2016-2017学年内蒙古阿盟一中高一数学下期中试卷(文科)

2016-2017学年内蒙古阿盟一中高一（下）期中数学试卷（文科）一、选择题1．已知数列{a n}中，a n=3n+4，若a n=13，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．62．在△ABC中，已知A=60°，C=30°，c=5，则a=（）A．5 B．10 C．D．3．已知=（﹣2，1），=（﹣1，2），则•=（）A．0 B．4 C．﹣3 D．﹣14．+2与﹣2两数的等比中项是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．5．等差数列{a n}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）A．B．C．2 D．﹣6．已知等比数列{a n}中，a5=4，a7=6，则a9等于（）A．7 B．8 C．9 D．107．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．638．在△ABC中，若a2+b2﹣c2＜0，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．都有可能9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．C．或D．或10．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．11．已知△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若，则m+n=（）A．B．C．D．12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S17＜0，S18＜0，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），若⊥，则x=．14．在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则A=．15．已知数列{a n}中，，则a20的值为．16．若数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a n﹣3，求数列{a n}的通项公式．三.解答题（解答题须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知等差数列{a n}中，a2=3，a4+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：b n+1=2b n，并且b1=a5，试求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）平面内给定三个向量：=（3，2），b=（﹣1，2），=（4，1）．（1）求3+﹣2；（2）若（+k）∥（2﹣），求实数k．19．（12分）已知两向量，的夹角为120°，||=1，||=3，（Ⅰ）求|5﹣|的值（Ⅱ）求向量5﹣与夹角的余弦值．20．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinC=ccosA．（1）求角A的大小；（2）若b=6，c=3，求a的值．21．（12分）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（1）求S n；（2）令（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosB=3ccosA﹣2bcosA．（1）若b=sinB，求a；（2）若a=，△ABC的面积为，求b+c．2016-2017学年内蒙古阿盟一中高一（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知数列{a n}中，a n=3n+4，若a n=13，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】82：数列的函数特性；84：等差数列的通项公式．【分析】由a n=3n+4=13，求得n的值即可．【解答】解：由a n=3n+4=13，解得n=3，故选A．【点评】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．2．在△ABC中，已知A=60°，C=30°，c=5，则a=（）A．5 B．10 C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由sinA，sinC，以及c的值，利用正弦定理求出a的值即可．【解答】解：∵在△ABC中，A=60°，C=30°，c=5，∴由正弦定理=得：a===5．故选C【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．3．已知=（﹣2，1），=（﹣1，2），则•=（）A．0 B．4 C．﹣3 D．﹣1【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的数量积的坐标计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，=（﹣2，1），=（﹣1，2），则•=（﹣2）×（﹣1）+1×2=4；故选：B．【点评】本题考查向量数量积的计算，关键要掌握平面向量数量积的计算公式．4．+2与﹣2两数的等比中项是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】利用等比中项的定义及其性质即可得出．【解答】解：+2与﹣2两数的等比中项==±1．故选：C．【点评】本题考查了等比中项的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．等差数列{a n}中，a4+a8=10，a10=6，则公差d等于（）A．B．C．2 D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】由已知求得a6，然后结合a10=6代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a4+a8=10，得2a6=10，a6=5．又a10=6，则．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．6．已知等比数列{a n}中，a5=4，a7=6，则a9等于（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】88：等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由题意可得q2，由等比数列的通项公式可得a9=a7q2，代入求解可得．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q2===，∴a9=a7q2=6×=9故选C【点评】本题考查等比数列的通项公式，属基础题．7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．35 C．49 D．63【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，所以故选C．【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质及前n项和的公式，是一道基础题．8．在△ABC中，若a2+b2﹣c2＜0，则△ABC是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．都有可能【考点】GZ：三角形的形状判断．【分析】利用余弦定理cosC=即可判断．【解答】解：∵在△ABC中，a2+b2﹣c2＜0，∴cosC=＜0，∴＜C＜π．∴△ABC是钝角三角形．故选A．【点评】本题考查三角形的形状判断，考查余弦定理的应用，属于基础题．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B 的值为（）A．B．C．或D．或【考点】HS：余弦定理的应用．【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选D【点评】本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点10．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．11．已知△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，连接AD，E为线段AD的中点，若，则m+n=（）A．B．C．D．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用平面向量的线性运算性质，用、表示出、，求出m、n的值即可．【解答】解：如图所示，△ABC中，D为边BC上靠近B点的三等分点，E为线段AD的中点，∴=﹣，∴==﹣；∴=（+）=﹣=﹣﹣=﹣；又，∴m=，n=﹣；∴m+n=﹣．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的线性运算性质的应用问题，也考查了推理与运算能力，是基础题目．12．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S17＜0，S18＜0，则，，…，中最大的项为（）A．B．C．D．【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】由题意可得a9＞0，a10＜0，由此可得＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，再结合S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，可得结论．【解答】解：∵等差数列{a n}中，S17＞0，且S18＜0，即S17=17a9＞0，S18=9（a10+a9）＜0，∴a10+a9＜0，a9＞0，∴a10＜0，∴等差数列{a n}为递减数列，故可知a1，a2，…，a9为正，a10，a11…为负；∴S1，S2，…，S17为正，S18，S19，…为负，则＞0，＞0，…，＞0，＜0，＜0，…，＜0，又∵S1＜S2＜…＜S9，a1＞a2＞…＞a9，∴最大，故选：C【点评】本题考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式化简求值，掌握等差数列的性质，属中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量=（1，2），向量=（x，﹣2），若⊥，则x=4．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据若⊥⇔•=x1x2+y1y2=0，把两个向量的坐标代入求解．【解答】解：由于向量=（1，2），向量=（x，﹣2），且⊥，故•=x1x2+y1y2=0，即x﹣4=0，解得x=4．故答案为4【点评】本题考查了据向量垂直时坐标表示的等价条件，即•=x1x2+y1y2=0，把题意所给的向量的坐标代入求解．14．在△ABC中，若b2+c2﹣a2=bc，则A=60°．【考点】HR：余弦定理．【分析】利用余弦定理表示出cosA，把已知的等式代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc，∴根据余弦定理得：cosA===，又A为三角形的内角，则A=60°．故答案为：60°【点评】此题考查了余弦定理，以及特殊角的三角函数值，利用了整体代入得数学思想，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．15．已知数列{a n}中，，则a20的值为．【考点】8H：数列递推式．【分析】依题意，可判定数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可求得a20的值．【解答】解：∵，∴数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，∴a20==，故答案为：．【点评】本题考查数列递推式的应用，判定数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列是关键，属于中档题．16．若数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n=a n﹣3，求数列{a n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式．【分析】由已知数列递推式求出首项，得到当n≥2时，S n﹣1=a n﹣1﹣3，与原递推式作差后可得数列{a n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．再由等比数列的通项公式得答案．【解答】解：由S n=a n﹣3，得，即a1=6．当n≥2时，S n﹣1=a n﹣1﹣3，两式作差得a n=a n﹣a n﹣1，即a n=a n﹣1．∴a n=3a n﹣1（n≥2）．则数列{a n}是以6为首项，以3为公比的等比数列．∴a n=6•3n﹣1=2•3n．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，考查了等比数列的通项公式，是中档题．三.解答题（解答题须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2013•中山市一模）已知等差数列{a n}中，a2=3，a4+a6=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：b n+1=2b n，并且b1=a5，试求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；84：等差数列的通项公式．【分析】（I）设数列{a n}的公差为d，根据题意得：，解方程可求a1及d，从而可求通项（II））由b n+1=2b n，可得{b n}是公比为2的等比数列，结合已知求出首项后，代入等比数列的求和公式即可求解【解答】解：（I）设数列{a n}的公差为d，根据题意得：解得：，∴通项公式为a n=2n﹣1（II））∵b n+1=2b n，b1=a5=9∴{b n}是首项为9公比为2的等比数列∴=9×2n ﹣9【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的通项公式、求和公式的简单应用，属于基础试题18．（12分）（2017春•阿拉善左旗校级期中）平面内给定三个向量： =（3，2），b=（﹣1，2），=（4，1）．（1）求3+﹣2；（2）若（+k ）∥（2﹣），求实数k ．【考点】9K ：平面向量共线（平行）的坐标表示；9J ：平面向量的坐标运算．【分析】（1）根据坐标的运算法则计算即可；（2）根据向量平行的条件即可求出．【解答】解：（1）3+﹣2=3（3，2）+（﹣1，2）﹣2（4，1）=（9，6）+（﹣1，2）﹣（8，2）=（9﹣1﹣8，6+2﹣2）=（0，6）．（2）+k =（3+4k ，2+k ），2﹣=（﹣5，2）．又（+k ）∥（2﹣），∴（3+4k ）×2﹣（﹣5）×（2+k ）=0．∴k=﹣．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件，属于基础题．19．（12分）（2016春•沈阳校级期末）已知两向量，的夹角为120°，||=1，||=3，（Ⅰ）求|5﹣|的值（Ⅱ）求向量5﹣与夹角的余弦值．【考点】9R ：平面向量数量积的运算；93：向量的模；9S ：数量积表示两个向量的夹角．【分析】（Ⅰ）直接利用向量的模的运算法则化简求解即可．（Ⅱ）直接利用向量的数量积的运算公式求解向量的夹角的余弦函数值即可．【解答】解：（Ⅰ）依题意，得…（2分）=，…．（4分）∴=7 …..（Ⅱ）依题意，得（5﹣）•==5×12﹣1×3×cos120°=…..（7分）===…..10分【点评】本题考查向量数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）（2017春•阿拉善左旗校级期中）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asinC=ccosA．（1）求角A的大小；（2）若b=6，c=3，求a的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由正弦定理由asinC=ccosA．得，可求A；（2）由余弦定理得a．【解答】解：（1）∵asinC=ccosA．由正弦定理得sinAsinC=sinCcosA，…（2分）∵sinC≠0，∴∴sinA=，即tanA=，∴A=60°，…（6分）（2）由余弦定理得a===3．【点评】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在求解三角形中的综合应用．属于中档题．21．（12分）（2017春•阿拉善左旗校级期中）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n项和为S n．（1）求S n；（2）令（n∈N+），求数列{b n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得a1+2d=7，2a1+10d=26，即可得出．（2）==，利用裂项求和方法即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=7，a5+a7=26，∴a1+2d=7，2a1+10d=26，联立解得a1=3，d=2，∴{a n}的前n项和为S n=3n+=n（n+2）．（2）==，∴数列{b n}的前n项和T n=++…++==﹣．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）（2017春•阿拉善左旗校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosB=3ccosA﹣2bcosA．（1）若b=sinB，求a；（2）若a=，△ABC的面积为，求b+c．【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知可得2sinC=3sinCcosA，结合sinC≠0，可求cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，结合已知利用正弦定理可求a的值．（2）利用三角形面积公式可求bc=3，进而根据已知，利用余弦定理即可解得b+c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵2acosB=3ccosA﹣2bcosA．∴由正弦定理可得：2sinAcosB=3sinCcosA﹣2sinBcosA．∴2（sinAcosB+sinBcosA）=2sinC=3sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，解得sinA=，∵b=sinB，∴由正弦定理可得：a==…6分（2）∵△ABC的面积为，∴bcsinA=，解得：bc=3，∵a=，∴b2+c2﹣bc=6，∴（b+c）2﹣bc=6，即（b+c）2=16，∵b＞0，c＞0，∴b+c=4．…12分【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。