高考数学冲刺讲义--指数与指数函数.板块二.学生版
2022高考数学二轮复习讲义：专题1 第2讲 基本初等函数、函数与方程(学生版)
2022高考数学二轮复习讲义专题一 第2讲 基本初等函数、函数与方程【要点提炼】考点一 基本初等函数的图象与性质1．指数函数y ＝a x(a>0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x(a>0，a ≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同． 2．幂函数y ＝x α的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【热点突破】【典例】1 (1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x 2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( ) A ．有最小值－1，最大值1 B ．有最大值1，无最小值 C ．有最小值－1，无最大值 D ．有最大值－1，无最小值(2)已知函数f(x)＝e x＋2(x<0)与g(x)＝ln(x ＋a)＋2的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 【拓展训练】1 (1)函数f(x)＝ln(x 2＋2)－e x －1的大致图象可能是( )(2)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－12的解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)【要点提炼】考点二 函数的零点 判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点的判断【典例】2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xe x，x ≤0，2－|x －1|，x>0，若函数g(x)＝f(x)－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．2B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e(2)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(2－x)，当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【特点突破】考向2 求参数的值或取值范围 【典例】3 (1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x>a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________．【拓展训练】2 (1)已知偶函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x)＝x 2－3x(x ≥0)，若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x，x<0，则y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4(2)(多选)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2a ，x<0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为( ) A ．－6 B ．8 C ．9 D ．12专题训练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅰ)设alog 34＝2，则4－a等于( )A.116B.19C.18D.162．函数f(x)＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax 和g(x)＝log a (x ＋2)(a>0且a ≠1)的大致图象可能为( )4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a5．(2020·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e－0.23t －53，其中K 为最大确诊病典例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A ．60 B ．63 C ．66 D ．696．(2020·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1<a<2B ．0<a<2，a ≠1C ．0<a<1D ．a ≥27．(2020·太原质检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x>0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g(x)＝f(x)＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于( ) A ．－2e B ．e C ．－e D ．2e 8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x|＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 二、多项选择题9．(2020·临沂模拟)若10a ＝4,10b＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab>8lg 22D ．b －a>lg 610．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a (1－x)，a>0，a ≠1，则( ) A ．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1) B ．函数f(x)＋g(x)的图象关于y 轴对称 C ．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0 D ．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数11．(2020·淄博模拟)已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x ∈[0,2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是( )A ．f(2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f(x)图象的一个对称中心C ．函数y ＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f(x)在区间[－6,6]上有3个零点 12．对于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞，则下列结论正确的是( )A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤1B ．函数y ＝f(x)在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f(x)－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132三、填空题13．(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax.若f(ln 2)＝8，则a ＝________.14．已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)(a ≠b)，则函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx，x>0的最小值为________．15．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞，则函数F(x)＝f(x)－1π的所有零点之和为________．16．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x ∈R |f(x)＝0}，μ∈{x ∈R |g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex －2＋x －3与g(x)＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．。
高考数学一轮复习讲义7 指数及指数函数(学生版)
第五讲指数及指数函数一．根式1.根式的概念2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数)；②(na)n＝a(注意a必须使na有意义)．二．有理指数幂(1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna＝na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；②正数的负分数指数幂是mna＝1mna＝1na m(a>0，m，n∈N*，n>1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义．(2)有理指数幂的运算性质①a s a t＝a s＋t(a>0，t，s∈Q)；②(a s)t＝a st(a>0，t，s∈Q)；③(ab)t＝a t b t(a>0，b>0，t∈Q)．三．指数函数的图象与性质 （1）指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R . （2）指数函数的图象与性质R考向一 指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______． （3）已知x 12+x−12=3，求下列各式的值：①x +x −1 ；②x 2+x −2；③x 32−x−32x 12−x −12.【举一反三】1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.2．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 3．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．4.已知x ＋x －1＝3，则3322xx的值为 ．5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝ . 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为 ．7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为 ．考向二 指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，则有（ ） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1 【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数 2．函数f （x ）=（2a –3）a x 是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32 C ．4 D ．23．函数f (x )=(m 2−m −1)a x 是指数函数，则实数m =（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．2或−1考向三 指数函数的单调性【例3】函数f (x )=51−|2x+4|的单调递增区间为（ ） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【举一反三】 1.函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（ ）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．考向四 指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数y =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为 。
高考新坐标高考数学总复习 第二章 第5节 指数与指数函数课件
考向 1 四种命题及其相互关系 【典例 1】 化简：(1)(3 2· 3)6－41469－12－4 2·80.25－(－2 015)0；
(2)（a41ba123）b243a－ab132 b31(a>0，b>0)．
[解] (1)原式＝213×6·321×6－4×47－214·23×14－1＝22·33－ 7－2－1＝98.
【变式训练 1】 计算：
39 (1) a2 a－3÷
3 a－73 a13；
(2)(0.027)－13－17－2＋27912－( 2－1)0.
[解] (1)原式＝a29a－3213÷a－73a13312
1
1
＝(a3)3÷(a2)2＝a÷a＝1.
(2)原式＝1 20700－13－72＋29512－1＝130－49＋35－1＝－45.
考向 2 指数函数图象的应用
【典例 2】 (1)(2013·课标全国卷Ⅱ)若存在正数 x 使 2x(x－a)
＜1 成立，则 a 的取值范围是( )
A．(－∞，＋∞)
B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－1，＋∞)
(2)若方程|ax－1|＝2a(a>0，且 a≠1)有两解，则 a 的取值范围
பைடு நூலகம்
是________．
1 y2＝ xy，排除 C；
对于选项 D，f(x＋y)＝12x＋y＝12x12y＝f(x)f(y)，但 f(x)＝12 x在其定义域内是减函数，排除 D.
[答案] B
5．函数 y＝ax－1a(a>0，且 a≠1)的图象可能是(
)
[解析] 当 a>1 时，0<1a<1，排除 A、B，当 0<a<1 时，1a>1， 选项 C 不满足，D 满足．
2021年浙江高考数学复习练习讲义：2.4 指数与指数函数
2.4 指数与指数函数探考情 悟真题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点指数幂及其运算1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.2016浙江,12,6分指数幂及其运算对数运算★★☆2015浙江,12,4分指数幂及其运算对数运算指数函数的图象与性质理解指数函数的概念,会解决与指数函数性质有关的问题.2016浙江文,7,5分指数函数的图象与性质不等式的性质★★☆ 分析解读 1.指数函数是重要的基本初等函数,也是高考的常考内容.2.考查指数的计算、指数函数值的求法、比较大小等(例:2015浙江12题).3.考查指数函数与函数的基本性质、二次函数、不等式等相结合的题目(例:2016浙江文7题).4.预计2021年高考试题中,仍会对指数函数及其性质进行考查,特别是指数函数的图象在复习时应重视.破考点 练考向 【考点集训】考点一 指数幂及其运算(2018浙江杭州地区重点中学期中,11)已知a>0且a ≠1,log a 2=x,则a x= ;a 2x+a -2x= .答案 2;174考点二 指数函数的图象与性质1.(2019浙江宁波效实中学期中,13)设函数f(x)=(x+2)3-(12)x 的零点在区间(n,n+1)(n ∈Z)上,则n= .答案 -1 2.已知函数f(x)=12x-1+m 是奇函数,函数g(x)=a m-x+2(a>0,a ≠1)的图象过定点P,则P 的坐标是 .答案(12,3)炼技法提能力【方法集训】方法1指数式值大小比较的方法1.(2019课标全国Ⅰ文,3,5分)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,则()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a答案B2.(2018浙江浙东北联盟期中,8)已知x,y∈R,且5x+7-y≤5y+7-x,则()A.sin x≤sin yB.x2≤y2C.5x≤5yD.log17x≤log17y答案C方法2指数函数的图象和性质的综合应用的解题策略1.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如图所示,则函数g(x)=a x+b的图象是()答案C2.(2019浙江杭州高级中学期中,12)函数f(x)=21x2-1的定义域为,值域为.答案{x|x≠±1};(0,12]∪(1,+∞)【五年高考】A组自主命题·浙江卷题组1.(2016浙江文,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤bB.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥bD.若f(a)≥2b,则a≥b答案B2.(2015浙江,12,4分)若a=log43,则2a+2-a=.答案4√33B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2015山东,3,5分)设a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6,则a,b,c的大小关系是()A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a答案C2.(2015天津,7,5分)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a答案C3.(2019课标全国Ⅱ理,14,5分)已知f(x)是奇函数,且当x<0时, f(x)=-e ax.若f(ln 2)=8,则a=.答案-34.(2015江苏,7,5分)不等式2x2-x<4的解集为.答案{x|-1<x<2}5.(2015山东,14,5分)已知函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[-1,0],则a+b=.答案 -32C 组 教师专用题组1.(2017课标Ⅰ,11,5分)设x,y,z 为正数,且2x=3y=5z,则( )A.2x<3y<5zB.5z<2x<3yC.3y<5z<2xD.3y<2x<5z 答案 D2.(2016课标全国Ⅲ,6,5分)已知a=243,b=425,c=2513,则( ) A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 答案 A【三年模拟】一、选择题(每小题4分,共28分)1.(2019浙江浙南联盟期末,6)已知a,b ∈R,则“a=b ”是“e a-e b=a-b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A2.(2018浙江金华十校模拟,4)已知实数x,y 满足不等式组{y ≥x,x ≥-1,2x +y ≤3,则2x+y的取值范围为( )A.[4,16]B.[116,16]C.[14,16]D.[14,4] 答案 C3.(2020届浙江五校十月联考,3)函数f(x)=3x3x +2x的值域为( )A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1]D.(0,1)答案D4.(2020届浙江“超级全能生”第一次联考,4)在同一直角坐标系中,函数y=ax2+bx,y=a x-b(a>0且a≠1)的图象可能是()答案D5.(2019浙江高考信息优化卷(三),9)已知函数f(x)=x2-x+a(2x-12+2-x+12)有唯一零点,则a=()A.-1B.18C.14D.12答案B6.(2019浙江镇海中学阶段测试,7)已知函数y=f(x)是定义域为R的偶函数. 当x≥0时,f(x)={54sinπ4x,0≤x≤2,(12)x+1,x>2,若关于x的方程f 2(x)+af(x)+b=0(a,b∈R),有且仅有6个不同的实数根,则实数a的取值范围是()A.(-52,-1) B.(-52,-94)C.(-52,-94)∪(-94,-1) D.(-94,-1)答案C7.(2020届浙江金丽衢十二校第一次联考,8)已知函数f(x)={e(x+1)2,x≤0,x+4x-3,x>0,函数y=f(x)-a有四个不同的零点,从小到大依次为x1,x2,x3,x4,则-x1x2+x3+x4的取值范围为() A.(3,3+e) B.[3,3+e)C.(3,+∞)D.(3,3+e]答案D二、填空题(单空题4分,多空题6分,共20分)8.(2020届浙江名校协作体开学联考,11)计算:814×√24=,log42+2log23-1=.答案 2;29.(2020届浙江省重点高中统练,12)已知函数f(x)={(12)x-1,x ≤0,log 2x +1,x >0,则f(1)+f(-2)= .答案 410.(2020届浙江五校十月联考,13)不等式23x-1<(12)1-2x的解集是 ;不等式log 2(3x-1)<lo g 124的解集是 .答案 {x|x<0};{x |13<x <512} 11.(2019浙江高考模拟卷(二),15)已知函数f(x)={x +1,x ≤a,2x ,x >a,若存在两个不相等的实数x 1,x 2,使得f(x 1)=f(x 2),则实数a 的取值范围为 . 答案 (0,1)。
高考数学复习知识点讲义课件25---指数函数的概念及其图象和性质
答案：(－1，－1) (2)y＝13x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数 y＝3x 的图象关于 y 轴的对称图象得函数 y＝3－x 的图象，再向左平移 1 个单位长度就得到函数 y＝3－(x＋1)的图象，最后再 向上平移 2 个单位长度就得到函数 y＝3－(x＋1)＋2＝13x＋1＋2 的图象，如图所示．
x0 1
2
3
…
y 200 210 220.5 231.525 …
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横 坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年 的值．
∵8<x0<9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的 木材蓄积量能达到300万立方米．
[解析] (1)函数 y＝13x 是指数函数，且 y＝4x 也是指数函数，其它函数不 符合指数函数的三个特征．
(2)设指数函数 fx＝ax，由 f2－f1＝6 得 a2－a＝6，解得 a＝－2(舍去)或 a＝3，则 f3＝33＝27.
[答案](1)①④ (2)27
[方法技巧] (1)判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0， 且a≠1)这一形式，其具备的特点为：
2.底数与指数函数图象的关系 (1)由指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝1 相交于点(1，a)可知，在 y 轴右侧， 图象从下到上相应的底数由小变大． (2)由指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝－1 相交于点－1，1a 可知，在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小． 如图所示，指数函数底数的大小关系为 0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.
(一)指数函数的概念 一般地，函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义 域是 R .
ZW-高考数学大一轮复习讲义课件：第二章 2-5 指数与指数函数
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第二章
函数、导数及其应用
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第五节 指数与指数函数
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第四页，编辑于星期六：七点 二十九分。
主干知识·整合 01
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2020高中数学学考冲刺辅导第8讲 指数与指数函数
第8讲 指数与指数函数项目一 知识概要 1． 分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a nm ＝na m (a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是anm ＝1na m(a >0，m ，n ∈N ＋，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)幂的运算性质：a m a n ＝a m ＋n ，(a m )n ＝a mn ，(ab )n ＝a n b n ，其中a >0，b >0，m ，n ∈R .2． 指数函数的图像与性质项目二 例题精讲任务一 指数幂的运算问题【例1】 化简：(1)3131421413223)(ba b a ab b a - (a >0，b >0)；(2) 012132)32()25(10)002.0()827(-+--+----.分析 运算中可先将根式化成分数指数幂，再按照指数幂的运算性质进行运算．解析 (1)原式＝3131221323123)(ba ab b a b a -＝3123113116123--++-+ba＝ab －1.(2)原式＝12510)5001()827(2132+--+---＝2132500)278(+-－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. 评注 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 任务二 指数函数的图像和性质运用问题【例2】 (1)函数y ＝e x ＋e －x e x －e －x的图像大致为()(2)若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.分析 对于和指数函数的图像、性质有关的问题，可以通过探求已知函数和指数函数的关系入手． 答案 (1)A (2) 3解析 (1)y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝1＋2e 2x－1，当x >0时，e 2x －1>0，且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减．又函数y 是奇函数，故只有A 正确． (2)当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]， ∴a 2－1＝2，即a ＝ 3.当0<a <1时，x ∈[0,2]，y ∈[a 2－1,0]，此时定义域与值域不一致，无解． 综上，a ＝ 3.评注 (1)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像．(2)对复合函数的性质进行讨论时，要搞清复合而成的两个函数，然后对两层函数分别进行研究．任务三 换元法解决与指数函数有关的值域问题 【例3】(1)函数y ＝(12)122-+x x 的值域是( )A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0,4]D ．[4，＋∞)(2)函数y ＝(14)x －(12)x ＋1在x ∈[－3,2]上的值域是________．分析 注重换元思想方法解题．解析 (1)设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t.因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t为关于t 的减函数，所以0<y ＝(12)t ≤(12)－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．(2)因为x ∈[－3,2]，若令t ＝(12)x ，则t ∈[14，8]．则y ＝t 2－t ＋1＝(t －12)2＋34.当t ＝12时，y min ＝34；当t ＝8时，y max ＝57.∴所求函数值域为[34，57]．答案 (1)C (2)[34，57]评注 和指数函数有关的值域或最值问题，通常利用换元法，将其转化为两个基本初等函数的单调性或值域问题，注意换元过程中“元”的取值范围的变化．任务四 指数函数的综合应用问题【例4】 (1)k 为何值时，方程|3x －1|＝k 无解？有一解？有两解？(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2x－12|x |.①若f (x )＝32，求x 的值；②若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 分析 方程的解的问题可转为函数图像的交点问题；恒成立可以通过分离参数求最值或值域来解决．解析 (1)函数y ＝|3x －1|的图像是由函数y ＝3x 的图像向下平移一个单位后，再把位于x 轴下方的图像沿x 轴翻折到x 轴上方得到的，函数图像如图所示．当k <0时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像无交点，即方程无解；当k ＝0或k ≥1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有唯一的交点，所以方程有一解；当0<k <1时，直线y ＝k 与函数y ＝|3x －1|的图像有两个不同的交点，所以方程有两解．(2)①当x <0时，f (x )＝0，无解； 当x ≥0时，f (x )＝2x －12x ，由2x －12x ＝32，得2·22x －3·2x －2＝0，看成关于2x 的一元二次方程，解得2x ＝2或－12，∵2x >0，∴x ＝1.②当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0，即m (22t －1)≥－(24t －1)， ∵22t －1>0，∴m ≥－(22t ＋1)，∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]， 故m 的取值范围是[－5，＋∞)．评注 对指数函数的图像进行变换是利用图像的前提，方程f (x )＝g (x )解的个数即为函数y ＝f (x )和y ＝g (x )图像交点的个数；有关复合函数问题的关键是通过换元得到两个新的函数，搞清复合函数的结构．项目三 感悟提高1． 判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值再进行比较．2． 指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a >1与0<a <1. 3． 对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成． 4． 恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 5． 复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．6． 对可化为a 2x ＋b ·a x ＋c ＝0或a 2x ＋b ·a x ＋c ≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围．项目四冲刺必练A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．函数y＝a x－a(a>0，且a≠1)的图像可能是( )答案 C解析当x＝1时，y＝0，故函数y＝a x－a(a>0，且a≠1)的图像必过点(1,0)，显然只有C符合．2．已知a＝5－12，函数f(x)＝a x，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的关系为( )A．m＋n<0 B．m＋n>0C．m>n D．m<n答案 D解析∵0<5－12<1，∴f(x)＝a x＝(5－12)x，且f(x)在R上单调递减，又∵f(m)>f(n)，∴m<n，故选D.3．若函数f(x)＝a|2x－4|(a>0，a≠1)，满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( )A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 答案 B解析 由f (1)＝19得a 2＝19，∴a ＝13(a ＝－13舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减．故选B. 4． 若存在负实数使得方程2x－a ＝1x －1成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．(0,2)D ．(0,1)答案 C解析 在同一坐标系内分别作出函数y ＝1x －1和y ＝2x －a的图像知，当a ∈(0,2)时符合要求．5． 已知实数a ，b 满足等式2 014a ＝2 015b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0；③0<a <b ；④b <a <0；⑤a ＝b . 其中不可能成立的关系式有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个答案 B解析 设2 014a ＝2 015b ＝t ，如图所示，由函数图像，可得(1)若t >1，则有a >b >0； (2)若t ＝1，则有a ＝b ＝0； (3)若0<t <1，则有a <b <0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．6．设函数f(x)＝|3x －1|，若c ＜b ＜a 且f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系式一定成立的是( )A ．3c ＞3bB ．3b ＞3aC ．3c ＋3a ＞2D ．3c ＋3a ＜2 答案 D解析 作出f (x )＝|3x －1|的图像如图所示，由图可知，要使c ＜b ＜a 且f (c )＞f (a )＞f (b )成立，则有c ＜0且a ＞0，∴3c ＜1＜3a ，∴f (c )＝1－3c ，f (a )＝3a －1.又f (c )＞f (a )，∴1－3c ＞3a －1， 即3a ＋3c ＜2，故选D.二、填空题 7．(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0＝________.答案 －19解析 原式＝(1500)21-－105－2＋1＝50021－10(5＋2)＋1＝105－105－20＋1＝－19.8． 若指数函数y ＝a x 在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a ＝________.答案5±12解析 若0<a <1，则a －1－a ＝1， 即a 2＋a －1＝0，解得a ＝－1＋52或a ＝－1－52(舍去)． 若a >1，则a －a －1＝1，即a 2－a －1＝0， 解得a ＝1＋52或a ＝1－52(舍去)． 综上所述a ＝5±12. 9． 若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析 令a x －x －a ＝0即a x ＝x ＋a ，若0<a <1，显然y ＝a x与y ＝x ＋a的图像只有一个公共点；若a >1，y ＝a x 与y ＝x ＋a 的图像如图所示有两个公共点．10．已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x－a ，x>1.若f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1，2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2.又y ＝a x －a 是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为(1，2]． 三、解答题11． 已知函数f (x )＝b ·a x(其中a ，b 为常量且a >0，a ≠1)的图像经过点A (1,6)，B (3,24)．(1)试确定f (x )；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝b ·a x 的图像过点A (1,6)，B (3,24)， ∴⎩⎨⎧b ·a ＝6， ①b ·a 3＝24， ②②÷①得a 2＝4，又a >0且a ≠1，∴a ＝2，b ＝3， ∴f (x )＝3·2x .(2)由(1)知(1a )x＋(1b )x－m ≥0在(－∞，1]上恒成立化为m ≤(12)x ＋(13)x在(－∞，1]上恒成立．令g (x )＝(12)x ＋(13)x，则g (x )在(－∞，1]上单调递减， ∴m ≤g (x )min ＝g (1)＝12＋13＝56，故所求实数m 的取值范围是(－∞，56]．12．设a >0且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解 令t ＝a x (a >0且a ≠1)， 则原函数化为y ＝(t ＋1)2－2 (t >0)． ①当0<a <1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ，1a 上为增函数．所以f (t )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12＝16，所以a ＝－15或a ＝13.又因为a >0，所以a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上为增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3(a ＝－5舍去)．综上得a ＝13或3.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)1． 设函数f (x )＝⎩⎨⎧1x x >0e xx ≤0若F (x )＝f (x )＋x ，x ∈R ，则F (x )的值域为 ( )A ．(－∞，1]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞) 答案 C解析 当x >0时，F (x )＝1x＋x ≥2； 当x ≤0时，F (x )＝e x ＋x ，根据指数函数与一次函数的单调性，F (x )是单调递增函数，F (x )≤F (0)＝1，所以F (x )的值域为(－∞，1]∪[2，＋∞)．2． 若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是 ( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12 答案 D 解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12. ②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．图(1) 图(2)综上，0<a <12. 3． 关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，34 解析 由题意，得x <0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫32x <1， 从而0<2＋3a 5－a <1，解得－23<a <34.4．已知f(x)＝(1a x－1＋12)x3(a>0且a≠1)．f(x)的奇偶性为__________；当实数a的取值范围为__________时能使f(x)>0在定义域上恒成立．答案f(x)是偶函数；a>1解析由于a x－1≠0，则a x≠1，得x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x∈R，且x≠0}．对于定义域内的任意x，有f(－x)＝(1a－x－1＋12)(－x)3＝(a x1－a x＋12)(－x)3＝(－1－1a x－1＋12)(－x)3＝(1a x－1＋12)x3＝f(x)．∴f(x)是偶函数．方法一当a>1时，对x>0，由指数函数的性质知a x>1，∴a x－1>0，1a x－1＋12>0.又x>0时，x3>0，∴x3(1a x－1＋12)>0，即当x>0时，f(x)>0.又由(1)知，f(x)为偶函数，故f(－x)＝f(x)，当x<0时，－x>0，有f(x)＝f(－x)>0.综上知当a>1时，f(x)>0在定义域内恒成立．当0<a<1时，f(x)＝a x＋1x3 2a x－1.当x>0时，1>a x>0，a x＋1>0，a x－1<0，x3>0，此时f(x)<0，不满足题意；又f(x)为偶函数，所以当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)<0，也不满足题意．综上可知，a的取值范围是a>1. 方法二由(1)知f(x)为偶函数，∴只需讨论x>0时的情况．当x>0时，要使f(x)>0，即(1a x－1＋12)x3>0，即1a x－1＋12>0，即a x＋12a x－1>0，即a x－1>0，a x>1，a x>a0.又∵x>0，∴a>1.∴当a>1时，f(x)>0.故a的取值范围是a>1.5．已知定义在实数集R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)＝2x4x＋1.(1)求函数f(x)在(－1,1)上的解析式；(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性；(3)当λ取何值时，方程f(x)＝λ在(－1,1)上有实数解？解(1)∵f(x)是x∈R上的奇函数，∴f(0)＝0.设x∈(－1,0)，则－x∈(0,1)，f(－x)＝2－x4－x＋1＝2x4x＋1＝－f(x)，∴f(x)＝－2x4x＋1，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x4x＋1，x1，0，x＝0，2x4x＋1，x0，1.(2)设0<x1<x2<1，f(x1)－f(x2)＝2x1－2x 22x1＋2x2－2x2＋2x 14x1＋14x2＋1＝2x1－2x21－2x1＋x24x1＋14x2＋1，∵0<x1<x2<1，∴2x1<2x2, 2x1＋x2>20＝1，∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在(0,1)上为减函数．(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数，∴2141＋1<f(x)<2040＋1，即f(x)∈(25，12)．同理，f(x)在(－1,0)上时，f(x)∈(－12，－25)．又f(0)＝0，当λ∈(－12，－25)∪(25，12)，或λ＝0时，方程f(x)＝λ在x∈(－1,1)上有实数解．6．设函数f(x)＝ka x－a－x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)>0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x＋a－2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．解因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，所以k－1＝0，即k＝1.(1)因为f(1)>0，所以a－1a>0，又a>0且a≠1，所以a>1.因为f′(x)＝a x ln a＋a－x ln a＝(a x＋a－x)ln a>0，所以f(x)在R上为增函数，原不等式可化为f(x2＋2x)>f(4－x)，所以x2＋2x>4－x，即x2＋3x－4>0，所以x>1或x<－4.所以不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．(2)因为f(1)＝32，所以a－1a＝32，即2a2－3a－2＝0，所以a＝2或a＝－12(舍去)．所以g(x)＝22x＋2－2x－4(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－4(2x－2－x)＋2.令t(x)＝2x－2－x(x≥1)，则t(x)在(1，＋∞)为增函数(由(1)可知)，即t(x)≥t(1)＝3 2，所以原函数为ω(t)＝t2－4t＋2＝(t－2)2－2，所以当t＝2时，ω(t)min＝－2，此时x＝log2(1＋2)．即g(x)在x＝log2(1＋2)时取得最小值－2.。
2019-2020年高考总复习文数(北师大版)讲义：第2章 第05节 指数与指数函数 Word版含答
2019-2020年高考总复习文数（北师大版）讲义：第2章第05节指数与指数函数 Word版含答案考点高考试题考查内容核心素养指数函数xx·全国卷Ⅰ·T8·5分指数式、对数式比较大小数学运算xx·全国卷Ⅲ·T7·5分指数式比较大小数学运算命题分析本节在高考中命题热点有三个：一是考查简单指数式的运算及比较大小问题，二是与其他知识结合考查指数型函数图像的识别与应用，三是考查指数型函数单调性的应用．题型以选择题、填空题为主，分值5分.(1)a m·a n＝a m＋n；(2)(a m)n＝a m·n；(3)(ab)n＝a n b n.4．指数函数的图像与性质a>10<a<1图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x>0时，y>1；当x>0时，0<y<1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1 在R上是增函数在R上是减函数(1)在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．(2)指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1.(3)指数函数图像在坐标系中的位置如下图所示，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)2a ·2b ＝2ab .( ) (2)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( )(3)若a m <a n (a >0且a ≠1), 则m <n .( ) (4)函数y ＝2－x 在R 上为单调减函数．( ) 答案： (1)× (2)√ (3)× (4)√ 2．化简416x 8y 4 (x <0，y <0)得( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2y D ．－2x 2y解析：选D416x 8y 4＝2x 2|y |＝－2x 2y .3．函数f (x )＝3x ＋1的值域为( ) A ．(－1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(0,1)D ．[1，＋∞)解析：选B ∵3x ＞0，∴3x ＋1＞1，即函数f (x )＝3x ＋1的值域为(1，＋∞)． 4．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0，且a ≠1)的图像必经过点( ) A ．(0,1) B ．(1,1) C ．(2,0)D ．(2,2)解析：选D 由f (2)＝a 0＋1＝2，知f (x )的图像必过点(2,2)． 5．(教材习题改编)若⎝⎛⎭⎫123x ＋1>2－x ＋2，则x 的取值范围是________．解析：因为⎝⎛⎭⎫123x ＋1>2－x ＋2，即2－3x －1>2－x ＋2⇒－3x －1>－x ＋2⇒2x <－3⇒x <－32. 答案： x <－32指数幂的运算 [明技法]指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 注意：运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [提能力]【典例】 计算：(1)⎝⎛⎭⎫338－23 －⎝⎛⎭⎫5490.5＋(0.008)－23 ÷(0.02)－12 ×(0.32)12 ； (2)15＋2－(3－1)0－9－4 5. 解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫82723 －⎝⎛⎭⎫49912 ＋⎝⎛⎭⎫1 000823 ÷50×4210＝49－73＋25×152×4210＝－179＋2＝19. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.[刷好题](金榜原创)化简－x 3x 的结果是( )A ．－－xB ．xC ．－xD ．－x解析：选A 依题意知x <0，故－x 3x＝－－x 3x 2＝－－x .指数函数的图像 [明技法]指数函数的图像及应用(1)与指数函数有关的函数图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称、翻折变换得到其图像．(2)一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解． [提能力]【典例】 (1)(xx·黄山调研)函数f (x )＝xa x|x |(0<a <1)的图像大致是( )(2) (xx·衡水模拟)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．解析：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >0，－a x，x <0.又0<a <1，结合图像可知选D ．(2)曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 的图像如图所示．由图像可得，如果|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则－1≤b ≤1.故b 的取值范围是[－1,1]． 答案：(1)D (2)[－1,1][母题变式1] 若将本例(2)中“|y |＝2x ＋1”改为“y ＝|2x －1|”，且与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围．解：曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图像如图所示．由图像可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)． [母题变式2] 若将本例(2)改为：函数y ＝|2x －1|在(－∞，k ]上单调递减，求k 的取值范围． 解：因为函数y ＝|2x －1|的单调递减区间为(－∞，0]，所以k ≤0，即k 的取值范围为(－∞，0]． [刷好题]1．若函数y ＝a x ＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，则a 、b 的取值范围分别是________________．解析：因为函数y ＝a x＋b －1(a ＞0且a ≠1)的图像经过第二、三、四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b －1＜－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，b ＜0.答案：a ∈(0,1) b ∈(－∞，0)2．方程2x ＝2－x 的解的个数是________．解析：方程的解可看作函数y ＝2x 和y ＝2－x 的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)．由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解． 答案：1指数函数性质的综合 [析考情]指数函数的性质特别是单调性， 备受高考命题专家的青睐．高考常以选择题或填空题的形式出现， 考查幂值大小比较、解简单不等式、判断指数函数单调性以及求指数函数的最值等问题， 难度偏小， 属中低档题．[提能力]命题点1：比较指数幂大小问题【典例1】 (xx·大连检测)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 由指数函数y ＝0.6x 在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b <a <c ，故选C ．命题点2：解简单的指数不等式或方程【典例2】(xx·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ＜1，x 13 ，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．解析：当x <1时，由e x －1≤2，得x <1；当x ≥1时，由x 13≤2，解得1≤x ≤8，综合可知x 的取值范围为x ≤8.答案：(－∞，8]命题点3：与指数函数有关的函数最值(值域)问题 【典例3】 (xx·武威检测)已知0≤x ≤2，则y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值为________．解析：令t ＝2x ，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， 又y ＝22x －1－3·2x ＋5， ∴y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12，∵1≤t ≤4，∴t ＝1时，y max ＝52.答案：52命题点4：与指数函数有关的单调性问题【典例4】 已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则f (－4)与f (1)的大小关系是________．解析：∵|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a >0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，∴a >1.由于函数f (x )＝a |x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图像关于直线x ＝－1对称，则函数在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1).答案：f (－4)>f (1) [悟技法]指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质 (如奇偶性、单调性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．[刷好题]1．下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73 B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1解析：选B A 中，∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2.5<3，∴1.72.5<1.73.B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62.C 中，∵0.8－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小．∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2.D 中， ∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1.2．(xx·蚌埠检测)设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x ＜－2或x ＞4} B ．{x |x ＜0或x ＞4} C ．{x |x ＜0或x ＞6}D ．{x |x ＜－2或x ＞2}解析：选B f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝f (－x )＝2－x －4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x－4，x ≥0，2－x －4，x ＜0，当f (x －2)＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，2x －2－4＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2＜0，2－x ＋2－4＞0，解得x ＞4或x ＜0.3．(xx·承德模拟)已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.解析：当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－32.答案：－32。
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1
题型一 指数函数的定义与表示
【例1】
求下列函数的定义域
(1)32xy (2)213xy (3)512xy (4)10.7xy
典例分析
板块二.指数函数
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2
【例2】
求下列函数的定义域、值域
⑴112xy ； ⑵3xy； ⑶2120.5xxy
【例3】
求下列函数的定义域和值域：
1．xay1 2．31)21(xy
【例4】
求下列函数的定义域、值域
(1)110.4xy； (2)513xy. (3)21xy