重修chapter12

y'
2
x x c' ( x) sin x c( x) cos x c 1 故, y ( cos x c ) x
代入原方程得
另解
直接代公式 ( 5) ye


1 dx x
si n x ( e x
1 dx x
dx c )
1 ( cos x c ) x
xy' y sin x 例1 求解初值问题： y 1 x 2 y 解 先求齐次方程 y ' 0的解. x 1 1 1 分离变量 dy dx ln y ln x ln c y c y x x
1 用常变易法 令 y c( x ) x c' ( x) c( x)
代入初始条件 y x 1得
2
c

2
1 y ( cos x ) x 2
例2
dy 1 解方程： dx x y
解 改 写 原 方 程 dx ：x y dy
xe
( 1 ) dy
c ye ( 1 ) dy dy
e y ( c ye y dy)
2.解法
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
1 分离变量后， dy P ( x )dx y
dy P( x) y 0 dx
两端积分 ln y P ( x )dx ln c
y ce
P ( x ) dx
— (3) — 方程(2)的通解.
dy P ( x ) y Q( x ), (Q( x ) 0) dx
i )r1 r2 y c1 e
r1 x
c2e
r2 x r1 x
ii )r1 r2 y (c1 c 2 x )e
iii )r1, 2 i y e x (c1 cos x c 2 sinx )
例1 求微分方程 y"2 y'3 y 0的通解 解 i)
解 观 察 : y * x 2 2,
由定理3, 求非齐次方程 (2)的通解步骤： (1) 求对应于(1)的齐次方程通解 Y; ( 2) 求( 3)的一个特解y * ( 3) y Y y * 。
定理 4
* *
设非齐次方程(2) 的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y1 与 y 2 分别是方程,
si n x 又 tan x 常 数, 线 性 无 关 cos x 故y c1 cos x c2 si n x是 原 方 程 的 通 解 .
2.二阶非齐次线性方程的解的结构:
定理 3 设 y * 是二阶非齐次线性方程
y P ( x ) y Q( x ) y f ( x )
( 2)
的一个特解, Y 是与(2) 对应的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y * 是二阶非齐次线性微分方程 (2) 的 通解.
例3
y" y x 2 非齐次方程
由 例2得 : Y c1 cos x c 2 si n x 通 解 : y c1 cos x c2 si n x x 2 2
e (c ye e )
y
y
y
ce y y 1
n阶线性微分方程的一般形式 函数组的线性相关与无关概念
二阶线性微分方程解的结构
一、n阶线性微分方程的一般形式
y
( n)
P1 ( x ) y
( n 1 )
Pn1 ( x ) y Pn ( x ) y f ( x ).
定理 2 如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1) 的两个线 性无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程 (1) 的通解.
注 定理2可推广到n阶方程的情形。
例2 解
y" y 0(二阶齐次方程 )
观 察y1 cos x y2 si n x是 方 程 的 解 ,
y py qy 0
二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
y py qy f ( x )
本节和下节主要讨论常系数线性方程的解法。
方法：代数的方法
二、二阶常系数齐次线性方程解法
二阶常系数齐次线性方 程: y" py' qy 0 (1) ( p, q为常数)
例3 求方程y"2 y'3 y 0的通解
解
i ) 特征方程 : r 2r 3 0
2
2 4 12 ii ) r 1 2 i 2 r1 1 2i , r2 1 2i
iii ) 通解: y (c1 cos 2 x c2 sin 2 x)e
Qm ( x)(系数待定 )与Pm ( x)同次的多项式
求解 y" py' q Pm ( x )e 的步骤 :
1. 求与 (1)相对应的齐次方程的特 征根
2. 设Q( x ) x k Q m ( x ) 代 入Q" ( x ) ( 2 p)Q' ( x ) ( 2 p q )Q( x ) Pm ( x ) 比较同次幂的系数 , 求 出bi ( i 0,1, m )得, Q m ( x )
2 3
k i 0, i 2,3,4， 线性相关的 2 1, x , x x ( , )
k1 k2 x k3 x 2 0，至多只有二个根，
线性无关
注
y1 ( x ) 两个函数的情形 k y2 ( x ) y1 ( x ), y2 ( x )无关
三、二阶线性微分方程解的结构
1.二阶齐次方程解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y 0
(1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x )是方程(1) 的两个 解, 那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解.（C1 , C 2 是常 数）
问题:
y C1 y1 C2 y2一定是通解吗？
二、函数组的线性相关与无关概念
定义 在I内 定 义 的 一 组 函 数 ( A) : y1 ( x ), y2 ( x ),
, yn ( x ), 若不 全 为 0的 常 数 k1 , k 2 , k n , k1 y1 k 2 y2 k n yn 0 x I ,则 称( A)在I内 是 线 性 相 关 的 ;否 者 称 线 性 无 关 .
其 中: 非 齐 次 指 Q( x ) 0, Q( x ) 0为 齐 次 。 线性指关于 y' , y均 为 一 次 的 .
dy dx 2 2 y x , x sin t t dx dt
一阶非齐次线性方程 .
yy 2 xy 3,
y cos y 1
一阶非线性方程
其中： P1 ( x ), P2 ( x ) Pn ( x )是系数函数 , f ( x )为自由项
当f(x)≠0时，称为n 阶非齐次线性方程 当f(x)=0时，称为n 阶齐次线性方程
线性方程的特点 : (1)关 于y , y' , y ( n )均 是 一 次 的 ( 2)系 数 函 数 和 自 由 项 均 x 是 的函数
y ce
x2
(c 取任意常数 )
例2
解
解微分方程( x xy )dx ( y x y )dy 0
2 2
原微分方程为： x(1 y 2 )dx y(1 x 2 )dy 0
y x 分离变量后 : dy 2 dx 2 1 y x 1
ln( 1 y ) ln(x 1) lnc
解法
找两个线性无关的特解
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法.
求y" py'qy 0 (1)的通解的步骤如下 :
1.写 出 (1)的 特 征 方 程 : r pr q 0 ( 2)
2
2.求 出 ( 2)的 特 征 根 r1 , r2 3.根 据 特 征 根 的 情 况 ,通解分为三种情况
x
f ( x ) e Pm ( x ) 型
x
一、f ( x ) e x Pm ( x ) 型
方程 y" py'q Pm ( x)e x 具有如下形式的解：
y x Qm ( x )e
* k
x
其中
0 不是特征根 k 1 是特征单根 2 是特征重根
例1 判断下列函数组是否线性相关
1, sin x, cos x，x (,)
2 2
1 sin x cos x 0
2
取k1 1, k 2 k 3 1， 是线性相关的
0, x , x 2 , x 3，x ( , )
1 0 0 x 0 x 0 x 0, 取k1 1,
举例
一、可分离变量的微分方程
定义 若
y' f ( x , y ) (1)
能化成 g( y )dy f ( x )dx （2 ） 则原方程称为可分离变 量的微分方程。
解法 :
将 ( 2) 两 边 求 积 分
g( y )dy f ( x )dx C
确 定 的 函 数 就 是 (1)的 通 解
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x ) dx P ( x ) dx y Q( x )e dx C e
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx