带分数布朗运动的随机时滞Lotka-Volterra模型的渐近性
罗伯特布朗的布朗运动和数学建模
羅伯特布朗的布朗运动和数学建模羅伯特·布朗（Robert Brown，1773年12月21日-1858年6月10日）是一位英国植物学家和生物学家，他以发现“布朗运动”而闻名于世。
布朗运动是一个微观粒子在液体或气体中不规则的、随机的运动过程，这一发现在科学史上具有里程碑的意义，也为后来统计力学和随机过程的发展提供了重要的启示。
布朗运动的观察与描述羅伯特·布朗最早观察到布朗运动是在1827年，当时他在显微镜下观察鸢尾花绒毛的花粉颗粒在水中的运动。
他发现这些花粉颗粒呈现出无规律、快速且不受控制的运动，这种现象被后人称为“布朗运动”。
在布朗的研究中，他详细描述了这种微观颗粒在液体中扩散的运动特征，并提出了有关这一现象的猜想。
布朗运动的数学建模对于布朗运动这一随机过程，数学家们提出了多种数学模型来描述和解释这种现象。
其中最著名的要数维纳-斯托克斯方程（the Wiener–Stokes equation），它是描述颗粒在流体中受到扰动作用的微分方程。
通过这一数学模型，可以更加准确地预测和解释布朗运动的规律性。
除了维纳-斯托克斯方程外，还有许多统计力学中的理论模型被应用于研究布朗运动。
例如，基于随机微分方程、随机过程和随机行走等数学工具，科学家们可以深入探讨布朗运动背后更深层次的规律和特性。
布朗运动在科学研究中的应用布朗运动不仅在物理学和数学领域得到广泛应用，在生物学、化学等领域也有着重要意义。
在生物学中，布朗运动被应用于研究细胞器官的运输与扩散过程；在化学领域，它有助于理解分子之间的碰撞和扩散行为。
可以说，布朗运动作为一种普遍存在于自然界中的随机现象，对科学研究具有深远影响。
结语羅伯特·布朗的发现不仅改变了人们对微观世界的认识，也推动了数学建模和统计力学等领域的发展。
通过对布朗运动进行深入研究，我们不仅更好地理解自然界中微小粒子的行为规律，也为人类更深层次地探索自然世界铺平了道路。
布朗运动标准函数
布朗运动标准函数布朗运动，也被称为布朗颗粒运动，是指一种微观粒子在液体或气体中的随机运动，其运动规律是具有随机性的。
布朗运动是19世纪物理学家布朗通过实验发现的，是粒子在液体环境下不断受到碰撞和扰动的结果。
布朗运动在许多研究领域中经常被用作一种模型来研究随机现象。
布朗运动的特点是：随机性、不可预测性、无规律性。
因为其具有这些特性，所以在许多科学领域中，布朗运动广泛应用于研究物理现象。
一般来说，布朗运动可以用一个数学公式来描述，这个数学公式就是布朗运动的标准函数。
布朗运动的标准函数是指一个关于时间和位置的随机函数，其数学形式为：$$W_t = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}}\int_{0}^{t}e^{-\frac{s^2}{2t}}dW_s$$其中，$W_t$表示在时间t处粒子所处的位置，$dW_s$表示时间点$s$与$s+ds$之间的随机变化量。
这个式子可以理解为粒子在随时间变化的随机环境中所经历的累加效应，因此$W_t$可以看作是一个随机游走的过程。
这个标准函数告诉我们，布朗运动中的粒子位置的变化不是简单的线性运动，而是随着时间的变化而变化，并且其变化是由很多次微小的随机运动叠加而成的。
因此，布朗运动的标准函数也被称为随机积分。
通过对布朗运动的数学描述，我们可以研究其各种性质。
例如，我们可以计算出布朗运动中粒子的平均移动和方差，这两个数据可以反映出粒子的运动趋势和分布规律，同时也是许多科学领域中研究随机运动的重要工具。
布朗运动的标准函数在物理学、化学、生物学、金融学等许多领域都有广泛的应用。
例如，研究在媒介中扩散的物质的运动时，我们可以用布朗运动的标准函数来描述其随机运动的特性；在金融领域中，布朗运动也被用来描述股票价格的随机波动。
总之，布朗运动的标准函数是许多科学领域中研究随机运动的重要工具，通过对其数学描述，我们可以研究其各种性质，从而更好地理解自然界和人类社会中的各种随机现象。
随机过程中的布朗运动
随机过程中的布朗运动随机过程是数学中研究随机变量随时间演化的数学对象。
其中，布朗运动是一种常见的随机过程，它在多个领域中有着广泛的应用，如金融学、物理学和生物学等。
本文将对布朗运动的定义、性质以及应用进行介绍。
一、布朗运动的定义布朗运动又被称为维纳过程，它是一种连续时间的马尔可夫过程。
在数学上，布朗运动被定义为满足以下三个条件的随机过程：1. 初始条件：布朗运动在t=0时刻的取值为0，即B(0) = 0；2. 独立增量：对于任意时刻s < t < u < v，布朗运动的增量B(t)－B(s)和B(u)－B(v)是独立的；3. 正态分布增量：布朗运动的增量B(t)－B(s)服从均值为0、方差为t-s的正态分布。
根据这些性质，我们可以看出布朗运动是一种具有连续性、不可预测性和自相似性的随机过程。
二、布朗运动的性质1. 连续性：布朗运动在任意时刻的取值都是连续的。
这意味着在任意时间间隔内，布朗运动的取值可以变化无穷多次。
2. 独立增量：布朗运动的增量在不同的时间间隔内是独立的。
这意味着过去的演化轨迹对未来的演化轨迹没有影响。
3. 高斯分布：布朗运动的增量服从高斯分布，即正态分布。
这意味着在短时间内，布朗运动的变化趋势可以视为近似线性。
4. 无趋势：布朗运动的期望增量为0，即E[B(t)－B(s)] = 0。
这意味着在长时间尺度内，布朗运动没有明显的趋势。
三、布朗运动的应用1. 金融学：布朗运动在金融学中有广泛应用，特别是在期权定价和风险管理领域。
布朗运动模型可以描述股票价格的随机变动，并为衍生品定价提供基础。
2. 物理学：布朗运动的概念最早是用来解释在液体中浮游微粒的无规运动。
它在研究扩散过程、热力学平衡和粒子统计等问题中起到重要作用。
3. 生物学：布朗运动在生物学中被用来描述微生物和生化分子在胞浆中的运动。
通过对布朗运动的观察和分析，科学家可以了解细胞内生物分子的行为和相互作用。
总结：布朗运动作为一种随机过程，具有连续性、不可预测性和自相似性等特点。
分数阶布朗运动
分数阶布朗运动分数阶布朗运动，又称为分数阶随机游走或分数阶随机过程，是一类重要的随机过程模型。
与传统的布朗运动相比，分数阶布朗运动在时间上不再是连续的，而是具有非整数阶的时间导数。
这种非整数阶导数的引入使得分数阶布朗运动具有了更广泛的应用领域和更丰富的动力学行为。
分数阶布朗运动的定义是在分数阶微分方程的框架下进行建模和分析的。
分数阶微分方程是一种一般化的微分方程，其导数的阶数可以是任意实数，包括整数和分数。
在分数阶布朗运动中，时间导数的阶数被认为是一个分数，这就使得运动的时间步长变得更加灵活和多样化。
分数阶布朗运动在金融学、物理学、生物学等多个领域都有重要的应用。
在金融学中，分数阶布朗运动被用来描述股票价格、汇率等金融产品的价格变动。
与传统的布朗运动相比，分数阶布朗运动可以更好地捕捉到金融市场中的长尾分布和时间相关性。
在物理学中，分数阶布朗运动被用来描述粒子在非平衡系统中的扩散行为。
与传统的布朗运动相比，分数阶布朗运动可以更好地描述具有记忆效应和非马尔可夫性质的扩散过程。
在生物学中，分数阶布朗运动被用来描述细胞内分子的运动。
与传统的布朗运动相比，分数阶布朗运动可以更好地描述细胞内复杂环境中的扩散行为。
分数阶布朗运动的性质与传统的布朗运动有很大的不同。
首先，分数阶布朗运动的路径是不连续的，即存在无穷多个分割点，使得运动在不同的时间段内具有不同的行为。
其次，分数阶布朗运动的路径可以是非马尔可夫的，即过去的状态不仅仅取决于当前的状态，还取决于过去的状态。
最后，分数阶布朗运动的路径可以是非平稳的，即其统计性质随时间的演化而变化。
分数阶布朗运动的建模和分析是一个相对较新的领域，目前仍存在许多未解决的问题和挑战。
例如，如何求解分数阶微分方程的解析解和数值解，如何计算分数阶布朗运动的统计性质，以及如何利用分数阶布朗运动进行系统建模和控制等。
这些问题的解决将进一步推动分数阶布朗运动的理论发展和应用研究。
分数阶布朗运动是一种重要的随机过程模型，具有广泛的应用领域和丰富的动力学行为。
具有时滞的Lotka-Volterra模型的正周期解的存在性
型的研究 结果是 对前人 工作 的一 个很 好补充 ．
收稿 日期 ： ０ ９ ｌ 一２ ２０－ Ｏ ６
基金 项 目 ： 南 工程 学 院科 研 启 动基 金 资 助 项 目（７ ４ ． 湖 ０４） 作 者 简 介 ： 昌进 （９ ０ ， ， 读 博 士 ， 徐 １７ 一） 男 在 讲师 ， 究 方 向 ： 函微 分方 程 及 其 应 用． 研 泛
一
连续 投影 Ｐ： ｘ— ｘ 及 Ｑ： ｚ—Ｚ使 得 Ｉ ｍＰ：ＫｅＬ， ｒ
Ｉ ＫｅＱ— Ｉ （ — Ｑ ， Ｄｏ ＬｎＫｅＰ：１ Ｐ） ｍＬ ｒ ａ ｒ Ｉ ） ＬＩ ｔ ａ ｒ （一
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第 ２ 卷 第 １期 Ｏ
２１ ０ ０年 ３月
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Ｖｏ ． ０ Ｎｏ １ １ ２ ． ．
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具 有 时 滞 的 Ｌｏｔ － ｏｌｅ ｒ ｋａ Ｖ ｔ ｒ ａ模 型 的
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分形布朗运动原理-概述说明以及解释
分形布朗运动原理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述分形布朗运动是一种具有分形特征的随机运动模型，它结合了分形几何学和布朗运动理论。
分形几何学是一门研究自相似性和自统一性的几何学，而布朗运动则是描述粒子在液体或气体中的随机运动。
分形布朗运动的研究源于对自然界中许多复杂现象的观察和模拟。
自然界中的很多系统表现出分形的特征，如树枝的分支、云朵的形状、山脉的轮廓等。
而布朗运动则是对微观粒子在液体和气体中的扩散运动进行建模，是统计物理学的重要研究内容之一。
本文旨在介绍分形布朗运动的基本原理和特征，并探讨其在不同领域的应用。
首先，我们将介绍分形的概念与特征，包括分形维度、自相似性和分形集合的构造方式。
接着，我们会详细讲解布朗运动的基本原理，包括随机性、随机步长和随机时间。
最后，我们将针对分形布朗运动给出其定义和特性，并探讨其在金融、医学、图像处理等领域的应用前景。
通过深入了解分形布朗运动的原理和特性，我们可以更好地理解和解释自然界中的复杂现象，并为相关领域的研究和应用提供理论基础。
同时，对于金融市场的预测、医学图像的处理和模拟等问题，分形布朗运动也有着重要的应用价值。
在未来的研究中，我们相信分形布朗运动将继续发挥其重要作用，并推动相关领域的进一步发展。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，我们首先对分形布朗运动的概念进行了概述，介绍了其在自然界和科学领域中的广泛应用。
接着，我们对本文的结构进行了简要的介绍，概括了各个章节的内容和目的。
最后，我们明确了本文的目的，旨在深入探讨分形布朗运动的原理及其应用前景。
正文部分分为两个章节，分别是分形的概念与特征以及布朗运动的基本原理。
在分形的概念与特征章节中，我们先对分形的基本概念进行了阐述，介绍了分形几何学的起源和发展。
然后，我们详细讨论了分形的主要特征，如自相似性、分形维度等，并且给出了一些实例进行说明。
第三章布朗运动1
布朗运动解释为随机游动的极限
W (t)表示质点在时刻t的位置，则W (t) 也表示 质点直到t所作的位移，因此在时间(s, t)内，它所 做的位移是W (t)-W (s),由于在时间(s, t)内质点受 到周围分子的大量碰撞，每次碰撞都产生一个小 的位移，故W (t)-W (s)是大量小位移的和，由中 心极限定理它服从正态分布
W t1,
f x1, x2,
其中
,W tn 的联合密度函数为
, xn ft1 (x1) ft2t1 (x2 x1)
ft x
1
x2
e 2t
2 t
ftn tn1 (xn xn1)
由此可以看出 W t1 , ,W tn 服 从n维正态分布。
这是因为在W(t1)=x1的条件下，W(t2)的条件密度
是相互独立的随机变量
布朗运动W(t)的对称性
在W(t0)=x0的条件下，W(t0+t)的条件密度函数为
fW t0 tW t0 x x0
1
( x x0 )2
e 2t
2 t
P W t0 t x0 W t0 x0 x0 fW t0 tW t0 x x0 dx
P W t0 t x0 W t0 x0
1.对称性 -W也是一个标准Brown运动
2.自相似性：对任意的常数a>0和固定的时间 指标t>0,有W (at)=a1/2W(t)
3.时间可逆性 B (t)=W (T)-W (T-t) 则B={B (t), 0≤t≤T}也是一个标准Brown运 动
对称性的证明： 显然 -W(0)=0
0 s t, (W (t) W (s)) ~ N(0,(t s)) n 2,0=t0 <t1< <tn < , (W (t1)-W (t0 )), (W (t2 )-W (t1)), , (W (tn )-W (tn-1))
布朗运动、伊藤引理、BS 公式(前篇)
布朗运动、伊藤引理、BS 公式（前篇）对量化投资感兴趣的人大概都听说过的 Black-Scholes 期权定价公式（又称 Black-Scholes-Merton 公式，下称 BS 公式）。
它大概是将数学中随机过程（stochastic process）的概念运用到实际金融产品中的最著名的一个例子。
美国华尔街的 Quant 职位面试中更是无一例外的会问到 BS 公式及其引申出来的相关问题，足见其地位。
然而黑天鹅之父纳西姆·塔雷伯（Nassim Nicholas Taleb，以《黑天鹅效应》一书闻名于世）却对它嗤之以鼻，更是写过一篇题为 Why we have never used the Black-Scholes-Merton option pricing formula（为什么我们从来不用BS期权定价公式）来抨击它。
诚然，BS 公式在投资实践中能够起到多大的作用见仁见智。
但我们想说的是，BS 公式仅仅是一结果，是随机分析（stochastic calculus）经过严谨的层层推演得到的产物。
透过现象看本质，它背后蕴含着强大的数学体系，使得我们可以运用随机过程对股价、期权价格以及其他衍生品价格进行量化建模。
掌握这套分析体系对于有志于在量化投资领域有所建树的人来说十分必要。
想要摸清楚这套随机分析体系并不容易。
如果你在搜索引擎上查询 BS 公式的推导体系，一定会看到诸如“布朗运动”、“伊藤引理”、“随机微分方程”这些概念。
它们都是这套分析体系中必不可少的组成部分，环环相扣，在随机分析的大框架下完美的联系在一起。
熟悉这套分析框架的人可以充分的感受到这些基本模块无缝的组合在一起所展示出来的数学的魅力。
而对于不熟悉它的人来说，这之中每一个概念都可能仿佛天书一般；即便是具有高等数学知识的人，想要很快的梳理出它们之间的逻辑联系也并不容易。
简单的说，（标准）布朗运动是一种最简单的连续随机过程，它是描述证券价格随机性的基本模型。
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本 文讨论 如下形 式 的带有 日指数 的时滞 Ｌ ｋａＶ ｈ ｒ ｏｔ。 ｏ ｅｒ ａ模型 的渐 近性 ， ｄ （） ＝ｄａ （ （） … ， （） ［ ｂ＋Ａ （ 一 ｄ ＋ （ ） Ｂ ］ ｔ ｉｇ ￡ ， ｎ ￡） （ ｔ ） ｔ ｔｄ ， （） １
其 中， 是一 个标 准 的分 数布 朗运 动 ； ＝（ｒ） 表示 噪声强 度 的一个矩 阵 。 日 ＝１ ２时 ， Ｂ ｒ ｏ Ｏ … 当 ／ 分数 布 朗 运动 Ｂ 是一 个半鞅 。 当 日 ≠ １２时 ， 故 ／ 就不 能应用 ／ ｔ ａ随机积分 理论 。 Ｈ ：１ ２时 ， 当 ／ 分数布 朗运 动是 一
第 ３ 卷 第 ６期 １ ２１ ０ ０年 １ ２月
河 南 科 技 大 学 学 报 ：自 然 科 学 版
Ｊ ｕ ｎ ｌｏ ｎ ｎ Ｕｎｉｅ ｓｔ ｆＳ ｉｎｃ ｎ ｃ ｎｏｏ ｙ： ｔｒ ｌＳ ｉｎｃ ｏ ｒ ａ ｆＨｅ ａ ｖ ｒ ｉ ｏ ｃ ｅ ｅ ａ ｄ Ｔｅ ｈ ｌ ｇ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｅ ｙ
本 文利用 Ｉ ｔ ６公式 、 基本 不等式 以及 Ｂ ｒ［ ａ ｔ ｌ引理 ， 论 了带 分 数 布 朗运 动 的 随机 时 滞 Ｌ ｔａ ｏｅ一 ｎｅ ｉ Ｃ ｌ 讨 ｏ ． ｋ
１ 正 解 ， 局 解 和 分 数 布 朗 运 动 全
定义 １ 设 ０ ＜ Ｈ ＜ １ Ｈ ｒｔ 数 为 日 的分 数 布 朗运 动 （ Ｂ ， ｕｓ 参 Ｆ Ｍ）为 一 连续 Ｇ ｕ ｓ ｎ过 程 Ｂ ＝ ａ ｓｉ ａ
Ａ） 算子 范数 为 Ｉ Ｉ ； ａＩ ＝
Ｒ ： ＞０ 对所有 １≤ｉ ｎ ， （ 一ｒ０ ； ： 为 ［ ，］ ： ≤ ｝Ｃ ［ ｔ ］ 尺 ） 一ｒ０ 到 ， 上的连
基 金项 目 ： 育 部 重 点基 金 项 目 （ ０ １ ０） 宁 夏 自然 科 学 基 金 项 目（ Ｚ ８ ５ 教 ２８６ ； Ｎ ０３ ）
令 （ ， ， Ｆ｝ ， Ｆ ｛ Ｐ）为 完备 的概率空 问 ， 中 ｛ 其 Ｆ ｝ 为 右连续 包括 所有 的零 子 空 间 的递增 滤波 。
４为向量或矩 阵， 其转置 为 Ａ 。 Ａ为 矩阵 ， 迹范数 为 Ｉ ＝ｔ ｃ（ 若 其 ｌ ｒ ｅ Ａ ａ
ｓｐ Ｊｘ ： Ｊ ｝Ｒ ＝ ｛ ｕ ｛Ａ Ｊ ＝ｌ 。 ： ｊ
境噪声 的影 响会 改变 它的爆破 性 ， 即甚至很 小 的随机 噪声都 能抑 制潜在 的人 口爆破 。在 此基 础上 ， 献 文
［］ ４ 研究 了随机 微分 方程解 的存 在 性 、 非负 性 以及 随机 毕 竟 有界 性 。文 献 ［ ］ ５ 利用 Ｌ ａ ｕ ｏ ｙｐ ｎｖ函数 讨论
了随机 微分 方程 的渐近性 ， 到 了该 方 程 的几 种矩 估 计 和渐 近估 计 。文 献 ［ ］ 得 ６ 研究 了随 机微 分 的 解是 以多项式 形式 增长 的并表 明噪 声抑 制此 增 长 。然 而对 于 带分 数 布 朗运 动 的 随机 Ｌ ｋａＶ ｈ ｒ ｏ ｔ ｏ ｅ ａ模 型 的 ． ｒ 研 究 目前 还未见 。 Ｖ ｌｒ ｏ ｅｒ ｔ ａ的渐 近性 ， 并给 出随机 时滞 Ｌ ｔａＶ ｌ ｒ 模 型解 渐近稳 定 的充分条 件 。 ｏｋ — ｏ ｅｒ ｔ ａ ．
理 ， 到 了 带 有 分 数 布 朗运 动 的 随机 延 迟 Ｌ ｔａＶ ｈ ｒ 模 型 渐 近稳 定 的 充 分 条 件 。 得 ｏ — ｏ ｅｒ ｋ ａ
关键 词 ： 数 布 朗运 动 ； 机 微分 时滞 方程 ；ｏｋ— ｏｒｅ 模 型 分 随 Ｌ ｔ Ｖ ｌｅａ ａ ｔ
中 图分 类 号 ： ２ １ ３ ０ ３ ． 文 献 标识 码 ： Ａ
刘
萍 张启 敏 ，
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（１ 北 方 民族 大 学 信 息 与 计 算 科 学 学 院 ， 夏 银 川 ７ ０ ２ ； ． 夏 大 学 数 学 与 计 算 机 学 院 ， ． 宁 ５０ １ ２ 宁 宁夏 银 川 ７ ０ ２ ） ５ ０ １
摘 要 ： 出 了一 类 带 有 月 指 数 的 随 机 延 迟 Ｌ ｔａＶ ｌ ｒａ模 型 。 利 用 伊 藤 公 式 、 本 不 等 式 和 Ｂ ｒｌ ａ ｔｌ 引 给 ｏｋ — ｏｔ ｒ ｅ 基 ｏｅ— ｎｅｌ Ｃ ｉ
ＶＯ ． Ｎｏ ６ １ ３ｌ ．
Ｄｅ ． ｅ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
２ ０ ０ｌ
文 章 编 号 ：６ ２～ ８ １ ２ １ ）６— ０ ４— ４ １７ ６ ７ （ ０ ０ ０ ０ ７ ０
带 分 数 布 朗 运 动 的 随 机 时 滞
Ｌ ｔａＶ ｌ ｒ ｏ ｋ － ｏ ｅｒ ｔ ａ模 型 的 渐 近 性
．
个标 准 的布朗运 动 。
对于确 定 Ｌ ｋａＶ ｌ ｒ 模 型 （ ｏ ｔ— ｏ ｅｒ ｔ ａ 即 ＝ ） 已经有很 多研究 成果 。例 如文 献 ［ ］ 出 了 Ｌ ｋａＶ ｌ ｒ ０， １给 ｏｔ． ｏ ｅｒ ｔ ａ 模型 非爆破 性 的条 件 ， 文献 ［ ］ ２ 利用 离散 法 研究 了 Ｌ ｋａＶ ｌ ｒ 模 型 的离散 模 拟 和稳 定 性模 拟 。 目前 ｏｔ． ｏｔ ｒ ｅａ 随机 Ｌ ｋａＶ ｌ ｒ ｏｔ— ｏ ｅｒ ｔ ａ模型 引起 了许 多学者 的关注 。例如 文献 ［ ］ 用 Ｉ 形 式 研 究 了若 确定 系统受 到 环 ３利 ｔ ８
作者简介 ： 刘
萍 （９ ４一） 女 ， 西 咸 阳人 ， １８ ， 陕 硕士 生 ； 张启 敏 （９４一） 女 ， 夏 银川 人 ， 授 ， 士 ， 要研 究 方 向为 随 机分 析 与控 制 １６ ， 宁 教 博 主
｛ ｔ ， Ｂ （） ｔ∈Ｒ｝Ｂ （ ） ＝０且 Ｂ （） ＝０ 协 方差 为 ， ０ ｔ］ ，
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