九年级数学下册 26 二次函数 课题 二次函数学案 (新版)华东师大版
新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 26.1 二次函数》教案_0
二次函数复习课教学设计一、教材分析1．地位和作用：（1）二次函数是初中数学中最基本的概念之一，贯穿于整个初中数学体系之中，也是实际生活中数学建模的重要工具之一，二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一,更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础。
在历届中考试题中，二次函数都是不可缺少的内容。
（2）二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成起推动作用。
（3）二次函数与一元二次方程知识的联系，使学生能更好地将所学知识融会贯通。
二、学情分析：九年级的学生在新课的学习中已经掌握了二次函数的定义、会作二次函数的图象并能根据图象对二次函数的性质进行简单地分析。
并且经过一段时间的练习，学生的分析能力和理解能力都较学习新课时有所提高，学生的学习热情较高，有了一定的自主探究和合作学习能力。
不过，学生学习能力差异较大，两级分化过于明显。
三、复习目标：1、了解二次函数解析式的三种表示方法；2、抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴以及抛物线与对称轴的交点坐标等;3、一元二次方程与抛物线的结合与应用。
4、利用二次函数解决实际问题。
四、复习重点、难点：重点：(1)掌握二次函数y=ax2+bx+c图像与系数符号之间的关系。
(2) 各类形式的二次函数解析式的求解方法和思路.难点：(1)已知二次函数的解析式说出函数性质(2)运用数形结合思想,选用恰当的数学关系式解决问题.五、复习方法：自主探究、分组合作交流六、复习过程：活动一、知识梳理（学生独立练习，分小组批改）1、二次函数解析式的三种表示方法：（1）顶点式： （2）交点式： （3）一般式：2、填表：3、二次函数y=ax 2+bx+c ，当a ＞0时，在对称轴右侧，y 随x 的增大而( )，在对称轴左侧，y 随x 的增大而( )；当a ＜0时，在对称轴右侧，y 随x 的增大而( ), 在对称轴左侧，y 随x 的增大而( )4、抛物线y=ax 2+bx+c ，当a ＞0时图象有最( )点，此时函数有最( )值；当a ＜0时图象有最( )点，此时函数有最( )值教师补充练习：（1）将函数7822-+-=x x y 写成()k h x a y +-=2的形式为 ；其顶点坐标是( )，对称轴是( )；（2）二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图象如右图， 则a( )0,b( )0,c ( )0（填“＞”或“＜” ）（3）若抛物线()02≠+=b b ax y 不经过第三、四象限，则抛物线 ()02≠++=a c bx ax y （ ）A 、开口向上，对称轴是y 轴；B 、开口向下，对称轴是y 轴；C 、开口向上，对称轴平行于y 轴；D 、开口向下，对称轴平行于y轴；（设计意图：采用图表结构，将知识点分类，让学生通过这个框架结构很容易看出不同解析式表示的二次函数的内在联系，让学生形成一个清晰、系统、完整的知识网络。
九年级数学下册 26_2 二次函数的图象与性质教案1 (新版)华东师大版
26．2 二次函数的图象与性质教学目标：1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质难点：二次函数的图象与性质本节知识点1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．教学过程我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解 6422++-=x x y []8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．由对称性列表：x … -2 -1 0 1 2 3 4 … 6422++-=x x y … -10 0 6 8 6 0 -10 …描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ． 例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0． 解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ． 当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ， 解得 2-=a ． 当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ， 解得 4=a 或8-=a ．所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？[本课课外作业]A 组1．已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y （3）nx x y +-=2 （4）qpx x y ++=23．已知622)2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组 4．当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．课堂小结：教学反思： 欢迎您的下载，资料仅供参考！。
华东师大版九年级数学下册学案：26.2二次函数的图象和性质
§26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）教学目标(一)知识与技能1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．(二)过程与方法1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神． 2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识．(三)情感态度与价值观1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，2．具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．体会方程与函数之间的联系．2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．教学难点1．探索方程与函数之间的联系的过程．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?2.选教材提出的问题，直接引入新课Ⅱ．合作交流解读探究1.二次函数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.观察：教材22页，学生小组交流.归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.Ⅲ.应用迁移巩固提高1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况Ⅳ．总结反思拓展升华本节课学了如下内容：1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系．2．理解了二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.3.数学方法:分类讨论和数形结合.反思：在判断抛物线与x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案Ⅴ．课后作业P 231.3.526．1 二次函数的图象与性质（1）[本课知识重点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是 、 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =…18 8 2 0 2 8 18 … 22x y -= …-18-8-2-2-8-18…分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解 （1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k ， 解得k=2．（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2． （1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内． 解 （1）由题意，得)0(1612>=C C S ． C24 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ． （3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2． 回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y = 2．（1）函数232x y =的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）函数241x y -=的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象． （1）24x y -= （2）241x y = 2．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最 值，是 ． （2）当m= 时，抛物线mm x m y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口 ，当x 时，y随x 的增大而增大． 3．已知抛物线102-+=k kkx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值； （2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．B 组5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 1． 一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（2）[本课知识重点]会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？ ，你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？ ． [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22xy=与222+=xy的图象．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22xy=与222-=xy的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=xy与12--=xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=xy得到抛物线12--=xy．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …22xy=…18 8 2 0 2 8 18 …222+=xy…20 10 4 2 4 10 20 …x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …12+-=xy…-8 -3 0 1 0 -3 -8 …12--=xy…-10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 …可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索 如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？ 例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y ， 又抛物线经过点（1，1）， 所以，2112-⋅=a ， 解得3=a ． 故所求函数关系式为232-=x y ．回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归k ax y +=2开口方向对称轴顶点坐标0>a0<a[当堂课内练习]1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ． 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的． 3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ． [本课课外作业]A 组1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ． （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2． 不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（3）[本课知识重点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221xy=，2)2(21+=xy，2)2(21-=xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …221xy= (2)92 210 212 29…2)2(21+=xy (2)10 212 2258 225…2)2(21-=xy (2)258 292 210 21…回顾与反思 对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．探索 抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解 抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）． 因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的． 回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2x y =向 平移 个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ． （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a 的值． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（4）[本课知识重点]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．x… -3-2 -10 12 3…221x y = (2)9 221 021 229… 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析 抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值． 解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ， 再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ， 其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b 解得 ⎩⎨⎧=-=148c b 探索 把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．[当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （ ）A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为 ． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向 平移 个单位，再向 平移 个单位而得到．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？ B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有 （ ）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（5）[本课知识重点]1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．[MM 及创新思维]我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解 6422++-=x x y []8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．x … -2 -1 01 2 3 4 … 6422++-=x x y … -10 06 8 6 0 -10 …描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 ．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0． 解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ， 则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ． 当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ， 解得 2-=a ． 当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ， 解得 4=a 或8-=a ．所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是 ．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是 ，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？[本课课外作业]A 组1．已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y （3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=23．已知622)2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组4．当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（6）[本课知识重点]1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[MM 及创新思维]在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ， 所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ， 所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是425． 回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索 试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值． 例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y x （元）130 150 165 y （件） 70 50 35若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ．设每日销售利润为s 元，则有 1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，所以200120≤≤x ．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．解 （1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =，即884y x -=， 所以，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ，所以，当x=2时，S 有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围．5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为Sm 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ．（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ，写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S 的最小值．[本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质（7）[本课知识重点]会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．[MM 及创新思维]一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=k x k y 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索]例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析 如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解 由题意，得点B 的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=a ax y ，得 28.04.2⨯=-a所以 415-=a ． 因此，函数关系式是2415x y -=． 例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(2--=x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（3）根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为2)3(2--=x a y ，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入2)3(2--=x a y ，即可求出a 的值．解 （1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到 ⎩⎨⎧=-=+31b a b a 解这个方程组，得a=2，b= -1．所以，所求二次函数的关系式是1222--=x x y ．（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为3)1(2--=x a y ， 又由于抛物线与y 轴交于点（0，1），可以得到 3)10(12--=a解得 4=a ．所以，所求二次函数的关系式是1843)1(422+-=--=x x x y ．（3）因为抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为)5)(3(-+=x x a y ．又由于抛物线与y 轴交于点（0，3），可以得到)50)(30(3-+=-a ．解得 51=a ． 所以，所求二次函数的关系式是35251)5)(3(512--=-+=x x x x y ． （4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．回顾与反思 确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．（3）交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x 、)0,(2x 时可利用此式来求．[当堂课内练习]1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；。
九年级数学下册26.1二次函数教案(新版)华东师大版
26.1二次函数教学内容：课本P2~4；教学目标：1、通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义，了解二次函数是刻画现实数量关系的又一个重要的数学模型；2、通过列出函数表达式，概括出二次函数的概念；3、掌握二次函数的一般形式，理解 a≠0的必要性；教学重难点：重点：二次函数的概念和一般形式；难点：通过实例列出表达式，a≠0的应用；教学准备：课件教学方法：练习引导法教学过程：一、学习问题11、问题1：用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃。
怎样围才能使花圃的面积最大？从抽填的表格中，可以看出：随着AB的长度的增大，BC的长度将，矩形的面积将，当AB的长度为时，矩形的面积最大，最大面积是。
3、列式分析设AB的长为xm，矩形的面积为ym2，则BC的长为，y与x的函数关系式是，自变量的取值范围是。
二、学习问题21、问题2：某商店将每件进价为8元的某种商品按每件１０元出售，一天可售出100件。
该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。
绕过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加１０件。
将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大？从表格可以看出：随着售价的降低，销售量 ，销售利润 ，当售价为 时，销售利润最大，最大利润是 。
3、列式分析设将这种商品每件降价x 元，销售量增加 件。
销售一件商品的利润是 元，每天销售利润是 元。
自变量的取值范围是 。
三、探索1、问题1的函数关系式为：2220(010)y x x x =-+<< 问题2的函数关系式为：2100100200(02)y x x x =-++≤≤2、观察所得的两个函数关系式，它们有什么共同特点？ 教师总结：函数的表达式都是自变量的2次式。
3、概括：形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数。
4、一般形式：2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，a ≠0） 特殊形式：2y ax =（a 为常数，a ≠0） 2y ax bx =+（a 、b 为常数，a ≠0） 2y ax c =+（a 、b 、c 为常数，a ≠0）四、例题例1、m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ． 解： 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ．解得 0≠m ，且1≠m ．因此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数． 练习：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？例2、已知二次函数y=ax ２+c ，当x=２时，y=７；当x=-４时，y=１３;求y 与x 之间的函数关系。
九年级数学下册 26 二次函数学案 (新版)华东师大版
课题：二次函数【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析，让学生经历二次函数概念的形成过程，学会用类比思想学习二次函数知识．2．掌握二次函数的概念，列出实际问题中的二次函数关系式．【学习重点】掌握二次函数的概念，列出二次函数关系式．【学习难点】理解变量之间的对应关系，并会求自变量的取值范围．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：判断二次函数的方法，函数化简整理后满足：①函数的表达式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于0.若满足就是二次函数，否则就不是．情景导入生成问题1．什么是一次函数？答：形如y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)的函数为一次函数．2．列出下列问题中的函数关系式，它们有什么共同特点？(1)矩形周长为20，其面积y与一边长x的函数关系式；(2)圆的面积S与半径r之间的函数关系式；(3)矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将其长与宽都增加x cm，则面积增加y cm2，试写出y与x的函数关系式．答：(1)y＝－x2＋10x；(2)S＝πr2；(3)y＝x2＋7x.共同特点：都是关于自变量的二次式．自学互研生成能力知识模块一二次函数的概念阅读教材P2～P4，完成下列问题：问题：什么是二次函数？答：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中a，b，c分别是二次项系数，一次项系数，常数项．范例：下列函数属于二次函数的是( B)A ．y ＝x 2＋1x＋1 B ．y ＝2－x 2 C ．y ＝1x2－x 2 D ．y ＝(x －1)2－x 2仿例1：对于二次函数y ＝7－3x ＋πx 2，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为( C )A ．7，－3，1B ．7，－3，πC ．π，－3，7D ．1，－3，7 仿例2：下列关系中，为二次函数的是( B )A ．大米每千克4元，购买数量x(kg )与所付钱数y(元)B ．圆的面积S(cm 2)与半径r(cm )C ．矩形的面积为20cm 2，两邻边长x(cm )与y(cm )D ．已知T(℃)随时间t(h )的变化行为提示：列二次函数关系式要注意实际问题中自变量取值范围，求自变量取值范围时，注意题目条件限制和图形限制等．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．行为提示：教会学生整理反思．仿例3：已知函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)(m是常数)，当m为何值时：(1)函数是一次函数；(2)函数是二次函数．解：(1)m＝1；(2)m≠0且m≠1.知识模块二列出实际问题中的二次函数表达式范例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有m 人患了感冒，假设每轮传染恰好每一个人传染n 个人，则m 与n 之间的函数关系式为m ＝(1＋n)2．仿例1：某车的刹车距离y(m )与开始刹车时的速度x(m /s )之间满足二次函数y ＝120x 2(x>0)，若该车某次的刹车距离为5m ，则开始刹车时的速度为( C )A ．40m /sB ．20m /sC ．10m /sD ．5m /s仿例2：一个长方形的周长是20cm ，一边长是x cm ，则这个长方形的面积y(cm 2)与x(cm )的函数关系式是y ＝－x 2＋10x ，自变量x 的取值范围是0<x<10．仿例3：如图所示，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m )围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x(m )，面积为S(m 2)，则S 与x 的函数关系式为S ＝－3x 2＋24x ，自变量取值范围是143<x<8．仿例4：多边形的对角线条数d 与边数n 之间的关系式为d ＝12n 2－32n ，自变量n 的取值范围是n ≥3且为整数；当d ＝35时，多边形的边数n ＝10．仿例5：如图，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20cm ，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与点N 重合，若△ABC 以2cm /s 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，则重叠部分的面积y(cm 2)与时间t(s )之间的函数关系式为y ＝12(20－2t)2(0≤x≤10),.)交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次函数的概念知识模块二 列出实际问题中的二次函数表达式检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y＝ax2的图象与性质【学习目标】1．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，掌握二次函数y＝ax2的性质．2．经历探索二次函数y＝ax2的图象与性质的过程，能运用二次函数y＝ax2的图象及性质解决简单的实际问题，掌握数形结合的数学思想方法．【学习重点】会画二次函数y＝ax2的图象，理解有关概念及图象性质．【学习难点】对二次函数研究的途径和方法的体悟．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象开口方向和开口大小分别由a决定，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，开口的大小由|a|决定，|a|越小，抛物线的开口越大；|a|越大，抛物线的开口越小．情景导入生成问题1．用描点法画函数图象有哪些步骤？答：列表、描点、连线．2．一次函数、反比例函数的图象是什么？答：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线．3．对于函数y＝x2，取一些x，y的对应值在坐标系内描点，这些点会在同一直线上吗？答：不会．自学互研生成能力知识模块一二次函数y＝ax2的图象阅读教材P5～P6，完成下列问题：问题：二次函数y＝ax2的图象是怎样的？答：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，y轴是它的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点是抛物线的顶点．范例：关于二次函数y＝x2与y＝－x2的图象，下列叙述正确的有( A)①它们的图象都是一条抛物线；②它们的图象的对称轴都是y轴；③它们的图象都经过(0，0)；④二次函数y＝x2的图象开口向上，二次函数y＝－x2的图象开口向下．A．4个B．3个C．2个D．1个仿例：函数y＝ax2与y＝－ax＋b的图象可能是图中的( B),A) ,B) ,C) ,D)知识模块二二次函数y＝ax2的图象与性质问题：二次函数y＝ax2的图象与性质是什么？答：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，①当a>0时，抛物线的开口向上，图象有最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，图象有最高点；②抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)；③当a>0时，在对称轴左侧，图象呈下降趋势，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，图象呈上升趋势，y随x的增大而增大．行为提示：要灵活应用二次函数图象性质，必须结合图象来进行做题，一定要多画草图，这是求解函数题的关键．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．范例1：函数y ＝－6x 2的图象开口向下，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y 轴，当x ＝0时，函数y ＝－6x 2有最大(选填“大”或“小”)值，这个值为0．仿例1：在抛物线y ＝－12x 2中，当x<0时，y 的值随x 的增大而增大，当x>0时，y 的值随x 的增大而减小．仿例2：下列四个二次函数：①y＝x 2；②y＝－2x 2；③y＝12x 2；④y＝3x 2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④．范例2：抛物线y ＝－x 2上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1<x 2<0，则y 1<y 2.(比较大小)仿例1：已知函数y ＝(m ＋1)xm 2＋m －4是二次函数，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m ＝－3．仿例2：如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y ＝12x 2的图象，C 2是函数y ＝－12x 2的图象，则阴影部分的面积是2π．仿例3：若点(x 1，5)和点(x 2，5)(x 1≠x 2)均在抛物线y ＝ax 2上，则当x ＝x 1＋x 2时，y 的值是( A )A ．0B ．10C ．5D ．－5交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次函数y ＝ax 2的图象知识模块二 二次函数y ＝ax 2的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质【学习目标】1．能解释二次函数y＝ax2＋k和y＝ax2的图象的位置关系，掌握y＝ax2上、下平移规律．2．体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系，领悟y＝ax2与y＝ax2＋k相互转化的过程．【学习重点】抛物线y＝ax2＋k的图象与性质．【学习难点】理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．知识链接：二次函数y＝ax2＋k的图象是由二次函数y＝ax2的图象向上或向下平移|k|个单位得到的，当k>0时，向上平移，当k<0时，向下平移．行为提示：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质要结合平移来记，顶点变，其他不变．情景导入生成问题二次函数y＝ax2的图象性质是怎样的？答：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点为原点，当a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，且|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．自学互研 生成能力 知识模块一 抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的平移 阅读教材P 7～P 9，完成下列问题：问题：y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间有何关系？答：二次函数y ＝ax 2＋k 是由y ＝ax 2平移|k|个单位得到的，k>0，向上平移，k<0，向下平移．范例：(郴州中考)将抛物线y ＝x 2＋1向下平移2个单位，则此时抛物线的表达式为y ＝x 2－1．仿例：下列各组抛物线中，能够通过互相平移而彼此得到对方的是( D )A ．y ＝2x 2与y ＝3x 2B ．y ＝12x 2＋2与y ＝2x 2＋12C ．y ＝2x 2与y ＝x 2＋2D ．y ＝x 2＋2与y ＝x 2－2知识模块二 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质问题：二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质是怎样的？答：一般地，抛物线y ＝ax 2＋k 的对称轴是y 轴，顶点是(0，k)，当a>0时，开口向上，顶点是最低点；当a<0时，开口向下，顶点是最高点．范例1：抛物线y ＝14x 2－9的开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，－9)，它可以看做是由抛物线y ＝14x 2－1向下平移8个单位得到的．仿例：抛物线y ＝－12x 2＋1与抛物线y ＝ax 2＋c 关于x 轴对称，则a ＝12，c ＝－1.行为提示：求二次函数的表达式，一般先依题意设出适当的函数式，然后依据图象上点的坐标代入所设函数式，得到一个方程组，从而求出函数表达式．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决． 范例2：一抛物线的顶点坐标为(0，5)，形状与抛物线y ＝2x 2相同，在对称轴右侧，y 随x 增大而减小，则该函数关系式为( A )A ．y ＝－2x 2＋5B ．y ＝－5x 2＋ 2C ．y ＝－5x 2－ 2D ．y ＝2x 2－5仿例：抛物线y ＝－12x 2＋4与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积为( B )A ．8B ．8 2C ．4D ．4 2交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的平移知识模块二 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y ＝a(x －h)2的图象与性质【学习目标】1．会用描点法画二次函数y ＝a(x －h)2的图象，掌握y ＝a(x －h)2的图象与性质．2．理解抛物线y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2之间的位置关系． 【学习重点】二次函数y ＝a(x －h)2的图象与性质． 【学习难点】把握抛物线y ＝ax 2通过平移后得到y ＝a(x －h)2时平移的方向和距离．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．情景导入生成问题1．二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象与性质是什么？它由y＝ax2如何平移得到？答：函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点是(0，k)．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．当a>0时，在对称轴左侧(x<0)，y随x的增大而减小，在对称轴右侧(x>0)，y 随x的增大而增大．2．二次函数y＝ax2＋k的图象是由y＝ax2的图象上、下平移|k|个单位得到的．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：1．由抛物线y ＝ax 2向右平移k(k>0)个单位，则y ＝a(x －k)2.向左平移k(k>0)个单位，则y ＝a(x ＋k)2；2．抛物线平移对应的二次项系数a 相等；3．抛物线的平移规律是“左右平移，左加右减；上下平移，上加下减”．行为提示：y ＝a(x －h)2由y ＝ax 2左右平移得到，注意顶点对称轴的变化，函数增减性叙述的变化．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．自学互研 生成能力 知识模块一 抛物线y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2之间的平移 阅读教材P 11～P 13，完成下列问题：问题：二次函数y ＝a(x －h)2如何由y ＝ax 2平移得到？答：二次函数y ＝a(x －h)2是由y ＝ax 2向左或向右平移|h|个单位得到，当h>0时，向右平移；当h<0时，向左平移．范例：将抛物线y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322向左平移4个单位后，所得抛物线的表达式为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522,.)仿例：将抛物线y ＝23(x ＋2)2沿x 轴向右平移3个单位，得到抛物线y ＝23(x －1)2.知识模块二 抛物线y ＝a （x －h ）2的图象与性质问题：抛物线y ＝a(x －h)2的图象与性质是什么？答：抛物线y ＝a(x －h)2的性质：对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标为(h ，0)，a>0时，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，图象有最低点，函数有最小值；a<0时，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，图象有最高点，函数有最大值．范例：抛物线y ＝－9(x ＋12)2的开口向下，对称轴为直线x ＝－12，顶点坐标是(－12，0)；当x<－12时，y 随x 的增大而增大；当x>－12时，y 随x 的增大而减小；当x ＝－12时，函数y 有最大(选填“最大”或“最小”)值．仿例：已知A(－1，y 1)，B(－2，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是y 3<y 1<y 2．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 抛物线y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2之间的平移知识模块二 抛物线y ＝a(x －h)2的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质【学习目标】1．掌握抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2的图象之间的关系，熟练掌握函数y ＝a(x －h)2＋k 的有关性质，并能用函数y ＝a(x －h)2＋k 的性质解决一些实际问题．2．经历探索y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质的过程，体验y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a(x －h)2之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【学习重点】二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k 的性质． 【学习难点】二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k 的图象与性质的运用．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．知识链接：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象是由y ＝ax 2的图象向左(或右)平移|h|个单位，再向上(或下)平移|k|个单位得到的，平移规律是上下平移变常数项，上加下减；左右平移变自变量，左加右减．情景导入 生成问题1．填写下表2.抛物线y ＝13x 2－2，y ＝13(x －2)2是由y ＝13x 2如何平移得来？答：抛物线y ＝13x 2－2是由抛物线y ＝13x 2向下平移2个单位得到，y ＝13(x －2)2是由y ＝1x2向右平移2个单位得到．3自学互研生成能力知识模块一抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的平移阅读教材P14～P15，完成下列问题：问题：抛物线y＝a(x－h)2＋k如何由y＝ax2平移得到？答：一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝ax2向上(下)、向左(右)平移得到的，平移的方向、距离要依据h，k的值来决定．范例：(无锡中考)将抛物线y＝2(x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为y＝2x2．仿例：(扬州中考)将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数表达式是( B)A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2知识模块二抛物线y＝a（x－h）2＋k的图象与性质问题：抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象性质是怎样的？答：抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，对称轴是直线x＝h，顶点是(h，k)．从图象可以看出，如果a>0，当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大，如果a<0，当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h 时，y随x的增大而减小．行为提示：熟记y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质并用它解决问题，已知顶点坐标可直接代入求h ，k 的值．注意平移时a 不变，绕原点旋转180°，a 变为原数的相反数．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决． 范例：抛物线y ＝－3(x －2)2＋1的对称轴是直线x ＝2，当x<2时，y 的值随x 的增大而增大，当x>2时，y 的值随x 的增大而减小；有最大值，当x ＝2时，这个值等于1．仿例：(泰安中考)对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x>1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2之间的平移知识模块二 抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质【学习目标】1．会用配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式写成y ＝a(x －h)2＋k 的形式；通过图象能熟练地掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．2．经历探索y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象与性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【学习重点】用描点法画出二次函数的图象，并指出该图象的基本性质． 【学习难点】通过对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 上的一些点的分析得出关于a ，b ，c 的不等式．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．情景导入生成问题1．抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象与性质是什么？答：(1)顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h；(2)当a>0时，开口向上，顶点是最低点；当a<0时，开口向下，顶点是最高点．2．抛物线y＝－2(x－1)2－3的开口方向是向下，其顶点坐标是(1，－3)，对称轴是直线x＝1，当x>1时，函数值y随自变量x的值的增大而减小．自学互研生成能力知识模块一二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质阅读教材P16～P18，完成下列问题：问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质是什么？知识链接：平移规律：先把y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y ＝a(x －h)2＋k 的形式，平移规律同顶点式的抛物线．行为提示：1．要熟练将一般式化为顶点式；2．一般式中：a 确定抛物线的形状及开口大小与方向；a 与b 的符号确定对称轴的位置，即：左同右异；c 确定与y 轴交点位置．注意：在利用图象判断a ，b ，c 的符号时，不能忽略图形的作用，应做到数形结合，a ＋b ＋c 和a －b ＋c 的符号由当x ＝1和x ＝－1时y 的值来确定．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．行为提示：教会学生整理反思． 答：由y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)配方得y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－b 2a ，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a .二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a>0时，开口向上，当x>－b 2a 时，y 随x 的增大而增大，x<－b 2a 时，y 随x 的增大而减小，函数有最小值，即x ＝－b 2a 时，y 最小值＝4ac －b24a.范例：抛物线y ＝x 2－x ＋3的对称轴是直线x ＝12，顶点是⎝ ⎛⎪⎫12，114，与y 轴交点坐标是(0，3)，当x>12时，y 随x 的增大而增大．仿例1：把抛物线y ＝x 2＋2x 向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的表达式是( B )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x －1)2－4C ．y ＝(x ＋3)2＋2D ．y ＝(x ＋3)2－4仿例2：若抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－1，则b ＝4．仿例3：若二次函数y ＝x 2－4x ＋m 有最小值－2，则m ＝2． 知识模块二 利用图象判断a ，b ，c 的符号范例：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是( D )A ．a>0，b<0，c>0B ．a<0，b<0，c>0C ．a>0，b>0，c>0D ．a<0，b>0，c>0(范例图)(仿例图)仿例：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a－b<0；③a＋b ＋c>0；④a－b ＋c<0.其中正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质 知识模块二 利用图象判断a ，b ，c 的符号检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：利用二次函数解决图形的最大面积问题【学习目标】1．学会将二次函数一般式化为顶点式并结合自变量取值范围求解最大面积问题． 2．学会利用二次函数建立模型解决实际问题． 【学习重点】用函数思想解决实际问题． 【学习难点】如何建立二次函数模型．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．情景导入 生成问题1．函数y ＝－12x 2＋3x －52化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式是y ＝－12(x －3)2＋2，抛物线的开口方向是向下，顶点坐标是(3，2)，对称轴是直线x ＝2．当x ＝3时，函数取最大值为2．2．周长为40cm 的绳子要围成一个面积最大的矩形，怎样围 ?解：设矩形一边长为x cm ，另一边长为(20－x)cm ，面积S ＝x(20－x)＝－x 2＋20x ＝－(x －10)2＋100，当x ＝10时，S 最大＝100，∴围成正方形面积最大．自学互研 生成能力知识模块 如何围成最大面积阅读教材P 19～P 20，回答下列问题： 问题：如何求最大面积类问题？答：根据实际问题建立二次函数模型，再利用二次函数知识化为顶点式，结合自变量取值范围求出最大值．范例：如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18cm ，BC ＝4cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 的方向以2cm /s 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以1cm /s 的速度匀速运动．设运动时间为x(s )，△PBQ 的面积为y(cm 2)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值．解：(1)y ＝12BP ·BQ ＝12(18－2x)x ＝－x 2＋9x(0<x≤4)；(2)∵对称轴是直线x ＝－b 2a ＝92，0<x ≤4，∴图象在对称轴左侧，呈上升趋势．∴当x＝4时，△PBQ 的面积最大，是－42＋4×9＝20.仿例1：(成都中考)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB ，BC 两边)，设AB ＝x m .(1)若花园的面积为192m 2，求x 的值；(2)若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S 的最大值．解：(1)∵AB＝x m ，则BC ＝(28－x)m ，∴x(28－x)＝192， 解得x 1＝12，x 2＝16，∴x 的值是12m 或16m ；(2)由题意可得出：S ＝x(28－x)＝－x 2＋28x ＝－(x －14)2＋196， ∵在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ， ∴x ≥6，28－x≥15，∴6≤x ≤13，在6≤x≤13范围内，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝13时，S 最大值＝－(13－14)2＋196＝195(m 2)．答：花园面积S 的最大值为195m 2.行为提示：将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数知识即可求出最大值，再看所求值是否符合要求，将数学计算又转化为实际问题．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．仿例2：把4m 的木料锯成六段，制成如图所示的“目”字形窗户，若用x(m )表示横料AB 的长，y(m 2)表示窗户的面积，则y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x 2＋2x ，当x ＝12m 时，窗户面积最大．仿例3：如图，利用院墙用篱笆围成一个外形为矩形的花圃，花圃的面积为S m 2，平行于院墙的一边长为x m .(1)若院墙可利用的最大长度为10m ，篱笆总长度为24m ，花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，求S 与x 之间的函数关系式；(2)在(1)的条件下，当围成的花圃面积为45m 2时，求AB 的长．能否围成面积比45m 2更大的花圃？如果能，应该怎样围？如果不能，请说明理由．解：(1)S ＝－13x 2＋8x(0<x≤10)；(2)S ＝－13x 2＋8x ＝45，解得x 1＝5，x 2＝9，∵0＜x≤9，∴x ＝9，即当围成的花圃面积为45m 2时，AB ＝9m ；能围成面积比45m 2更大的花圃．∵S＝－13×(x － 12)2＋48，又∵0<x≤10，∴当x ＝10时，S最大＝1403>45，即当AB ＝143，BC ＝10时，S 最大． 交流展示 生成新知。
九年级数学下册26_2二次函数的图象与性质教案2新版华东师大版
26．2 二次函数的图象与性质教学目标：一、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式熟悉二次函数的性质．二、会运用配方式确信二次函数图象的极点、开口方向和对称轴．重点：二次函数的图象与性质难点：二次函数的图象与性质本节知识点1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． 教学进程在实际生活中，咱们常常会碰着一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的方法来提高利润．通过市场调查，发觉这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在那个问题中，设每件商品降价x 元，该商品天天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?[实践与探讨]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．分析 由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全部实数，因此只要确信它们的图象有最高点或最低点，就能够够确信函数有最大值或最小值．解 （1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值． 因为5322--=x x y =849)43(22--x ， 因此当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-． （2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ， 因此当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是425． 回忆与反思 最大值或最小值的求法，第一步确信a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求极点，极点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探讨 试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值．例2．某产品每件本钱是120元，试销时期每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表： x （元） 130 150 165 y （件） 70 50 35 若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要取得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？现在每日销售利润是多少？分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主若是正确表示出这两个量．解 由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ．设每日销售利润为s 元，则有1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，因此200120≤≤x ．因此，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．回忆与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，别离作DE⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足别离为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．解 （1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此 y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =，即884y x -=， 因此，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ，因此，当x=2时，S 有最大值8．[当堂课内练习]1．关于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是 （ ）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确信3．某商场销售一批衬衫，平均天天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价方法，通过市场调查发觉，若是每件衬衫每降价1元，商场平均天天可多售出2件．（1）若商场平均天天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均天天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=； （2）1222+-=x x y ．2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发觉，学生对概念的同意能力y 与提出概念所用的时刻x （单位：分）之间知足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示同意能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的同意能力慢慢增强？x 在什么范围内，学生的同意能力慢慢降低？（2）第10分时，学生的同意能力是多少？（3）第几分时，学生的同意能力最强？B 组4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值老是正值，求m 的取值范围．5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中距离有一道篱笆的长方形花园．设花园的宽AB 为x m ，面积为S m 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）若是要围成面积为45 m 2的花园，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花园吗？若是能，请求出最大面积，并说明围法；若是不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC 上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足别离是G 、H ，且EG+FH=EF ．（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ，写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S 的最小值．课堂小结：教学反思：。
2019-2020学年(春季版)九年级数学下册 26 二次函数学案 (新版)华东师大版.doc
2019-2020学年(春季版)九年级数学下册 26 二次函数学案（新版）华东师大版【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析，让学生经历二次函数概念的形成过程，学会用类比思想学习二次函数知识．2．掌握二次函数的概念，列出实际问题中的二次函数关系式．【学习重点】掌握二次函数的概念，列出二次函数关系式．【学习难点】理解变量之间的对应关系，并会求自变量的取值范围．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：判断二次函数的方法，函数化简整理后满足：①函数的表达式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于0.若满足就是二次函数，否则就不是．情景导入生成问题1．什么是一次函数？答：形如y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)的函数为一次函数．2．列出下列问题中的函数关系式，它们有什么共同特点？(1)矩形周长为20，其面积y与一边长x的函数关系式；(2)圆的面积S与半径r之间的函数关系式；(3)矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将其长与宽都增加x cm，则面积增加y cm2，试写出y与x的函数关系式．答：(1)y＝－x2＋10x；(2)S＝πr2；(3)y＝x2＋7x.共同特点：都是关于自变量的二次式．自学互研生成能力知识模块一二次函数的概念阅读教材P2～P4，完成下列问题：问题：什么是二次函数？答：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中a，b，c分别是二次项系数，一次项系数，常数项．范例：下列函数属于二次函数的是( B )A ．y ＝x 2＋1x＋1 B ．y ＝2－x 2 C ．y ＝1x2－x 2 D ．y ＝(x －1)2－x 2仿例1：对于二次函数y ＝7－3x ＋πx 2，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为( C )A ．7，－3，1B ．7，－3，πC ．π，－3，7D ．1，－3，7 仿例2：下列关系中，为二次函数的是( B )A ．大米每千克4元，购买数量x(kg )与所付钱数y(元)B ．圆的面积S(cm 2)与半径r(cm )C ．矩形的面积为20cm 2，两邻边长x(cm )与y(cm )D ．已知T(℃)随时间t(h )的变化行为提示：列二次函数关系式要注意实际问题中自变量取值范围，求自变量取值范围时，注意题目条件限制和图形限制等．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．行为提示：教会学生整理反思．仿例3：已知函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)(m是常数)，当m为何值时：(1)函数是一次函数；(2)函数是二次函数．解：(1)m＝1；(2)m≠0且m≠1.知识模块二列出实际问题中的二次函数表达式范例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有m 人患了感冒，假设每轮传染恰好每一个人传染n 个人，则m 与n 之间的函数关系式为m ＝(1＋n)2．仿例1：某车的刹车距离y(m )与开始刹车时的速度x(m /s )之间满足二次函数y ＝120x 2(x>0)，若该车某次的刹车距离为5m ，则开始刹车时的速度为( C )A ．40m /sB ．20m /sC ．10m /sD ．5m /s仿例2：一个长方形的周长是20cm ，一边长是x cm ，则这个长方形的面积y(cm 2)与x(cm )的函数关系式是y ＝－x 2＋10x ，自变量x 的取值范围是0<x<10．仿例3：如图所示，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m )围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x(m )，面积为S(m 2)，则S 与x 的函数关系式为S ＝－3x 2＋24x ，自变量取值范围是143<x<8．仿例4：多边形的对角线条数d 与边数n 之间的关系式为d ＝12n 2－32n ，自变量n 的取值范围是n ≥3且为整数；当d ＝35时，多边形的边数n ＝10．仿例5：如图，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20cm ，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与点N 重合，若△ABC 以2cm /s 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，则重叠部分的面积y(cm 2)与时间t(s )之间的函数关系式为y ＝12(20－2t)2(0≤x≤10),.)交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次函数的概念知识模块二 列出实际问题中的二次函数表达式检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y＝ax2的图象与性质【学习目标】1．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，掌握二次函数y＝ax2的性质．2．经历探索二次函数y＝ax2的图象与性质的过程，能运用二次函数y＝ax2的图象及性质解决简单的实际问题，掌握数形结合的数学思想方法．【学习重点】会画二次函数y＝ax2的图象，理解有关概念及图象性质．【学习难点】对二次函数研究的途径和方法的体悟．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：二次函数y＝ax2(a≠0)的图象开口方向和开口大小分别由a决定，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，开口的大小由|a|决定，|a|越小，抛物线的开口越大；|a|越大，抛物线的开口越小．情景导入生成问题1．用描点法画函数图象有哪些步骤？答：列表、描点、连线．2．一次函数、反比例函数的图象是什么？答：一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是两条双曲线．3．对于函数y＝x2，取一些x，y的对应值在坐标系内描点，这些点会在同一直线上吗？答：不会．自学互研生成能力知识模块一二次函数y＝ax2的图象阅读教材P5～P6，完成下列问题：问题：二次函数y＝ax2的图象是怎样的？答：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，它是轴对称图形，y轴是它的对称轴，抛物线与它的对称轴的交点是抛物线的顶点．范例：关于二次函数y＝x2与y＝－x2的图象，下列叙述正确的有( A)①它们的图象都是一条抛物线；②它们的图象的对称轴都是y轴；③它们的图象都经过(0，0)；④二次函数y＝x2的图象开口向上，二次函数y＝－x2的图象开口向下．A．4个B．3个C．2个D．1个仿例：函数y＝ax2与y＝－ax＋b的图象可能是图中的( B),A) ,B) ,C) ,D)知识模块二二次函数y＝ax2的图象与性质问题：二次函数y＝ax2的图象与性质是什么？答：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，①当a>0时，抛物线的开口向上，图象有最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，图象有最高点；②抛物线的对称轴是y轴，顶点坐标是(0，0)；③当a>0时，在对称轴左侧，图象呈下降趋势，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，图象呈上升趋势，y随x的增大而增大．行为提示：要灵活应用二次函数图象性质，必须结合图象来进行做题，一定要多画草图，这是求解函数题的关键．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．范例1：函数y ＝－6x 2的图象开口向下，顶点坐标是(0，0)，对称轴是y 轴，当x ＝0时，函数y ＝－6x 2有最大(选填“大”或“小”)值，这个值为0．仿例1：在抛物线y ＝－12x 2中，当x<0时，y 的值随x 的增大而增大，当x>0时，y 的值随x 的增大而减小．仿例2：下列四个二次函数：①y＝x 2；②y＝－2x 2；③y＝12x 2；④y＝3x 2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④．范例2：抛物线y ＝－x 2上有两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，若x 1<x 2<0，则y 1<y 2.(比较大小)仿例1：已知函数y ＝(m ＋1)xm 2＋m －4是二次函数，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，则m ＝－3．仿例2：如图，⊙O 的半径为2，C 1是函数y ＝12x 2的图象，C 2是函数y ＝－12x 2的图象，则阴影部分的面积是2π．仿例3：若点(x 1，5)和点(x 2，5)(x 1≠x 2)均在抛物线y ＝ax 2上，则当x ＝x 1＋x 2时，y 的值是( A )A ．0B ．10C ．5D ．－5交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次函数y ＝ax 2的图象知识模块二 二次函数y ＝ax 2的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质【学习目标】1．能解释二次函数y＝ax2＋k和y＝ax2的图象的位置关系，掌握y＝ax2上、下平移规律．2．体会图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系，领悟y＝ax2与y＝ax2＋k相互转化的过程．【学习重点】抛物线y＝ax2＋k的图象与性质．【学习难点】理解抛物线y＝ax2与y＝ax2＋k之间的位置关系．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．知识链接：二次函数y＝ax2＋k的图象是由二次函数y＝ax2的图象向上或向下平移|k|个单位得到的，当k>0时，向上平移，当k<0时，向下平移．行为提示：二次函数y＝ax2＋k的图象与性质要结合平移来记，顶点变，其他不变．情景导入生成问题二次函数y＝ax2的图象性质是怎样的？答：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点为原点，当a>0时，开口向上，在对称轴左侧，y随x增大而减小，在对称轴右侧，y随x增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大，在对称轴右侧，y随x增大而减小，且|a|越大，开口越小，|a|越小，开口越大．自学互研 生成能力 知识模块一 抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的平移 阅读教材P 7～P 9，完成下列问题：问题：y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间有何关系？答：二次函数y ＝ax 2＋k 是由y ＝ax 2平移|k|个单位得到的，k>0，向上平移，k<0，向下平移．范例：(郴州中考)将抛物线y ＝x 2＋1向下平移2个单位，则此时抛物线的表达式为y ＝x 2－1．仿例：下列各组抛物线中，能够通过互相平移而彼此得到对方的是( D )A ．y ＝2x 2与y ＝3x 2B ．y ＝12x 2＋2与y ＝2x 2＋12C ．y ＝2x 2与y ＝x 2＋2D ．y ＝x 2＋2与y ＝x 2－2知识模块二 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质问题：二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质是怎样的？答：一般地，抛物线y ＝ax 2＋k 的对称轴是y 轴，顶点是(0，k)，当a>0时，开口向上，顶点是最低点；当a<0时，开口向下，顶点是最高点．范例1：抛物线y ＝14x 2－9的开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，－9)，它可以看做是由抛物线y ＝14x 2－1向下平移8个单位得到的．仿例：抛物线y ＝－12x 2＋1与抛物线y ＝ax 2＋c 关于x 轴对称，则a ＝12，c ＝－1.行为提示：求二次函数的表达式，一般先依题意设出适当的函数式，然后依据图象上点的坐标代入所设函数式，得到一个方程组，从而求出函数表达式．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决． 范例2：一抛物线的顶点坐标为(0，5)，形状与抛物线y ＝2x 2相同，在对称轴右侧，y 随x 增大而减小，则该函数关系式为( A )A ．y ＝－2x 2＋5B ．y ＝－5x 2＋ 2C ．y ＝－5x 2－ 2D ．y ＝2x 2－5仿例：抛物线y ＝－12x 2＋4与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积为( B )A ．8B ．8 2C ．4D ．4 2交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 抛物线y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的平移知识模块二 二次函数y ＝ax 2＋k 的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y ＝a(x －h)2的图象与性质【学习目标】1．会用描点法画二次函数y ＝a(x －h)2的图象，掌握y ＝a(x －h)2的图象与性质．2．理解抛物线y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2之间的位置关系． 【学习重点】二次函数y ＝a(x －h)2的图象与性质． 【学习难点】把握抛物线y ＝ax 2通过平移后得到y ＝a(x －h)2时平移的方向和距离．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．情景导入生成问题1．二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象与性质是什么？它由y＝ax2如何平移得到？答：函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴是y轴，顶点是(0，k)．当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．当a>0时，在对称轴左侧(x<0)，y随x的增大而减小，在对称轴右侧(x>0)，y 随x的增大而增大．2．二次函数y＝ax2＋k的图象是由y＝ax2的图象上、下平移|k|个单位得到的．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．知识链接：1．由抛物线y ＝ax 2向右平移k(k>0)个单位，则y ＝a(x －k)2.向左平移k(k>0)个单位，则y ＝a(x ＋k)2；2．抛物线平移对应的二次项系数a 相等；3．抛物线的平移规律是“左右平移，左加右减；上下平移，上加下减”．行为提示：y ＝a(x －h)2由y ＝ax 2左右平移得到，注意顶点对称轴的变化，函数增减性叙述的变化．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．自学互研 生成能力 知识模块一 抛物线y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2之间的平移 阅读教材P 11～P 13，完成下列问题：问题：二次函数y ＝a(x －h)2如何由y ＝ax 2平移得到？答：二次函数y ＝a(x －h)2是由y ＝ax 2向左或向右平移|h|个单位得到，当h>0时，向右平移；当h<0时，向左平移．范例：将抛物线y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322向左平移4个单位后，所得抛物线的表达式为y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋522,.)仿例：将抛物线y ＝23(x ＋2)2沿x 轴向右平移3个单位，得到抛物线y ＝23(x －1)2.知识模块二 抛物线y ＝a （x －h ）2的图象与性质问题：抛物线y ＝a(x －h)2的图象与性质是什么？答：抛物线y ＝a(x －h)2的性质：对称轴是直线x ＝h ，顶点坐标为(h ，0)，a>0时，在对称轴右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，图象有最低点，函数有最小值；a<0时，在对称轴右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，图象有最高点，函数有最大值．范例：抛物线y ＝－9(x ＋12)2的开口向下，对称轴为直线x ＝－12，顶点坐标是(－12，0)；当x<－12时，y 随x 的增大而增大；当x>－12时，y 随x 的增大而减小；当x ＝－12时，函数y 有最大(选填“最大”或“最小”)值．仿例：已知A(－1，y 1)，B(－2，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是y 3<y 1<y 2．交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 抛物线y ＝a(x －h)2与y ＝ax 2之间的平移知识模块二 抛物线y ＝a(x －h)2的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质【学习目标】1．掌握抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2的图象之间的关系，熟练掌握函数y ＝a(x －h)2＋k 的有关性质，并能用函数y ＝a(x －h)2＋k 的性质解决一些实际问题．2．经历探索y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质的过程，体验y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2，y ＝ax 2＋k ，y ＝a(x －h)2之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【学习重点】二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k 的性质． 【学习难点】二次函数y ＝a(x ＋h)2＋k 的图象与性质的运用．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．知识链接：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象是由y ＝ax 2的图象向左(或右)平移|h|个单位，再向上(或下)平移|k|个单位得到的，平移规律是上下平移变常数项，上加下减；左右平移变自变量，左加右减．情景导入 生成问题1．填写下表2.抛物线y ＝13x 2－2，y ＝13(x －2)2是由y ＝13x 2如何平移得来？答：抛物线y ＝13x 2－2是由抛物线y ＝13x 2向下平移2个单位得到，y ＝13(x －2)2是由y ＝1x2向右平移2个单位得到．3自学互研生成能力知识模块一抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的平移阅读教材P14～P15，完成下列问题：问题：抛物线y＝a(x－h)2＋k如何由y＝ax2平移得到？答：一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k是由抛物线y＝ax2向上(下)、向左(右)平移得到的，平移的方向、距离要依据h，k的值来决定．范例：(无锡中考)将抛物线y＝2(x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为y＝2x2．仿例：(扬州中考)将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数表达式是( B)A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2知识模块二抛物线y＝a（x－h）2＋k的图象与性质问题：抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象性质是怎样的？答：抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，对称轴是直线x＝h，顶点是(h，k)．从图象可以看出，如果a>0，当x<h时，y随x的增大而减小，当x>h时，y随x的增大而增大，如果a<0，当x<h时，y随x的增大而增大，当x>h 时，y随x的增大而减小．行为提示：熟记y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质并用它解决问题，已知顶点坐标可直接代入求h ，k 的值．注意平移时a 不变，绕原点旋转180°，a 变为原数的相反数．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决． 范例：抛物线y ＝－3(x －2)2＋1的对称轴是直线x ＝2，当x<2时，y 的值随x 的增大而增大，当x>2时，y 的值随x 的增大而减小；有最大值，当x ＝2时，这个值等于1．仿例：(泰安中考)对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x>1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2之间的平移知识模块二 抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质【学习目标】1．会用配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的表达式写成y ＝a(x －h)2＋k 的形式；通过图象能熟练地掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．2．经历探索y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象与性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．【学习重点】用描点法画出二次函数的图象，并指出该图象的基本性质． 【学习难点】通过对二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 上的一些点的分析得出关于a ，b ，c 的不等式．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．情景导入生成问题1．抛物线y＝a(x－h)2＋k的图象与性质是什么？答：(1)顶点坐标是(h，k)，对称轴是直线x＝h；(2)当a>0时，开口向上，顶点是最低点；当a<0时，开口向下，顶点是最高点．2．抛物线y＝－2(x－1)2－3的开口方向是向下，其顶点坐标是(1，－3)，对称轴是直线x＝1，当x>1时，函数值y随自变量x的值的增大而减小．自学互研生成能力知识模块一二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质阅读教材P16～P18，完成下列问题：问题：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质是什么？知识链接：平移规律：先把y ＝ax 2＋bx ＋c 化成顶点式y ＝a(x －h)2＋k 的形式，平移规律同顶点式的抛物线．行为提示：1．要熟练将一般式化为顶点式；2．一般式中：a 确定抛物线的形状及开口大小与方向；a 与b 的符号确定对称轴的位置，即：左同右异；c 确定与y 轴交点位置．注意：在利用图象判断a ，b ，c 的符号时，不能忽略图形的作用，应做到数形结合，a ＋b ＋c 和a －b ＋c 的符号由当x ＝1和x ＝－1时y 的值来确定．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．行为提示：教会学生整理反思． 答：由y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)配方得y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－b 2a ，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a .二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当a>0时，开口向上，当x>－b 2a 时，y 随x 的增大而增大，x<－b 2a 时，y 随x 的增大而减小，函数有最小值，即x ＝－b 2a 时，y 最小值＝4ac －b24a.范例：抛物线y ＝x 2－x ＋3的对称轴是直线x ＝12，顶点是⎝ ⎛⎪⎫12，114，与y 轴交点坐标是(0，3)，当x>12时，y 随x 的增大而增大．仿例1：把抛物线y ＝x 2＋2x 向右平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的表达式是( B )A ．y ＝(x －1)2＋2B ．y ＝(x －1)2－4C ．y ＝(x ＋3)2＋2D ．y ＝(x ＋3)2－4仿例2：若抛物线y ＝2x 2＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－1，则b ＝4．仿例3：若二次函数y ＝x 2－4x ＋m 有最小值－2，则m ＝2． 知识模块二 利用图象判断a ，b ，c 的符号范例：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列结论正确的是( D )A ．a>0，b<0，c>0B ．a<0，b<0，c>0C ．a>0，b>0，c>0D ．a<0，b>0，c>0(范例图)(仿例图)仿例：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②2a－b<0；③a＋b ＋c>0；④a－b ＋c<0.其中正确的有( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质 知识模块二 利用图象判断a ，b ，c 的符号检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．困惑：________________________________________________________________________课题：利用二次函数解决图形的最大面积问题【学习目标】1．学会将二次函数一般式化为顶点式并结合自变量取值范围求解最大面积问题． 2．学会利用二次函数建立模型解决实际问题． 【学习重点】用函数思想解决实际问题． 【学习难点】如何建立二次函数模型．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：教会学生看书，自学时对于书中的问题一定要认真探究，书写答案，教会学生落实重点．情景导入 生成问题1．函数y ＝－12x 2＋3x －52化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式是y ＝－12(x －3)2＋2，抛物线的开口方向是向下，顶点坐标是(3，2)，对称轴是直线x ＝2．当x ＝3时，函数取最大值为2．2．周长为40cm 的绳子要围成一个面积最大的矩形，怎样围 ?解：设矩形一边长为x cm ，另一边长为(20－x)cm ，面积S ＝x(20－x)＝－x 2＋20x ＝－(x －10)2＋100，当x ＝10时，S 最大＝100，∴围成正方形面积最大．自学互研 生成能力知识模块 如何围成最大面积阅读教材P 19～P 20，回答下列问题： 问题：如何求最大面积类问题？答：根据实际问题建立二次函数模型，再利用二次函数知识化为顶点式，结合自变量取值范围求出最大值．范例：如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18cm ，BC ＝4cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 的方向以2cm /s 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以1cm /s 的速度匀速运动．设运动时间为x(s )，△PBQ 的面积为y(cm 2)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值．解：(1)y ＝12BP ·BQ ＝12(18－2x)x ＝－x 2＋9x(0<x≤4)；(2)∵对称轴是直线x ＝－b 2a ＝92，0<x ≤4，∴图象在对称轴左侧，呈上升趋势．∴当x＝4时，△PBQ 的面积最大，是－42＋4×9＝20.仿例1：(成都中考)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB ，BC 两边)，设AB ＝x m .(1)若花园的面积为192m 2，求x 的值；(2)若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S 的最大值．解：(1)∵AB＝x m ，则BC ＝(28－x)m ，∴x(28－x)＝192， 解得x 1＝12，x 2＝16，∴x 的值是12m 或16m ；(2)由题意可得出：S ＝x(28－x)＝－x 2＋28x ＝－(x －14)2＋196， ∵在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15m 和6m ， ∴x ≥6，28－x≥15，∴6≤x ≤13，在6≤x≤13范围内，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝13时，S 最大值＝－(13－14)2＋196＝195(m 2)．答：花园面积S 的最大值为195m 2.行为提示：将实际问题转化为二次函数模型，利用二次函数知识即可求出最大值，再看所求值是否符合要求，将数学计算又转化为实际问题．行为提示：找出自己不明白的问题，先对学，再群学，对照答案，提出疑惑，小组内解决不了的问题，写在小黑板上，在小组展示的时候解决．仿例2：把4m 的木料锯成六段，制成如图所示的“目”字形窗户，若用x(m )表示横料AB 的长，y(m 2)表示窗户的面积，则y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x 2＋2x ，当x ＝12m 时，窗户面积最大．仿例3：如图，利用院墙用篱笆围成一个外形为矩形的花圃，花圃的面积为S m 2，平行于院墙的一边长为x m .(1)若院墙可利用的最大长度为10m ，篱笆总长度为24m ，花圃中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，求S 与x 之间的函数关系式；(2)在(1)的条件下，当围成的花圃面积为45m 2时，求AB 的长．能否围成面积比45m 2更大的花圃？如果能，应该怎样围？如果不能，请说明理由．解：(1)S ＝－13x 2＋8x(0<x≤10)；(2)S ＝－13x 2＋8x ＝45，解得x 1＝5，x 2＝9，∵0＜x≤9，∴x ＝9，即当围成的花圃面积为45m 2时，AB ＝9m ；能围成面积比45m 2更大的花圃．∵S＝－13×(x － 12)2＋48，又∵0<x≤10，∴当x ＝10时，S最大＝1403>45，即当AB ＝143，BC ＝10时，S 最大． 交流展示 生成新知。
华东师大版九年级下册第26章二次函数导学案
第二十六章《二次函数》导学计划一：课标要求：通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题；会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解；*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。
二：导学目标：知识与技能目标：了解二次函数的有关概念，会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质，会运用配方法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解，知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题。
过程与方法目标：探索具体问题中的数量关系和变化规律，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的一个有效的数学模型，结合具体情境体会二次函数的意义，通过图象探索二次函数的性质，探索二次函数的三种表达式，探索二次函数、一元二次方程与不等式之间的关系。
情感与态度目标：结合实践与探索，让学生经历探索性学习的过程，从根本上改变学习方式，发展思维，提高学生自主习和合作交流两方面的能力，培养学生综合分析问题解决问题的能力。
三：导学重难点导学重点：二次函数的图象与性质。
导学难点：1、二次函数的性质的探索与运用 2、运用二次函数的知识解决实际问题四：单元导学策略1、导学步骤：2、实施建议：注重创设丰富的现实情境，重视学生直观感知的作用；注重与学生已有知识的联系，减少对新概念接受的困难；给学生充分的自主探索时间；充分利用教材设置的空间，积极组织和实施对不同学生、不同班级的多样化教学。
3、课时安排：全章导学时间为14课时，建议分配如下：§26.1 二次函数--------------------------1课时§26.2二次函数的图象与性质---------------7课时§26.3 实践与探索------------------—-----4课时复习---------------------------————--2课时课题26.1 二次函数总第 1 课课标要求：认识二次函数关系式【导学目标】1、知识与技能：认识二次函数，知道二次函数自变量的取值范围，并能熟练地列出二次函数关系式。
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课题：二次函数
【学习目标】
1．通过对实际问题情境的分析，让学生经历二次函数概念的形成过程，学会用类比思想学习二次函数知识．2．掌握二次函数的概念，列出实际问题中的二次函数关系式．
【学习重点】
掌握二次函数的概念，列出二次函数关系式．
【学习难点】
理解变量之间的对应关系，并会求自变量的取值范围．
情景导入生成问题
1．什么是一次函数？
答：形如y＝kx＋b(k≠0，k，b为常数)的函数为一次函数．
2．列出下列问题中的函数关系式，它们有什么共同特点？
(1)矩形周长为20，其面积y与一边长x的函数关系式；
(2)圆的面积S与半径r之间的函数关系式；
(3)矩形的长是4cm，宽是3cm，如果将其长与宽都增加x cm，则面积增加y cm2，试写出y与x的函数关系式．
答：(1)y＝－x2＋10x；(2)S＝πr2；(3)y＝x2＋7x.共同特点：都是关于自变量的二次式．
自学互研生成能力
知识模块一二次函数的概念
阅读教材P2～P4，完成下列问题：
问题：什么是二次函数？
答：形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，其中a，b，c分别是二次项系数，一次项系数，常数项．
范例：下列函数属于二次函数的是( B)
A．y＝x2＋1
x
＋1 B．y＝2－x2
C．y＝1
x2
－x2D．y＝(x－1)2－x2
仿例1：对于二次函数y＝7－3x＋πx2，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为( C) A．7，－3，1 B．7，－3，πC．π，－3，7 D．1，－3，7
仿例2：下列关系中，为二次函数的是( B)
A．大米每千克4元，购买数量x(kg)与所付钱数y(元)
B．圆的面积S(cm2)与半径r(cm)
C．矩形的面积为20cm2，两邻边长x(cm)与y(cm)
D．已知T(℃)随时间t(h)的变化
仿例3：已知函数y＝(m2－m)x2＋mx＋(m＋1)(m是常数)，当m为何值时：
(1)函数是一次函数；
(2)函数是二次函数．
解：(1)m ＝1；(2)m≠0且m≠1.
知识模块二 列出实际问题中的二次函数表达式
范例：有一人患了流感，经过两轮传染后共有m 人患了感冒，假设每轮传染恰好每一个人传染n 个人，则m 与n 之间的函数关系式为m ＝(1＋n)2
．
仿例1：某车的刹车距离y(m )与开始刹车时的速度x(m /s )之间满足二次函数y ＝120x 2
(x>0)，若该车某次的刹
车距离为5m ，则开始刹车时的速度为( C )
A ．40m /s
B ．20m /s
C ．10m /s
D ．5m /s
仿例2：一个长方形的周长是20cm ，一边长是x cm ，则这个长方形的面积y(cm 2
)与x(cm )的函数关系式是y ＝－x 2
＋10x ，自变量x 的取值范围是0<x<10．
仿例3：如图所示，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m )围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x(m )，面积为S(m 2
)，则S 与x 的函数关系式为S ＝－3x 2
＋24x ，自变量取值范围是14
3
<x<8．
仿例4：多边形的对角线条数d 与边数n 之间的关系式为d ＝12n 2－3
2n ，自变量n 的取值范围是n ≥3且为整
数；当d ＝35时，多边形的边数n ＝10．
仿例5：如图，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为20cm ，AC 与MN 在同一条直线上，开始时点A 与点N 重合，若△ABC 以2cm /s 的速度向左运动，最终点A 与点M 重合，则重叠部分的面积y(cm 2
)与时间t(s )之间的函数关系式为y ＝12
(20－2t)2
(0≤x≤10),.)
交流展示 生成新知
1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自学互研”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．
2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．
知识模块一 二次函数的概念
知识模块二 列出实际问题中的二次函数表达式
检测反馈 达成目标
【当堂检测】见所赠光盘和学生用书 【课后检测】见学生用书
课后反思 查漏补缺
1．收获：________________________________________________________________________ 2．困惑：_________________________________________________________。