高一数学同步测试二倍角的正弦余弦正切 (4)
高中数学 3.1.3二倍角的正弦、余弦和正切公式(练)新人教A版必修4-新人教A版高中必修4数学试题
3. 1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式（练）一、选择题1．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)sin2x ，x ∈R ，则f(x)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f(x)＝(1＋cos2x)sin2x ＝2cos2xsin2x＝12sin22x ＝1－cos4x 4，故选D.2.sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( )A.14B.12C ．2D ．4[答案] C[解析] 原式＝sin(30°－20°)＋sin(30°＋20°)sin35°·cos35°＝2sin30°·cos20°12sin70°＝cos20°12sin70°＝2.3．(2010·某某某某调研)在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则C 等于() A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°[答案] A[解析] 两式平方后相加得sin(A ＋B)＝12，∴A ＋B ＝30°或150°，又∵3sinA ＝6－4cosB>2，∴sinA>23>12，∴A>30°，∴A ＋B ＝150°，此时C ＝30°.4．(2010·某某某某一中)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π[答案] B[解析] ∵y ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，∴周期T ＝π. 5．(2010·某某一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A.17B ．－17 C.27D ．－27[答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)，∴5sin2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴sin α＝35， ∴tan α＝34，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17. 6．(2010·某某中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b|的值为( )A ．0B ．1C. 2D ．2[答案] D[解析] ∵|a －b|2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b|＝2.7．(2010·某某某某调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2.8．(2010·某某调研)若将函数y ＝cosx －3sinx 的图象向左平移m(m>0)个单位后，所得图象关于y 轴对称，则实数m 的最小值为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] y ＝cosx －3sinx ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3向左移m 个单位得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m ＋π3为偶函数， ∴m ＋π3＝kπ(k ∈Z)，∴m ＝kπ－π3，∵k ∈Z ，且k>0，∴m 的最小值为2π3.9．若tan θ＝13，则cos2θ＋12sin2θ的值为( )A ．－65B ．－45C.45D.65[答案] D[解析] cos2θ＋12sin2θ＝cos2θ＋sin θcos θsin2θ＋cos2θ＝1＋tan θtan2θ＋1＝65. 10．(2010·某某南开中学)已知2tan α·si n α＝3，－π2<α<0，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π6的值是( )A ．0 B.32C ．1D.12[答案] A[解析] ∵2tan αsin α＝3，∴2sin2αcos α＝3，即2(1－cos2α)cos α＝3， ∴2cos2α＋3cos α－2＝0，∵|cos α|≤1，∴cos α＝12，∵－π2<α<0，∴sin α＝－32，∴cos ⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝12×32－32×12＝0.二、填空题11．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝______. [答案] 78[解析] sin ⎝⎛⎭⎫π6＋2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－π6－2α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝1－2sin2⎝⎛⎭⎫π6－α＝78. 12．(2010·全国卷Ⅰ理，14)已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝____________.[答案] －17[解析] 因为α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋3π2，(k ∈Z)，∴4kπ＋2π<2α<4kπ＋3π，∴sin2α>0，又cos2α＝－35，∴sin2α＝45，∴tan2α＝sin2αcos2α＝－43，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17. 13．求值：3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3[解析] 3tan12°－3(4cos212°－2)sin12°＝3⎝⎛⎭⎪⎫sin12°－3cos12°cos12°2(2cos212°－1)·sin12° ＝23(12sin12°－32cos12°)2cos24°·sin12°·cos12° ＝23(sin12°·cos60°－cos12°·sin60°)sin24°·cos24° ＝23sin(12°－60°)12sin48°＝43(－sin48°)sin48°＝－4 3. 三、解答题14．(2010·理，15)已知函数f(x)＝2cos2x ＋sin2x －4cosx.(1)求f(π3)的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．[解析] 本题考查了三角函数的化简求值及二次函数在区间上的最值．(1)可直接求解，(2)化简后转化为关于cosx 的二次函数，求值即可．(1)f(π3)＝2cos 2π3＋sin2π3－4cos π3＝－1＋34－2＝－94.(2)f(x)＝2(2cos2x －1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x －4cosx －1＝3(cosx －23)2－73，x ∈R因为cosx ∈[－1,1]，所以当cosx ＝－1时，f(x)取最大值6；当cosx ＝23时，f(x)取最小值－73.15．已知0<α<π4，0<β<π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值．[解析] 由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α] ∴tan(α＋β)＝2tan α①由4tan α2＝1－tan2α2得tan α＝2tan α21－tan2α2＝12②由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<π4，0<β<π4，∴0<α＋β<π2，∴α＋β＝π4. 16．(2010·苏北四市模考)在平面直角坐标系xOy 中，点P ⎝⎛⎭⎫12，cos2θ在角α的终边上，点Q(sin2θ，－1)在角β的终边上，且OP →·OQ →＝－12. (1)求cos2θ的值； (2)求sin(α＋β)的值．[解析] (1)因为OP →·OQ →＝－12，所以12sin2θ－cos2θ＝－12，即12(1－cos2θ)－cos2θ＝－12，所以cos2θ＝23，所以cos2θ＝2cos2θ－1＝13.(2)因为cos2θ＝23，所以sin2θ＝13，所以点P ⎝⎛⎭⎫12，23，点Q ⎝⎛⎭⎫13，－1， 又点P ⎝⎛⎭⎫12，23在角α的终边上， 所以sin α＝45，cos α＝35.同理sin β＝－31010，cos β＝1010，所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×1010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010＝－1010. 17．(2009～2010·某某嵊泗中学高一期末)已知定义在区间⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，－π2<φ<π2)的图象如图所示．(1)求函数y ＝f(x)在⎣⎡⎦⎤－π，2π3上的表达式； (2)求方程f(x)＝22的解．[解析] (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3时，由图象知，A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π，∴ω＝1.又f(x)＝sin(x ＋φ)过点⎝⎛⎭⎫2π3，0，则 2π3＋φ＝kπ，k ∈Z ，∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3，∴f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3当－π≤x<－π6时，－π6≤－x －π3≤2π3， ∴f ⎝⎛⎭⎫－x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－x －π3＋π3＝－sinx 而函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝－π6对称，则f(x)＝f ⎝⎛⎭⎫－x －π3 ∴f(x)＝－sinx ，－π≤x<－π6，∴f(x)＝⎩⎨⎧ sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3－sinx x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π6.(2)当－π6≤x≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π，∵f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝22， ∴x ＋π3＝π4或3π4，∴x ＝－π12或5π12，当－π≤x<－π6时，∵f(x)＝－sinx ＝22， ∴sinx ＝－22，x ＝－π4或－3π4，∴x ＝－π4，－3π4，－π12，或5π12即为所求．。
高中数学二倍角的正余弦、正切公式知识讲解及测试题
3.1.3 二倍角的的正弦、余弦、正切公式(1)—B 班回顾 两角差的余弦公式 =-)cos(βα_____________________________ 两角和的余弦公式 =+)c o s (βα_____________________________ 两角差的正弦公式 =-)s i n (βα______________________________两角和的正弦公式 =+)s i n (βα______________________________ 两角差的正弦公式 tan()αβ+=______________________________两角差的正弦公式 tan()αβ-=______________________________问题1：已知sin15a ︒=，试用 a 表示sin30︒.探究：二倍角的正弦公式sin 2α= 2S α问题2：根据二倍角的正弦公式探究过程，试写出二倍角的余弦、正切公式cos2α= 2C αtan 2α= 2T α问题3：2S α，2C α，2T α中角α有何要求？例1、求值：（1）22sin cos 1212ππ- （2）sin75cos75︒︒（3）2tan151tan 15︒-︒ （4）224sin 1533-︒总结：cos2α=22cos sin αα-= =例2、（1）已知1sin cos 3αα=，则cos4α=_______________ （2）已知1sin(),43x π-=-则sin 2x =_______________（3）cos20cos40cos80︒︒︒=____________________变式：（1）sin10sin50sin70︒︒︒=____________（2）sin6sin 42sin66sin78︒︒︒︒=_____________思考：1c o s c o sc o sc o s 242n αααα-=__________ 例3、求证：21sin 4cos 41sin 4cos 42tan 1tan θθθθθθ+-++=-当堂检测 1.已知sin2α=53，cos 2α=－54，则角α是 （ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角2．=α-α2sin 2cos 44____________________; 3．=α+-α-tan 11tan 11___________________; 4．=θ-θ+2cos cos 212______________________. 5．已知),2(,135sin ππ∈α=α，求sin2α，cos2α，tan2α的值。
2019高中数学 第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式检测 新人教A版必修4
第三章 3.1 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级 基础巩固一、选择题1．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项中正确的是( B ) A ．f (x )在(π4，π2)上是递增的B ．f (x )的图象关于原点对称C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )的最大值为2[解析] 因为f (x )＝2sin x cos x ＝sin2x ，所以f (x )是奇函数，因而f (x )的图象关于原点对称，故选B ．2.12－sin 215°的值是( D ) A ．64 B ．6－24 C ．32D ．34[解析] 原式＝12－1－2＝cos30°2＝34． 3.2－2cos8＋21－sin8的化简结果是( A ) A ．2cos4－4sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4[解析] 原式＝21－cos8＋21－2sin4cos4＝2·1－1－2sin 24＋2sin4－cos42＝2|sin4|＋2|sin4－cos4|＝2cos4－4sin4． 4．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( A ) A ．－35B ．－15C ．15D ．35[解析] sin 4α－cos 4α＝－(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝－35．5．若α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，7π2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( D )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[解析] ∵α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π2，7π2，∴α2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，7π4，∴原式＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2．6．已知sin2α＝23，则cos 2(α＋π4)＝( A )A ．16 B ．13 C ．12D ．23[解析] 本题考查半角公式及诱导公式． 由倍角公式可得，cos 2(α＋π4)＝1＋α＋π22＝1－sin2α2＝1－232＝16，故选A ．二、填空题7．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝13，则cos2θ＝ 45 ．[解析] cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－191＋19＝45． 8.3tanπ81－tan2π8＝ 32 ．[解析] 原式＝32×2tanπ81－tan2π8＝32tan(2×π8)＝32tan π4＝32． 三、解答题9．求值：sin50°(1＋3tan10°)． [解析] 原式＝sin50°(1＋3sin10°cos10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·212cos10°＋32sin10°cos10°＝sin50°·2sin30°cos10°＋cos30°sin10°cos10°＝sin50°·2sin40°cos10°＝2cos40°sin40°cos10°＝sin80°cos10°＝cos10°cos10°＝1．10．(2018·江苏卷，16)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55．(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值．[解析] (1)解：因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α．因为sin 2α＋cos 2α＝1， 所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)解：因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55， 所以sin(α＋β)＝1－cos 2α＋β＝255，因此tan(α＋β)＝－2． 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247． 因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－α＋β1＋tan 2αα＋β＝－211．B 级 素养提升一、选择题 1．若cos2αα－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( C ) A ．－72B ．－12C ．12D ．72 [解析]cos2αα－π4＝cos 2α－sin 2α22α－cos α＝α＋sin αα－sin α22α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22． ∴sin α＋cos α＝12．2．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( B ) A ．1318 B ．1118 C ．79D ．－1[解析] sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118．3．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan2α＝( C ) A ．43 B ．34 C ．－34D ．－43[解析] 本题考查三角函数同角间的基本关系． 将sin α＋2cos α＝102两边平方可得sin 2α＋4sin αcos α＋4cos 2α＝52．将左边分子分母同除以cos 2α得， 3＋4tan α1＋tan 2α＝32，解得tan α＝3， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝61－9＝－34． 4．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝( B )A ．－13B ．－79C ．79D ．13[解析] cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2cos 2[π2－(π6－α)]－1＝2sin 2(π6－α)－1＝29－1＝－79．二、填空题5．若α∈(0，π2)，且sin 2α＋cos2α＝14，则tan α[解析] 由sin 2α＋cos2α＝14得sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α＝14.∵α∈(0，π2)，∴cos α＝12，∴α＝π3，∴tan α＝tan π3＝3．6．已知α为第三象限角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝ －17 ．[解析] 由题意sin2α＝45，∴tan2α＝－43．∴tan(π4＋2α)＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－17．三、解答题7．已知向量m ＝(cos α－23，－1)，n ＝(sin α，1)，m 与n 为共线向量，且α∈[－π2，0]．(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．[解析] (1)∵m 与n 为共线向量， ∴(cos α－23)×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23． (2)由(1)得1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79．∵(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2， ∴(sin α－cos α)2＝2－(23)2＝169． 又∵α∈[－π2，0]，∴sin α－cos<0，sin α－cos α＝－43．因此，sin2αsin α－cos α＝712．8．(广东高考)已知tan α＝2． (1)求tan(α＋π4)的值；(2)求sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1的值．[解析] (1)tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2×1＝－3．(2)sin2αsin 2α＋sin αcos α－cos2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2α－－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1．C 级 能力拔高已知sin(π4－x )＝513，x ∈(0，π4)，求cos2xπ4＋x 的值．[解析] ∵x ∈(0，π4)，∴π4－x ∈(0，π4)， 又∵sin(π4－x )＝513.∴cos(π4－x )＝1213，又cos2x ＝sin(π2－2x )＝2sin(π4－x )cos(π4－x )＝2×513×1213＝120169．cos(π4＋x )＝sin[π2－(π4＋x )]＝sin(π4－x )＝513，∴原式＝120169513＝2413．。
课时跟踪检测 (四十三) 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课时跟踪检测 （四十三） 二倍角的正弦、余弦、正切公式层级(一) “四基”落实练 1.sin 20°cos 20°cos 2155°－sin 2155°的值是( ) A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选A 原式＝12sin 40°cos 310°＝12sin 40°cos 50°＝12sin 40°sin 40°＝12.2．已知sin α＝55，则cos 4α－sin 4α的值为( ) A ．－35B ．－15C.15D ．35解析：选D cos 4α－sin 4α＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝1－2sin 2α＝1－25＝35.3．若9－cos 2θcos θ＋1＝4，则(sin θ)2 020＋(cos θ)2 021的取值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．0解析：选A 因为9－cos 2θcos θ＋1＝4，所以9－(2cos 2θ－1)＝4(cos θ＋1)， 即cos 2θ＋2cos θ－3＝0，解得cos θ＝1或cos θ＝－3(舍去)， 所以sin θ＝±1－cos 2θ＝0， 所以(sin θ)2 020＋(cos θ)2 021＝1. 4．已知cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15，则sin 2x ＝( ) A ．－2425B ．－45C ．2425D ．255解析：选A ∵cos 2x2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝15， ∴cos 2x －sin 2x cos x －sin x ＝15， ∴cos x ＋sin x ＝15，两边平方，得1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.5．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图，发现0.618就是黄金分割，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为a ＝2sin 18°，若a 2＋b ＝4，则1－2cos 227°a b＝( )A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：选A ∵a ＝2sin 18°，a 2＋b ＝4， ∴b ＝4－a 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，∴1－2cos 227°a b ＝1－2cos 227°2sin 18°4cos 218°＝－cos 54°4sin 18°cos 18°＝－sin 36°2sin 36°＝－12.6．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝________.解析：因为sin α＋cos αsin α－cos α＝12，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×(－3)1－(－3)2＝34. 答案：347．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 取得最大值，则tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝________. 解析：f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. ∵当x ＝θ时，函数f (x )取得最大值，∴θ＋π3＝π2＋2k π，k ∈Z ，即θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，∴tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π6＋2k π＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝1＋331－33＝2＋ 3. 答案：2＋ 38．已知角α的终边经过点(－8，－6)，则1＋cos 2α＋sin 2αcos (π＋α)＝________.解析：因为点(－8，－6)到原点的距离r ＝(－8)2＋(－6)2＝10，所以sin α＝－610＝－35，cos α＝－810＝－45.所以1＋cos 2α＋sin 2αcos (π＋α)＝2cos 2α＋2sin αcos α－cos α＝－2cos α－2sin α＝－2×⎝⎛⎭⎫－45－2×⎝⎛⎭⎫－35＝145. 答案：1459．求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A .证明：左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2＝tan 4A ＝右边，所以3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A .10．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝16，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin 4α的值． 解：因为sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝16，所以sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝13， 即cos 2α＝13.因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以2α∈(π，2π)． 所以sin 2α＝－1－cos 22α＝－223.所以sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－223×13＝－429.层级(二) 素养提升练1．已知tan 2α＝－22，且满足π4＜α＜π2，则2cos 2α2－sin α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．－3＋2 2D ．3－2 2解析：选C 已知tan 2α＝－22，且满足π4＜α＜π2，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－22，解得tan α＝2，所以2cos 2α2－sin α－12sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝－3＋2 2.2．化简：tan 70°cos 10°·(3tan 20°－1)的结果是________． 解析：原式＝sin 70°cos 70°·cos 10°⎝⎛⎭⎫3sin 20°cos 20°－1＝3cos 10°－cos 10°·sin 70°cos 70°＝3cos 10°－cos 10°·cos 20°2sin 10°·cos 10°＝3sin 20°－cos 20°2sin 10°＝sin 20°cos 30°－cos 20°sin 30°sin 10°＝sin (20°－30°)sin 10°＝－1.答案：－13．已知函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋3cos 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域． 解：f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋3cos 2x ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22－1－cos ⎝⎛⎭⎫2x －π22＋3cos 2x＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)f (x )的最小正周期为2π2＝π.(2)由x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，得2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1， ∴f (x )∈[－1,2]．即f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的值域为[－1,2]． 4．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 解：(1)由题意知cos α＝－1－⎝⎛⎭⎫552＝－255，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝2cos 2α－1＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α ＝cos5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45 ＝－33＋410.5．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)请根据②式求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15 ° ＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：法一：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 法二：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α) ＝1－cos 2α2＋1＋cos (60°－2α)2－sin α(cos 30°cos α＋sin 30°sin α) ＝12－12cos 2α＋12＋12(cos 60°cos 2α＋sin 60°·sin 2α)－32sin αcos α－12sin 2α ＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α＋34sin 2α－34sin 2α－14(1－cos 2α) ＝1－14cos 2α－14＋14cos 2α＝34.。
二倍角的正弦余弦正切公式习题及答案
二倍角的正弦、余弦、正切公式[基础自测]1．思考辨析(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．( ) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( ) (3)对于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．( )[解析] (1)×.二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的，而二倍角的正切公式，要求α≠π2＋k π(k ∈Z )且α≠±π4＋k π(k ∈Z )，故此说法错误．(2)√.当α＝k π(k ∈Z )时，sin 2α＝2sin α. (3)×.当cos α＝1－32时，cos 2α＝2cos α. [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．sin 15°cos 15°＝________.14 [sin 15°cos 15°＝12×2sin 15°cos 15°＝12sin 30°＝14.] 3．12－cos 2π8＝________. －24 [12－cos 2π8＝12－1＋cos π42＝12－12－12×22＝－24.]4．若tan θ＝2则tan 2θ＝________. －43 [tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×21－22＝－43.] [合 作 探 究·攻 重 难]给角求值(1)cos π7cos 3π7cos 5π7的值为( ) A ．14 B ．－14 C ．18D ．－18(2)求下列各式的值：①cos 415°－sin 415°；②1－2sin 275°；③1－tan 275°tan 75°；④1sin 10°－3cos 10°.(1)D [(1)∵cos 3π7＝－cos 4π7，cos 5π7＝－cos 2π7，∴cos π7cos 3π7cos 5π7＝cos π7cos 2π7cos 4π7＝8sin π7cos π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝4sin 2π7cos 2π7cos 4π78sin π7＝2sin 4π7cos 4π78sin π7＝sin 8π78sin π7＝－18. (2)①cos 415°－sin 415°＝(cos 215°－sin 215°)(cos 215°＋sin 215°)＝cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32.②1－2sin 275°＝1－(1－cos 150°)＝cos 150°＝－cos 30°＝－32. ③1－tan 275°tan 75°＝2×1－tan 275°2tan 75° ＝2×1tan 150°＝－2 3.④1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10° ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°＝4.][规律方法] 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.[跟踪训练] 1．求下列各式的值 (1)cos 72°cos 36°； (2)1sin 50°＋3cos 50°.[解] (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36°＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14.(2)原式＝cos 50°＋3sin 50°sin 50°cos 50°＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 50°＋32sin 50°12×2sin 50°cos 50°＝2sin 80°12sin 100°＝2sin 80°12sin 80°＝4.给值求值、求角问题(1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值；(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且sin 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4，求α.[思路探究] 依据以下角的关系设计解题思路求解：(1)α＋π4与2α＋π2，α－π4与2α－π2具有2倍关系，用二倍角公式联系； (2)2α＋π2与2α差π2，用诱导公式联系． [解] (1)∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4. ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＞0，∴3π2＜α＋π4＜7π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝－45，∴cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×35＝－2425，sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22cos 2α－22sin 2α＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－22×725＝－31250.(2)∵sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，∴原式可化为1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，解得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－12.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，3π4，故α＋π4＝0或α＋π4＝2π3， 即α＝－π4或α＝5π12.母题探究：1.在例2(1)的条件下，求sin 4α的值．[解] 由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2×725×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425＝－336625.2．将例2(1)的条件改为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 的值．[解] ∵0＜x ＜π4，∴π4－x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1213.又cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2×513×1213＝120169， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝513，∴原式＝120169513＝2413.[规律方法] 解决条件求值问题的方法(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.(2)当遇到\f(π,4)±x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通.cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x .类似的变换还有：cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ，sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －1，sin 2x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 等.化简证明问题[探究问题]1．解答化简证明问题时，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情况，通常要如何处理？提示：通常要切化弦后再进行变形．2．证明三角恒等式时，通常的证明方向是什么？提示：由复杂一侧向简单一侧推导．(1)化简：1tan θ＋1＋1tan θ－1＝________.(2)证明：3tan 12°－3sin 12°(4cos212°－2)＝－4 3.[思路探究](1)通分变形．(2)切化弦通分，构造二倍角的余弦→二倍角的正弦→约分求值(1)－tan 2θ[(1)原式＝tan θ－1＋tan θ＋1(tan θ＋1)(tan θ－1)＝2tan θtan2θ－1＝－2tan θ1－tan2θ＝－tan2θ.(2)左边＝3sin 12°－3cos 12°cos 12°2sin 12°(2cos212°－1)＝23⎝⎛⎭⎪⎫12sin 12°－32cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝23sin(12°－60°)sin 24°cos 24°＝－23sin 48°12sin 48°＝－43＝右边，所以原等式成立．][规律方法]证明三角恒等式的原则与步骤(1)观察恒等式两端的结构形式，处理原则是从复杂到简单，高次降低，复角化单角，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想.(2)证明恒等式的一般步骤：①先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异；②本着“复角化单角”“异名化同名”“变换式子结构”“变量集中”等原则，设法消除差异，达到证明的目的.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°D ．sin 215°＋cos 215°B [2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12；cos 215°－sin 215°＝cos 30°＝32；2sin 215°＝1－cos 30°＝1－32；sin 215°＋cos 215°＝1，故选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4.]3．若sin α＝3cos α，则sin 2αcos 2α＝________. 6 [sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2sin αcos α＝6cos αcos α＝6.]4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________.3 [∵sin 2α＝－sin α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π知sin α≠0，∴cos α＝－12，∴α＝2π3， ∴tan 2α＝tan 4π3＝tan π3＝ 3.] 5．已知π2＜α＜π，cos α＝－45. (1)求tan α的值；(2)求sin 2α＋cos 2α的值．[解](1)因为cos α＝－45，π2＜α＜π，所以sin α＝3 5，所以tan α＝sin αcos α＝－34.(2)因为sin 2α＝2sin αcos α＝－24 25，cos 2α＝2cos2α－1＝7 25，所以sin 2α＋cos 2α＝－2425＋725＝－1725.。
高一数学同步测试(5)—二倍角的正弦、余弦、正切.doc
高中学生学科素质训练高一数学同步测试（5）—二倍角的正弦、余弦、正切一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．15cos 75cos 15cos 75cos 22⋅++的值是（ ）A ．45 B ．26 C ．23 D ．431+ 2． 如果ααααcos sin ,21cos 1sin +=+那么的值是（ ）A ．57B ．58 C ．1D ．15293．已知Q 为第Ⅲ象限象，则θcos 21212121++等于（ ）A ．4sinθB ．4cos θC ．4sin θ-D ．4cos θ-4．函数xxx y cos cos 3cos -=的值域是（ ）A ．)0,4[-B ．)4,4[-C ．]0,4(-D ．[－4，0] 5．ππππ133cos 135cos 13cos 139cos 2++的值是 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．2 6．80sin 60sin 40sin 20sin ⋅⋅⋅的值为（ ）A ．161 B ．161-C ．163 D ．163- 7．48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值为（ ）A ．161 B ．161-C ．321 D ．818．αααcos 1sin 2tan +=成立的条件是（ ）A ．2α是第I 第限角B ．))(2,2(Z k k k ∈+∈πππαC ．0cos sin >⋅ααD ．以上都不对9．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247B ．－247C ．724D ．－72410．已知θ为第Ⅲ象限角，θθθ2sin ,95cos sin 44那么=+等于（ ）A ．232-B ．232C ．32D ．32- 11．已知θ为第Ⅱ象限角，2cos ,024sin sin252θθθ那么=-+的值为（ ）A ．53-B ．53±C ．22 D ．54±12．设xxx x x x x tan 12sin cos 2,0)3cos )(sin sin cos 2(2++=++-则的值为（ ）A ．58 B ．85 C ．52 D ．25 二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）13． 100cos 60cos 40cos 20cos ++-的值等于 .14．已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，那么)tan(βα+的值为 .15．已知θπθθθcot ),,0(,51cos sin 则∈=+的值是 . 16．化简100sin 15cos 100cos -⋅的结果是 .三、解答题（本大题74分，17—21题每题12分，22题14分）17．已知)cos(,20,0,32)2sin(,91)2cos(βαπβπαβαβα+<<<<=--=-求的值.18．设)6sin(2)32cos(],3,0[πππ-+-=∈x x y x 求函数的最值.19．求证：x x x x x 2cos cos 3cos sin 3sin 333=⋅+⋅20．不查表求值 40cos 160cos 160cos 80cos 80cos 40cos ⋅+⋅+⋅21．已知函数)()0(2sin225sin 21)(θπθθθθf f 将<<+-=表示成关于θcos 的多项式22．已知xx xx x x x x x f cos sin 1sin cos 1cos sin 1sin cos 1)(+---+---+=①化简f （x ）②是否存在x ，使得xxx f xsin 2tan 1)(2tan2+⋅与相等？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由.参考答案一、1．A 2．A 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B 11．B 12．C 二、13．21 14．73 15．43- 16．2- 三、17．由已知954)2sin(91)2cos(,24=--=-<-<βαβαπβαπ故又同理2757)]2()2cos[(2cos ,531)2cos(=---=+=-βαβαβαβα故 故72923912cos 2)cos(2-=-+=+βαβα 18．212323]21)6[sin(2min max 2-==∴+---=y y x y π19．==⋅=+⋅=x x x x x x 2cos 2cos 22cos 212cos 212cos 4cos 2132左右 20．原式=43)20cos 20cos 60cos 2(2143-=-+- 21．1cos cos 221cos 4cos 221)(22-+=-++-=θθθθθf 22．（1）)(22,csc 2)(Z k k x x x f ∈+≠-=ππ且（2）存在，此时)(232Z k k x ∈+=ππ。
人教A版高中同步学考数学必修4精品课件 第三章 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课堂篇合作学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
当堂检测
1
1
−
.
1+tan
3
2
(2)1+
2
2
课前篇自主预习
自主检测
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的打
“×”.
(1)对任意的角,总有sin 2θ=2sin θ. (
)
(2)不存在角α,使得cos 2θ=2cos θ. (
)
2tan
π
(3)公式 tan 2α=
成立的条件是 α≠kπ+ ,k∈Z.
2
1-tan2
S2α
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C2α
正切
tan 2α=
2 α
1- 2
T2α
课前篇自主预习
4.公式S2α,C2α,T2α的适用范围
π
在公式 S2α,C2α 中,角 α 可以为任意角;但公式 T2α 只有当 α≠2+kπ,且
π
4
π
π
平方,求得 sin 2x 的值,再求得 cos
课堂篇合作学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
π
解:(方法一)∵0<x< ,
4
π
π
∴4-x∈ 0, 4 .
π
5
又 sin - = ,
4
13
π
12
∴cos 4 - = 13.
π
π
∵cos 2x=sin 2 -2 =2sin 4 -
高中数学第三章三角恒等变换3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式练习(含解析)新人教A版必修4
高中数学第三章三角恒等变换3.1.4二倍角的正弦、余弦、正切公式练习（含解析）新人教A 版必修41．设α是第四象限角，已知sin α＝－35，则sin2α，cos2α和tan2α的值分别为( )A ．－2425，725，－247B ．2425，725，247C ．－2425，－725，247D ．2425，－725，－247答案 A解析 因为α是第四象限角，且sin α＝－35，所以cos α＝45，所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝725，tan2α＝sin2αcos2α＝－247．2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，cos2α＝725，则cos α＝( )A ．45B ．－45C ．－35D ．35 答案 A解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝7210，∴22sin α＋22cos α＝7210，即sin α＋cos α＝75，∵cos2α＝725，∴cos 2α－sin 2α＝725，即(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725，∴cos α－sin α＝15，可得cos α＝45，故选A ．3．1－tan 215°2t an15°等于( )A ． 3B ．33C ．1D ．－1 答案 A解析 原式＝12tan15°1－tan 215°＝1tan30°＝3．4．cos 275°＋cos 215°＋cos75°cos15°的值等于( ) A ．62 B ．32 C ．54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54．5．sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan 222.5°2tan22.5°等于( )A ．12 B ．1 C ．3 D ．2 答案 B解析 原式＝sin90°－tan 222.5°2tan22.5°＝1－tan 222.5°2tan22.5°＝1tan45°＝1．6．3－sin70°2－cos 210°的值是________． 答案 2 解析3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝23－cos20°3－cos20°＝2． 7．若cos(75°－α)＝13，则cos(30°＋2α)＝________．答案 79解析 由cos(75°－α)＝13，得cos(150°－2α)＝2cos 2(75°－α)－1＝－79，则cos(30°＋2α)＝cos[180°－(150°－2α)] ＝－cos(150°－2α)＝79．8．若α∈2，2，则1＋sin α＋1－sin α的值为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2 C ．2sin α2 D ．－2sin α2 答案 D解析 ∵α∈5π2，7π2，∴α2∈5π4，7π4，∴原式＝sin α2＋cos α2＋sin α2－cos α2＝－sin α2－cos α2－sin α2＋cos α2＝－2sin α2． 9．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos2α－π4sin α＋π2等于( )A ．25B ．75C ．145D ．－25 答案 C解析 ∵cos α＝35且α在第一象限，∴sin α＝45．∴cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－725，sin2α＝2sin αcos α＝2425，∴原式＝1＋2cos2αcos π4＋sin2αsinπ4cos α＝1＋cos2α＋sin2αcos α＝145．10．已知sin x 2－2cos x2＝0．(1)求tan x 的值；(2)求cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin π＋x 的值．解 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x2≠0，∴tan x2＝2，∴tan x ＝2tanx21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43．(2)由(1)，知tan x ＝－43，∴cos2xcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＋x sin π＋x ＝cos2x－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin x＝cos 2x －sin 2x⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x sin x＝cos x －sin x cos x ＋sin x22cos x －sin x sin x＝2×cos x ＋sin x sin x ＝2×1＋tan x tan x ＝24．对应学生用书P90一、选择题1．12－sin 215°＝( ) A ．64 B ．6－24 C ．32 D ．34答案 D解析 原式＝12－1－cos 2×15°2＝cos30°2＝34．2．函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数 答案 C解析 ∵f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1＝－cos2x 2＋π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝sin x ，∴函数f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－1是最小正周期为2π的奇函数．3．已知cos π4－x ＝35，则sin2x 的值为( )A ．1825B ．725C ．－725D ．－1625 答案 C解析 因为sin2x ＝cos π2－2x ＝cos2π4－x ＝2cos 2π4－x －1，所以sin2x ＝2×352－1＝1825－1＝－725．4．已知cos2θ＝23，则sin 4θ＋cos 4θ的值为( ) A ．1318 B ．1118 C ．79 D ．－1 答案 B解析 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ＝1－12(1－cos 22θ)＝1118．5．若cos2αsin α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( )A ．－72 B ．－12C ．12D ．72 答案 C解析 cos2αsin α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α＝cos α＋sin αcos α－sin α22sin α－cos α＝－2(cos α＋sin α)＝－22． ∴sin α＋cos α＝12．二、填空题6．已知tan x ＋π4＝2，则tan xtan2x 的值为________．答案 49解析 ∵tan x ＋π4＝2，∴tan x ＋11－tan x ＝2，∴tan x ＝13．∴tan x tan2x ＝tan x 2tan x 1－tan 2x＝1－tan 2x2＝1－192＝49． 7．已知sin 22α＋sin2αcos α－cos2α＝1，α∈0，π2，则 α＝________．答案π6解析 ∵sin 22α＋sin2αcos α－(cos2α＋1)＝0． ∴4sin 2αcos 2α＋2sin αcos 2α－2cos 2α＝0． ∵α∈0，π2．∴2cos 2α>0．∴2sin 2α＋sin α－1＝0．∴sin α＝12(sin α＝－1舍)．∴α＝π6．8．设a ＝12cos7°－32sin7°，b ＝2cos12°·cos78°，c ＝1－cos50°2，则a ，b ，c 的大小关系是________．答案 c >b >a解析 a ＝12cos7°－32sin7°＝sin30°cos7°－cos30°sin7°＝sin(30°－7°)＝sin23°，b ＝2cos12°cos78°＝2sin12°·cos12°＝sin24°，c ＝1－cos50°2＝1－1－2sin 225°2＝sin 225°＝sin25°，所以c >b >a ．三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°；(3)2cos25π12－1；(4)tan30°1－tan 230°； (5)求s in10°sin30°sin50°sin70°的值． 解 (1)∵sin 3π8＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π8＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24．(2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°， ∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215°＝cos30°＝32． (3)2cos25π12－1＝cos 5π6＝－32． (4)tan30°1－tan 230°＝12×2tan30°1－tan 230°＝12tan60°＝32． (5)解法一：∵sin10°sin50°sin70°＝sin20°sin50°sin70°2cos10°＝sin20°cos20°sin50°2cos10°＝sin40°sin50°4cos10°＝sin40°cos40°4cos10°＝sin80°8cos10°＝18，∴sin10°sin30°sin50°sin70°＝116．解法二：sin10°sin30°sin50°sin70°＝12cos20°cos40°cos80°＝2sin20°cos20°cos40°cos80°4sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20°＝sin80°cos80°8sin20°＝116·sin160°sin20°＝116．10．已知α为钝角，且tan π4－α＝2．(1)求tan α的值；(2)求sin2αcos α－sin αcos2α的值．解 (1)tan π4－α＝1－tan α1＋tan α，所以1－tan α1＋tan α＝2，1－tan α＝2＋2tan α，所以tan α＝－13．(2)sin2αcos α－sin αcos2α＝2sin αcos 2α－sin αcos2α＝sin α2cos 2α－1cos2α＝sin αcos2αcos2α＝sin α．因为tan α＝－13，所以cos α＝－3sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＝110，又α为钝角，所以sin α＝1010， 所以sin2αcos α－sin αcos2α＝1010．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高一数学同步测试—二倍角的正弦、余弦、正切
一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．
15cos 75cos 15cos 75cos 2
2
⋅++的值是
（ ）
A ．
4
5 B ．
2
6 C ．
2
3 D ．4
31+ 2． 如果ααααcos sin ,21
cos 1sin +=+那么的值是
（ ）
A ．57
B ．5
8 C ．1
D ．
15
29
3．已知θ为第Ⅲ象限象，则θcos 2
1212121++等于 （ ）
A ．4
sin
θ B ．4cos θ
C ．4
sin θ- D ．4
cos θ
-
4．函数x
x
x y cos cos 3cos -=的值域是
（ ）
A ．)0,4[-
B ．)4,4[-
C ．]0,4(-
D ．[－4，0] 5．ππππ13
3
cos 135cos 13cos 139cos 2++的值是 （ ）
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2 6．
80sin 60sin 40sin 20sin ⋅⋅⋅的值为
（ ）
A ．
16
1 B ．16
1-
C ．16
3 D ．16
3- 7．
48cos 78sin 24cos 6sin ⋅的值为
（ ）
A ．
16
1 B ．161-
C ．
32
1 D ．
8
1
8．αααcos 1sin 2tan +=成立的条件是
（ ）
A ．2
α是第I 第限角
B ．))(2,2(Z k k k ∈+∈πππα
C ．0cos sin >⋅αα
D ．以上都不对
9．已知==
-
∈x x x 2tan ,54
cos ),0,2(则π
（ ）
A ．247
B ．－247
C ．724
D ．－7
24
10．已知θ为第Ⅲ象限角，θθθ2sin ,9
5cos sin 4
4那么=+等于
（ ）
A ．23
2
-
B ．232
C ．32
D ．32- 11．已知θ为第Ⅱ象限角，2
25sin
sin 240,θθ+-= 则cos 2
θ
的值为
（ ）
A ．5
3-
B ．53±
C ．
2
2 D ．5
4±
12．设x
x
x x x x x tan 12sin cos 2,0)3cos )(sin sin cos 2(2++=++-则的值为
（ ）
A ．
5
8 B ．
8
5 C ．
5
2 D ．
2
5 二、填空题（每小题4分，共16分，答案填在横线上）
13． 100cos 60cos 40cos 20cos ++-的值等于 .
14．已知31cos cos ,41sin sin =+=+βαβα，则)tan(βα+的值为 .
15．已知θπθθθcot ),,0(,5
1
cos sin 则∈=+的值是 . 16．化简
100
sin 15cos 100cos -⋅的结果是 .
三、解答题（本大题74分，17—21题每题12分，22题14分）
17．已知)cos(,2
0,0,32)2sin(,91)2cos(βαπ
βπαβαβ
α+<<<<=--=-求的值.
18．设)6
sin(2)32cos(],3,0[π
ππ
-+-=∈x x y x 求函数的最值.
19．求证：x x x x x 2cos cos 3cos sin 3sin 3
33=⋅+⋅.
20．不查表求值： 40cos 160cos 160cos 80cos 80cos 40cos ⋅+⋅+⋅.
21．已知函数5sin 12()(0),()22sin 2
f f θθθπθθ
=-+
<<将表示成关于θcos 的多项式．
22．已知x
x x
x x x x x x f cos sin 1sin cos 1cos sin 1sin cos 1)(+---+---+=．
（I ）化简f （x ）；
(II) 是否存在x ，使得x
x
x f x sin 2tan 1)(2
tan 2
+⋅与
相等？若存在，求x 的值，若不存在，请说明理由.
参考答案
一、1．A 2．A 3．A 4．C 5．B 6．C 7．A 8．D 9．D 10．B 11．B 12．C 二、13．21 14．73 15．4
3
- 16．2- 三、
17．由已知9
54)2sin(91)2cos(,24=--=-<-<βαβαπβαπ故又，
同理27
57)]2()2cos[(2cos ,531)2cos(=
---=+=-βαβαβαβα故， 故729
239
12cos 2)cos(2-
=-+=+βαβα．
18．2max min 133
1
2[sin()],,
6222
2
y x y y π=---+∴==-
． 19．==⋅=+⋅=
x x x x x x 2cos 2cos 22cos 2
1
2cos 212cos 4cos 2132左右． 20．原式=4
3)20cos 20cos 60cos 2(2143-=-+- ． 21．1cos cos 22
1cos 4cos 221)(22
-+=-++-=θθθθθf ．
22．（I ）)(2
2,csc 2)(Z k k x x x f ∈+≠-=π
π且；
（II ）存在，此时)(2
3
2Z k k x ∈+=ππ．。