2014高三数学总复习2-8函数与方程、函数模型及其应用 96张(人教A版) 2
2014届高考数学(理科)二轮专题复习权威课件(新课标通用)第5讲函数与方程函数模型及其应用
D.32，52
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第5讲 函数与方程、函数模型及其应用
(2)规定记号“ ”表示一种运算，即：a b＝
a2＋2ab－b2，设函数 f(x)＝x 2.且关于 x 的方程为
命 题 考
f(x)＝lg |x＋2|(x≠－2)恰有四个互不相等的实数根 x1，x2，x3，x4，则 x1＋x2＋x3＋x4 的值是( )
义域内唯一的极大值点也是最大值点，故 x＝ 4.
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第5讲 函数与方程、函数模型及其应用
核 心
—— 体验高考 ——
——主干知识 ——
知 识 聚
[答案] 10x00，20kx00，200－1（5010＋k）x，
焦
其中 x，kx，200－(1＋k)x 均为 1 到 200
之间的正整数
[解析] 完成 A，B，C 三种部件的生
► 考向一 高考中函数与方程的基本问题
考向：函数零点个数的判断、求解函数零点、函数图像交
点、函数零点的应用等．
例 1 (1)已知函数 f(x)＝3x＋x－9 的零点为 x0，则 x0 所在区
命 间为( )
题 考 向
A.－32，－12
B.－12，12
探 究
C.12，32
聚 焦
＝cos x 的 解① 的个数是________．
——主干知识 ——
⇒ 方程的解 关键词：方程、 解、个数，如①.
[答案] 1 [解析] 作出函数 y＝ x和 y＝cos x 的图像可得．
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第5讲 函数与方程、函数模型及其应用
核 心
—— 体验高考 ——
知
识
2．[2012·天津卷改编] 函数 f(x)
产任务需要的时间(单位：天)分别为
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案函数的模型及其应用
第九节 函数的模型及其应用1．函数的实际应用了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．函数的综合应用了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．知识点一 几种常见函数模型函数模型 函数解析式 正比例函数模型 f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0) 一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax α＋b (a ，b 为常数，a ≠0，α≠1)“对号”函数模型 y ＝x ＋ax(a >0)易误提醒1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[自测练习]1．(2015·广州模拟)在某个物理实验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：x 0.50 0.99 2.01 3.98 y－0.990.010.982.00则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2x解析：根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．故选D.答案：D2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )A ．36万件B ．18万件C ．22万件D ．9万件解析：利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值． 答案：B知识点二 三种增长函数的图象与性质在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a >1)，y ＝log a x (a >1)和y ＝x n (n >0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n (n >0)的增长速度，而y ＝log a x (a >1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x 0，使得当x >x 0时，有log a x <x n <a x .[自测练习]3．下列函数中随x 的增大而增大速度最快的是( ) A ．v ＝1100·e xB ．v ＝100ln xC ．v ＝x 100D ．v ＝100×2x解析：只有v ＝1100·e x和v ＝100×2x 是指数函数，并且e>2，所以v ＝1100·e x的增大速度最快，故选A.答案：A考点一 一次、二次函数模型|1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析：依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)， ∴100k ＋20＝100m ， 得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10， 即两种方式电话费相差10元，选A. 答案：A2．经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13 t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )．前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值．解：当1≤t ≤40，t ∈N 时， S (t )＝g (t )f (t )＝⎝⎛⎭⎫－13t ＋1123⎝⎛⎭⎫14t ＋22 ＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 5003，所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝2 5003.当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝⎝⎛⎭⎫－13t ＋1123⎝⎛⎭⎫－12t ＋52＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝1 4912. 所以，S (t )的最大值为2 5003，最小值为8.一次函数与二次函数模型问题求解的三个关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法． (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．考点二 分段函数模型|有一种新型的洗衣液，去污速度特别快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧248－x－1，(0≤x ≤4)，7－12x ， (4<x ≤14).若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．[解] (1)由题意知k ⎝ ⎛⎭⎪⎫248－2－1＝3，∴k ＝1.(2)因为k ＝4，所以y ＝⎩⎨⎧968－x－4，(0≤x ≤4)，28－2x ， (4<x ≤14).当0≤x ≤4时，由968－x－4≥4，解得－4≤x <8，所以0≤x ≤4.当4<x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12，所以4<x ≤12. 综上可知，当y ≥4时，0≤x ≤12，所以只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时间可达12分钟．(3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×⎝⎛⎭⎫7－12×12＋1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤248－(12－10)－1＝5，又5>4，∴在第12分钟还能起到有效去污的作用．分段函数模型问题求解的三个关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．1．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t (小时)的函数表达式是( )A ．x ＝60tB ．x ＝60t ＋50tC ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150－50t (t >3.5)D ．x ＝⎩⎪⎨⎪⎧60t (0≤t ≤2.5)，150(2.5<t ≤3.5)，150－50(t －3.5)(3.5<t ≤6.5)解析：当0≤t ≤2.5时，x ＝60t ；当2.5<t ≤3.5时，x ＝150；当3.5<t ≤6.5时，x ＝150－50(t －3.5)． 答案：D考点三 指数函数模型|已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． [解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 即m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1，∴m ≥2(y －y 2)恒成立， 由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.求解指数函数模型的三个注意点(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，主要有人口增长、银行利率、细胞分裂等问题．(2)应用指数函数模型时，注意先设定模型，再求有关数据． (3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．2．(2015·江苏连云港模拟)把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1，空气温度是θ0，t 分钟后物体的温度θ可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －t ln 32求得，现有60 ℃的物体放在15 ℃的空气中冷却，当物体温度为35 ℃时，冷却时间t ＝________分钟．解析：由已知条件可得35＝15＋(60－15)·e －t ln 32，解得t ＝2.答案：22.利用函数模型求解实际问题【典例】 (12分)已知一家公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－130x 2(0<x ≤10)，108x －1 0003x 2(x >10).(1)写出年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大？(注：年利润＝年销售收入－年总成本)[思路点拨] (1)由R (x )中分段写出W 与x 的解析式． (2)分两段求利润的最大值，比较后得出结论． [规范解答] (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；(2分)当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x ) ＝98－1 0003x－2.7x .(4分)∴W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10(0<x ≤10)，98－1 0003x－2.7x (x >10).(5分)(2)①当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9，可知当x ∈(0,9)时，W ′>0，当x∈(9,10]时，W ′<0，(6分)∴当x ＝9时，W 取极大值，即最大值， 且W max ＝8.1×9－130×93－10＝38.6.(7分)②当x >10时，W ＝98－⎝⎛⎭⎫1 0003x ＋2.7x≤98－21 0003x·2.7x ＝38，(8分) 当且仅当1 0003x ＝2.7x ，即x ＝1009时，W ＝38，(9分)故当x ＝1009时，W 取最大值38(当1 000x 取整数时，W 一定小于38)．(10分)综合①②知，当x ＝9时，W 取最大值，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．(12分)[模板形成]A 组 考点能力演练1．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和其所用的时间x 的函数图象为( )解析：注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.答案：D2．已知某种动物的繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，则到第8年它们将发展到( )A ．200只B ．300只C ．400只D ．500只解析：由题意，繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只，∴100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)，∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A.答案：A3.某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距离地面3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示．则厂门的高约为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )A ．6.9 mB ．7.0 mC ．7.1 mD ．6.8 m解析：建立如图所示的坐标系，于是由题设条件知抛物线的方程为y ＝ax 2(a <0)，设点A 的坐标为(4，－h )，则C (3,3－h )，将这两点的坐标代入y ＝ax 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－h ＝a ·42，3－h ＝a ·32，解得⎩⎨⎧a ＝－37，h ＝487≈6.9，所以厂门的高约为6.9 m. 答案：A4．(2015·青岛模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y 元．要求绩效工资不低于500元，不设上限且让大部分教职工绩效工资在600元左右，另外绩效工资在平均分数左右变化不大，则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500B ．y ＝10x25＋500C ．y ＝11 000(x －50)3＋625D ．y ＝50[10＋lg(2x ＋1)]解析：由题意知，函数单调递增，且先慢后快，在x ＝50左右增长近乎为0且函数值在600左右，最小值为500，A 是先减后增，B 由指数函数知是增长越来越快，D 由对数函数增长速度越来越慢，C 是y ＝x 3的平移和伸缩变换而得，最符合题目要求，故选C.答案：C5．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1、y 2分别是2万元、8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：设仓库到车站的距离为x 千米，由题意得y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，又当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，故k 1＝20，k 2＝45.所以y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x＝45x ，即x ＝5时取等号． 答案：A6．(2015·西宁五中片区四校联考)某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km 后到10 km(含10 km)每走1 km 加价0.5元，10 km 后每走1 km 加价0.8元，某人坐出租车走了12 km ，他应交费________元．解析：本题考查数学知识在实际问题中的应用．某人坐出租车走了12 km ，他应交费6＋0.5×7＋0.8×2＝11.1元．答案：11.17．(2015·北京朝阳统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y (万元)与机器运转时间x (x ∈N *)(年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25，则每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．解析：本题考查应用均值不等式解答实际问题．据已知每台机器的年平均利润关于运转时间x 的函数关系式为g (x )＝f (x )x ＝－x 2＋18x －25x＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ，据均值不等式可得g (x )＝18－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ≤18－2 x ×25x ＝8，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取得等号．答案：5 88．某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．则矩形温室的蔬菜的种植面积最大值是________m 2.解析：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则ab ＝800 m 2.蔬菜的种植面积S ＝(a －4)·(b －2)＝ab －4b －2a ＋8＝808－2(a ＋2b )．∴S ≤808－42ab ＝648(m 2)．当且仅当a ＝2b ，即a ＝40 m ，b ＝20 m 时，S max ＝648 m 2.答案：6489．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x .由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2， 所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)． (2)设投资债券类产品x 万元，则投资股票类产品(20－x )万元．则收益(单位：万元)为y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)． 设t ＝20－x (0≤t ≤25)，则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3， 所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，最大收益为3万元．10．某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p (以上三式中p ，q 均为常数，且q >1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f (0)＝4，f (2)＝6，求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0,5]，其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p ＝4，(2－q )2＝1，又q >1，所以q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)．(3)因为f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)，所以f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令f′(x)<0，得1<x<3.所以函数f(x)在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．B组高考题型专练1．(2015·高考四川卷)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e kx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是() A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时解析：由已知得192＝e b，①48＝e22k＋b＝e22k·e b，②将①代入②得e22k＝14，则e11k＝12，当x＝33时，y＝e33k＋b＝e33k·e b＝⎝⎛⎭⎫123×192＝24，所以该食品在33 ℃的保鲜时间是24小时．故选C.答案：C2．(2013·高考湖北卷)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()解析：小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.答案：C3．(2015·高考浙江卷)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x<y<z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是()A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cxC．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz解析：采用特值法进行求解验证即可，若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13.由此可知最低的总费用是az＋by＋cx.答案：B4．(2015·高考北京卷)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A．6升B．8升C．10升D．12升解析：因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.答案：B5．(2014·高考湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶，单位：米/秒)、平均车长l(单位：米)的值有关，其公式为F＝76 000vv2＋18v＋20l.(1)如果不限定车型，l＝6.05，则最大车流量为________辆/小时；(2)如果限定车型，l＝5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时．解析：(1)当l＝6.05，则F＝76 000vv2＋18v＋121＝76 000v＋18＋121v，由基本不等式v＋121v≥2121＝22，得F≤76 00022＋18＝1 900(辆/小时)，故答案为1 900.(2)l＝5，F＝76 000vv2＋18v＋100＝76 000v＋18＋100v，由基本不等式v＋100v≥2100＝20，得F≤76 00020＋18＝2 000(辆/小时)，增加2 000－1 900＝100(辆/小时)，故答案为100. 答案：(1)1 900(2)100。
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义2.9函数的应用
第9讲函数的应用【2014年高考会这样考】1．考查二次函数模型的建立及最值问题．2．考查分段函数模型的建立及最值问题．3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题．4．合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值.对应学生34考点梳理1．常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝ax＋b(a≠0)；(2)反比例函数模型：y＝kx(k≠0)；(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)指数函数模型：y＝N(1＋p)x(x>0，p≠0)(增长率问题)；(5)对数函数模型y＝b log a x(x>0，a>0且a≠1)；(6)幂函数模型y＝x n；(7)y＝x＋ax型(x≠0)；(8)分段函数型．2．三种函数模型图象与性质比较一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 四个步骤(1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；(2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题；(3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；(4)还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论．考点自测1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了获得最大利润，每个售价应定为( )．A ．95元B ．100元C ．105元D ．110元解析 设定价为(90＋x )元，则每件商品利润为90＋x －80＝(10＋x )(元)，利润y ＝(10＋x )(400－20x )＝20(x ＋10)·(20－x )＝－20(x －5)2＋4 500，当x ＝5时，利润最大，故售价定为95元．答案 A2．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶中的水只有a 8，则m 的值为( )．A ．7B ．8C ．9D ．10解析 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.答案 D3．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再慢慢走余下的路程，图中纵坐标表示离学校的距离s，横坐标表示出发后的时间t，则如图所示的四个图形中较符合该学生走法的是()．解析纵轴表示离学校的距离，排除A，C，开始跑步，后慢慢走，说明函数开始下降较快，后来下降较慢．答案 D4．(2011·湖北)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．解析由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍．答案610 0005．(人教A版教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．解析已知本金为a元，利率为r，则1期后本利和为y＝a＋ar＝a(1＋r)，2期后本利和为y＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2，3期后本利和为y＝a(1＋r)3，…x期后本利和为y＝a(1＋r)x，x∈N*答案y＝a(1＋r)x，x∈N*对应学生35考向一 一次函数、二次函数模型【例1】►据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h)内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．[审题视点] 正确理解s 的意义及函数v ＝f (t )的图象是解答此题的关键，该函数的定义域即风暴发生的时间由函数v ＝f (t )的图象确定，即0≤t ≤35. 解 (1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12，∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 32t 2，t ∈[0，10]，30t －150，t ∈(10，20]，－t 2＋70t －550，t ∈(20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650， t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650.解得t 1＝30，t 2＝40.∵20<t ≤35，∴t ＝30，∴沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．1.在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)．2．当两变量之间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数则可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起，要注意各段变量的范围，特别是端点．【训练1】 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t∈N )．(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系；(2)求日销售额S 的最大值．解 (1)根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2t ＋200)⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N 45(－2t ＋200)，31≤t ≤50，t ∈N＝⎩⎨⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N . (2)①当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400，∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400；②当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数，∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210.∵6 210<6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400. 考向二 指数函数模型【例2】►有一个受到污染的湖泊，其湖水的容积为V m 3，每天流出湖泊的水量等于流入湖泊的水量，都为r m 3.现假设下雨和蒸发正好平衡，且污染物质与湖水能很好地混合．用g (t )表示某一时刻t 每立方米湖水所含污染物质的克数，我们称其为在时刻t 时的湖水污染质量分数．已知目前污染源以每天p克的污染物质污染湖水，湖水污染质量分数满足关系式g (t )＝p r ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r e －r V t (p ≥0)，其中g (0)是湖水污染的初始质量分数．(1)当湖水污染质量分数为常数时，求湖水污染的初始质量分数；(2)求证：当g (0)<p r 时，湖泊的污染程度将越来越严重；(3)如果政府加大治污力度，使得湖泊的所有污染停止，那么需要经过多少天才能使湖水的污染水平下降到开始时(即污染停时)污染水平的5%?[审题视点] 本题信息量大，解析式较繁，需要考生有较强的阅读理解能力和计算能力，同时，对题目的转化尤为重要，(2)中即证明g (t )递增；(3)中转化为解方程即可．(1)解 设0≤t 1<t 2，∴g (t )为常数，∴g (t 1)＝g (t 2)，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫e －r V t 1－e －r V t 2＝0.∴g (0)＝p r .(2)证明 设0<t 1<t 2，则g (t 1)－g (t 2)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·(e －r V t 1－e －r V t 2) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤g (0)－p r ·e r V t 2－e r V t 1e r V (t 1＋t 2). ∵g (0)－p r <0，t 1<t 2，∴g (t 1)<g (t 2)．故湖泊污染质量分数随时间变化而增加，污染越来越严重．(3)解 污染源停止，即p ＝0，此时g (t )＝g (0)·e －r V t .设要经过t 天能使湖水的污染水平下降到开始时污染水平的5%.即g (t )＝5%·g (0)，即有5%·g (0)＝g (0)·e －r V t .由实际意义知g (0)≠0，∴120＝e －r V t .∴t ＝V r ln 20，即需要V r ln 20天时间．1.指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示；2．应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．3．y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．【训练2】某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗有效．求服药一次后治疗有效的时间是多长？解 (1)设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，t >1. 当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4，得a ＝3.则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由y ≥0.25得⎩⎨⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得116≤t ≤5，因此服药一次后治疗有效的时间是5－116＝7916小时． 考向三 函数y ＝x ＋a x模型【例3】►上海某玩具厂生产x 万套世博会吉祥物海宝所需成本费用为P 元，且P ＝1 000＋5x ＋110x 2，x ∈(0,200]，而每万套售出价格为Q 元，其中Q ＝a x ＋b (a >5 000，b >5)．(1)该玩具厂生产多少万套吉祥物时，使得每万套成本费用最低？(2)若产出的吉祥物能全部售出，产量多大时，厂家所获利润最大？[审题视点] 用基本不等式求最值，注意等号成立的条件．解 (1)P x ＝1 000＋5x ＋110x 2x ＝1 000x ＋x 10＋5≥25(当且仅当x ＝100时，取等号)，∴生产100万套时，每万套成本费用最低．(2)由题设，利润f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b x －(1 000＋5x ＋110x 2)＝－110x 2＋(b －5)x ＋a －1 000＝－110[x －5(b －5)]2＋a －1 000＋52(b －5)2，x ∈(0,200]．当5(b －5)≤200，即5<b ≤45时，[f (x )]max ＝f [5(b －5)]＝52(b －5)2＋a －1 000，∴当产量为(5b －25)万套时，利润最大．当b >45时，函数f (x )在(0,200]上是增函数，∴当产量为200万套时，[f (x )]max ＝200b ＋a －6 000.对于y ＝x ＋a x (a >0)类型的函数最值问题，特别要注意定义域问题，可考虑用均值不等式求最值，或利用函数的单调性求最值．【训练3】 (2010·湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝k3x＋5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k的值及f(x)的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．解(1)由已知条件C(0)＝8，则k＝40，因此f(x)＝6x＋20C(x)＝6x＋8003x＋5(0≤x≤10)．(2)f(x)＝6x＋10＋8003x＋5－10≥2 (6x＋10)8003x＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x＋10＝8003x＋5即x＝5时等号成立．所以当隔热层为 5 cm时，总费用f(x)达到最小值，最小值为70万元．对应学生36规范解答2——函数建模及函数应用问题【命题研究】从近三年的高考试题来看，建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力．预测2014年高考仍将以函数建模为主要考点，同时考查利用导数求最值问题．【真题探究】►(本小题满分12分)(2011·江苏)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[教你审题] 解决本题的关键是根据条件将侧面积和容积表示成x 的函数，然后根据二次函数的最值求法和导数法求解．[规范解答] 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )(0<x <30)．(2分) (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，(4分)所以当x ＝15时，S 取得最大值．(6分)(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，(8分)V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.(9分)当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．(11分)此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.(12分)[阅卷老师手记] (1)在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，但应注意结果与实际情况相符合． (2)用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在开区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．解函数应用题的一般程序是：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文学语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学解，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．【试一试】 在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中有：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支 2 000元． Z&xx&k(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？解 设该店月利润余额为L 元，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2P ＋50，14≤P ≤20，－32P ＋40，20<P ≤26， 代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧ (－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600(20<P ≤26)，(1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元；当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．(2)设可在n 年内脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．对应学生241A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·成都调研)在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的图象大致为 ( )．解析 由题意可得y ＝(1＋10.4%)x .答案 D2．(2013·青岛月考)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )．A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元 解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20，B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案 A3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )． A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30(x ≥0)，∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案 B4．(2013·太原模拟)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－x－25x ＋12，∵x ∈N *，∴y x ≤－2 x ·25x ＋12＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的年平均利润最大．答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文――→加密密文――→发送密文――→解密明文已知加密为y ＝a x －2(x 为明文，y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________．解析 依题意y ＝a x －2中，当x ＝3时，y ＝6，故6＝a 3－2，解得a ＝2.所以加密为y ＝2x －2，因此，当y ＝14时，由14＝2x －2，解得x ＝4.答案 46．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S max ＝486. 答案 30 cm 、20 cm三、解答题(共25分)7．(12分)为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x (分)与通话费y (元)的关系分别如图①、②所示．(1)分别求出通话费y 1，y 2与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？解 (1)由图象可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30,35)，C (30,15)分别代入y 1，y 2得k 1＝15，k 2＝12.∴y 1＝15x ＋29，y 2＝12x .(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x <9623 时，y 1>y 2，即使用“便民卡”便宜；当x >9623时，y 1<y 2，即使用“如意卡”便宜．8．(13分)(2013·济宁模拟)某单位有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x (x ∈N *)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500万元(a >0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x %.(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a 的取值范围是多少？解 (1)由题意得：10(1 000－x )(1＋0.2x %)≥10×1 000，即x 2－500x ≤0，又x >0，所以0<x ≤500.即最多调整500名员工从事第三产业．(2)从事第三产业的员工创造的年总利润为10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x 万元，从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000－x )(1＋0.2x %)万元，则10⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3x 500x ≤10(1 000－x )(1＋0.2x %)，所以ax －3x 2500≤1 000＋2x －x －1500x 2，所以ax ≤2x 2500＋1 000＋x ，即a ≤2x 500＋1 000x ＋1恒成立，因为2500x ＋1 000x ≥2 2x 500×1 000x ＝4，当且仅当2x 500＝1 000x ，即x ＝500时等号成立．所以a ≤5，又a >0，所以0<a ≤5，即a 的取值范围为(0,5]．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·潍坊联考)一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x ，y剪去部分的面积为20，若2≤x ≤10，记y ＝f (x )，则y ＝f (x )的图象是 ( )．解析 由题意得2xy ＝20，即y ＝10x ，当x ＝2时，y ＝5，当x ＝10时，y ＝1时，排除C ，D ，又2≤x ≤10，排除B.答案 A2．(2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30，其中M 0为t ＝0时铯137的含量．已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M (60)＝( )． A ．5太贝克B ．75ln 2太贝克C ．150ln 2太贝克D ．150太贝克解析 由题意M ′(t )＝M 02－t 30⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2， M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln 2＝－10ln 2， ∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·阜阳检测)按如图所示放置的一边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y＝f (x )，则y ＝f (x )在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为________．解析 将P 点移到原点，开始运动，当P 点第一次回到x 轴时经过的曲线是三段首尾相接的圆弧，它与x 轴围成的区域面积为π4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋1＋π4＝π＋1. 答案 π＋14．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 解析 由已知条件y ＝⎩⎨⎧ 8，0<x ≤3，8＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6解得x ＝9.答案 9三、解答题(共25分)5．(12分)(2011·湖南)如图，长方体物体E 在雨中沿面P (面积为S )的垂直方向做匀速度移动，速度为v (v >0)，雨速沿E 移动方向的分速度为c (c ∈R )．E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P 或P 的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v －c |×S 成正比，比例系数为110；②其他面的淋雨量之和，其值为12.记y 为E 移动过程中的总淋雨量．当移动距离d ＝100，面积S ＝32时，(1)写出y 的表达式；(2)设0<v ≤10,0<c ≤5，试根据c 的不同取值范围，确定移动速度v ，使总淋雨量y 最少．解 (1)由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为320|v －c |＋12，故y ＝100v ⎝ ⎛⎭⎪⎫320|v －c |＋12＝5v(3|v －c |＋10)． (2)由(1)知，当0<v ≤c 时，y ＝5v (3c －3v ＋10)＝5(3c ＋10)v－15； 当c <v ≤10时，y ＝5v (3v －3c ＋10)＝5(10－3c )v＋15. 故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 5(3c ＋10)v －15，0<v ≤c ，5(10－3c )v ＋15，c <v ≤10.①当0<c ≤103时，y 是关于v 的减函数，故当v ＝10时，y min ＝20－3c 2.②当103<c ≤5时，在(0，c ]上，y 是关于v 的减函数；在(c,10]上，y 是关于v的增函数．故当v ＝c 时，y min ＝50c. 6．(13分)(2013·徐州模拟)某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD 和分别以AD 、BC 为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．(1)设半圆的半径OA ＝r (米)，设建立塑胶跑道面积S 与r 的函数关系S (r )；(2)由于条件限制r ∈[30,40]，问当r 取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)解 (1)塑胶跑道面积S ＝π[r 2－(r －8)2]＋8×10 000－πr 22r ×2 ＝80 000r ＋8πr －64π.∵πr 2＜10 000，∴0＜r ＜100π.(2)设运动场的造价为y 元， y ＝150×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －64π＋30×⎝ ⎛10 000－80 000r)－8πr ＋64π＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π.令f (r )＝80 000r ＋8πr ，∵f ′(r )＝8π－80 000r 2， 当r ∈[30,40]时，f ′(r )＜0， ∴函数y ＝300 000＋120×⎝ ⎛⎭⎪⎫80 000r ＋8πr －7 680π在[30,40]上为减函数．∴当r ＝40时，y min ≈636 510，即运动场的造价最低为636 510元.。
(江西专用)2014年高考数学一轮复习 2.9 函数的综合应用课件 文 新人教A版
即当a=120,b=75时,S取得最小值24500.
故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告的面积最小.
题型3 与二次函数相结合的函数综合应用
例3 某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查 和预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图1,B产品的利 润与投资的算术平方根成正比,其关系如图2(注:利润与投资 单位是万元).
(1)试用d分别表示出此合金中金属A、金属B克数的函数关 系式;
(2)求已试制的合金中金属A、金属B克数的取值范围.
【解析】(1)设此合金中含A金属x克、B金属y克,
x y 400,则x ຫໍສະໝຸດ dy 7.250,
解得x= 40d (8.8<d<9),y= 360(d 8) (8.8<d<9).
【点评】利用函数模型解决两个投资项目时的资金分配处 理问题,即要求用函数的相关知识解决实际问题.
变式训练3 某航天有限公司试制一种仅由金属A和金属B 合成的合金,现已试制出这种合金400克,它的体积为50立方 厘米,已知金属A的比重d小于每立方厘米9克,大于每立方厘 米8.8克;金属B的比重约为每立方厘米7.2克.
【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f(x)元,则
f(x)=(560+48x)+ 216010000 =560+48x+10800 (x≥10,x∈N),
2000x
x
可证明函数在[10,15)上递减,在[15,+∞)上递增,
因此当x=15时,函数取得最小值. 所以为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为
(A)70元.
(B)60 元.
(C)50元.
(D)55元.
高考数学总复习 310《函数模型及其应用》课件 理 新人教A版
(2)10年后，人口总数为100×(1＋1.2%)10≈112.7(万人)． (3)设x年后该城市人口将达到120万人， 即100×(1＋1.2%)x＝120， x＝log1.012112000＝log1.0121.20≈16(年)． (4)由100×(1＋x%)20≤120，得(1＋x%)20≤1.2， 两边取对数得20lg (1＋x%)≤lg 1.2≈0.079， 所以lg (1＋x%)≤0.20079＝0.003 95， 所以1＋x%≤1.009，得x≤0.9， 即年自然增长率应该控制在0.9%.
性质
函数 y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上
的增减性
单调(dāndiào)递增 单调(dāndiào)递增 单调(dāndiào)递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随 x 增大逐渐 表示为与 y 轴
平行一样
随 x 增大逐渐表 现为与 x 轴
平行一样
当且仅当5x＝8 0x00，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
第十一页，共53页。
(2)设年总利润为R(x)万元， 则R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函数， ∴x＝210时，R(x)有最大值，为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴当年产量为210吨时，可以获得最大利润，最大利润为1 660万元．
第四页，共53页。
2．几种常见的函数模型
2014高考数学一轮汇总训练《函数模型及其应用》理 新人教A版
第十节函数模型及其应用[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．几种常见的函数模型2.三种函数模型性质比较[探究] 1.直线上升、指数增长、对数增长的增长特点是什么？提示：直线上升：匀速增长，其增长量固定不变；指数增长：先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；对数增长：先快后慢，其增长速度缓慢．2．你认为解答数学应用题的关键是什么？提示：解答数学应用题的关键有两点：一是认真读题，缜密审题，将实际问题中的自然语言转化为相应的数学语言；二是要合理选取变量，设定变量后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数、方程、不等式等数学模型．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)在养分充足的情况下，细菌的数量会以指数函数的方式增加．假设细菌A 的数量每2个小时可以增加为原来的2倍；细菌B 的数量每5个小时可以增加为原来的4倍．现在若养分充足，且一开始两种细菌的数量相等，要使细菌A 的数量是B 的数量的两倍，需要的时间为( )A ．5 hB ．10 hC ．15 hD ．30 h解析：选B 假设一开始两种细菌数量均为m ，则依题意经过x 小时后，细菌A 的数量是f (x )＝m ·2x 2，细菌B 的数量是g (x )＝m ·4x 5，令m ·2x 2＝2·m ·4x5，解得x ＝10.2．(教材习题改编)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )A.y ＝2x2C ．y ＝12(x 2－1)D ．y ＝2.61cos x解析：选B 通过检验可知，y ＝log 2x 较为接近．3．据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系是( )A ．y ＝0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)B ．y ＝0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)C ．y ＝－0.1x ＋800(0≤x ≤4 000)D ．y ＝－0.1x ＋1 200(0≤x ≤4 000)解析：选D y＝0.2x＋(4000－x)×0.3＝－0.1x＋1 200.4．(教材习题改编)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，存期是x，本利和(本金加利息)为y元，则本利和y随存期x变化的函数关系式是________．解析：因为储蓄按复利计算，所以本利和y随存期x变化的函数关系式是y＝a(1＋r)x，x∈N*.答案：y＝a(1＋r)x，x∈N*5．某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，按九折出售，每件还获利________元．解析：九折出售时价格为100×(1＋25%)×90%＝112.5元，此时每件还获利112.5－100＝12.5元．答案：12.5[例1] 如图下面的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不．正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个[自主解答] 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h 和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来，图①应该是匀速的，故下面的图象不正确，②中的变化率应该是越来越慢的，正确；③中的变化规律是先快后慢再快，正确；④中的变化规律是先慢后快再慢，也正确，故只有①是错误的．[答案] A———————————————————用函数图象刻画实际问题的解题思路将实际问题中两个变量间变化的规律(如增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(如单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可．1．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：选A 由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.[例2] (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．[自主解答] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立⇔关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根⇔判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标． ——————————————————— 利用已知函数模型解决实际问题的步骤若题目给出了含参数的函数模型，或可确定其函数模型的图象，求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值，再用求得的函数解析式解决实际问题．2．某商品在近30天内每件的销售价格p (元)与时间t (天)的函数关系式是p ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0<t <25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N *，且该商品的日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系式是Q ＝－t ＋40(0<t ≤30，t ∈N )．求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？解：设日销售金额为y (元)，则y ＝p ·Q ，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0<t <25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N ，＝⎩⎪⎨⎪⎧－t －102＋900，0<t <25，t ∈N ， ①t －702－900，25≤t ≤30，t ∈N . ②由①知，当t ＝10时，y max ＝900； 由②知，当t ＝25时，y max ＝1 125. 由1 125>900，知y max ＝1 125，即在第25天日销售额最大，为1 125元.[例3] 某特许专营店销售西安世界园艺博览会纪念章，每枚进价为5元，同时每销售一枚这种纪念章还需向世博会管理处交特许经营管理费2元，预计这种纪念章以每枚20元的价格销售时该店一年可销售 2 000枚，经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚20元的基础上每减少1元则增加销售400枚，而每增加1元则减少销售100枚，现设每枚纪念章的销售价格为x (元)．(1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润y (元)与每枚纪念章的销售价格x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域)；(2)当每枚纪念章销售价格x 为多少元时，该特许专营店一年内利润y (元)最大，并求出这个最大值．[自主解答] (1)依题意y ＝⎩⎪⎨⎪⎧[2 000＋40020－x ]x －7，0＜x ≤20，[2 000－100x －20]x －7，20<x <40，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40025－x x －7，0＜x ≤20，10040－x x －7，20<x <40.此函数的定义域为(0,40)．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400[－x －162＋81]，0＜x ≤20，100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4722＋1 0894，20<x <40.若0＜x ≤20，则当x ＝16时，y max ＝32 400(元)．若20<x <40，则当x ＝472时，y max ＝27 225(元)．综上可得当x ＝16时，该特许专营店获得的利润最大为32 400元． ———————————————————把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口．(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系． (3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．3．某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨)．(1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x ， 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，45时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫45<26.4；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤45，43时，y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43<26.4； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5. 所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨， 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．1个防范——实际问题的定义域要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 1个步骤——解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：答题模板——函数实际应用问题[典例] (2011·山东高考)(本小题满分12分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且l ≥2r .假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c (c >3)千元．设该容器的建造费用为y 千元．(1)写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域； (2)求该容器的建造费用最小时的r .[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：中间为圆柱形，左右两端均为半球形的容器，球的半径为r ，圆柱的母线为l ，以及容器的体积―――――――――――――→可根据体积公式建立关系式 4πr 33＋πr 2l ＝80π3―――――――――――――――――――→利用表面积公式，可求球及圆柱的表面积S 球＝4πr 2， S 圆柱＝2πrl .2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域――――――――――――――――――――――――→求总造价y ，应求出球形部分及圆柱形部分各自的造价球形部分的造价为4πr 2c ，圆柱型部分的造价为2πrl ×3. 3．建联系，找解题突破口总造价y ＝球形部分的造价＋圆柱型部分的造价，即y ＝4πr 2c ＋2πrl ×3――――――――→应消掉l ，只保留r 由4πr 33＋πr 2l ＝80π3解得l ＝803r 2－4r 3，故可得建造费用y ＝160πr－8πr 2＋4πcr 2――――――――――――――――→由l ≥2r 可求r 的范围，即定义域0<r ≤2，问题得以解决． 第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：建造费用y ＝160πr－8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]．2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求该容器的建造费用最小时的r ―――――――――――――→建造费用最小，即y 最小 问题转化为：当r 为何值时，y 取得最小值．3．建联系，找解题突破口 分析函数特点：含分式函数――――――――――――――――→可利用导数研究函数的最值 y ′＝－160πr 2－16πr ＋8πcr ＝8πc －2r 2⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2――――――――――→求导数为零的点当r ＝ 320c －2时，y ′＝0(]02，的关系，求极值 分320c －2≥2和0< 320c －2<2两种情况讨论，并求得结论． [准确规范答题](1)设容器的容积为V ，由题意知 V ＝4πr 33＋πr 2l ，又V ＝80π3，⇨(1分)所以4πr 33＋πr 2l ＝80π3，解得l ＝803r 2－4r3，⇨(2分)由于l ≥2r因此0<r ≤2.⇨(3分) 所以圆柱的侧面积为2πrl ＝2πr ⎝ ⎛⎭⎪⎫803r 2－4r 3＝160π3r －8πr 23，两端两个半球的表面积之和为4πr 2，所以建造费用y ＝160πr－8πr 2＋4πcr 2，定义域为(0,2]．⇨(4分)(2)由(1)，得y ′＝－160πr2－16πr ＋8πcr ＝8πc －2r 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫r 3－20c －2，0<r ≤2，⇨(5分)由于c >3，所以c －2>0.当r 3－20c －2＝0时，r ＝ 320c －2.令320c －2＝m ，则m >0. 所以y ′＝8πc －2r2(r －m )(r 2＋rm ＋m 2)．⇨(7分) ①当0<m <2，即c >92时，当r ＝m 时，y ′＝0； 当r ∈(0，m )时，y ′<0； 当r ∈(m,2)时，y ′>0，所以r ＝m 是函数y 的极小值点，也是最小值点．⇨(9分) ②当m ≥2，即3<c ≤92时，当r ∈(0,2)时，y ′<0，函数单调递减， 所以r ＝2是函数y 的最小值点．⇨(11分)综上，当3<c ≤92时，建造费用最小时r ＝2；当c >92时，建造费最小时r ＝320c －2.⇨(12分) [答题模板速成]解决函数实际应用问题的一般步骤：⇒⇒⇒⇒⇒一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )解析：选C 由于中间一段时间，张大爷离家的距离不变，故应选C.2．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析：选B 设该公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，利润为L (x )＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15⎝⎛⎭⎪⎫x －153152＋0.15×1532225＋30，由于x 为整数，所以当x ＝10时，L (x )取最大值L (10)＝45.6，即能获得的最大利润为45.6万元．3．某地2011年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市人口平均每年增长率为1%.问为使2021年底该城市人均住房面积增加到7 m 2，平均每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 6)( )A ．90万m 2B ．87万m 2C ．85万m 2D ．80万m 2解析：选B 由题意500×1＋1%10×7－500×610≈86.6(万m 2)≈87(万m 2)．4．某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款．现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是( )A ．不能确定B ．①②同样省钱C ．②省钱D ．①省钱解析：选D 方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元) 方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元) 因为210<211.6，故方法①省钱．5．如图所示，点P 在边长为1的正方形的边上运动，设M 是CD 边的中点，则当点P 沿着A －B －C －M 运动时，以点P 经过的路程x 为自变量，将三角形APM 的面积y 看作路程x 的函数，则其函数图象大致是()解析：选A 当0≤x ≤1时，y ＝12·x ·1＝12x ；当1<x ≤2时，y ＝1－12(x －1)－14(2－x )－14＝－14x ＋34；当2<x ≤2.5时，y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x ×1＝54－12x .则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x ≤1，－14x ＋34，1<x ≤2，－12x ＋54，2<x ≤2.5.根据函数可以画出其大致图象，故选A.6．(2013·武汉模拟)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°(如图)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为93平方米，且高度不低于3米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 的范围为( )A ．[2,4]B ．[3,4]C ．[2,5]D ．[3,5]解析：选B 根据题意知，93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，∴93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x2>0，得2≤x <6.由y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2≤10.5得3≤x ≤4.∵[3,4]⊆[2,6)，∴腰长x 的范围是[3,4]． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7.一高为H ，满缸水量为V 的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞 ，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h 时的水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象可能是图中的________．解析：当h ＝0时，v ＝0可排除①、③；由于鱼缸中间粗两头细，∴当h 在H2附近时，体积变化较快；h 小于H 2时，增加越来越快；h 大于H2时，增加越来越慢．答案：②8．有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成场地的最大面积为________(围墙厚度不计)．解析：设矩形的宽为x m ， 则矩形的长为200－4x m(0<x <50)， 面积S ＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2 500. 故当x ＝25时，S 取得最大值2 500 (m 2)． 答案：2 500 m 29．某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠，商场规定： ①如一次购物不超过200元，不予以折扣；②如一次购物超过200元，但不超过500元，按标价予以九折优惠；③如一次购物超过500元的，其中500元给予九折优惠，超过500元的给予八五折优惠； 某人两次去购物，分别付款176元和432元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款________元．解析：由题意知付款432元，实际标价为432×109＝480元，如果一次购买标价176＋480＝656元的商品应付款500×0.9＋156×0.85＝582.6元．答案：582.6三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为yx(万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2 x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数， ∴x ＝210时，R (x )有最大值为R (210)＝－15(210－220)2＋1 680＝1 660(万元)．∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．11．据气象中心观察和预测：发生于M 地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v (km/h)与时间t (h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (h )内沙尘暴所经过的路程s (km)．(1)当t ＝4时，求s 的值；(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N 城．如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图象可知：当t ＝4时，v ＝3×4＝12， ∴s ＝12×4×12＝24.(2)当0≤t ≤10时，s ＝12·t ·3t ＝32t 2；当10<t ≤20时，s ＝12×10×30＋30(t －10)＝30t －150；当20<t ≤35时，s ＝12×10×30＋10×30＋(t －20)×30－12×(t －20)×2(t －20)＝－t 2＋70t －550.综上可知，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧32t 2， t ∈[0，10]，30t －150， t ∈10，20]，－t 2＋70t －550， t ∈20，35].(3)∵t ∈[0,10]时，s max ＝32×102＝150<650，t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650，∴当t ∈(20,35]时，令－t 2＋70t －550＝650， 解得t 1＝30，t 2＝40. ∵20<t ≤35，∴t ＝30，即沙尘暴发生30 h 后将侵袭到N 城．12．某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t 件时，销售所得的收入为⎝⎛⎭⎪⎫0.05t －120 000t 2万元． (1)该公司这种产品的年生产量为x 件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x 的函数为f (x )，求f (x )；(2)当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？解：(1)当0<x ≤500时，f (x )＝0.05x －120 000x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝－x 220 000＋19400x －12，当x >500时，f (x )＝0.05×500－120 000×5002－⎝ ⎛⎭⎪⎫0.25×x 100＋0.5＝12－1400x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－120 000x 2＋19400x －12，0<x ≤500，12－1400x ，x >500.(2)当0<x ≤500时，f (x )＝－x 220 000＋19400x －12＝－120 000(x －475)2＋34532， 故当x ＝475时，f (x )max ＝34532.当x >500时，f (x )＝12－1400x <12－54＝34432<34532， 故当该公司的年产量为475件时，当年获得的利润最大．1．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)由y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，得x ＝1003时，y min ＝50 0003， 即核电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最少．2．目前某县有100万人，经过x 年后为y 万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)． 解：(1)当x ＝1时，y ＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)； 当x ＝2时，y ＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x ＝3时，y ＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；…故y 关于x 的函数解析式为y ＝100(1＋1.2%)x (x ∈N *)． (2)当x ＝10时，y ＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7. 故10年后该县约有112.7万人．(3)设x 年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x ＝log 1.012120100≈15.3故大约16年后该县的人口总数将达到120万．3．某上市股票在30天内每股的交易价格P (元)与时间t (天)组成有序数对(t ，P )，点(t ，P )落在下图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q (万股)与时间t (天)的部分数据如下表所示：(1)(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式；(3)在(2)的结论下，用y 表示该股票日交易额(万元)，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解：(1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0<t ≤20，－110t ＋8，20<t ≤30(t ∈N *)．(2)设Q ＝at ＋b (a ，b 为常数)，把(4,36)，(10,30)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝36，10a ＋b ＝30，解得a＝－1，b ＝40.所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q ＝－t ＋40,0<t ≤30，t ∈N *.(3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2×40－t ，0<t ≤20，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8×40－t ，20<t ≤30，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15t －152＋125，0<t ≤20，110t －602－40，20<t ≤3(t ∈N *)．当0<t ≤20时，y 有最大值y max ＝125万元，此时t ＝15；当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减小，y max <110(20－60)2－40＝120万元．所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元.。
高考数学总复习 第2章 第10节 函数模型及其应用课件 新人教A版
试问： (1) 若通话时间为 2 小时，按方案 A 、B各付话费多 少元？ (2)方案B从500分钟以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围，方案B才会比方案A优惠？
解：由图知：M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)． MN∥CD，设这两种方案的应付话费与通话时间的函数 关系分别为 fA(x)，fB(x)， 98，0≤x≤60， 即 fA(x)＝ 3 x＋80，x＞60； 10 168，0≤x≤500， fB(x)＝ 3 x＋18，x＞500. 10
(2)设CE＝x，则BE＝0.4－x，每块地砖的费用为W，
制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米
价格依次为3a、2a、a(元)，
1 2 1 1 2 1 W＝ x · 3a ＋ ×(0.4 － x)×0.4×2a ＋ [0.16 － x － 2 2 2 2 ×0.4×(0.4－x)]a＝a(x2－0.2x＋0.24) ＝a[(x－0.1)2＋0.23](0＜x＜0.4)， 由 a＞0，当 x＝0.1 时，W 有最小值． 即当 CE＝CF＝0.1 米时，总费用最省．
间)的形式．
(12分)诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把资金总额 平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、 生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放
奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息
作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利 率为r＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖发放后基金总额约 为 19 800 万美元．设 f(x) 表示第 x(x∈N*) 年诺贝尔奖发放后的 基金总额(1999年记为f(1)，2000年记为f(2)，…，依次类推)．
2014届高考数学总复习 第2章 第9讲 函数的模型及其应用课件 理 新人教A版
1 ①当1≤x≤23时，p(x)＝4(1＋ x )(81＋x)＝4(82＋x＋ 81 x )≥4(82＋2 81 x· )＝400， x
81 当且仅当x＝ x ，即x＝9时，p(x)取得最小值400；
1 127 ②当23<x≤30时，p(x)＝4(1＋ x )(127－x)＝4(126＋ x －x)， 127 127 设h(x)＝ x －x，则有h′(x)＝－ x2 －1<0，所以h(x)在 (23,30]上为减函数，则p(x)在(23,30]上也是减函数．所以当x 127 14 ＝30时，p(x)min＝4(126＋ 30 －30)＝40015>400. 所以当x＝9时，p(x)的最小值为400万元． 则两年内的税收为400×15%×30×12×2×1.5%＝ 648>600，所以600万元投资可以在两年内全部收回．
(2)依题意并由(1)可得 60x，0≤x≤20， f(x)＝1 3x200－x，20≤x≤200. 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值 为60×20＝1200； 1 1 x＋200－x 2 当20≤x≤200时，f(x)＝ x(200－x)≤ [ ]＝ 3 3 2 10000 3 ，当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
使我们赖以生存的地球不堪重负．控制人口急剧增长的紧迫任
务摆在我们的面前． (1)世界人口在过去的40年内翻了一番，问每年人口平均增 长率是多少？
(2)我国人口在2003年底达到13.14亿，若将人口平均增长率 控制在1%以内，我国人口在2013年底至多有多少亿？ 以下对数值可供计算时使用： N lgN 1.010 0.0043 1.015 0.0065 1.017 0.0073 1.310 0.1173 2.000 0.3010
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思想方法技巧
解题技巧 解决与函数零点有关的问题主要方法有：(1)零点存在性 定理；(2)解方程f(x)＝0；(3)数形结合．
考点典例讲练
函数零点的判断
[例1]
(文)(2011· 课标全国文)在下列区间中，函数f(x) )
＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( 1 A．(－4，0) 1 1 C．(4，2)
(2)x与 3－x是“二次关系”，据此可设 3－x＝t，得到 关于t的二次函数，但换元后要注意新元变化范围．
(文)(2011· 威海模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之 间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)，若每台售 价25万元，则生产者不亏本的最低产量是( A．100台 C．150台 B．120台 D．180台 )
解析：由题意知，f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以 该函数在区间(3,4)内有零点，所以k＝3.
答案：3
(理)已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋ x的零点依次为a，b，c，则( A．a<b<c B．a<c<b )
C．b<a<c D．c<a<b
解析：设投资甲商品x万元，则投资乙商品(3－x)万元， 1 3 则经营甲、乙商品分别获利润p＝5x万元，q＝5 3－x万元． 1 3 ∴S＝5x＋5 3－x(0≤x≤3)． 令t＝ 3－x，则有0≤t≤ 3. 1 1 32 21 2 ∴S＝ (3＋3t－t )＝－ t－2 ＋ ， 5 5 20
答案：C
二次函数模型
[例3]
有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能
获得的利润依次是p和q(万元)．它们与投入的资金x(万元)的 1 3 关系有经验公式：p＝5x，q＝5 x，今有3万元资金投入经营 甲、乙两种商品，为了获得最大利润，对甲、乙两种商品的 资金投入分别是多少时能获得最大利润？
分析：总利润是经营甲、乙两种商品所获利润的和，即 S＝p＋q，总投入资金3万元，若投入甲x万元，则投入乙应 为3－x万元．
第二章
函 数
第二章
第八节 函数与方程、函数模型及其应用
基础梳理导学
3
考点典例讲练
思想方法技巧
4
课堂巩固训练
5
课后强化作业
基础梳理导学
重点难点
引领方向
重点：1.函数的零点和方程解的联系． 2．掌握几种常见的函数模型： (1)一次函数 (5)对数函数 (2)二次函数 (3)分式函数 (4)指数函数
3 3 21 当t＝2时0<2< 3，Smax＝20.
3 此时x＝3－t ＝ ＝0.75(万元)，3－x＝2.25(万元)． 4
2
因此，对甲种商品投资0.75万元，乙种商品投资2.25万 元，此时获得利润最大为1.05万元． 点评：(1)经营甲、乙两种商品所获利润p、q与投入资金 有关，它们是投入资金数的函数，而不是常量．甲、乙两种 商品共投入资金3万元，投入甲x万元，则投入乙为3－x万 1 3 3 元，从而利润p＝ 5 x万元，q＝ 5 3－x万元，而不是q＝ 5 x万 元！这是最容易出错的地方．
③当Δ＝b2－4ac>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两 个不相等的实根，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c有两个零点，二 次函数的图象(抛物线)与x轴相交．若该交点分别为A、B，则 Δ A、B之间的距离为|AB|＝ |a|
二、用二分法求方程近似解 用二分法求方程f(x)＝0近似解的一般步骤： 第一步：确定一个区间[a，b]，使得f(a)· f(b)<0，令a0＝ a，b0＝b. 1 第二步：取区间(a0，b0)的中点x0＝2(a0＋b0)． 第三步：计算f(x0)的值，得到下列相关结论．
(1)若f(x0)＝0，则x0就是方程f(x)＝0的一个根，计算终 止； (2)若f(a0)· 0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间(a0， f(x x0)中，令a1＝a0，b1＝x0； (3)若f(x0)· 0)<0，则方程f(x)＝0的一个根位于区间(x0， f(b b0)中，令a1＝x0，b1＝b0. 1 第四步：取区间(a1，b1)的中点x1＝ 2 (a1＋b1)，重复第 二、第三步，„„直到第n次，方程f(x)＝0的一个根总在区间 (an，bn)中．
第五步：当|an－bn|<ε，(ε是规定的精确度)时，区间(an， bn)内的任何一个值精确到ε就是方程f(x)＝0的一个近似根． 注意：二分法只适用于求函数f(x)的变号零点．
三、函数的应用 1．求解函数应用问题的思路和方法
2．函数建模的基本流程
疑难误区
点拨警示
1．函数f(x)的零点不是“点”，它是一个数，是方程f(x) ＝0的实数根． 2．在对函数零点的判断中，(1)f(x)在[a，b]上连续； (2)f(a)· f(b)<0；这是零点存在的一个充分条件，不是必要条 件，并且满足f(a)· f(b)<0时，f(x)在[a，b]上至少有一个零点； ．． 不满足f(a)· f(b)<0时，f(x)在[a，b]上未必无零点，也可能有多 个零点．
(6)分段函数
(7)幂函数
(8)三角函数．
难点：函数模型在实际问题中的应用和函数应用题．
夯实基础 稳固根基 一、函数的零点 1．定义：如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α) ＝0，则___叫做这个函数的零点． α 2．函数的零点与方程的根的关系 (1)函数的零点与方程的根的关系 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函 数y＝f(x)的图象与x轴交点的___坐标，即方程f(x)＝0有实数 横 根⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．
(2)函数零点的判定(零点存在性定理) 一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不 断的一条曲线，并且有f(a)· f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间 (a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使f(c)＝0，这个c也就是 方程f(x)＝0的根． (3)零点在判断两函数图象交点中的应用 函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数 根，也就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横 坐标．
一般地，对于不能使用公式求根的方程f(x)＝0，我们可 以将它与函数y＝f(x)联系起来，利用函数的图象、性质来求 解． (4)二次函数的零点与一元二次方程的根的关系 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点就是一元二次方 程ax2＋bx＋c＝0的根；二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象(抛物 线)与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0的根．具体结论如下：
解析：因为f(2)· f(4)<0，由二分法可知函数在区间(2,4)上 必存在零点，又因为f(2)· f(3)<0，故函数的零点x0∈(2,3)．
答案：A
(理)在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度 为1，精确度要求是0.05，则取中点的次数是( A．3 B．4 C．5 ) D．6
1 1 解析：∵ 4 ＝0.0625， 5 ＝0.03125，精确度要求是0.05， 2 2 ∴取中点的次数是5次．
1 B．(0，4) 1 3 D．(2，4)
解析：y＝f(x)在(a，b)上单调且有零点时有f(a)f(b)<0.
1 依次验证选项．f －4 ＝
1 1 f4＝e4 1 1 －2<0，B错．f2＝e2
1 e
1 4
－4<0，f(0)＝－2<0，A错，
－1>0，选C.
解析：用二分法求函数f(x)的零点，只能求f(x)的变号零 点，由于f(1.5625)· f(1.5562)<0，且区间(1.5562，1.5625)内每 一个值精确到0.01都是1.56，故f(x)＝3x－x－4的一个精确到 0.01的零点近似值为1.56.
答案：1.56
(文)(2011· 潍坊模拟)用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的 近似解，验证知f(2)· f(4)<0.给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中 2＋4 点x1＝ 2 ＝3，计算得f(2)· 1)<0，则此时零点x0所在的区间为 f(x ( ) A．(2,3) B．(3,4) C．[2,3) D．(3,4]
①当Δ＝b2－4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0无 解，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点，二次函数的图象(抛物 线)与x轴不相交； ②当Δ＝b2－4ac＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两 个相等的实根，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c有一个零点，二次 函数的图象(抛物线)与x轴相切；
1 解析：当0<x<1时，函数f(x)＝ x－lnx恒为正数，故在 3 1 (0,1)内无零点；而f(1)＝ 3 >0，f(3)＝1－ln3<0，故函数在(1,3) 内有零点．
答案：D
(文)(2011· 温州一模)已知函数f(x)＝lnx－x＋2有一个零点所 在的区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则k的值为________．
1 1 解析：由于f(－1)＝ －1＝－ <0，f(0)＝1>0，故f(x)＝2x 2 2
1 ＋x的零点a∈(－1,0)；∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h 2 ＝ 1 1 1 －1＋ ＝－ <0，h(1)＝1>0，故h(x)的零点c∈2，1 ，因此， 2 2
3．二分法是求方程根的近似值的一种计算方法，它只能 用来求函数的变号零点． 4．二次函数当Δ＝0时，有两个相等的实数根，但零点 ．． 只有一个(二重零点)． ．．
5．求解函数应用题时，关键环节是审题，审题时一要弄 清问题的实际背景，注意隐含条件；二是将文字语言恰当准 ．． 确的翻译为数学语言，用数学表达式加以表示；三是弄清给 出什么条件，解决什么问题，通过何种数学模型加以解决； 四是严格按各种数学模型的要求进行推理运算，并对运算结 果作出实际解释；五要特别注意实际问题中自变量取值范 围．