第二章 常用统计技术(1)方差分析
方差分析的概念与应用
方差分析的概念与应用方差分析（Analysis of Variance, ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或三个以上样本均值是否存在显著差异。
其基本原理是通过将总方差分解为不同来源的方差，从而判断不同组之间是否存在显著性差异。
方差分析在生物医学、心理学、市场营销等多个领域都得到了广泛的应用。
本文将详细探讨方差分析的基本概念、方法及其实际应用。
一、方差分析的基本概念1.1 什么是方差方差是指数据集中各数据值与其均值之间的离散程度，它衡量了数据分布的变动幅度。
方差越大，数据分布越分散；相反，方差越小，数据分布越集中。
在方差分析中，我们主要关注的是不同样本均值之间的方差。
1.2 方差分析的原理在进行方差分析时，我们首先计算总体样本的总方差。
这一总方差可以分解为组间方差和组内方差。
具体来说：组间方差：代表不同组均值之间的变异程度。
组内方差：代表同一组内部样本之间的变异程度。
根据F检验原理，当组间方差显著大于组内方差时，可以认为至少有一个组的均值与其他组存在显著性差异。
这一过程可以用F统计量来表示，F统计量等于组间平均平方（Mean Square Between）除以组内平均平方（Mean Square Within）。
二、方差分析的类型2.1 单因素方差分析单因素方差分析是最基础的方差分析方法，适用于仅有一个因素对结果变量影响的情况。
例如，研究不同肥料对植物生长高度的影响，我们可以采用单因素方差分析。
在进行单因素分析时，假设我们有n个样本，每个样本在不同处理下进行观察。
通过计算各处理组均值与全局均值的偏离程度，可以判断是否有显著性差异。
2.2 双因素方差分析双因素方差分析则扩展至两个自变量对因变量影响的情况。
例如，研究不同肥料和不同光照条件下植物生长高度的影响。
在这种情况下，不仅要考虑肥料对植物生长高度的影响，还需要考虑光照对植物生长高度以及两者交互作用。
双因素分析可以帮助研究者揭示更复杂的关系，从而提供更加深入的理解。
方差分析_精品文档
方差分析_精品文档方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较两个或更多个群体均值是否存在显著差异的统计方法。
它是一种非参数统计方法，适用于正态分布的数据，可以帮助我们理解不同因素对于观测变量的影响程度以及它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本原理是将总体方差拆分为组内方差和组间方差。
组间方差表示了不同群体之间的差异，组内方差则表示了同一群体内的个体差异。
通过比较组间方差与组内方差的大小，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析主要用于比较一个因素（或处理）对观测变量的影响，例如比较不同药物对于治疗效果的影响；而多因素方差分析则可以同时考虑多个因素的影响，并探究它们之间是否存在交互作用。
方差分析的基本步骤如下：1.建立假设：根据实际问题，建立相应的原假设（H0）和备择假设（H1）。
原假设通常是认为各组均值相等，备择假设则是认为各组均值不全相等。
2.收集数据：根据实验设计，对不同处理组进行观测，获取相应的数据。
3.计算统计量：计算组间方差和组内方差，进行方差分析，得到统计量（F值）。
4.判断显著性：根据计算出的F值和自由度，查找F分布表，计算出P值（显著性水平）。
5.做出结论：根据P值，结合原假设和备择假设，判断不同群体均值是否存在显著差异。
方差分析的优点在于可以同时比较多个群体均值，减少了多次独立t 检验的错误率。
此外，方差分析也可以用于研究不同因素的交互作用，帮助我们更全面地理解数据。
然而，方差分析也有一些限制。
首先，方差分析要求数据满足正态分布假设，如果数据不满足正态分布，则结果可能不准确。
其次，方差分析对样本量要求较高，特别是对于多因素方差分析，需要足够的样本量才能得到可靠的结果。
最后，方差分析只能告诉我们群体均值是否存在显著差异，而不能确定具体差异的大小，这需要通过其他统计方法进行进一步分析。
第2章 方差分析
邋
3
5
( xij - x )2
i= 1 j = 1
随机波动引起的误差 SE ST －总误差平方和 因素A的不同水平所产生的误差SA
ST =
邋
3
5
( xij - x ) 2
随机误差平方和SE
(4) 单击“Options”按钮，弹出One-Sample T Test：
Options对话框，用于定义相关的选项。 (5) 单击“OK”按钮，即可完成单样本均值检验的操作。
2. Independent-Samples T Test过程
(1) 选择菜单Analyze→Compare means → IndependentSamples T Test (2) 将需要检验的变量从左侧列表框通过中间的移动按 钮选入到右侧的Test Variable(s)框中。 (3) 将分组变量从左侧列表框通过中间的移动按钮选入 到右侧的Grouping Variable框中。 (4) 单击Define Groups按钮，弹出Define Groups话框 (5) 单击“Options”按钮
2.1.2 假设检验的步骤
(1) 根据实际问题的要求，提出零假设H0和备择假设H1。
(2) 根据H0的内容，选取适当的检验统计量，并能确定 出检验统计量的分布。
(3) 根据样本观测值计算出检验统计量的值。
(4) 在给定的显著性水平(0＜＜1)下，查所选检验统 计量服从的分布表，确定临界值。 (5) 确定拒绝域并做出拒绝还是接受H0的统计判断。
合计 X1.=339 X 2.=416 X 3.=368 x..=1123
水平平均
x1 . =67.8
x2. =83.2
x3. =73.6
第二章 常用统计技术(1)方差分析
第二章常用统计技术第二章常用统计技术【考试趋势】单选4-5题，多选6-8题，综合分析7-8题。
总分值30-40分。
总分170分。
占比20%左右。
【大纲考点】一、方差分析(一)方差分析基本概念1．掌握因子、水平和方差分析的三项基本假定2．熟悉方差分析是在同方差假定下检验多个正态均值是否相等的统计方法（难点）(二)方差分析方法1．掌握单因子的方差分析方法(平方和分解、总平方和、因子平方和、误差平方和，自由由度、f比、显著性) （重点）2．了解重复数不等情况下的方差分析方法。
（难点）二、回归分析主要研究定量因子，也就是变量分析(一)散布图与相关系数1.掌握散布图的作用与做法2.掌握样本相关系数的定义、计算及其检验方法（重点，难点）(二)一元线性回归1．掌握用最小二乘估计建立一元线性回归方程的方法（重点，难点）2．掌握一元线性回归方程的检验方法（重点，难点）3．熟悉一元线性回归方法在预测中的应用(三)了解可化为一元线性回归的曲线回归问题三、试验设计三、试验设计(一)基本概念与正交表1．了解试验设计的必要性2．熟悉常用正交表及正交表的特点(二)正交试验设计与分析1．熟悉使用正交表进行试验设计的步骤2．掌握无交互作用的正交试验设计的直观分析法与方差分析法3．熟悉贡献率的分析方法4．了解有交互作用的正交试验设计的方差分析法5．熟悉最佳水平组合的选取【考点解读】三种统计技术的特点：新版教材第74页。
第一节方差分析第一节方差分析一、方差分析1、三项基本假定-(掌握p75)为什么要方差分析？目的和用途。
方差分析不是简单分析方差，通过方差分析因子的显著与否。
方差只是手段。
对结果的影响是否显著。
要用到假设检验。
零假设，备择假设。
但是假设检验的前提条件是：正态分布，等方差，观测相互独立。
也就是大纲里讲的三项基本假定。
2、方差分析的统计检验-(掌握p76)那么如何在同方差假定下检验多个正态均值是否相等呢？其实统计检验的问题。
统计学中的方差分析
统计学中的方差分析统计学中的方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种用于比较不同样本均值之间差异的方法。
它是通过对观察数据的方差进行分解来实现的。
方差分析在实际应用中具有广泛的应用领域，既可以用于科学研究的数据分析，也适用于质量管理、市场调查等应用场景。
一、什么是方差分析方差分析是一种用于对不同组之间差异进行比较的统计方法。
它的基本原理是通过将总体方差分解为组内方差和组间方差，来检验不同组均值之间是否存在显著差异。
方差分析可以用于比较两个以上组的均值差异，且可以同时考虑多个自变量对因变量的影响。
方差分析的基本假设包括：1. 总体是正态分布的；2. 不同组的方差相等（方差齐性）；3. 不同组之间相互独立。
二、单因素方差分析单因素方差分析是指只考虑一个自变量对因变量的影响。
它适用于比较一个因素（如不同调查方法、不同药物剂量等）对某个指标的影响是否存在显著差异。
单因素方差分析的结果主要包括组间均方（MSB）、组内均方（MSW）和F值。
组间均方（MSB）是各组均值与总体均值之间的差异的平方和除以自由度的比值；而组内均方（MSW）是各组内部个体与各组均值之间的差异的平方和除以自由度的比值。
F值则是组间均方与组内均方的比值。
当F值显著时，表明不同组均值之间存在显著差异。
三、多因素方差分析多因素方差分析是指考虑多个自变量对因变量的影响。
多因素方差分析通常会考虑两个以上的自变量，以及它们之间是否存在交互作用。
通过多因素方差分析，可以更全面地了解多个因素对研究对象的影响。
多因素方差分析的结果不仅包括组间均方、组内均方和F值，还包括每个自变量的主效应和交互效应。
主效应指的是每个自变量对因变量的独立影响，而交互效应则是不同自变量之间相互作用产生的影响。
四、方差分析的应用领域方差分析在实际应用中具有广泛的应用领域。
在科学研究中，方差分析可以用于比较不同实验条件下的实验结果，验证研究假设的有效性。
方差分析
n 打开数据文件grocery_1month.sav。 n 选择【分析】→【一般线性模型】→【单变量】
绘制选项
把style选入水平轴，gender选入单图，然后点击 “添加”。再把style和gender互相交换，选入不同 的框中，单击“添加”。
结果及其解释（1）
结果及其解释（2）
结果及其解释（3）
数据。
方差分析的前提条件
n 方差分析的自变量是“因子”或者“因素”， 它是分类变量；其因变量则为尺度变量，需要 满足以下两个基本前提条件：
n 每个处理的因变量为正态分布（正态性） n 每个处理的因变量具有相同的方差（方差齐性）
单因素的方差分析
n 用于研究一个影响因素对试验结果的影响，它 用于比较两个或者两个以上的总体之间是否有 显著的差异
结果解释
两两比较结果及解释
由于Levene检验没有证据说明三种培训方式的方差相等，参照两种不 同的两两比较的结果是必要的。 Bonferroni和Tamhane多重比较的结果是一致的。即培训2天和培训3天 没有显著的区别，而培训1天与另外两种培训都有显著区别。
同质子集
Tukey B两两比较输出的结果，它把在5%的显著性水 平下没有区别的总体放在同一列，作为同类子集。 这里，培训2天和培训3天没有显著区别，它们作为 一类。而培训1天单独作为1类。
协方差分析的数学模型
n 协方差分析的数学模型为 yij = ¹ + ai +¯ zij+ ²ij
这里yij表示在控制因素的i水平下的第j次试 验的因变量观测值；¹为因变量总体均值;ai表 示控制因素的水平下对因变量产生的效应；¯ 为协变量的回归系数；zij表示在控制因素的水 平i下的第j次试验的协变量观测值；²ij为抽样 误差，假设它是服从方差相等的正态分布变量。
统计学之方差分析
使用Python的方差分析库（如SciPy）进行方差分析，如 “scipy.stats.f_oneway()”。
查看结果
Python将输出方差分析的结果，包括F值、p值、效应量等。
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详细描述
独立性检验可以通过卡方检验、相关性检验 等方法进行。如果数据不独立，需要考虑数 据的相关性和因果关系等因素，以避免误导 的分析结果。
06 方差分析的软件实现
SPSS软件实现
导入数据
将数据导入SPSS软件中，选择正确的数 据类型和格式。
查看结果
SPSS将输出方差分析的结果，包括F值、 p值、效应量等。
03 方差分析的步骤
数据准备
01
02
03
收集数据
收集实验或调查所需的数 据，确保数据来源可靠、 准确。
数据筛选
对异常值、缺失值等进行 处理，确保数据质量。
数据分组
根据研究目的，将数据分 成不同的组或处理水平。
建立模型
确定因子
确定影响因变量的自变量或因子。
建立模型
根据因子和因变量的关系，建立合适的方差分析模型。
统计学之方差分析
目 录
• 方差分析简介 • 方差分析的数学原理 • 方差分析的步骤 • 方差分析的应用场景 • 方差分析的注意事项 • 方差分析的软件实现
01 方差分析简介
方差分析的定义
• 方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或多个 组（或类别）的平均值差异是否显著。它通过对总体平均值的 假设检验来进行数据分析，以确定不同条件或处理对观测结果 是否有显著影响。
执行方差分析
在SPSS的“分析”菜单中选择“比较均值” 或“一般线性模型”中的“单变量”，然 后选择需要进行方差分析的变量。
统计学中的方差分析方法
统计学中的方差分析方法统计学是现代社会中最重要的学科之一，它基于大量的数据和数学模型，研究人类社会和自然环境中各种现象和规律。
其中，方差分析是统计学中最基本的分析方法之一，它常常被用来分析各种因素对某个变量的影响。
在本文中，我们将详细介绍方差分析方法的基本原理和应用。
一、方差分析的基本原理方差分析是利用方差的性质分析多组数据之间的差异或相似性的方法。
它是以方差分解为基础的，通过对总方差、组间平方和和组内平方和的分解，来度量实验因素对实验变量的影响。
在具体的研究过程中，我们通常将所研究的因素分为不同的组别，并在每个组别中测量实验变量的值，随后运用方差分析方法来分析不同组别之间的差异。
在方差分析中，我们通常采用F检验法来判断差异的显著性。
通过计算F值并与临界值进行比较，得出数据是否符合研究假设的结果。
如果F值大于临界值，则说明差异是显著的，反之则说明差异不显著。
F检验法在实际应用中非常广泛，适用于大多数实验设计和数据类型。
二、方差分析的应用方差分析方法可以用于各种不同类型的数据分析，如一元方差分析、双因素方差分析、三因素方差分析等等。
下面我们将分别介绍它们的应用。
1. 一元方差分析一元方差分析是指只有一个自变量和一个因变量的分析方法，也就是说只有一个因素影响一个变量。
一元方差分析通常用于分析实验组与对照组之间的差异或者不同处理方式对实验结果的影响等。
例如，我们要研究不同肥料对作物产量的影响，我们可以将实验分成几组，每组采用不同的肥料，最后对产量进行测量。
接着通过方差分析法来比较每组之间产量的差异，最后确定哪种肥料更适合提高作物产量。
2. 双因素方差分析双因素方差分析是指有两个自变量和一个因变量的分析方法，也就是说有两个因素对一个变量产生影响。
双因素方差分析通常用于研究两种或多种因素的交互效应。
例如，我们要研究不同机器和不同操作员对产品质量的影响，我们可以先在不同机器上制造同种产品，然后再让不同的操作员进行操作。
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第二章常用统计技术
第二章常用统计技术
【考试趋势】
单选4-5题，多选6-8题，综合分析7-8题。
总分值30-40分。
总分170分。
占比20%左右。
【大纲考点】
一、方差分析
(一)方差分析基本概念
1．掌握因子、水平和方差分析的三项基本假定
2．熟悉方差分析是在同方差假定下检验多个正态均值是否相等的统计方法（难点）
(二)方差分析方法
1．掌握单因子的方差分析方法(平方和分解、总平方和、因子平方和、误差平方和，自由由度、f比、显著性) （重点）
2．了解重复数不等情况下的方差分析方法。
（难点）
二、回归分析
主要研究定量因子，也就是变量分析
(一)散布图与相关系数
1.掌握散布图的作用与做法
2.掌握样本相关系数的定义、计算及其检验方法（重点，难点）
(二)一元线性回归
1．掌握用最小二乘估计建立一元线性回归方程的方法（重点，难点）
2．掌握一元线性回归方程的检验方法（重点，难点）
3．熟悉一元线性回归方法在预测中的应用
(三)了解可化为一元线性回归的曲线回归问题
三、试验设计
三、试验设计
(一)基本概念与正交表
1．了解试验设计的必要性
2．熟悉常用正交表及正交表的特点
(二)正交试验设计与分析
1．熟悉使用正交表进行试验设计的步骤
2．掌握无交互作用的正交试验设计的直观分析法与方差分析法
3．熟悉贡献率的分析方法
4．了解有交互作用的正交试验设计的方差分析法
5．熟悉最佳水平组合的选取
【考点解读】
三种统计技术的特点：新版教材第74页。
第一节方差分析
第一节方差分析
一、方差分析
1、三项基本假定-(掌握p75)
为什么要方差分析？目的和用途。
方差分析不是简单分析方差，通过方差分析因子的显著与否。
方差只是手段。
对结果的影响是否显著。
要用到假设检验。
零假设，备择假设。
但是假设检验的前提条件是：正态分布，等方差，观测相互独立。
也就是大纲里讲的三项基本假定。
2、方差分析的统计检验-(掌握p76)
那么如何在同方差假定下检验多个正态均值是否相等呢？其实统计检验的
问题。
大家想一下，零假设，备择假设是什么？
同一个因子，有不同水平，每个水平重复多次试验就得到一个分布。
有几个水平就有几个分布，方差分析是看分布的均值是否相等。
相等，说明因子变动对结果没影响，相差越大就越显著！
3、单因子的方差分析-(掌握p76-79)
因子a，有r个水平，也就是取值的情况，在试验中每个水平被重复m 次。
那么总共可以得到多少个结果观测值呢？n=r*m个。
每个水平的和，以及均值，分别共有r个。
总和为t，总均值为y。
离差平方和，通俗来讲，就是每个值离开平均值的平方和。
先平方，再求和。
能反映离散程度，波动情况。
那么，什么因素造成观测值的波动呢?如果解释因子的离差平方和能够和结果的离差平方和很一致，那么这个因子就是显著的。
这里，
这里，因子平方和的计算很有讲究。
首先，组间方差，也就是平方和，是用每个水平的均值与总均值相比较来求。
因每个水平被重复试验m 次，还要乘以m 。
总平方和的求解概念上很简单，但计算量比较大。
因此，有个简便计算公式，每个观测的平方，求和；总和t平方，除以n=r*m；然后两者相减。
大家看一下，教材78页的公式是不是这样？
，=
同样，因子平方和的计算也有简便公式。
可以这样来理解，每组的（每个水平）的均值平方，因每个水平被重复试验m 次，故 m 次求和；总和t平方，除以n=r*m；然后两者相减。
一般地，总平方和、因子平方和不会相等。
之间的差额就是误差平方和。
当然，为了验证平方和分解，还要计算一下误差平方和。
为了能使用f分布进行统计检验，还需要用到自由度的概念来构造符合f分布的统计值。
自由度
自由度(degree of freedom, df)，在数学中能够自由取值的变量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，其自由度等于2。
在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。
通常df=n-k。
其中n为样本含量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。
电子游戏中也有自由度这个概念。
这个，我就不清楚了。
统计学上的自由度是指当以样本的统计量来估计总体的参数时，样本中独立或能
自由变化的资料的个数，称为该统计量的自由度。
统计学上的自由度包括两方面的内容：
首先，在估计总体的平均数时，由于样本中的 n 个数都是相互独立的，从其中抽出任何一个数都不影响其他数据，所以其自由度为n。
在估计总
体的方差时，使用的是离差平方和。
只要n-1个数的离差平方和确定了，
方差也就确定了；因为在均值确定后，如果知道了其中n-1个数的值，第n 个数的值也就确定了。
这里，均值就相当于一个限制条件，由于加了这个
限制条件，估计总体方差的自由度为n-1。
例如，有一个有4个数据(n=4)
的样本, 其平均值m等于5,即受到m=5的条件限制, 在自由确定4、2、5
三个数据后, 第四个数据只能是9, 否则m≠5。
因而这里的自由度υ
=n-1=4-1=3。
推而广之,任何统计量的自由度υ=n-限制条件的个数。
其次，统计模型的自由度等于可自由取值的自变量的个数。
如在回归方程中，如果共有p个参数需要估计，则其中包括了p-1个自变量（与截距
对应的自变量是常量1）。
因此该回归方程的自由度为p-1。
这个解释，如果把“样本”二字换成“总体”二字也说得过去。
这个根本解释不了在统
计学中，自由度的概念。
在一个包含n个个体的总体中，平均数为m。
知道了n-1个个体时，剩下的一个个体不可以随意变化。
为什么总体方差计算，是除以n而不是n-1呢？方差是实际值与期望值之差平方的期望值，所以
知道总体个数n时方差应除以n，除以n-1时是方差的一个无偏估计。
这里
这里，自由度也有分解式。
其中，总自由度和因子自由度容易求，二者之差可以求其三。
，，，
平方和与自由度之比，得均方差，ms。
用msa/mse=f，构造出f统计量。
并计算统计值。
然后与临界值，门槛值或者阈值，比较。
如果大于阈值，拒绝原假设，因子显著！这个，阈值，教材上叫
分位数。
1- 分位数。
f分位数又有2个参数，即分子和分母的自由度。
和。
最后，列出方差分析表。
(平方和分解、总平方和、因子平方和、误差平方和，自由度、f比、显著性)
如果显著，要找出最好的水平，根据均值最好的水平确定。
还可以用均值水平图直观显示。
最后，还要估计我们统计检验的误差大小。
即误差方差，估计值用均方差mse。
4、重复数不
4、重复数不等情况下的方差分析-（掌握p79-80）
原理一样，做法稍有调整。
主要把公式中的，换乘即可。
，最本质的是
这也是许多考生常常疑惑的地方，这里给出解答。
教材上是没有的，但是又非常影响情绪和记忆效果的。