2021届高考数学大二轮专题复习讲义(新高考)专题8第1讲数学文化及核心素养类试题
2021-2022年高考数学第二轮专题复习函数讲义教案
2021年高考数学第二轮专题复习函数讲义教案一、本章知识结构：二、高考要求（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图像的绘制过程．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质．掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．三、热点分析函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题。
在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新。
以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势。
考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象。
②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点。
③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想。
四、复习建议1. 认真落实本章的每个知识点，注意揭示概念的数学本质①函数的表示方法除解析法外还有列表法、图象法，函数的实质是客观世界中量的变化的依存关系；②中学数学中的“正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，三角函数”称为基本初等函数，其余的函数的解析式都是由这些基本初等函数的解析式形成的. 要把基本初等函数的图象和性质联系起来，并且理解记忆；③掌握函数单调性和奇偶性的一般判定方法，并能联系其相应的函数的图象特征，加强对函数单调性和奇偶性应用的训练；④注意函数图象的变换：平移变换、伸缩变换、对称变换等； ⑤掌握复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性；⑥理解掌握反函数的概念，会求反函数，弄清互为反函数的两个函数的定义域、值域、单调性的关联及其图像间的对称关系。
2021年高考数学二轮复习讲义-原卷版(全国通用)
x1－x2 (2)(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b] 上是减函数． 2．函数的值域和最值的区别与联系 (1)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； (2)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值；若 函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应
名称
称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一 称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B
个函数
的一个映射
记法
y＝f(x)(x∈A)
对应 f：A→B 是一个映射
2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域 在函数 y＝f(x)，x∈A 中，其中所有 x 组成的集合 A 称为函数 y＝f(x)的定义域；将所有 y 组成 的集合叫做函数 y＝f(x)的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域． (3)函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
3
【知识拓展】 1．A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B. 2．A∩A＝A，A∩∅＝∅. 3．A∪A＝A，A∪∅＝A. 4．A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 5．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 6．若集合 A 中含有 n 个元素，则它的子集个数为 2n，真子集的个数为 2n－1，非空真子集的 个数为 2n－2.
2021 年高考数学二轮复习讲义 （原卷版）
1
目录
第一章 集合与常用逻辑用语................................................................................................................... 3 第二章 函数概念与基本初等函数........................................................................................................... 7 第三章 三角函数、解三角形................................................................................................................. 28 第四章 平面向量..................................................................................................................................... 44 第五章 数列............................................................................................................................................. 53 第六章 不等式......................................................................................................................................... 61 第八章 平面解析几何............................................................................................................................. 72 第九章 导数及其运用............................................................................................................................. 90 第十章 推理与证明、复数..................................................................................................................... 94
新教材适用2024版高考数学二轮总复习第2篇核心素养谋局思想方法导航第1讲函数与方程思想课件
前n项和为Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若对任意n∈N*都
有Sn≤Sk成立，则k的值是( B )
A．10
B．20
C．30
D．40
【 解 析 】 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 d ， 由
aa12＋ ＋aa45＋ ＋aa78＝ ＝33aa11＋ ＋91d2＝ d＝999， 3，
－y)关于 x 轴对称，所以卵圆 C 关于 x 轴对称，故①正确；对于②，设(x0， y0)在卵圆 C 上，(x0，y0)关于直线 x＝12对称的点(1－x0，y0)也在卵圆 C 上，
则x10－1x＋－20x20x＋＋022y420＋＝y4120＝，1，
解得xy00＝ ＝－ 0 1， 或xy00＝ ＝20， ， 所以卵圆上存在
解 得 ad1＝＝－392，，
∴
Sn
＝
na1
＋
nn－1d 2
＝
39n－n(n－1)＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400.∴当 n＝20 时，Sn 取得最大
值．∵对任意 n∈N*都有 Sn≤Sk 成立，∴Sk 为数列{Sn}的最大值，∴k＝
20.故选 B.
(2) (2023·河南校联考模拟预测)记正项数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 满足a21－1 1＋a22－1 1＋a23－1 1＋…＋a2n－1 1＝4nn＋1.若不等式 λSn≥an＋1 恒 成立，则实数 λ 的取值范围是_____43_，__＋__∞_____.
应用3 函数与方程思想在解析几何中的应用
核 心 知 识·精 归 纳 1.解析几何中求斜率、截距、半径、点的坐标、离心率等几何量经 常要用到方程(组)的思想；直线与圆锥曲线的位置关系问题，可以通过 转化为一元二次方程，利用判别式进行解决；求变量的取值范围和最值 问题常转化为求函数的值域、最值，用函数的思想分析解答． 2.直线与圆锥曲线的综合问题，通常借助根的判别式和根与系数的 关系进行求解，这是方程思想在解析几何中的重要应用．解析几何问题 的方程(函数)法可以拓展解决解析几何问题的思维，通过代数运算、方 程判定等解决解析几何中的位置关系、参数取值等问题．
高考数学二轮复习专题八数学思想数学核心素养与数学文化第1讲高考的热门话题__数学核心素养与数学文化课件
2
1
1
1
A.π
B.π
C.2π
D.4π
热点聚焦 分类突破
@《创新设计》
(2)我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅，提出了著名的祖暅原理：“幂势即同， 则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高立方体，若在每一等高 处的截面积都相等，则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的 几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )
v＝x100＋C1100x99＋C2100x98＋…＋C91900x＋C110000＝(x＋1)100.
当x＝9时，v＝(9＋1)100＝10100.
答案
16 (1)29
(2)C
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@《创新设计》
热点二 立体几何与概率中的数学文化 【例2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方
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@《创新设计》
探究提高 1.本例第(1)题中全国Ⅰ卷(第2题)以我国太极图中的阴阳鱼为原型，设计 几何概型的概率计算，很好体现数学文化的美学特征.数学美表现为一种抽象、严 谨、含蓄的理性美，从表现形式上分为数学内容的和谐美、数学结构的形式美、几 何图形的构造美、数学公式的简洁美. 2.第(2)题以《九章算术》的名题为背景，与几何体的三视图，几何体表面积的计算 相渗透，考查学生的空间想象能力、数学运算素养，又展示了中华民族的优秀传统 文化，增强数学问题的生活化，使数学的应用更贴近考生的生活实际.
因此函数f(x)具有性质“ ”.
热点聚焦 分类突破
对于③，易知φ(x)＝exsin x→∞，则③不具有性质“ ”. 对于④，φ(x)＝exf(x)＝exx，φ′(x)＝ex（xx－2 1），x∈(0，＋∞)， 易知φ(x)在x＝1时取到最小值φ(1)＝e，取T≤e，f(x)具有性质“ ”.
2021-2022年高三数学第二轮专题复习讲义一
2021年高三数学第二轮专题复习讲义一复习目标：本专题为常规题型，通过本专题的复习，旨在培养学生解答填空题的基本素养：审题要仔细，要求要看清，书写要规范，小题要小（巧）做。
一、典型例题例1.等差数列的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项为 ；数列｛︱︳｝的前9项和等于 . ( 9 ; 41 )例2.数列的前项和，则=_________________。
( 45 )例3. 设x ，y ，z 为实数，2x ，3y ，4z 成等比数列，且，，成等差数列，则的值是 . ( )例 4. 在一次投篮练习中，小王连投两次，设命题：“第一次投中”命题：“第二次投中”。
试用、和联接词“或、且、非”表示命题“两次恰有一次投中”。
______________________ ( 或 )例5.设函数=，则的定义域是 .；的最小值是 .( ; 2 )例6.已知＞1，0＜x ＜1，且＞1，那么b 的取值范围是 . （0 ，1）例7.设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . （ ）例8.若函数的定义域为R ，且满足下列三个条件： （1） 对于任意的，都有； （2） 对于内任意，若，则有； （3） 函数的图象关于轴对称， 则，的大小顺序是（〈 〈〉例9.已知函数与的图象关于直线对称，函数的反函数是，如果，则的值为 。
（ 9 ）例10.等差数列的前项和为,且,.记,如果存在正整数M ,使得对一切正整数n ,都成立.则M 的最小值是 . （ 2 ） 作业:1.已知数列的通项公式，则12320a a a a ++++=_________________。
( 250 )2.若互不相等的实数、、成等差数列，、、成等比数列，则：：=_________________。
( 4：1：（） )3. 若是数列的前项的和,,则= （ 33 ）4. 设数列的通项公式为且满足＜＜＜…＜＜＜…，则实数的取值范围是 . （＞－3 ）5.函数]1,0[)1(log )(2在++=x a x f a 上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为____________________ （ ）6.已知，2{|(2)20}B x x a x a =-++≤，且，则的取值范围是_______________。
2020版高考理科数学突破二轮复习新课标通用讲义：专题八 第1讲 数学文化 Word版含答案
第1讲数学文化函数中的数学文化题[典型例题]中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”．如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，给出下列命题：①对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个；②函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)可以是某个圆的“太极函数”；③正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”；④函数y＝f(x)是“太极函数”的充要条件为函数y＝f(x)的图象是中心对称图形．其中正确的命题为()A．①③B．①③④C．②③D．①④【解析】过圆心的直线都可以将圆的周长和面积等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故①正确；函数f(x)＝ln(x2＋x2＋1)的图象如图1所示，故其不可能为圆的“太极函数”，故②错误；将圆的圆心放在正弦函数y ＝sin x 图象的对称中心上，则正弦函数y ＝sin x 是该圆的“太极函数”，从而正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“太极函数”，故③正确；函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形，则y ＝f (x )是“太极函数”，但函数y ＝f (x )是“太极函数”时，图象不一定是中心对称图形，如图2所示，故④错误．故选A ．【答案】 A中华太极图，悠悠千古昭著于世，像朝日那样辉煌宏丽，又像明月那样清亮壮美．它是我们华夏先祖的智慧结晶，它是中国传统文化的骄傲象征，它更是中华民族献给人类文明的无价之宝．试题通过太极图展示了数学文化的民族性与世界性．[对点训练] (2019·福建泉州两校联考)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为：“今有人持金出五关，第1关所收税金为持金的12，第2关所收税金为剩余持金的13，第3关所收税金为剩余持金的14，第4关所收税金为剩余持金的15，第5关所收税金为剩余持金的16，5关所收税金之和恰好重1斤．”则在此问题中，第5关所收税金为( )A ．136斤 B ．130斤 C ．125斤 D ．120斤 解析：选C ．设此人持金x 斤，根据题意知第1关所收税金为x 2斤； 第2关所收税金为x 6斤；第3关所收税金为x 12斤； 第4关所收税金为x 20斤； 第5关所收税金为x 30斤． 易知x 2＋x 6＋x 12＋x 20＋x 30＝1， 解得x ＝65.则第5关所收税金为125斤．故选C ．数列中的数学文化题[典型例题](1)(2019·湖南长沙雅礼中学模拟)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”设该金箠由粗到细是均匀变化的，其重量为M ，现将该金箠截成长度相等的10段，记第i 段的重量为a i (i ＝1，2，…，10)，且a 1<a 2<…<a 10，若48a i ＝5M ，则i ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)(2019·河北辛集中学期中)中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里．”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A ．17532里 B ．1 050里 C ．22 57532里 D ．2 100里【解析】 (1)由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{a n }，设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝2，a 9＋a 10＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝2，2a 1＋17d ＝4⇒⎩⎨⎧a 1＝1516，d ＝18. 所以该金箠的总重量 M ＝10×1516＋10×92×18＝15. 因为48a i ＝5M ，所以有48[1516＋(i －1)×18]＝75，解得i ＝6，故选C ．(2)由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，设该数列为{a n }，则该匹马首日行走的路程为a 1，公比为12，则有a 1[1－(12)7]1－12＝700，则a 1＝350×128127，则a 1[1－(12)14]1－12＝22 57532(里)．故选C ．【答案】 (1)C (2)C(1)数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式．(2)解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等比(差)数列的概念、通项公式和前n 项和公式．[对点训练]1．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为：已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？(“钱”是古代的一种重量单位)在这个问题中，丙所得为( )A ．76钱 B ．56钱 C ．23钱 D ．1钱解析：选D ．因为甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列，设每人所得依次为a －2d 、a －d 、a 、a ＋d 、a ＋2d ，则a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a ＋2d ＝5，解得a ＝1，即丙所得为1钱，故选D ．2．(一题多解)《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何．其意思是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿( )A ．507斗粟 B ．107斗粟 C ．157斗粟 D ．207斗粟 解：选C ．法一：设羊、马、牛主人赔偿的粟的斗数分别为a 1，a 2，a 3，则这3个数依次成等比数列，公比q ＝2，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝5， 解得a 1＝57，故a 3＝207，a 3－a 1＝207－57＝157，故选C ． 法二：羊、马、牛主人赔偿的比例是1∶2∶4，故牛主人应赔偿5×47＝207(斗)，羊主人应赔偿5×17＝57(斗)，故牛主人比羊主人多赔偿了207－57＝157(斗)，故选C ．三角函数中的数学文化题[典型例题]《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S ＝14⎣⎡⎦⎤c 2a 2－⎝⎛⎭⎫c 2＋a 2－b 222，现有周长为22＋5的△ABC 满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC 的面积为( )A ．32 B ．34 C ．52 D ．54【解析】 由正弦定理得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝(2－1)∶5∶(2＋1)，可设三角形的三边分别为a ＝(2－1)x ，b ＝5x ，c ＝(2＋1)x ，由题意得(2－1)x ＋5x ＋(2＋1)x ＝(22＋5)x ＝22＋5，则x ＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC 的面积S ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2＋1)2(2－1)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22＋3－22－522＝34，故选B ． 【答案】 B我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，其中p ＝12(a ＋b ＋c ))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白，从中可以看出我国古代已经具有很高的数学水平，人教A 版《必修5》教材对此有专门介绍．本题取材于教材中出现的“三斜求积”公式，考查了运算求解能力，同时也传播了中华优秀传统文化．[对点训练](2019·济南市学习质量评估)我国《物权法》规定：建造建筑物，不得违反国家有关工程建设标准，妨碍相邻建筑物的通风、采光和日照．已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为45 m，依据规定，该小区内住宅楼楼间距应不小于52 m．若该小区内某居民在距离楼底27 m高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶的仰角与楼底的俯角之和为45°，则该小区的住宅楼楼间距实际为________m.解析：设两住宅楼楼间距实际为x m．如图，根据题意可得，tan∠DCA＝27x，tan∠DCB＝45－27x＝18x，又∠DCA＋∠DCB＝45°，所以tan(∠DCA＋∠DCB)＝27x＋18x1－27x·18x＝1，整理得x2－45x－27×18＝0，解得x＝54或x＝－9(舍去)．所以该小区住宅楼楼间距实际为54 m.答案：54立体几何中的数学文化题[典型例题](1)(2019·高考浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A．158B．162C．182D．324(2) (2018·郑州第二次质量预测)我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的表面积为________．【解析】 (1)如图，该柱体是一个五棱柱，棱柱的高为6，底面可以看作由两个直角梯形组合而成，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3.则底面面积S ＝2＋62×3＋4＋62×3＝27. 因此，该柱体的体积V ＝27×6＝162.故选B ．(2)由该几何体的三视图还原其直观图，并放入长方体中，如图中的三棱锥A -BCD 所示，其中AB ＝22，BC ＝CD ＝2，易知长方体的外接球即三棱锥A BCD 的外接球，设外接球的直径为2R ，所以4R 2＝(22)2＋(2)2＋(2)2＝8＋2＋2＝12，则R 2＝3，因此外接球的表面积S ＝4πR 2＝12π.【答案】 (1)B (2)12π立体几何中的数学文化题一般以我国古代发现的球的体积公式、圆柱的体积公式、圆锥的体积公式、圆台的体积公式和“牟合方盖”“阳马”“鳖臑”“堑堵”“刍薨”等中国古代几何名词为背景考查空间几何体的三视图、几何体的体积与表面积等． [对点训练]1．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一．”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V ＝112×底面圆的周长的平方×高，由此可推得圆周率π的取值为( )A ．3B ．3.1C ．3.14D ．3.2解析：选A ．设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，由圆柱的体积公式得体积为V ＝πr 2h .由题意知V ＝112×(2πr )2×h ，所以πr 2h ＝112×(2πr )2×h ，解得π＝3.故选A ． 2．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，与题中描绘的器具形状一样(大小不同)的器具的三视图如图所示(单位：寸)．若在某地下雨天时利用该器具接的雨水的深度为6寸，则这一天该地的平均降雨量约为(注：平均降雨量等于器具中积水的体积除以器具口的面积．参考公式：圆台的体积V ＝13πh (R 2＋r 2＋R ·r )，其中R ，r 分别表示上、下底面的半径，h 为高)( )A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸解析：选A ．由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸．因为所接雨水的深度为6寸，所以水面半径为12×(12＋6)＝9(寸)， 则盆中水的体积为13π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)， 所以这一天该地的平均降雨量约为342ππ×122≈2(寸)，故选A ．算法中的数学文化题[典型例题](1)公元三世纪中期，数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并因此创立了割圆术．利用割圆术，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n为(参考数据：sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)()A．12B．24C．36 D．48(2)我国古代的劳动人民曾创造了灿烂的中华文明，戍边的官兵通过在烽火台上举火向国内报告，烽火台上点火表示数字1，不点火表示数字0，这蕴含了进位制的思想．图中的程序框图的算法思路就源于我国古代戍边官兵的“烽火传信”．执行该程序框图，若输入a＝110011，k＝2，n＝7，则输出的b＝()A．19 B．31C．51 D．63【解析】(1)按照程序框图执行，n＝6，S＝3sin 60°＝332，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝12，S＝6sin 30°＝3，不满足条件S≥3.10，执行循环；n＝24，S＝12sin 15°≈12×0.258 8＝3.105 6，满足条件S≥3.10，跳出循环，输出n的值为24，故选B．(2)按照程序框图执行，b依次为0，1，3，3，3，19，51，当b＝51时，i＝i＋1＝7，跳出循环，故输出b＝51.故选C．【答案】(1)B(2)C辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制和割圆术都是课本上出现的算法案例．其中，更相减损术和秦九韶算法是中国古代的优秀算法，课本上的进位制案例原本不渗透中国古代数学文化，但命题人巧妙地将烽火戍边的故事作为背景，强化了试题的“文化育人”功能．[对点训练]《九章算术》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”翻译为现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数．若是，用2约简；若不是，执行第二步；第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数．继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．现给出“更相减损术”的程序框图如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为()A．3 B．6C．7 D．30解析：选C．a＝114，b＝30，k＝1，n＝0，a，b都是偶数，a＝57，b＝15，k＝2，a，b 不满足都为偶数，a＝b不成立，a>b成立，a＝57－15＝42，n＝0＋1＝1；a＝b不成立，a>b 成立，a＝42－15＝27，n＝1＋1＝2；a＝b不成立，a>b成立，a＝27－15＝12，n＝2＋1＝3；a＝b不成立，a>b不成立，a＝15，b＝12，a＝15－12＝3，n＝3＋1＝4；a＝b不成立，a>b不成立，a ＝12，b ＝3，a ＝12－3＝9，n ＝4＋1＝5；a ＝b 不成立，a >b 成立，a ＝9－3＝6，n ＝5＋1＝6；a ＝b 不成立，a >b 成立，a ＝6－3＝3，n ＝6＋1＝7；a ＝b 成立，输出的kb ＝6，n ＝7.概率中的数学文化题[典型例题](1)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，田忌获胜的概率是( )A ．13B ．14C ．15D ．16(2)太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被函数y ＝3sin π6x 的图象分割为两个对称的鱼形图案，如图所示，其中小圆的半径均为1，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A ．136B ．118C ．112D ．19【解析】 (1)从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，对阵情况如下表：齐王的马 上 上 上 中 中 中 下 下 下 田忌的马上中下上中下上中下双方马的对阵中，有3种对抗情况田忌能赢，所以田忌获胜的概率P ＝39＝13.故选A ．(2)函数y ＝3sin π6x 的图象与x 轴相交于点(6，0)和点(－6，0)，则大圆的半径为6，面积为36π，而小圆的半径为1，两个小圆的面积和为2π，所以所求的概率是2π36π＝118.故选B ．【答案】 (1)A (2)B(1)本例(1)选取田忌赛马这一为人熟知的故事作为背景，考查了古典概型，趣味性很强，利于缓解考生在考场的紧张心理，体现了对考生的人文关怀．(2)本例(2)以中国优秀传统文化太极图为背景，考查几何概型，角度新颖，所给图形有利于考生分析问题和解决问题，给出了如何将抽象的数学问题形象化的范例．[对点训练]1．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中做出了重大贡献．哥德巴赫猜想是“任一大于2的偶数都可写成两个质数的和”，如32＝13＋19.在不超过32的质数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A ．111B ．211C ．355D ．455解析：选C ．不超过32的质数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，共11个，随机选取两个不同的数，共有C 211＝55种不同的选法，因为7＋23＝11＋19＝13＋17＝30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种选法，所以概率为355，故选C ．2．(2019·广州市综合检测(一))刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内投放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(a ，b ∈N *，b <a )，则圆周率的近似值为( )A ．b aB ．a bC ．3a bD ．3b a解析：选C ．依题意可得360°12＝30°，则正十二边形的面积为12×12×2×2×sin 30°＝12.又圆的半径为2，所以圆的面积为4π，现向圆内随机投放a 粒豆子，有b 粒豆子落在正十二边形内，根据几何概型可得124π＝b a ，则π＝3ab，选C ．一、选择题1．“干支纪年法”是中国自古以来就一直使用的纪年方法．干支是天干和地支的总称．天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥为地支．如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年．则2049年为农历( )A ．己亥年B ．己巳年C ．己卯年D ．戊辰年解析：选B ．法一：由公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，公元1986年为农历丙寅年，可知以公元纪年的尾数在天干中找出对应该尾数的天干，再将公元纪年除以12，用除不尽的余数在地支中查出对应该余数的地支，这样就得到了公元纪年的干支纪年.2049年对应的天干为“己”，因其除以12的余数为9，所以2049年对应的地支为“巳”，故2049年为农历己巳年．故选B ．法二：易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干，则2 049－3＝2 046，2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”．(年份－3)除以12所得的余数对应地支，则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6，即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年．故选B ．2．北宋数学家沈括的主要成就之一为隙积术，所谓隙积，即“积之有隙”者，如累棋、层坛之类，这种长方台形状的物体垛积．设隙积共n 层，上底由a ×b 个物体组成，以下各层的长、宽依次增加一个物体，最下层(即下底)由c ×d 个物体组成，沈括给出求隙积中物体总数的公式为s ＝n 6[(2a ＋c )b ＋(2c ＋a )d ]＋n6(c －a )，其中a 是上底长，b 是上底宽，c 是下底长，d 是下底宽，n 为层数．已知由若干个相同小球粘黏组成的隙积的三视图如图所示，则该隙积中所有小球的个数为( )A ．83B ．84C ．85D ．86解析：选C ．由三视图知，n ＝5，a ＝3，b ＝1，c ＝7，d ＝5，代入公式s ＝n6[(2a ＋c )b ＋(2c＋a )d ]＋n6(c －a )得s ＝85，故选C ．3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其意思为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，走了六天后(第六天刚好用完)到达目的地．”若将此问题改为“第6天到达目的地”，则此人第二天至少走了( )A ．96里B ．48里C ．72里D ．24里解析：选A ．根据题意知，此人每天行走的路程构成了公比为12的等比数列．设第一天走a 1里，则第二天走a 2＝12a 1(里)．易知a 1[1－⎝⎛⎭⎫126]1－12≥378，则a 1≥192.则第二天至少走96里．故选A ．4．《数术记遗》相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算、计数共14种计算方法．某研究性学习小组3人分工搜集整理该14种计算方法的相关资料，其中一人4种，其余两人每人5种，则不同的分配方法种数是( )A ．C 414C 510C 55A 33A 22B ．C 414C 510C 55A 22C 55A 33 C ．C 414C 510C 55A 22D ．C 414C 510C 55解析：选A ．先将14种计算方法分为三组，方法有C 414C 510C 55A 22种，再分配给3个人，方法有C 414C 510C 55A 22×A 33种．故选A ． 5．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷(ɡuǐ)长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度)．二十四个节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．若冬至晷长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则夏至之后的那个节气(小暑)晷长是( )A ．五寸B ．二尺五寸C ．三尺五寸D ．四尺五寸解析：选B ．设从夏至到冬至的晷长依次构成等差数列{a n }，公差为d ，a 1＝15，a 13＝135，则15＋12d ＝135，解得d ＝10.所以a 2＝15＋10＝25，所以小暑的晷长是25寸．故选B ．6．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其意思为：“已知直角三角形两直角边长分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现从该三角形内随机取一点，则此点取自内切圆的概率是( )A ．π15B ．2π5C ．2π15D ．4π15解析：选C ．因为该直角三角形两直角边长分别为5步和12步，所以其斜边长为13步，设其内切圆的半径为r ，则12×5×12＝12(5＋12＋13)r ，解得r ＝2.由几何概型的概率公式，得此点取自内切圆内的概率P ＝4π12×5×12＝2π15.故选C ．7．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( )A ．33B ．34C ．36D ．35解析：选B ．由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B ．8．《九章算术》中有如下问题：“今有卖牛二、羊五，以买一十三豕，有余钱一千；卖牛三、豕三，以买九羊，钱适足；卖六羊、八豕，以买五牛，钱不足六百，问牛、羊、豕价各几何？”依上文，设牛、羊、豕每头价格分别为x 元、y 元、z 元，设计如图所示的程序框图，则输出的x ，y ，z 的值分别是( )A ．1 3009，600，1 1203B ．1 200，500，300C ．1 100，400，600D ．300，500，1 200解析：选B ．根据程序框图得：①y ＝300，z ＝4603，x ＝6 4009，i ＝1，满足i <3；②y ＝400，z ＝6803，x ＝8 6009，i ＝2，满足i <3；③y ＝500，z ＝300，x ＝1 200，i ＝3，不满足i <3； 故输出的x ＝1 200，y ＝500，z ＝300.故选B ．9．(2019·洛阳市统考)如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形(阴影)，设直角三角形有一个内角为30°，若向弦图内随机抛掷200颗米粒(大小忽略不计，取3≈1.732)，则落在小正方形(阴影)内的米粒数大约为( )A ．20B ．27C ．54D ．64解析：选B ．设大正方形的边长为2，则小正方形的边长为3－1，所以向弦图内随机投掷一颗米粒，落入小正方形(阴影)内的概率为(3－1)24＝1－32，向弦图内随机抛掷200颗米粒，落入小正方形(阴影)内的米粒数大约为200×(1－32)≈27，故选B ． 10．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈7264L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A ．227B ．258C ．15750D ．355113解析：选A ．依题意，设圆锥的底面半径为r ，则V ＝13πr 2h ≈7264L 2h ＝7264(2πr )2h ，化简得π≈227.故选A ．11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为( )A ．392B ．752C ．39D ．6018解析：选B ．设下底面的长为x ⎝⎛⎭⎫92≤x <9，则下底面的宽为18－2x 2＝9－x .由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V ＝16×3×[(3×2＋x )×2＋(2x ＋3)(9－x )]＝－x 2＋17x 2＋392，故当x ＝92时，体积取得最大值，最大值为－⎝⎛⎭⎫922＋92×172＋392＝752.故选B ．12．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，如图所示，鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且BD ⊥CD ，AB ＝BD ＝CD ，点P 在棱AC 上运动，设CP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f (x )，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )解析：选A ．如图，作PQ ⊥BC 于Q ，作QR ⊥BD 于R ，连接PR ，则PQ ∥AB ，QR ∥CD .因为PQ ⊥BD ，又PQ ∩QR ＝Q ，所以BD ⊥平面PQR ，所以BD ⊥PR ，即PR 为△PBD 中BD 边上的高．设AB ＝BD ＝CD ＝1，则CP AC ＝x 3＝PQ 1，即PQ ＝x3，又QR 1＝BQ BC ＝APAC ＝3－x 3，所以QR ＝3－x 3， 所以PR ＝PQ 2＋QR 2＝⎝⎛⎭⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－x 32＝332x 2－23x ＋3， 所以f (x )＝362x 2－23x ＋3＝66⎝⎛⎭⎫x －322＋34，故选A ．二、填空题13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n ，3)＝12n 2＋12n ；正方形数 N (n ，4)＝n 2； 五边形数 N (n ，5)＝32n 2－12n ；六边形数 N (n ，6)＝2n 2－n ； ……可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10，24)＝________． 解析：易知n 2前的系数为12(k －2)，而n 前的系数为12(4－k )．则N (n ，k )＝12(k －2)n 2＋12(4－k )n ，故N (10，24)＝12×(24－2)×102＋12×(4－24)×10＝1 000.答案：1 00014. (2019·湖南师大附中模拟)庄子说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话描述的是一个数列问题，现用程序框图描述，如图所示，若输入某个正整数n 后，输出的S ∈⎝⎛⎭⎫1516，6364，则输入的n 的值为________．解析：框图中首先给累加变量S 赋值0，给循环变量k 赋值1， 输入n 的值后，执行循环体，S ＝12，k ＝1＋1＝2.若2>n 不成立，执行循环体，S ＝34，k ＝2＋1＝3.若3>n 不成立，执行循环体，S ＝78，k ＝3＋1＝4.。
高考数学(理)全国版二轮专题复习第1讲命题有纲——六大核心素养(3课件)
【例 1】 (1)如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等 腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到 4 095 个正方形，设初始正方形的边长为 22，则最小正方形的边长为________.
(2)(2019·西安调研)第 24 届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图 为基础进行设计的.如图所示，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼 成的一个大正方形.如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形 中较大的锐角为 θ，那么 tanθ＋π4＝________.
【例3】 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对照，收获时各随机 抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率散布直方图如下：
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率； (2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
法二 由题意可设 f(x)＝2sinπ2x，作出 f(x)的部分图象如图所示.由图可知，f(x)的一个周 期为 4，所以 f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0 ＋f(1)＋f(2)＝2.
(3)作出单位圆的内接正六边形，如图，OA＝OB＝AB＝1，从而
解析 (1)若m α，n α，m∥n，由线面平行的判定得m∥α，但m α，n α，m∥α， 则m∥n或m与n异面. 故“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件. (2)法一 ∵f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(4＋x)＝ f(x)，∴f(x)是周期函数，且一个周期为4，又f(0)＝0，知f(2)＝f(0)，f(4)＝f(0)＝0，由 f(1)＝2，知f(－1)＝－2，则f(3)＝f(－1)＝－2，从而f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0，故f(1) ＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(50)＝12×0＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2，故选C.
2021届高考数学(文)二轮考前复习学案：第一篇专题8等差数列与等比数列含解析
专题8 等差数列与等比数列1.等差数列必记结论(1)若项数为偶数2n,则S 2n =n(a 1+a 2n )=n(a n +a n+1); S 偶-S 奇=nd;=.(2)若项数为奇数2n-1,则 S 2n-1=(2n-1)a n ; S 奇-S 偶=a n ; =.2.等比数列必记结论(1)a k ,a k+m ,a k+2m ,…仍是等比数列,公比为q m (k,m∈N *).考向一 等差数列基本量的计算【典例】 (2020·全国Ⅱ卷)记S n 为等差数列的前n 项和.若a 1=-2,a 2+a 6=2①,则=________.① 根据基本量列方程② 前n 项和公式求解考向二 等比数列基本量的计算【典例】(2020·全国Ⅰ卷)设{a n }是等比数列,且a 1+a 2+a 3=1,a 2+a 3+a 4=2,则a 6+a 7+a 8=( ) A.12 B.24 C.30 D.321.在公比为的等比数列中,若sin=,则cos的值是A.-B.C.D.2.数列{a n}中,a1=2,a2=1,则+=(n∈N*),则a10等于( )A.-5B.-C.5D.3.若数列{x n}满足lg x n+1=1+lg x n(n∈N+),且x1+x2+x3+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值为A.102B.101C.100D.994.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示,相邻两个节气晷长减少或增加的量相同,周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸,夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺,一尺等于十寸),则说法不正确的是 ( )A.相邻两个节气晷长减少或增加的量为一尺B.春分和秋分两个节气的晷长相同(2)若数列{a n}的项数为2n,则=q;(3)若项数为2n+1,则=q.1.数列中的方程思想无论是等差数列中的a1,n,d,a n,S n,还是等比数列中的a1,n,q,a n,S n,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求关键量a1和d(q),问题可迎刃而解2.数列中的函数思想数列是一种特殊C.立冬的晷长为一丈五寸D.立春的晷长比立秋的晷长短5.数列满足:a n+1=λa n-1,若数列是等比数列,则λ的值是( )A.1B.2C.D.-16.等比数列{a n}中,a1=2,a8=4,函数f(x)=x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8),则f′(0)= A.26 B.29 C.212 D.2157.已知数阵中,每行的三个数依次成等比数列,每列的三个数也依次成等比数列,若a22=2,则该数阵中九个数的积为A.36B.256C.512D.1 0248.已知数列{a n}是等比数列,数列{b n}是等差数列,若a1·a6·a11=-3,b1+b6+b11=7π,则tan的值是A.1B.C.-D.-的函数,在研究数列问题时,既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.1.弄错首项致错如T10中,数列{b n}的首项为b1,不是.2.忽略数列与函数的区别致错如T13一定要注意自变量n是正整数.3.忽略题目中的隐含条件而致错如T11要注意b2的符号已经确定,且b2<0,忽视了这一隐含条件,就容易出现错误.9.已知每项均大于零的数列中,首项a1=1且前n项和S n满足S n-S n-1=2(n∈N*且n≥2),则a81=A.641B.640C.639D.63810.若数列满足:++…+=2n,则数列的前n项和S n为A.2n+1B.2n-4C.2n+2-2D.2n+2-411.已知数列-1,a1,a2,-4成等差数列,-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,则=______12.已知数列满足a1=2,-=2,若b n=,则数列的前n项和S n=________.13.已知数列满足a1=1,a n=l o c n(n≥2),当n≥2时,b n=n,且点是直线y=x+1上的点,则数列的通项公式为________;令y=a1·a2·a3·…·a k,则当k在区间[1,2019]内时,使y的值为正整数的所有k值之和为________.专题8 等差数列与等比数列///真题再研析·提升审题力///考向一【解析】设等差数列的公差为d.因为是等差数列,且a 1=-2,a2+a6=2,根据等差数列通项公式:a n=a1+d,可得a1+d+a1+5d=2,即-2+d++5d=2,整理可得:6d=6,解得:d=1.根据等差数列前n项和公式:S n=na1+d,n∈N*,可得:S10=10×+=-20+45=25,所以S10=25. 答案:25考向二D 设等比数列的公比为q,则a 1+a2+a3=a1=1,a 2+a3+a4=a1q+a1q2+a1q3=a1q=q=2,因此,a 6+a7+a8=a1q5+a1q6+a1q7=a1q5=q5=32.///高考演兵场·检验考试力///1.B 由等比数列的通项公式可知:a2a5=(a1a4)q2=2(a1a4),cos= 1-2sin2(a 1a4)=1-2×=.2.D 因为+=(n∈N*),所以是等差数列,又因为a1=2,a2=1,所以=,-=,所以是首项为,公差为的等差数列,所以=,a n=,所以a10=.3.A 由lg x n+1=1+lg x n,得=10,所以数列是公比为10的等比数列,又x101=x1·q100,x102=x2·q100,…,x200=x100·q100,所以x101+x102+…+x200=q100(x1+x2+…+x100)=10100·100=10102,所以lg=102.4.D 由题意可知夏至到冬至的晷长构成等差数列{a n},其中a1=15寸,a13=135寸,公差为d寸,则135=15+12d,解得d=10(寸),同理可知由冬至到夏至的晷长构成等差数列{b n},其中b1=135,b13=15,公差d=-10(单位都为寸).故选项A正确;因为春分的晷长为b7,所以b7=b1+6d=135-60=75,因为秋分的晷长为a7,所以a7=a1+6d=15+60=75,所以B正确;因为立冬的晷长为a10,所以a10=a1+9d=15+90=105,即立冬的晷长为一丈五寸,C正确;因为立春的晷长,立秋的晷长分别为b4,a4,所以a4=a1+3d=15+30=45,b4=b1+3d=135-30=105,所以b4>a4,故D错误.故选D.5.B 数列为等比数列⇒==q,即:λa n-2=qa n-q,由上式恒成立,可知:⇒λ=2.6.Cf′(x)=[x(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′=x′[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+x[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′=[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]+x[(x-a1)(x-a2)·…·(x-a8)]′,所以f′(0)=a1a2 (8)又a1a8=a2a7=a3a6=a4a5,所以f′(0)=(a1a8)4=84=212,故选C.7.C 依题意可得a 11a13=,a21a23=,a31a33=,a12a32=,因为a22=2,所以a11a12a13a21a22a23a31a32a33=(a 11a13)a12(a21a23)a22(a31a33)a32===29=512.8.D 在等差数列{b n}中,由b1+b6+b11=7π,得3b6=7π,b6=,所以b3+b9=2b6=,在等比数列{a n}中,由a1a6a11=-3,得=-3,a6=-,所以1-a 4a8=1-=1-(-)2=-2,则tan=tan=tan=tan=-.9.B 因为S n-S n-1=2,所以-=2,即{}为等差数列,首项为1,公差为2,所以=1+2(n-1)=2n-1所以S n=(2n-1)2,因此a81=S81-S80=1612-1592=640.10.D 对任意的n∈N*,++…+=2n.当n=1时,=2,可得b1=4;当n≥2时,由++…++=2n,可得++…+=2,两式相减得=2,所以b n=2n+1.又b 1=4符合b n=2n+1,所以b n=2n+1,所以==2,所以,数列为等比数列,且公比为2,首项b 1=4,因此,S n==2n+2-4.11.【解析】因为-1,a1,a2,-4成等差数列,设公差为d,则a 2-a1=d=[(-4)-(-1)]=-1,因为-1,b1,b2,b3,-4成等比数列,所以=(-1)×(-4)=4,所以b2=±2.若设公比为q,则b2=(-1)q2,所以b2<0.所以b2=-2,所以==.答案:12.【解析】由题意知为公差是2的等差数列,所以=+(n-1)×2=2n,所以a n=2n2,所以b n=22n,所以S n==.答案:13.【解析】因为当n≥2时,b n=n,且点是直线y=x+1上的点,所以当n≥2时,有a n=log n(n+1)(n≥2),所以a n=所以y=1×log23×log34×…×log k(k+1)=1×××…×==log2(k+1),令log2(k+1)=m得k+1=2m,所以k=2m-1,所以当k在[1,2 019]内时,即1≤2m-1≤2 019,得1≤m≤10,m∈N*,所以使y的值为正整数的所有k值之和为++…+=-10=-10=2 036.答案:a n= 2 036关闭Word文档返回原板块。
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第1讲数学文化及核心素养类试题「考情研析」数学文化与数学知识相结合，有效考查考生的阅读理解能力、抽象概括能力、转化与化归能力，既体现了对数学应用性的考查，也体现了我国数学文化的源远流长．高考中多以选择题的形式出现，难度中等.热点考向探究考向1三角函数中的数学文化例1(2020·河北省衡水中学第九次调研考试)我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤(ab)2－⎝⎛⎭⎪⎫a2＋b2－c222.根据此公式，若a cos B＋(b＋3c)cos A＝0，且a2－b2－c2＝2，则△ABC的面积为()A． 2 B．2 2C． 6 D．2 3我国南宋数学家秦九韶发现的“三斜求积术”虽然与海伦公式(S＝p(p－a)(p－b)(p－c)，其中p＝12(a＋b＋c))在形式上不一样，但两者完全等价，它填补了我国传统数学的一项空白．(2020·湖南省长郡中学高三第三次适应性考试)上世纪末河南出土的以鹤的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量“春(秋)分”“夏(冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据(骨笛的弯曲忽略不计)，夏至(或冬至)日光(当日正午太阳光线)与春秋分日光(当日正午太阳光线)的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表：黄赤交角23°41′23°57′24°13′24°28′24°44′正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年A．早于公元前6000年B．公元前2000年到公元元年C．公元前4000年到公元前2000年D．公元前6000年到公元前4000年考向2数列中的数学文化例2(多选)(2020·山东省青岛市高三三模)在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”已知1匹＝4丈，1丈＝10尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为a n ，b n ＝2an ，对于数列{a n }，{b n }，下列选项中正确的为( )A ．b 10＝8b 5B ．{b n }是等比数列C ．a 1b 30＝105D ．a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＝209193本题以传统数学文化为载体考查数列的实际应用问题．解题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，建立等差、等比数列的模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，利用方程思想求解．(2020·福建省宁德市二模)著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”．音乐中使用的乐音在高度上不是任意定的，它们是按照严格的数学方法确定的．我国明代的数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，是第一个利用数学使音律公式化的人．十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如表所示，其中a 1，a 2，…，a 13表示这些半音的频率，它们满足log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a i ＋1a i 12＝1(i ＝1,2，…，12)．若某一半音与D #的频率之比为32，则该半音为( ) 频率 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 a 13 半音CC #DD #EFF #G G #AA #BC (八度)C ．G #D ．A考向3 立体几何中的数学文化例3我国齐梁时代的数学家祖暅提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体．如图，将底面直径都为2b，高皆为a的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且与平面β任意距离d处的平面截这两个几何体，可横截得到S圆及S环两截面．可以证明S圆＝S环总成立．据此，半短轴长为1，半长轴长为3的椭球体的体积是________.依托立体几何，传播数学文化．立体几何是中国古代数学的一个重要研究内容，从中国古代数学中挖掘素材，考查立体几何的线面的位置关系、几何体的体积等知识，既符合考生的认知水平，又可以引导学生关注中华优秀传统文化．(2020·山东省潍坊市模拟)唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为143πR2.设酒杯上部分(圆柱)的体积为V1，下部分(半球)的体积为V2，则V1V2＝()A．2 B．3 2C．1 D．3 4考向4概率中的数学文化例4(2020·河北省张家口高三5月模拟)角谷猜想，也叫3n＋1猜想，是由日本数学家角谷静夫发现的，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2，如此循环最终都能够得到1.如：取n＝6，根据上述过程，得出6,3,10,5,16,8,4,2,1，共9个数．若n＝5，从根据上述过程得出的整数中，随机选取两个不同的数，则这两个数都是偶数的概率为()A．37B．715C．25D．35数学文化渗透到概率数学中去，不但丰富了数学的概率知识，还提高了学生的文化素养．解决此类问题的关键是构建合理的概率模型，利用相应的概率计算公式求解．(2020·河南省六市高三一模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明的重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()A．12B．13C．14D．15考向5数学文化与现代科学例52016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议，正式开始实施．如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③c1a1<c2a2；④c1a2>a1c2.其中正确式子的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④．(1)命题者抓住“嫦娥奔月”这个古老而又现代的浪漫话题，以探测卫星轨道为背景，抽象出共一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆的几何性质，并以加减乘除的方式构造两个等式和两个不等式，考查椭圆的几何性质，可谓匠心独运．(2)注意到椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ共一个顶点P和一个焦点F，题目所给四个式子涉及长半轴长和半焦距，从焦距入手，这是求解的关键，本题对考生的数学能力进行了比较全面的考查，是一道名副其实的小中见大、常中见新、蕴文化于现代科学技术应用之中的好题．(2020·北京市东城区模拟)标准对数远视力表(如图)采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”边长的1010倍，若视力4.1的视标边长为a，则视力4.9的视标边长为()A．104 5aB．109 10aC．D．真题押题『真题检验』1．(2020·新高考卷Ⅰ) 日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20°B．40°C．50°D．90°2．(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699块B．3474块C．3402块D．3339块3. (2019·全国卷Ⅱ)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1)．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面，其棱长为________.『押题』。