函数模型及其应用的教学设计与反思
《函数模型及其应用》教案
芯衣州星海市涌泉学校函数模型及其应用教学目的：1.能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型，并求解；进一步理解函数模型在解决简单的实际问题中的应用，理解函数模型在社会生活中的广泛应用2.在解决实际问题的过程中，培养学生数学地分析问题、探究问题、解决问题的才能，培养学生的应用意识，进步学习数学的兴趣. 教学重点：在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中，读懂图表并求解. 教学难点： 对图、表的理解. 教学方法： 讲授法，尝试法. 教学过程： 一、情境创设矩形的长为4，宽为3，假设长增加x ，宽减少0.5x ，所得新矩形的面积为S ． 〔1〕将S 表示成x 的函数；〔2〕求面积S 的最大值，并求此时x 的值． 二、学生活动 考虑并完成上述问题． 三、例题解析例1有一块半径为R 的半圆形钢板，方案剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，写出这个梯形周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求出它的定义域．A BO C DE例2一家旅社有100间一样的客房，经过一段时间是是的经营理论，旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系：要使每天收入最高，每间客房定价为多少元？例3今年5月，荔枝上．由历年的场行情得知，从5月10日起的60天内，荔枝的场售价与上时间是是的关系大致可用如下列图的折线ABCD表示(场售价的单位为元／500g)．请写出场售价S(t)(元)与上时间是是t(天)的函数关系式，并求出6月20日当天的荔枝场售价．练习：1．直角梯形OABC中，AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截此梯形所得位于l左方图形的f(t)的大致图象为()状可能是()元一个销售，每天可卖200个．假设这种商品每涨价1元，〔2〕假设销售价必须为整数，要使利润最大，应如何定价？5．根据场调查,某商品在最近40天内的价格f(t)与时间是是t满足：l AC DBhH A B C DO 10 40 60f(t)＝111(020)241(2040)t t t Nt t t N⎧+<∈⎪⎨⎪-+∈⎩≤,≤≤,，销售量g(t)与时间是是t满足：g(t)＝14333t-+(0≤t≤40，t N)，求这种商品日销售金额的最大值．四、小结利用图、表建模；分段建模．五、作业。
函数建模及其应用
函数建模及其应用函数的建模应用是高中数学贯彻<<普通高中数学课程标准>>中关于“高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展数学建模的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。
高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。
”的重要体现。
既有助于函数与其他数学内容的联系；也有助于函数与实际的联系。
用函数解决实际问题，让学生经历用数学解决实际问题的过程，对学生认识数学的应用价值、培养对数学的兴趣很有好处。
二．教学内容通过一个与现实生活密切相关的实例, 收集数据,拟合函数模型,解决实际问题,完善函数模型建立的过程与方法,利用已有的数学知识分析、研究身边的问题,数学的观察世界、感受世界,自主探究、合作交流,全面提高各方面素质。
三．教学目标1.知识与技能：能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题2.过程与方法：体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。
３.情感、态度、价值观：深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。
四．教学重点与难点1.重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题。
2.难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。
II 教学方法与学习方法设计一、教学方法本节课运用“问题解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式、探究式的教学方法。
通过递进式问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结方法、规律，培养积极探索的科学精神。
二、学习方法根据本节课的教学目标和教法，把角色还给学生，先由学生观察、探索，再发现、思考、提炼并应用．引导学生逐步提高，发展学生有条理的思考与表达的能力，提高抽象概括能力，使学生获得较全面的发展．三、教学用具多媒体、计算器III 教学过程设计一、设计思想1.本节课始终围绕一个实例展开，使问题比较集中。
高一 函数模型及其应用(十中 )精品公开课
函数模型及其应用（2）江苏省苏州第十中学 王岳一、教学目标分析1.让学生能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答.2. 让学生切身感受数学建模的过程，体验一些实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力. 二、学情分析学生学习了函数的图像及其性质，已经具有用函数知识解决这类实际问题的能力；另外，本班学生思维活跃,学习积极性高，已经形成对数学问题进行合作探究的意识与能力. 三、教学重点与难点教学重点：选择合适的变量来建立函数模型.教学难点：从实际问题中选取合适的变量来建立函数模型，并利用函数的相关性质来求解函数模型．四、教学过程：● 学情回顾:（3分钟，学生口述）函数模型：用函数知识对我们日常生活中普遍存在的成本最低﹑利润最高﹑产量最大﹑效益最好﹑用料最省等实际问题进行归纳加工,建立相关目标函数,确定变量的限制条件,运用函数思想方法求解,最后解决实际问题. 1.解应用题的一般步骤:2.解题关键一是实际问题数学化，即在理解的基础上，通过列表、画图、引入变量，建立直角坐标系等手段，把实际问题转化成数学问题，把文字语言翻译成数学符号语言； 二是对得到的函数模型进行解答，得出数学问题的解，注重数学能力的培养. ●学生活动:例1、现有100米长的篱笆，某农场主打算用来围建一个矩形羊圈（如图)，问羊圈的长和宽各为多少时，面积最大？(15-20分钟)解：(学生)数学模型:设羊圈的一边长为x 米,另一边为(50-x )米,羊圈的面积为S ,则 ()225025625S x x x =-+=--+,当25x =时,max 625S =(平方米). 原理:周长一定的矩形,正方形面积最大.例2、农场主打算围建一个矩形羊圈(如图)，矩形羊圈的面积为400m 2,那么怎样设计羊圈才能使用料最省?解：(学生) 设羊圈的一边长为x 米, 另一边为400x米,羊圈的周长为L ,则 400280L x x ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭,（利用单调性） 当20x =时,min 80L = (米).x变题1 考虑到实际需要现将矩形羊圈用篱笆隔成两部分(如图)，问此时应如何设计，才能使面积最大？解：(学生) 设羊圈的一边长为x 米, 羊圈的面积为S ,则 221003335012505022233x S x x x x -⎛⎫⎛⎫==-+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当503x =时,m ax 12503S =(平方米).变题2 矩形羊圈建造时一边利用原有的旧墙，另外三边用篱笆围成(如图)，那么羊圈的长和宽各为多少时才能使面积最大?解：(学生) 设旧墙的边长为x 米, 羊圈的面积为S , 则 ()()2210011100501250222x S x xx x -==-+=--+,当50x =时,max 1250S = (平方米).若受到环境的影响，利用的旧墙的边长不能超过a （a >0）米. ①50a ≥时，当50x =时,max 1250S = (平方米).②050a <<时，当x a =时，2max 1502S a a =-+(平方米).例3、(2009年湖北)如图所示,围建一个面积为360m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，已知旧墙的维修费用为45元/m ,新墙的造价为180元/m ,如何设计才能使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解:设旧墙的边长为x 米,修建总费用为y 元.23603604518022225360y x x x x x ⎛⎫=+⨯+-=+-⎪⎝⎭，()0x >. 当min 24,10440x y ==元.例4、如图, 某公园有一块等腰直角三角形的空地，其腰AB 长为2（百米），现决定在空地内筑一条笔直的小路DE （宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，分别种植鲜花和绿草.（请同学们给修筑方案添加合适的限制条件）（分成面积相等的两部分）结合你添加的条件，设AD =x (百米), AE =t (百米), DE =y (百米), 试用x 表示t 和y ? 如果沿DE 铺设灌溉水管, 希望它最短, 那么DE 的位置应如何确定?如果沿DE 修建观光长廊, 希望它最长, 那么DE 的位置应如何确定?（15分钟） 解： 112AD E ABC S S ∆∆==,又12ADE S AD AE∆=,()2AD AE ∴= 定值AD =x (百米),则t =()2AE x=百米，y D E ∴===x0212202x x x <≤⎧⎪∴≤≤⎨<≤⎪⎩，[]1,2y x ∴=∈[]1,2y x ==∈令()[]21,2g x x x x=+∈，利用定义研究其单调性,得()()12g x 在上单调递减，在上单调递增,()()()()min max 123g x gg x g g ∴=====,∴当x =min 2y = ；当12x =或时，max y =.巩固练习：（6分钟）1. 某人准备用长为7m 的不锈钢材料做成下部为矩形，上部为半圆形的艺术窗框（如图7），试问如何设计，可以使得窗框围成的面积最大，以取得最佳采光效果？（π≈3）2. 如图8，某村计划建造一个室内面积为800m 2的矩形蔬菜温室，沿左、右两侧和后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？1.解：圆的半径为r ，则矩形的另一边长为752r -，设窗框的面积为y ，则()2227577727122222rr y r r r r π-=+=-+=--+，当1r =时，m ax 72y =（m 2）2.解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则800ab =. 蔬菜的种植面积为 1600(4)(2)4288082()S a b ab b a a a=--=--+=-+当且仅当40,20a b == 时，max 648S =(m 2).课堂小结:(略)。
函数模型及其应用教案
函数模型及其应用教案一、教学目标1. 理解函数的概念，了解函数模型的产生和应用；2. 学习两种常见函数模型的基本形式和参数，并能解决实际问题应用；3. 认识函数模型在现实生活和工程实践中的重要作用；4. 提高学生分析和解决实际问题的能力。
二、教学重点1. 函数的概念与应用；2. 两种常见函数模型的基本形式与参数；3. 实际问题中函数模型的应用。
三、教学难点1. 函数模型在数学联系与实际应用展示之间的联系；2. 如何将实际问题转化为基本形式的函数模型。
四、教学方法1. 讲授教学法；2. 课堂互动式教学法；3. 问题式教学法。
五、教学准备1. 多媒体教学设备；2. 函数模型案例资料。
六、教学过程1. 引入函数是一种重要的数学概念，也是自然科学、经济学、工程技术等领域的基础。
而函数模型则是在实际问题中应用函数的过程中，通过对数据和经验的分析产生的数学模型，可用于预测、控制、优化等目的。
今天我们将学习两种常见函数模型及其应用。
2. 基础知识讲解（1）函数的概念函数是一个输入输出关系的特殊情况。
数学上定义一个函数是指一组数对，其中第一个数（称为自变量）从一个特定集合中取任意一个值，；第二个数（称为因变量或函数值）则从另一集合中取一个值，这个取值完全由第一个数决定。
（2）线性函数模型线性函数模型可以写为 y=a*x+b 的形式，其中 a 称为斜率，b称为截距。
它的应用非常广泛，比如经济学中的供给函数、消费函数，工程学中的动力学方程等等，都可以通过线性函数模型来描述。
（3）指数函数模型指数函数模型可以用 y=a^x+b 的形式表示，其中 a 称为底数，b 称为位移。
指数函数具有非常广泛的应用，在物理学、天文学、化学、生物学、经济学等领域中都有其用途，比如放射性衰变过程、细胞增殖过程、经济增长过程等等都可以使用指数函数模型来描述。
3. 练习将下列实际问题转化为线性函数模型或指数函数模型，并求出相应的参数或曲线。
高三 一轮复习 函数模型及其应用 教案
函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大，图像与y轴接近平行随x值增大，图像与x轴接近平行随n值变化而不同1．易忽视实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[试一试]据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x 的函数关系是____________．解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题． 以上过程用框图表示如下：[练一练]如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN 取最小值时，CN ＝________.考点一一次函数与二次函数模型1.某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差________元．2．将进货单价为80元的商品按90元出售时，能卖出400个．若该商品每个涨价1元，其销售量就减(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．考点二分段函数模型[典例]提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式．(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时)．[类题通法]应用分段函数模型的关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)．[针对训练]某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完．公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由．考点三指数函数模型[典例] 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[类题通法]应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决．[课堂练通考点]1．(2014·南昌质检)往外埠投寄平信，每封信不超过20 g，付邮费0.80元，超过20 g而不超过40 g，付邮费1.60元，依此类推，每增加20 g需增加邮费0.80元(信的质量在100 g以内)．如果某人所寄一封信的质量为72.5 g，则他应付邮费________元．2．(2013·南通调研)甲地与乙地相距250 km.某天小袁从上午7：50由甲地开车前往乙地办事．在上午9：00,10：00，11：00三个时刻，车上的导航仪都提示“如果按出发到现在的平均速度继续行驶，那么还有 1 h到达乙地”．假设导航仪提示语都是正确的，那么在上午11：00时，小袁距乙地还有________km.3．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使成本平均每年比上一年降低p%，成本y是关于经过年数x(0<x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成_____________________．[课下提升考能]第Ⅰ卷：夯基保分卷1．(2014·苏锡常镇一调)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.2．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S.则S最小时，电梯所停的楼层是________层．3.一高为H，满缸水量为V的鱼缸截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为h时的水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像可能是图中的________．4.如图，书的一页的面积为600 cm2，设计要求书面上方空出2 cm的边，下、左、右方都空出1 cm的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．5．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．6．(2014·连云港模拟)某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度，拟制定年医疗总费用在2万元至10万元(包括2万元和10万元)的报销方案，该方案要求同时具备下列三个条件：①报销的医疗费用y(万元)随医疗总费用x(万元)增加而增加；②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%；③报销的医疗费用不得超过8万元．(1)请你分析该单位能否采用函数模型y＝0.05(x2＋4x＋8)作为报销方案；(2)若该单位决定采用函数模型y＝x－2ln x＋a(a为常数)作为报销方案，请你确定整数a的值(参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.3)．2.(2014·苏州一调)如图，有一块边长为1(百米)的正方形区域ABCD.在点A处有一个可转动的探照灯，其照射角∠P AQ始终为45°(其中点P，Q分别在边BC，CD上)，设∠P AB＝θ，tan θ＝t.(1)用t表示出PQ的长度，并探求△CPQ的周长l是否为定值；(2)问探照灯照射在正方形ABCD内部区域的面积S至多为多少平方百米？3．(2013·徐州调研)徐州、苏州两地相距500 km，一辆货车从徐州匀速行驶到苏州，规定速度不得超过在海岸线上建一度假村P，不考虑风向等因素影响，油井对度假村废气污染程度与排出废气的浓度成正比(比例系数都为k1)，与距离的平方成反比(比例系数都为k2)，又知甲油井排出的废气浓度是乙油井的8倍．(1)设乙油井排出的废气浓度为a(a为常数)，度假村P距离甲油井x km，度假村P受到甲、乙两油井的污染程度和记为f(x)，求f(x)的解析式并求其定义域；(2)度假村P距离甲油井多少时，甲、乙两油井对度假村的废气污染程度和最小？。
函数模型及其应用的教学教案
函数模型及其应用的教学教案教学教案：函数模型及其应用一、教学目标1.了解函数模型的基本概念和特性；2.掌握函数模型在实际问题中的应用；3.培养学生的数学建模能力和问题解决能力。
二、教学重点和难点1.函数模型的基本概念和特性；2.函数模型在实际问题中的应用。
三、教学方法1.讲授与示范相结合；2.小组合作学习；3.课堂实践。
四、教学过程步骤一：导入新知识（10分钟）1.复习函数的基本概念和性质；2.提出问题：“函数模型是什么？它有什么特点？”；3.学生回答问题并进行讨论。
步骤二：讲解函数模型的基本概念（20分钟）1.介绍函数模型的定义和表示方法；2.引导学生理解函数模型的含义：根据已知条件，建立函数模型来描述一个实际问题；3.示范几个常见的函数模型。
步骤三：探究函数模型的特性（20分钟）1.引入函数模型的性质：单调性、奇偶性、周期性等；2.以实例为例，让学生观察并总结函数模型的特性；3.学生合作完成几个练习题。
步骤四：应用函数模型解决实际问题（30分钟）1.通过实例介绍函数模型在实际问题中的应用，如物体自由落体、物种数量增长等；2.让学生进行小组合作，选择一个实际问题，建立相应的函数模型并解决问题；3.学生展示他们的解决方案，进行评价和讨论。
步骤五：巩固与拓展（20分钟）1.让学生复习巩固所学的内容，完成一篇小结；2.引导学生思考：函数模型在其他学科中的应用；3.教师进行点评和总结。
五、教学评估1.课堂表现评价：学生是否积极参与讨论、是否能熟练运用函数模型解决实际问题等；2.书面作业评价：布置相关练习题，检查学生的掌握程度。
六、教学资源1.教材：《数学教材》；2.多媒体教学工具；3.实际问题的资料。
七、教学反思通过本节课的教学，学生能够理解函数模型的基本概念和特性，能够应用函数模型解决实际问题。
在教学过程中，我注重将知识与实际问题相结合，让学生能够在解决问题的过程中感受到函数模型的重要性和应用价值。
高中数学第三章函数的应用第2节函数模型及其应用(1)教案新人教A版必修1
第二节函数模型及其应用第一课时整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述．本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用的．三维目标1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异．2．恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题．3．让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排2课时教学过程第1课时作者：林大华导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节课的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图象和性质，本节我们将通过实例比较它们的增长差异．推进新课新知探究提出问题①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区的努力，使湿地面积每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.④分别用表格、图象表示上述函数.,⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型与对数函数相关.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．①总价等于单价与数量的积．②面积等于边长的平方．③由特殊到一般，先求出经过1年、2年… ④列表画出函数图象．⑤引导学生回忆学过的函数模型．⑥结合函数表格与图象讨论它们的单调性． ⑦让学生自己比较并体会．⑧其他与对数函数有关的函数模型． 讨论结果：①y ＝x .②y ＝x 2.③y ＝(1＋5%)x.图1 图2 图3⑤它们分别属于：y ＝kx ＋b (直线型)，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，抛物线型)，y ＝ka x＋b (指数型)．⑥从表格和图象得出它们都为增函数．⑦在不同区间增长速度不同，随着x 的增大y ＝(1＋5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y ＝log a x ＋b ，我们把它叫做对数型函数． 应用示例例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番． 请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据．解：设第x 天所得回报是y 元，则方案一可以用函数y ＝40(x ∈N *)进行描述；方案二可以用函数y ＝10x (x ∈N *)进行描述；方案三可以用函数y ＝0.4×2x －1(x ∈N *)进行描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它的增长情况进行分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况．图4由表和图4可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”，其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，则应选择方案三．针对上例可以思考下面问题：①选择哪种方案是依据一天的回报数还是累积回报数． ②课本把两种回报数都列表给出的意义何在？ ③由此得出怎样的结论．答案：①选择哪种方案依据的是累积回报数． ②让我们体会每天回报数的增长变化．③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.图5根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250，元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于＋50＝200，∴x＝375；在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图象(图6)．图6观察函数的图象，在区间[10,1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x的图象都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图象始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝20时，y ＝5，因此，当x >20时，y >5，所以该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x >x 0时，y >5，所以该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10,1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图象(图7)，由函数图象可知它是递减的，因此图7f (x )<f (10)≈－0.316 7<0，即log 7x ＋1<0.25x .所以当x ∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x<0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不超过利润的25%. 变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x %(x >0)，销售数量就减少kx %(其中k 为正实数)．目前，该商品定价为a 元，统计其销售数量为b 个．(1)当k ＝12时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加．．．．时k 的取值范围． 解：依题意，价格上涨x %后，销售总金额为y ＝a (1＋x %)·b (1－kx %)＝ab10 000[－kx 2＋100(1－k )x ＋10 000]．(1)取k ＝12，y ＝ab 10 000(－12x 2＋50x ＋10 000)，所以x ＝50，即商品价格上涨50%，y 最大为98ab .(2)因为y ＝ab10 000[－kx 2＋100(1－k )x ＋10 000]，此二次函数的开口向下，对称轴为x ＝501－kk，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x 在{x |x >0}的一个子集内增大时，y 也增大．所以501－k k>0，解得0<k <1.点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k ，通过x 块玻璃以后强度为y .(1)写出y 关于x 的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．(lg3≈0.477 1)解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)k ＝0.9k ；光线经过2块玻璃后强度为(1－10%)·0.9k ＝0.92k ；光线经过3块玻璃后强度为(1－10%)·0.92k ＝0.93k ；光线经过x 块玻璃后强度为0.9xk .∴y ＝0.9x k (x ∈N *)．(2)由题意：0.9x k ＜k 3.∴0.9x＜13.两边取对数，x lg0.9＜lg 13.∵lg0.9＜0，∴x ＞lg 13lg0.9.∵lg 13lg0.9＝lg31－2lg3≈10.4，∴x min ＝11. ∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来的13以下．拓展提升某池塘中野生水葫芦的面积与时间的函数关系的图象(如图8所示)．假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦的面积就会超过30 m 2；③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所需的时间分别为t 1、t 2、t 3，则有t 1＋t 2＝t 3； ⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．哪些说法是正确的？图8解：①说法正确． ∵关系为指数函数，∴可设y ＝a x (a >0且a ≠1)．∴由图知2＝a 1. ∴a ＝2，即底数为2.②∵25＝32>30，∴说法正确． ③∵指数函数增长速度越来越快， ∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．课堂小结活动：学生先思考或讨论，再回答．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从基本知识和基本技能两方面来总结．答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题．作业课本习题3.2A组1、2.设计感想本节设计由学生熟悉的素材入手，结果却出乎学生的意料，由此使学生产生浓厚的学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型的应用，而且体会到它们之间的差异；我们补充的例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用的素材．其中拓展提升中的问题紧贴本节主题，很好地体现了指数函数的性质特点，是不可多得的素材．。
《函数模型的应用实例》教案
《函数模型的应用实例》教案一、教学目标1. 理解函数模型在实际问题中的应用。
2. 学会构建函数模型解决实际问题。
3. 培养学生的数学建模能力和创新思维。
二、教学内容1. 函数模型概述2. 常见函数模型及其应用3. 函数模型的构建方法4. 函数模型在实际问题中的应用案例分析5. 函数模型的评估与优化三、教学重点与难点1. 教学重点：函数模型在实际问题中的应用，函数模型的构建方法。
2. 教学难点：函数模型的评估与优化。
四、教学方法1. 案例分析法：通过实际问题案例，引导学生学会构建函数模型解决问题。
2. 讨论法：分组讨论，分享不同函数模型在实际问题中的应用。
3. 实践操作法：让学生动手实践，优化函数模型。
五、教学准备1. 教学PPT2. 实际问题案例及解决方案3. 计算机软件（如MATLAB、Excel等）4. 练习题教案内容示例：第一课时：函数模型概述1. 导入：介绍函数模型在实际生活中的应用，如线性规划、最优化问题等。
2. 讲解：讲解函数模型的概念、特点和分类。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生理解函数模型。
4. 练习：让学生练习构建简单的函数模型。
第二课时：常见函数模型及其应用1. 导入：介绍常见函数模型，如线性函数、二次函数等。
2. 讲解：讲解常见函数模型的性质及其在实际问题中的应用。
3. 案例分析：分析实际问题案例，引导学生运用常见函数模型解决问题。
4. 练习：让学生运用常见函数模型解决实际问题。
后续课时依次讲解函数模型的构建方法、函数模型在实际问题中的应用案例分析、函数模型的评估与优化等内容。
教学反思：在教学过程中，关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数模型在实际问题中的应用。
注重培养学生的创新思维和动手实践能力，提高他们的数学建模能力。
六、教学活动设计1. 课堂讲解：介绍函数模型的基本概念和重要性。
2. 案例分析：分析实际问题，引导学生识别和构建函数模型。
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函数模型及其应用的教学设计与反思
课题人教版必修一第三章第二节课时2授课对象高一（3）、（4）
教学目标1．能够应用函数的性质解决有关数学问题，能够应用函数知识解决一些简单的实际问题；2．培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力．
教学重难点重点：数学建模的方法。
难点：根据实际问题合理的选择数学模型和科学评价模型优劣。
教学准备采用电脑多媒体，投影仪等教学辅助工具。
教学过程（本部分为重点，包括导入过程和教学步骤）
导入过程
有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋．1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只．可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气。
教学步骤（重难点突破的过程、巩固方法）提问：以烧开一壶水为例，怎样烧法最省燃气？
（思考分析后）回答：烧开一壶水所用燃气量应该与燃气炉上控制燃气流量的旋钮的位置有关。
（赞赏地）陈述：分析的有道理。
我们现在要研究的问题是旋钮在什么位置时烧开一壶水所用的燃气量最少。
提问：那么烧开一壶水所用燃气量与旋钮位置能建立起什么关系呢？
回答：烧开一壶水所用燃气量与旋钮位置应该能建立起函数关系。
提问：那么旋钮位置这个量用什么数学知识来描述比较恰当？
回答：可用角度来描述。
具体来说可用旋钮转角的大小来表示。
根据散点图，设想函数横型可能为一次函数f(x)=ax+b （a ≠0）；二次函数g(x)=ax 2+bx+c
（a ≠0）幂函数型：b ax x h 2
1)(=，指数函数型：l(x)=ab x +c ］然后，用待定系数法求出各解析式，并验证，选出合适的函数。
【学生活动】全班分成四组，分别对上述分析所得的四个函数模型进行计算和检验。
每组选派一名代表进行对本组探究结论作发言。
设月产量为y 万件，月份数为x ，建立直有坐标系可得A （1，1），B （2，1.2），C （3，1,3），D （4，1.37）
【学生1】对于f(x)=ax+b ，将B 、C 两点坐标代入得
⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=+=+1
1.03.13
2.12b a b a f ⑶b a f ⑵解得 ∴f(x)=0.1x+1
这时f(1)=1.1，f(4)=1.4与实际产量的误差分别为0.1，0.03
【学生2】对于g(x)=ax 2+bc+c ，将A 、B 、C 三点坐标代入得
⎪⎩
⎪⎨⎧==-=⎪⎩⎪⎨⎧=++==++==++=7.035.005.03.139)3(2.124)2(1)1(c b a c b a g c b a g c b a g 解得
∴g(x)=－0.05x 2+0.35x+0.7
这时g(4)=－0.05×16+0.35×4+0.7=1.3与实际产量的误差为0.07
【学生3】对于幂函数b ax x h +=2
1)(，将A 、B 两点坐标代入，得⎩⎨⎧≈≈⎩⎨⎧=+==+=52.048.02
.12)2(1)1(b a b a h b a h 解得 ∴h(x)=0.48x 2
1+0.52 这时h(3)=0.48×3+0.52≈1.35。