相似三角形的判定定理及练习

(一)相似三角形
1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．
2、相似三角形对应边的比叫做相似比．
3、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．
强调：
①定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：
∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；
②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理．它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为“预备定理”；
③有了预备定理后，在解题时不但要想到“见平行，想比例”，还要想到“见平行，想相似”．
(二)相似三角形的判定
1、相似三角形的判定：
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。

例1、已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．
例2、如图，E、F分别是△ABC的边BC上的点，DE∥AB,DF∥AC ,
求证：△ABC∽△DEF.
判定定理2：如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
例1、△ABC中，点D在AB上，如果AC2=AD•AB，那么△ACD与△ABC相似吗？说说你的理由．
例2、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？
（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。

判定定理3：如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。

简单说成：三边对应成比例，两三角形相似．
强调：
A
B C
D
E F
①有平行线时，用预备定理；
②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时，可考虑利用判定定理1或判定定理2；
③已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3．但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．
2、直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
例1、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．
例2、如图,AB⊥BD,CD⊥BD,P为BD上一动点,AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当P点在BD上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件,可以使图中的两个三角形相似?请说明理由.
例3、已知：AD是Rt△ABC中∠A的平分线，∠C=90°，
EF是AD的垂直平分线交AD于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：(1)△AME∽△NMD
(2)ND2=NC·NB
强调：
①由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理1，或两条直角边对应成比例，用判定定理2，一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；
②如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为“母子相似三角形”，其应用较为广泛．（直角三角形被斜边上的高分成的两个直三角形的与原三角形相似）
③如图，可简单记为：在Rt△ABC中，CD⊥AB，则△ABC∽△CBD∽△ACD．
④补充射影定理。

类型 斜三角形
直角三角形
全等三角形的判定 SAS
SSS
AAS （ASA ）
HL
相似三角形 的判定
两边对应成比例夹角相等
三边对应成比例
两角对应相等
一条直角边与斜边对应成比例
（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形
A
B
C
D E
A
A
B
B
C
C D
D
E
E
(2)如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形。

A
B
C
D E 1
2A
A
B
B
C
C
D
D E
E
124
1
2
(3)如图：∠1=∠2，∠B=∠D ，则△ADE ∽△ABC ，称为“旋转型”的相似三角形。

B
E
A
C
D 1
2
二、例题分析
1、下列说法不正确的是（ ）
A 、两对应角相等的三角形是相似三角形；
B 、两对应边成比例的三角形是相似三角形；
C 、三边对应成比例的三角形是相似三角形；
D 、以上有两个说法是正确。

2、如图，D
E ∥BC ，E
F ∥AB ，则图中相似三角形有（ ）
A 、2对
B 、3对
C 、4对
D 、5对 3、如图，若P 为△ABC 的边AB 上一点（AB>AC ），则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC 的有（ ） A 、∠ACP=∠B B 、∠APC=∠ACB C 、AC AP AB AC = D 、AB
AC BC PC =
4、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论：①BC=2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③AD AB AE AC
=；其中正确的有 （ ） A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个 5、如图AD ⊥AB 于D ，CE ⊥AB 于E 交AB 于F ，则图中相似三角形的对数是 。

6、小明的身高是1.6m ，他的影长为2m ，同一时刻教学楼的影长为24m ，则教学楼的高是
；
7、已知AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高，且AB=15cm ，BD=9cm ，则AD= ，CD= 。

8、如图四，在平行四边形ABCD 中，AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC 的平分线交AD 于点E ，交CD 的延长线于点F ，则DF = _________cm
9、已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽ΔEAD.
E
F
A B
C
A B
D E
F
E
D C B A A
B C
P
10、已知，如图，D 为△ABC 内一点，连结ED 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ，∠BCE=
∠BAD
求证：△DBE ∽△ABC
11、已知△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 是角平分线，求证：△ABC ∽△BCD
12、矩形ABCD 中，BC=3AB ，E 、F ，是BC 边的三等分点，连结AE 、AF 、AC ，问图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论。

13、如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、
CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =；（2）.MN CN DN AN •=• 14、已知如图，∠A=90°，D 是AB 上任意一点，BE ⊥BC ，∠BCE=∠DCA ，EF ⊥AB ， 求证：AD=BF
A
B
C
D
E F
A B C D
15、有一块三角形的土地，它的底边BC ＝100米，高AH ＝80米。

某单位要沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，D 、G 分别在边AB 、AC 上。

若大楼的宽是40米（即DE ＝40米），求这个矩形的面积。

16.如图，在平行四边形ABCD 中，32BAD ∠=°，分别以BC CD 、为边向外作BCE △和DCF △，
使BE BC DF DC EBC CDF ==∠=∠，，．延长AB 交边EC 于点H ，点H 在E C 、两点之间，连结AE AF 、． （1）求证：ABE FDA △≌△．
（2）当AE AF ⊥时，求EBH ∠的度数．
M A B C D
G F。