代数思维学习理论
数学代数高效学习方法解决代数问题的思维技巧
数学代数高效学习方法解决代数问题的思维技巧在学习数学代数的过程中，许多学生面临着代数问题的挑战。
然而，通过掌握一些高效的学习方法和思维技巧，我们可以提高解决代数问题的能力。
本文将介绍一些实用的方法，帮助学生在数学代数学习中取得更好的成绩。
一、培养数学思维数学代数问题解决的核心在于培养数学思维。
首先，要学会正确理解和分析问题，弄清问题的目标和条件。
其次，要善于运用数学符号，将问题转化为方程或不等式等数学表达式。
此外，还需学会归纳和推理，通过观察规律和进行逻辑推导解决问题。
二、掌握基本概念和方法在学习数学代数之前，学生应该掌握基本的代数概念和方法。
例如，理解代数方程的含义与性质，掌握整式和分式的运算法则，熟悉因式分解和配方法的应用等。
只有打牢基础，才能在解决复杂问题时游刃有余。
三、注重实际问题与抽象代数的结合数学代数的学习并非只是为了应付考试，更重要的是培养解决实际问题的能力。
因此，学生应该注重将代数问题与实际问题相结合，学会从实际情境中提取数学模型，并运用代数知识进行求解。
这种联系能够激发学生的学习兴趣，同时也提高了解决实际问题的能力。
四、多做练习题在学习数学代数时，多做练习题是必不可少的。
通过大量的练习，可以加深对知识点的理解，掌握解决问题的策略与技巧。
此外，练习题还可以帮助学生发现自己在某些知识点上的薄弱之处，及时进行补充和巩固。
五、合理规划学习时间与方法学习数学代数需要合理规划学习时间与方法。
首先，要将数学代数纳入日常学习计划，逐步积累知识。
其次，要善于利用碎片时间进行复习，可以通过做题、看书或者听讲座等方式巩固知识。
此外，要注重理论与实践的结合，既要学习理论知识，又要进行问题的实际应用。
结语通过合理的学习方法和思维技巧，我们能够高效地解决数学代数中的各种问题。
在学习过程中，我们应该不断提高对数学思维的理解和把握，掌握基本概念和方法，并注重实际问题与抽象代数的结合。
此外，多做练习题、合理规划学习时间与方法也是取得好成绩的关键。
代数(算术)思维与几何思维
第三章代数（算术）思维与几何思维“就几何和代数的学习而言，我们究竟应当采取‘分割’的作法，还是应当采取‘整合’的路子？”“当然，我们不应停留在纯粹的理论争论，而应积极地开展相应的实践活动；但是，就现实而言，有些问题之所以始终长期‘悬而未决’，其主要原因并不在于缺乏必要的实践，恰恰相反，这在很大程度上即是表明了相应的理论研究尚未达到应有的深度。
※我就是这样常常实践，却不思考理论的指导意义。
事实上，如果在理论的指导之下再进行实验，可以少走很多弯路。
在我重读《课程标准》之后，我对分层教学实践活动的认识又深了一层。
对理论的渴望重新上升到新的高度。
※小学教材中“数与代数”、“空间与图形”是怎样“整合”在一起的？每一册中，以“单元”为单位，相对独立地呈现；以习题为形式，把这两大内容适时地综合。
3.1“凝聚”：算术与代数思维的基本形式所谓“凝聚”（encapsulation），笼统地说即是指由“过程”（process）向“对象”（entity）的转化。
具体地说，在数学，特别是算术和代数中，有不少概念在最初是作为过程得到引入的，但最终又转化成了对象——对此我们不仅可以具体地研究它们的性质，也可以此为直接对象去施行进一步的运算（对于所说的“运算”，应作广义的理解，即其未必是指具体的运算，也可包括任何一种数学运作，甚至不一定要有明确的算法。
）“凝聚”这一概念在数学教育领域中出现应当是是近一二十年的事；需强调的是，这又应被看成数学学习心理学、乃至数学教育专业化发展的一个重要成果，因为，相关的研究清楚地表明了这样一点：数学学习心理学（数学教育）不应被看成一般的学习心理学（一般教育理论）在数学教育领域中的简单应用，恰恰相反，我们应当切实立足于实际的数学教学与学习活动，并通过相对独立的研究引出自己的理论成果。
毋宁说，我们所反对的主要是这样一种简单化的观点，即是讲“数学学习心理学”（数学教育学）简单地等同于“一般学习心理学（一般教育学）+数学的例子”，也即只是在一般学习心理学（教育学）的理论框架中简单地去嵌入若干数学的实例，因为，数学学习心理学（数学教育学）如有独立存在的必要，显然应当特别重视数学学习活动（与数学活动）的特殊性。
高等代数思想
高等代数思想高等代数是数学专业的一门重要的专业基础课，是深入研究数学以及从事高等数学相关工作的必要保障，高等代数内容丰富体系庞杂，高等代数的学习历来是数学专业学生的难点；主要表现在解决高等代数问题时感觉束手无策，无从下手，最终原因归根结底是学生对数学思1引言1.1研究高等代数数学思想的目的及意义首先高等代数课程是数学专业以及其他一些理工科专业所必修的基础课程,也是后续课程和近代数学的基础，此外高等代数的学习对于学生数学思维的培养至关重要，通过高等代数的学习对学生的抽象思维和逻辑推理有很大帮助，并对数学创新思维以及科研潜力的发展具有重要意义.而学好高等代数这门基础课程就离不开对数学思想方法的研究；此外从数学的发展历史分析，不难发现其实数学的重要发展和重大创新都体现着一定的数学思想方法，数学思想方法在数学领域内随处可见，没有数学思想方法的数学就不是真正的数学；比如早在16世纪之前，关于方程求解的问题中，期初数学家们很容易得到了一次、二次方程的根式解，然后类似地找到了三次、四次以及某些特殊的五次代数方程的根式解法，事实上，在这个艰辛的求解历程中，而且这些解法中都有类比的方法，也有同构、分类讨论、函数与方程的数学思想，此后也有许多数学家探究一般五次方程的解得存在性问题，包括当时著名数学家卡当、伟达、笛卡尔、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等，他们都是利用各种各样的数学思想方法，虽然经过了无数次的失败，但最终是阿贝尔等人从逆问题出发，严格证明了五次及五次以上的代数方程不存在根式解法，还有许许多多实例，都在说明着数学思想方法在数学发展中的积极推动作用，所以说数学思想方法对于数学的发展至关重要.1.2高等代数数学思想方法的研究现状由于高等代数数学思想方法的重要意义，近年来关于数学思想方法的研究层出不穷，有关数学思想方法的名称和应用的文献举不胜举，这些有关高等代数数学思想方法的研究在一定程度上推动着高等代数教学研究的发展和完善，对高等代数的学习以及数学其他分支的学习具有重要的指导意义和参考价值；其中比较典型的比如布合力且木·阿不都热合木在文献[1]中主要结合高等代数在解决相关问题以及发展思维工具方面的功能进行了探究，充分展示了高等代数的数学思想的丰富、深刻，以及其理论内容的严密和抽象。
高等数学_代数_学习
高等数学_代数_学习
数学作为基本科学，在科学研究和工程技术中都具有重要的作用。
高等数学是扩大知识范围、深化理论的定量和定性的理论学科，其基础是大学阶段学习的数学基础理论，其目的是使学生能够主动分析和解决实际问题。
高等数学的学习涉及多种学科，其中代数学是最重要的学科之一。
代数学是一门深入研究数字、字母、符号和变量之间的结构关系和联系的学科，它作为解决复杂问题的一种方法，为数学和科学研究提供了理论基础和技术支持。
代数学是数学的重要组成部分，其学习是掌握数学的基础。
学习高等数学代数的步骤主要有四个：
首先，学习者要了解代数的基础知识，如线性代数、指数与对数、组合数学、复数等等；
其次，学习者要熟悉代数方程、几何概念、变量表示和求解、代数函数等知识；
第三，学习者要掌握代数运算规律，如乘方规律、因式分解、数字运算及综合运用等；
最后，学习者要掌握数学模型建模的基础，探索一些数学模型，如统计分析、几何变换、经济模型、物理模型等，以及模型的实际应用。
学习代数需要具备良好的逻辑思维能力，要做到解决问题的思路清晰、深入、系统。
为了更好的学习高等数学代数，学习者可以复习
数学基础理论，多阅读相关书籍，多多练习，做了更多的练习题，掌握经典案例，增强对代数学习的理解和把握，更好地掌握知识点。
总之，学习高等数学代数需要广泛而深入地学习，熟练掌握其知识技能，有效综合运用，才能够为实际问题解决和科学研究提供良好的帮助。
《数学思维2：代数与几何》笔记
《数学思维2：代数与几何》阅读札记目录一、代数篇 (2)1.1 整数的性质 (2)1.2 有理数与无理数 (3)1.3 代数表达式与运算 (5)1.4 方程与不等式 (5)1.5 函数的概念与性质 (6)二、几何篇 (7)2.1 平面图形 (8)2.2 立体图形 (9)2.3 圆与弧 (11)2.4 角度与多边形 (12)2.5 地图与地理坐标 (13)三、代数与几何的联系 (13)3.1 代数在几何中的应用 (14)3.2 几何在代数中的应用 (15)3.3 代数与几何的交叉问题 (17)四、数学思维方法 (18)4.1 类比推理 (19)4.2 归纳推理 (20)4.3 模型法 (22)4.4 构造法 (23)五、总结与展望 (24)5.1 本书总结 (25)5.2 数学思维的重要性 (26)5.3 未来发展趋势 (27)一、代数篇由于您没有提供具体的《数学思维2：代数与几何》阅读札记文档，我无法直接给出“代数篇”的具体内容。
我可以为您提供一个关于代数篇可能的概述和结构，以帮助您理解这个部分可能包含的内容。
方程和不等式：解一元一次方程、二元一次方程组，以及不等式的应用。
函数：定义、性质、图象，以及一次函数、二次函数、反比例函数等的解析式和图像。
1.1 整数的性质整数是数学中最基本的数，它们具有许多独特的性质。
在《数学思维2:代数与几何》我们将学习一些关于整数的基本性质，这些性质对于理解代数和几何问题非常重要。
整数包括正整数、负整数和零。
正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，而零既不是正整数也不是负整数、0都是整数的例子。
整数具有加法和乘法运算，加法是将两个整数相加以得到它们的和，例如3+ 58。
乘法是将一个整数与另一个整数相乘以得到它们的积，例如46 24。
乘法不满足交换律，即a a(除非b为零)。
整数具有除法运算，除法是将一个整数除以另一个整数以得到它们的商，例如124 3。
需要注意的是，当被除数不能被除数整除时，结果通常是一个带有小数部分的分数。
线性代数蕴含的思政原理
线性代数蕴含的思政原理
高等教育中，线性代数是一门十分重要的学科，它不仅是大学的基础课程，更
是工科和理工科留学生们接触的学科内容。
它既是理论性强，但又给出了一套实用性强的计算方法，给进行数学、物理计算及工程技术提供有效的支撑。
线性代数还展示了多种思维方式，是培养创新思维能力、做思考和推理的工具。
可以说，线性代数是一门思想教育的学科。
线性代数的思政原理，表现在以下几个方面。
首先，线性代数的学习可以培养
学生的逻辑思维能力，他们可以以逻辑思维把复杂的问题解决，学会“知其然，知其所以然”的思考模式，从而把遇到的问题解决的更有效率。
其次，学习线性代数能够帮助学生们形成解决问题的能力，他们可以从线性模型中把关系性建立起来，学会想像并从解决过程中发现问题。
第三，线性代数可以让学生们学会做直觉思考，它教会学生们从用直观思考选择具体方法，学会以视觉和启发式思考解决各种复杂问题。
线性代数并不只是一门数学学科，它更是一门思考学科，更是一门关于思政理
念的学科。
学习线性代数的学生们都会受益于它对思维能力及解决问题能力的训练，未来这些才华横溢的学生也许能够以自己独特的视角看待一切，脚踏实地开创出一番新的举世模式。
小学生早期代数思维发展
将评估结果及时反馈给学生和家长，加强家校合作，共同促进学生 的代数思维发展。
06
小学生早期代数思维发展的教 育建议
加强基础概念的教学
明确概念定义
01
确保学生对代数基础概念有清晰、准确的理解，包括整数、小
数、百分数、算数、方程、函数等。
强化概念联系
02
帮助学生理解不同概念之间的联系和区别，建立代数知识体系
何观念。
逻辑游戏
通过逻辑游戏，如数独、逻辑推 理等，让学生学习逻辑推理和问 题解决的方法，培养他们的逻辑
思维和判断能力。
通过实际问题解决培养代数思维
01
实际问题解决
通过解决实际问题，如计算购物清单、分配物品等，让学生了解数学在
实际生活中的应用，提高他们的数学应用能力和解决问题的能力。
02
模拟情景
模拟实际生活中的情景，如商店购物、计算时间等，让学生通过模拟情
提倡小组合作与交流的学习方式
小组合作活动
组织小组合作活动，让学生们在小组中共同学习，互相帮助，共 同提高。
交流与分享
鼓励学生分享自己的学习经验和思路，促进彼此之间的交流和学习 。
教师指导与评价
教师对小组合作活动进行指导和评价，确保活动有效进行，并及时 给予学生反馈和建议。
THANKS
谢谢您的观看
04
小学教材中的代数内容分析
教材中代数内容的分布情况
代数内容在教材中的比例
小学教材中代数内容的比例相对较低，但随着年级的升高， 代数内容的比例逐渐增加。
代数内容在各章节的分布
代数内容主要分布在教材的中间部分，与其他数学内容相互 穿插。
教材中代数内容的难度分析
代数内容的难度梯度
初中数学学习中的几何与代数理论解析
初中数学学习中的几何与代数理论解析几何与代数是初中数学学习的两大重要分支，几何研究的是形状、空间和尺寸的关系，而代数则研究的是运算规律和未知数之间的关系。
几何与代数理论是数学学科的核心内容之一，对于学习者的数学思维能力和解决实际问题的能力都有着重要的作用。
一、几何理论的学习几何学是研究空间形状、大小、位置及其间的关系的数学分支。
在初中阶段，学生将接触到平面几何和立体几何的基本理论。
1. 平面几何理论平面几何理论是研究平面形状间的关系和性质的重要分支，涉及到线段、角度、三角形、四边形等基本图形的性质与计算。
学生通过学习平面几何理论可以了解到不同图形的特点和性质，如正方形的四边相等，内角都为直角；等边三角形的三边相等，三角的三个内角也相等等等。
这些基本的几何理论对于学生的几何直观感知和问题解决能力的培养起到了积极的作用。
2. 立体几何理论立体几何理论是研究物体的形状、大小、位置及其间的关系的数学分支，学生在初中阶段将接触到平面图形的展开图和视图的概念，通过学习可以了解到平面图形与立体图形之间的关系和变化规律。
例如，学生可以学会计算立方体、圆柱体和锥体的体积，了解到平行六面体各面的关系等。
通过立体几何理论的学习，学生能够培养空间感知及逻辑推理的能力，提高解决实际问题的能力。
二、代数理论的学习代数学是研究数量关系及其运算规律的数学分支。
在初中阶段，学生将接触到代数方程、代数式、函数等基本概念。
1. 代数方程代数方程是代数学中的重要内容，是一种含有未知数的等式。
学生通过学习代数方程可以了解到如何解方程、方程的解集、方程的性质等。
例如，学生可以学会解一元一次方程、一元二次方程等，理解方程解的概念和意义。
通过代数方程的学习，学生能够培养逻辑思维和抽象思维的能力，提高解决实际问题的能力。
2. 代数式代数式是由数字、字母和运算符号组成的表达式，它可以表示数、量和关系等。
学生通过学习代数式可以了解到如何进行算式的变形运算、化简等操作。
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凝聚
飞跃的、质 的变化
具体化
操作-结构概念在认知过程中的作用 ASfard利用一个实验说明结构性概念的认知过程、问题解决 过程中的决定性作用
操作-结构概念在认知过程中的作用
操作-结构概念在认知过程中的作用
比较 解决方法 数学概念 看成结构
实验第一部分 按步骤走、靠感 知、模仿 操作性概念 浅层的、宽泛的
THANKS
HI-HOO POWERPOINT TEMPLATE
请 老 师 同 学 们 批 评 指 正
从历史的视角看操作-结构概念在数学概念形成中的作用
2
从心理的视角看操作-结构概念在数学概念形成的中的作用
3
操作-结构概念在认知过程中的作用
从历史的视角看操作-结构概念在数学概念形成中的作用
ASfard认为结构性概念是概念发展更高阶段，但操作性概 念先于结构性概念形成。
eg1：儿童学习数数
eg2：考察13岁儿童除法问题 （50%儿童不能把7除以4的除法问题看成一个分数）
3
教师要加强结构化解题教学
教师要充分重视数学概念的教学
揭示概念本 质属性，给 出定义、名 称、符号
对概念进 行特殊分 类、揭示 概念外延
巩固概念， 利用概念 定义进行 简单识别 活动
概念的应 用与联系， 应用概念 解决问题， 并建立于 已有概念 间的联系
数学概念教学新视角：
数学概念二重性的提出，将数学概念赋予了 动态的观点，概念不再是以往学生头脑中所 认为的服务于做题的工具，概念的形成过程 是建立在已有概念的基础之上的，学习一个 新概念都要经历内化、凝聚、具体化的过程， 才能在认知结构中形成一个新的概念对象， 随着学生学习的概念逐渐增多，头脑中逐渐 建立起概念域与概念系，只有当学生能够将 头脑中的概念梳理清晰时，才可以不变的知 识结构应万变的题目。
[1]喻平.数学教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，2010：228-236 [2]罗增新，罗增儒.数学概念表征的初步研究[J].数学教育学报，2003，2：21-23
目 录
对四个名词的理解
对ASfard数学概念的二重性理论的理解
不同视角下操作-结构概念的作用
ASfard数学概念二重性理论对教学的启示
一、对四个名词的理解
1.
2.
3.
4.
操作性概念
结构性概念 一个真实存在的静 态结构，进行处理 时要当作整体，不 必深究细节 类似于“地貌”
过程 是一种操作的概念， 亦可称其为运算性 概念（多见于代数） 或变换性概念（多 见于几何）
对象 是一种结构化的静 态实体或属性
关于过程、算法、 和行为的总和
[3]佘文娟，王光明.也谈Asfard数学概念的二重性理论[J].数学通报.2013，52:7-10
凝聚 在能够熟练完成操作过程后，将操作压缩成一 个更小的单元，更加容易操作，不去关注细枝 末节的内容，而是从整体上把握操作过程。
内化
•学习者能够脱离实际情景完成操作 过程，将实际操作转化成心理上的 操作
三者间是怎样的过程呢？？？
三者间的关系： 从“阶段分层”来看，前者是后者的基础：
内化
连续的、渐变 的、量的变化
Hale Waihona Puke 教师要加强结构化解题教学内化 熟练操作 凝聚，熟能生巧？？？
李士锜认为：一定的练习确实能达到熟能生巧的 效果，而过量的无意义机械练习则会“熟能生笨 数学教学要加强的不是解题数量，而是题目质量，题目的设计要能够 ”，这里的笨不是不会做题，而是只会做题，却 具有一定的特点，如对某一概念不同侧面的题目练习，这样学生做题 不能理解概念的内涵；大量的操作性训练让学生 就不是一道一道零散的留在头脑中，而是一套一套的在头脑中更加整 无暇进行反思，而且这样的机械练习，让学生确 体化，这样学生在题目之间建立联系、辨析，从而在适量的解题过程 实熟悉了一些公式、法则，但是也让解题变成了 中，加深了对概念的结构性理解，更有助于学生从凝聚阶段向具体化 一种“自动化”运作，当题目满足某种结构时， 阶段的飞跃。 学生就像打开了开关一样按流程做题。
英国数学教育家道尔给出的一下诸多实例，可以帮我们 理解过程和对象这两个概念
操作性概念、结构性概念、过程与对象的关系？？？
数 学 概 念
操作性概念 过程
共存于
认知结构
结构性概念
对象
数学概念该如何划分，哪些概念具有二重性？？？
代数概念
ASfard在文中提到：无论理解的定义是什么，对于理解数学来说，将一个函 数或者数字当作是一个过程一个对象的能力都是必不可少的。如果我们要仔 细看任何数学概念，通常我们就会发现，它可以被定义——从而构思——无 论是在结构上还是操作上。特别是在代数中，许多概念既表现为一种过程操 作，又表现为对象、结构，概念往往兼有这样的二重性。
实验第二部分 整体把握、按图索骥 结构性概念 深层的、较窄的
实验说明：操作性概念对于问题解决、认知过程来说是必须的， 但不能解决全部问题，而结构性概念却可以在全部认知过程以 及问题解决过程中给予人们引导和帮助。
1 ASfard数 学概念二 重性理论 对教学的 启示
教师要充分重视数学概念教学
2
教师要注重数学知识的螺旋式上升
数学概念的二重性之 间是什么关系呢？？？
概念形成过程：先操作后结构，即过程向对象的转变，过程既慢又 困难，最终在认知结构中共存，不同时机发挥不同作用。 由过程向对象转化的这一过程构成了数学思维特别是代数思维（包 括算术）的一个基本形式。（数学思维现代研究的一个重要成果）
1 不同视角 下操作-结 构概念的 作用
A∙Sfard数学概念的二重性理论 代数学习理论
汇报人：董双 1611290021
前 言
以色列著名数学教育家斯法德
数学概念的二重性：同一概念在过程和对象 两个不同方面的思考
在众多研究成果中都认为并非所有的数学概念都具有二重性，且大多研究 中都以代数中的概念为例分析数学概念二重性。
前 言
喻平认为将数学概念分为陈述性概念和运算性概念，且认为 具有二重性的数学概念主要是运算性概念，陈述性概念一般 不具有二重性。[1] 罗新兵和罗增儒也认为有些数学概念，特别是代数概念是具 有二重性的。[2]
eg3：负数概念的产生 （ Asfard认为每一次数的范围扩大都经历这样一个 过程“前概念阶段——操作概念阶段——结构概念阶段”）
从心理的视角看操作-结构概念在数学概念形成的中的作用
根据学生的心理运行机制提出了三阶段数学概念发展模式： 内化——凝聚——具体化
具体化
完全将数学概念看成是一个 静态的实体结构，视角也发 生了全新的转变
教师要注重数学知识的螺旋式上升eg：函数概念
初中阶段（正比例、一次函数、二次函数、反比例函数）用 变量的观点来定义，对应每一个x都有一个y值，这样学生在认 知中建构了一种计算过程，当操作概念得到强化后，教师将图 像引入教学，这样学生对函数的理解就从过程逐渐上升到对象。 高中阶段对函数的定义方式变成了映射和法则，这时学生容 易把f（x）理解成一种关系，但法则也是一种过程，是一种将 自变量经过一定的规律映射到函数值的变化。 对于同一个概念，从不同角度分析，可能会得到不止一个“过 程-对象”的区分方式。 在数学教学中，要特别注重学生知识间的联系与区别，注重数 学知识的螺旋上升，让学生对概念的理解不断深化，抓住概念 本质并灵活运用。