浙江省杭州市2013届高三上学期期中七校联考数学(文)试题

2012学年第一学期期中杭州地区七校联考高三年级数学(文科)学科试题考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。

一．选择题（本大题共10 小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}{}x y y N x y x M 2,1==-==，则NM =（ ）A . ]1,0(B . ]1,(-∞C .),0[+∞D .]1,0[2．“x y =”是“x y =”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．在等差数列{}n a 中，22a =，3104,a a =则＝ （ ）A ．12B ．14C ．16D ．184．已知21lo g,)21(,)21(25.12===c b a ，则（ ）A .c a b >>B .c b a >>C .a c b >>D .b c a >> 5．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1α，则使函数αx y =的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为 （ ）A ． 1,3B ．1-,1C ．1-,3D ．1-,1,36．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则1[()]4f f 的值为（ ） A ．9 B ．9- C ．91 D ． 91- 7．函数22c o s y x =的一个单调增区间是（ ）A ．ππ44⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．π3π44⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭，8．在20,ABC AB BC AB ABC ∆⋅+=∆ 中，若则是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D . 等腰直角三角形9．已知函数)0,)(4sin()(>∈+=ωπωR x x x f 的最小正周期为π，将)(x f y =的图像向左平移||ϕ个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的一个值是（ ）A ．2π B ．83π C ．4π D ．8π10．已知1b a >>，若ln a a t =+，则ln b 与b t +的大小关系是 （ ） A ．ln b b t >+ B ．ln b b t =+ C ．ln b b t <+ D ．大小关系不能确定二．填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)11．cos600=；12．已知定义域为)1,(-a b 的函数b x a ax x f +-+=)2()(2是偶函数，则=+b a ；13．等比数列{n a }的公比0q >, 已知12=a ，2010201120126a a a =+，则{n a }的前4项和=4S ；14．若31)4sin(-=+πθ且),43(ππθ∈，则=θ2cos ；15．过原点作曲线xe y =的切线，则切线方程为 ；16．已知函数()2f x x x a x =-+-在R 上恒为增函数，则实数a 的取值范围是 ；17．已知,13=，4,3=⋅=⋅，则对于任意1t 、R t ∈2，当t t 1--取最小值时，函数)20(cos sin )(21π≤≤+=x x t x t x f 的值域是 ；三、解答题(本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)设函数)21)(32lg()(--=x x x f 的定义域为集合A ，函数()g x =0>a ）的定义域为集合B ，（1）当1=a 时，求集合B A ；（2）若B B A = ，求实数a 的取值范围。

19．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足22265b c a bc +=+，3AB AC ⋅= ．（1）求ABC ∆的面积； （2）若1c =，求cos()6B π+的值。

20．(本小题满分14分)已知两个不共线的向量,满足))(sin ,(cos ),3,1(R ∈==θθθ， （1）若b a -2与b a 7-垂直，求向量a 与b 的夹角；（2）当]2[0,πθ∈时，若存在两个不同的θ=+成立，求正数m 的取值范围。

21．(本小题满分15分)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1n n S a λ=-（122λ≤≤且1λ≠，n N *∈）。

（1）试判断数列{}n a 是否为等比数列，若不是，说明理由；若是，求数列{}n a 的公比()f λ的取值范围；（2）当2λ=时，数列{}n b 满足)(*1N n b a b n n n ∈+=+且31=b ，若不等式t n b n +<-22163)2(log 对任意*N n ∈恒成立，求实数t 的取值范围。

22．(本小题满分15分)设函数a x a e a x x f x+-+-=)1()()(，R a ∈。

（1）当1=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）（i ）设)(x g 是)(x f 的导函数，证明：当2>a 时，在),0(+∞上恰有一个0x 使得0)(0=x g ； （ii ）求实数a 的取值范围，使得对任意的[]2,0∈x ，恒有0)(≤x f 成立。

注：e 为自然对数的底数。

2012学年第一学期期中杭州地区七校联考高三年级数学（文科）学科参考答案一、选择题：1．A 2．B 3．D 4．B 5．A 6．C 7．D 8．C 9．D 10．C 二、填空题： 11．21-12．1 13．152 14．924 15．ex y = 16．[]1,1- 17．[]5,3三、解答题：18．(本题满分14分)（1）由函数)21)(32lg()(--=x x x f 有意义，得：0)21)(32(>--x x ，---------------------2分即21<x 或23>x ，所以),23()21,(+∞-∞= A ，-----------------------------------------------3分 当1=a 时，函数34)(2-+-=x x x g 有意义，得：0342≥-+-x x ，---------------5分即0342≤+-x x ，31≤≤∴x ，{}31≤≤=∴x x B ，--------------------------------------6分⎥⎦⎤⎝⎛=∴3,23B A ----------------------------------------------------------------------------------------7分（2）由函数()g x =0>a ）有意义得22430x ax a -+-≥，即0)3)((≤--a x a x ，0>a ，a x a 3≤≤∴，∴[]a a B 3,=，--------------------------9分 若B B A = ，则A B ⊆，-----------------------------------------------------------------------------11分∴⎪⎩⎪⎨⎧<>2130a a 或23>a ，---------------------------------------------------------------------------13分∴ 得610<<a 或23>a ，即),23()61,0(+∞∈ a ---------------------------------------14分 19．(本题满分14分)解：（1） 22265b c a bc +=+,bc a c b 56222=-+∴,532cos 222=-+=bc a c b A ------------------2分又),0(π∈A ，∴54cos 1sin 2=-=A A ，-------------------------------------------------------------3分而353cos ==⋅=⋅bc A AC AB ，所以5=bc ，----------------------------------------------5分所以ABC ∆的面积为：254521sin 21=⨯⨯=A bc -------------------------------------------------------7分（2）由（1）知5=bc ，而1=c ，所以5=b ---------------------------------------------------------8分所以5232125cos 222=⨯-+=-+=A bc c b a ----------------------------------------9分222cos 2a c b B ac +-∴==sin B =分11cos()sin (622B B B π∴+=-=-=分 20．(本题满分14分)解：（112==，又0)7()2(=-⋅-，得1=⋅b a ，---------------3分∴21cos ==α ，------------------------------------------5分 又],0[πα∈∴ 的夹角为3π----------------------------------------7分（2）由已知得22)((m =+，即22223a b b m a ++⋅=12==，cos a b θθ⋅= ，∴24)sin 3(cos 327m =++θθ，74)6sin(342-=+∴m πθ---------------------------------------------10分由]2[0,πθ∈得2[,]663πππθ+∈，又θ要有两解，结合三角函数图象可得故347462<-≤m ，----------------------------------------------------12分即43474132+<≤m 又0>m ，)232,213[+∈∴m --------------------------------------------14分 21．(本题满分15分)解：（1）1n =时，1111,a S a λ==-得111a λ=-，---------------------------------------------------1分 2n ≥时，11(1)(1)n n n n n a S S a a λλ--=-=---，11n n a a λλ-∴=-，---------------------3分∴ {}n a 是以11λ-为首项，1λλ-为公比的等比数列，---------------------------4分∴公比1()111f λλλλ==+--在1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭和(]1,2内分别递减，(][)(),12,f λ∴∈-∞-+∞ -------------------------------------------------7分（2）由（1）知， 11()11n n a λλλ-=--，当2λ=时，12n n a -=-------------------8分， ∴112n n n n b b a -+-==，叠加可得221+=-n n b -------------------------------10分由t n b n +<-22163)2(log 对任意*N n ∈恒成立，可得t n n +<-21631对任意*N n ∈恒成立，即m ax 2)1163(-+->n n t ，---------------------------------------------------12分 而2233811()161633n n n -+-=--+∴当3=n 时，165)1163(m ax 2=-+-n n ，-------------------------------------14分∴ 所以165>t --------------------------------------------------------------15分22．(本题满分15分)解：（1）当1a =时，()(1)1,'()xxf x x e f x xe =-+=--------------------------------------2分 当'()0f x <时，0x <；当'()0f x >时，0x >所以函数()f x 的减区间是(,0)-∞；增区间是(0,)+∞-------------------------4分 （2）（ⅰ）()'()(1)(1),'()(2)xxg x f x e x a a g x e x a ==-++-=-+------------------5分 当'()0g x <时，2x a <-；当'()0g x >时，2x a >-因为2a >，所以函数()g x 在(0,2)a -上递减；在(2,)a -+∞上递增-----------------7分又因为(0)0,()10a g g a e a ==+->，所以在(0,)+∞上恰有一个0x 使得0()0g x =.--------------------------------------------------9分（ⅱ）若2≤a ，可得在∈x []2,0时，0)(≥x g ，从而)(x f 在[]2,0内单调递增，而0)0(=f ， 0)0()(=≥∴f x f ，不符题意。