，（）磁性介质，铁磁性及亚铁磁性介质14．（）磁性介质：二次磁场与外加磁场方向相反，导致介质中合成磁场减弱15．（）磁性介质：二次磁场与外加磁场方向相同，导致介质中合成磁场增强16．铁磁性及亚铁磁性介质：在（）作用下，磁化现象非常显著17．在无传导电流的均匀介质中，束缚电流体密度为（）18．只有磁场强度为零或磁场强度与介质表面相垂直的区域，束缚电流面密度为（）19．磁感应强度通过某一表面的通量称为（）20．与某电流交链的磁通量称为（）21．导线回路的总自感等于内、外自感之（）22．单位导线回路的内自感为（）23．磁场问题的基本变量是场源变量和两个基本的场变量：磁感应强度和磁场强度。
实验证明：磁场的两个基本变量之间的关系为（）24．磁通量连续性方程微分形式：（）25．安培力可以用磁能量的空间变化率称（）来计算26．自由空间中一半径为a的无限长导体圆柱，其中均匀流过电流I，求导体内外的磁感应强度27．一段长为L的导线，当其中有电流I通过时，求空间任一点的矢量磁位及磁感应强度28．磁导率为，内外半径分别为a，b的无限长空心导体圆柱，其中存在轴向均匀电流密度，求各处磁场强度和磁化电流密度。
第三章 恒定磁场(2)-new
µ → ∞ ，B为有限值
r H → 0 dϕ m = 0
µ0
r B2
r H线
µ1 → ∞
r B1
磁场中， 与做功无关。 3. 磁场中，磁位 ϕ m与做功无关。 磁场中，两点间的磁压： 磁场中，两点间的磁压：
的多值性( 与积分路径有关） 4. ϕ m 的多值性( ϕ m与积分路径有关）
U mAB = ∫
AmB
若积分路径环绕电流K次 若积分路径环绕电流 次，则
∫
ArB
r r H ⋅ dl = ∫
多值性， 为了克服 ϕ m多值性，规定积 分路径不得穿过电流回路所界 定的面（磁屏障面）。 定的面（磁屏障面r ）。
AmB
r r H ⋅ dl + KI
多值性
ϕ m就成为单值函数，两点之间的磁压与积 就成为单值函数，
− ∇ ⋅ ( µ∇ϕ m ) = 0
µ = 常数
− ∇ ϕ m ⋅ ∇ µ − µ∇ ⋅ ∇ ϕ m = 0
适用于无自由电流区域） ∇ ϕm = 0（适用于无自由电流区域）
2
2. 分界面上的衔接条件 推导方法与静电场类似， 推导方法与静电场类似，
H1t = H2t 由 B1n = B2n
B
A
r r ϕ mB H ⋅ dl = ∫ − dϕ m =ϕ mA − ϕ mB
ϕ mA
设B点为参考磁位 由安培环路定律， 由安培环路定律，得
∫
AlB
r r H ⋅ dl = I ∫AlBmA r r r r H ⋅ dl + ∫ H ⋅ dl = I
BmA∫AlB Nhomakorabear r H ⋅ dl − ∫
AmB
r r H ⋅ dl = I
大学物理 恒定磁场
P型---- 正电空穴 N型---- 负电粒子
26
测载流子电性 — 半导体类型
8.5 载流导线在磁场中受力
一、一段载流导线上的力——安培力 I 2 1个电子 受力 f qv B 1 N个电子受力 d F Nq v B 电流元 I d l B
N n d V nS d l
不对 q 做功。
v
q
B
v
B
F qE qv B
15
二、带电粒子在均匀磁场中运动
1）运动方向与磁场方向平行
Fm qv B
Fm qvBsinθ
θ 0 F 0
q
v
B
带电粒子作匀速直线运动
16
二、带电粒子在均匀磁场中运动
3）运动方向沿任意方向
v // v cos v v sin
mv sin 半径： R qB 2R 周期：T v
v
q
+
v
v// h
B
匀速圆周运动与匀速直线运动的合成 运动轨迹为螺旋线
2 m qB
2 m 螺距： h Tv // v cos qB
18
（3）地磁场内 的范艾仑辐射带
22
23
四、霍耳效应
现象：导体中通电流 I ，磁 场B 垂直于I ，在既垂直于 I ，又垂直于B 的方向出现 电势差 U 霍耳电压UH
B
h
V
+ v - - -q- - -
F
I
b
原因： 载流子q，漂移速度 v
Fm qv B
25
霍耳系数
1 RH ne
26
测载流子电性 — 半导体类型
8.5 载流导线在磁场中受力
一、一段载流导线上的力——安培力 I 2 1个电子 受力 f qv B 1 N个电子受力 d F Nq v B 电流元 I d l B
N n d V nS d l
不对 q 做功。
v
q
B
v
B
F qE qv B
15
二、带电粒子在均匀磁场中运动
1）运动方向与磁场方向平行
Fm qv B
Fm qvBsinθ
θ 0 F 0
q
v
B
带电粒子作匀速直线运动
16
二、带电粒子在均匀磁场中运动
3）运动方向沿任意方向
v // v cos v v sin
mv sin 半径： R qB 2R 周期：T v
v
q
+
v
v// h
B
匀速圆周运动与匀速直线运动的合成 运动轨迹为螺旋线
2 m qB
2 m 螺距： h Tv // v cos qB
18
（3）地磁场内 的范艾仑辐射带
22
23
四、霍耳效应
现象：导体中通电流 I ，磁 场B 垂直于I ，在既垂直于 I ，又垂直于B 的方向出现 电势差 U 霍耳电压UH
B
h
V
+ v - - -q- - -
F
I
b
原因： 载流子q，漂移速度 v
Fm qv B
25
霍耳系数
1 RH ne
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D>>R
o
Il
ln
D R
14
§3.7.3 互感
一、定义：
互感磁链21： 21 = M21I1 互感(系数) M21= 21 / I1
果因
互感磁链12： 12 = M12I2
互感(系数) M12= 12 / I2
2 I1 1
M12= M21
互感不仅与回路的尺寸、几何形状及媒质的分布 有关，还与两回路的相互位置有关。
15
互感例题
例一、两对传输线尺寸如图，求长为 l 的互感。
解：设流过传输线AB的电流为I
先求导线A内电流在传输线CD中交链的互感磁链 I
B
A DAD DAC
B
d d m B dS
原本面CD ，经旋转后：面CD’ D AD I Il DAD Il DAD A ldr ln ln D AC 2r 2 DAC 2 DAC
6
I’
§3-7 电 感
§3.7.1 磁通与磁通链
一、磁通与磁通链： 1、磁通m：
m
B S3
B dS
S
S2
2、磁通链：
m
S1 S 2 S 3
B dS
S1
若穿过S1、 S2 、 S3的m相同， 则：
= N m
8
例：求穿过柱内沿轴向单位长度的磁通链。
2r
DBC D BD
D C D’ C’
同理：导线B内电流在传输线CD中交链的互感磁链
B
Il
2
ln
DBC DBD
Il
2
ln
DBC DBD DAD DBC DAC DBD
互感M = (A +B ) /I
l
2
ln
16
§3.7.4 聂以曼公式
一、推导：
I 1 回路1的电流I1在回路2中某点产生的磁矢位为： A1 4 回路1的电流I1在回路2中产生的互感磁链21为： I 1dl1 I1 21 m 21 A1 dl 2 dl 2 l2 l 2 l1 4R I 1 dl1 dl 2 R l2 l1 R 4
(图b)
d
2 2
(图c)
d
d
单一媒质！ 1. 第一种媒质是空气，第二种媒质是铁磁物质（ 2 ）： 即电流在空气中：
I’
I ’ =I(2- 1 ) /(1 + 2) I ； I’’ =2I1 / (1 + 2) 0 则：H2 =0 B2 = 2H2 = 2I''/2r = 2 2I 1 /(2+ 1)/ 2r = 1I / r
2.再求外自感 (R1 r R2) I
2r d m B dS B l dr B
B R1 R3
d 1d m
ln R2 R1 ln R2
R2
o
R2
Il
2r
dr
Il
2
R1
2 R1 l R2 l 3. 自感 L = Li +Lo ln 2 R1 8
外自感Lo = o /I
l
12
自感例题
例一、同轴电缆尺寸如图(R3 R2)，求长为 l 的自感。 解：设流过导体的电流为I
另求内自感Li’ (R2< R) R3) 1.先求内自感 (r r 1 2 2 I II ( R 2 Ir) r I r J ez J ez B 2 B 2r R 223 2R 2 2 2 2 R 1 ( R3 R12 ) 2r ( R3 R2 1 ) d Nd m d m B dS B l dr 2 2 rR3 r 2 I I 1 N N 22 N 2 I R13 R2 I R I I
B R1 R3
R2
i ( i 0
R R31
R2
内自感Li= ’= i ’/I 内自感Li i /I 8
Il Il dr dr 2 2 ) 2 2 8 R1 2R1 2r 2 3 l
2
2
r 2 Irl 2 R3 r
总电感 L = Li+ Lo + Li’
10
自感例题
例一：同轴电缆尺寸如图(R3 R2)，求长为 l 的自感。 解：设流过导体的电流为I 1.先求内自感 (r < R1) 2 B I Ir Ir J ez R1 B 2 2 2
R1 2r R1 2R1 d Nd m d m B dS B l dr
引入物理量
§3-3 恒定磁场基本方程、
分界面上的衔接条件 §3-4 磁矢位、恒定磁场的边值问题 §3-5 磁位 §3-6 镜像法 §3-7 电感 §3-8 磁场能量与力
基本方程
引入辅助量 计算
应用
2
§3-9 磁路及其计算
§3-6 镜 像 法
§3.6.1 镜像法
一、一般情况：
I
(图a)
I
I’’
1 2
dl1 R
l1
I2 dl2
互感(系数) M21= 21 / I1
4
l2 l1
dl1 dl 2 R
dl1
l1
二、结论：
M
4
l2
dl1 dl 2 R
既可计算互感，又可计算自感。 公式形式简单，但计算复杂。
17
I 2 解：由安培环路定律： H dl I 2rH r 2 l a Ir Ir H 2 B H 2a 2 2a I
d m B dS B 1 dr
a B
d Nd m
1 I
N I
N
I I
r a
2 2
a
r Ir
2
0
a 2a
2
2
dr
I
8
9
§3.7.2 自感
一、定义：
自感磁链L： L = L I 自感(系数)L = L /I 自感仅与回路的尺寸、几何形状及媒质的分布有关， 而与通过回路的电流及磁链的具体量值无关。
二、分类：
内自感和内磁链：导体内部，仅与部分电流相交链
Li = i /I 外自感和外磁链：完全在导体外部闭合的磁通、磁链 Lo = o /I 总自感 L = Li+ Lo
d
1 1
(图b)
d
2 2
(图c)
d
d
I’
结论： 1. I ’ =I(2- 1) /(1+ 2) ； 2. I’’ =2I1 / (1+ 2) ； 3. 与静电场的比拟：用1/ 代替。
单一媒质！
4
§3.6.1 镜像法
二、讨论特殊情况：
I
(图a)
I
I’’
1 2
d
1 1
5
§3.6.1 镜像法
二、讨论特殊情况：
I
(图a)
I
I’’
1 2
dLeabharlann 1 1(图b)d
2 2
(图c)
d
d
单一媒质！ 2. 第一种媒质是铁磁物质（ 1 ），第二种媒质是空气： 即电流在铁磁物质中： I ’ =I(2- 1 ) /(1 + 2) - I ； I’’ =2I1 / (1 + 2) 2I
13
自感例题
例二、二线传输线尺寸如图，求长为 l 的自感。 I 解：设流过导体的电流为I
1.先求内自感 (r < R)
8 4 2.再求外自感 (R < x < D -R) I 1 1
B 2 ( x xD )
x I
dx
内自感Li 2
l
l
l
0 B x
D
R
d 1d m d m B dS B l dx D R Il 1 1 Il D R o ( )dx ln R 2 x x D R l D 外自感Lo = o /I ln R l l D ln 3.总自感L = Li+ Lo 4 R
1 I N I
N
R1
R3
R2
I I
r
2 2
R1
i
r Irl
2
0
R1 2R1
2
2
dr
Il
8
内自感Li = i /I
l
8
11
自感例题
例一、同轴电缆尺寸如图(R3 R2)，求长为 l 的自感。 解：设流过导体的电流为I
1.内自感Li = i /I
l
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基本实验定律 (安培力定律）
磁感应强度（B）（毕奥—沙伐定律）
H 的旋度
磁位( m)
基本方程
B 的散度
磁矢位（A）
分界面上衔接条件 边值问题
数值法 有限差分法 电感的计算 有限元法
解析法 分离变量法 镜像法
磁场能量及力
恒定磁场知识结构框图
磁路及其计算
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第三章 恒 定 磁 场
§3-1 磁感应强度
§3-2 安培环路定律