2018届高考数学二轮复习大题专攻练十二函数与导数B组文新人教A版

高考大题专攻练 12.函数与导数(B组)
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1.已知函数f(x)=alnx-(a+b)x+x2(a,b∈R).
(1)若a=2,b=1,求函数f(x)在x=1处的切线方程.
(2)若f(x)在x=1处取得极值,讨论函数f(x)的单调性.
【解析】(1)当a=2,b=1时,f(x)=2lnx-3x+x2,所以
f′(x)=-3+2x,
所以f′(1)=1,又f(1)=-2,所以f(x)在x=1处的切线方程为x-y-3=0.
(2)f′(x)=-(a+b)+2x,由f(x)在x=1处取得极值,可得f′(1)=0,解得b=2,
所以f′(x)=-(a+2)+2x=.
当a=2时,f′(x)≥0,不满足f(x)在x=1处取得极值,故a≠2.
①当a≤0,x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增;
②当0<<1即0<a<2时,0<x<或x>1时,f′(x)>0,<x<1时,f′(x)<0,所以f(x)在
,(1,+∞)单调递增,在单调递减.
③当a>2,0<x<1或x>时,f′(x)>0,1<x<时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,1),单调递增,在单调递减.
2.已知函数f(x)=(x>0,a∈R).
(1)求函数f(x)的极值点.
(2)设g(x)=,若函数g(x)在(0,1)∪(1,+∞)内有两个极值点x1,x2,求证:g(x1)·g(x2)<.
【解析】(1)f′(x)=
=(x>0).
①若a≤0,由f′(x)=0,得x=2.
由f′(x)>0,可得x>2,所以函数f(x)在(2,+∞)上为增函数;
由f′(x)<0,可得0<x<2,所以函数f(x)在(0,2)上为减函数;
所以函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一的极小值点x=2,无极大值点.
②若0<a<2,由f′(x)=0,得x=2,x=a,
由f′(x)>0,可得0<x<a或x>2,
所以函数f(x)在(0,a),(2,+∞)上为增函数;
由f′(x)<0,可得a<x<2,所以函数f(x)在(a,2)上为减函数,
所以函数f(x)在(0,+∞)上有极大值点x=a,极小值点x=2.
③若a=2,则f′(x)=在(0,+∞)上大于等于零恒成立,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点.
④若a>2,由f′(x)=0,得x=2,x=a,
由f′(x)>0,可得0<x<2或x>a,
所以函数f(x)在(0,2),(a,+∞)上为增函数,
由f′(x)<0,可得2<x<a,
所以函数f(x)在(2,a)上为减函数.
所以函数f(x)在(0,+∞)上有极大值点x=2,极小值点x=a.
(2)g(x)==,
则g′(x)=.
记h(x)=2x2-(2+a)x+2,由题意可知方程h(x)=0,即
2x2-(2+a)x+2=0在(0,1)∪(1,+∞)上有两个不等实数根x1,x2. 所以解得a>2.
由g(x1)g(x2)=
=
==.
因为a>2,所以>e2,所以g(x1)g(x2)=<.。