第四章恒定磁场题解

第四章 恒定磁场(注意：以下各题中凡是未标明磁媒质的空间，按真空考虑）4-1 如题4-1图所示，两条通以电流I 的半无穷长直导线垂直交于O 点。

在两导线所在平面，以O 点为圆心作半径为R 的圆。

求圆周上A 、B 、C 、D 、E 、F 各点的磁感应强度。

解 参考教材71页的例4-1，可知，图4-2所示通有电流I 的直导线在P 点产生的磁感应强度为()αθθπμe B 120cos cos 4--=rI因此，可得（设参考正方向为指出纸面）R IR R I B A πμπμ422135cos 180cos 220cos 135cos 400=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----= ()RIR I B B πμπμ410cos 90cos 400=--=用类似的方法可得 R I B C πμ40=，I R B C 0212μπ-=，RI B D πμ40=，RI B E πμ20=，I R B F 0212μπ+-=4-2 xy 平面上有一正n 边形导线回路。

回路的中心在原点，n 边形顶点到原点的距离为R 。

导线中电流为I 。

1）求此载流回路在原点产生的磁感应强度；2）证明当n 趋近于无穷大时，所得磁感应强度与半径为R 的圆形载流导线回路产生的磁感应强度相同； 3）计算n 等于3时原点的磁感应强度 。

解 如图4-3中所示为正n 边形导线回路的一个边长，则所对应的圆心角为nπ2，()()()()()αααααααππμππμθπμθπμθπμθθπμθθπμe e e e e e e B ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛====---=--=n R I n r I r I r I rIr I r I tan 2sin 2cos 2cos 2cos 24cos cos 4cos cos 40010101011012011）n 条边在圆心产生的磁感应强度为 απe B ⎪⎭⎫⎝⎛=n R tan 202）当n ∞→时，圆心处的磁感应强度为 ααμππμe e B R I n R I n n 2tan 2lim00=⎪⎭⎫⎝⎛=∞→3）当n 等于3时圆心处的磁感应强度为 ααπμππμe e B R I R I 2333tan 2300=⎪⎭⎫⎝⎛=4-3 设矢量磁位的参考点为无穷远处，计算半径为R 的圆形导线回路通以电流I 时，在其轴线上产生的矢量磁位。

解 如图4-4建立坐标系，可得轴线上z 处的矢量磁位为0d 4220=+=⎰lR z Il A πμ4-4 设矢量磁位的参考点在无穷远处，计算一段长为2米的直线电流I 在其中垂线上距线电流1米处的矢量磁位。

解 据76页例4-4，可得 ()()12210cos 1sin cos 1sin ln 4θθθθπμ--=I z e A ，其中，451=θ， 1352=θ，则 1212ln 42212222122ln 400-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=πμπμI I zz e e A4-5 在空间，下列矢量函数哪些可能是磁感应强度？哪些不是？回答并说明理由。

1） Ar r e （球坐标系） 2） A x y y x ()e e +3） )(y x y x A e e - 4） Ar e α（球坐标系） 5） Ar e α（圆柱坐标系）解 1） 03)(132≠==∇•A A r rr ∂∂A 2） 0 ==++∇•z A y A x A zy x ∂∂∂∂∂∂A 3） 01-1 ===++∇•z A y A x A zy x ∂∂∂∂∂∂A 4） 0sin 1)sin (sin 1)(122=++=∇•∂α∂θθ∂θ∂θ∂∂αθA r A r A r rr r A 5） 01)(1=++=∇•zA A r rA r r zr ∂∂∂α∂∂∂αA 由于0=⋅∇B ，因此以上表达式中，1）不是磁感应强度表达式，而2）~5）可能是磁感应强度表达式。

4-6 相距为d 的平行无限大平面电流，两平面分别在z d =-/2和z d =/2平行于xy 平面。

面电流密度分别为K x e 和K y e ，求由两无限大平面分割出的三个空间区域的磁感应强度。

解 如图建立坐标系，并作平行于xz 平面的闭合回线1l ，据安培环路定律，可得 2KH x =和平行于yz 平面的闭合回线2l ，可得 2KH y =考虑坐标系，及H B μ=可得当2dz -<，y x K K e e B 2200μμ+-=；当22d z d <<-，y x K K e e B 2200μμ--=；当2dz -<，y x K K e e B 2200μμ+=；4-7 求厚度为d ，中心在原点，沿yz 平面平行放置，体电流密度为z J e 0的无穷大导电板产生的磁感应强度。

解 如图4-6建立坐标系，当2dx ≤，作闭合回线1l ，据安培环路定律，可得x J B 00μ=，当2dx >，作闭合回线2l ，据安培环路定律，可得200dJ B μ=，因此，可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=222222000000d x d J d x d x J d x dJ yyy e e e B μμμ4-8 如图4-7所示，同轴电缆通以电流I 。

求各处的磁感应强度。

解 作半径为r 的闭合回线，据安培环路定律，可得 012101222323223232220Irr R R IR r R r I R r R r R r R R r R αααμπμπμπ⎧-≤⎪⎪⎪<≤⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎪⎪>⎩e e B e4-9 如图4-8所示，两无穷长平行圆柱面之间均匀分布着密度为J 的体电流。

求小圆柱面内空洞中的磁感应强度。

解 设小圆柱面内空洞中的任意点p 至大、小圆柱面的轴心距离分别为1r 、2r ，当空洞内也充满体电流时，可得p 点的磁感应强度为11012e B Jr μ=，空洞内的体电流密度在p 点产生的磁感应强度为22022e B Jr μ=()x d J r r Je e e B B B 2202211021μμ=-=+=4-10 内半径为R 1，外半径为R 2，厚度为h ，磁导率为μ（μμ>>0）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有N 匝线圈，如图4-9所示。

线圈中电流为I 。

求铁芯中的磁感应强度和磁通以及线圈的磁链。

解 在铁芯中作与铁芯圆环同轴半径为r 的闭合回线，据安培环路定律，可得铁芯中磁感应强度为 απμe B rIN20=相应的磁通为 1200ln 2d 221R R INh r h r IN R R πμπμφ==⎰磁链为 1220ln2R R h IN N πμφψ==4-11 在无限大磁媒质分界面上，有一无穷长直线电流 I ，如图4-10所示。

求两种媒质中的磁感应强度和磁场强度。

解 设z 轴与电流的方向一致，则据安培环路定律，可得 12H r H r I ππ+=， 据边界条件，可得 2211H H μμ=解以上两式，得 ()αμμπμe H rI2121+=，()αμμπμe H r I 2122+=，()αμμπμμe B B rI212121+==4-12 如图4-11所示，无穷大铁磁媒质表面上方有一对平行直导线，导线截面半径为R 。

求这对导线单位长度的电感。

解 根据教材97页例题4-12、4-13，可得平行长线a 、b 的单为长度内自感为 πμ40=i L 对于外自感，如图4-12取镜象，a 、b 之间的外磁链可视为a 、b 和c 、d 中的电流分别作用后叠加，即RR ln ln 0011ππφψ≈==，22202202244ln 24ln 2hh d I h h d I +=+==πμπμφψ 外磁链为 2220222002144ln 44ln ln h h d R d I h h d I R d I +⋅=++=+=πμπμπμψψψ 外自感为 222044ln h h d R d I L o +⋅==πμψ因此，自感为2220044ln 4hh d R d L L L o i +⋅+=+=πμπμ4-13 如图4-13所示，若在圆环轴线上放置一无穷长单匝导线，求导线与圆环线圈之间的互感。

若导线不是无穷长，而是沿轴线穿过圆环后，绕到圆环外闭合，互感有何变化？若导线不沿轴线而是从任意点处穿过圆环后绕到圆环外闭合，互感有何变化？解 设长直导线中有电流I ，则在铁芯线圈中产生的磁通和磁链分别为120ln 2R R Ih πμφ=，120ln 2R R NIh N πμφψ==因此，两线圈之间的互感为 120ln 2R R Nh I M πμψ==根据诺以曼公式，可知两线圈之间的互感也可视为铁芯线圈中的电流产生被直导线所链绕的磁通与电流的比值，则题设后两种情况中，直导线链绕的磁通没有发生变化，因此互感也不变。

4-14 如图4-14所示，内半径为R 1，外半径为R 2，厚度为h ，磁导率为μ（μμ>>0）的圆环形铁芯，其上均匀紧密绕有N 匝线圈。

求此线圈的自感。

若将铁芯切割掉一小段，形成空气隙，空气隙对应的圆心角度为∆α，求线圈的自感。

解 当线圈中有电流I 时，设铁芯中的磁场强度为H 、气隙中为0H ，据安培环路定律，可得 ()NI r H r =⋅⋅∆⋅+∆-ααπ02H据边界条件，可得 00H H μμ=，代入上式，得()()[]αμαπμμαμμαπ∆+∆-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆⋅+∆-=22000r NIr NIH相应的磁通为 ()[]αμαπμμμμ∆+∆-==200r NIH B则铁芯及气隙中的磁通为 ()[]1200ln 2d 21R Rr NhI r h B R R αμαπμμμφ∆+∆-==⎰线圈所链绕的磁通为 ()[]12020ln 2R Rr hI N N αμαπμμμφψ∆+∆-==则电感为 ()[]12020ln 2R R r h N I L αμαπμμμψ∆+∆-==4-15 分别求如图4-15所示，两种情况中两回路之间的互感。

解 （a ）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得x bdy 2=长直导线中的电流I 在三角形线圈中产生的磁感应强度为()x a I B +=πμ20，则磁通为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=⎰a b a a b b Id xxa xb Id b ln 2d 2000πμπμφ互感为 ⎪⎭⎫⎝⎛+-===a b a a b b d I I M ln 20πμφψ（b ）如图建立坐标系，对于三角形部分，可得()b x bdy --=2 长直导线中的电流I 在三角形线圈中产生的磁感应强度为 ()x a IB +=πμ20，则磁通为 ()⎪⎭⎫⎝⎛-++=+--=⎰b a b a b a b Id x x a b x b Id b ln 2d 2000πμπμφ互感为 ()⎪⎭⎫⎝⎛-++===b a b a b a b d I I M ln20πμφψ4-16 试证明真空中以速度v 运动的点电荷所产生的磁场强度和电位移矢量之间关系为H v D =⨯ 。