高中数学第一章统计案例1.1.1回归分析同步测控北师大选修1-2创新
高中数学第一章统计案例1_1_3可线性化的回归分析同步测控北师大版选修1-2
高中数学 第一章 统计案例 1.1.3 可线性化的回归分析同步测控北师大版选修1-2我夯基 我达标1.设在海拔x m 处的大气压强是y Pa,y 与x 之间的关系为y=ce kx,其中c 、k 为常量,如果某游客从大气压为1.01×105 Pa 的海平面地区,到了海拔为2 400 m,大气压为0.90×105Pa 的一个高原地区,则k 与c 的取值分别是( )A.⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-5510805.41001.1k cB.⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-54105.31024.2k cC.⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯=-54103.2106.3k cD.⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-54103.2107.2k c解析:将⎩⎨⎧⨯==51001.1,0y x 和⎩⎨⎧⨯==51090.0,2400y x ,分别代入y=ce kx,得⎪⎩⎪⎨⎧⨯-=⨯=-5510805.41001.1k c 答案:A2.我国1990~2000年的国内生产总值如下表所示:则反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型可能为( )A.y=ae kxB.y=a+bxC.y=ax bD.y=xb ae解析:画出散点图,观察可用y=a+bx 刻画国民生产总值发展变化的趋势. 答案:BA.y=2+31x B.y=2e xC.y=x e 12 D.y=2+lnx解析:取x=1,2,…,10,分别代入各解析式判断. 答案:D4.指数曲线y=ae bx的图像为( )解析:∵y=ae bx,a ＞0时,y ＞0,排除A 、C,且x∈R ,排除D,选B. 答案:B5.倒指数曲线y=xb ae 的图像为( )解析:y=xb ae ,当a ＞0,b ＞0时,图像为A.答案:A6.幂函数曲线y=x b,当b ＞1时的图像为( )解析:当b ＞1时,图像为A;当0＜b ＜1时,图像为B;当b ＜0时,图像为C;当b=1时,图像为D.答案:A则x 、y 之间符合函数模型为___________.解析:画出散点图,形如y=x b,其中b=2.答案:y=x 2则x 、y 之间符合函数模型为___________.解析:画出散点图,形如y=a·e bx,其中a=2,b=1.答案:y=e xln2我综合 我发展则x 、y 满足函数关系为_______________. 解析:画出散点图,观察图像形如y=xb,其中b=2. 答案:y=x2 10.若x 、y 满足 则x 、y 满足函数关系是_______________.解析:画出散点图,当x 无限大时,y 逐渐接近于1,符合函数模型y=xb ae ,其中a=1,b=-1. 答案:y=xe1若y 与t 之间满足y=ae 关系,求函数解析式,若按此增长趋势估计大约在哪一年我国人口达到14亿?解析:将函数转化为一次函数求解.∑=101i it=45,∑=101i iμ=110.167 0,∑=1012i it=285,∑=101i ii t μ=497.593 6,t =4.5,μ=11.016 7,b=2210121015.4102850167.115.4105936.4971010⨯-⨯⨯-=--∑∑==tt t t i i i iiμμ=5.828421.1=0.022 3, c=μ-b t =11.016 7-0.022 3×4.5=10.916 4，∴μ=10.916 4+0.022 3t,y=e 10.916 4+0.022 3t.令y=140 000万,则10.916 4+0.022 3t=ln140 000=11.849 4, ∴t=41.838 5,即大约在1950年后的第42年(即1992年)我国人口达到14亿. 由此看来,计划生育是我国的基本国策.12.如下表所示,某地区一段时间内观察到的大于或等于某震级x 的地震个数为N,建立回归解析:根据散点图判断函数类型为y=ae ,作变换求解.解:由散点图,知函数模型为y=ae bx, 设μ=lny,c=lna,则μ=c+bx,∑=111i ix=1x i =91.2,∑=111i iμ=138.05,∑=1912i ix=460.56,∑=191i ii x μ=624.622,x =4.8,μ=7.265 8,b=219121911919xx x x i i i ii--∑∑==μμ=28.41956.4602658.78.419622.624⨯-⨯⨯-=-1.667 5,c=μ-b x =7.265 8+1.667 5×4.8=15.269 8,μ=15.269 8-1.667 5x, ∴y=e 15.269 8-1.667 5x.(1)描点画出1990~2000年国内生产总值的图像;(2)建立一个能基本反映这一时期国内生产总值发展变化的函数模型,并根据这个模型,预测2020年的国内生产总值.解析:画出散点图,观察函数类型. 解:(1)作散点图(略).(2)由散点图,可知函数为y=a+bx,∑=111i it=1x i =21 945,∑=111i iy=592 425.3,∑=1112i ix=43 780 385,∑=111i ii yx =1 182 725 833,x =1 995,y =53 856.845,b=211121111111xx yx yx i i i ii∑∑==--=219951143780385845.538561995111182725833⨯-⨯⨯-=7 612.359 1,a=y -b x =53 856.845-7 612.359 1×1 995=-15 132 799.56,∴y=-15 132 799.56+7 612.359 1x.当x=2 020时,y=244 165.822亿元, 即预测2020年国民生产总值约为244 165.822亿元.我创新 我超越14.在平炉炼钢中,由于矿石与炉气中的氧气作用,铁水的总含量不断下降,现测得含碳量y(百分比)与熔化时间t(h)的关系,如下表:求回归方程.解析:画出散点图观察样本点分布在一条指数函数曲线y=ae bx的周围,再应用换元转化为线性回归问题求解. 解:设z=lny,c=lna,则∑=111i it=66,∑=111i iz=6.816,∑=1112i it=400.4,∑=111i ii tz =32.778 2,t =6,z =0.6196,b=22111116114.4006196.06117782.321111⨯-⨯⨯-=--∑∑==tt z zt tz ti i i i ii =4.41178.8-=-1.845,c=z -b t =11.689. ∴z=-1.845t+11.689.∴y=e -1.845t+11.689.。
数学北师大版高中选修1-2北师大版数学选修1-2 第一章 统计案例 §1回归分析
庐山区一中高效课堂导学案北师大版数学选修1-2 第一章 统计案例 §1回归分析§1.1.1 回归分析（总第1课时）主编：查道强 审核：柯愈勇 审批：【预习案】学习目标：1、知识与技能：通过对统计案例的探究，会对两个随机变量进行线性回归分析。
2、过程与方法：学生通过实例分析学习最小二乘法，及其求解回归方程。
3、情感态度与价值观：(1)进一步树立数形结合的思想。
(2)进一步体会构建模型的作用。
教学重点：散点图的画法，回归直线方程的求解方法。
教学难点：回归直线方程的求解方法。
使用说明&学法指导：1、用15分钟左右时间，阅读探究课本P1-P6的内容，熟记基础知识，自主高效学习，提升自己的阅读理解能力。
2、完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识例题，完成预习自测题。
3、将预习中不能解决的问题标记出来，并写到后面“我的疑问”处。
（一）相关知识——知识储备，学以致用请同学们回顾前面所学知识对下面的问题做出回答：问题1：现实生活中两个变量间的关系有哪些呢？问题2：相关关系与函数关系有怎样的不同？问题3：对于线性相关的两个变量用什么方法来刻划之间的关系呢？问题4：你知道最小二乘法吗？（二）教材助读——精心阅读，仔细思考1、必修课程中，我们已经会用最小二乘法求变量之间的线性回归方程。
假设样本点为112233(,),(,),(,),(,)n n x y x y x y x y …,，设线性回归方程为 ，我们的想法就是要求a,b ，使这n 个点与直线 的“距离”平方之和 。
2、在统计中，我们使用 表示一组数据123,,,,n x x x x …的平均值，即 。
为了简化表示，我们引进求和符号，记作 。
3、1()n ii x x =-=∑ 。
1()ni i y y =-=∑ 。
4、____________________________________xx xy yy l l l ===5、线性回归方程y a bx =+，其中b=a=（三）预习自测——自我检测，自我完善自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”。
数学北师大版高中选修1-2选修1-2第一章 统计案例 §1.1.1回归分析导学案
........试题试卷 第一章 统计案例§1.1.1回归分析预习案【学习目标】1. 理解并掌握用回归分析处理两个变量之间的不确定关系的统计方法。
2. 了解回归分析的意义。
3. 以极度的热情，自动自发、如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的快乐。
【使用说明与学法指导】1. 课前（前一天晚自习）自学课本并完成导学案，要求限时完成，书写规范；2. 带“★”的C 层可以选做，带“★★”的B,C 层可以选做.3. 自主探究先行一步，遇到难以理解的地方先做好标记，然后再通过小组讨论解决，如果小组不能解决的问题第二天在课堂上讨论解决。
一、预习自学： 基础知识梳理 问题导引知识点一：两个变量的关系与回归分析函数关系是一种 关系，而相关关系是一种 关系。
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法。
知识点二：线性回归方程1.求线性回归直线方程的步骤：（1） 作出散点图，将问题所给的数据在平面直角坐标系中描点，这样表示出的具有相关关系的两个变量的一组数据的图形就是散点图，从散点图中我们可以看出样本点是否呈条状分布，来判断两个量是否具有线性相关关系；（2） 求回归系数a ，b ，其中∑∑∑∑====--=---=n i i n i i i n i i n i i i xn x y x n y x x xy y x x b 121121)())((，x b y a -= （3） 写出回归直线方程a bx y +=，并用回归直线方程进行预测。
2. 回归直线a bx y +=过点),(y x ，这个点称为样本的中心.【预习自测】（大约10分钟，包括预习自学）1. 设有一个回归方程为22.5y x ∧=-，当变量x 增加一个单位时，（ ） A 、y 平均增加2.5个单位 B 、y 平均增加2个单位C 、y 平均减少2.5个单位D 、y 平均减少2个单位2. 在一次试验中，测得),(y x 的四组数据值为（1,2），（2,3），（3,4），（4,5），则y 与x 之间的线性回归方程为 （ ） A.1+=x y B.2+=x y C.12+=x y D.1-=x y3.为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线方程1l 和2l ，两人计算知x 相同，y 也相同，下列正确的是( )A. 1l 与2l 一定平行B. 1l 与2l 相交于点),(y xC.1l 与2l 重合D. 无法判断1l 和2l 是否相交【我的疑惑】（将在预习中不能理解的问题写下来，供课堂上处理）1.2.3.。
高中数学 第一章 统计案例 可线性化的回归分析课件 北师大版选修1-2(1)
分析： bx y ae 考虑函数 来拟合数据的变化关系，将其转
化成线性函数，两边取对数：ln y ln a bx 设 u ln y, c lna ，则上式变为 u c bx ， 即线性回归方程，记1981年为x=1，1982年为 x=2，‥变换后的数据如下表：
y e u e 5.056 e 0.138 x
8
i
8x y
8 x
线性回归方程为 y 53.191 1.345x
2
1.345, a
．
y bx 53.191
新课讲解
下表按年份给出了1981~2001年我国出口贸易 量（亿美元）的数据，根据此表你能预测2008年我 国的出口贸易量么？
从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好， 若用直线来预测，误差将会很大。 而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。
n n
复习回顾
＊ 线性相关系数r及性质：
r
x y
i 1 i
n
i
nx y
2 2 y n y i i 1 n
x nx
i 1 2 i
n
，其中 1 r 1 。 Nhomakorabea2
＊ r 值越大，变量的线性相关程度就越高； r 值越接近于0，线性相关程度就越低。
＊ 当 r 0 时，两变量正相关； 当 r 0 时，两变量负相关； 当 r 0 时，两变量线性不相关。
复习回顾
，
( xi x)( yi y ) xi yi nx y i 1 i 1 b n n 2 2 2 ( x x ) x n ( x ) i i i 1 i 1 a y bx 1 n 1 n y yi x xi 其中 n i 1 n i 1
数学北师大版高中选修1-2第一章 统计案例 §1.1.1回归分析探究案
word 整理版学习参考资料探究案学始于疑----我思考，我收获二、合作探究（大约15分钟，包括小组讨论与展示）探究一：回归分析概念辨析例1：在下列说法中正确命题的个数是 （ ）①回归分析就是有样本点去寻找一条直线方程，刻画这些样本点之间的关系的数学方法; ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示； ③通过线性回归方程a bx y += 及其回归系数分析b ，可以估计和预测变量的取值和变化趋势④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验。
A.1 B.2 C.3 D.4探究二：线性回归分析例2：对于x 与y 有如下观测数据：x 18 25 30 39 41 42 49 32 y356788910（1）画出散点图（2）求出y 对x 的回归直线方程；（3）根据回归直线方程，预测y=20时x 的值。
【探究小结】1.会用散点图判断两个变量的关系是否可以用线性关系。
知道只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程是毫无意义的；2.会利用线性回归方程预测当x 取某一个值时y 的估计值。
【当堂检测】（大约10分钟）1. 下表是x 与y 之间的一组数据，则y 关于x 的线性回归直线必过点 （ ）x 0 1 2 3 y1357A.(2,2)B.(1.5,2)C.(1,2)D.(1.5,4)★★2.某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如表：广告费用x （万元）4 2 35 销售额y （万元）49263954根据上表可得回归方程a bx y += 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 万元。
【我的收获】（反思静悟，体验成功）【课堂小结】1.知识方面：①掌握用回归分析处理两个变量之间的不确定关系的统计方法 ②了解回归分析的意义2.数学思想方法：回归的基本思想 【温馨提示】请同学们完成《全程学习导与练》的训练案。
2018-2019学年高中数学 第一章 统计案例 1 回归分析教案(含解析)北师大版选修1-2
1回归分析回归分析1．线性回归方程设样本点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，线性回归方程为y ＝a ＋bx . 则l xx ＝∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx 2i －n x 2，l xy ＝∑i ＝1n (x i －x －)(y i －y －)＝∑i ＝1nx i y i －n x － y －，l yy ＝∑i ＝1n (y i －y －)2＝∑i ＝1ny 2i －n y －2，b ＝l xy l xx＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ＝y －－b x －.2．相关系数计算r ＝l xyl xx l yy＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1ny i －y2＝∑i＝1nx i yi －nx y∑i＝1nx2i－n x2∑i＝1ny2i－n y2性质范围r∈[－1,1]线性相关程度(1)|r|越大，线性相关程度越高；(2)|r|越接近于0，线性相关程度越低；(3)当r＞0时，两个变量正相关；(4)当r＜0时，两个变量负相关；(5)当r＝0时，两个变量线性不相关1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．2．回归直线y＝a＋bx过点(x，y)，其中x＝1n∑i＝1nx i，y＝1n∑i＝1ny i.3．相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；相关系数越接近于0，相关性越弱．线性回归方程[例1] )有如下的统计资料：使用年限x/年2345 6维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.57.0若y对x(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据最小二乘法求出线性回归方程；(3)预测使用年限为10年时，维修费用是多少．[思路点拨] 先利用散点图分析设备使用年限与所支出的维修费用是否线性相关，若相关再利用线性回归模型求解．[精解详析] (1)作出散点图如图所示．(2)由表知，x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋75＝5，∑i ＝15x i y i ＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7＝112.3，∑i ＝15x 2i ＝22＋32＋42＋52＋62＝90， 所以b ＝∑i ＝15x i y i －n x y∑i ＝15x 2i －n x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23， a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回归方程为y ＝1.23x ＋0.08.(3)根据(2)中的线性回归方程，可预测使用年限为10年时，维修费用约为y ＝1.23×10＋0.08＝12.38万元．[一点通] 求回归直线方程的基本步骤：1．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.且直线必过点(3,3.5)代入A，B得A正确．2．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：y＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：以x＋1代x，得y＝0.254(x＋1)＋0.321，与y＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2543．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据x 681012y 235 6(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．解：(1)散点图如图：(2)∑i＝1nx i y i＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，∑i＝1nx2i＝62＋82＋102＋122＝344.b＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a＝y－b^x＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.(3)由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4.相关系数[例2] 关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：x 21232527293235y 711212466115325试判断x与y之间是否有线性相关关系．[思路点拨] 首先求出r的值，再判断相关关系．[精解详析] x－＝17×(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，y－＝17×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，∑i＝17x2i＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5 414，∑i＝17x i y i＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18 542，∑i＝17y2i＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124 393，∴r＝∑i＝17x i y i－7x－y－∑i＝17x2i－7x－2∑i＝17y2i－7y－2＝18 542－7×27.4×81.35 414－7×27.42×124 393－7×81.32≈0.837 5.由于r≈0.837 5与1比较接近，∴x与y具有线性相关关系．[一点通] 回归分析是定义在具有相关关系的两个变量的基础上的，对于相关关系不明确的两个变量，可先作散点图，由图粗略地分析它们是否具有相关关系，在此基础上，求其回归方程，并作回归分析．4．对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：①n ＝7，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2； ③n ＝17，r ＝0.499 1；④n ＝3，r ＝0.995 0. 则变量y 和x 线性相关程度最高的两组是( ) A ．①和② B ．①和④ C ．②和④D ．③和④解析：选B 相关系数r 的绝对值越大，变量x ，y 的线性相关程度越高，故选B. 5．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3解析：选A 观察散点图可知r 1>0，r 3>0，r 2<0，r 4<0，根据散点的分散程度反映出的相关性的强弱，可知r 2<r 4<0<r 3<r 1.6．在研究硝酸钠的可溶性程度时，在不同的温度(单位：℃)下观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：温度x 0 10 20 50 70 溶解度y66.776.085.0112.3128.0解：∑5i ＝1x i ＝150，∑5i ＝1y i ＝468，∑5i ＝1x 2i ＝7 900，∑5i ＝1y 2i ＝46 445.18， x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x i y i ＝17 035， r ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x 2∑5i ＝1y 2i －5y2＝17 035－5×30×93.67 900－5×302×46 445.18－5×93.62≈0.999 6.可线性化的回归分析问题[例3] 为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下：时间x/天12345 6繁殖个数y 612254995190(1)作出这些数据的散点图；(2)求y与x之间的回归方程．[思路点拨] 作出数据的散点图，选择合适的函数模型转化为线性模型．[精解详析] (1)散点图如图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1e c2x图像的周围，于是令z＝ln y，则x 12345 6z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25则有y＝e0.69x＋1.112.[一点通] 可线性化的回归方程的求解步骤：7．下列数据x，y符合哪一种函数模型( )x 12345678910y 2 2.693 3.38 3.6 3.84 4.08 4.2 4.3x B．y＝2e xA.y＝2＋3C ．y ＝2e 1xD ．y ＝2＋ln x解析：选D 选项A 中当x ＝8,9,10时，函数值与所给数值偏差较大，不合题意；选项B 中当x ＝10时，y ＝2·e 10，远远大于4.3，不合题意；选项C 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，不合题意．故选D.8．在一次抽样调查中测得5个样本点，数值如下表：x 0.25 0.5 1 2 4 y1612521试建立y 与x 解：作出变量y 与x 之间的散点图如图1所示．由图可知变量y 与x 近似地呈反比例函数关系，设y ＝k x，令t ＝1x，则y ＝kt .由y 与x 的数据表可得y 与t 的数据表如下：t 4 2 1 0.5 0.25 y1612521作出y 与t 由图可知y 与t 呈近似的线性相关关系．又t ＝1.55，y ＝7.2，∑i ＝15t i y i ＝94.25，∑i ＝15t 2i ＝21.312 5.∴b ＝∑i ＝15t i y i －5t y∑i ＝15t 2i －5t 2＝94.25－5×1.55×7.221.312 5－5×1.552≈4.134 4. a ＝y －b t ≈7.2－4.134 4×1.55≈0.791 7，∴y ＝4.134 4t ＋0.791 7.∴y 与x 的回归方程是y ＝4.134 4x＋0.791 7.1．判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变量之间是否具有线性相关关系，此时就必须利用线性相关系数来判断．2．相关系数r可以定量地反映出变量间的相关程度，明确地给出有无必要建立两变量间的线性回归方程．1．已知两个有线性相关关系的变量的相关系数为r，则r取下列何值时，两个变量的线性相关关系最强( )A．－0.91 B．0.25C．0.6 D．0.86解析：选A 在四个r值中，|－0.91|最接近1，故此时，两个变量的线性相关关系最强．2．根据如下样本数据x 345678y 4.0 2.5－0.50.5－2.0－3.0A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：选B 由表中数据画出散点图，如图．由散点图可知b<0，a>0，选B.3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B 中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C 中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D 中的结论不正确．4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：选B 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：根据样本相关系数的定义可知， 当所有样本点都在直线上时， 相关系数为1. 答案：16．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y (个)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：________．解析：∵x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60，当x ＝－4时，y ＝－2×(－4)＋60＝68.答案：687．某种产品的广告费用支出x 与销售额y 之间有如下的对应数据(单位：万元).y(万元)3040605070(1)画出散点图；(2)求回归方程；(3)据此估计广告费用支出为10万元时，销售额y的值．解：(1)作出散点图如下图．(2)由散点图可知，样本点近似地分布在一条直线附近，因此，x，y之间具有线性相关关系．由表中的数据可知，x－＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y－＝15×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.所以b＝∑i＝15x i－x－y i－y－∑i＝15x i－x－2＝6.5，a＝y－－b x－＝50－6.5×5＝17.5，因此线性回归方程为y＝17.5＋6.5x.(3)x＝10时，y＝17.5＋10×6.5＝82.5(万元)．即当支出广告费用10万元时，销售额为82.5万元．8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝y－b x；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ＝y ＋20x ＝80＋20×8.5＝250, 故y ＝－20x ＋250.(2)由题意知， 工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，所以当x ＝334＝8.25时，z max ＝361.25(元)．即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．9．在钢铁碳含量对于电阻的效应研究中，得到如下数据表：碳含量x (%) 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 20 ℃时电阻(Ω)1518192122.623.626解：由已知数据得x －＝17×∑i ＝17x i ≈0.543，y －＝17×145.2≈20.74，∑i ＝17x 2i ＝2.595，∑i ＝17y 2i ＝3 094.72，∑i ＝17x i y i ＝85.45.∴b ≈85.45－7×0.543×20.742.595－7×0.5432≈12.46， a ＝20.74－12.46×0.543≈13.97.线性回归方程为y ＝13.97＋12.46x . 下面利用相关系数检验是否显著．∑i ＝17x i y i －7x － y －＝85.45－7×0.543×20.74≈6.62，∑i ＝17x 2i －7x －2＝2.595－7×(0.543)2≈0.531， ∑i ＝17y 2i －7y －2＝3 094.72－7×(20.74)2＝83.687. ∴r ＝6.620.531×83.687≈0.993.由于r 接近于1，故钢铁碳含量对电阻的效应线性相关关系显著．。
高中数学第一章统计案例1.1.2相关系数同步测控北师大版选修1-2资料
4.4
2
3
3.8
9
14.44
11.4
3
4
5.5
16
30.25
22.0
4
5
6.5
25
42.25
32.5
5
6
7.0
364942.0来自∑2025
90
140.78
112.3
∴=4,=5, (1)b==1.23, a=-b=5-1.23×4=0.08. ∴回归直线方程为y=1.23x+0.08. (2)当x=10时,y=1.23×10+0.08=12.38(万元),估计使用10年时,维修费用是 12.38万元. (3)r===0.979, x、y有很强的线性关系. 14.某工厂前10个月份的产量与生产费用如下表:
a=
-b=54.5-0.848×165.25=-85.632, ∴回归方程为y=-85.632+0.848x, r== =0.803. 答案:y=-85.632+0.848x 0.803 10.一家工厂对职工进行技能检查,收集数据如下:
零件数x/ 10 20 30 40 50 60 70 80 个
我综合 我发展
9.设8名女大学生的身高和体重数据如下:
身高 x/cm
165 165 157 170 175 165 155 170
体重 y/kg
48
57
50
54
64
61
43
59
则回归方程为______________,相关系数为______________. 解析:=1 322,=436,=218 774,=24 116, yi=72 315,=165.25,=54.5, b===0.848,
高中数学 第一章 统计案例 1.1 回归分析课件 北师大版
转速x(转/秒) 每小时生产缺损零件数点图； 解 根据表中的数据画出散点图如图．
解答
(2)如果y与x线性相关，求出线性回归方程；
解答
(3)若在实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个， 那么，机器的运转速度应控制在什么范围？ 解 令0.73x－0.875≤10，解得x<14.9≈15， 故机器的运转速度应控制在15转/秒内.
n
n
n
②计算： x ， y ， x2i ， y2i ， xiyi.
i＝1 i＝1 i＝1
③代入公式求出y＝bx＋a中参数b，a的值.
④写出线性回归方程并对实际问题作出估计.
(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才
有实际意义，否则求出的回归方程毫无意义.
跟踪训练2 已知某地区4～10岁女孩各自的平均身高数据如下：
x
35
40
45
50
y
56
41
28
11
(1)画出散点图，并判断y与x是否具有线性相关关系；
解 散点图如图所示，从图中可以看出这
些点大致分布在一条直线附近，因此两个
变量线性相关.
解答
(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程；
解答
(3)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(2)写出P关于x的函数关系 式，并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润. 解 依题意，有P＝(161.5－3x)(x－30) ＝－3x2＋251.5x－4 845 ＝－3x－2561.52＋25112.52－4 845. 所以当 x＝2561.5≈42 时，P 有最大值，约为 426 元. 即预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润.
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高中数学 第一章 统计案例 1.1.1 回归分析同步测控 北师大版选修1-2我夯基 我达标1.下列两变量中具有相关关系的是( )A.正方体的体积与边长B.人的身高与体重C.匀速行驶车辆的行驶距离与时间D.球的半径与体积解析:两个变量之间的关系出现不确定性为相关关系,A 、C 、D 为确定的关系. 答案:B2.设有一个回归方程为y=5+3x,变量x 增加1个单位时( )A.y 平均增加5个单位B.y 平均减少5个单位C.y 平均增加3个单位D.y 平均减少3个单位 解析:x 增加1个单位,y 平均增加3个单位. 答案:C3.由一组数据(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、…、(x n ,y n )得到的回归直线方程为y=a+bx,则下列说法正确的是… ( )A.直线y=a+bx 必过点(x ,y )B.直线y=a+bx 至少经过点(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、…、(x n ,y n )中的一点C.直线y=a+bx 是由(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、…、(x n ,y n )中的两点确定的D.(x 1,y 1)、(x 2,y 2)、…、(x n ,y n )这n 个点到直线y=a+bx 的距离之和最小 解析:∵a=y -b x ,即y =a+b x , ∴直线y=a+bx 过点(x ,y ).答案:A4.某工厂为预测某产品的回收率y,需要研究它和原料有效成份含量x 之间的相关关系,现取8对观察值.计算得∑=81i ix=52,∑=81i i y =228,∑=812i ix=478,∑=81i ii yx =1849,则y 对x 的回归方程为( )A.y=11.47+2.62xB.y=-11.47+2.62xC.y=2.62+11.47xD.y=11.47-2.62x 解析:设y=a+bx,由已知x =213852==6.5,y =2578228==28.5, b=281281)(88x xyx yx i ii ii--∑∑===25.684785.285.681849⨯-⨯⨯-=2.62,a=y -b x =28.5-2.62×6.5=11.47,∴y=11.47+2.62x. 答案:A5.下列有关回归方程的说法,正确的个数为( )①回归方程适用于任何样本 ②回归方程一般具有时间性③样本取值的范围不影响回归方程的范围 ④回归方程的预报值就是预报变量的精确值 ⑤预报值是预报变量可能取值的平均值A.0B.1C.2D.3 解析:关于回归方程的说法,正确的是②⑤. 答案:C6.两个变量满足下列关系:两变量回归直线方程为( )A.y=0.56x+997.4B.y=0.63x-231.2C.y=50.2x+501.4D.y=60.4x+400.7 解析:∑=51i ix=100,∑=51i iy =5 043,∑=51i iiyx =101 000,∑=512i ix=2 250,x =20,y =1 008.6,b=∑∑==--512251)(55i ii iix xyx yx =220522506.1008205101000⨯-⨯⨯-=0.56, a=y -b x =1 008.6-0.56×20=997.4.答案:A7.用身高x(cm)预报体重y(kg)满足y=0.849x-85.712,若要找到41.638 kg 的人,则身高为______________cm.解析:令y=41.638,得x=150 cm. 答案:1508.对20艘轮船的研究中,船的吨位区间从192 t 到3 246 t,船员的数目从5人到32人,船员人数关于船的吨位的回归分析得到如下结果: 船员人数=9.5+0.006 2×吨位.(1)假定两艘船吨位相差1 000 t,船员平均人数相差______________;(2)对于最小的船估计的船员数是____________,对于最大的船估计的船员数是____________.解析:吨位每增加1,船员人数增加0.006 2,吨位增加1 000, 船员人数增加6.2,当x=192时,y=10.69,当x=3 246时,y=29.6. 答案:(1)6.2人 (2)10.7 29.6解析:设线性回归方程为y=a+bx,∑=51i ix=35,∑=51i i y =208,x =7,y =41.6,∑=512i ix=349,∑=51i ii yx =1 697,则b=2251251753496.41751697)(55⨯-⨯⨯-=--∑∑==x xyx yx i ii ii≈2.32.a=y -b x =41.6-2.32×7=25.36.∴y=25.36+2.32x. 令y=60,得x=15. 答案:1.5万元10.在两个变量的回归分析中,作散点图的目的是____________________________. 答案:(1)判断两变量是否线性相关; (2)判断两变量更近似于什么函数关系我综合 我发展求回归方程.解析:可作散点图,观察x 、y 的关系满足线性关系,代入公式求方程. 解:作散点图,可知y 与x 有线性关系,设为y=a+bx, 则x =530=6,y =51052=210.4, ∑=512I ix=220,∑=51I ixy i =7 790,b=2512251652204.210657790)(55⨯-⨯⨯-=--∑∑==i i i iix x yx yx =36.95,a=y -b x =210.4-36.95×6=-11.3,∴回归方程为y=-11.3+36.95x.12.为研究重量x(单位:g)对弹簧长度y(单位:cm)的影响,对承载不同重量的6根弹簧进行测量,数据如下表:(1)画出散点图;(2)如果散点图中的各点大致分布在一条直线的附近,求y 与x 之间的回归直线方程. 解析:作出散点图,可看出各点在一直线附近,x 、y 满足线性关系,代入公式求回归方程. 解:(1)如下图所示.(2)从散点图看,这是一个属于线性回归模型的问题.x =61(5+10+…+30)=17.5, y =61(7.25+8.12+…+11.8)≈9.487,∑=612i ix =52+…+302=2 275, ∑=61i ii yx =5×7.25+…+30×11.8=1 076.2,计算得b≈0.183,a≈6.283.所求回归方程为y=6.283+0.183x.13.假设授课天数和分数是线性相关的,10个不同地方的初中生分数如下表:试求分数y 与授课天数x 之间的回归直线方程.解析:观察,可知x 、y 之间满足线性关系,代入计算. 解:x =203,∑=10121i x=416 824，y =64.5,∑=101i ii yx =132 418，∴b=210122101203104168245.6420310132418)(1010⨯-⨯⨯-=--∑∑==i i i iix x yx yx =0.313 3,a=y -b x =64.5-0.313 3×203=0.900 1,∴回归直线方程为y=0.313 3x+0.900 1.我创新 我超越14.一项调查表明对9个不同的x 值,测得y 的9个对应值如下表所示:解析:作出散点图观察满足线性关系,列表代入求值. 解:散点图如下图所示.由图知所有数据点接近直线排列,因此认为y 对x 有线性回归关系是成立的.根据已知数据列∴x =3.366,y =10.122 2.b=∑∑==--912291)(99i ii iix xyx yx =2366.3911.1151222.10366.3909.345⨯-⨯⨯-≈2.93, a=y -b x =0.260 4,∴所求的回归直线方程为y=0.260 4+2.93x.15.一种机器可以按各种不同速度运转,其生产物件中有一些含有缺点,每小时生产有缺点物件的多少随机器运转速度而变化,用x 表示转速(单位:r/s),用y 表示每小时生产的有缺点物件个数,现观测得到(x,y)的4组值为(8,5),(12,8),(14,9),(16,11). (1)假设y 与x 之间存在线性相关关系,求y 与x 之间的回归直线方程;(2)若实际生产中所容许的每小时最大有缺点物件数为10,则机器的速度不得超过多少?(精确到1)解析:利用公式求出回归方程,并解不等式. 解:(1)设回归方程为y=a+bx,则x =41614128+++=12.5,y =411985+++=8.25,∑=412i ix=660,∑=41i ii yx =438,b=70515.12466025.85.124438)(442241241=⨯-⨯⨯-=--∑∑==x xyx yx i ii ii, a=y -b x =8.257051-×12.5=76-, ∴所求回归方程为y=76-+7051x.(2)由y≤10,即76-+7051x≤10,得x≤51760≈15,即机器速度不得超过15 r/s.。