巧用二级结论,提高答题速度
新高考数学二轮复习： 策略4 妙用8个二级结论巧解高考题
奇函数的最值性质＋∞)上有最大值5，那么h(x)在(－∞，0)上的最小值为() A．－5B．－3C．－1 D．5(2)(2019·郑州模拟)已知函数f(x)＝log3(x＋x2＋1)＋2e xe x＋1在[－k，k]，(k>0)上的最大值与最小值分别为M和m，则M＋m＝()A．4 B．2C．1 D．0(1)C(2)B[(1)令F(x)＝h(x)－2＝af(x)＋bg(x)，所以F(x)为奇函数，∵x∈(0，＋∞)时，h(x)≤5,∴F(x)＝h(x)－2≤3.又x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，F(－x)≤3⇒F(x)≥－3，∴h(x)≥－3＋2＝－1，故选C.(2)已知f(x)＝log3(x＋x2＋1)＋2e xe x＋1，则f(－x)＝log3(－x＋x2＋1)＋2e－xe－x＋1，则f(x)＋f(－x)＝2，函数f(x)在定义域内为非奇非偶函数，令g(x)＝f(x)－1，则g(x)＋g(－x)＝f(x)－1＋f(－x)－1＝0，则g(x)在定义域内为奇函数．设g(x)的最大值为t，则最小值为－t，则f(x)的最大值为M＝t＋1，最小值为m＝－t＋1，则M＋m＝2，故选B.]【链接高考1】(2012·新课标全国)设函数f(x)＝(x＋1)2＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.2[显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝(x＋1)2＋sin xx2＋1＝1＋2x＋sin xx2＋1，设g(x)＝2x＋sin xx2＋1，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.]抽象函数的周期性与对称性＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 019)＝()A．2 0192B．1C．0 D．－1(2)已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，g(x)＝(x－1)3＋1，若函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x2 019，y2 019)，则∑2 019i＝1 (x i＋y i)＝________.(1)D(2)4 038[(1)根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2 019)＝f(－1＋2 020)＝f(－1)，又由函数为奇函数，则f(－1)＝－f(1)＝－1，则f(2 019)＝－1，故选D.(2)由g(x)＝(x－1)3＋1知g(x)＋g(2－x)＝2，得函数y＝g(x)的图象关于点(1,1)对称又函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，则函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点关于点(1,1)对称，则x1＋x2 019＝x2＋x2 018＝x3＋x2 017＝…＝2x1 010＝2，y1＋y2 019＝y2＋y2 018＝y3＋y2 017＝…＝2y1 010＝2，故x1＋x2＋…＋x2 018＋x2 019＝2 019，y1＋y2＋…＋y2 018＋y2 018＝2 019，即∑2 019i＝1(x i＋y i)＝4 038.]【链接高考2】(2014·大纲高考)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝()A．－2 B．－1C．0 D．1D[由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x)，故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.]两个经典不等式【典例3】设函数f(x)＝1－e－x，证明：当x＞－1时，f(x)≥xx＋1.[证明]当x＞－1时，f(x)≥xx＋1当且仅当e x≥x＋1.令g(x)＝e x－x－1，则g′(x)＝e x－1.当x≤0时g′(x)≤0，g(x)在(－∞，0]是减函数；当x≥0时g′(x)≥0，g(x)在[0，＋∞)是增函数．于是函数g(x)在x＝0处达到最小值，因而当x∈R时，g(x)≥g(0)，即e x≥x＋1.所以当x ＞－1时，f (x )≥xx ＋1.【链接高考3】(2012·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝1ln (x ＋1)－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )B [由题意得f (x )的定义域为{x |x >－1且x ≠0}，所以排除选项D.令g (x )＝ln(x ＋1)－x ，则由不等式ln(x ＋1)≤x 知，g (x )≤0恒成立，故f (x )＝1g (x )＜0恒成立，所以排除A ，C ，故选B.]三点共线的充要条件及其结论推广图1 图2OA ，OB →为基底时，OC ′→对应的系数和依然为【典例4】 [一题多解]在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点．若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ＝________.45 [法一：(常规解法)如图，连接MN 并延长交AB 的延长线于T .由已知易得AB ＝45AT ， ∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →， ∴AT →＝54λAM →＋54μAN →，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1，∴λ＋μ＝45. 法二：(等和线定理法) 如图，连接MN 并延长交AB的延长线于T .由已知易得AB ＝45AT ，又AB →＝λAM →＋μAN →，结合等和线定理得 λ＋μ＝45.]【链接高考4】(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2A [建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ， 则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12＋22＝5， EC ＝BC ·CD BD ＝25＝255，即圆C 的半径为255，∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2＝45.设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2＋255cos θ，y 0＝1＋255sin θ(θ为参数)，而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →＝(2,0)． ∵AP →＝λAB →＋μAD →＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ. 两式相加，得λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3 ⎝⎛⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.故选A.]数列的相关结论【典例5】(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2 B.73 C.83D ．3(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m＝________.(1)B (2)10 [由已知S 6S 3＝3，得S 6＝3S 3，因为S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也为等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，则(2S 3)2＝S 3(S 9－3S 3)．化简得S 9＝7S 3，从而S 9S 6＝7S 33S 3＝73.(2)由公式a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.又S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m ＝38.显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10.]【链接高考5】(2013·全国卷Ⅰ)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6C [∵S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，∴a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，∴公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m (m －1)2＝0， ①(m －1)a 1＋(m －1)(m －2)2＝－2， ②由①得a 1＝1－m2，代入②可得m ＝5.]多面体的外接球和内切球球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为( )A．14 B．2 3C．4 6 D．3A[由于直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等腰直角三角形．把直三棱柱ABC-A1B1C1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长2，所以该三棱柱的侧棱长为16－2＝14.]【链接高考6】(2016·全国卷Ⅱ)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为()A．12π B.32 3πC．8πD．4πA[设正方体棱长为a，则a3＝8，所以a＝2.所以正方体的体对角线长为23，所以正方体外接球的半径为3，所以球的表面积为4π·(3)2＝12π，故选A.]圆锥曲线的中点弦问题图1图2图3：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)中，类比上述结论有：【典例7】 [一题多解]过点P (4,2)作一直线AB 与双曲线C ：x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则|AB |＝( )A ．2 2B ．2 3C ．3 3D ．4 3D [法一：由已知可得点P 的位置如图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)＋2，x 22－y 2＝1，消去y 得(1－2k 2)x 2＋(16k 2－8k )x －32k 2＋32k －10＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－16k 2＋8k 1－2k 2，x 1x 2＝－32k 2＋32k －101－2k 2，因为P (4,2)为AB 的中点，所以－16k 2＋8k1－2k 2＝8，解得k ＝1，满足Δ＞0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43，故选D.法二：由已知可得点P 的位置如法一中图所示，且直线AB 的斜率存在，设AB 的斜率为k ，则AB 的方程为y －2＝k (x －4)，即y ＝k (x －4)＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－2y 21－2＝0，x 22－2y 22－2＝0，所以(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝2(y 1＋y 2)(y 1－y 2)，因为P (4,2)为AB 的中点，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1，所以AB 的方程为y ＝x －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，x 22－y 2＝1，消去y 得x 2－8x ＋10＝0，所以x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝10，所以|AB |＝1＋12×82－4×10＝43，故选D.]【链接高考7】(2018·全国卷Ⅲ)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0)．(1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋F A →＋FB →＝0.证明：2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|.[证明](1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1.两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0.由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m . 由题设得0<m <32，故k <－12. (2)由题意得F (1,0)．设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0,0)．由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0. 又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P 1，－32，|FP →|＝32.于是|F A →|＝(x 1－1)2＋y 21＝(x 1－1)2＋31－x 214＝2－x 12.同理|FB →|＝2－x 22.所以|F A →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3. 故2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|.过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( )A ．4B.92 C ．5 D ．6B [由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ，由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ，所以cos θ＝A E AB ＝13，所以tan θ＝2 2.则sin 2 θ＝8cos 2 θ，∴sin 2 θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2p sin 2 θ＝92.]【链接高考8】 [一题多解](2014·全国卷Ⅱ)设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334B.938C.6332D.94D [由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.法一：联立抛物线方程化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A－y B|＝(y A＋y B)2－4y A y B＝6.因此S△OAB ＝12|OF||y A－y B|＝12×34×6＝94.法二：联立方程得x2－212x＋916＝0，故x A＋x B＝212.根据抛物线的定义有|AB|＝x A＋x B＋p＝212＋32＝12，同时原点到直线AB的距离为h＝|－3|42＋(－43)2＝38，因此S△OAB ＝12|AB|·h＝94.]。
2020版高考物理二轮复习第2部分专项1巧用10招秒杀选择题第9招二级结论法课件
[例 9] (多选)如图所示，一端接有定值电阻的平行金属轨道固 定在水平面内，通有恒定电流的长直绝缘导线垂直并紧靠轨道固定， 导体棒与轨道垂直且接触良好。在向右匀速通过 M、N 两区的过程 中，导体棒所受安培力分别用 FM、FN 表示。不计轨道电阻。以下叙 述正确的是( )
A．FM 向右 C．FM 逐渐增大
快速解法：几个星球(包括人造卫星)围绕同一中心天体做匀速圆 周运动时，利用“越高越慢(高轨低速)”快速判断பைடு நூலகம்解。
＜R 地＜R 火，由此可以判定( )
A．a 金＞a 地＞a 火
B．a 火＞a 地＞a 金
C．v 地＞v 火＞v 金
D．v 火＞v 地＞v 金
A [金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则 有 GMRm2 ＝ma，解得 a＝GRM2，结合题中 R 金<R 地<R 火，可得 a 金>a 地 >a 火，选项 A 正确，B 错误；同理，有 GMRm2 ＝mvR2，解得 v＝ GRM， 再结合题中 R 金<R 地<R 火，可得 v 金>v 地>v 火，选项 C、D 均错误。]
B．FN 向左 D．FN 逐渐减小
[解题指导] 导体棒靠近长直导线和远离长直导线时导体棒中 产生的感应电流一定阻碍这种相对运动，故 FM 向左，FN 也向左，A 错误，B 正确；导体棒匀速运动时，磁感应强度越强，感应电流的阻 碍作用也越强，考虑到长直导线周围磁场的分布可知，FM 逐渐增大， FN 逐渐减小，C、D 均正确。
第二部分 考前专项提能
专项一 巧用10招秒杀选择题 第9招 二级结论法
“二级结论”是由基本规律和基本公式导出的推论。熟记并巧 用一些“二级结论”可以使思维过程简化，节约解题时间。非常实 用的二级结论有；(1)等时圆规律；(2)平抛运动速度的反向延长线过 水平位移的中点；(3)不同质量和电荷量的同性带电粒子由静止相继 经过同一加速电场和偏转电场，轨迹重合；(4)直流电路中动态分析 的“串反并同”结论；(5)平行通电导线，同向相吸，异向相斥；(6) 带电平行板电容器与电源断开，改变极板间距离不影响极板间匀强 电场的电场强度等。
高考抢分秘籍高中物理二级结论小结全
高中物理二级结论温馨提示1、“二级结论”是常见知识和经验的总结，都是可以推导的。
2、先想前提，后记结论，切勿盲目照搬、套用。
3、常用于解选择题，可以提高解题速度。
一般不要用于计算题中。
“二级结论”是在一些常见的物理情景中，由基本规律和基本公式导出的推论，又叫“半成品”。
由于这些情景和这些推论在做题时出现率高，或推导繁杂，因此，熟记这些“二级结论”，在做填空题或选择题时，就可直接使用。
在做计算题时，虽必须一步步列方程，一般不能直接引用“二级结论”，但只要记得“二级结论”，就能预知结果，可以简化计算和提高思维起点，也是有用的。
细心的学生，只要做的题多了，并注意总结和整理，就能熟悉和记住某些“二级结论”，做到“心中有数”，提高做题的效率和准确度。
运用“二级结论”，谨防“张冠李戴”，因此要特别注意熟悉每个“二级结论”的推导过程，记清楚它的适用条件，避免由于错用而造成不应有的损失。
下面列出一些“二级结论”，供做题时参考，并在自己做题的实践中，注意补充和修正。
一、静力学1．几个力平衡，则任一力是及其他所有力的合力平衡的力。
三个共点力平衡，任意两个力的合力及第三个力大小相等，方向相反。
2．两个力的合力：2121F F F F F +≤≤- 方向及大力相同3．拉米定理：三个力作用于物体上达到平衡时，则三个力应在同一平面内，其作用线必交于一点，且每一个力必和其它两力间夹角之正弦成正比，即4．两个分力F 1和F 2的合力为F ，若已知合力（或一个分力）的大小和方向，又知另一个分力（或合力）的方向，则第三个力及已知方向不知大小的那个力垂直时有最小值。
FF 2的最小值5．物体沿倾角为α的斜面匀速下滑时，μ=tgα6．“二力杆”（轻质硬杆）平衡时二力必沿杆方向。
7．绳上的张力一定沿着绳子指向绳子收缩的方向。
8．支持力（压力）一定垂直支持面指向被支持（被压）的物体，压力N不一定等于重力G。
9．已知合力不变，其中一分力F1分力F2。
2020 高三理科数学考前提分策略课件7：妙用8个二级结论巧解高考题
返 首 页
10
抽象函数的周期性与对称性
1．函数的周期性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)如果f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中一个周
期T＝2a.
(2)如果f(x＋a)＝
1 fx
(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一个周
期T＝2a.
(3)如果f(x＋a)＋f(x)＝c(a≠0)，那么f(x)是周期函数，其中的一
返 首 页
14
(2)由g(x)＝(x－1)3＋1知g(x)＋g(2－x)＝2，得函数y＝g(x)的图象关于点
(1,1)对称
又函数f(x)的图象关于点(1,1)对称，则函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点
关于点(1,1)对称，则x1＋x2 019＝x2＋x2 018＝x3＋x2 017＝…＝2x1 010＝2，
－1)3＋1，若函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，
2 019
y2)，…，(x2
019，y2
019)，则
∑
i＝1
(xi＋yi)＝________.
返
首
页
13
(1)D (2)4 038 [(1)根据题意，函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则 有f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即函数是周期为4的周期函数，则f(2 019) ＝f(－1＋2 020)＝f(－1)，又由函数为奇函数，则f(－1)＝－f(1)＝－ 1，则f(2 019)＝－1，故选D.
返 首 页
6
(2)已知f(x)＝log3(x＋
x2＋1
)＋
2ex ex＋1
，则f(－x)＝log3(－x＋
x2＋1)＋e－2xe＋－x1，
数学做题特别慢？身为高中生的你真的掌握了这些“二级理论”吗？
数学做题特别慢？身为高中生的你真的掌握了这些“二级理
论”吗？
'二级结论'是在一些常见的数学情景中，由基本规律和基本公式导
出的推论，又叫'半成品'。
高中数学的知识点很多，有些内容非常不好理解，比如圆锥曲线、
离心率……等等，就算同学们学好了基础，可能分数还是不能有大幅度
提升～那么就不妨试试数学的二级结论！
二级结论相对应的是一级结论。一级结论，比如正弦定理、余弦
定理、圆锥曲线公式等。是基础的理论知识，数学毕竟是具有形式化
特点的学科，考试题目考的知识点也往往是固定的，那么我们也可以
理解为：解题的思路也有固定的可能性。通过一级结论的奇妙组合，
得到二级结论！
【二级结论有很多好处，它可以使同学们做题速度快、学习效率
提高】
那么今天老师就给大家准备好了高中数学：十个“二级结论”，
解题高效又准确，也准备了例题解析，数学是一门需要耐心的学科，
公式定理是解题必不可少的要点，考前再学会这些二级结论，然后去
做题，效率和正确率绝对可以翻倍，打印收藏！
2020数学(文)总复习：妙用8个二级结论巧解高考题
【链接高考 1】 (2018·全国卷Ⅲ)已知函数 f(x)＝ln( 1＋x2－x) ＋1，f(a)＝4，则 f(－a)＝________.
－2 [由 f(a)＝ln( 1＋a2－a)＋1＝4，得 ln( 1＋a2－a)＝3，所以 f(－a)＝ln( 1＋a2＋a)＋1＝－ln 1＋1a2＋a＋1＝－ln( 1＋a2－a)＋1 ＝－3＋1＝－2.]
返 首 页
结论 4 对数、指数形式的经典不等式
1．对数形式：1－x＋1 1≤ln(x＋1)≤x(x＞－1)，当且仅当 x＝0 时， 等号成立．
2．指数形式：ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当 x＝0 时，等号成立．
返 首 页
【典例 4】 设函数 f(x)＝1－e－x.证明：当 x＞－1 时，f(x)≥x＋x 1. [证明] f(x)≥x＋x 1(x＞－1)⇔1－e－x≥x＋x 1(x＞－1)⇔1－x＋x 1
(2)一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项的和与奇 数项的和的比为 32∶27，则数列的公差 d＝________.
返 首 页
(1)10 (2)5 [(1)由 am－1＋am＋1－a2m＝0 得 2am－a2m＝0，解得 am ＝0 或 2.
又 S2m－1＝2m－1a21＋a2m－1＝(2m－1)am＝38， 显然可得 am≠0，所以 am＝2. 代入上式可得 2m－1＝19，解得 m＝10.
点a，b中心对称.)
返 首
页
【典例 3】 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋1)＝f(1－x)，
且在[1，＋∞)上是增函数，不等式 f(ax＋2)≤f(x－1)对任意的 x∈12，1 恒成立，则实数 a 的取值范围是( )
A．[－3，－1]
做题速度翻倍！高中物理常用二级结论汇总（附解题模型）
做题速度翻倍！⾼中物理常⽤⼆级结论汇总（附解题模型）师兄有话说⼆级结论是指⼀些常⽤的模型结论，通常都是在⼀定前提下推导出来。
如果利⽤得当可以⼤⼤提⾼做题效率，尤其适合快解选择题。
但如果忽视适⽤条件随意套⽤，就很可能掉进命题⼈的陷阱。
⼀、静⼒学：1．⼏个⼒平衡，则⼀个⼒是与其它⼒合⼒平衡的⼒。
2．两个⼒的合⼒：三个⼤⼩相等的共点⼒平衡，⼒之间的夹⾓为120°。
3．⼒的合成和分解是⼀种等效代换，分⼒与合⼒都不是真实的⼒，求合⼒和分⼒是处理⼒学问题时的⼀种⽅法、⼿段。
4．三⼒共点且平衡，则有5．物体沿斜⾯匀速下滑，则6．两个⼀起运动的物体“刚好脱离”时：貌合神离，弹⼒为零。
此时速度、加速度相等，此后不等。
7．轻绳不可伸长，其两端拉⼒⼤⼩相等，线上各点张⼒⼤⼩相等。
因其形变被忽略，其拉⼒可以发⽣突变，“没有记忆⼒”。
8．轻弹簧两端弹⼒⼤⼩相等，弹簧的弹⼒不能发⽣突变。
9．轻杆能承受纵向拉⼒、压⼒，还能承受横向⼒。
⼒可以发⽣突变，“没有记忆⼒”。
⼆、运动学：1．在描述运动时，在纯运动学问题中，可以任意选取参照物；在处理动⼒学问题时，只能以地为参照物。
2．匀变速直线运动：⽤平均速度思考匀变速直线运动问题，总是带来⽅便：3．匀变速直线运动：4．匀变速直线运动，v0 = 0时：时间等分点：各时刻速度⽐：1：2：3：4：5各时刻总位移⽐：1：4：9：16：25各段时间内位移⽐：1：3：5：7：95．⾃由落体：n秒末速度（m/s）： 10，20，30，40，50n秒末下落⾼度(m)：5、20、45、80、125第n秒内下落⾼度(m)：5、15、25、35、456．上抛运动：有对称性：7．相对运动：共同的分运动不产⽣相对位移。
8．“刹车陷阱”：给出的时间⼤于滑⾏时间，则不能⽤公式算。
先求滑⾏时间，确定了滑⾏时间⼩于给出的时间时，⽤求滑⾏距离。
9．绳端物体速度分解：对地速度是合速度，分解为沿绳的分速度和垂直绳的分速度。
考前冲刺一 12类二级结论高效解题
考前冲刺一12类二级结论高效解题高中数学二级结论在解题中有其高明之处，不仅简化思维过程，而且可以提高解题速度和准确度，记住这些常用二级结论，可以帮你理清数学套路，节约做题时间，从而轻松拿高分.结论1 奇函数的最值性质已知函数f(x)是定义在区间D上的奇函数，则对任意的x∈D，都有f(x)＋f(－x)＝0.特别地，若奇函数f(x)在D上有最值，则f(x)max＋f(x)min＝0，且若0∈D，则f(0)＝0.【例1】设函数f(x)＝（x＋1）2＋sin xx2＋1的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.解析显然函数f(x)的定义域为R，f(x)＝（x＋1）2＋sin xx2＋1＝1＋2x＋sin xx2＋1，设g(x)＝2x＋sin xx2＋1，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2.答案 2【训练1】 已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 12＝( )A.－1B.0C.1D.2解析 令g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )，x ∈R ，则g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )，因为g (x )＋g (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋ln(1＋9x 2＋3x )＝ln(1＋9x 2－9x 2)＝ln 1＝0，所以g (x )是定义在R 上的奇函数.又lg 12＝－lg 2，所以g (lg 2)＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 12＝0，所以f (lg 2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 12＝g (lg 2)＋1＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫lg 12＋1＝2.答案 D结论2 函数周期性问题已知定义在R 上的函数f (x )，若对任意的x ∈R ，总存在非零常数T ，使得f (x ＋T )＝f (x )，则称f (x )是周期函数，T 为其一个周期. 常见的与周期函数有关的结论如下：(1)如果f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . (2)如果f (x ＋a )＝1f （x ）(a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a .(3)如果f (x ＋a )＋f (x )＝c (a ≠0)，那么f (x )是周期函数，其中的一个周期T ＝2a . 【例2】 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32＝－f (x )，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)＝( ) A.－2B.－1C.0D.1(2)(多选题)(2020·济南模拟)函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，则( ) A.f (x )为奇函数B.f (x )为周期函数C.f (x ＋3)为奇函数D.f (x ＋4)为偶函数解析 (1)因为f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32＝－f (x )，所以f (x ＋3)＝－f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋32＝f (x )，则f (x )的周期T ＝3.则有f (1)＝f (－2)＝－1，f (2)＝f (－1)＝－1，f (3)＝f (0)＝2， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＋f (2 020)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＋f (2 020) ＝673×[f (1)＋f (2)＋f (3)]＋f (2 020)＝0＋f (1)＝－1.(2)法一 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (－x )＋f (2＋x )＝0，f (－x )＋f (4＋x )＝0，所以f (2＋x )＝f (4＋x )，即f (x )＝f (2＋x )，所以f (x )是以2为周期的周期函数.又f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC.法二 由f (x ＋1)与f (x ＋2)都为奇函数知，函数f (x )的图象关于点(1，0)，(2，0)对称，所以f (x )的周期为2|2－1|＝2，所以f (x )与f (x ＋2)，f (x ＋4)的奇偶性相同，f (x ＋1)与f (x ＋3)的奇偶性相同，所以f (x )，f (x ＋3)，f (x ＋4)均为奇函数.故选ABC. 答案 (1)B (2)ABC【训练2】 奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( ) A.－2B.－1C.0D.1解析由f(x＋2)是偶函数可得f(－x＋2)＝f(x＋2)，又由f(x)是奇函数得f(－x＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝－f(x－2)，f(x＋4)＝－f(x)，f(x＋8)＝f(x).故f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(9)＝f(8＋1)＝f(1)＝1.又f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，所以f(8)＝f(0)＝0，故f(8)＋f(9)＝1.答案 D结论3 函数的对称性已知函数f(x)是定义在R上的函数.(1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称，特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.(2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，即f(x)＝－f(2a－x)，则f(x)的图象关于点(a，0)对称.(3)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.【例3】(1)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x －1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)＝4，则f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)的值为________.(2)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2－f(2－x)，且f(x)是偶函数，下列说法正确的是( )A.f(x)的图象关于点(1，1)对称B.f(x)是周期为4的函数C.若f(x)满足对任意的x∈[0，1]，都有f（x2）－f（x1）x1－x2<0，则f(x)在[－3，－2]上单调递增D.若f(x)在[1，2]上的解析式为f(x)＝ln x＋1，则f(x)在[2，3]上的解析式为f(x)＝1－ln(x－2)解析(1)因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)是R上的奇函数，又f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4.所以f(2 017)＝f(504×4＋1)＝f(1)＝4，所以f(2 016)＋f(2 018)＝－f(2 014)＋f(2 014＋4)＝－f(2 014)＋f(2 014)＝0，所以f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＝4.(2)根据题意，f(x)的图象关于点(1，1)对称，A正确；又f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)＝f(－x)，则2－f(2－x)＝f(－x)，f(x)＝2－f(x＋2)，从而f(x＋2)＝2－f(x＋4)，所以f(x)＝f(x＋4)，B正确；由f（x2）－f（x1）x1－x2<0可知f(x)在[0，1]上单调递增，又f(x)的图象关于点(1，1)对称，所以f(x)在[1，2]上单调递增，因为f(x)的周期为4，所以f(x)在[－3，－2]上单调递增，C正确；因为f(x)＝f(－x)，x∈[－2，－1]时，－x∈[1，2]，所以f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋1，x∈[－2，－1]，因为f(x)的周期为4，f(x)＝f(x－4)，x∈[2，3]时，x－4∈[－2，－1]，所以f(x)＝f(x－4)＝ln(4－x)＋1，x∈[2，3]，D错误.综上，正确的是ABC.答案(1)4 (2)ABC【训练3】(1)若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(1－x)的图象大致为( )(2)若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且f(3)＝3，则f(－1)＝________. 解析(1)作出y＝f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到y＝f(－x)的图象，将y＝f(－x)的图象向右平移1个单位，得y＝f[－(x－1)]＝f(1－x)的图象.因此图象A满足.(2)因为f(x)的图象关于直线x＝2对称，所以f(x)＝f(4－x)，f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(x＋4)，则f(－1)＝f(3)＝3.答案(1)A (2)3结论4 两个经典不等式(1)对数形式：x≥1＋ln x(x>0)，当且仅当x＝1时，等号成立.(2)指数形式：e x≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：e x >x ＋1>x >1＋ln x (x >0，且x ≠1). 【例4】 已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)证明：对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12n <e.(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意.②若a >0，由f ′(x )＝1－a x＝x －a x知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0； 所以f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增， 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点.因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0，故a ＝1. (2)证明 由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0. 令x ＝1＋12n ，得ln ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋12n <12n .从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.故⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12n <e.【训练4】 (1)已知函数f (x )＝1ln （x ＋1）－x，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln （x ＋1）－x ≠0，得{x |x >－1，且x ≠0}，所以排除选项D. 当x >0时，由经典不等式x >1＋ln x (x >0)， 以x ＋1代替x ，得x >ln(x ＋1)(x >－1，且x ≠0)，所以ln(x ＋1)－x <0(x >－1，且x ≠0)，排除A ，C ，易知B 正确. 答案 B (2)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一公共点.证明 令g (x )＝f (x )－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 2＋x ＋1＝e x －12x 2－x －1，x ∈R ，则g ′(x )＝e x －x －1，由经典不等式e x ≥x ＋1恒成立可知，g ′(x )≥0恒成立，所以g (x )在R 上为增函数，且g (0)＝0.所以函数g (x )有唯一零点，即两曲线有唯一公共点. 结论5 三点共线的充要条件设平面上三点O ，A ，B 不共线，则平面上任意一点P 与A ，B 共线的充要条件是存在实数λ与μ，使得OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.特别地，当P 为线段AB 的中点时，OP →＝12OA →＋12OB →.【例5】 在△ABC 中，AE→＝2EB →，AF →＝3FC →，连接BF ，CE ，且BF 与CE 交于点M，AM→＝xAE→＋yAF→，则x－y等于( )A.－112B. 1 12C.－16D.16解析因为AE→＝2EB→，所以AE→＝23AB→，所以AM→＝xAE→＋yAF→＝23xAB→＋yAF→.由B，M，F三点共线得23x＋y＝1.①因为AF→＝3FC→，所以AF→＝34AC→，所以AM→＝xAE→＋yAF→＝xAE→＋34yAC→.由C，M，E三点共线得x＋34y＝1.②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝12，y＝23，所以x－y＝12－23＝－16.答案 C【训练5】在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点.若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ＝________.解析如图，连接MN并延长交AB的延长线于T.由已知易得AB＝45AT，∴45AT →＝AB →＝λAM →＋μAN →， ∴AT →＝54λAM →＋54μAN →，∵T ，M ，N 三点共线，∴54λ＋54μ＝1，∴λ＋μ＝45.答案45结论6 三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则(1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a 2sin A .(2)O 为△ABC 的重心⇔OA→＋OB →＋OC →＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA→·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →.(4)O 为△ABC 的内心⇔aOA→＋bOB →＋cOC →＝0.【例6】 P 是△ABC 所在平面内一点，若PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则P 是△ABC 的( ) A.外心B.内心C.重心D.垂心解析 由PA→·PB →＝PB →·PC →，可得PB →·(PA →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB →⊥CA →，同理可证PC →⊥AB →，PA →⊥BC →.∴P 是△ABC 的垂心. 答案 D【训练6】 O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP→＝OB→＋OC →2＋λAP →，λ∈R ，则P 点的轨迹一定经过△ABC 的( ) A.外心B.内心C.重心D.垂心解析 设BC 的中点为M ，则OB→＋OC →2＝OM→， 则有OP→＝OM →＋λAP →，即MP →＝λAP →. ∴P 的轨迹一定通过△ABC 的重心. 答案 C结论7 与等差数列相关的结论已知等差数列{a n }，公差为d ，前n 项和为S n .(1)若S m ，S 2m ，S 3m 分别为等差数列{a n }的前m 项、前2m 项、前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列.(2)若等差数列{a n }的项数为偶数2m ，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)，S 偶－S 奇＝md ，S 偶S 奇＝a m ＋1a m.(3)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝mm －1.【例7】 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( ) A.3B.4C.5D.6(2)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.解析 (1)∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ， ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫S n n 也为等差数列.∴S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5. 经检验，m ＝5符合题意.(2)由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0得2a m －a 2m ＝0，解得a m ＝0或2.又S 2m －1＝（2m －1）（a 1＋a 2m －1）2＝(2m －1)a m ＝38，显然可得a m ≠0，所以a m ＝2.代入上式可得2m －1＝19，解得m ＝10. 答案 (1)C (2)10【训练7】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝20，S 20＝50，则S 30＝________.(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则数列的公差d ＝________.解析 (1)(S 20－S 10)－S 10＝(S 30－S 20)－(S 20－S 10)，S 30＝3S 20－3S 10＝3×50－3×20＝90.(2)设等差数列的前12项中奇数项和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.答案 (1)90 (2)5结论8 与等比数列相关的结论已知等比数列{a n }，公比为q ，前n 项和为S n .(1)数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 也为等比数列，其公比为1q .(2)公比q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等比数列(n ∈N *).(3)若等比数列的项数为2n (n ∈N *)，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶＝qS 奇.(4)已知等比数列{a n }，公比为q ，前n 项和为S n .则S m ＋n ＝S m ＋q m S n (m ，n ∈N *).【例8】 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A.2B.73 C.83D.3解析 由已知S 6S 3＝3，得S 6＝3S 3且q ≠－1，因为S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也为等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，则(2S 3)2＝S 3(S 9－3S 3).化简得S 9＝7S 3，从而S 9S 6＝7S 33S 3＝73.答案 B (2)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 3＝72，S 6＝632.①求数列{a n }的通项公式；②求log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 25的值.解 ①由S 3＝72，S 6＝632，得S 6＝S 3＋q 3S 3＝(1＋q 3)S 3，∴q ＝2.又S 3＝a 1(1＋q＋q 2)，得a 1＝12.故通项公式a n ＝12×2n －1＝2n －2.②由①及题意可得log 2a n ＝n －2，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 25＝－1＋0＋1＋2＋…＋23＝25×（－1＋23）2＝275.【训练8】 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前5项和为( ) A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知S 3≠0. 则S 6＝S 3＋S 3q 3＝9S 3，所以q 3＝8，q ＝2.所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1251－12＝3116. 答案 C结论9 多面体的外接球和内切球(1)长方体的体对角线长d 与共点的三条棱长a ，b ，c 之间的关系为d 2＝a 2＋b 2＋c 2；若长方体外接球的半径为R ，则有(2R )2＝a 2＋b 2＋c 2. (2)棱长为a 的正四面体内切球半径r ＝612a ，外接球半径R ＝64a .【例9】 已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥的各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( ) A.7π6B.4π3C.2π3D.π2解析 当注入水的体积是该三棱锥体积的78时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x (各棱长都相等).依题意，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 43＝18，得x ＝2，易得小三棱锥的高为263.设小球半径为r ，则13S 底面·263＝4×13S 底面·r (S 底面为小三棱锥的底面积)，得r ＝66.故小球的表面积S ＝4πr 2＝2π3. 答案 C【训练9】 (1)已知直三棱柱的底面是等腰直角三角形，直角边长是1，且其外接球的表面积是16π，则该三棱柱的侧棱长为( ) A.14B.23C.46D.3(2)已知球O 的直径PA ＝2r ，B ，C 是该球面上的两点，且BC ＝PB ＝PC ＝r ，三棱锥P －ABC 的体积为3223，则球O 的表面积为( )A.64πB.32πC.16πD.8π解析 (1)由于直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形.把直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，因为外接球的表面积是16π，所以外接球半径为2，因为直三棱柱的底面是等腰直角三角形，斜边长2，所以该三棱柱的侧棱长为16－2＝14.(2)如图，取PA的中点O，则O为球心，连接OB，OC，则几何体O－BCP是棱长为r的正四面体，所以V O－BCP＝212r3，于是V P－ABC＝2V O－BCP＝26r3，令2 6r3＝3223，得r＝4.从而S球＝4π×42＝64π.答案(1)A (2)A结论10 焦点三角形的面积公式(1)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝b2·tan θ2，其中θ＝∠F1PF2.(2)在双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中，F1，F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点，则△PF1F2的面积S△PF1F2＝b2tan θ2，其中θ＝∠F1PF2.【例10】如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是( )A.2B.3C.32D.62解析 设双曲线C 2的方程为x 2a 22－y 2b 22＝1，则有a 22＋b 22＝c 22＝c 21＝4－1＝3.又四边形AF 1BF 2为矩形，所以△AF 1F 2的面积为b 21tan 45°＝b 22tan 45°，即b 22＝b 21＝1.所以a 22＝c 22－b 22＝3－1＝2.故双曲线的离心率e ＝c 2a 2＝32＝62.答案 D【训练10】 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析 在焦点三角形PF 1F 2中，PF 1→⊥PF 2→， 所以∠F 1PF 2＝90°， 故S △PF 1F 2＝b 2tan∠F 1PF 22＝b 2tan 45°＝9，则b ＝3.答案 3结论11 圆锥曲线的切线问题(1)过圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝R 2上一点P (x 0，y 0)的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝R 2.(2)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上一点P (x 0，y 0)的切线方程为x 0x a 2＋y 0y b 2＝1.(3)已知点M (x 0，y 0)，抛物线C ：y 2＝2px (p ≠0)和直线l ：y 0y ＝p (x ＋x 0). ①当点M 在抛物线C 上时，直线l 与抛物线C 相切，其中M 为切点，l 为切线. ②当点M 在抛物线C 外时，直线l 与抛物线C 相交，其中两交点与点M 的连线分别是抛物线的切线，即直线l 为切点弦所在的直线.【例11】 已知抛物线C ：x 2＝4y ，直线l ：x －y －2＝0，设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程.解 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，x －y －2＝0，消去y ，整理得x 2－4x ＋8＝0，Δ＝(－4)2－4×8＝－16<0，故直线l 与抛物线C 相离.由结论知，P 在抛物线外，故切点弦AB 所在的直线方程为x 0x ＝2(y ＋y 0)，即y ＝12x 0x －y 0.【训练11】 (1)过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A.2x ＋y －3＝0 B.2x －y －3＝0 C.4x －y －3＝0D.4x ＋y －3＝0(2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，32，则椭圆C 在点P 处的切线方程为________________.解析 (1)如图，圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1).又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，∴k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0. (2)由于点P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32在椭圆x 24＋y 23＝1上，故切线方程为x 4＋32y3＝1，即x ＋2y －4＝0. 答案 (1)A (2)x ＋2y －4＝0结论12 过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的弦设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则 (1)x A ·x B ＝p 24.(2)y A ·y B ＝－p 2.(3)|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝2psin 2α(α是直线AB 的倾斜角).【例12】 过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A.4B.92C.5D.6解析 由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ，设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ， 则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知|AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ， 所以cos θ＝|AE ||AB |＝13， ∴sin 2θ＝89.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用弦长公式|AB |＝2psin 2θ＝92. 答案 B【训练12】 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A.334B.938C.6332D.94解析 法一 由已知得焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34，0，因此直线AB 的方程为y ＝33⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －34，即4x －43y －3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y 2－123y －9＝0，故|y A －y B |＝（y A ＋y B ）2－4y A y B ＝6.因此S △OAB ＝12|OF ||y A －y B |＝12×34×6＝94. 法二 由2p ＝3，及|AB |＝2p sin 2α 得|AB |＝2p sin 2α＝3sin 230°＝12. 原点到直线AB 的距离d ＝|OF |·sin 30°＝38， 故S △AOB ＝12|AB |·d ＝12×12×38＝94. 答案 D。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
给做物理题按上翅膀-巧用二级结论，提高答题速度二级结论”是在一些常见的物理情景中，由基本规律和基本公式导出的推论，又叫“半品”。
由于这些情景和这些推论在做题时出现率高，或推导繁杂，因此，熟记这些“二级结论”，在做填空题或选择题时，就可直接使用。
在做计算题时，虽必须一步步列方程，一般不能直接引用“二级结论”，但只要记得“二级结论”，就能预知结果，可以简化计算和提高思维起点，也是有用的。
细心的学生，只要做的题多了，并注意总结和整理，就能熟悉和记住某些“二级结论”，做到“心中有数”，提高做题的效率和准确度。
运用“二级结论”，谨防“张冠李戴”，因此要特别注意熟悉每个“二级结论”的推导过程，记清楚它的适用条件，避免由于错用而造成不应有的损失。
举个例子，你本来用砖头盖屋时间要慢些，要是你用的预制块盖屋，速度就提高了，现在的高考对答题速度要求很高，记住一些常用的二级结论有助于提高答题速度。
温馨提示1、“二级结论”是常见知识和经验的总结，都是可以推导的。
2、先想前提，后记结论，切勿盲目照搬、套用。
3、常用于解选择题，可以提高解题速度。
一般不要用于计算题中。
下面列出一些“二级结论”，供做题时参考，并在自己做题的实践中，注意补充和修正。
必修一 一、力学：1．几个力平衡，则一个力是与其它力合力平衡的力。
2．两个力的合力：F 大+F 小≥F 合≥F 大－F 小。
三个大小相等的力平衡，力之间的夹角为1200。
3．物体沿斜面匀速下滑，则αμan t =。
4．两个一起运动的物体“刚好脱离”时：貌合神离，弹力为零。
此时速度、加速度相等，此后不等。
二、直线运动：1．在描述运动时，在纯运动学问题中，可以任意选取参照物；在处理动力学问题时，只能以地为参照物。
2．匀变速直线运动：用平均速度思考匀变速直线运动问题，总是带来方便： T S S V V V V t 2221212+=+==3．匀变速直线运动：时间等分时， S S aT n n -=-12 ，位移中点的即时速度V V V S212222=+， V V S t 22>纸带点痕求速度、加速度：TS S V t2212+= ，212T S S a -=，()a S S n T n =--121 4．自由落体：V t （m/s ）： 10，20，30，40，50H 总(m)： ５、２０、４５、８０、１２５ H 分(m)： ５、１５、２５、３５、４５5．竖直上抛运动：对称性：t 上= t 下，V 上= －Ｖ下 6．相对运动：共同的分运动不产生相对位移。
7．“刹车陷阱”：给出的时间大于滑行时间，则不能用公式算。
先求滑行时间，确定了滑行时间小于给出的时间时，用V 2=2aS 求滑行距离。
8．“S=3t+2t 2”：ａ＝４ｍ／ｓ２，Ｖ０＝３ｍ／ｓ。
9．绳端物体速度分解：对地速度是合速度，分解为沿绳的分速度和垂直绳的分速度。
三．牛顿运动定律：1．水平面上滑行：ａ＝－μｇ2．系统法：动力－阻力＝ｍ总ａ 3．沿光滑斜面下滑：a=gSin α时间相等： 450时时间最短： 无极值：4．一起加速运动的物体：F m m m N 212+=，与有无摩擦（μ相同）无关，平面、斜面、竖直都一样。
5．几个临界问题： αan gt a = 注意α角的位置！光滑,相对静止 弹力为零 弹力为零 6．速度最大时合力为零：汽车以额定功率行驶必修二四、圆周运动 万有引力与航天：1．向心力公式：R m R f m R Tm m R mv F ωππω=====222222442．在非匀速圆周运动中使用向心力公式的办法：沿半径方向的合力是向心力。
3．竖直平面内的圆运动（1）“绳”类：最高点最小速度gR ，最低点最小速度5gR ，上、下两点拉力差6mg 。
要通过顶点，最小下滑高度2.5R 。
最高点与最低点的拉力差6mg 。
（2）绳端系小球，从水平位置无初速下摆到最低点：弹力3mg ，向心加速度2g （3）“杆”：最高点最小速度0，最低点最小速度gR 4。
4．重力加速2r GM g =，g 与高度的关系：()g h R R g ⋅+=22 5．解决万有引力问题的基本模式：引力＝向心力6．人造卫星：h 大V 小T 大a 小F 小。
速率与半径的平方根成反比，周期与半径的平方根的三次方成正比。
同步卫星轨道在赤道上空，ｈ＝4.6Ｒ,V=3.1km/s7．卫星因受阻力损失机械能：高度下降、速度增加、周期减小。
8．黄金变换：GM=gR29．在卫星里与重力有关的实验不能做。
10．双星引力是双方的向心力，两星角速度相同，星与旋转中心的距离跟星的质量成反比。
11．第一宇宙速度：Rg V =1，RGM V =1，V 1=7.9km/s五、机械能：1．求机械功的途径：（1）用定义求恒力功。
（2）用动能定理（从做功和效果）或能量守恒求功。
（3）由图象求功。
（4）用平均力求功（力与位移成线性关系） （5）由功率求功。
2．恒力做功与路径无关。
3．功能关系：摩擦生热Q ＝f ·S 相对（相对路程）=系统失去的动能，Q 常不等于功的大小。
4．重力的功等于对应势能增量的负值：p E W ∆-=保5．传送带以恒定速度运行，小物体无初速放上，达到共同速度过程中，相对滑动距离等于小物体对地位移，摩擦生热等于小物体的动能。
选修3-1 六、电场：1．电势能的变化与电场力的功对应，电场力的功等于电势能增量的负值：电电E W ∆-=。
2．电现象中移动的是电子（负电荷），不是正电荷。
3．粒子飞出偏转电场时“速度的反向延长线，通过电场中心”。
4．讨论电荷在电场里移动过程中电场力的功、电势能变化相关问题的基本方法： 定性用电力线（把电荷放在起点处，分析功的正负，标出位移方向和电场力的方向，判断电场方向、电势高低等）；定量计算用公式。
5．电容器接在电源上，电压不变；断开电源时，电容器电量不变；改变两板距离，场强不变。
6．电容器充电电流，流入正极、流出负极； 电容器放电电流，流出正极，流入负极。
七、恒定电流：1．串联电路：U 与R 成正比，U R R R U 2111+=。
P 与R 成正比，P R R R P 2111+=。
2．并联电路：I 与R 成反比， I R R R I 2121+=。
P 与R 成反比， P R R R P 2121+=。
3．等效电阻估算原则：电阻串联时，大的为主；电阻并联时，小的为主。
4．路端电压：Ｉr E U －=，纯电阻时E rR RU +=。
5．并联电路中的一个电阻发生变化，电流有“此消彼长”关系：一个电阻增大，它本身的电流变小，与它并联的电阻上电流变大。
：一个电阻减小，它本身的电流变大，与它并联的电阻上电流变小。
6．外电路任一处的一个电阻增大，总电阻增大，总电流减小，路端电压增大。
外电路任一处的一个电阻减小，总电阻减小，总电流增大，路端电压减小。
7．改画电路的办法：始于一点，止于一点，盯住一点，步步为营。
8．在电路中配用分压或分流电阻时，抓电压、电流。
9．右图中，两侧电阻相等时总电阻最大。
10．纯电阻电路，内、外电路阻值相等时输出功率最大，rE P m 42=。
R 1 R 2 = r 2时输出功率相等。
11．纯电阻电路的电源效率：η＝R R r+。
12．含电容电路中，电容器是断路，电容不是电路的组成部分，仅借用与之并联部分的电压。
稳定时，与它串联的电阻是虚设，如导线。
在电路变化时电容器有充、放电电流。
八、磁场：1．粒子速度垂直于磁场时，做匀速圆周运动：qBm V R =，qB mT π2=（周期与速率无关)。
2．粒子径直通过正交电磁场（离子速度选择器）：qvB=qE ，BE V =。
3．粒子作圆运动穿过匀强磁场的有关计算，抓几何关系，即入射点与出射点的半径和它们的夹角。
选修3-2九、电磁感应：1．楞次定律：“阻碍”的方式是“增反、减同”楞次定律的本质是能量守恒，发电必须付出代价， 楞次定律表现为“阻碍原因”。
2．运用楞次定律的若干经验：（1）内外环电路或者同轴线圈中的电流方向：“增反减同”（2）导线或者线圈旁的线框在电流变化时：电流增加则相斥、远离，电流减小时相吸、靠近。
（3）“×增加”与“·减少”，感应电流方向一样，反之亦然。
（4）单向磁场磁通量增大时，回路面积有收缩趋势，磁通量减小时，回路面积有膨胀趋势。
通电螺线管外的线环则相反。
3．楞次定律逆命题：双解，“加速向左”与“减速向右”等效。
4．法拉第电磁感应定律求出的是平均电动势，在产生正弦交流电情况下只能用来求感生电量，不能用来求功和能量。
5．直杆平动垂直切割磁感线时所受的安培力：F B L V R =22总6．转杆（轮）发电机：ω221BL E ＝7．感生电量： 单匝R ΦQ ∆=8．物理公式既表示物理量之间的关系，又表示相关物理单位（国际单位制）之间的关系。
十、交流电：1．正弦交流电的产生：中性面垂直磁场方向，线圈平面平行于磁场方向时电动势最大。
最大电动势：εωm nBS =Φ与e 此消彼长，一个最大时，另一个为零。
2．非正弦交流电的有效值的求法：Ｉ2ＲＴ＝一个周期内产生的总热量。
3．理想变压器原副线之间相同的量：P,U n nU,,T ,f, t Φ∆∆ 4．远距离输电计算的思维模式：十一.电学实验：1． 考虑电表内阻的影响时，电压表和电流表在电路中， 既是电表，又是电阻。
2． 选用电压表、电流表： ① 测量值不许超过量程。
② 测量值越接近满偏值（表针偏转角度越大）误差越小，一般应大于满偏值的三分之一。
③ 电表不得小偏角使用，偏角越小，相对误差越大 。
3．选限流用的滑动变阻器：在能把电流限制在允许范围内的前提下选用总阻值较小的变阻器调节方便。
选分压用的滑动变阻器：阻值小的便于调节且输出电压稳定，但耗能多。
4．选用分压和限流电路：（1）用阻值小的变阻器调节阻值大的用电器时用分压电路，调节范围才能较大。
（2）电压、电流要求“从零开始”的用分压。
（3）变阻器阻值小，不能保证用电器安全时用分压。
（4）分压和限流都可以用时，限流优先（能耗小）。
5．伏安法测量电阻时，电流表内、外接的选择： “好表内接误差小”（A XR R 和XV R R 比值大的表好）。
6．多用表的欧姆表的选档：指针越接近Ｒ中误差越小，一般应在4中R 至4中R 范围内。
选档、换档后，经过“调零”才能进行测量。
7．故障分析：串联电路中断路点两端有电压，通路两端没有电压。
8．由实验数据描点后画直线的原则：（1）通过尽量多的点，（2）不通过的点应靠近直线，并均匀分布在线的两侧， （3）舍弃个别远离的点。
选修3-3 十二、热学1．阿伏加德罗常数把宏观量和微观量联系在一起。
宏观量和微观量间计算的过渡量：物质的量（摩尔数）。