四川省泸州市2016届高三第三次教学质量诊断性考试数学(文)
四川省泸州市高2016级第二次教学质量诊断性考试数学文科试题(解析版)
a四川省泸州市高2016级第二次教学质量诊断性考试数学文科试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1,2，3}，A={A||A|≤2}，则A∩A=()A. {1}B. {1,2}C. {1,3}D. {1,2，3}【答案】B【解析】解：∵集合A={1,2，3}，A={A||A|≤2}，∴A∩A={1,2}．故选：B．直接利用交集的运算性质求解得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.i为虚数单位，若复数(1+AA)(1+A)是纯虚数，则实数A=()A. −1B. 0C. 1D. 0或1【答案】C【解析】解：∵(1+AA)(1+A)=(1−A)+(1+A)A是纯虚数，1−A=0，即A=1．∴{1+A≠0故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3.某体校甲、乙两个运动队各有6名编号为1，2，3，4，5，6的队员进行实弹射击比赛，每人射击1次，击中的环数如表：甲队677877乙队6767972A. 16B. 13C. 12D. 1【答案】B【解析】解：甲组数据为：6，7，7，8，7，7；乙组数据为：6，7，6，7，9，7；所以甲组数据波动较小，方差也较小；计算它的平均数为A=7，方差为A2=16×[(−1)2+0+0+12+0+0]=13．故选：B．根据两组数据的波动性大小判断方差大小，再计算平均数与方差的值．本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．4.某班共有50名学生，其数学科学业水平考试成绩记作A A(A=1,2，3，…，50)，若成绩不低于60分为合格，则如图所示的程序框图的功能是()A. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格人数B. 求该班学生数学科学业水平考试的不合格率C. 求该班学生数学科学业水平考试的合格人数D. 求该班学生数学科学业水平考试的合格率【答案】D【解析】解：执行程序框图，可知其功能为输入50个学生成绩A A，(1≤A≤60) k表示该班学生数学科成绩合格的人数，i表示全班总人数，输出的AA为该班学生数学科学业水平考试的合格率．故选：D．执行程序框图，可知其功能为用k表示成绩合格的人数，i表示全班总人数，即可得解．本题主要考察了程序框图和算法，属于基础题．5.已知一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的等腰三角形，腰长为3，底边长为2，俯视图是一个半径为1的圆(如图)，则这个几何体的内切球的体积为()A. √2A3B. √3A3C. 4A3D. 2A【答案】A【解析】解：由三视图知该几何体是圆锥，且底面圆的半径为1，母线长为3；其正视图为等腰三角形，且内切圆的半径满足1 2A(3+3+2)=12⋅2⋅√32−12，解得A=√22；∴几何体的内切球体积为A=4A3×(√22)3=√2A3．故选：A．由三视图知该几何体是圆锥，结合图中数据求出圆锥内切球的半径，再计算内切球的体积．本题考查了由三视图求几何体的内切球体积的应用问题，是基础题．6.若函数A(A)=2sin(2A+A)(|A|<A)的图象向左平移A个单位长度后关于y轴对称，则函数A(A)在区间[0,A2]上的最小值为()A. −√3B. −1C. 1D. √3【答案】A【解析】解：函数A(A)=2sin(2A+A)(|A|<A2)的图象向左平移A12个单位长度后图象所对应解析式为：A(A)=2sin[2(A+A12)+A]=2sin(2A+A6+A)，由A(A)关于y轴对称，则A6+A=AA+A2，A=AA+A3，A∈A，又|A|<A2，所以A=A3，即A(A)=2sin(2A+A3)，当A∈[0,A2]时，所以2A+A3∈[A3,4A3]，A(A)AAA=A(4A3)=−√3，故选：A．由三角函数图象的性质、平移变换得：A(A)=2sin[2(A+A12)+A]=2sin(2A+A 6+A)，由A(A)关于y轴对称，则A6+A=AA+A2，A=AA+A3，A∈A，又|A|<A2，所以A=A3，由三角函数在区间上的最值得：当A∈[0,A2]时，所以2A+A3∈[A3,4A3]，A(A)AAA=A(4A3)=−√3，得解本题考查了三角函数图象的性质、平移变换及三角函数在区间上的最值，属中档题．7.若函数A(A)=√A−A A(A>0,A≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则log A711+log A1114=()A. −2B. −1C. 0D. 1【答案】B【解析】解：因为A (A )为[0,1]上的递减函数， 所以A (0)=1，A (1)=0，即{√A −1=1√A −A =0，解得A =2 ∴log 2711+log 2 1114=log 2(711×1114)=−1故选：B ．根据函数A (A )的单调性得A (0)=1，A (1)=0，解得A =1，再代入原式可得． 本题考查了函数的值域，属中档题．8. 在△AAA 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A cos A +A cos A =4sin A ，则△AAA 的外接圆面积为( )A. 16AB. 8AC. 4AD. 2A【答案】C【解析】解：设△AAA 的外接圆半径为R ， ∵A cos A +A cos A =4sin A ，∴由余弦定理可得：A ×A2+A 2−A 22AA+A ×A 2+A 2−A 22AA=2A 22A=A =4sin A ，∴2A =Asin A =4，解得：A =2，∴△AAA 的外接圆面积为A =AA 2=4A ． 故选：C ．设△AAA 的外接圆半径为R ，由余弦定理化简已知可得A =4sin A ，利用正弦定理可求2A =Asin A =4，解得A =2，即可得解△AAA 的外接圆面积． 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．9. 若正实数x ，y 满足A +A =1，则4A +1+1A的最小值为( ) A. 447B. 275C. 143D. 92【答案】D【解析】解：∵A >0，A >0，A +A =1， ∴A +1+A =2，4A +1+1A=A +1+A 2⋅(4A +1+1A)=12(1+4+4AA +1+A +1A)≥12(5+2√4)=92(当接仅当A =13，A =23取等号)，故选：D．将A+A=1变成A+1+A=2，将原式4A+1+1A=A+1+A2⋅(4A+1+1A)=12(1+4+4A A+1+A+1A)后，用基本不等式可得．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．10.在正方体AAAA−A1A1A1A1中，点M，N分别是线段AA1和A1A上不重合的两个动点，则下列结论正确的是()A. AA1⊥AAB. A1A//AAC. 平面AAA//平面A1AA1D. 平面AAA⊥平面A1A1A1A1【答案】A【解析】解：在正方体中，易证AA1⊥平面A1AAA1，又AA⊂平面A1AAA1，∴AA1⊥AA，故选：A．利用线面垂直的判定方法易证AA1⊥平面A1AAA1，在用线面垂直的性质定理可得AA1⊥AA．此题考查了线面垂直的判定和性质，属容易题．11.已知A(3,2)，若点P是抛物线A2=8A上任意一点，点Q是圆(A−2)2+A2=1上任意一点，则|AA|+|AA|的最小值为()A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】解：抛物线A2=8A的焦点A(2,0)，准线l：A=−2，圆(A−2)2+A2=1的圆心为A(2,0)，半径A=1，过点P作PB垂直准线l，垂足为B，由抛物线的定义可知|AA|=AA|，则|AA|+|AA|≥|AA|+|AA|−A=|AA|+|AA|−1，∴当A、P、B三点共线时|AA|+|AA|取最小值，∴|AA|+|AA|≥|AA|+|AA|−1≥(3+2)−1=4．即有|AA|+|AA|取得最小值4．故选：B．求得抛物线的准线方程和焦点坐标，过点P作PB垂直准线l，垂足为B，由抛物线的定义和当A、P、B三点共线时|AA|+|AA|取最小值，结合图象即可求出．本题考查抛物线上的动点和圆上的动点间的距离的最小值，注意运用抛物线的定义和圆的性质，考查转化能力，计算能力，属于中档题．12.设函数A(A)是定义在(0,A2)上的函数，是函数A(A)的导函数，若，A(A6)=1，(A为自然对数的底数)，则不等式A(A)<2sin A 的解集是()A. (0,A6) B. (0,12) C. (A6,A2) D. (12,A2)【答案】A【解析】解：令A(A)=A(A)sin A，A∈(0,A2)，则A′(A)=A′(A)sin A−A(A)cos Asin2A>0，故A(A)在(0,A2)递增，而A(A6)=A(A6)sin A6=2，故A(A)<2sin A，即A(A)<A(A6)，故0<A<A，故选：A．令A(A)=A(A)sin A，A∈(0,A2)，求出函数的导数，根据函数的单调性求出x的范围即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若sin A=4，则cos2A=______．【答案】−725【解析】解：∵sin A=4，则cos2A=1−2sin2A=1−2×16=−7，．故答案为：−725代入运算求得结果．直接利用利用二倍角的余弦公式cos2A=1−2sin2A，把sin A=45本题主要考查利用二倍角的余弦公式化简求值，属于基础题．14.已知A∈A，向量A⃗⃗⃗⃗ =(A−1,1)，A⃗⃗⃗⃗ =(A,−2)，且A⃗⃗⃗⃗ ⊥A⃗⃗⃗⃗ ，则A=______．【答案】−1或2【解析】解：∵向量A⃗⃗⃗⃗ =(A−1,1)，A⃗⃗⃗⃗ =(A,−2)，且A⃗⃗⃗⃗ ⊥A⃗⃗⃗⃗ ，∴A⃗⃗⃗⃗ ⋅A⃗⃗⃗⃗ =A(A−1)−2=0则A=−1或2故答案为：−1或2．由已知及向量的数量积的性质可知A⃗⃗⃗⃗ ⋅A⃗⃗⃗⃗ =0，从而可求．本题主要考查了向量的数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题．15.若关于x的方程3|A−2|+A cos(2−A)=0只有一个实数解，则实数k的值为______．【答案】−1【解析】解：由3|A−2|+A cos(2−A)=0可得3|A−2|=−A cos(2−A)，∴函数A=3|A−2|与A=−A cos(2−A)的函数图象只有一个交点．又两函数的对称轴均为直线A=2，∴两函数的交点必在对称轴上，即为(2,1)，∴−A=1，即A=−1．故答案为：−1．根据函数A=3|A−2|与A=−A cos(2−A)的对称性和交点个数得出交点坐标，从而得出k的值．本题考查了函数零点与函数图象的关系，属于中档题．16. 已知双曲线A 2A2−A 2A2=1(A >0,A >0)右支上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，双曲线的右焦点为F ，满足AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且∠AAA =A6，则双曲线的离心率e 的值是______．【答案】1+√3【解析】解：AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得AA ⊥AA ， 在AA △AAA 中，|AA |=A ， ∴|AA |=2A ，在直角三角形ABF 中，∠AAA =A6，可得|AA |=2A sin A6=A ，|AA |=2A cos A 6=√3A ，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形， ，∴A =AA =2√3−1=√3+1．故答案为：√3+1．运用三角函数的定义可得|AA |=2A sin A6=A ，|AA |=2A cos A6=√3A ，取左焦点，连接，，可得四边形为矩形，由双曲线的定义和矩形的性质，可得√3A −A =2A ，由离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和锐角三角函数的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17. 已知等差数列{A A }是递增数列，且A 1A 5=9，A 2+A 4=10．(1)求数列{A A }的通项公式； (2)若A A =1AA ⋅A A +1(A ∈A ∗)，求数列{A A }的前n 项和A A ．【答案】解：(1)设首项为A 1，公差为d 的等差数列{A A }是递增数列， 且A 1A 5=9，A 2+A 4=10． 则：{A 1(A 1+4A )=9A 1+A +A 1+3A =10，解得：A 1=1或9，A 5=9或1， 由于数列为递增数列， 则：A 1=1，A 5=9． 故：A =2则：A A=1+2(A−1)=2A−1．(2)由于A A=2A−1，则：A A=1A A⋅A A+1=1(2A−1)(2A+1)，=14A2−1=1(2A+1)(2A−1)，=12(12A−1−12A+1)．所以：A A=A1+A2+⋯+A A，=12[1−13+13−15+⋯+12A−1−12A+1]，=12(1−12A+1)，=A2A+1．【解析】(1)直接利用递推关系式求出数列的通项公式．(2)利用(1)的结论，进一步利用裂项相消法求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.今年年初，习近平在《告台湾同胞书》发表40周年纪念会上的讲话中说道：“我们要积极推进两岸经济合作制度化打造两岸共同市场，为发展增动力，为合作添活力，壮大中华民族经济两岸要应通尽通，提升经贸合作畅通、基础设施联通、能源资源互通、行业标准共通，可以率先实现金门、马祖同福建沿海地区通水、通电、通气、通桥.要推动两岸文化教育、医疗卫生合作，社会保障和公共资源共享，支持两岸邻近或条件相当地区基本公共服务均等化、普惠化、便捷化”某外贸企业积极响应习主席的号召，在春节前夕特地从台湾进口优质大米向国内100家大型农贸市场提供货源，据统计，每家大型农贸市场的年平均销售量(单位：吨)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)分组的频率分布直方图如图．(1)求直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数；(2)在年平均销售量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300)的四组大型农贸市场中，用分层抽样的方法抽取11家大型农贸市场，求年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取多少家？(3)在(2)的条件下，再从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，求恰有1家在[240,260)组的概率．【答案】解：(1)由直方图的性质得：(0.002+0.0095+0.011+0.0125+A +0.005+0.0025)×20=1， 解方程得A =0.0075， ∴直方图中A =0.0075． 年平均销售量的众数是220+2402=230，∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5， ∴年平均销售量的中位数在[220,240)内，设中位数为a ，则：(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(220)=0.5， 解得A =224，∴年平均销售量的中位数为224．(2)年平均销售量为[220,240)的农贸市场有：0.0125×20×100=25， 年平均销售量为[240,260)的农贸市场有：0.0075×20×100=15， 年平均销售量为[260,280)的农贸市场有：0.0025×20×100=5， ∴抽取比例为：1125+15+10+5=15，∴年平均销售量在[240,260)的农贸市场中应抽取15×15=3家， 年平均销售量在[260,280)的农贸市场中应抽取10×15=2家，年平均销售量在[280,300)的农贸市场中应抽取5×15=1家，故年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．(3)由(2)知年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家．设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动， 基本事件总数A =A 62=15，恰有1家在[240,260)组包含的基本事件的个数A=A31A31=9，∴恰有1家在[240,260)组的概率A=AA=915=35．【解析】(1)由直方图的性质能求出直方图中x的值和年平均销售量的众数和中位数．(2)年平均销售量为[220,240)的农贸市场有25，年平均销售量为[240,260)的农贸市场有15，年平均销售量为[260,280)的农贸市场有5，由此利用分层抽样能求出年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取多少家．(3)年平均销售量在[240,260)，[260,280)[280，300)的农贸市场中应各抽取3家，2家，1家.设从这三组中抽取的农贸市场中随机抽取2家参加国台办的宣传交流活动，基本事件总数A=A62=15，恰有1家在[240,260)组包含的基本事件的个数A=A31A31=9，由此能求出恰有1家在[240,260)组的概率．本题考查频率、众数、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.如图，在三棱柱AAA−A1A1A1中，四边形AA1A1A是长方形，A1A1⊥AA，AA1=AA，AA1∩A1A=A，AA1∩A1A=A，连接EF．(1)证明：平面A1AA⊥平面AA1A1；(2)若AA=3，A11A=4√3，∠A1AA=2A3，D是线段A1A上的一点，且A1A=4AA，试求A A1−AAAA A−AAA的值．【答案】证明：(1)∵在三棱柱AAA−A1A1A1中，AA//A1A1，A1A1⊥AA，∴A1A1⊥A1A1，又在长方形AAA1A1中，A1A1⊥AA1，A1A1∩AA1=A1，∴A1A1⊥平面AA1A1A，∵四边形AA1A1A与四边形AA1A1A均是平行四边形，第8页，共17页且AA1∩A1A=A，AA1∩A1A=A，连结EF，∴A为A1A的中点，F为A1A的中点，EF为△A1AA的中位线，∴AA//AA，又AA//A1A1，∴AA//A1A1，又A1A1⊥平面AA1A1A，∴AA⊥平面AA1A1A，AA1⊂平面AA1A1A，∴AA⊥AA1，又在平行四边形A1AAA1中，AA1=A1A1，∴平行四边形A1AAA1是菱形，由菱形的性质得对角线A1A⊥AA1，AA∩A1A=A，∴AA1⊥平面A1AA，又AA1⊂平面AA1A1，∴平面A1AA⊥平面AA1A1．解：(2)由(1)知AA1⊥平面A1AA，A1A⊥平面AA1A1，∴AA的长为三棱锥A−AAA的高，A1A的长为三棱锥A1−AAA的高，∵在菱形AAA1A1中，A1A=4√3，∠A1AA=2A3，∴在△A1AA中，由余弦定理得AA=AA1=AA1=4，∴A1A=12A1A=2√3，AA=12AA1=12AA=2，又在AA△A1AA中，A△A1AA =12×4√3×3=6√3，∵A1A=4AA，∴A△AAA=1A△A1AA=3√3，∴A A−AAA=13×3√32×2=√3，又在AA△AA1A1中，A△AA1A1=1×4×3=6，又∵A，F分别为AA1，AA1中点，∴A△AAA=14A△AA1A1=32，∴A A1−AAA =13×32×2√3=√3，∴A A1−AAAA A−AAA =√3√3=1．【解析】(1)推导出A1A1⊥A1A1，A1A1⊥AA1，从而A1A1⊥平面AA1A1A，连结EF，推导出AA//AA，从而AA//A1A1，推导出AA⊥平面AA1A1A，从而AA⊥AA1，进而平行四边形A1AAA1是菱形，由菱形的性质得对角线A1A⊥AA1，从而AA1⊥平面A1AA，由此能证明平面A1AA⊥平面AA1A1．(2)AA1⊥平面A1AA，A1A⊥平面AA1A1，得AE的长为三棱锥A−AAA的高，A1A的长为三棱锥A1−AAA的高，由余弦定理得AA=AA1=AA1=4，从而第8页，共17页A 1A =12A 1A =2√3，AA =12AA 1=12AA =2，推导出A △AAA =14A △A 1AA =3√32，由此能求出A A 1−AAAA −AAA 的值． 本题考查空间位置关系、锥体的体积公式及其应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20. 已知，椭圆C 过点A (32,52)，两个焦点为(0,2)，(0,−2)，E ，F 是椭圆C 上的两个动点，直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数． (1)求椭圆C 的方程；(2)求证：直线EF 的斜率为定值．【答案】解：(1)由题意A =2，可设椭圆方程为A 2A 2+A 2A 2=1，∴{254A 2+94A 2=1A 2=A 2+4，解得A 2=10，A 2=6，∴椭圆的方程为A 210+A26=1， 证明(2)设A (A 1,A 1)，A (A 2,A 2)，设直线AE 的方程为A =A (A −32)+52，代入A 210+A 2=1得(3A 2+5)A 2+3A (5−3A )A +3(−32A +32)2−30=0，∴A 1=3A (3A −5)3A 2+5−32， ∴A 1=AA 1−32A +52，又直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，再上式中以−A 代k ，可得A 2=9A 2+30A −156A 2+10−32， ∴A 2=AA 2−32A +52， ∴直线EF 的斜率A =A 2−A 1A2−A 1=−A (A 1+A 2)+3AA 2−A 1=1【解析】(1)由题意A =2，可设椭圆方程为A 22+A 22=1，可得{254A 2+94A 2=1A 2=A 2+4，解得即可，(2)设A (A 1,A 1)，A (A 2,A 2)，设直线AE 的方程为A =A (A −32)+52，代入A210+A 26=1，求出点E 的坐标，再将k 换为−A ，求出F 的坐标，即可求出直线的斜率本题考查了椭圆的方程，直线与椭圆的关系，弦的斜率问题等基础知识，考查了运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，应用意识．21.已知A(A)=A(ln A)2+ln AA．(1)求A(A)在(1,0)处的切线方程；(2)求证：当A≥1时，A(A)+1≥0．【答案】解：(1)A′(A)=(2A ln A+1)−[A(ln A)2+ln A]A2，故A′(1)=1，故切线方程是：A−A−1=0；(2)令A(A)=A−ln A−1，A′(A)=1−1A，令A′(A)>0，解得：A>1，令A′(A)<0，解得：0<A<1，故A(A)在(0,1)递减，在(1,+∞)，故A(A)极小值=A(1)=0，故A≥ln A+1，∵A≥1，∴A(A)+1=A(ln A)2+ln A+AA ≥(ln A)2+ln A+AA≥(ln A)2+ln A+ln A+1A ≥(ln A+1)2A≥0，故A≥1时，A(A)+1≥0．【解析】(1)求出函数的导数，计算A′(1)的值，求出切线方程即可；(2)求出A≥ln A+1，由放缩法求出A(A)+1≥0即可．本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．22.在平面直角坐标系xOy中曲线A1的参数方程为{A=2AA=2A2(其中t为参数)以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线A2的极坐标方程为A sin(A−A4)=−√22．(1)把曲线A1的方程化为普通方程，A2的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线A1，A2相交于A，B两点，AB的中点为P，过点P作曲线A2的垂线交曲线A1于E，F两点，求|AA||AA|⋅|AA|．【答案】解：(1)曲线A1的参数方程为{A=2AA=2A2(其中t为参数)，转换为直角坐标方程为：A2=2A．曲线A2的极坐标方程为A sin(A−A4)=−√22．转换为直角坐标方程为：A−A−1=0．(2)设A(A1,A1)，A(A2,A2)，且中点A(A0,A0)，联立方程为：{A2=2AA−A−1=0，整理得：A2−4A+1=0所以：A1+A2=4，A1A2=1，由于：A0=A1+A22=2，A0=1．所以线段AB的中垂线参数方程为{A=2−√22AA=1+√22A(A为参数)，代入A2=2A，得到：A2+4√2A−6=0，故：A1+A2=−4√2，A1⋅A2=−6，所以：AA=|A1−A2|=√(A1+A2)2−4A1A2=2√14，|AA||AA|=|A1⋅A2|=6故：|AA||AA|⋅|AA|=2√146=√143．【解析】(1)直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．(2)利用(1)的结论，进一步利用点到直线的距离公式和一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数A(A)=|A−A|，A(A)=|A+A|，其中A>0，A>0．(1)若函数A(A)的图象关于直线A=1对称，且A(A)=A(A)+|2A−3|，求不等式A(A)>2的解集．(2)若函数A(A)=A(A)+A(A)的最小值为2，求1A +1A的最小值及其相应的m和n的值．【答案】解：(1)函数A(A)的图象关于直线A=1对称，∴A=1，∴A(A)=A(A)+|2A−3|=|A−1|+|2A−3|，①当A≤1时，(A)=3−2A+1−A=4−3A>2，解得A<23，②当1<A<32时，A(A)=3−2A+A−1=2−A>2，此时不等式无解，第8页，共17页②当A≥32时，A(A)=2A−3+A−1=3A−4>2，解得A>2，综上所述不等式A(A)>2的解集为(−∞,23)∪(2,+∞)．(2)∵A(A)=A(A)+A(A)=|A−A|+|A+A|≥|A−A−(A+A)|=|A+ A|=A+A，又A(A)=A(A)+A(A)的最小值为2，∴A+A=2，∴1 A +1A=12(1A+1A)(A+A)=12(2+AA+AA)≥12(2+2√AA⋅AA)=2，当且仅当A=A=1时取等号，故1A +1A的最小值为2，其相应的A=A=1．【解析】(1)先求出A=1，再分类讨论，即可求出不等式的解集，(2)根据绝对值三角形不等式即可求出A+A=2，再根据基本不等式即可求出本题考查了绝对值函数的对称轴，简单绝对值不等式的解法绝对值不等式的性质和基本不等式的应用，考察了运算求解能力，推理论证能力，转化与化归思想．。
四川省泸州市2016-2017学年高三数学一诊试卷(文科)Word版含解析
四川省泸州市2016-2017学年高三一诊试卷（文科数学）一、选择题（每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣x≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（）A．∅B．{0} C．{0，1} D．{0，1，2}2．复数z=（i是虚数单位），则|z|=（）A．1 B．C．D．23．函数f（x）=sin（x+）图象的一条对称轴方程为（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=π4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（）A．B．C．D．5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A．600 B．450 C．300 D．1506．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A．108 B．72 C．36 D．97．，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°8．实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）A ．[1，25]B ．[4，25]C ．[1，4]D ．[5，24]9．下列命题正确的是（ ）A ．“b 2=ac”是“a，b ，c 成等比数列”的充要条件B ．“∀x ∈R ，x 2＞0”的否定是“∃x 0∈R ，x 02＞0”C ．“若a=﹣4，则函数f （x ）=ax 2+4x ﹣1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题D ．“函数f （x ）=lnx 2与函数g （x ）=的图象相同”10．已知关于x 的方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0（a ，b ∈R ）的两根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．计算2lg2+lg25+（）0=______．12．设a 、b 为实数，且a+b=1，则2a +2b 的最小值为______．13．在棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，则点B 到平面A 1B 1CD 的距离是______．14．设向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，则cos2x=______．15．设数列{a n }，{b n }，{a n +b n }都是等比数列，且满足a 1=b 1=1，a 2=2，则数列{a n +b n }的前n 项和S n =______．三、解答题（共6个小题，共75分）16．信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间（1）求上表中m 、n 的值；（2）求该校学生上课时间使用手机的概率．17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，面BB 1C 1C 是边长为2的正方形，点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H 是BC 1的中点，且A 1H=，G 是CC 1的中点．（1）求证：BB 1⊥A 1G ；（2）求C 到平面A 1B 1C 1的距离．18．函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的导函数的图象如图所示：（1）求a ，b 的值并写出f （x ）的单调区间；（2）函数y=f （x ）有三个零点，求c 的取值范围．19．在数列{a n }中，满足点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，且a 1=3．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．20．设函数f （x ）=x 2+alnx+1（x ＞0）．（1）若f （3）=5，求f （）的值；（2）若x ＞0时，f （x ）≥1成立，求a 的取值范围．21．如图，有一段长为18米的屏风ABCD （其中AB=BC=CD=6米），靠墙l 围成一个四边形，设∠DAB=α．（1）当α=60°，且BC ⊥CD 时，求AD 的长；（2）当BC ∥l ，且AD ＞BC 时，求所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．四川省泸州市2016-2017学年高三一诊试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x 2﹣x ≤0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ）A ．∅B ．{0}C ．{0，1}D ．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A ，再求A∩B．【解答】解：集合A={x|x 2﹣x ≤0}={x|x （x ﹣1）≤0}={x|0≤x ≤1}=[0，1]B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故选：C ．2．复数z=（i 是虚数单位），则|z|=（ ）A ．1B ．C ．D ．2【考点】复数求模．【分析】分别求出分子、分母的模，即可得出结论．【解答】解：∵复数z=，∴|z|=||==， 故选：B ．3．函数f （x ）=sin （x+）图象的一条对称轴方程为（ ）A ．x=﹣B ．x=C ．x=D ．x=π 【考点】正弦函数的对称性．【分析】由条件利用余弦函数的图象的对称性，求得f （x ）的图象的一条对称轴方程．【解答】解：对于函数f （x ）=sin （x+），令x+=k π+，求得 x=k π+，k ∈Z ，可得它的图象的一条对称轴为 x=， 故选：B ．4．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S=（ ）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n＞5时退出循环，输出S的值．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=1，n=1不满足条件n＞5，S=1+，n=2不满足条件n＞5，S=1++，n=3不满足条件n＞5，S=1+++，n=4不满足条件n＞5，S=1++++，n=5不满足条件n＞5，S=1+++++，n=6满足条件n＞5，退出循环，输出S的值．由于S=1+++++=．故选：D．5．某校高三年级共1500人，在某次数学测验后分析学生试卷情况，需从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，则该次测验中90分以下的人数是（）A．600 B．450 C．300 D．150【考点】分层抽样方法．【分析】根据从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，即可得出结论．【解答】解：∵从中抽取一个容量为500的样本，按分层抽样，120分以上抽取100人，90～120分抽取250人，∴该次测验中90分以下抽取的人数是500﹣100﹣250=150．∴该次测验中90分以下的人数是150．即抽样比k=，则该次测验中90分以下的人数是1500×=450．故选：B．6．若某四面体的三视图是全等的等腰直角三角形，且其直角边的长为6，则该四面体的体积是（）A．108 B．72 C．36 D．9【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】四面体为边长为6的正方体沿着共点三面的对角线截出的三棱锥．【解答】解：四面体的底面为直角边为6的等腰直角三角形，高为6．∴四面体的体积V==36．故选C．7．，为单位向量，且|+2|=，则向量，夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】对|+2|=两边平方，计算出数量积，代入夹角公式计算．【解答】解：∵|+2|=，∴（+2）2=7，即+4+4=7，∵==1，∴=，∴cos＜＞==，∴向量，夹角为60°．故选：C．8．实数x、y满足，这Z=3x+4y，则Z的取值范围是（）A．[1，25] B．[4，25] C．[1，4] D．[5，24]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，﹣2），联立，解得B（3，4），化目标函数Z=3x+4y为y=．由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最小，Z有最小值为1；当直线y=过B时，直线在y轴上的截距最大，Z有最小值为25．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件B．“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2＞0”C．“若a=﹣4，则函数f（x）=ax2+4x﹣1只有唯一一个零点”的逆命题为真命题D．“函数f（x）=lnx2与函数g（x）=的图象相同”【考点】命题的真假判断与应用．【分析】举例说明A错误；直接写出全称命题的否定判断B；举例说明C错误；写出分段函数说明D正确．【解答】解：A错误，如a=0，b=0，c=1满足b2=ac，但a，b，c不成等比数列；B错误，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x0∈R，x2≤0”C错误，“若a=﹣4，则函数f（x）=ax2+4x﹣1只有唯一一个零点”的逆命题是：“若函数f（x）=ax2+4x ﹣1只有唯一一个零点，则a=﹣4”，为假命题，比如a=0，f（x）=0的根是；D 正确，函数f （x ）=lnx 2是分段函数，分x ＞0和x ＜0分段可得函数g （x ）=．故选：D ．10．已知关于x 的方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0（a ，b ∈R ）的两根分别为x 1、x 2，且0＜x 1＜1＜x 2，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】简单线性规划的应用．【分析】由方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2，结合对应二次函数性质得到，然后在平面直角坐标系中，做出满足条件的可行域，分析的几何意义，然后数形结合即可得到结论．【解答】解：由程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的二次项系数为1＞0故函数f （x ）=x 2+（1+a ）x+1+a+b 图象开口方向朝上又∵方程x 2+（1+a ）x+1+a+b=0的两根满足0＜x 1＜1＜x 2则即即其对应的平面区域如下图阴影示：∵=表示阴影区域上一点与原点边线的斜率由图可知∈故答案：二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．计算2lg2+lg25+（）0= 3 ．【考点】对数的运算性质．【分析】直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可．【解答】解：2lg2+lg25+（）0=lg4+lg25+1=lg100+1=2+1=3．故答案为：3．12．设a 、b 为实数，且a+b=1，则2a +2b 的最小值为 2 ．【考点】基本不等式．【分析】因为2a 与2b 均大于0，所以直接运用基本不等式求最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴，当且仅当2a =2b ，即时“=”成立．所以2a +2b 的最小值为．故答案为．13．在棱长为2的正方体A 1B 1C 1D 1﹣ABCD 中，则点B 到平面A 1B 1CD 的距离是 ．【考点】棱柱的结构特征．【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点B 到平面A 1B 1CD 的距离．【解答】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，则B （2，2，0），D （0，0，0），A 1（2，0，2），C （0，2，0），=（2，2，0），=（2，0，2），=（0，2，0），设平面A 1B 1CD 的法向量=（x ，y ，z ），则，取x=1，得，∴点B 到平面A 1B 1CD 的距离是：d===．∴点B 到平面A 1B 1CD 的距离是．故答案为：．14．设向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，则cos2x= ．【考点】二倍角的余弦；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由条件利用两个向量平行的条件求得sinx 的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos2x 的值．【解答】解：∵向量=（3cosx ，1），=（5sinx+1，cosx ），且∥，∴3cos 2x ﹣5sinx ﹣1=0，即 3sin 2x+5sinx+2=0，求得sinx=﹣2（舍去），或 sinx=，则cos2x=1﹣2sin 2x=1﹣2×=，故答案为：．15．设数列{a n }，{b n }，{a n +b n }都是等比数列，且满足a 1=b 1=1，a 2=2，则数列{a n +b n }的前n 项和S n = 2n+1﹣2 ．【考点】等比数列的性质．【分析】由题意，数列{a n +b n }的首项为2，公比为2，利用等比数列的求和公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，数列{a n }a 1=1，a 2=2，公比为2，设数列{b n }的公比为q′，{a n +b n }的公比为q ，则2+q′=2q，4+q′2=2q 2，∴q 2﹣4q+4=0∴q=2，∴数列{a n +b n }的首项为2，公比为2，∴S n ==2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．三、解答题（共6个小题，共75分）16．信息时代，学生广泛使用手机，从某校学生中随机抽取200名，这200名学生中上课时间和不上时间（1）求上表中m 、n 的值；（2）求该校学生上课时间使用手机的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）根据表格的合计数据计算，（2）求出上课时间使用手机的学生人数，除以数据总数得出频率，利用频率代替概率．【解答】解：（1）m=98﹣23﹣55=20，n=m+17=37．（2）上课时间使用手机的人数为23+55=78．∴该校学生上课时间使用手机的概率P==0.39．17．在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，面BB 1C 1C 是边长为2的正方形，点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H 是BC 1的中点，且A 1H=，G 是CC 1的中点．（1）求证：BB 1⊥A 1G ；（2）求C 到平面A 1B 1C 1的距离．【考点】直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）连接GH ，由已知得A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，可得A 1H ⊥BB 1，由中位线和条件得BB 1⊥HG ，由线面垂直的判定定理可证结论成立；（2）取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，由题意和线面垂直的判定定理、定义得B 1C 1⊥A 1E ，求出△A 1B 1C 1的面积，由等体积法求出C 到平面A 1B 1C 1的距离．【解答】证明：（1）如图连接GH ，∵点A 1在平面BB 1C 1C 上的射影H ，∴A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，∵BB 1BC ⊂平面BB 1C 1C ，∴A 1H ⊥BB 1，∵H 是BC 1的中点，G 是CC 1的中点，∴HG ∥BC ，由∠B 1BC =90°知，BB 1⊥B C ，∴BB 1⊥HG∵A 1H∩HG =H ，∴BB 1⊥平面A 1HG ，∴BB 1⊥A 1G ；解：（2）取B 1C 1的中点E ，连接HE 、A 1E ，由∠BB 1C 1=90°得，HE ⊥B 1C 1，∵A 1H ⊥平面BB 1C 1C ，∴A 1H ⊥B 1C 1，∵A 1H∩HE =H ，∴B 1C 1⊥平面A 1HE ，∴B 1C 1⊥A 1E ，∵H 是BC 1的中点，E 是B 1C 1的中点，∴HE ∥BB 1，且HE=1，在△A 1HE 中，A 1E==2，∴=•B 1C 1AB•A 1EBC==2，设C 到平面A 1B 1C 1的距离为h ，由=V A 得，×A 1E ×=×h ×，则2×2=h ×2，解得h=，∴C 到平面A 1B 1C 1的距离是．18．函数f （x ）=x 3+ax 2+bx+c （a ，b ，c ∈R ）的导函数的图象如图所示：（1）求a ，b 的值并写出f （x ）的单调区间；（2）函数y=f （x ）有三个零点，求c 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出原函数的图象可知，f'（x ）=0的两个根为﹣1，2，根据根与系数的关系即可求出a ，b 的值，并由图象得到单调区间；（2）求出函数f （x ）的极大值和极小值，由函数f （x ）恰有三个零点，则函数的极大值大于0，且同时满足极小值小于0，联立可求c 的取值范围．【解答】解：（1）∵f （x ）=x 3+ax 2+bx+c ，∴f′（x ）=x 2+2ax+b ，∵f′（x ）=0的两个根为﹣1，2，∴，解得a=﹣，b=﹣2，由导函数的图象可知，当﹣1＜x ＜2时，f′（x ）＜0，函数单调递减，当x ＜﹣1或x ＞2时，f′（x ）＞0，函数单调递增，故函数f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减．（2）由（1）得f （x ）=x 3﹣x 2﹣2x+c ，函数f （x ）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上是增函数，在（﹣1，2）上是减函数，∴函数f （x ）的极大值为f （﹣1）=+c ，极小值为f （2）=c ﹣．而函数f （x ）恰有三个零点，故必有，解得：﹣＜c ＜．∴使函数f （x ）恰有三个零点的实数c 的取值范围是（﹣，）19．在数列{a n }中，满足点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，且a 1=3．（1）求{a n }的通项公式；（2）若b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）通过将点P （a n ，a n+1）代入函数方程f （x ）=3x 化简可知a n+1=3a n ，进而可知数列{a n }是首项为3、公比为3的等比数列，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知b n =n3n ，进而利用错位相减法计算即得结论．【解答】解：（1）∵点P （a n ，a n+1）是函数f （x ）=3x 图象上的点，∴a n+1=3a n ，又∵a 1=3，∴数列{a n }是首项为3、公比为3的等比数列，∴其通项公式a n =3n ；（2）由（1）可知b n =na n =n3n ，∴S n =1×3+2×32+…+n3n ，3S n =1×32+2×33+…+（n ﹣1）3n +n ×3n+1，错位相减得：﹣2S n =3+32+…+3n ﹣n ×3n+1=3×﹣n ×3n+1=×3n+1﹣，∴S n =×3n+1+．20．设函数f （x ）=x 2+alnx+1（x ＞0）．（1）若f （3）=5，求f （）的值；（2）若x ＞0时，f （x ）≥1成立，求a 的取值范围．【考点】函数的值；函数恒成立问题．【分析】（1）由f （3）=5得出aln3=﹣5，再求出f （）的值．（2）alnx≥﹣x2．然后讨论lnx的符号分离参数，转化为求﹣得最大值或最小值问题．【解答】解：（1）∵f（3）=10+aln3=5，∴aln3=﹣5．∴f（）=+aln=﹣aln3==．（2）∵x2+alnx+1≥1，∴alnx≥﹣x2．①若lnx=0，即x=1时，显然上式恒成立．②若lnx＞0，即x＞1时，a≥﹣．令g（x）=﹣．则g′（x）=，∴当1＜x时，g′（x）＞0，当x时，g′（x）＜0，∴当x=时，g（x）取得最大值g（）=﹣2e．∴a≥﹣2e．③若lnx＜0，即0＜x＜1时，a≤﹣，由②讨论可知g（x）在（0，1）上是增函数，且g（x）＞0，∴a≤0．综上，a的取值范围是[﹣2e，0]．21．如图，有一段长为18米的屏风ABCD（其中AB=BC=CD=6米），靠墙l围成一个四边形，设∠DAB=α．（1）当α=60°，且BC⊥CD时，求AD的长；（2）当BC∥l，且AD＞BC时，求所围成的等腰梯形ABCD面积的最大值．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，利用三角函数，结合勾股定理，求AD的长；（2）由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，所围成的等腰梯形ABCD面积S==36sinα（1+cosα），利用导数确定单调性，即可求出所围成的等腰梯形ABCD 面积的最大值．【解答】解：（1）连接BD，作BO⊥AD，垂足为O，则AO=3，BO=3，BD=6，∴OD==3，∴AD=AO+OD=3+3；（2）由题意，梯形的高为6sinα，AD=6+12cosα，∴所围成的等腰梯形ABCD面积S==36sinα（1+cosα），S′=36（2cosα﹣1）（cosα+1），∴0＜α＜，S′＞0，，＜α＜π，S′＜0，∴α=，S取得最大值27．。
四川省成都市2016届高三第三次诊断考试数学(文)答案
成都市高２０１３级高中毕业班第三次诊断性检测数学(文史类)参考答案及评分意见第Ⅰ卷㊀(选择题㊀共５０分)一㊁选择题:(本大题共１０小题,每小题５分,共５０分)１．C ;㊀２．D ;㊀３．A ;㊀４．B ;㊀５．C ;㊀６．B ;㊀７．A ;㊀８．D ;㊀９．B ;㊀１０．A．第Ⅱ卷㊀(非选择题㊀共１００分)二㊁填空题:(本大题共５小题,每小题５分,共２５分)１１．１２;㊀１２．１;㊀１３．３＋２２;㊀１４．５;㊀１５．②③④．三㊁解答题:(本大题共６小题,共７５分)１６．解:(Ⅰ)f x ()＝３s i n ２x ＋s i n２x ＋π２æèçöø÷＋３＝３s i n ２x ＋c o s ２x ＋３＝２s i n２x ＋π６æèçöø÷＋３． ３分由２k π－π２ɤ２x ＋π６ɤ２k π＋π２(k ɪZ ),得k π－π３ɤx ɤk π＋π６(k ɪZ )．ʑ函数f x ()的单调递增区间为k π－π３,k π＋π６éëêêùûúúk ɪZ ()． ６分(Ⅱ)由(Ⅰ),f A ()＝１＋３,即s i n２A ＋π６æèçöø÷＝１２．由０＜A ＜π⇒π６＜２A ＋π６＜１３π６．ʑ２A ＋π６＝５π６,即A ＝π３． ８分ȵs i n B ＝２s i n C ,ʑb ＝２c ．１０分ȵa ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ,ʑb ＝２３． １２分１７．解:(Ⅰ)由已知,在三棱台D E F －A B C 中,A B ＝２D E ,ʑD E A B ＝E F B C ＝F D C A ＝１２．)页４共(页１第案答)文(题试考 诊三 学数ȵG,H分别为A C,B C的中点,ʑA BʊG H,E FʊB H,E F＝B H．ʑB EʊH F．ȵA B⊄平面G H F,B E⊄平面G H F,㊀G H⊂平面G H F,H F⊂平面G H F,ʑA Bʊ平面G H F,B Eʊ平面G H F． ３分又A BɘB E＝B,A B,B E⊂平面A B E D．ʑ平面A B E Dʊ平面G H F． ６分(Ⅱ)设棱锥F－A B H G的体积为V．ȵV＝１３S梯形A B H G F C,S梯形A B H G＝SәA B C－SәG H C,B C＝C F＝１２A B＝１,ʑS梯形A B H G＝SәA B C－SәG H C＝１２ˑ１ˑ３－１２ˑ１２ˑ３２＝３３８．１０分ʑV＝１３S梯形A B H G F C＝１３ˑ３３８ˑ１＝３８． １２分１８．解:(Ⅰ)用A表示 从这２０名参加测试的学生中随机抽取一名,抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生 ．()名．ȵ语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有６＋nʑP A()＝６＋n２０＝２５,解得n＝２．ʑm＝４． ６分(Ⅱ)用B表示 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取２名,其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生 ．ȵ从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取２名有３６种情况,没有逻辑思维能力优秀的学生的情况有１５种, １０分ʑP B()＝１－１５３６＝７１２． １２分１９．解:(Ⅰ)ȵ３S n＋a n－３＝０, ①ʑ当n＝１时,３S１＋a１－３＝０,a１＝３４．又当nȡ２,nɪN∗时,３S n－１＋a n－１－３＝０, ②由①－②,得３a n＋a n－a n－１＝０,即a n＝１４a n－１．ʑ数列a n{}是以３４为首项,１４为公比的等比数列． ４分)页４共(页２第案答)文(题试考 诊三 学数ʑa n ＝３４ˑ１４æèçöø÷n －１＝３４n n ɪN ∗()． ６分(Ⅱ)由已知及(Ⅰ),得１－S n ＋１＝１３a n ＋１＝１４n ＋１．ʑb n ＝１２l o g ２１４n ＋１＝１２l o g ２２－２n ＋２()＝－n －１． ８分ʑ１b n b n ＋１＝１n ＋１()n ＋２()＝１n ＋１－１n ＋２． １０分ʑT n ＝１２－１３æèçöø÷＋１３－１４æèçöø÷＋ ＋１n ＋１－１n ＋２æèçöø÷＝１２－１n ＋２＝n ２n ＋４． １２分２０．解:(Ⅰ)ȵ抛物线C :y ２＝２px p ＞０()的焦点为p ２,０æèçöø÷, ２分ʑ直线l :x ＝p２．ʑMN ＝２p ＝４．４分ʑ抛物线C 的方程为y ２＝４x ．５分(Ⅱ)易知直线l １,l ２的斜率存在且不为０．设直线l １的斜率为k ,A x １,y １(),B x ２,y ２()．则直线l １的方程为y ＝k x －１(),P x １＋x ２２,y １＋y ２２æèçöø÷．由y ２＝４x y ＝k x －１(){消去y ,得k ２x ２－２k ２＋４()x ＋k ２＝０．Δ＝２k ２＋４()２－４k ４＝１６k ２＋１６＞０．ʑx １＋x ２＝２＋４k ２,y １＋y ２＝k x １＋x ２－２()＝４k ．ʑP １＋２k ２,２k æèçöø÷．同理可得Q １＋２k ２,－２k ()． ９分当k ＝１或－１时,直线P Q 的方程为x ＝３;当k ʂ１且k ʂ－１时,直线P Q 的斜率为k１－k ２．ʑ直线P Q 的方程为y ＋２k ＝k １－k２x －１－２k ２(),即k ２－１()y ＋x －３()k ＝０．ʑ直线P Q 过定点R ,其坐标为３,０()．综上所述,直线P Q 过定点R ３,０()．１３分)页４共(页３第案答)文(题试考 诊三 学数２１．解:(Ⅰ)f ᶄx ()＝e x x ２＋a ＋２()x －a －３[]＝e xx －１()x ＋a ＋３()． ２分①当a ＝－４时,ȵf ᶄx ()＝e xx －１()２ȡ０,ʑf x ()在R 上单调递增．②当a ＞－４时,由f ᶄx ()＞０,解得x ＜－a －３或x ＞１．ʑf x ()在－ɕ,－a －３(),１,＋ɕ()上单调递增;由f ᶄx ()＜０,解得－a －３＜x ＜１．㊀ʑf x ()在－a －３,１()上单调递减．③当a ＜－４时,由f ᶄx ()＞０,解得x ＞－a －３或x ＜１．ʑf x ()在－ɕ,１(),－a －３,＋ɕ()上单调递增．由f ᶄx ()＜０,解得１＜x ＜－a －３．㊀ʑf x ()在１,－a －３()上单调递减．综上所述,当a ＝－４时,f x ()在R 上单调递增;当a ＞－４时,f x ()在－ɕ,－a －３(),１,＋ɕ()上单调递增;在－a －３,１()上单调递减;当a ＜－４时,f x ()在－ɕ,１(),－a －３,＋ɕ()上单调递增;在１,－a －３()上单调递减．７分(Ⅱ)ȵx ɪ０,１[],由(Ⅰ),可知①当a ɤ－４时,f x ()在x ɪ０,１[]上单调递增．ȵ函数f x ()的图象恒在直线y ＝e 的上方,ʑf x ()m i n ＝f ０()＝－２a －３＞e ,解得a ＜－３２－e２．而－３２－e２＞－４,ʑa ɤ－４．②当－４＜a ＜－３时,０＜－a －３＜１．ʑf x ()在０,－a －３()上单调递增,在－a －３,１()上单调递减．ȵ函数f x ()的图象恒在直线y ＝e 的上方,ʑf ０()＝－２a －３＞e f １()＝－a －２()e ＞e{,而－３２－e２＞－３,解得－４＜a ＜－３．③当a ȡ－３时,f x ()在x ɪ０,１[]上单调递减．ȵ函数f x ()的图象恒在直线y ＝e 的上方,ʑf x ()m i n ＝f １()＝－a －２()e ＞e ,无解．综上所述,满足条件的实数a 的取值范围为－ɕ,－３()． １４分)页４共(页４第案答)文(题试考 诊三 学数。
2016届四川泸州市高三教学诊断性考试三数学(理)试题(解析版)
2016届四川泸州市高三教学诊断性考试三数学（理）试题一、选择题1．设集合2{|60}M x x x =--<，{|10}N x x =->，则M N = （ ） A ．（1,2） B ．（1,3） C ．（-1,2） D ．（-1,3） 【答案】B【解析】试题分析：因}1|{},32|{>=<<-=x x N x x M ,故{|13}M N x x =<< ,应选B 。
【考点】集合的交集运算。
2．若命题0:x R ρ∃∈，002lg x x ->，则ρ⌝是（ ） A ．0x R ∃∈，002lg x x -≤ B ．0x R ∃∈，002lg x x -< C ．x R ∀∈，2lg x x -< D ．x R ∀∈，2lg x x -≤【答案】D【解析】试题分析：因存在性命题的否定是全称命题,故应选D 。
【考点】含一个量词的命题的否定。
3．已知3cos 25θ=，则44sin cos θθ-的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．45- D ．35-【答案】D【解析】试题分析：因44sin cos θθ-532cos cos sin 22-=-=-=θθθ，故应选D 。
【考点】三角变换及运用。
4．圆2240x y x +-=的圆心到双曲线2213x y -=的渐近线的距离为（ ）A ．1B ．2C ．【答案】A【解析】试题分析：因双曲线的一条渐近线为03=-y x ，故圆心)0,2(C 到这条直线的距离1132=+=d ，应选A 。
【考点】圆与双曲线的标准方程及运用。
5．执行如图所示的程序框图，若输入的,x y R ∈，则输出t 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．0 【答案】C【解析】试题分析：因x y 几何意义是不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥421y x y x 表示区域内的动点),(y x P 与坐标原点O 连线段的斜率。
2016年四川省泸州市高考数学三诊试卷(文科)(解析版)
四川省泸州市2016年高考数学三诊试卷（文科）（解析版）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设集合M={x|（x﹣3）（x+2）＜0}，N={x|x﹣1＞0}，则M∩N=（）A．（1，2）B．（1，3）C．（﹣1，2）D．（﹣1，3）2．若命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x0﹣2≤lgx0B．∃x0∈R，x0﹣2＜lgx0C．∀x∈R，x﹣2＜lgx D．∀x∈R，x﹣2≤lgx3．已知cos2θ=，则sin4θ﹣cos4θ的值为（）A．B．C．﹣D．﹣4．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．5π5．圆x2+y2﹣4x=0的圆心到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．26．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，则输出t的最大值为（）A．1 B．3 C．2 D．07．设a，b∈R，那么“ln＞0”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．表中给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）来近似描述，则该港口在11：00的水深为（）A．4m B．5m C．6m D．7m9．若直线ax+y﹣a+1=0（a∈R）与圆x2+y2=4交于A、B两点（其中O为坐标原点），则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知函数f（x）=，g（x）=﹣4x+a2x+1+a2+a﹣1（a∈R），若f（g（x））＞e对x∈R恒成立（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．[﹣2，0] D．[﹣，0]二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．lg20+lg5=．12．复数z=（i为虚数单位）的虚部是．13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣，则f（﹣4）=．14．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于．15．函数f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，|AB|为A、B两点间距离，定义φ（A，B）=为曲线f（x）在点A与点B之间的“曲率”，给出以下问题：①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数f（x）=x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则点A与点B之间的“曲率”φ（A，B）＞；③函数f（x）=ax2+b（a＞0，b∈R）图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ（A，B）≤2a；④设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线f（x）=e x上不同两点，且x1﹣x2=1，若tφ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．其中正确命题的序号为（填上所有正确命题的序号）．三、解答题（共6小题，满分75分）16．某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第1、5组中随机抽取6名学生进行跟踪调研，求第1、5组每组抽取的学生人数；（3）在（2）的前提下，学校决定从这6名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求抽取的2名学生均来自第5组的频率．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=，S3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB=2a，CE=CD．（1）求证：平面CDE⊥平面ADE；（2）求多面体ABCDE的体积．19．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=ccosB+bsinC．（1）求C的值；（2）若D是AB上的点，已知cos∠BCD=，a=2，b=3，求sin∠BDC的值．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（1，），其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的右顶点为A，直线l交C于两点M、N（异于点A），且AM⊥AN，证明直线l过定点．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（其中a＞0，e是自然对数的底数）．（1）若x=是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若过原点所作曲线y=f（x）的切线l与直线y=﹣ex+1垂直，证明：；（3）设g（x）=f（x）+e x﹣1，当x≥1时，g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．2016年四川省泸州市高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．设集合M={x|（x﹣3）（x+2）＜0}，N={x|x﹣1＞0}，则M∩N=（）A． C．【分析】分别求出M与N中不等式的解集确定出M与N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中不等式解得：﹣2＜x＜3，即M=（﹣2，3），由N中不等式解得：x＞1，即N=（1，+∞），则M∩N=（1，3），故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．若命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，则￢p是（）A．∃x0∈R，x0﹣2≤lgx0B．∃x0∈R，x0﹣2＜lgx0C．∀x∈R，x﹣2＜lgx D．∀x∈R，x﹣2≤lgx【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x0﹣2＞lgx0，则￢p是∃x0∈R，x0﹣2≤lgx0．故选：A．【点评】本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．3．已知cos2θ=，则sin4θ﹣cos4θ的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，原式利用平方差公式及同角三角函数间的基本关系化简，将得出关系式代入计算即可求出值．【解答】解：∵cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=，∴sin4θ﹣cos4θ=（sin2θ﹣cos2θ）（sin2θ+cos2θ）=sin2θ﹣cos2θ=﹣（cos2θ﹣sin2θ）=﹣，故选：C．【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握基本关系是解本题的关键．4．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．2πB．3πC．4πD．5π【分析】根据三视图判断几何体的形状，利用三视图的数据和公式求解几何体的表面积即可．【解答】解：综合三视图可知，几何体是一个半径r=1的半个球体．且表面积是底面积与半球面积的和，其表面积S==3π．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，几何体的表面积的求法，考查计算能力与空间想象能力．5．圆x2+y2﹣4x=0的圆心到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．2【分析】求得圆的圆心和半径，双曲线的渐近线方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到所求值．【解答】解：圆x2+y2﹣4x=0的圆心为（2，0），半径为2，双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±x，可得圆心到双曲线﹣y2=1的渐近线的距离为：d==1．故选：A．【点评】本题考查圆心到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，则输出t的最大值为（）A．1 B．3 C．2 D．0【分析】分析框图可知，本题是求可行域内，目标函数t=最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，得出最大值即可．【解答】解：由程序框图知：本题是求可行域内，t=的最大值，画出可行域如图：由于t=为经过可行域的一点与原点的直线的斜率，可得当直线经过OA时斜率最大，由，解得，A（1，3），此时，t===3．故选：B．【点评】本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．7．设a，b∈R，那么“ln＞0”是“a＞b＞0”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】由a＞b＞0，可得＞1，于是ln＞0，反之不成立，可举例说明．【解答】解：由a＞b＞0，可得＞1，∴ln＞0，反之不成立，例如a=﹣2，b=﹣1．∴“ln＞0”是“a＞b＞0”的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查了函数的单调性、简易逻辑的判定方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．表中给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系．若该港口的水深y（m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y=Asin（ωt）+h（其中A＞0，ω＞0，h＞0）来近似描述，则该港口在11：00的水深为（）A．4m B．5m C．6m D．7m【分析】根据表格确定函数的最大值和最小值以及周期，求出A，h，ω的值，进行求解即可．【解答】解：由表格知函数的最大值是7，最小值是3，则满足，得A=2，h=5，相邻两个最大值之间的距离T=15﹣3=12，即=12，则ω=，此时y=2sin（t）+5，当t=11时，y=2sin（×11）+5=2sin（2π﹣）+5=﹣2sin+5=﹣2×+5=4，故选：A【点评】本题主要考查三角函数的应用问题，根据条件求出A，h，ω的值是解决本题的关键．9．若直线ax+y﹣a+1=0（a∈R）与圆x2+y2=4交于A、B两点（其中O为坐标原点），则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由题意得直线恒过定点C（1，﹣1），圆x2+y2=4圆心为（0，0）半径为2，=4﹣2×2×cos＜＞，可得当AB⊥OC时，式子取最小值，数形结合联立方程组解点的坐标可得的最小值．【解答】解：直线ax+y﹣a+1=0可化为y+1=﹣a（x﹣1），恒过定点C（1，﹣1），圆x2+y2=4圆心为（0，0）半径为2，∴==（﹣）==4﹣2×2×cos＜＞，当AB⊥OC时，＜，＞最小，cos＜，＞取最大值，此时=4﹣4cos＜，＞取最小值，此时OC的斜率为﹣1，由垂直关系可得﹣a=1，解得a=﹣1，故此时直线方程为y+1=x﹣1，即y=x﹣2，联立，解得，或，∴＜，＞取最小值，cos＜＞取最大值0，此时=4﹣4cos＜，＞取最小值4．故选：D．【点评】本题考查直线和圆相交的性质，涉及向量的数量积的最值和三角函数，属中档题．10．已知函数f（x）=，g（x）=﹣4x+a2x+1+a2+a﹣1（a∈R），若f（g（x））＞e对x∈R恒成立（e是自然对数的底数），则a的取值范围是（）A．[﹣1，0] B．（﹣1，0）C．[﹣2，0] D．[﹣，0]【分析】求得f（x）的值域，讨论当x≤0时，当x＞0时，求出导数，判断单调性可得范围，令t=g（x），则f（t）＞e，即有t≤0，则＞e，解得t＜﹣1，即﹣4x+a2x+1+a2+a﹣1＜﹣1，由指数函数的值域和二次函数的最值的求法，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：当x≤0时，f（x）=≥0，f（x）的导数为f′（x）=＜0，即f（x）递减，则f（x）≥0；当x＞0时，f（x）=的导数为，当x＞e时，f（x）递减；当0＜x＜e时，f（x）递增．则x=e处取得极大值，且为最大值，即有f（x）≤．令t=g（x），则f（t）＞e，即有t≤0，则＞e，即e t+1+t＜0，由y=e t+1+t在t≤0递增，且t=﹣1时，y=0，可得t＜﹣1．可得g（x）＜﹣1恒成立，即有﹣4x+a2x+1+a2+a﹣1＜﹣1，即有﹣4x+a2x+1+a2+a＜0，当a＞0时，y=﹣（2x﹣a）2+2a2+a＜0，由2x＞0，可得2x=a时，取得最大值2a2+a，可得2a2+a＜0不成立；当a≤0时，y=﹣（2x﹣a）2+2a2+a＜0，由2x＞0，﹣a≥0，y＜a2+a，可得a2+a≤0，解得﹣1≤a≤0．综上可得a的范围是[﹣1，0]．故选：A【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分段函数的值域，以及换元法，考查单调性的运用和不等式的解法，综合性较强，难度较大．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．lg20+lg5=2．【分析】利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：原式=lg5+（lg5+2lg2）=2（lg5+lg2）=2lg10=2故答案为：2．【点评】熟练掌握对数的运算性质是解题的关键，属于基础题．12．复数z=（i为虚数单位）的虚部是1．【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理成最简形式，得到复数的标准形式，得到虚部．【解答】解：∵复数z==∴复数z的虚部是1，故答案为：1．【点评】本题考查复数的基本概念，本题解题的关键是整理出复数的代数形式的标准形式，进而得到复数的虚部．13．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=﹣，则f（﹣4）=﹣．【分析】先根据奇函数的定义把所求问题转化，再代入对应的解析式即可求出结论．【解答】解：∵函数f（x）是R上的奇函数，∴f（﹣4）=﹣f（4）；∵当x＞0时，f（x）=﹣，∴f（﹣4）=﹣f（4）=﹣2+=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质应用．解决这类问题的关键在于熟练掌握：奇函数：f（﹣x）=﹣f（x）；偶函数：f（﹣x）=f（x）．14．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则QF等于3．【分析】求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．【解答】解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴不妨设直线PF的斜率为﹣=2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故答案为：3．【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．15．函数f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B，|AB|为A、B两点间距离，定义φ（A，B）=为曲线f（x）在点A与点B之间的“曲率”，给出以下问题：①存在这样的函数，该函数图象上任意两点之间的“曲率”为常数；②函数f（x）=x3﹣x2+1图象上两点A与B的横坐标分别为1，2，则点A与点B之间的“曲率”φ（A，B）＞；③函数f（x）=ax2+b（a＞0，b∈R）图象上任意两点A、B之间的“曲率”φ（A，B）≤2a；④设A（x1，y1），B（x2，y2）是曲线f（x）=e x上不同两点，且x1﹣x2=1，若tφ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）．其中正确命题的序号为①③（填上所有正确命题的序号）．【分析】考虑一次函数，求出导数，可得φ（A，B）=0，即可判断①；求出A，B的坐标，求得φ（A，B），即可判断②；求出f（x）的导数，运用不等式的性质，可得φ（A，B）≤2a，即可判断③；求出函数的导数，运用新定义求得φ（A，B），由恒成立思想，即可得到t的范围，即可判断④．【解答】解：对于①，当函数f（x）=kx+b（k≠0）时，f′（x）=k，φ（A，B）===0，故①正确；对于②，由题意可得A（1，1），B（2，5），f（x）的导数为f′（x）=3x2﹣2x，可得φ（A，B）===＜，故②不正确；对于③，函数f（x）=ax2+b的导数为f′（x）=2ax，即有φ（A，B）===≤2a，故③正确；对于④，由y=e x得y′（x）=e x，由A（x1，y1），B（x2，y2）为曲线y=e x上两点，且x1﹣x2=1，可得φ（A，B）==，由tφ（A，B）＜1恒成立，可得t＜，由＞1，可得t≤1，故④不正确．故答案为：①③．【点评】本题考查新定义的理解和运用，主要考查导数的运用：求切线的斜率，不等式恒成立问题的解法，考查运算能力，属于中档题和易错题．三、解答题（共6小题，满分75分）16．某校拟调研学生的身高与运动量之间的关系，从高二男生中随机抽取100名学生的身高数据，得到如下频率分布表：（1）求频率分布表中①、②位置相应的数据；（2）为了对比研究学生运动量与身高的关系，学校计划采用分层抽样的方法从第1、5组中随机抽取6名学生进行跟踪调研，求第1、5组每组抽取的学生人数；（3）在（2）的前提下，学校决定从这6名学生中随机抽取2名学生接受调研访谈，求抽取的2名学生均来自第5组的频率．【分析】（1）求出第1组的频数，第2组的频率，（2）因利用分层抽样，求解第1，5组分别抽取人数．（3）设第1组的2位同学为a，b，第5组的2位同学为1，2，3，4，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，再找到2名学生均来自第5组的基本事件数，根据概率计算即可．【解答】解：（1）由题可知，第1组的频数为0.15×100=15人，第2组的频率为=0.300．即①处的数据为15，②处的数据为0.300．（2）因为第1组共有10名学生，第5组有20人，利用分层抽样从第1，5组中随机抽取6名学生，第1组应抽取6×=2人，第5组中应抽取6﹣2=4人（3）设第1组的2位同学为a，b，第5组的2位同学为1，2，3，4，则从6位同学中抽2位同学有15种可能，分别为：ab，a1，a2，a3，a4，b1，b2，b3，b4，12，13，14，23，24，34，共有15种不同的取法，2名学生均来自第5组的基本事件数是：12，13，14，23，24，34共6种不同的取法，故抽取的2名学生均来自第5组的频率P==【点评】本题考查分层抽样，古典概型概率的求法，考查计算能力．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a3=，S3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）通过分公比q是否为1两种情况讨论，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知分两种情况讨论，进而求出{b n}的通项公式，计算即得结论．【解答】解：（1）①当公比q=1时，∵a3=，S3=，∴a n=；②当q≠1时，∵a3=，S3=，∴a1q2=，=，解得：a1=6，q=﹣，此时a n=6×；综上所述，数列{a n}的通项公式a n=或a n=6×；（2）①当a n=时，b n=log2=2，故T n=2n；②当a n=6×时，b n=log2=2n，此时T n=2=n（n+1）；综上所述，T n=2n或T n=n（n+1）．【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题．18．如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB=2a，CE=CD．（1）求证：平面CDE⊥平面ADE；（2）求多面体ABCDE的体积．【分析】（1）利用勾股定理的逆定理可得CD⊥DE，结合AD⊥CD得出CD⊥平面ADE，从而平面CDE⊥平面ADE；（2）作EG⊥AD，则可证明EG⊥平面ABCD，于是多面体体积等于四棱锥E﹣ABCD的体积．【解答】证明：（1）∵CD=DE，CE=CD，∴CD2+DE2=CE2，∴CD⊥DE，又CD⊥AD，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，AD∩DE=D，∴CD⊥平面ADE，又CD⊂平面CDE，∴平面CDE⊥平面ADE．（2）过E作EG⊥AD，垂足为G，∵CD⊥平面ADE，GE⊂平面ADE，∴CD⊥GE，又GE⊥AD，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AD∩CD=D，∴GE⊥平面ABCD．∵△ADE是等边三角形，DE=2a，∴GE=．=（AB+CD）AD=（a+2a）2a=3a2．∵S梯形ABCD===a3．∴多面体ABCDE的体积V=V E﹣ABCD【点评】本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．19．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=ccosB+bsinC．（1）求C的值；（2）若D是AB上的点，已知cos∠BCD=，a=2，b=3，求sin∠BDC的值．【分析】（1）利用正弦定理将边化角，令sinA=sin（B+C），展开化简即可得出tanC；（2）使用余弦定理求出c，得出cosB，sinB，则sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）．【解答】解：（1）∵a=ccosB+bsinC，∴sinA=sinCcosB+sinBsinC，即sin（B+C）=sinCcosB+sinBsinC，∴sinBcosC=sinBsinC，∴tanC=．∴C=．（2）在△ABC中由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣12cosC=7，∴c=．由余弦定理得cosB===．∴sinB==．∵cos∠BCD=，∴sin∠BCD==．∴sin∠BDC=sin（∠BCD+∠B）=sin∠BCDcosB+cos∠BCDsinB==．【点评】本题考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数的关系，属于中档题．20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）过点P（1，），其离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的右顶点为A，直线l交C于两点M、N（异于点A），且AM⊥AN，证明直线l过定点．【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和点P满足椭圆方程，以及a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）联立方程组，设M（x1，y1）N（x2，y2），A（2，0），可得（3+4k2）x2+8km+4m2﹣12=0，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，得到，7m2+16km+4k2=0，7m=﹣2k，m=﹣2k，代入求解即可得出定点．【解答】解：（1）由题意可得e==，又a2﹣b2=c2，且+=1，解得a=2，c=1，b=，可得椭圆的方程为+=1；（2）证明：由，M（x1，y1）N（x2，y2），A（2，0），可得（3+4k2）x2+8km+4m2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即4k2＞m2﹣3，由AM⊥AN，可得=﹣1，即为（x1﹣2）（x2﹣2）+（kx1+m）（kx2+m）=0，即（k2+1）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4=0，即有（k2+1）+（mk﹣2）（﹣）+m2+4=0，化简可得7m2+16km+4k2=0，m=﹣k或m=﹣2k，满足判别式大于0，当m=﹣k时，y=kx+m=k（x﹣）（k≠0），直线l过定点（，0）；当m=﹣2k时，y=kx﹣2k=k（x﹣2），直线l过定点（2，0）．由右顶点为A（2，0），则直线l过定点（2，0）不符合题意，当直线的斜率不存在时，也成立．根据以上可得：直线l过定点，且为（，0）．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，联立方程组，结合韦达定理整体求解，属于中档题．21．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1）（其中a＞0，e是自然对数的底数）．（1）若x=是函数f（x）的一个极值点，求a的值；（2）若过原点所作曲线y=f（x）的切线l与直线y=﹣ex+1垂直，证明：；（3）设g（x）=f（x）+e x﹣1，当x≥1时，g（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，根据x=是函数f（x）的一个极值点，得到e﹣a=0，求出a的值即可；（2）求出切线l的方程，得到a═﹣，且lnx1﹣1+﹣=0，令m（x）=lnx﹣1+﹣，根据函数的单调性证明即可；（3）先求出g（x）的导数，得到g′（x）在[1，+∞）单调递增，再通过讨论a的范围，结合函数的单调性从而得到答案．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）=﹣a，∵x=是函数f（x）的一个极值点，∴f ′（）=e ﹣a=0，解得：a=e ，经检验，a=e 符合题意；（2）∵过原点所作曲线y=f （x ）的切线l 与直线y=﹣ex +1垂直，∴切线l 的斜率为k=，方程是y=x ，设l 与y=f （x ）的切点为（x 1，y 1），∴，∴a=﹣，且lnx 1﹣1+﹣=0，令m （x ）=lnx ﹣1+﹣，则m ′（x ）=﹣+， ∴m （x ）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，若x 1∈（0，1），∵m （）=﹣2+e ﹣＞0，m （1）=﹣＜0，∴x 1∈（，1），而a=﹣在x 1∈（，1）递减，∴＜a ＜， 若x 1∈（1，+∞），∵m （x ）在（1，+∞）递增，且m （e ）=0，则x 1=e ，∴a=﹣=0（舍），（3）∵g （x ）=f （x ）+e x ﹣1=lnx ﹣a （x ﹣1）+e x ﹣1，∴g ′（x ）=﹣a +e x ﹣1，①0＜a ≤2时，∵e x ﹣1≥x ，∴g ′（x ）=﹣a +e x ﹣1，≥ +x ﹣a ≥2﹣a ≥0，∴g （x ）在[1，+∞）单调递增，g （x ）≥g （1）=1恒成立，符合题意；②当a ＞2时，∵g ″（x ）=≥0，∴g′（x）在[1，+∞）递增，∵g′（1）=2﹣a＜0，易知存在x0∈[1，+∞），使得g′（x0）=0，∴g（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，∴x∈（1，x0）时，g（x）＜g（1）=1，∴g（x）≥1不恒成立，不符合题意；综上可知所求实数a的范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查了导数的应用，考查曲线的切线方程问题，是一道综合题．。
四川省泸州市高2016级第三次教学质量诊断性考试数学理科试卷
泸州市高2016级第三次教学质量诊断性考试数学（理科）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 第I 卷1至2页，第II 卷3至4页.共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内；作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将 本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.设集合A ={x |y =ln (x −1)},B ={y|y =2x }，则A ∩B = A. [)+∞,0 B.()+∞,0 C.[)+∞,1 D.()+∞,12. 已知复数z 满足i z+=11，则|Z|的值为 A.21B. 2C.22D. 2 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35,351==S a ，则数列{}n a 的公差为 A.-2 B.2 C.4 D.74.双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的离心率为3，则其渐近线方程为A. x y 3±=B. x y 2±=C.x y 22±=D.x y 23±= 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.1616-π B.88-π C.1636-π D.3232-π6.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，且公比为2，则n S 与n a 的关系正确的是 A.14-=n n a S B.12+=n n a S C.12-=n n a S D. 34-=n n a S7. 设m,n 为非零向量，则“存在正数λ，使得m =λn ”是“m ∙n >0”的 A. 既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D. 充分不必要条件8.四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是 A. 12 B.16 C.20 D. 8 9.将函数182cos 22-⎪⎭⎫⎝⎛+=πx y 的图像向左平移()0>m m 个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为 A.3π B.4π C.2πD.π 10.已知抛物线C:y 2=2px(p >0)，直线y =k(x −p2)(k >0)与C 分别相交于点A,M 与C 的准线相交于点N ，若|AM |=|MN|,则k = A.3 B.2√23C. 2√2D. 1311已知函数()[]x x x f -=，其中[]x 表示不超过x 的最大正整数，则下列结论正确的是 A. ()x f 的值域是[]1,0 B.()x f 是奇函数 C.()x f 是周期函数 D.()x f 是增函数12.三棱锥S -ABC 的各个顶点都在求O 的表面上，且△ABC 是等边三角形，SA ⊥底面ABC ， SA =4,AB =6,若点D 在线段SA 上，且AD=2SD,则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为 A.3π B. 4π C. 8π D. 13π第II 卷（非选择题 共90分）注意事项： (1)非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. (2)本部分共10个小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上. 13. (ax 2−1x )6展开式中x 3项系数为160，则a 的值为___________.14.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥+2133x x y y x ，则x y z =的最小值为___________.15.设函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≥<-+=-121,2log 112x x x x f x ，则f (−2)+f (log 23)=___________.16.过直线4x +3y −10=0上一点P 作圆x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A,B ，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值是___________三、解答题：共70分。
四川省泸州市届高三三诊考试文数试题Word版含答案
泸州市高2014级第三次教学质量诊断性考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1}U x x =>，集合{(1)(3)0}A x x x =--<，则U C A =（ ） A ．[3,)+∞ B ．(3,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,3)2.复数1iz i=+（其中i 是虚数单位）的虚部为（ ） A ．1 B ．12i C ．12D ．-13.已知等比数列{}n a 的公比12q =，28a =，则其前3项和3S 的值为（ ）A ．24B ．28C ．32D ．164.已知平面向量(2,1)a =-，(1,2)b =，则2a b -的值是（ ）A ．1B ．5CD 5.某研究机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析，得到如下数据：由表中数据，求得线性回归方程5y x a =+，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（ ）A ．9.2B ．9.8C ．9.8D ．10 6.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线与抛物线C 的准线交于点B ，则线段FB 的长为（ ）A ．10B ．6C ．8D ．4 7.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+（2πϕ<）的图象沿x 轴向左平移6π个单位后关于y 轴对称，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=B ．3x π=-C ．6x π=-D ．3x π=8. 设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥ C ．若//l α，m α⊂，则//l m D ．若//l α，//m α，则//l m9.我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩（音g èng ，意为道路）厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠目自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．2D ．310.已知Rt ABC ∆中，3,1AB AC ==，2A π∠=，以,B C 为焦点的双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）经过点A ，且与AB 边交于点D ，若AD BD的值为（ ）A ．72 B ．3 C ．92D ．4 11.已知一个三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．17πB ．16πC ．8πD ．20π 12.已知函数()ln f x x x =+与21()12g x ax ax =+-（0a >）的图象有且只有一个公共点，则a 所在的区间为（ ）A ．12(,)23B ．2(,1)3C ．3(,2)2D ．3(1,)2第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知24113log log a a+=，则a = ． 14.设不等式组020x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ． 15.若函数2,2()log ,2a x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，（0a >且1a ≠）的值域是[1,)+∞，则实数a 的取值范围是 ．16.已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式n a = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-. （1）求证：2A B =；（2）若53b c =，a =BC 边上的高.18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元；假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）；（3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任选2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率. 19. 如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD AB BC ===，3ADC π∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，1AE =，点M 在线段EF 上.（1）当FMEM为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论； （2）求三棱锥E BDF -的体积E BDF V -.20. 设1F 是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点，M 是C 上一点，且1MF 与x 轴垂直，若132MF =，椭圆的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以椭圆C 的左顶点A 为Rt ABD ∆的直角顶点，边,AB AD 与椭圆C 交于,B D 两点，求ABD ∆面积的最大值.21. 已知函数()(1)x f x e a x =++（其中e 为自然对数的底数）（1）设过点(0,0)的直线l 与曲线()f x 相切于点00(,())x f x ，求0x 的值；（2）函数2()()(1)g x f x ax ex =-++的的导函数为'()g x ，若'()g x 在(0,1)上恰有两个零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换''2xx y y⎧=⎪⎨⎪=⎩后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）,A B 是曲线2C 上两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x a =+++，若()f x 的最小值为2. （1）求实数a 的值；（2）若0a >，且,m n 均为正实数，且满足m n a +=，求22m n +的最小值.试卷答案一、选择题1-5:ACBBC 6-10:DBBAD 11、12:AD二、填空题13. 2 14.4π 15. [3,)+∞ 16. 2n n n a =三、解答题17.解：（1）因为2cos b c b A =-， 所以sin sin 2sin cos B C B A =-， 因为()C B A π=-+，所以sin sin(())2sin sin B B A B A π=-+- 所以sin sin cos cos sin 2sin cos B B A B A B A =+- 即sin cos sin sin cos B B A B A =-， 即sin sin()B A B =-，因为0B π<<，0A π<<，所以A B ππ-<-<， 所以B A B =-或()B A B π=--， 故2A B =；（2）由53b c =及2cos b c b A =-得，1cos 3A =，由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得222551()2333b b b b =+-⨯⨯， 解得：6,10b c ==，由1cos 3A =得，sin A =设BC 边上的高为h ，则11sin 22bc A ah ⨯=⨯，即610⨯=，所以h =18.解：（1）因为甲机床为优品的频率为32821005+=， 乙机床为优品的频率约为296710020+=， 所以估计甲、乙两机床为优品的概率分别为27,520；（2）甲机床被抽产品每1件的平均数利润为1(4016052100820)114.4100⨯+⨯-⨯=元 所以估计甲机床每生产1件的利润为114.4元所以甲机床某天生产50件零件的利润为50114.45720⨯=元 （3）由题意知，甲机床应抽取125230⨯=，乙机床应抽取185330⨯=， 记甲机床的2个零件为,A B ，乙机床的3个零件为,,a b c ，若从5件中选取2件分别为,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc 共10种取法 满足条件的共有3种，分别为,,ab ac bc ， 所以，这2件都是乙机床生产的概率310P =. 19. 解： （1）当12FM EM =时，//AM 平面BDF ，证明如下： 在梯形ABCD 中，设AC BD O =，连接FO ，因为1AD BC ==，060ADC ∠=，所以2DC =，又1AB =，//AB DC 因此:2:1CO AO =， 所以12FM AO EM CO ==，因为ACFE 是矩形， 所以四边形AOFM 是平行四边形， 所以//AM OF ，又OF ⊂平面BDF ，AM ⊄平面BDF ， 所以//AM 平面BDF ；（2）连接OE ，过点B 作BG AC ⊥于点G ，因为平面ACFE ⊥平面ABCD ，且交线为AC ，所以BG ⊥平面ACFE ，即BG 为点B 到平面ACFE 的距离， 因为1AB BC ==，0120ABC ∠=，所以12BG =又因为DA AC ⊥，平面ACFE ⊥平面ABCD ，所以DA ⊥平面ACFE ， 即DA 为点D 到平面ACFE 的距离，1111(1)322E BDF B OEF D OEF V V V ---=+=⨯⨯+=20.解：（1）因为点1(,0)F c -，1MF 与x 轴垂直，所以2(,)b M c a -或2(,)b M c a--， 则22223212b a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩，即21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩故椭圆C 的方程为22143x y +=； （2）点(2,0)A -，设直线AB 的方程为直线(2)y k x =+（0k >）， 代入椭圆方程消去y 得：2222(34)1616120k x k x k +++-=，设1(,0)A x ，则2121612234k x k --=+，所以2128634k x k -+=+，212862234k AB x k -+=+=+=+直线AD 的方程为直线1(2)y x k=-+，同理可得23AD k =+ 所以ABD ∆的面积：211721122312()1ABD S AB AD k k k k k∆=∙==++++令1t k k =+，因为0k >，则12t k k =+≥， 1()12f t t t =+在[2,)+∞上单增，所以49()2f t ≥，所以14449ABD S ∆≤,ABD ∆面积的最大值为14449.21.解：（1）因为函数()(1)x f x e a x =++，所以'()(1)x f x e a =++， 故直线l 的斜率为0'0()(1)x f x e a =++，点00(,())x f x 的切线l 的方程为000()((1))()x y f x e a x x -=++-， 因直线过(0,0)，所以000()((1))()x x e a x -=++-， 即0000(1)((1))x x e a x e a x ++=++ 解之得，01x =（2）令2()(1)1xg x e ax a e x =-+-+-， 所以'()21xg x e ax a e =-+-+， 设()21x k x e ax a e =-+-+， 则'()2x k x e a =-，因为函数'()2x k x e a =-在(0,1)上单增， 若'()g x 在(0,1)上恰有两个零点，则'()2x k x e a =-在(0,1)有一个零点ln(2)(0,1)x a =∈， 所以122e a <<， ∴()k x 在(0,ln(2))a 上递减，在(ln(2),1)a 上递增， 所以()k x 在(0,1)上有最小值(ln(2))k a ，因为(ln(2))22ln(2)(1)32ln(2)1k a a a a e a a a a e =----=-+-（122ea <<）， 设3()ln 12x x x x e ϕ=-+-（1x e <<），则'1()ln 2x x ϕ=-， 令'()0x ϕ=，得x =当1x <<'()0x ϕ>，()x ϕ递增，x e <<时，'()0x ϕ<，()x ϕ递减，所以max ()10x e ϕ-<， ∴(ln(2))0k a <恒成立，若()k x 有两个零点，则有(ln(2))0k a <，(0)0k >，(1)0k >， 由(0)20k a e =+->，(1)10k a =->，得1e a a -<<， 综上，实数a 的取值范围是(2,1)e -. 22.解：（1）曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩化为普通方程为：22(2)14x y -+=， 又''2x x y y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即''2x x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入上式可知： 曲线2C 的方程为22(1)1x y -+=，即222x y x +=， ∴曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=.（2）设1(,)A ρθ，2(,)3B πρθ+（(,)26ππθ∈-）， ∴122cos 2cos()3OA OB πρρθθ+=+=++)6πθ=+， 因为()(,)633πππθ+∈-， 所以OA OB +的取值范围是23.解：（1）①当12a ->-时，即2a >时，3(1),2()1,123(1),1a x a x a f x x a x x a x ⎧--+≤-⎪⎪⎪=+--<<-⎨⎪++≥-⎪⎪⎩则当2a x =-时，min ()()1222a a f x f a a =-=-++-+=， 解得6a =或2a =-（舍）； ②当12a -<-时，即2a <时，3(1),1()1,123(1),2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪--+≤⎪⎪=-+--<<-⎨⎪⎪++≥-⎪⎩ 则当2a x =-时，min ()()1222a a f x f a a =-=-++-+=， 解得6a =（舍）或2a =- ③当12a -=-时，即2a =，()31f x x =+， 此时min ()0f x =，不满足条件，综上所述，6a =或2a =-；（2）由题意知，6m n +=，∵222()2m n m n mn +=++2222()()m n m n ≤+++222()m n =+当且仅当3m n ==时取“=”， ∴2218m n +≥，所以22m n +的最小值为18。
四川省泸州市2022届高三第三次教学质量诊断性考试文科数学试题(1)
一、单选题1. 某单位组织全体员工登录某网络培训平台进行学习并统计学习积分，得到的频率分布直方图如图所示，已知学习积分在（单位：万分）的人数是64人，并且学习积分超过2万分的员工可获得“学习达人”称号，则该单位可以获得该称号的员工人数为（）．A ．8B ．16C ．32D ．1602. 中国传统扇文化有着深厚的底蕴，一般情况下，折扇可以看做是从一个圆形中前下的扇形制作而成的，当折扇所在扇形的弧长与折扇所在扇形的周长的比值为时，折扇的外观看上去是比较美观的，则此时折扇所在扇形的圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．3.在正方体中，点是四边形的中心，关于直线，下列说法正确的是A．B．C ．平面D ．平面4. 在中国古建筑中，为了保持木构件之间接榫（“榫”，即指木质构件利用凹凸方式相连接的部分）的地方不活动，需要将楔子捶打到榫子缝里.如图是一个楔子的三视图，则这个楔子的体积是（）A ．6B ．8C ．12D ．165. 在中，，则是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形6. 在中，，，，则（ ）A．B．C．D．7.已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围是（ ）四川省泸州市2022届高三第三次教学质量诊断性考试文科数学试题(1)四川省泸州市2022届高三第三次教学质量诊断性考试文科数学试题(1)二、多选题三、填空题A．B．C．D．8. 已知定义域为的函数在上单调递减，且为偶函数，则关于的不等式的解集为（ ）A．B．C．D．9. 新高考模式下，化学、生物等学科实施赋分制，即通过某种数学模型将原始分换算为标准分.某校在一次高三模拟考试中实施赋分制的方式，其中应用的换算模型为：，其中x 为原始分，y 为换算后的标准分.已知在本校2000名高三学生中某学科原始分最高得分为150分，最低得分为50分，经换算后最高分为150分，最低分为80分.则以下说法正确的是（ ）A ．若学生甲本学科考试换算后的标准分为115分，则其原始得分为100分B ．若在原始分中学生乙的得分为中位数，则换算后学生乙的分数仍为中位数C ．该校本学科高三全体学生得分的原始分与标准分的标准差相同D ．该校本学科高三全体学生得分的原始分的平均分低于标准分的平均分10. 在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列说法正确的是（ ）A ．平面B．C．，，，四点共面D ．平面平面11. 甲、乙两人进行射击比赛，分别对同一目标各射击10次，其成绩（环数）如下：甲的环数710761097879乙的环数7879878989则下列说法正确的是（ ）A ．甲成绩的平均数等于乙成绩的平均数B ．甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数C ．甲、乙成绩的众数都是7D ．乙的成绩更稳定12. 下列有关回归分析的结论中，正确的有（ ）A ．若回归方程为，则变量与负相关B．运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心C ．若决定系数的值越接近于0，表示回归模型的拟合效果越好D．若散点图中所有点都在直线上，则相关系数13. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积是_____；最长棱的长度是_____．四、解答题14.若集合，则=_______________.15.在三角形中，，且角、、满足，三角形的面积的最大值为，则______．16.已知正项数列的前项和为，且，.数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.17.已知函数．（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；（2）在中，角所对的边分别为，，，若，，的面积为，求边长的值．18.如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且.（1）证明：平面；（2）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由.19. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且到的一条渐近线的距离为.(1)求的方程；(2)过的左顶点且不与轴重合的直线交的右支于点，交直线于点，过作的平行线，交直线于点，证明：在定圆上.20. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.(1)求证：；(2)若是边长为2的等边三角形，点满足，且平面与平面夹角的正切值为，求三棱锥的体积.21. 已知函数，其中为自然对数的底数，.(1)当时，函数有极小值，求；(2)证明：恒成立；(3)证明：.。