第四章贪婪法

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算法的时间复杂性为 O(nlogn) 下面来证明使用此贪心算法所得到的贪 心解是一个最优解.证明的基本思想是: 心解是一个最优解.证明的基本思想是: 把这个贪心解与任一个最优解相比较, 把这个贪心解与任一个最优解相比较,如 果这两个解不同, 果这两个解不同,就去找开始不同的第一 然后设法用贪心解的这个x 个xi,然后设法用贪心解的这个 i去代换 最优解的那个x 最优解的那个 i,并证明在分量作了代换
算法设计的基本方法
穷举法
例:用穷举法求解货郎担问题.这里我们 用穷举法求解货郎担问题. 假设任两个城市间的来去距离不同. 假设任两个城市间的来去距离不同.城市 编号为1, , , .如果设1为始发城市 为始发城市, 编号为 ,2,,n.如果设 为始发城市, 则其所有的路线就对应于2, , , 的 则其所有的路线就对应于 ,3,,n的 排列.所以(n-1)!种排列分别对应 种排列分别对应(n-1)!条 排列.所以 种排列分别对应 条 路线.穷举法是列举每条路线, 路线.穷举法是列举每条路线,从中选出 最优路线. 最优路线.
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贪心法不一定能产生正确的答案. 贪心法不一定能产生正确的答案. 例如,若引进一个1角 分的硬币 分的硬币, 例如,若引进一个 角1分的硬币,设从如 下集合{1,1,2,2,2,5,10,10,11,11}中数出 分, 中数出25分 下集合 中数出 按贪心法, 个硬币 但最优解仅为3个 个硬币. 按贪心法,共4个硬币.但最优解仅为 个 硬币. 硬币. 这说明贪心法得到的解只是一个可行解. 这说明贪心法得到的解只是一个可行解.
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n=3, M=20 , (v1, v2, v3) =(25,24,15) (w1 , w2 , w3)=(18,15,10) 1)按效益值非增次序将物品依次放入 按效益值非增次序将物品依次放入 背包 (x1,x2,x3) ∑wixi ∑vixi 28.2 (1,2/15,0) 20 2)按物品重量的非降次序将物品依次 按物品重量的非降次序将物品依次 放入背包 (0,2/3,1) 20 31
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货郎担( 二,货郎担(TSP)问题 ) 设售货员要到五个城市去售货, 设售货员要到五个城市去售货,最后 再回到出发的城市. 再回到出发的城市.已知从一个城市 到其他城市的费用, 到其他城市的费用,求总费用最少的 路线
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从不同结点出发: 从不同结点出发:
a 2 3 b 4 1 d
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j是使xj ≠1的最小下标, k是使 yk ≠xk的 最小下标. n=4, M=16 , (v1 , v2, v3 , v4)=(20,12,6,6) (w1, w2,w3,w4)=(10,12,6,6)
X=(1,1/2, 0, 0) Y=(1,1/3,1/6, 1/6) 并且 并且k=2,j=2 代换 Z=(1,1/2, z3, z4)
7 c 3
1)结点a为起点:权为13 )结点 为起点 为起点: 2)结点 为起点: 为起点: )结点b为起点 权为13 或者15 3)结点 为起点:权为13 为起点: )结点c为起点 4)结点 为起点: 为起点: )结点d为起点 权为13
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而实际上图中最短哈密顿 2 a 3 回路的长度为12. 回路的长度为 . b 4 1 d 即abcda
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一,Huffman编码 编码
某通讯系统只使用5种字符a 某通讯系统只使用5种字符a,b,c,d,e, 使用频率分别为0.1 , 0.14 , 0.2 , 0.26 , 0.3 , 使用频率分别为 利用二叉树设计不等长编码: 利用二叉树设计不等长编码: 为叶子的二叉树; 1)构造以 a,b,c,d,e为叶子的二叉树; 将该二叉树所有左分枝标记0 2)将该二叉树所有左分枝标记0,所有右 分枝标记1 分枝标记1; 3)从根到叶子路径上标记作为叶子结点所 对应字符的编码; 对应字符的编码; 证明: 证明:略
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void GreedyKnapsack(int n, float M, float v[], float w[], float x[]) { Sort(n, v, w); //使v1/w1≥v2/w2≥…≥vn/wn 使 for(int i=1; i<=n; i++) x[i]=0; float c=M; for(int i=1; i<=n; i++) { if(w[i]>c) break; x[i]=1; c-=w[i]; } if(i<=n) x[i]=c/w[i]; }
solution ← union(solution,x); } return (solution); }
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函数select的功能是按某种量度标准 的功能是按某种量度标准 函数 中选择一个输入, 从A中选择一个输入, 把它的值赋给 中选择一个输入 x并从 中消去它.feasible是一个布 并从A中消去它 并从 中消去它. 是一个布 尔函数,它判定x是否可以包含在解 尔函数,它判定 是否可以包含在解 向量中, 向量中,union将x与解向量结合并修 将 与解向量结合并修 改目标函数. 改目标函数.
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定义:穷举法是列举每个解, 定义:穷举法是列举每个解,从中选出 最优解. 最优解. 如果列举一个解为一个单位时间, 如果列举一个解为一个单位时间,则货郎 担问题要O(n!)时间. 时间. 担问题要 时间 穷举法是一个精确算法. 穷举法是一个精确算法. 区别:最优算法:不一定能求得最优解. 区别:最优算法:不一定能求得最优解. 精确算法:一定能求得最优解. 精确算法:一定能求得最优解.
i =1 i =1 i =1 i =1 n k k j
下面改造Y成为新解Z = ( z1 ,..., zn ),并使Z仍为最优解.将 yk增加到xk,从( yk +1 ,..., yn )中减同样的重量使总量仍是c.即, zi = xi
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i = 1,2,..., k; 和
i = k +1
∑w y
i
n
i
wk ( z k yk ) =
i = k +1
∑w z
n
i i
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j是使xj ≠1的最小下标, k是使 yk ≠xk的 最小下标.
(1) X=(1,1,1/2, 0) Y=(1,1,2/3,1/3) j=3,k=3,所以 所以k=j,并且 3>x3 并且y 所以 并且 (2) X=(1,1,1/2, 0) Y=(1,1,1/2,1/2) j=3,k=4,所以 所以k>j,并且 4>x4 并且y 所以 并且 从而证明了y 并且k<=j 从而证明了 k<xk ,并且
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Case1 : 所有xi = 1. 显然该解就是最优解. Case2 : 设X = (1,...,1, x j ,0,...,0) x j ≠ 1, 1 ≤ j ≤ n. X就是最优 下证 解.设问题的最优解Y = ( y1 ,..., yn ), 则存在k使得yk ≠ xk的最小 下标(否则Y = X, 得证). 首先, 可以证明yk < xk. (反证:若yk > xk , 则xk ≠ 1, ∴ k ≥ j ∑ wi yi ≥ ∑ wi yi > ∑ wi xi = ∑ wi xi = c ∴Y不是可行解, 矛盾)
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5种字符a,b,c,d,e,使用频率分别 种字符a 为0.1 , 0.14 , 0.2 , 0.26 , 0.3
a: c: e: 000 01 11 b: 001 d: 10
c a b
d
e
30000-(1000+1400)*3 30000-(2000+2600+3000)*2 =7600
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对于这一类需求最优解的问题, 对于这一类需求最优解的问题,又可根据 约束条件和目标函数的数学模型的特性或 求解问题方法的不同进而细分为线性规划, 求解问题方法的不同进而细分为线性规划, 整数规划,非线性规划和动态规划等问题. 整数规划,非线性规划和动态规划等问题. 贪心法是一种改进了的分级处理方法. 贪心法是一种改进了的分级处理方法.它 首先根据题意,选取一种量度标准, 首先根据题意,选取一种量度标准,然后 将这n个输入排成这种量度标准所要求的 将这 个输入排成这种量度标准所要求的 顺序,按这种顺序一次输入一个量. 顺序,按这种顺序一次输入一个量.
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之后其总效益与代换之前无任何损失. 之后其总效益与代换之前无任何损失.反 复进行这种代换, 复进行这种代换,直到新产生的最优解与 贪心解完全一样, 贪心解完全一样,从而证明了贪心解是最 优解. 优解. 定理:如果v 定理:如果 1 /w1 ≥ v2/w2 ≥ ≥ vn/wn , 则此算法对于给定的背包问题实例生成一 个最优解. 个最优解.
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如果这个输入和当前已构成在这种量 度意义下的部分最优解加在一起不能 产生一个可行解, 产生一个可行解,则不把此输入加到 这部分解中. 这部分解中.这种能够得到某种量度 意义下的分级处理方法称为贪心法 贪心法. 意义下的分级处理方法称为贪心法.
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贪心法的抽象算法 { solution ← Φ;/将解向量 将解向量solution初始化 初始化/ 将解向量 初始化 for (i=1; i,<=n; i++ ) { x ← select(A); if (feasible(solution,x) )
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有一类这样的问题,它有 个输入 个输入, 有一类这样的问题,它有n个输入, 而它的解由这n个输入的某个子集组 而它的解由这 个输入的某个子集组 可行解), ),只是这个子集必须满 成(可行解),只是这件). 为了衡量可行解的优劣事先也给出一 定的标准(目标函数). ).那些使目标 定的标准(目标函数).那些使目标 函数取极值(极大或极小)的可行解, 函数取极值(极大或极小)的可行解, 称为最优解 最优解. 称为最优解.