高中数学第2章统计24线性回归方程自主练习苏教版3
高中数学第二章统计2.4线性回归方程学案苏教版必修3
2.4 线性回归方程1．理解线性回归的基本思想和方法，体会变量之间的相关关系．(难点)2．会画出数据的散点图，并会通过散点图判断这组数据是否具有线性关系．(重点) 3．会求数据的线性回归方程，并根据线性回归方程做出合理的判断．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 变量间的关系阅读教材P 74的内容，并完成下面的问题．1．变量间的关系关系．确定性函数表示，是一种函数函数关系：变量之间的关系可以用(1)来表达．函数，但不能完全用一定的联系相关关系：变量之间有(2)2．散点图横坐的取值作为x 是否有相关关系，常将y 与x 统计数表中，为了更清楚地看出从一个，这样的图形…)，1,2,3＝i )(i y ，i x (，在直角坐标系中描点纵坐标的相应取值作为y ，将标叫做散点图．判断正误：(1)相关关系是一种不确定关系，而函数关系是一种确定关系．( )(2)商品的销售收入与广告支出经费是函数关系．( )(3)散点图越集中，则相关关系越强．( )【解析】 (1)√.由函数关系及相关关系的定义知正确．(2)×.是相关关系，而不是确定关系，故错误．(3)×.只有当散点图呈规律性分布时才具有相关关系．故错误．【答案】 (1)√ (2)× (3)×教材整理2 线性回归方程阅读教材P 75～P 76“例1”上边的内容，并完成下列问题．1．线性相关关系拟合a ＋bx ＝y ^，我们用直线一条直线的附近如果散点图中点的分布从整体上看大致在叫做线性相关关系．相关关系近似表示的a ＋bx ＝y ^散点图中的这些点，像这样能用直线 2．线性回归方程设有n 对观察数据如下：＝y ^时，就称最小值取得2)a －n bx －n y (＋…＋2)a －2bx －2y (＋2)a －1bx －1y(＝Q 使b ，a 当bx ＋a 为拟合这n 对数据的线性回归方程，该方程所表示的直线称为回归直线．3．用回归直线进行数据拟合的一般步骤附近；一条直线是否在散点作出散点图，判断(1)(2)如果散点在一条直线附近，用公式⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑i ＝1nxiyi －∑i ＝1nx∑i ＝1nyn ∑i ＝1n x2i －∑i ＝1n xa ＝y －－b x－或求出a ，b ，并写出线性回归方程．填空：(1)有一个线性回归方程为y ^＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时，y 平均________1.5个单位．(填“增加”或“减少”)【解析】 ∵b ＝－1.5，∴x 每增加一个单位时y 减少1.5个单位．【答案】 减少(2)过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是________．【解析】 代入系数公式得b ＝1.75，a ＝5.75.代入直线方程．求得y ^＝5.75＋1.75x .。
高中数学2.4线性回归方程课时作业苏教版必修3
高中数学2.4线性回归方程课时作业苏教版必修3课时目标1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求线性回归方程．1．与函数关系不同，相关关系是一种有关系，但不是确定性的关系．2．能用直线方程________近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫______，给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ＝.上式还可以表示为⎩⎨⎧b ＝，a ＝.一、填空题1．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的为______．(填序号) ①匀速行驶车辆的行驶距离与时间； ②圆半径与圆的面积；③正n 边形的边数与内角度数之和； ④人的年龄与身高．2．下列有关线性回归的说法，不正确的是________．①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x、y之间的关系；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程．3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为＝60＋90x，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1千元时，工资为50元；②劳动生产率提高1千元时，工资提高150元；③劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元；④劳动生产率为1千元时，工资90元．4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)在实际生活中的回归方程可能是________．①＝－10x＋200；②＝10x＋200；③＝－10x－200；④＝10x－200.5．给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且线性回归方程：y＝a＋bx6.．7．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．8．设有一个回归方程＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y________个单位．9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的线性回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分．二、解答题1011．5能力提升12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：13．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼(1)求线性回归方程．(2)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？知识梳理2. ＝bx ＋a 线性回归方程n ∑ni ＝1x i y i －(∑ni ＝1x i )(∑ni ＝1y i )n ∑ni ＝1x 2i－(∑ni ＝1x i )2y －b x∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i－n x 2＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1(x i －x )2y －b x作业设计 1．④解析 人的年龄与身高具有相关关系． 2．④解析 只有所有的数据点都分布在一条直线附近时，才能得到回归直线． 3．③解析 因工人月工资与劳动生产率变化的线性回归方程为＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时，2－1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90.4．①解析 ∵在实际生活中，当销售价格提高时，商品销售量一般要降低，∴排除②、④，又∵③中x>0时 <0不合题意，∴③错． 5．17.4解析 x ＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y ＝15(12＋10＋9＋8＋6)＝9.a ＝y －b x ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4. 6．(x ，y )解析 由a ＝y －b x 得y ＝b x ＋a ， 即点(x ，y )适合方程＝a ＋bx. 7．87.5%解析 设该地区人均工资收入为y ， 则y ＝0.7x ＋2.1，当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12.10.512×100%＝87.5%. 8．减少2.5解析 ′＝3－2.5(x ＋1)＝3－2.5x －2.5＝－2.5， 因此，y 的值平均减少2.5个单位． 9．20解析 令两人的总成绩分别为x 1，x 2.则对应的数学成绩估计为＝6＋0.4x 1，2＝6＋0.4x 2， 所以| 1－2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20.10．解 x ＝706＝353，y ＝2306＝1153，∑6i ＝1x 2i ＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，∑6i ＝1x i y i ＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b ＝∑6i ＝1x i y i －6x y ∑6i ＝1x 2i －6x 2＝3 474－6×353×11531 286－6×(353)2≈1.68，a ＝y －b x ≈18.73，即所求的回归方程为＝1.68x ＋18.73.11．解 以x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝90250＝0.36， a ＝y －b x ＝40.8.∴所求回归方程为＝0.36x ＋40.8. 12．0.880 9解析 x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x 2i＝7 900，∑5i ＝1x i y i ＝17 035， 所以回归直线的斜率b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x 2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500≈0.880 9.。
苏教版数学高一-14-15苏教版数学必修3练习 2.4线性回归方程
数学·必修3(苏教版)第2章统计2．4 线性回归方程1．下列关系中，是相关关系的有()①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①②B．①③C．②③D．②④解析：根据变量相关关系的定义，可知学生学习态度与学习成绩之间是相关关系．教师执教水平与学生学习成绩之间是相关关系．而身高与学习成绩、家庭经济条件与学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系．答案：A2．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1 B．0 C.12D．1答案：D3．观察下列变量x，y的散点图：如图所示的两个变量具有相关关系的是()A．(2)(3) B．(1)(2)C．(2)(4) D．(3)(4)解析：(1)不具有相关关系；(2)具有线性相关关系；(3)是函数表示；(4)是非线性相关关系，选C.答案：C4．在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求的回归方程作出解释；②收集数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，如果根据可靠性要求能够判定变量x ，y 具有线性相关性，则下列操作顺序正确的是( )A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①解析：根据线性回归分析的思想，可以对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，应先收集数据(x i ，y i )，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回复方程作出解释，因此选D.答案：D5．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表．由表中数据，得回归直线方程y ＝b x ＋a ，若b ＝－2，则a ^＝________．解析：∵x －＝18＋13＋10－14＝10，y －＝24＋34＋38＋644＝40，∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60. 答案：606．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到的回归直线方程y^＝bx＋a，那么下面说法不正确的是________．①直线y^＝bx＋a必经过点(x，y)；②直线y^＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一个点；③直线y^＝bx＋a的斜率为Σni＝1x i y i－nx yΣni＝1x2i－nx2；④直线y^＝bx＋a与各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)的总偏差Σni＝12是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．解析：回归直线一定过点(x，y)，但不一定要过样本点．答案：②7．某医院用光电比色计检查尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：(1)(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归线直线方程；(3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数．解析：(1)见下图．(2)由散点图可知y 与x 线性相关．设回归直线方程y ^＝bx ＋a ，列表：i 1 2 3 4 5 x i 2 4 6 8 10 y i 64 138 205285360x i y i1285521 2302 2803 600x ＝6，y ＝210.4，Σ5i ＝1x i 2＝220，Σ5i ＝1x i y i＝7 790 ∴b ＝7 790－5×6×210.4220－5×62＝1 47840＝36.95. ∴a ＝210.4－36.95×6＝－11.3. ∴回归方程为y ^＝36.95x －11.3.(3)当x ＝9时，y ^＝36.95×9－11.3＝321.25≈321. 即估计原汞含量为9毫克/升时消光系数约为321.能力升级8．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解析：儿子和父亲的身高列表如下：设回归直线方程y^＝a＋bx，由表中的三组数据可求得b＝1，故a ＝y－bx＝176－173＝3，故回归直线方程为y^＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案：1859．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：－－b x－，而由表中数据可求得x－＝11，y－＝22，∴解析：∵a＝ya＝22－11b.答案：22－11b10．炼钢是一个氧化降碳的一个过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测的炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据如下表所示：规律吗？(2)若x与y线性相关，求回归直线方程：(3)预测当钢水含碳量为160(0.01%)时，应冶炼多少分钟？解析：(1)以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作数点图如图所示．从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即x与y线性相关．(2)设所求回归直线方程为y^＝bx＋a.∵x－＝159.8，y－＝172，x i y i=287 640. x i2=265 448, ∵b=≈1.267，－－b x－≈－30.47.故所求的回归直线方程为y^＝1.267x－30.47.a＝y(3)当x＝160时，y^＝1.267×160－30.47＝172.25≈173.即大约要冶炼173分钟．11．1971年至1980年，某城市居民的年收入金额与皮鞋销售额如下表：求y对x解析：b ＝Σni ＝1x i y i－nx y Σni ＝1x i2－nx2＝15 202.9－10×37.97×39.114 663.67－10×37.972≈1.447.a ＝y －bx ＝39.1－1.447×37.97≈－15.842 6. 所以y 对x 的回归直线方程为：y ^＝1.45x －15.84.12．某5名学生的数学和化学成绩如下表：学生学科 A B C D E数学成绩88 76 73 66 63/x化学成绩78 65 71 64 61/y(1)(2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程．解析：(1)散点图为：(2)序号x y x2xy188787 744 6 86427665 5 776 4 940b ＝Σni ＝1x i y i－nx y Σni ＝1x i2－nx2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.624 869，a ＝y －bx ＝67.8－0.624 869×73.2≈22.059 6. 所以y 对x 的回归直线方程为y ^＝0.62x ＋22.06.13．某城市预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)据此估计2015年该城市人口的总数．(参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30)解析：(1)据表画出数据的散点图如下图所示．(2)由表可知x －＝15(0＋1＋2＋3＋4)＝2， y －＝15(5＋7＋8＋11＋19)＝10.∴b ＝a=y －-b x －=3614．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间t 之间对应的一组数据： 时间t/s 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y/μm6 10 10 13 16 17 19 23 25 2946(2)试求腐蚀深度y 与时间t 的回归直线方程．解析：（1）如下图,(2)经计算可得t≈46.36，y≈19.45，＝36 750，＝13 910.b＝Σ11i＝1t i y i－11×t yΣ11i＝1t i2－11×t2＝13 910－11×46.36×19.4536 750－11×46.362≈0.3.a＝y－bt＝19.45－0.3×46.36≈5.542.故所求的回归直线方程为y^＝0.3t＋5.542.。
新高中数学苏教版必修三同步练习：2.4 线性回归方程(含答案解析)
数学·必修3(苏教版)第二章统计 2．4 线性回归方程基础巩固1．下列关系中，是相关关系的有( ) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④解析：根据变量相关关系的定义，可知学生学习态度与学习成绩之间是相关关系．教师执教水平与学生学习成绩之间是相关关系．而身高与学习成绩、家庭经济条件与学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系．答案：A2．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0C.12D ．1答案：D3．观察下列变量x ，y 的散点图：如图所示的两个变量具有相关关系的是( ) A ．(2)(3) B ．(1)(2) C ．(2)(4)D ．(3)(4)解析：(1)不具有相关关系；(2)具有线性相关关系；(3)是函数表示；(4)是非线性相关关系，选C.答案：C4．在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求的回归方程作出解释；②收集数据(x i ，y i )(i ＝1， 2，…，n)；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，如果根据可靠性要求能够判定变量x ，y 具有线性相关性，则下列操作顺序正确的是( )A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①解析：根据线性回归分析的思想，可以对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，应先收集数据(x i ，y i )，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回复方程作出解释，因此选D.答案：D5．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表．由表中数据，得回归直线方程y ＝b x ＋a ，若b ＝－2，则a ＝________． 解析：∵x －＝18＋13＋10－14＝10，y －＝24＋34＋38＋644＝40，∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60. 答案：606．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y^＝bx ＋a ，那么下面说法不正确的是________．①直线y^＝bx ＋a 必经过点(x ，y)；②直线y^＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；③直线y^＝bx ＋a的斜率为Σni ＝1x i y i －nx yΣni ＝1x 2i －nx 2；④直线y^＝bx ＋a 与各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的总偏差Σn i ＝1[y i －(bx i ＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．解析：回归直线一定过点(x ，y)，但不一定要过样本点． 答案：②7．某医院用光电比色计检查尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：(1)(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归线直线方程； (3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数． 解析：(1)见下图．(2)由散点图可知y 与x 线性相关．设回归直线方程y^＝bx ＋a ，列表：∴b ＝7 790－5×6×210.4220－5×62＝1 47840＝36.95.∴a ＝210.4－36.95×6＝－11.3. ∴回归方程为y^＝36.95x －11.3.(3)当x ＝9时，y^＝36.95×9－11.3＝321.25≈321. 即估计原汞含量为9毫克/升时消光系数约为321. 能力升级8．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解析：儿子和父亲的身高列表如下：设回归直线方程y ^＝a ＋bx ，由表中的三组数据可求得b ＝1，故a ＝y －bx ＝176－173＝3，故回归直线方程为y ^＝3＋x ，将x ＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案：1859．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：解析：∵a ＝y －－b x －，而由表中数据可求得x －＝11，y －＝22，∴a ＝22－11b. 答案：22－11b10．炼钢是一个氧化降碳的一个过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测的炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x 与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据如下表所示：(2)若x 与y 线性相关，求回归直线方程：(3)预测当钢水含碳量为160(0.01%)时，应冶炼多少分钟？解析：(1)以x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作数点图如图所示．从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即x 与y 线性相关．(2)设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a.∵x －＝159.8，y －＝172，x i y i =287 640.x i 2=265 448, ∵b=≈1.267，a ＝y －－b x －≈－30.47.故所求的回归直线方程为y ^＝1.267x －30.47.(3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160－30.47＝172.25≈173.即大约要冶炼173分钟． 11．1971年至1980年，某城市居民的年收入金额与皮鞋销售额如下表：求y 对x 解析：b ＝Σi ＝1x i y i －nx yΣni ＝1x i 2－nx 2＝15 202.9－10×37.97×39.114 663.67－10×37.972≈1.447.a ＝y －bx ＝39.1－1.447×37.97≈－15.842 6. 所以y 对x 的回归直线方程为：y^＝1.45x －15.84. 12．某5名学生的数学和化学成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程． 解析：(1)散点图为：(2)b ＝Σn i ＝1x i y i －nx yΣni ＝1x i 2－nx 2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.624 869，a ＝y －bx ＝67.8－0.624 869×73.2≈22.059 6. 所以y 对x 的回归直线方程为y^＝0.62x ＋22.06.13．某城市预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ； (3)据此估计2015年该城市人口的总数．(参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30) 解析：(1)据表画出数据的散点图如下图所示．(2)由表可知x －＝15(0＋1＋2＋3＋4)＝2， y －＝15(5＋7＋8＋11＋19)＝10.∴b ＝a=y －-b x －=3614．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间t 之间对应的一组数据：(2)试求腐蚀深度y 与时间t 的回归直线方程． 解析：（1）如下图,(2)经计算可得t ≈46.36，y ≈19.45，＝36 750，＝13 910.b ＝Σ11i ＝1t i y i －11×t yΣ11i ＝1t i 2－11×t 2＝13 910－11×46.36×19.4536 750－11×46.362≈0.3.a＝y－bt＝19.45－0.3×46.36≈5.542.故所求的回归直线方程为y^＝0.3t＋5.542.。
江苏省宿迁市高中数学第2章统计2.4线性回归方程(2)练习苏教版必修3
2.4线性回归方程（二）【新知导读】1.对于线性相关系数r ，下列说法正确的是 ( )A ．(0,)r ∈+∞时，r 越大，相关程度越高；反之相关程度越低B ．(,)r ∈-∞+∞时，r 越大，相关程度越高，反之相关程度越低C ．1r ≤时，r 越接近于1,相关程度越高；r 越接近于0,相关程度越低D ．以上说法都不正确2．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的．他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y 与父亲的身高x 的回归直线方程y a bx ∧=+中，b ( ) A ．在(-1,0)内 B ．等于0 C ．在(0,1)内 D ．在[1,)+∞内3．由一组样本数据11(,)x y ，22(,)x y ，．．．，(,)n n x y 得到的线性回归方程为y bx a ∧=+，那么下面说法不正确的是 ( ) A ．直线y bx a ∧=+经过点(,)x yB ．直线y bx a ∧=+至少经过11(,)x y ，22(,)x y ，．．．，(,)n n x y 中的一个点C ．直线y bx a ∧=+的斜率为1221ni ii nii x y nx yxnx==--∑∑D ．直线y bx a ∧=+和各点11(,)x y ，22(,)x y ，．．．，(,)n n x y 的偏差21[()]niii y bx a =-+∑是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的 【范例点睛】例1 测得10对某国父子身高(单位：英寸)如下：(2) 如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； (3) 如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．【课外链接】1．现有一个由身高预测体重的回归方程，体重预测值＝4(磅/英寸)×身高－130磅．其中体重和身高分别以磅和英寸为单位．如果将它们分别以kg 、cm 为单位(1英寸≈2.5cm ，1磅≈0.45kg)．回归方程应该是_ _________________________________． 【随堂演练】1．对于回归分析，下列说法错误的是 ( )A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的或负的C ．在回归分析中，如果21r =，说明x 与y 之间完全线性相关D ．相关样本系数(,)r ∈-∞+∞ 2．线性回归方程y bx a ∧=+必过( )A ．(0,0)点B ．(x ,0)点C ．(0,y )点D ．(x ,y )点3．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立做了100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1l 和2l ．假设两个人在试验中发现对变量x 的观察数据的平均值都是m ，对变量y 观察的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（ ） A ．1l 和2l 有交点(,)m tB ．1l 和2l 相交，但交点不一定是(,)m tC ．1l 和2l 必定平行D ．1l 和2l 必定重合4．在研究硝酸钠的可溶性时，对不同的温度观察它在水中的溶解度，得观察结果如下：由此得到回归直线的斜率是__________________(保留4位有效数字)．5．下面数据是从年龄在40到60岁的男子中随机抽取6个个体，分别测得的每个个体心脏功能水平y (满分100分)以及相应的每天花在看电视上的时间x (小时)．则x 与y 的相关系数为______________________ ．6．若施肥量x 与水稻产量y 的线性回归方程为5250y x ∧=+，当施肥量为80kg 时，预计的水稻产量为______________kg ．7．为了研究三月下旬的平均气温(x )与四月十二号前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了1996年至2001年的情况，得到下面数据：(1)据气象预测，该地区在2002年三月下旬平均气温为27oC ，试估计2002年四月化蛹高峰日为哪天；(2)对变量x 、y 进行相关性检验．8．证明恒等式11()()n ni i i i i i x y nx y x x y y ==-=--∑∑，其中11ni i x x n ==∑，1ni i y y ==∑，从而回归直线的斜率还可以写成121()()()niii nii x x y y x x ==---∑∑．9．以下是一位销售经理收集来的销售员每年销售额y 和销售经验年数x 的关系：(1)依据这些数据画出散点图并作直线78 4.2y x ∧=+，计算2()iiy y ∧-∑；(2)依据这些数据由最小二乘法估计线性回归方程，并据此计算1021()iii y y ∧=-∑．10．某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，数据如下：(1) 计算x 与y 的相关系数，并对x 与y 进行相关性分析； (2) 如果y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程．2.4线性回归方程（二） 【新知导读】 1．C 2．C 3．B 【范例点睛】例1．(1)66.8x =，67.01y =，102144794ii x==∑，102144941ii y==∑，4476.27x y ≈，24462.24x =，24490.34y ≈，10144842.4i i i x y ==∑，1010i ix y x yr -∴=∑79.70.980181.31≈=≈≈．因为0.9801r =接近1,所以y 与x 具有较强的相关关系，也就是说y 与x 之间具有线性相关关系．(2)设回归直线方程为y bx a ∧=+，由101102211044842.444762.74479444622.410i ii i i x y x yb x x==--=≈--∑∑79.7171.6=0.4645≈，67.010.464566.835.98a y bx =-≈-⨯≈，所以所求直线方程为0.464539.98y x ∧=+．(3)当73x =时，0.46457335.9869.9y =⨯+≈，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高为69.9英寸． 【课外链接】体重预测值＝0.72(kg/cm)×身高－58.5kg 【随堂演练】１．D ２．D ３．A４．0.8809 ５．－0.9023 ６．650７．解：(1)61129.136i i x x ===∑,6117.56i i y y ===∑,6215130.92i i x ==∑,611222.6i i i x y ==∑,6162216 2.26i ii ii x y x yb xx==-∴==--∑∑,7.5( 2.2)29.1371.6a y bx =-=--⨯=,∴回归直线方程为2.271.6y x ∧=-+．当27x =时， 2.22771.612.2y ∧=-⨯+=．据此，可估计该地区2002年4月12日或13日化蛹高峰日．(2)616622221160.9342(6)(6)i ii i i i i x y x yr x x y y ===-==--∑∑∑，Q r 的值接近于1,所以变量x ，y 存在线性相关关系． ８．证明：11111()()()n n n n niii iiii iiii i i i i x x y y x y xy x y x y x y x y y x nx y =====--=--+=--+∑∑∑∑∑11n ni i i i i i x y nx y nx y nx y x y nx y ===--+=-∑∑，∴回归直线的斜率为1221()ni ii nii x y nx yxn x ==-=-∑∑121()()()niii nii x x y y x x ==---∑∑．９．解：(1)散点图与直线78 4.2y x ∧=+的图形如图所示，对1,3,...,13x =，82.2,90.6,94.8,94.8,y ∧=103.2,111.6,120,120,124.2,132.6，1021()178.48i i i y y ∧=-=∑．(2)1011710i i x x ===∑，1021()142xx i i l x x ==-=∑，108y =，101()()xy i i i l x x y y ==--∑ 568=，所以5684142xyxx l b l ===，1084780a y bx =-=-⨯=，480y x ∧∴=+．84,92,96,96,104,112,120,120,124,132i y ∧=，1021()170i i i y y ∧=-=∑．10．解：(1)由题意可得77777.710x ==，1657165.710y ==，102170903i i x ==∑，1021277119i i y ==∑，101132929i ii x y==∑．22(709031077.7)(27711910165.7)r =-⨯-⨯0.806≈，因此x 与y 之间具有显著的相关性．(2)21329291077.7165.70.397709031077.7b -⨯⨯=≈-⨯，165.70.397a =-77.7134.8⨯=，所以线性回归方程为0.397134.8y x ∧=+．。
苏教版高中数学必修三：2.4《线性回归方程》测试1.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作高中苏教数学③2.4线性回归方程测试题一、选择题1．下列关系中，是相关关系的是（）①学生的学习态度与学习成绩之间的关系②教师的教学水平与学生学习成绩之间的关系③学生的身高与学生学习成绩之间的关系④家庭经济条件与学生学习成绩之间的关系Ａ．①②Ｂ．①③Ｃ．②③Ｄ．②④答案：Ａ2．变量y与x之间的回归方程表示（）Ａ．y与x之间的函数关系Ｂ．y与x之间的确定性关系Ｃ．y与x之间的真实关系Ｄ．y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合答案：Ｄ3．若x，y具有相关关系，且得到的一组散点大致分布在一条直线的附近，则下列有关线性回归的说法中，不正确的是（）Ａ．具有相关关系的两个变量不是因果关系Ｂ．散点图能直观地反映数据的相关程度Ｃ．回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系Ｄ．任一组数据的回归方程都有意义答案：Ｄ4．工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为8050y x =+，下列判断正确的是（ ）Ａ．劳动生产率为1000元时，月工资为130元 Ｂ．劳动生产率提高1000元，则月工资提高80元 Ｃ．劳动生产率提高1000元，则月工资提高130元 Ｄ．当月工资为210元时，劳动生产率为2000元 答案：Ｂ5．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是（ ） Ａ．都可以分析出两个变量的关系Ｂ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 Ｃ．都可以用确定的表达式表示两者的关系 Ｄ．都可以作出散点图答案：Ｄ6．三点（3，10），（7，20），（11，24）的回归方程是（ ） Ａ．0.80.1y x =+Ｂ． 1.75 5.75y x =+ Ｃ． 1.75 5.75y x =-+ Ｄ． 1.75 5.75y x =--答案：Ｂ二、填空题7．两变量之间的相关关系是一种 关系． 答案：非确定性8．回归直线方程的意义是 ． 答案：反映了样本整体的变化趋势9．某城市近10年居民的年收入x 与支出y 之间的关系大致符合0.80.1y x =+（单位：亿元），预计今年该城市居民年收入为15亿元，则年支出估计是 ．答案：12.1亿元10．由一组观测数据11221010()()()x y x y x y ，，，，，，得174.8x =，21.7y =，1021305730i i x ==∑，10137986i ii x y==∑，则回归直线方程是 ．答案：0.30331.264y x =-三、解答题11．一个工厂在某年里每月产品的总成本y （万元）与该月产量x （万件）之间有如下一组对应数据：x1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 1.59 1.68y2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75 2.923.03判断它们是否有相关关系．解：x 轴代表该月产量，y 轴代表该月总成本；可得如下散点图：由散点图可见，两者之间具有相关关系．12．一个机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下：(/)1614128()11985x y 转速转秒每小时生产有缺损的零件数件如果y 与x 线性相关，求回归直线方程． 解：设回归方程为y bx a =+，由 i 1 2 3 4 i x 16 14 12 8i y 11 9 8 5 i i x y 176 126 96 4012.5x =，8.25y =，421660i i x ==∑，41438i i i x y ==∑．2438412.58.250.73660412.5b -⨯⨯=≈-⨯∴，8.250.7312.50.875a =-⨯=-．13．以下是在某地的旧房屋的销售价格Y 和房屋的面积x 的数据：房屋面积（2m ）11511080135105销售价格（万元）24.8 21.6 18.4 29.2 22（1）画出数据对应的散点图；（2）求线性回归方程，并在散点图中画出回归直线； （3）据（2）的结果估计当房屋面积为1502m 时的销售价格． 解：（1）数据对应的散点图如图所示：（2）5111095i i x x ===∑，521()1570i i x x =-=∑，23.2y =，51()()308i i i x x y y =--=∑．设所求回归直线方程为y bx a =+，则51521()()3080.19621570()ii i ii xx y y b xx ==--==≈-∑∑， 23.21090.1962 1.8142a y bx =-=-⨯=，故所求回归直线方程为0.1962 1.8142y x =+， 回归直线如图．（3）据（2），当2150m x =时，销售价格的估计值为：0.1962150 1.814231.2442y =⨯+=（万元）．。
高中数学第2章统计2.4线性回归方程(2)教案苏教版必修3(new)
2。
4 线性回归方程第2课时导入新课在上一节课中问题1：将汽油以均匀的速度注入桶里，注入的时间t与注入的油量y如下表:从表里数据得出油量y与时间t之间的函数关系式为y=2x（x≥0）.并且在直角坐标系里很容易作出它们的图象,我们知道各点在同一条直线上。
再看下面的问题（即上一节课的练习2）:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：请大家动手作出热茶销售量与气温的坐标图，说说它的特点，能得到什么规律？分析：该图中所有点不像第一个问题中函数关系的图象对应的点在同一条直线上，但是分布也是很有规律，它们散布在从左上角到右下角的区域，因此,可以得到规律是随着气温的增加，热茶卖出的杯数在减少。
但究竟以什么样的方式在减少呢？这就是今天要继续学习的内容——线性回归方程.推进新课新知探究以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立平面直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到上图，今后我们称这样的图为散点图。
1。
散点图（scatterplot)：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。
散点图形象地反映了各对数据的密切程度。
粗略地看，散点分布具有一定的规律。
在本图中这些点散布的位置也是值得注意的，它们散布在从左上角到右下角的区域，对于这种相关关系，我们称它为负相关.如果点散布在从左下角到右上角的区域.对于这种相关关系,我们称它为正相关.请学生举例:两个变量之间是正相关的关系.例如:某小卖部卖的冷饮销售量与气温之间的关系.再看上节课的练习 1.在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：如果作出散点图如右图,它是散布在从左下角到右上角的区域,也是正相关的关系.回到解热茶销售量与气温之间的关系的散点图来,从图中可以得到规律是随着气温的增加，热饮的销售量在减少，究竟以什么样的方式减少呢？分析：分布情况是在从左上角到右下角的区域的某条直线附近摆动。
高中数学第2章统计2.4线性回归方程自我检测苏教版必修320171017524
2.4 线性回归方程自我检测基础达标一、选择题1．下列有关线性回归的说法，不正确的是（）A．自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C．线性回归直线能得到具有代表意义的回归直线方程D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程答案：D2．下列命题中正确的为（）①任何两个变量都具有相关关系②圆的周长与该圆的半径具有相关关系③某商品的需求与该商品的价格是一种非确定性关系④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究A．①③④B．②④⑤C．③④⑤D．②③⑤答案：C3．观测两相关变量得如下数据：x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1y -1 -2 -3 -3 -5 5 4 3 2 1则两变量间的回归直线方程为（）1A．yˆ= x-1 B．yˆ=0.964x21C．yˆ=2x+ D．yˆ=0.964x+0.13答案：D4．由一组样本数据（x1,y1）,（x2,y2）,…,（x n,y n）得到的回归直线方程yˆ=bx+a,那么下面说法不正确的是（）A．直线yˆ=bx+a必经过点（x,y）B．直线yˆ=bx+a至少经过点（x1,y1）,（x2,y2）,…，（x n,y n）中的一个点C．直线yˆ=bx+a的斜率为nx y nxyi i2ii11nD．直线yˆ=bx+a和各点（x1,y1）,（x2,y2）,…，（x n,y n）的偏差[y是i(bx a)]i2i1该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的答案：B5．下列变量中具有相关关系的是（）A．正方形的体积和边长B．人的身高与体重C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间D．球的半径与体积答案：B6．一位同学对自家所开小卖部就“气温与热饮杯的销售量进行调查”，根据统计结果，该生运用所学知识得到气温x℃与当天销售量y（个）之间的线性回归方程yˆ=-2．352x+147.767,估计在x=2℃时，可卖出热饮杯的个数为（）A．128 B．134C．143 D．109答案：C7．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是（）A．正方体的体积与棱长B．角的度数和它的正弦值C．单产为常数时，土地面积和总产量D．日照时间与水稻的亩产量答案：D8．统计中用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，对应于变量x取值x i，变量y 的观测值为y i（1≤i≤n）.若计算得相关系数r=0.8 ，则对变量x 、y的相关强弱为（）A．相关性很强B．相关性一般C．相关性很弱D．不相关答案：A9．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是（）A．点散布特征为从左下角到右上角区域B．点散布在某带形区域内C．点散布在某圆形区域内D．点散布特征为从左上角到右下角区域内答案：D10．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据，运用Excel软件计算得yˆ=0.577x-0.448（x为人的年龄，y为人体脂肪含量）.对年龄为37的人来说，下列说法正确的是（）A．年龄为37的人体内脂肪含量为20.90%B．年龄为37的人体内脂肪含量约为20.90%2二、填空题11．已知回归直线方程yˆ=0.50x-0.81，则当x=25时，y的估计值为_________.答案：11.6912．用科学计算器求回归方程的过程中，进入回归计算模式键是_________.答案：13．对某种产品表面进行腐蚀刻线实验，腐蚀深度y（μm）与时间x（s）之间有线性相关关系，回归方程为yˆ=0.304x+5.36，则回归系数b=0.304的实质意义是_____________.答案：腐蚀时间x每增加1s，估计深度y平均增加0.304个μm（或腐蚀速度为0.304μm/s）14．在研究硝酸钠的可溶性程度时，在不同的温度观测它在水中的溶解度，得观测结果如下表：温度（x）0 10 20 50 70溶解度（y）66.7 76.0 85.0 112.3 128.0由此得到回归直线的斜率是___________答案：0.880 9三、解答题15．设对变量x,Y有如下观察数据：x 151 152 153 154 156 157 158 160 160 162 163 164Y 40 41 41.5 41.5 42 42.5 43 44 45 45 46 45.5使用科学计算器求Y对x的回归直线方程.（结果保留4位小数）并写出操作过程.解：计算得：a=－26.057 3,b=0.438 967回归直线方程为yˆ=0.438 967x-26.057 3，操作过程略.16．一台机器由于使用时间较长，但还可以使用.它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果：转速（x转/秒）16 14 12 8每小时生产有缺点的零件数（y件）11 9 8 5（1）如果y与x有线性相关关系，求回归直线方程；（2）求线性相关系数；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围内？解：（1）计算得：a=-0.857 5,b=0.728 6回归直线方程为yˆ=0.728 6x-0.857 5.（2）相关系数r=0.995.（3）x≤14.9019.17．在对某产品进行耐压强度试验中，运用刻线试验方法，得到凹陷深度Y与挤压冲力x个单位（N）之间相应的一组观察值，如下表：x（N） 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 100Y（μm） 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46（1）画出表中数据的散点图；（2）求Y对x的回归直线方程；（3）试预测冲击力为100N时，凹陷深度是多少？解：（1）散点图略.（2）计算得：a=4.82,b=0.329.回归直线方程为yˆ=0.329x+4.82．（3）38.26μm．更上一层1．下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（）A．吸烟有害健康B．乌鸦叫,没好兆C．粮食产量与施肥量D．名师出高徒答案：B2．下列关于回归直线的命题,正确的个数是（）①回归直线通过散点图的中心（x,y）②回归直线必经过散点图的多个点③对给定数据组（x i,y i）（1≤i≤n）得出的散点图,回归直线可有多条④如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,且散点图中各点到这条直线的距离差最小,这条直线是回归直线A．0 B．1C．2 D．3答案：C3．改革开放以来,我国高等教育事业迅速发展.为调查某省从1990年到2000年农村18岁到24 岁的青年人每年考入大学的百分比，为便于统计，把1990年到2000年的年号依次编号为0，1，…，10作为自变量x，每年考入大学的百分比作为因变量y，进行回归分析，得到回归直线yˆ=0.42x+1．80.下列对数据解释正确的是（）①每年升入大学的百分比为1.80②升入大学的18岁到24岁的人数按大约每年0.42%的速度递增③1990年升入大学的百分比约为1.80%，2000年升入大学的百分比约为6% ④从1990年到2000年升入大学的人数成等距离增加A．．．．②③答案：D4．观察下列四个散点图，两变量具有线性相关关系的是（）答案：A5．对相关关系的变量的一组数据（x1,y1）,（x2,y2）,…，（x n,y n），所求回归方程为yˆ=bx+a，其中回归直线的斜率为（）1n A．n1i x i yiB．x yC．nx ynx yi ii1nx n(x)22ii1D．x y ni1x i yi答案：C6．下列两个变量具有相关关系的是（）A．三角形的面积与三角形的底和高的乘积B．粮食单产量与光照时间C．圆柱的体积与底面圆的半径施化肥量x 15 20 25 30 35 40 455水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455则由此得到的回归直线的斜率是（）A．B．4.75C．3．．5.35答案：B8．对相关关系的两个变量x、y，与相关强对应的相关系数r满足（）A．r∈［0.5,0.9］B．r∈［0.75,1］C．|r|∈［0.75,1］D．r∈［-1,-0.75］答案：C9．现抽取某校高一10名学生入学考试中的数学成绩x和入学后的第一次考试数学成绩y，统计计算得x=107.8，∑（x i）2=116 584，y=68，∑（y i）2=47 384，∑x i y i=73 796,则两次数学成绩的关系（）A．相关强B．不相关C．没关系D．相关一般答案：A10．某考察团对全国10大城市进行职工人均平均工资x与居民人均消费y进行统计调查，y与x具有相关关系，回归方程yˆ=0.66x+1.562（单位：千元），若某城市居民消费水平为7.675，估计该城市消费额占人均工资收入的百分比为（）A．66%B．72.3%C．67.3%D．83%答案：D11．回归直线方程yˆ=bx+a中，b=__________，a=___________.nx y nx yi i答案：y bxi1nx n(x)22ii112．对某种机器购置后运营年限x（1，2，3，…）与当年增加利润y的统计分析知具备线性相关关系，回归方程为yˆ=10.47-1.3x，估计这种机器使用_________年最合算.答案：劳动生产率提高1 000元，则工资提高80元14．对具有线性相关关系的变量的一组数据（x1,y1）,（x2,y2）,…，（x n,y n），回归方程为yˆ6，求Q=_________的最小值而得出回归方程的方法，叫最小二乘法.n答案：(y，，，i bx a)2(i12n)ii115．5个学生的数学和物理成绩如下表：学生 A B C D E学科数学80 75 70 65 60物理70 66 68 64 62（1）画出散点图；（2）确定回归方程.解：（1）散点图略.（2）计算得：a=40.8,b=0.36.回归直线方程为yˆ=0.36x+40.8.16．现对x ，y有如下观测数据：x 18 25 30 39 41 42 49 52y 3 5 6 7 8 8 9 10试求y对x的线性回归方程.解：计算得：a=-0.067,b=0.191．回归直线方程为yˆ=0.191x-0.067.17．某公司抽查5位职工的月收入及储蓄额（单位：元）得到如下对应数据：x 700 800 950 1 000 1 200y 254 281 317 331 382（1）作散点图；（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程.解：（1）散点图略.（2）计算得：a=76.13,b=0.254 7.回归直线方程为yˆ=0.254 7x+76.13．18．某厂某产品的产量x（单位：千件）与单位成本y（单位：万元/千件）的对应数据如下：x 29 28 28.5 29.5 30 31 30 29y 500 510 504 494 493 485 492 498（1）对变量y与x作出散点图；（2）若y与x具有线性相关关系，求回归直线方程；7（3）预测产量x=25千件时的单位成本.解：（1）散点图略.（2）计算得：a=732,b=-8.回归直线方程为yˆ=-8x+732．（3）当x=25时，yˆ=-8×25+732=532万元/千件.8。
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2.4 线性回归方程
自主广场
我夯基 我达标
1．相关关系与函数关系的区别是_________.
思路解析:考查函数关系和相关关系的含义.
答案:函数关系是两个变量之间有完全确定的关系，而相关关系是两个变量之间并没有严格的确定关系，当一个变量变化时，另一变量的取值有一定的随机性 2．线性回归方程y=bx+a 过定点__________.
思路解析:考查线性回归方程的意义，及点与直线的位置关系的判断.由线性回归直线方程的推导过程不难发现直线恒过定点（x ，y ）.
答案:（x ，y ）
3．工人工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归方程为y ˆ=50+80x ，下列判断正确的是( )
A ．劳动生产率为1 000元时，工资为130元
B ．劳动生产率提高1 000元时，工资大约提高80元
C ．劳动生产率提高1 000元时，工资提高大约130元
D ．当月工资250元时，劳动生产率为2 000元
思路解析:考查了直线斜率的实际意义，即k=．x x y y x
y
1212∆∆==--横坐标的增量纵坐标的增量
答案: B
4．设有一个直线回归方程为y
ˆ=2-1．5x ，则变量x 增加一个单位( )
．y 平均增加1.5个单位
．y 平均增加2个单位 ．y 平均减少1.5个单位
．y 平均减少2个单位
思路解析:考查了直线斜率的实际意义，即k=
．x x y y x
y
1212∆∆==--横坐标的增量纵坐标的增量
答案: C
5．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是( ) ．角度和它的余弦值 ．正方形边长和面积
．正n 边形的边数和它的内角和 ．人的年龄和身高 思路解析:本题主要考查相关关系的概念.由函数的定义可知A 、B 、C 三项中的两个变量间的关系均为函数关系，故答案为D.
答案: D 6．已知样本容量为11，计算得
∑=111
i i x =510，∑=111
i i y =214，∑=111
2
i i x =36 750，∑=11
1
2
i i y =5
∑=11
1
i i
i y
x =13 910，则y 对x 的回归方程为__________.
思路解析:考查线性回归方程的求法.在回归方程中
b=
． x b ，x x n y x y x n n
i i n i i n
i i n i i n i i i -=--∑∑∑∑∑=====y a )()
)((2
1
1
2
1
1
1
答案:y=5.34+0.3x
7．部分国家13岁学生数学测验平均分数见下表.
试作出该数据的散点图,并由图判断是否存在回归直线
.若有，试求出直线方程.
思路解析:考查了用回归直线方程进行拟合的一般步骤.用回归直线方程进行拟合的一般步骤为:作出散点图;判断散点是不是在一条直线的附近；若散点在一条直线的附近，利用公式求出回归直线方程.
答案:(图略)存在回归直线方程,回归直线方程是y=0.313 3x+0.900 1.
我综合 我发展
8．一个工厂在某年每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间的一组数据如下: 试作出该数据的散点图，并求总成本y 与月产量x 之间的回归直线方程. 思路解析:考查了回归直线方程的求法. 答案:(图略)回归直线方程是y ˆ=1.215x +0.974.
9．对于线性相关系数r ，叙述正确的是( )
．|r|∈(0,+∞)，|r|越大，相关程度越大；反之，相关程度越小 ．r∈(-∞,+∞)，r 越大，相关程度越大；反之，相关程度越小
．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小 ．以上说法都不对
思路解析:考查了线性相关程度的判断方法.|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小.
答案: C
我创新 我超越
10．改革开放以来，我国高等教育事业有了迅速发展.这里我们得到了某省从1990～2000年18～24岁的青年人每年考入大学的百分比，我们把农村、乡镇和城市分开统计.为了便于计算，把1990年编号为0，1991年编号为1，…,2000年编号为10．如果把每年考入大学的百分比作为因变量，把年份从0到10作为自变量进行回归分析，可得到下面三条回归直线:
城市yˆ=9.50+2.84x,
乡镇yˆ=6.76+2.32x,
农村yˆ=1.80+0.42x.
(1)在同一坐标系内作出三条回归直线.
(2)对于农村青年来讲，系数等于0.42意味着什么?
(3)在这一阶段，三个组哪一个的大学入学率年增长最快?
(4)请查阅我国人口分布的有关资料，选择一个在高等教育发展上有代表性的省，以这个省的大学入学率作为样本，说明我国在1991～2000年10年间大学入学率的总体发展情况.
思路解析:考查了直线方程的画法，直线斜率的实际意义及解决问题和分析问题的能力.
答案:(1)图略.(2)对于农村青年来讲，系数等于0.42意味着考入大学的百分比增长较慢.(3)城市组.(4)略.。