最新乘法公式培优辅导讲义-高中课件精选
《乘法公式》_课件-完美版
知2－练
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知识点 3 利用平方差公式简便计算
知3－导
学习了平方差公式之后，我们可利用平方差公 式进行简便运算.
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知1－导
平方差公式： (1)平方差公式的推导：(a+b)(a-b)= a2-ab+ab-b2 =
a2-b2 . (2)文字语言：两个数的和与这两个数的差的积，等于
这两个数的 平方差 . (3)符号语言：(a+b)(a-b)= a2-b2 .
知1－讲
(1)公式特点：公式左边是两个二项式相乘，这两项中有一 项相同，另一项互为相反数；等号的右边是乘式中两项的 平方差(相同项的平方减去相反项的平方)．
(2)在运用公式时，要分清哪个数相当于公式中的a，哪个数 相当于公式中的b，不要混淆．
(3)公式中的a与b可以是具体的数，也可以是单项式或多项 式．
(4)平方差公式可以逆用，即a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
知1－讲
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的特征. (1)(3x＋2)(3x－2)； (2)(b＋2a)(2a－b)； (3)(－x＋2y)(－x－2y)； (4)(x＋2y)(－x－2y)．
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2 下列运算正确的是( C ) A．(a＋b)(b－a)＝a2－b2 B．(2m＋n)(2m－n)＝2m2－n2 C．(xm＋3)(xm－3)＝x2m－9 D．(x－1)(x＋1)＝(x－1)2
整式乘法乘法公式培优
第二课 整式乘法——乘法公式培优一、平方差②(2)(2)x y x y -+-- ②11()()22a b a b --- ③(2)(2)a b c a b c +---=④(23)(23)a b c a b c ---+- ⑤22(34)(34)a b a b --+=2、已知：12345671234569A =⨯，21234568B =，比较A 、B 的大小，则A B ．3、(1)计算：2481631111111(1)(1)(1)(1)(1)222222++++++= ．(2)2481632(51)(51)(51)(51)(51)(51)++++++=(3)222222111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)234201620172018---⋯⋯---=二、利用完全平方公式计算：1、（1）()223x - （2）()243x y + （3）()2mn a -（4）()225xy x + （5）()221n n +- （6）（a －b ＋c ）22、（1）22411_________24x x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ （2）()22_______p pq -+=三、混合运算（1）1(3x m +2y n +4)(3x m +2y n －4) （2）（m+n ）（m －n ）（m 2－n 2）（3）(x+2y)(x 2-2xy+4y 2) （4）（3x+2）2－（3x －2）2+（3x+2）2（3x －2）2（5）(2x+3)2-2(2x+3)(3x-2)+(3x-2)2（6）22(23)(46)(23)(23)x y x y x y x y -+-+++（7）(2x+3y)2(2x-3y)2（8）(3x+2)2-(3x-5)2(9)(x 2+x+6)(x 2-x+6) (10)(9-a 2)2-(3-a)(3-a)(9+a)2（11）(a+b-c)(a-b+c)-(a-b-c)(a+b+c) （12）x 2–(x+y)(x –y)（13） （14））（15） （16）(a -2b +3c )2-(a +2b -3c )2．（17）(2x ＋y －z ＋5)(2x －y ＋z ＋5) （18） 22)231()231(y x y x --+-（19）()()()()x z x xz z x z x xz z +-+-++222222四、配方1．（1）若292(3)16x k x +-+是完全平方式，则k 的值为 （2）如果26x x k -+是完全平方式，则k 的值为 （3）若22(1)4x k x -++是完全平方式，则k 的值为（4）若29(1)4x k x -++是完全平方式，则k 的值为（5）若多项式224(2)9x k xy y --+是完全平方式，则k 的值是 ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+4428y x y x ()()22875875c b a c b a +---+2．已知：a ，b ，c 满足227a b +=，221b c -=-，2617c a -=-，则a b c ++的值.3、实数a ，b ，c 满足2617a b +=-，2823b c +=-，2214c a +=，则a b c ++的值。
最新乘法公式培优辅导讲义-高中课件精选(1)
乘法公式培优训练题型一：a±型1．已知x2﹣3x+1=0，则= ．2．若a2+=14，则a+﹣5的值为．3．已知a+=7，则a3+的值是．4．已知=3，则= ．5．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．题型二：换元，整体思想1．已知a+b=4，则= ．2．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= ．3．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为．4．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是．5．计算（a1+a2+…+an﹣1）（a2+a3+…+an﹣1+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）（a1+a2+…+an）= ．题型三、添与凑1．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= ．3．计算下列各式：（1）1﹣= ；（2）（1﹣）（1﹣）= ；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）4．（1）计算：（a﹣1）（a+1）= ；（a﹣1）（a2+a+1）= ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）= ；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1 ②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．题型四、化简求值1．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；（2）当4x=3y，求代数式的值．3．已知a2+2a﹣2=0，求代数式（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）的值．3．（1）已知a2+b2=3，a﹣b=1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．（2）设b=ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．4．计算：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）；（2）已知x m=3，x n=2，求x2m﹣3n的值；（3）已知6x=5y，求代数式（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2的值．题型五、综合运用1．如果等式x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C= ．2．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1=0，求其面积．3．两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．（1）若ab=2，求a+b的值；（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．4．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．5．将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad ﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．6．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来．（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积．7．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中m＞n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：①；②．（2）写出关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式．（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积．8．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．a2+ab=a（a+b）（2）若x2﹣9y2=12，x+3y=4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）9．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．10．（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，求a+b的值．11．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）（1）图①中长方形的面积S1= ；图②中长方形的面积S2=比较：S1S2（填“＜”、“=”或“＞”）（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；②试探究：该正方形面积S与图①中长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．12．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．26．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．2017年12月02乘法公式培优训练参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知x2﹣3x+1=0，则= 7 ．【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，∴x+=3，∴（x+）2=x2++2=9，∴x2+=7．故答案为：7．2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= 732．【解答】解：原式=（7﹣1）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（72﹣1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（74﹣1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（78﹣1）（78+1）（716+1）+1=（716﹣1）（716+1）+1=732﹣1+1=732．故答案为：7323．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= 0 ．【解答】解：∵（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，∴[（2017﹣a）﹣（2016﹣a）]2+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，即1+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，∴2（2017﹣a）（2016﹣a）=0，∴（2017﹣a）（2016﹣a）=0，故答案为：0．4．若a2+=14，则a+﹣5的值为﹣1或﹣9 ．【解答】解：∵a2+=14，∴a2+2+=14+2，即=16，∴a+=±4，∴a+﹣5=﹣1或﹣9，故答案为：﹣1或﹣9．5．已知a+b=4，则= 8 ．【解答】解：=（a2+2ab+b2）=（a+b）2=×42=8．故答案是：8．6．已知=3，则= 119 ．【解答】解：，=119，故答案为：119．7．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为4+24．【解答】解：设x=2017﹣A，y=2015﹣A，∴x2y2=2016，∴xy=±12，∴x﹣y=2∴x2+y2=（x﹣y）2+2xy=4±24∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4+24∴（2017﹣A）2+（2015﹣A）2=4+24故答案为：4+248．已知a+=7，则a3+的值是322 ．【解答】解：∵a+=7，∴（a+）2=49，∴a2++2=49，∴a2+=47，∴a3+=（a+）（a2﹣1+）=7×46=322．故答案为：322．9．如果等式x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C= 11 ．【解答】解：∵x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C=x2+（B﹣2）x+1+C恒成立，∴B﹣2=3，1+C=2，∴B=5，C=6，故B+C=11．故答案为：11．10．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是．【解答】解：（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）=（1﹣﹣）×（+）+（1﹣﹣）×﹣（1﹣﹣）×（+）﹣（﹣）×（+）=（1﹣﹣）×+×（+）=（1﹣﹣++）×=．故答案为：．11．计算（a1+a2+…+an﹣1）（a2+a3+…+an﹣1+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）（a1+a2+…+an）=a 1an．【解答】解：设x=a1+a2+…+an，y=a2+a3+…+an﹣1，则原式=（x﹣an ）（y+an）﹣yx=xy+xan ﹣any﹣an2﹣xy=an （x﹣y）﹣an2=an [（a1+a2+…+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）]﹣an2=an （a1+an）﹣an2=a1an ，故答案为：a1an ．二．选择题（共16小题）12．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1=0，求其面积．【解答】解：由题意得：2（x+y）=16，解得：x+y=8①；∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1=（x﹣y﹣1）2=0，∴x﹣y=1②．联立①②成方程组，解得：，∴长方形面积S=xy=×=cm2．答：长方形的面积为cm2．13．两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．（1）若ab=2，求a+b的值；（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．【解答】解：（1）∵a2+b2=5，ab=2，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=5+2×2=9，∴a+b=±3；（2）∵a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，∴a2﹣2a=b2﹣2b，a2﹣2a+b2﹣2b=2m，∴a2﹣b2﹣2（a﹣b）=0，∴（a﹣b）（a+b﹣2）=0，∵a≠b，∴a+b﹣2=0，∴a+b=2，∵a2﹣2a+b2﹣2b=2m，∴a2+b2﹣2（a+b）=2m，∵a2+b2=5，∴5﹣2×2=2m，解得：m=，即a+b=2，m=．14．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．【解答】解：∵|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，∴|x﹣y+1|与（x+4）2互为相反数，即|x﹣y+1|+（x+4）2=0，∴x﹣y+1=0，x+4=0，解得x=﹣4，y=﹣3．当x=﹣4，y=﹣3时，原式=（﹣4﹣3）2=49．15．将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad ﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．【解答】解：根据题意化简=8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，解得：x=2．16．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来．（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积．【解答】解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）∵a+b=10，ab=20，=a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×∴S阴影20=50﹣30=20．17．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中m＞n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn ．（2）写出关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式（m+n）2=（m﹣n）2+4mn ．（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积．【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积：①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；（2）关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；故答案为：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；（3）∵m+n=10，mn=20，∴图2中阴影部分的面积为：（m+n）2﹣4mn=102﹣4×20=20．18．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？【解答】解：（1）原式=（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（332﹣1）×（332+1）+1=364；②∵31=3，32=9，33=27，34=8135=243，36=729，…∴每3个数一循环，∵64÷3=21…1，∴364的个位数字是3．19．计算下列各式：（1）1﹣= ；（2）（1﹣）（1﹣）= ；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）【解答】解：（1）1﹣=；（2））（1﹣）（1﹣）=；（3）原式=；故答案为；；；（4）原式=•••…•=．20．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 B （请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．a2+ab=a（a+b）（2）若x2﹣9y2=12，x+3y=4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）【解答】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），上述操作能验证的等式是B，故答案为：B；（2）∵x2﹣9y2=12，∴x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）=12，∵x+3y=4，∴x﹣3y=3；（3）原式====．21．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果892（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1=（82+3×8+1）2=892；故答案为：892；（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2，理由如下：等式左边=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1，等式右边=（n2+3n+1）2=（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，左边=右边．22．（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，求a+b的值．【解答】解：（1）∵a+b=3，ab=﹣2，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32﹣4×（﹣2）=17；（2）（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，4（a+b）2﹣9=55，（a+b）2=16，a+b==±4．23．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）（1）图①中长方形的面积S1= m2+8m+7 ；图②中长方形的面积S2= m2+6m+8比较：S1＞S2（填“＜”、“=”或“＞”）（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；②试探究：该正方形面积S与图①中长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．【解答】解：（1）图①中长方形的面积S1=（m+7）（m+1）=m2+8m+7，图②中长方形的面积S2=（m+4）（m+2）=m2+6m+8，比较：∵S1﹣S2=2m﹣1，m为正整数，m最小为1，∴2m﹣1≥1＞0，∴S1＞S2；（2）①2（m+7+m+1）÷4=m+4；②S﹣S1=（m+4）2﹣（m2+8m+7）=9定值；（3）由（1）得，S1﹣S2=2m﹣1，∴当10＜2m﹣1≤11时，∴＜m≤6，∵m为正整数，∴2m﹣1=11，m=6．故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞．24．（1）计算：（a﹣1）（a+1）= a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）= a3﹣1 ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）= a4﹣1 ；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= a2018﹣1 ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．【解答】解：（1）（a﹣1）（a+1）=a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）=a3﹣1；（a﹣1）（a3+a2+a+1）=a4﹣1；故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）=a2018﹣1；故答案为：a2018﹣1；（3）理利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1=（2﹣1）×（22017+22016+22015+22014+…+22+2+1）=22018﹣1；②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1=（5﹣1）×（52017+52016+52015+52014+…+52+5+1）=×（52018﹣1）．25．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．【解答】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4=x2﹣2xy+y2+y2+4y+4=（x﹣y）2+（y+2）2=0，∴x﹣y=0，y+2=0，解得x=﹣2，y=﹣2，∴x y=（﹣2）﹣2=；（2）∵a2+b2=10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0，即（a﹣5）2+（b﹣4）2=0，a﹣5=0，b﹣4=0，解得a=5，b=4，∵c是△ABC中最长的边，∴5≤c＜9．26．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．【解答】解：∵x、y互为相反数，∴y=﹣x，∴（x+3）2﹣（y+3）2，=（x+3）2﹣（﹣x+3）2，=x2+6x+9﹣x2+6x﹣9，=6，即12x=6，解得x=，∴y=﹣x=﹣．故答案为：x、y的值分别是，﹣．27．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．【解答】解：（1）猜想a2+b2≥2ab，理由为：∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab；（2）把x﹣=5两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=25，则x2+=27；（3）x2+≥2，即最小值为2．三．解答题（共4小题）28．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；（2）当4x=3y，求代数式的值．【解答】解：原式=x2﹣4xy+y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2=﹣4xy+3y2（1）当x=1，y=3时，原式=﹣12+3×9=﹣12+27=15（2）当4x=3y时，原式=﹣y（4x﹣3y）=029．已知a2+2a﹣2=0，求代数式（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）的值．【解答】解：（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）=9a2﹣4﹣8a2+2a=a2+2a﹣4，当a2+2a﹣2=0，即a2+2a=2时，原式=2﹣4=﹣2．30．（1）已知a2+b2=3，a﹣b=1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．（2）设b=ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a （a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）把a﹣b=1两边平方得：（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=1，把a2+b2=3代入得：3﹣2ab=1，即ab=1，∵（a+b）2=a2+b2+2ab=3+2=5，∴a+b=±，则原式=4﹣（a+b）+ab=5±；（2）原式=4a2﹣4ab+b2﹣a2+4b2+4a2+4ab=7a2+5b2，当b=±a时，原式=12a2，则m=±1．31．计算：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）；（2）已知x m=3，x n=2，求x2m﹣3n的值；（3）已知6x=5y，求代数式（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2的值．【解答】解：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）=﹣2a5bc•（﹣a5b2）=a10b3c（2）∵x m=3，x n=2，∴x2m﹣3n=（x m）2÷（x n）3=32÷23=（3）（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2 =x2﹣6xy+9y2﹣x2+y2﹣5y2=5y2﹣6xy=y（5y﹣6x）∵6x=5y，∴原式=y×0=0．。
乘法公式ppt课件
感悟新知
(2)几何图形证明法(数形结合思想)
知2－讲
图14.2－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；
图14.2－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
感悟新知
知2－讲
3. 完全平方公式的几种常见变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
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知2－练
2
例 4 计算：(1)999 ；(2) .
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再
利用完全平方公式展开计算即可.
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(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
感悟新知
知2－讲
2
2
2
(6)ab＝ ［(a＋b) －(a ＋b )］＝
［(a＋b)2－(a－b)2］；
(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
公式进行计算.
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知2－练
(1)(x＋7y)2；
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2
括号不能漏掉.
＝x2＋14xy＋49y2；
(2)(－4a＋5b)2；
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2
乘法ppt课件
工作中的乘法问题
工资计算
在工作中，我们的工资往往与工作时间和工作强度有作量评估
在工作中，我们经常需要评估一项工作的难度和所需时间，使用乘 法可以将多个任务量进行比较和评估。
预算制定
在工作中，我们经常需要制定预算或者进行成本控制，使用乘法可 以让我们更好地掌握预算的使用情况。
手指法
总结词：简单易学
详细描述：让学生用手指来表示每个数字，通过将手指相加来得出答案，这种方法适用于初学者。
分配律法
总结词：进阶技巧
详细描述：通过运用分配律来简化乘法运算，将乘法运算转化为加法运算，提高计算速度。
03 乘法口诀表
乘法口诀表的来源
九九乘法口诀表起源于春秋战国时期，当时已经开始将乘法口诀表进行整理和编写 。
理解整个乘法口诀表。
通过反复背诵和实践应用来加深 记忆，例如每天读一遍乘法口诀 表，或者在练习本上进行默写等
。
利用形象化的方法来辅助记忆， 例如将数字和具体的事物联系起 来，或者用手指比划来帮助记忆
等。
乘法口诀表的应用
乘法口诀表是学习乘法的基础工 具，可以帮助我们快速掌握乘法
的计算方法。
在日常生活和学习中，乘法口诀 表被广泛应用，例如购物时计算 商品价格，或者在计算一些简单
结合律
(a×b)×c=a×(b×c)，即当三个数相乘时，可以先把前两个数 相乘，再与第三个数相乘，也可以先把后两个数相乘，再与 第一个数相乘，结果不变。比如(2×3)×4=2×(3×4)，(2)×(-3)×5=(-2)×(5×(-3))。
02 乘法计算方法
表格法
总结词：直观易懂
详细描述：通过在表格中列出乘法口诀表，让学生通过查找表格得出答案的方式 ，直观地理解乘法的含义和计算方法。
乘法公式优秀优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
= 1−16a2。
你提出“”号、添括号；
利用平方差公式时，要紧紧围绕公式特征，
找出相等“项”和符号相反“项”，然后应用公式．第13页
处理实际问题
1、计算：1996×
解：1996× =（-4）（+4） = 2 - 4 2 =4000000-16 = 3999984
2、王灵敏同学去商店 买了单价是9.8元/千克糖果10.2千克， 售货员刚拿起计算器，王灵敏就说出应付99.6元，
第14页
解：(a+2)(a-2)=a2-4
答ห้องสมุดไป่ตู้改造后长方形草坪面积是a2-4平方米 挑战自我
第11页
试用语言表述平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2。
两数和与这两数差积，等于它们平方差。
应用平方差公式时要注意一些什么？
第12页
拓展练习
利用平方差公式计算： (4a1)(4a1)． (用两种方法)
(4a−1)(4a−1)
(a b)(a b) a2 ab ab b2
a2 b2
a ba b a2 b2
两个数和与这两个数差积等于这两个 数平方差．
第3页
知识出击:
第4页
概念挖掘:
2024/7/9
第5页
第6页
1、随计堂算练：习
(1)(a+3)(a−3)；
(2)(2a +3b)(2a −3b ) ;
(3) (1+2c)(1-2c).
挑战自我
第7页
检验结果:
2.以下式子可用平方差公式计算吗? 为何? 假如能够， 怎样计算?
(1) (a+b)(a−b) ； (不能)
(2) (a−b)(b−a) ;
乘法公式课件ppt
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目 录
• 乘法公式概述 • 乘法公式的分类及运算规则 • 乘法公式的应用
01
乘法公式概述
乘法公式的定义
乘法公式的数学定义
乘法公式是指对于任意的整数a、b(a≠0)，都有唯一的乘积 ab和它对应，称为乘法公式。
常用乘法公式
常用的乘法公式包括(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²2ab+b²，a³+b³=a³+3a²b+3ab²+b³等。
小数乘法
总结词
小数乘法是在整数乘法的基础上拓展而来 的，它是指将两个或多个小数相乘得到另 一个小数的运算。
VS
详细描述
小数乘法的运算规则与整数乘法基本相同 ，但需注意小数点的位置。具体来说，小 数乘法是通过移动小数点来进行计算的， 移动的位数取决于因数小数点的位数，即 对于任意两个小数a和b，它们的积为 a×10^n×b，其中n为小数点向右移动的 位数。
03
乘法公式的应用
乘法公式在代数中的应用
求解线性方程
在代数中，乘法公式可以用来求解线性方程。比如，对于方程ax+b=c，可 以使用乘法公式得到x=(c-b)/a。
因式分解
乘法公式也可以用于因式分解。例如，对于多项式f(x)=x^2+x+1，我们可以 使用乘法公式得到f(x)=(x+1/2)^2+3/4。
THANK YOU.
集合乘法
总结词
集合乘法是一种特殊的乘法运算，它是指将两个或多个集合组合在一起得到另一个集合的运算。
详细描述
集合乘法是指将两个或多个集合组合在一起得到另一个集合的过程。它的运算规则是将两个集合的元素逐一组 合起来，形成一个新的集合。例如，对于集合A和集合B，它们的积A×B是一个新的集合，包含所有(a, b)对， 其中a属于A且b属于B。
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乘法交换律
总结词
乘法交换律是数学中的基本定理之一，它描述了两个数相乘时，交换它们的顺序不会改变乘积的结果 。
详细描述
乘法交换律是指对于任何实数a和b，有a × b = b × a。这个定理说明了乘法的可交换性质，即两个 数的乘积与它们的顺序无关。
04
乘法公式的实例解析
实例一：整数乘法
总结词
整数乘法是乘法公式中最基础的形式，通过实例解析可以帮助学生更好地理解乘法的本 质。
详细描述
乘法分配律是指对于任何实数a、b和c，有a × (b + c) = a × b + a × c。这个定理在数学和物理中有广泛的应用，是学习 代数和微积分的基础。
乘法结合律
总结词
乘法结合律是数学中的基本定理之一 ，它描述了三个数相乘时，不论括号 如何组合，其结果都相同。
详细描述
乘法结合律是指对于任何实数a、b和 c，有(a × b) × c = a × (b × c)。这 个定理说明了乘法的结合性质，即乘 法的顺序不影响结果。
掌握同余式的性质和 运算规则
乘法公式的历史背景
古代数学中的乘法
在古代，人们通过重复加法来计算乘 法，随着数学的发展，逐渐形成了乘 法公式。
现代数学中的乘法
在现代数学中，乘法公式已经成为了 基础数学知识之一，被广泛应用于各 个领域。
乘法公式的应用场景
日常生活
在日常生活中，我们经常需要用到乘 法公式，比如购物时计算折扣、计算 利息等。
详细描述
分数乘法是指两个分数之间的相乘。在进行 分数乘法时，需要将分子和分母分别相乘， 然后化简得到最简分数形式。例如，1/2乘 以1/3等于1/6，表示为数学公式为 1/2x1/3=1/6。在进行分数乘法时，需要注 意分子和分母的约简问题，以确保结果的简 洁性和准确性。
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乘法公式培优训练题型一：a±型1．已知x2﹣3x+1=0，则= ．2．若a2+=14，则a+﹣5的值为．3．已知a+=7，则a3+的值是．4．已知=3，则= ．5．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．题型二：换元，整体思想1．已知a+b=4，则= ．2．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= ．3．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为．4．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是．5．计算（a1+a2+…+an﹣1）（a2+a3+…+an﹣1+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）（a1+a2+…+an）= ．题型三、添与凑1．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= ．3．计算下列各式：（1）1﹣= ；（2）（1﹣）（1﹣）= ；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）4．（1）计算：（a﹣1）（a+1）= ；（a﹣1）（a2+a+1）= ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）= ；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1 ②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．题型四、化简求值1．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；（2）当4x=3y，求代数式的值．3．已知a2+2a﹣2=0，求代数式（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）的值．3．（1）已知a2+b2=3，a﹣b=1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．（2）设b=ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a（a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．4．计算：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）；（2）已知x m=3，x n=2，求x2m﹣3n的值；（3）已知6x=5y，求代数式（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2的值．题型五、综合运用1．如果等式x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C= ．2．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1=0，求其面积．3．两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．（1）若ab=2，求a+b的值；（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．4．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．5．将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad ﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．6．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来．（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积．7．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中m＞n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：①；②．（2）写出关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式．（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积．8．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．a2+ab=a（a+b）（2）若x2﹣9y2=12，x+3y=4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）9．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．10．（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，求a+b的值．11．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）（1）图①中长方形的面积S1= ；图②中长方形的面积S2=比较：S1S2（填“＜”、“=”或“＞”）（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；②试探究：该正方形面积S与图①中长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．12．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．26．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．2017年12月02乘法公式培优训练参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．已知x2﹣3x+1=0，则= 7 ．【解答】解：∵x2﹣3x+1=0，∴x+=3，∴（x+）2=x2++2=9，∴x2+=7．故答案为：7．2．化简：6（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1= 732．【解答】解：原式=（7﹣1）（7+1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（72﹣1）（72+1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（74﹣1）（74+1）（78+1）（716+1）+1=（78﹣1）（78+1）（716+1）+1=（716﹣1）（716+1）+1=732﹣1+1=732．故答案为：7323．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）= 0 ．【解答】解：∵（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，∴[（2017﹣a）﹣（2016﹣a）]2+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，即1+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，∴2（2017﹣a）（2016﹣a）=0，∴（2017﹣a）（2016﹣a）=0，故答案为：0．4．若a2+=14，则a+﹣5的值为﹣1或﹣9 ．【解答】解：∵a2+=14，∴a2+2+=14+2，即=16，∴a+=±4，∴a+﹣5=﹣1或﹣9，故答案为：﹣1或﹣9．5．已知a+b=4，则= 8 ．【解答】解：=（a2+2ab+b2）=（a+b）2=×42=8．故答案是：8．6．已知=3，则= 119 ．【解答】解：，=119，故答案为：119．7．已知（2017﹣A）2（2015﹣A）2=2016，则（2017﹣A）2+（2015﹣A）2的值为4+24．【解答】解：设x=2017﹣A，y=2015﹣A，∴x2y2=2016，∴xy=±12，∴x﹣y=2∴x2+y2=（x﹣y）2+2xy=4±24∵x2+y2≥0，∴x2+y2=4+24∴（2017﹣A）2+（2015﹣A）2=4+24故答案为：4+248．已知a+=7，则a3+的值是322 ．【解答】解：∵a+=7，∴（a+）2=49，∴a2++2=49，∴a2+=47，∴a3+=（a+）（a2﹣1+）=7×46=322．故答案为：322．9．如果等式x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C恒成立，其中B，C为常数，B+C= 11 ．【解答】解：∵x2+3x+2=（x﹣1）2+B（x﹣1）+C=x2+（B﹣2）x+1+C恒成立，∴B﹣2=3，1+C=2，∴B=5，C=6，故B+C=11．故答案为：11．10．计算（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）的结果是．【解答】解：（1﹣﹣）（++）﹣（1﹣﹣﹣）（+）=（1﹣﹣）×（+）+（1﹣﹣）×﹣（1﹣﹣）×（+）﹣（﹣）×（+）=（1﹣﹣）×+×（+）=（1﹣﹣++）×=．故答案为：．11．计算（a1+a2+…+an﹣1）（a2+a3+…+an﹣1+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）（a1+a2+…+an）=a 1an．【解答】解：设x=a1+a2+…+an，y=a2+a3+…+an﹣1，则原式=（x﹣an ）（y+an）﹣yx=xy+xan ﹣any﹣an2﹣xy=an （x﹣y）﹣an2=an [（a1+a2+…+an）﹣（a2+a3+…+an﹣1）]﹣an2=an （a1+an）﹣an2=a1an ，故答案为：a1an ．二．选择题（共16小题）12．已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1=0，求其面积．【解答】解：由题意得：2（x+y）=16，解得：x+y=8①；∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1=（x﹣y﹣1）2=0，∴x﹣y=1②．联立①②成方程组，解得：，∴长方形面积S=xy=×=cm2．答：长方形的面积为cm2．13．两个不相等的实数a，b满足a2+b2=5．（1）若ab=2，求a+b的值；（2）若a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，求a+b和m的值．【解答】解：（1）∵a2+b2=5，ab=2，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=5+2×2=9，∴a+b=±3；（2）∵a2﹣2a=m，b2﹣2b=m，∴a2﹣2a=b2﹣2b，a2﹣2a+b2﹣2b=2m，∴a2﹣b2﹣2（a﹣b）=0，∴（a﹣b）（a+b﹣2）=0，∵a≠b，∴a+b﹣2=0，∴a+b=2，∵a2﹣2a+b2﹣2b=2m，∴a2+b2﹣2（a+b）=2m，∵a2+b2=5，∴5﹣2×2=2m，解得：m=，即a+b=2，m=．14．已知|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值．【解答】解：∵|x﹣y+1|与x2+8x+16互为相反数，∴|x﹣y+1|与（x+4）2互为相反数，即|x﹣y+1|+（x+4）2=0，∴x﹣y+1=0，x+4=0，解得x=﹣4，y=﹣3．当x=﹣4，y=﹣3时，原式=（﹣4﹣3）2=49．15．将4个数a b c d排成两行，两列，两边各加一条竖直线记成，定义=ad ﹣bc．上述记号叫做2阶行列式，若=8．求x的值．【解答】解：根据题意化简=8，得：（x+1）2﹣（1﹣x）2=8，整理得：x2+2x+1﹣（1﹣2x+x2）﹣8=0，即4x=8，解得：x=2．16．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子．（1）图1是由几个面积不等的小正方形与小长方形拼成的一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个正方形的面积，你发现了什么结论？请写出来．（2）图2是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连结BD、BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，试求阴影部分的面积．【解答】解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）∵a+b=10，ab=20，=a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣×∴S阴影20=50﹣30=20．17．图1是一个长为2m，宽为2n的长方形纸片（其中m＞n），先用剪刀沿图中虚线剪开成四块完全相同的小长方形，然后拼成如图2所示的大正方形．（1）请用两种不同方法表示图2中阴影部分的面积：①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn ．（2）写出关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式（m+n）2=（m﹣n）2+4mn ．（3）若m+n=10，mn=20，求图2中阴影部分的面积．【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积：①（m﹣n）2；②（m+n）2﹣4mn；故答案为：（m﹣n）2；（m+n）2﹣4mn；（2）关于（m+n）2，（m﹣n）2，mn的一个等式：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；故答案为：（m+n）2=（m﹣n）2+4mn；（3）∵m+n=10，mn=20，∴图2中阴影部分的面积为：（m+n）2﹣4mn=102﹣4×20=20．18．对于算式2（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）（332+1）+1．（1）计算出算式的结果；（2）结果的个位数字是几？【解答】解：（1）原式=（3﹣1）×（3+1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（34﹣1）×（34+1）×（38+1）×（316+1）×（332+1）+1=（332﹣1）×（332+1）+1=364；②∵31=3，32=9，33=27，34=8135=243，36=729，…∴每3个数一循环，∵64÷3=21…1，∴364的个位数字是3．19．计算下列各式：（1）1﹣= ；（2）（1﹣）（1﹣）= ；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）= ；（4）请你根据上面算式所得的简便方法计算下式：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）…（1﹣）【解答】解：（1）1﹣=；（2））（1﹣）（1﹣）=；（3）原式=；故答案为；；；（4）原式=•••…•=．20．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是 B （请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．a2+ab=a（a+b）（2）若x2﹣9y2=12，x+3y=4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）【解答】解：（1）根据阴影部分面积相等可得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），上述操作能验证的等式是B，故答案为：B；（2）∵x2﹣9y2=12，∴x2﹣9y2=（x+3y）（x﹣3y）=12，∵x+3y=4，∴x﹣3y=3；（3）原式====．21．有一系列等式：1×2×3×4+1=52=（12+3×1+1）22×3×4×5+1=112=（22+3×2+1）23×4×5×6+1=192=（32+3×3+1）24×5×6×7+1=292=（42+3×4+1）2…（1）根据你的观察、归纳、发现的规律，写出8×9×10×11+1的结果892（2）试猜想n（n+1）（n+2）（n+3）+1是哪一个数的平方，并予以证明．【解答】解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到8×9×10×11+1=（82+3×8+1）2=892；故答案为：892；（2）依此类推：n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n2+3n+1）2，理由如下：等式左边=（n2+3n）（n2+3n+2）+1=n4+6n3+9n2+2n2+6n+1=n4+6n3+11n2+6n+1，等式右边=（n2+3n+1）2=（n2+1）2+2•3n•（n2+1）+9n2=n4+2n2+1+6n3+6n+9n2=n4+6n3+11n2+6n+1，左边=右边．22．（1）已知a+b=3，ab=﹣2，求代数式（a﹣b）2的值．（2）已知a、b满足（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，求a+b的值．【解答】解：（1）∵a+b=3，ab=﹣2，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=32﹣4×（﹣2）=17；（2）（2a+2b+3）（2a+2b﹣3）=55，4（a+b）2﹣9=55，（a+b）2=16，a+b==±4．23．如图①，长方形的两边长分别为m+1，m+7；如图②，长方形的两边长分别为m+2，m+4．（其中m为正整数）（1）图①中长方形的面积S1= m2+8m+7 ；图②中长方形的面积S2= m2+6m+8比较：S1＞S2（填“＜”、“=”或“＞”）（2）现有一正方形，其周长与图①中的长方形周长相等，则①求正方形的边长（用含m的代数式表示）；②试探究：该正方形面积S与图①中长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．（3）在（1）的条件下，若某个图形的面积介于S1、S2之间（不包括S1、S2）并且面积为整数，这样的整数值有且只有10个，求m的值．【解答】解：（1）图①中长方形的面积S1=（m+7）（m+1）=m2+8m+7，图②中长方形的面积S2=（m+4）（m+2）=m2+6m+8，比较：∵S1﹣S2=2m﹣1，m为正整数，m最小为1，∴2m﹣1≥1＞0，∴S1＞S2；（2）①2（m+7+m+1）÷4=m+4；②S﹣S1=（m+4）2﹣（m2+8m+7）=9定值；（3）由（1）得，S1﹣S2=2m﹣1，∴当10＜2m﹣1≤11时，∴＜m≤6，∵m为正整数，∴2m﹣1=11，m=6．故答案为：m2+8m+7，m2+6m+8，＞．24．（1）计算：（a﹣1）（a+1）= a2﹣1 ；（a﹣1）（a2+a+1）= a3﹣1 ；（a﹣1）（a3+a2+a+1）= a4﹣1 ；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）= a2018﹣1 ；（3）利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1．【解答】解：（1）（a﹣1）（a+1）=a2﹣1；（a﹣1）（a2+a+1）=a3﹣1；（a﹣1）（a3+a2+a+1）=a4﹣1；故答案为：a2﹣1；a3﹣1；a4﹣1；（2）由上面的规律我们可以猜想，得到：（a﹣1）（a2017+a2016+a2015+a2014+…+a2+a+1）=a2018﹣1；故答案为：a2018﹣1；（3）理利用上面的结论，求下列各式的值．①22017+22016+22015+22014+…+22+2+1=（2﹣1）×（22017+22016+22015+22014+…+22+2+1）=22018﹣1；②52017+52016+52015+52014+…+52+5+1=（5﹣1）×（52017+52016+52015+52014+…+52+5+1）=×（52018﹣1）．25．先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n2﹣6n+9=0，求m和n的值．解：∵m2+2mn+2n2﹣6n+9=0∴m2+2mn+n2+n2﹣6n+9=0∴（m+n）2+（n﹣3）2=0∴m+n=0，n﹣3=0∴m=﹣3，n=3问题（1）若x2+2y2﹣2xy+4y+4=0，求x y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2=10a+8b﹣41，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围．【解答】解：（1）x2+2y2﹣2xy+4y+4=x2﹣2xy+y2+y2+4y+4=（x﹣y）2+（y+2）2=0，∴x﹣y=0，y+2=0，解得x=﹣2，y=﹣2，∴x y=（﹣2）﹣2=；（2）∵a2+b2=10a+8b﹣41，∴a2﹣10a+25+b2﹣8b+16=0，即（a﹣5）2+（b﹣4）2=0，a﹣5=0，b﹣4=0，解得a=5，b=4，∵c是△ABC中最长的边，∴5≤c＜9．26．已知x、y互为相反数，且（x+3）2﹣（y+3）2=6，求x、y的值．【解答】解：∵x、y互为相反数，∴y=﹣x，∴（x+3）2﹣（y+3）2，=（x+3）2﹣（﹣x+3）2，=x2+6x+9﹣x2+6x﹣9，=6，即12x=6，解得x=，∴y=﹣x=﹣．故答案为：x、y的值分别是，﹣．27．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．【解答】解：（1）猜想a2+b2≥2ab，理由为：∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab；（2）把x﹣=5两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=25，则x2+=27；（3）x2+≥2，即最小值为2．三．解答题（共4小题）28．已知代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2（1）当x=1，y=3时，求代数式的值；（2）当4x=3y，求代数式的值．【解答】解：原式=x2﹣4xy+y2﹣（x2﹣y2）﹣2y2=﹣4xy+3y2（1）当x=1，y=3时，原式=﹣12+3×9=﹣12+27=15（2）当4x=3y时，原式=﹣y（4x﹣3y）=029．已知a2+2a﹣2=0，求代数式（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）的值．【解答】解：（3a+2）（3a﹣2）﹣2a（4a﹣1）=9a2﹣4﹣8a2+2a=a2+2a﹣4，当a2+2a﹣2=0，即a2+2a=2时，原式=2﹣4=﹣2．30．（1）已知a2+b2=3，a﹣b=1，求（2﹣a）（2﹣b）的值．（2）设b=ma（a≠0），是否存在实数m，使得（2a﹣b）2﹣（a﹣2b）（a+2b）+4a （a+b）能化简为12a2？若能，请求出满足条件的m值；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）把a﹣b=1两边平方得：（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=1，把a2+b2=3代入得：3﹣2ab=1，即ab=1，∵（a+b）2=a2+b2+2ab=3+2=5，∴a+b=±，则原式=4﹣（a+b）+ab=5±；（2）原式=4a2﹣4ab+b2﹣a2+4b2+4a2+4ab=7a2+5b2，当b=±a时，原式=12a2，则m=±1．31．计算：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）；（2）已知x m=3，x n=2，求x2m﹣3n的值；（3）已知6x=5y，求代数式（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2的值．【解答】解：（1）（﹣48a6b5c）÷（24ab4）•（﹣a5b2）=﹣2a5bc•（﹣a5b2）=a10b3c（2）∵x m=3，x n=2，∴x2m﹣3n=（x m）2÷（x n）3=32÷23=（3）（x﹣3y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣5y2 =x2﹣6xy+9y2﹣x2+y2﹣5y2=5y2﹣6xy=y（5y﹣6x）∵6x=5y，∴原式=y×0=0．。