判定直线划分平面区域符号的简便方法及其应用
直线平行平面的判定定理及性质定理
直线平行平面的判定定理及性质定理直线平行平面的判定定理及性质定理是几何学中常见的一条定理，它认为如果两个平面之间存在着一条平行线，则这两个平面也是平行的。
其实，这条定理也可以用来判定直线是否与平面平行，利用这条定理，我们可以推出许多关于平行平面性质的定理，并学会利用它来研究三维平面几何问题。
这条定理的确切说法是：设A、B、C、D四个不共线的点，且点A、C在平面X上，点B、D在平面Y上，若AB||CD，则X||Y。
也就是说，如果其中两个平面之间的两条线段是平行的，那么这两个平面也是平行的。
反之，当两个平面之间有一条线段不平行时，它们也不是平行的。
由此，我们可以推出一系列有关平行平面性质的定理，如判定两个平面之间是否存在一条直线，求两个平面间的垂线，计算两个平面之间的距离，判定两个平面的所在的同一空间等。
首先，我们可以用这条定理来证明直线与平面之间的关系。
假设将一条直线平行投影到一个平面上，那么与直线平行的两个平面就会存在一条共线线段，因此这两个平面也是平行的。
另一方面，如果两个平面之间有一条共线线段，那么它们就是平行的，而且也存在一条平行于它们共线线段的直线。
这样，我们就可以判断一条直线是否与平面平行，只需检测是否存在一条共线线段即可。
此外，我们还可以使用这条定理来求解三维几何问题。
比如，假设ABCD是四个不共线的点，则可以使用这条定理，即点A、C在平面X上，点B、D在平面Y上，若AB||CD，则X||Y。
我们就可以判断这四个点是否都处在同一个平面上，即可以通过检查它们的四条边是否是平行的来判断。
其实，利用这条定理，我们还可以求解更多关于三维几何问题的性质。
比如，可以用它来判断某个平面是否与一个球面接触，也可以用它来求解空间两个平面之间的夹角，等等。
总而言之，直线平行平面的判定定理及性质定理是几何学中一条重要的定理，它不仅可以用来判断直线与平面之间的关系，而且还可以用来求解三维平面几何问题，让我们更全面地理解空间几何的特性和性质。
直线和平面平行平面和平面平行的判定
β ∥α.
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
a
β
Pb
c
C
d
α
练习：
1）α、β、γ为三个不重合的平面，a,b,c为三条
不同直线，则有一下列命题，不正确的是
① a∥c b∥c
a∥b ② a∥γ b∥γ
a∥b
③ α∥c β∥c
α∥β④ α∥γ β∥γ
α∥β
（1）求证：PQ// 平面DD1C1C
A1
（2）求线段的PQ长 P
C1 B1
D
C
Q
A
B
小结
线面平行的判定定理
线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
定义：如果两个平面没有公共点，那么这 两个平面互相平行，也叫做平行平面
平面α平行于平面β ，记作α∥β
(1) 直线和平面有哪些位置关系?
a
α
a a
A
α
α
直线在平面α 内a α
有无数个交点
直线与平面α相交
a ∩ α= A 有且只有一个交点
直线与平面α 平行
a∥α无交点
定义：一条直线和一个平面没有公共点， 叫做直线与平面平行.
（2）怎样判定直线和平面平行？
①定义. ②判定定理
线线平行
线面平行
平面外一条直线和此平面内的一条直线平行,
（1）平面β内有一条直线与平面α平 行，α，β平行吗？
（2）平面β内有两条直线与平面α平 行，α，β平行吗？
E D1 A1
D F A
C1 B1
C B
平面与平面平行的判定定理
线性规划中确定平面区域的几种方法
线性规划中确定平面区域的几种方法作者：段春林来源：《成才之路》2010年第01期在教学中,笔者发现学生对二元一次不等式表示的平面区域是哪一部分不能直接给出。
有没有一种简单易行的方法呢?例如,一看到式子2x+y-1一、特殊点法由于将直线l:Ax+By+C=0上同一侧的任意一点(x,y)的坐标代入Ax+By+C所得实数的正负情况都相同,因此只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C的正负即可判定Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域。
特别地,当C≠0时,常把原点作为特殊点。
我们在利用特殊点判定时,要有辩证思维,即所取的特殊点并不唯一,根据题目需要可以任意选除原点外的特殊点,如选择点(1,0)、(1,1)、(-1,0)等。
二、B符号判定法Ax+By+C0表示的区域为直线l:Ax+By+C=0下方的区域。
上述法则即为B符号判断法则,其本质是由Ax+By+C与B的关系判定得出的。
具体见表1。
用一句话概括,即“同号上,异号下”。
对于B=0的情形,可结合图形具体操作,结论很容易判定。
在画不等式所表示的区域时,我们要时刻注意不等号中的等号是否成立,以确定点是否能在直线上,从而决定直线画成实线还是虚线,由于直线方程中的B容易找出,因此B符号判定法就成为常用的区域判定方法。
三、A符号判定法按照同样的方法我们可以得到下面的结论。
当A>0时,Ax+By+C>0表示的区域为直线l:Ax+By+C=0右方的区域;Ax+By+C0表示的区域为直线l:Ax+By+C=0左方的区域。
上述法则即为A符号法则,其本质是由Ax+By+C与A的关系判定得出的,具体见表2。
用一句话概括,即“同号右,异号左”。
四、图像判定法凡涉及可行域问题基本上要画图,不妨就从直线在直角坐标系中经过的象限出发考虑问题,根据经过的象限相同,可行域相同这一原则,有如图1所示及结合图:注:(1)图1中“+”表示Ax+By+C>0的区域,“-”表示Ax+By+C(2)当A或B为0时,可通过不等式直接确定平面区域。
高中数学直线与平面平行的判定优秀课件
目录
CONTENTS
01
直线与平面平行基本概念
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
直线与平面平行定义
直线与平面无公共点
若一直线与一平面没有交点，则称该 直线与平面平行。
平行直线与平面的关系
一直线与平面平行，则该直线与该平 面内的任意直线都平行或异面。
符号表示及相关术语
图形表示
在几何图形中，可以用直 线和平面的位置关系来表 示该定理。
定理证明过程剖析
01
02
03
04
第一步
根据已知条件，设定相关点和 线。
第二步
利用平行线的性质，构造辅助 线。
第三步
通过逻辑推理和演绎，证明直 线与平面无公共点。
第四步
根据直线与平面平行的定义， 得出结论。
注意事项与易错点分析
注意事项
ERA
知识点总结回顾
直线与平面平行的定义
直线与平面无公共点，则称直线与平面平行。
直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平 行。
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交 线与该直线平行。
解题方法技巧归纳
利用定义法
根据直线与平面平行的定义，通 过证明直线与平面无公共点来判
02
判定定理及其证明
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
直线与平面平行判定定理
01
02
03
定理内容
若平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行，则 该直线与此平面平行。
符号表示
直线平行平面的判定定理
直线平行平面的判定定理直线和平面是空间解析几何中的基本概念，它们的位置关系有着重要的几何性质。
在空间中，当一条直线与一个平面满足特定条件时，我们可以根据直线和平面的性质来判断它们是否平行。
本文将介绍直线平行平面的判定定理，以及相关的推导和应用。
一、在空间中，判定一条直线与一个平面是否平行，可以根据以下定理进行判断：定理1：如果直线上的任意一点到平面的距离为定值k，那么这条直线与这个平面平行。
证明：设直线L上任意一点为P(x,y,z)，平面为α，平面上一点为Q(a,b,c)。
根据直线上任意一点到平面的距离公式，有：d(P, α) = |ax + by + cz + d| / √(a^2 + b^2 + c^2)其中，α的一般方程为ax + by + cz + d = 0。
因为直线L上的任意一点P(x,y,z)到平面α的距离为定值k，所以有：|ax + by + cz + d| / √(a^2 + b^2 + c^2) = k即：|ax + by + cz + d| = k√(a^2 + b^2 + c^2)根据绝对值的性质，得到：ax + by + cz + d = ± k√(a^2 + b^2 + c^2)由于k为定值，√(a^2 + b^2 + c^2)也为定值，因此左侧和右侧都是一个常数等式，表示一个平面β。
所以，直线L和平面β平行，即直线L与平面α平行。
经过推导和证明，我们得出了判定直线平行平面的定理，即直线与平面上的一点到平面的距离为定值，那么这条直线和这个平面是平行的。
二、直线平行平面的应用直线平行平面的判定定理在解决空间几何问题时具有重要的应用价值。
下面通过几个具体的例子来说明其应用。
例1：已知平面α的一般方程为2x - 3y + 4z - 5 = 0，直线L上的一点为P(1, 2, -1)，求直线L与平面α的位置关系。
解：由直线平行平面的判定定理可知，如果点P到平面α的距离为定值，那么直线L与平面α平行。
直线平面平行的判定及其性质课件ppt
定理：如果一条直线与一个平面平行， 则过这条直线的任一平面与此平面的交 线与该直线平行.
思考2:上述定理通常称为直线与平面平 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
知识探究(一):直线与平面平行的性质分析 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
思考1:如果直线a与平面α平行，那么直
线a与平面α内的直线有哪些位置关系？
a
a
α
α
思考2:若直线a与平面α平行，那么在 平面α内与直线a平行的直线有多少条？ 这些直线的位置关系如何？
思考1:对于平面α、β，你猜想在什么条件 下可保证平面α与平面β平行？ Nhomakorabeab
思考2:设a，b是平面α α a
内的两条相交直线，且
a//β，b//β. 在此条
件下，若α∩β=l ，则
β
l
直线a、b与直线l 的位置
关系如何？
思考3:通过上述分析，我们可以得到判 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统 定平面与平面平行的一个定理，你能用 文字语言表述出该定理的内容吗？
篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.3 直线与平面平行的性质
问题提出 篮球比赛是根据运动队在规定的比赛时间里得分多少来决定胜负的，因此，篮球比赛的计时计分系统是一种得分类型的系统
直线、平面平行的判定与性质课件
直线与平面平行的判定与性质
考向基础
直线与平面平行的判定与性质
文字语言
平面外一条直线与此平面内的一
图形语言
符号语言
a⊄α,b⊂α,且a∥b⇒a∥α
条直线平行,则该直线与此平面
平行.简称:线线平行,则线面平行
一条直线与一个平面平行,则过
a∥α,a⊂β,
这条直线的任一平面与此平面的
α∩β=b⇒a∥b
别平行于另一个平面内的两条相交直线,那么这两个平面平行.
3.证明两个平面都垂直于同一条直线.(客观题可用)
4.证明两个平面同时平行于第三个平面.(客观题可用)
例2 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,
M,N分别是A1B1,A1D1的中点,E,F分别是B1C1,C1D1的中点.
(1)求证:四边形BDFE为梯形;
∴PQ∥平面BCE.
证法二:如图,在平面ABEF内,过点P作PM∥BE,交AB于点M,连接QM.
∴PM∥平面BCE,且
AP AM
=
,
PE MB
易知AE=BD,又AP=DQ,∴PE=BQ,
∴
AP DQ
AM DQ
=
,∴
=
,
PE BQ
MB QB
∴MQ∥AD,又AD∥BC,
∴MQ∥BC,
∵BC⊂平面BCE,MQ⊄平面BCE,
∴OB∥平面EFC,
∵OB∩OG=O,∴平面OBG∥平面EFC.
方法技巧
方法1
证明直线与平面平行的方法
1.利用线面平行的定义(此法一般伴随反证法证明).
2.利用线面平行的判定定理.应用此法的关键是在平面内找与已知直线
平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常
直线与平面垂直的判定定理符号语言
直线与平面垂直的判定定理符号语言直线与平面垂直的判定定理是三维几何中的一个重要定理，它用于判定一个直线与一个平面是否垂直。
在三维空间中，一条直线和一个平面的关系是非常复杂的，它们可能平行、相交或者垂直。
垂直是一种很特殊的关系，它意味着两个几何图形的方向完全相反。
在很多应用中，我们需要判断一条直线与一个平面是否垂直，这时就需要用到直线与平面垂直的判定定理。
直线与平面垂直的判定定理通常用符号语言来表示，它的表达方式如下：给定一个平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，一条直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct。
其中（a，b，c）为直线的方向向量，（x0，y0，z0）为直线上一点的坐标。
如果直线的方向向量与平面的法向量（A，B，C）成直角，则直线与平面垂直。
根据上述的描述，可以看出直线与平面垂直的判定定理是通过判断直线的方向向量与平面的法向量是否成直角来判定的。
下面我们来解释一下这个定理的证明过程。
首先，我们知道平面的法向量是指向平面外的一个向量，宊它垂直与平面上的所有向量。
假设一个平面的法向量为n = (A, B, C)，而一条直线的方向向量为m = (a, b, c)。
那么我们可以通过向量内积来判断它们是否成直角。
向量内积的定义为a · b = |a| * |b| *cosθ，其中θ为a和b之间的夹角。
如果a · b = 0，则表明a和b成直角。
接下来我们要证明如果直线的方向向量与平面的法向量成直角，则直线与平面垂直。
我们知道一个平面上的向量与法向量的内积为0，即n · m = 0。
而直线上的点(x0, y0, z0)到平面的距离为d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A² + B² + C²)。
如果直线与平面垂直，那么对于直线上任意一点到平面的距离都是相等的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
判定直线划分平面区域符号的简便方法及其应用
泸州外国语学校陈培泽
当A>0 时，除去直线上的点，直线Ax+By+C=0把平面分成两个部分，右正，左负；上正，下负。
现给予证明，当P(x1,y1)在直线右边时，直线Ax+By+C=0上存在点M(x2,y1),，且x1>x2,∵Ax2+By1+C=0∴x2=-By1／A-C／A ∴x1-x2=x1+ By1／A+C/A, ∴A(x1-x2)=Ax1+By1+C,∵A>0, x1-x2>0, ∴Ax1+By1+C>0.同理可证，当P(x1,y1)在直线左边时，有Ax1+By1+C＜0，
特别当直线为x-a=0时，点P(x1,y1) 在x-a=0左边，所以有x1-a<0; 点P(x1,y1) 在x-a=0右边，有x1-a>0。
当直线为y-b=0时，点P(x1,y1) 在y-b=0上方，则有y1-b>0; 点P(x1,y1) 在y-b=0下方，有y1-b＜0。
综上，判断直线划分平面区域符号只需：注意当A>0 时，除去直线上的点，直线Ax+By+C=0把平面分成两个部分，右正，左负；上正，下负。
下面举例说明其运用：
例1.已知平面上的点（x,y）满足:x-y-2≥0，x+2y-4 ≥0,x≤ 4,求z=x-y 的最小值。
答案2.
例2.直线L:x-2ky+k-1=0过一，二，三象限，求k的取值范围。
解：∵直线L:x-2ky+k-1=0过一，二，三象限，∴原点在直线右方，∴k-1>0, ∴k>1.
例3.以A(1,2),B(-2,-1)为端点的线段总与直线L:x-2ky+k-1=0相交，求k的取值范围。
解：当A(1,2),B(-2,-1)两点在直线L:x-2ky+k-1=0两侧时总有直线与线段AB 相交，∴-3k(-3+3k) ≤ 0,解得：k ∈(-∝.0] ∪[1,+ ∝)。
我们知道点00(,)P x y 到直线L: Ax+By+C=0
的距离公式是，d ,运用前边的结论， A>0时，当00(,)P x y 在直线L ；
Ax+By+C=0的右边时
，
d =；当00(,)P x y 在直线L: Ax+By+C=0
的左边时，d =。
例4.已知△ABC 三顶点坐标是
A(
，3),求：∠A, ∠B 平分线所在的直线方程，及△ABC 的内心。
解：∵BC
30y +-=，AC
30y -+=, AB 直线方程为：y=0,设P(x,y)是∠A, ∠B 平分线上任意一点，P 点在BC 直线左侧，在AB
上方，∴有32
y y +--=
，化简得；0x = （1）
， P 点在AC 直线右侧，在AB
上方，∴有32
y y -+=，
化简得：0x （2），由（1）（2）解方程组，得△ABC 内心坐标M(0，1).
例5.P 是抛物线212y x =上的点，求P 点到直线l:x-y-2=0距离的最小值及P 点坐标。
解：设P （x, 212x ）, ∵P 点在直线l 左侧，
∴
22121)3]x x y x --==-+≥，∴当P(1，12)时，到直线l:x-y-2=0。
距离的最小值为
4
运用直线划分平面区域符号简便方法，可以去掉点到直线距离公式中的绝对值符号的讨论，提高解题效率。
在解一元一次绝对值不等式时，运用“左负，右正”（即，数轴法）也能提高解题效率。
例6. 解不等式|1||2|
x x
-++>.
解：令x-1=0；x+2=0,得：x=1；x=-2 当x<-2时，（左负）两个绝对值中的函数值都为负，有：-2x-1>3,解得：x<-2; 当-2≦x≦1时，（左负，右正）两个绝对值中的函数值：x+2≧0 ; x-1≦0,所以有：3>3,解为Φ；当x>1时，（右正）两个绝对值中的函数值都为正，有：2x+1>3, 解得：x>1, 所以解是:{x| x<-2或x>1}.
“简便方法”具有运用广泛，容易掌握的特点。