相似三角形判定1
相似三角形的判定1
∴
AD AE AB AC
∵AC=4，EC=1， ∴AE=3.
∴
AD 3 3 4
∴AD=2.25， ∴BD=0.75.
当堂训练
A B O E C F D
1.已知：如图，AB∥EF ∥CD，
3 对相似三角形. 图中共有____
AB∥EF △AOB∽△FOE
AB∥CD
EF∥CD
△AOB∽△DOC
相似三角形：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形. A A′
C
C
B ∽ 记法:△ABC与△A′B′C′相似,记作△ABC___ △A′B′C′
B′
′
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
A′
A
B
C
B′ C′
定义，即是性质，也是判定.
你能用几何语言表述相似三角形性质吗？
如图，在△ABC与△A′B′C′中， ∵ △ABC∽△A′B′C′
(2)
△ADE∽△ABC
1.三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形,
叫做相似三角形.
2.△ABC与△DEF相似,记作:△ABC∽△DEF.
3. 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.
相似比就是它们的对应边的比.
4、平行线分线段成比例定理： 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段） 5、平行线分线段成比例定理的推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应 线段成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
l
A
l
l1
E
l
A
D
l
l1 l2 l2
D
B
E C
l2
相似三角形的判定1
用数学符号表示： 用数学符号表示：
A E D
D
B
E
C B
A
(1)
C
(2)
∵ DE∥BC ∥
∴ ∆ADE∽∆ABC ∽
问题
三角形的中位线截得的三角形与原三角形是 三角形的中位线截得的三角形与原三角形是 截得的三角形 否相似？ 相似比是多少？ 否相似？ 相似比是多少？
A D B E C
问题
已知：如图， ∥ 已知：如图，AB∥EF ∥CD，则△AOB与 ， 与
而△A1B1C1 ∽△A2B2C2
那么△ABC∽△A2B2C2 。 ∽
练习1 练习1
（1）∆ABC和∆DEF中， ∠A=400，∠B=800，∠E=800， 相似 ∠F=600。∆ABC与∆DEF （“相似”或“不相 似”）。 （2） D为∆ABC边AB上的一点，且∠ACD=∠B ，则 D ∆ABC与∆ACD 相似 （ “相似”或“不相似”）。 (3)在∆ABC中，AB›AC，D为AB边上的一点，过D点作直 A
相似三角形定义： 对应角相等 相似三角形定义 ： 问题1 问题1：这两个三角形是 相似形定义：我们把形状 相似形定义：我们把对应角相等
、对应边成比例的两个三角形叫做相似三 对应边成比例的两个三角形叫做相似三 成比例的两个三角形叫做 否为相似形？ 否为相似形？ 相同的两个图形称为相似形。 相同的两个图形称为相似形。 角形。 角形。
观察左图中两 幅图形的形状 和大小有什么 关系？
对应角……？ 对应边……？
△ABC与△ A'B'C'相似
C A C/
表示为： △ABC∽△ A'B'C' 读作： 读作： △ABC相似于△ A'B'C'
相似三角形判定1一 定稿
求证:
AC2=AD · AB
∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。 AC ∠ADC ∠ACB C AB
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，
∠ACD ∠B
AC AD AB AC
AD AC
AC 2 AD AB
∵ ∠1=∠B ，∠A=∠A ∴△ACD∽△ABC ∴△ADE ∽△ACD
巩固提高： 在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A 开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始 沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、 B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
A
D
B
证明：∵∠B=∠B,∠CDB=∠ACB=90°， ∴△ABC∽△CDB(两个角对应相等的两个三角形相似). 同理可证：△ABC∽△ACD ∴△ABC∽△CBD∽△ACD.
例1、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。
求证：ΔACD ∽ ΔABC
A
1 2
A O
C
B
A
C
C
D E
B D
D O
A D E
B
B
C
A
B
C
直角三角形被斜边上的高分成的 例1已知： Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB
两个直角三角形和原三角形相似。 试说明图中有几对相似三角形 .
C
已知：如图Rt△ABC中， CD是斜边上的高。 求证：△ABC∽△CBD∽△ACD
BC CE
ACB DCE
经典：相似三角形判定复习(一)
Rt△ABC∽Rt△A'B'C' A
B'
C
B
二、例题欣赏
例1．已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点， 连结C P ， (1)∠ACP满足什么条件时,△ACP∽△ABC? (2)AC∶AP满足什么条件时,△ACP∽△ABC?
解：(1)∵∠A＝∠A ∴ 当∠ACP＝∠B时, △ACP∽△ABC.
M为斜边BC中点
又 ∵ ∠DMA=
∴AM=BM=BC/2
∠AME
∴ ∠B= ∠MAD 又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90°
∴△MAD∽ △MEA ② ∵ △MAD∽ △MEA
∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE
AM ME ∴ MD =AM
即AM2=MD·ME
3. 如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E，
AA'BB'BB'CC'CC'AA'△ABC∽△A'B'C'
思考： 对于两个直角三角形，我们还
可以用“HL”判定它们全等。那么， 满足斜边的比等于一组直角边的比 的两个直角三角形相似吗？
直角三角形相似的判定:
直角边和斜边的比相等，两直角 A' 三角形相似。
∠C=∠C' =90o
C'
AC = A B A'C' A ' B '
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
A
2.△ABC中,∠ BAC是直角，过斜
D
B
E
边中点M而垂直于斜边BC的直线
交CA的延长线于E，交AB于D,连AM. D A
相似三角形的判定(一)
第4讲相似三角形的判定（一）知识框架相似三角形的判定是九年级数学上学期第一章第三节的内容，本讲主要讲解相似三角形的定义、相似三角形判定定理1和相似三角形判定定理2；重点是根据已知条件灵活运用这两种判定定理，以及这两者之间的相互结合．4.1相似三角形判定定理11、相似三角形的定义如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．如图，DE是ABC∆的中位线，那么在ADE∆与ABC∆中，A A∠=∠，ADE B∠=∠，AED C∠=∠；12AD DE AEAB BC AC===．由相似三角形的定义，可知这两个三角形相似．用符号来表示，记作ADE∆∽ABC∆，其中点A与点A、点D与点B、点E与点C分别是对应顶点；符号“∽”读作“相似于”．用符号表示两个相似三角形时，通常把对应顶点的字母分别写在三角形记号“∆”后相应的位置上．根据相似三角形的定义，可以得出：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比（或相似系数）．（2）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似．2、相似三角形的预备定理平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．如图，已知直线l与ABC∆的两边AB、AC所在直线分别交于点D和点E，则ADE△∽ABC△．知识精讲3、相似三角形判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两角对应相等，两个三角形相似．如图，在ABC ∆与111A B C ∆中，如果1A A ∠=∠、1B B ∠=∠，那么ABC ∆∽111A B C ∆．常见模型如下：例1. 根据下列条件判定ABC △与DEF △是否相似，并说明理由；如果相似，那么用符号表示出来．（1）70A D ∠=∠=︒，60B ∠=︒，50E ∠=︒；（2）40A ∠=︒，80B ∠=︒，80E ∠=︒，60F ∠=︒．例2. 如图，E 是平行四边形ABCD 的边BA 延长线上的一点，CE 交AD 于点F ．图中 有哪几对相似三角形？例题分析例3. 如图，1=2=3∠∠∠，那么图中相似的三角形有哪几对？例4. 如图，D 、E 分别是ABC △的边AB 、AC 上的点，且AED B ∠=∠．求证：AE AC AD AB ⋅=⋅．例5. 如图，Rt ABC ∆在中，90C ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，且:9:4AD BD =，求:AC BC 的值．例6. 如图，ABC ∆中，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，AE AD ⊥交CB 延长线于点E ，则BAE △相似于．例7. 如图，90ACB CED ∠=∠=︒，CD AB ⊥于点D ，3AC =，4BC =，求ED 的长．例8. 如图，AB BD ⊥，ED BD ⊥，点C 在线段BD 上运动，1ED =，4BD =，4AB =，若ABC △与CDE △相似，求BC 的值．例9. 如图，ABC ∆是等边三角形，120DAE ∠=︒，求证AD AE AB DE =g g ．例10. 正方形ABCD 中，E 是AD 中点，BM CE ⊥于点M ，6AB =厘米，求BM 的长．例11. 如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点O 是AC 边上一点，联结BO交AD 于点F ，OE OB ⊥交BC 边于点E ．求证：ABF ∆∽COE ∆．例12. 如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点P 是ABC △内一点，且满足135APB APC ∠=∠=︒．求证：CPA ∆∽APB ∆．例13. 如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，且2AB CD =，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，EF 与BD 相交于点M ． （1）求证：EDM △∽FBM △；（2）若6DB =，求BM ．例14. 如图，在ABC △中，AB AC =，DE //BC ，点F 在边AC 上，DF 与BE 相交于点G ，且EDF ABE ∠=∠． （1）求证：DEF △∽BDE △；（2）DG DF DB EF ⋅=⋅．例15. 如图，已知ABC ∆、DEF ∆均为等边三角形，D 、E 分别在边AB 、BC 上，请找出一个与BDE ∆相似的三角形，并加以证明．例16. 如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，OF BD ⊥于点O ，交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ．求证：2AO OE OF =⋅．例17. 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF //AB ， 延长BP 交AC 于点E ，交CF 于点F ．求证：2BP PE PF =⋅．例18. 如图，在ABC △中，12AB AC ==，6BC =，点D 在边AB 上，点E 在线段CD 上，且BEC ACB ∠=，BE 的延长线与边AC 相交于点F ． （1）求证：BE CD BD BC ⋅=⋅；（2）设AD x =，AF y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．4.2 相似三角形判定定理21、相似三角形判定定理2如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，在ABC△与111A B C△中，1A A∠=∠，1111AB ACA B AC=，那么ABC△∽111A B C△．例1.如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，2OA=，3OB=，6OC=，4OD=．求证：OAD△∽OBC△．例2.如图，点D是ABC∆的边AB上的一点，且2AC AD AB=⋅．求证：ACD△∽ABC△．知识精讲例题分析例3. 如图，在ABC △与AED △中，AB ACAE AD=，BAD CAE ∠=∠．求证：ABC △∽AED △．例4. 下列说法一定正确的是（ ）（A ）有两边对应成比例且一角相等的两个三角形相似； （B ）对应角相等的两个三角形不一定相似；（C ）有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似； （D ）一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．例5. 在ABC △和DEF △中，由下列条件不能推出ABC ∆∽DEF ∆的是（ ）（A ）AB ACDE DF =，B E ∠=∠； （B ）AB AC =，DE DF =，B E ∠=∠； （C ）AB ACDE DF=，A D ∠=∠； （D ）AB AC =，DE DF =，C F ∠=∠． 例6. 如图，D 是ABC △内一点，E 是ABC △外一点，EBC DBA ∠=∠，ECB DAB ∠=∠，求证：BDE BAC ∠=∠．例7. 已知，在ABC △中，BE 、CF 是ABC ∆的两条高，BE 、CF 交于点G ．求证：（1）AC CE CF GC ⋅=⋅；（2）AFE ACB ∠=∠．例8. 如图，点O 是ABC △的垂心（垂心即三角形三条高所在直线的交点），联结AO 交CB 的延长线于点D ，联结CO 交的AB 延长线于点E ，联结DE ．求证：ODE △∽OCA △．例9. 如图，ABC △∽''AB C △，点'B 、'C 分别对应点B 、C ．求证：'ABB △∽'ACC △．例10. 如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，以M 为顶点作BMN MBC ∠=∠，MN交CD 于点N ，求证：2DNCN=．例11. 如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD 是边BC 上的高，点E 在线段DC 上，EF AB ⊥，EG AC ⊥，垂足分别为F 、G ．求证：（1）EG CGAD CD=；（2）FD DG ⊥．例12. 如图，在ABC △中，正方形EFGH 内接于ABC ∆，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、AC 上，且2EF AE FB =⋅．求证：（1）90C ∠=︒；（2）AH CG AE FB ⋅=⋅．例13. 如图，PH 是Rt ABC ∆斜边AC 上的垂直平分线，垂直为点H ，并交直角边AB 于点P ，D 是PH 上一点，且AD 是AP 与AB 的比例中项．求证：（1）AP AB AH AC ⋅=⋅；（2）ACD △是等腰直角三角形．例14. 如图，16AB =厘米，12AC =厘米，动点P 、Q 分别以2厘米/秒和1厘米/秒的 速度同时开始运动，其中点P 从点A 出发沿AC 边一直移动到点C 为止，点Q 从点B 出发沿BA 边一直移动到点A 为止．经过多长时间后，APQ △与ABC △相似？4.3 课堂检测1. 根据下列条件，判断和是否是相似三角形；如果是，那么用符号表示出来．（1）45A ∠=︒，12cm AB =，15cm AC =，45D ∠=︒，16cm DE =，20cm DF =； （2）45A ∠=︒，12cm AB =，15cm AC =，45E ∠=︒，20cm ED =，16cm EF =； （3）45A ∠=︒，12cm AB =，15cm AC =，45D ∠=︒，16cm ED =，20cm EF =．2. 如图，在ABC ∆中，D 为边AC 上一点，DBC A ∠=∠，BC ，3AC =，则CD 的长为． 3. 如图，Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BD 平分ABC ∠，DE AB ⊥，若6BC =，8AC =，则CD =．第2题图 第3题图4. 如图，在矩形ABCD 中，点E 是边BC 的中点，且DE AC ⊥，那么:CD AD =________．5. 如图，ABC △是直角三角形，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，E 是AC 的中点，ED的延长线与CB 的延长线交于点F ．求证：FB FDFD FC=．6. 如图，在ABC △中，点E 在中线BD 上，DAE ABD ∠=∠．求证：（1）2AD DE DB =⋅；（2）DEC ACB ∠=∠．7. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，M 是边AB 的中点，E 、G 分别是边AC 、BC 上的一点，45EMG ∠=︒，AC 与MG 的延长线相交于点F ． （1）在不添加字母和线段的情况下，写出图中一定相似的三角形，并证明其中的一对； （2）联结EG ，当3AE =时，求EG 的长．8. 如图，在ABC △中，BD 平分ABC ∠，交AC 于点D ，点E 在BD 的延长线上，BA BD BC BE ⋅=⋅． （1）求证：AE AD =；（2）如果点F 在BD 上，CF CD =，求证：2BD BE BF =⋅．4.4 课后作业1. 如图，在ABC △中，AB 3AC =，D 是边AC 上一点，且:1:2AD DC =， 联结BD ．求证：ABD ∆∽ACB ∆．2. 如图，ABC △中，P 为AB 上一点，在下列四个条件下，①ACP B ∠=∠；②APC ACB ∠=∠；③2AC AP AB =⋅；④AB CP AP CB ⋅=⋅，组合起来能得出：ABC ∆∽ACP △的是（） （A ）①、②、④ ； （B ）①、③、④； （C ）②、③、④ ； （D ）①、②、③．3. 如图，在ABC △中，15AB =厘米，12AC =厘米，AD 是BAC ∠的外角平分线，DE //AB 交AC 的延长线于点E ，求CE 的长．4. 如图，在Rt ABC ∆中，AB AC =，45DAE ∠=︒．求证：（1）ABE △∽DCA △；（2）22BC BE CD =⋅．5. 如图，ABC △中，AB AC =，点D 是AB 上的动点，作EDC △∽ABC △．求证：（1）ACE ∆∽BCD ∆；（2）AE //BC ．6. 如图，在ABC △中，AB AC =，AD AB ⊥于点A ，交BC 边于点E ，DC BC ⊥于 点C ，与AD 交于点D ．（1）求证：ACE △∽ADC △；（2）如果1CE =，2CD =，求AC 的长．7. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB CD BC ==．点M 为边BC 的中点，以点M 为顶点作EMF B ∠=∠，射线ME 交边AB 于点E ，射线MF 交边CD 于点F ，联结EF ．指出图中所有与BEM ∆相似的三角形，并加以证明．。
相似三角形判定1
「■轡立方数肓源于名校，成就所托初中数学备课组教师班级学生日期上课时间教学内容：相似三角形判定1知识点1相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
相似三角形的判定方法1:两角对应相等的两个三角形相似。
在两个三角形中，只需找到有两组对应角相等，就可以判定两个三角形相似，这种方法说明不用边我们可以判定两个三角形相似，这是判定两个三角形相似的很重要的一种方法。
推理格式：•••/ A= / D，/ C=Z F （找出两组角对应相等即可）••• △ AB8 △ DEF例1:在△ ABC和△ DEF中，/ A = Z D=80 , / B= 70°/ F= 30°,这两个三角形相似吗？说明理由。
例2:如图，DE // BC，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值;(2) 如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长.反馈练习1、如图Rt A ACB，/ ACD=90° ,CD 丄AB 于D,求证：△ ABC s △ ACM △ CBD （以后可当结论使用）nCD匚曾立方数肓源于名校，成就所托2、已知：如图，△ ABC 的高AD、BE交于点F.(1) 求证：△ AEF S A BDFAF EF(2) 求证：BF二帀.3. 已知：/ A1 , / B= / B1,(1)求证：ABC s ABC⑵求证：A i B i BC = AB B I C I4. 如图；已知梯形ABCD中，AD//BC，/ BAD=90°，对角线BD丄DC。
求证：(1) △ ABD DCB (2) BD 2=AD -BC5. 如图，已知DE//BC,DF//AC,AD=4 , BD=8 , DE=5，求线段BF 的长.F源于名校，成就所托知识点2相似三角形的判定方法2如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
相似三角形判定定理
探讨相似三角形判定定理的逆命题
9字
两三角形如果对应边成比例， 那么这两个三角形是否一定 相似？
9字
两三角形如果面积比等于相 似比的平方，那么这两个三 角形是否一定相似？
9字
回答是肯定的。如果两个三 角形的对应边成比例，那么 它们的对应角必然相等，因 此这两个三角形一定相似。
9字
回答也是肯定的。如果两个 三角形的面积比等于相似比 的平方，那么它们的对应边 必然成比例，因此这两个三 角形一定相似。
该定理是相似三角形判定的基础，也是 应用最广泛的判定方法之一。
判定定理二：两边对应成比例且夹角相等
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例， 并且夹角相等，则这两个三角形相似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知两边和夹 角的情况。
判定定理三：三边对应成比例
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，则这两个三角形相 似。
该定理是相似三角形判定的另一种方法，适用于已知三边长度的情况。
以上三个判定定理是相似三角形判定的主要方法，它们在实际应用中具有广泛的适 用性和实用性。同时，这些定理也是学习相似三角形知识的基础和关键。
03
相似三角形证明方法
综合法证明
综合运用相似三角形的性质
01
通过已知条件，结合相似三角形的对应角相等、对应边成比例
飞机的位置。
建筑设计中的应用
比例缩放
在建筑设计中，相似三角形可以帮助 设计师按比例缩放模型，使得不同大 小的建筑保持相同的比例和美感。
透视绘图
在绘制建筑透视图时，相似三角形原 理可以帮助准确表现物体的远近关系 和立体感。
结构分析
在建筑结构分析中，相似三角形可以 帮助工程师理解和计算结构的稳定性 和承重能力。
相似三角形判定1-学生版
基本内容相似三角形的判定（一）知识精要1、相似三角形：若一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，且它们各有的对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形．即：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边．2、相似比：两个相似三角形对应边的比k，叫做这两个相似三角形的相似比（相似系数）．如：若△DEF与△ABC相似，则AB BC AC DE EF DF==．3、相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似．说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础．4、三角形相似的判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两三角形相似．三角形相似的判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．热身练习1、在△ABC中，E、F分别在AC、AB上，且AF AB AE AC⋅=⋅，则下列各式中正确的是（）A．EF AFAC BC=；B．AF BCAE AB=；C．EF AEBC AC=；D．BC ABEF AE=．2、BD、CE是△ABC的两条高，BD、CE相交于点O．下列结论中不正确的是（）A．△ADE∽△ABC；B．△DOE∽△COB；C．△BOE∽△COD；D．△BOE∽△BDE．3、下列各组有可能不相似的是（）A ．各有一个角是45︒的两个等腰三角形；B ．各有一个角是60︒的两个等腰三角形；C ．各有一个角是105︒的两个等腰三角形；D ．两个等腰直角三角形．4、在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足D 在斜边AB 上，则下列四个结论中正确的是（ ）①2AC AD AB =⋅； ②2BC BD AB =⋅； ③2CD AD BD =⋅； ④AC BC AB CD ⋅=⋅． A ．①②④； B ．②③④； C ．①③④； D ．①②③④．5、已知点P 是△ABC 的边BC 的中点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与原三角形相似，那么这样的直线最多有（ ）条A ．5；B ．4；C ．3；D ．2．精解名题例1、已知在△ABC 中，点D 是边AB 的中点，DE ∥BC ，DE 交AC 于点E ， △ADE 与△ABC 有什么关系？例2、根据下列条件，判断△ABC 与△'''A B C 是否相似，并说明理由：（1）120A ∠=︒，7AB =cm ，14AC =cm ； '120A ∠=︒，''3A B =cm ，''6A C =cm ． （2）4AB =cm ，6BC =cm ，8AC =cm ； ''12A B =cm ，''18B C =cm ，''21A C =cm ．例3、四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，1OA =，1.5OB =，3OC =，2OD =，求证：△OAD 与△OBC 是相似三角形．备选例题GF E DCBA例1、点D 是△ABC 的边AB 上的一点，且2AC AD AB =⋅，求证：△ACD ∽△ABC ．例2、如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC 和AFG 摆放在一起， A 为公共顶点，90BAC AGF ∠=∠=︒， 它们的斜边长为2， 若△ABC 固定不动，△AFG 绕点A 旋转，AF 、AG 与边BC 的交点分别为D 、E （点D 不与点B 重合，点E 不与点C 重合），设BE m =，CD n =．（1）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． （2）求m 与n 的函数关系式，直接写出自变量n 的取值范围．（3）以△ABC 的斜边BC 所在的直线为x 轴，BC 边上的高所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图2）．在边BC 上找一点D ，使BD CE =，求出D 点的坐标，并通过计算验证222BD CE DE +=．（4）在旋转过程中，（3）中的等量关系222BD CE DE +=是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．巩固练习1、下列命题中，不正确的是（ ）Gy xOFE DCBAA ．如果两个三角形相似，且相似比为1，那么这两个三角形全等；B ．等腰直角三角形都是相似三角形；C ．有一个角为60︒的两个等腰三角形相似；D ．有一个锐角相等的两个等腰三角形相似． 2、下列结论中，不正确的是（ ）A ．有一个角相等，有两条边对应成比例的两个三角形相似；B ．顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似；C ．如果三角形两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似；D ．两条边长分别是7、4和14、8的两个直角三角形相似． 3、△ABC ∽△'''A B C 且相似比为13错误!未找到引用源。
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2.已知:在△ABC和△A′B′C′中∠B=∠B′,∠A=∠A′求证 :△ABC∽△A′B′C′ A′
A
B
分析： △C′DE∽△C′B′A′ △C′DE ?
△ABC∽△A′B′C′
结论： 两角对应相等的三角形相似
1.顶角相等的两个等腰三角形相似吗?底角相等 的两个等腰三角形相似吗?说明理由 2. Rt△ABC中, ∠C=90 °,CD是斜边上的高, △ACD与△ABC相似吗? △CBD与△ABC相似 吗?证明你的结论 3.通过第2题的证明,你发现了什么?
A
1.如图，在正△ABC中,点D为AB中 点,过点D作DE∥BC交AC于点E,则△ADE D 与△ABC相似吗? B
E C
2：如图，若点D是AB边上的任意一点,
过点D作DE∥BC，量一量，检验△ADE 与△ABC是否相似。
∵ DE∥BC ∴△ADE∽△ABC B D
A
E
C
结论：平行于三角形一边的直线与另两边相
性!
Δ ADE∽Δ DBF
运用1
如图：在△ABC中，点M是BC上 任一点， MD∥AC，ME∥AB， 若 BD = 2 ，求 EC 的值。 B AB 5 AC 解：∵MD∥AC， ∴△BDM∽△BAC MC 3 BD BM 2 ∴ = = ， BC = 5 BA BC 5 D
A E C
2份 M 5份
弦AB和CD相交于⊙0内一点 P,求证:PA·PB=PC·PD
A
C
0
D B
小结:
这节课我学到了------，我在------方面取 得了进步。 有哪些东西我课上还没有懂，我希望在-----方面多加努力。 我对老师有什么要求------，我还想说-----
3份
又∵ ME∥AB， ∴△CEM∽△CAB CE CM 3 = ∴ = 5 CA CB
1.已知:在△ABC和△A′B′C′中∠B=∠B′,∠C=∠C′ A′ 求证:△ABC∽△A′B′C′
A D E C′
B
分析： △A′DE∽△A′B′C′ △A′DE≌△ABC
C
B′
?
△ABC∽△A′B′C′
交,所构成的三角形与原三角形相似。
试试眼力：
1、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请尽可 能多地找出图中的相似三角形，并说明 理由。 1. DE∥BC 2.DF∥AC 3. Δ ADE∽Δ ABC Δ DBF∽Δ ABC Δ ADE∽Δ ABC
B F D
A
E
C
Δ DBF∽Δ ABC
三角形相似 具有传递