第41讲不等式的性质与基本不等式及应用

同样由
- a >0,ab>0,可得bc-ad>0. a bc-ad>0 bc-ad>0 由 ab>0.故选D. bc ad c d - >0 >0
a b ab
4.设a,b是不相等的正数，则下列关系中， 不恒成立的是（ C ） A.|a-b|≤|a|+|b|
1 B.a2+ a 2 ≥a+1a 1 C.|a-b|+ ≥2 ab D. a 3 - a 1 ≤
1 1 a+b=2 3 ,则 + y 的最大值为（ C ） x 1 3 A.2 B. C.1 D. 2 2
1 1 ab2 + =log3(ab)≤log3( ) =1，故选C. x y 2
由ax+by=3，得x=loga3，y=logb3,
1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系 a>b ① a-b>0 ;a<b ② a-b<0 ;a=b ③ a-b=0 . 2.不等式的性质 (1)a>b④ b<a ,a<b⑤ b>a (反对称性). (2)a>b,b>c⑥ a>c ;a<b,b<c⑦ a<c (传递性). (3)a>ba+c>b+c,故a+b>c⑧ a>c-b (移项 法则). 推论:a>b,c>d⑨ a+c>b+d (同向不等式相加).
求解.
方法提炼
在不等式的性质中，要特别注意下面 三点： 1.不等式的传递性：若a>b,b>c,则a>c, 这是放缩法的依据.在运用传递性时，要注 意不等式的方向，否则易产生这样的错误： 为证明a>c,选择中间量b,在证出a>b,c>b后， 就误认为能得到a>c. 2.同向不等式可相加但不能相减,即由 a>b,c>d,可以得出 a+c>b+d,但不能得出 ac>b-d.
(2)(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.
( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 + ( x2 x3 ) 2 ( y2 y3 ) 2 (3
> ( x1 x3 )2 ( y1 y3 ) 2 (通常称作三角不等式). 7.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般
y2 =1, 2
y2 1 x2 2 2 2 2
x 1 y2
2 1 y2 ,y= 2 （即x2= ）时, 2 3 2 取得最大值 . 4
x=cosθ
(方法二)令 y= sinθ(0≤θ≤ 2
则x 1 y 2 =cosθ 1 2sin 2 =
), 2
2cos2 (1 sin 2 ) 1 2
ai 2 · bi 2 ≥ ( ai bi 2 ) 2. 情况：
i 1 i 1 i 1 n n n
8.会用向量递归方法讨论排序不等式. 9.了解数学归纳法的原理及其使用范围， 会用数学归纳法证明一些简单问题. 10.会用数学归纳法证明贝努利不等式： (1+x)n>1+nx(x>-1,x≠0 ， n 为 大 于 1 的 正 整数),了解当n为大于1的实数时，贝努利不 等式也成立. 11.会用上述不等式证明一些简单问题， 能够利用均值不等式、柯西不等式求一些特 定函数的极值. 12.了解证明不等式的基本方法：比较 法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
a a b b a-b b-a b a-b =a · =( ) . b b a a ab a
a a-b 则( ) >1,于是aabb>abba； b a b a a-b 则( ) >1,于是aabb>abba. b
当b>a>0时，0< <1,a-b<0, 综上所述，对于不相等的正数a、b,都有 aabb>abba.
(方法一)
设f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n为待定系数)，
则4a-2b=m(a-b)+n(a+b),即4a-2b=(m+n)a-(m-n)b,
于是 m+n=4
m-n=2，
得
m=3
n=1,
所以f(-2)=3f(-1)+f(1). 因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤４， 所以5≤3f(-1)+f(1)≤１0，故5≤f(-2)≤10.
) D
c d 3.已知三个不等式:ab>0,bc-ad>0, - >0(其 a a
中a、b、c、d均为实数),用其中两个不等式 作为条件,余下的一个不等式作为结论组成 一个命题,可组成的正确命题的个数是( D ) A.0 C.2 B.1 D.3
c d 由ab>0,bc-ad>0可得出 >0, a b c d bc-ad>0两边同除以ab,得 - >0. a b c c
5.理解绝对值的几何意义，并能用含 绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： (1)｜a+b｜≤|a|+|b|; (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|. (3)会利用绝对值的几何意义求解以下 类型的不等式： ①|ax+b|≤c; ②|ax+b|≥c; ③|x-a|+|x-b|≥c.
6.了解下列柯西不等式的几种不同形式， 理解它们的几何意义，并会证明. (1)柯西不等式向量形式:|α|· |β|≥|α· β|.
题型三 利用基本不等式求最值
例3
x
设x≥0,y≥0，x2+
2 y=1，求 2
的最大值. 1 y2
(方法一)因为x≥0，y≥0，x2+
所以x 1 y = x (1 y ) =
2 2 2
1 y2 x2 2 = ≤ 2 2 =3 2 . 4 3 当且仅当x= 2
1 y2 2 x2 2
ab 定理2:如果a,b是正数,那么 2 ≥
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ab (当且
典例精讲
题型一 不等式性质的应用 例1 设 f(x)=ax2+bx, 且 1≤f(-1)≤2 ，
2≤f(1)≤4，求f(-2)的取值范围.
分析 因为f(-1)=a-b,f(1)=a+b,而1≤a-b≤2,
2≤a+b≤4. 又a+b与a-b中的a,b不是独立的，而是相互 制约的，因此，若将f(-2)用a-b与a+b表示， 则问题得解.
a2
a
成立.运用公式一定要注意公式成立的条
1 C选项|a-b|+ ≥2，当a-b<0时不 ab
件,如果a、b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当
a=b时取“＝”号)，如果a、b是正数，那
ab 么 ≥ ab (当且仅当a=b时取“＝”号). 2
5. 设 x 、 y∈R ， a>1 ， b>1 ， 若 ax=by=3 ，
(4)a>b,c>0⑩ ac>bc ;a>b,c<0 11 ac<bc . 推论１:a>b>0,c>d>0 12 ac>bd .
推论２:a>b>0 13 an>bn .
n a n b . 推论３:a>b>0 14
3.基本不等式
定理1:如果a、b∈R,那么a2+b2≥ 且仅当a=b时取“＝”号).
(2)作差pf(x)+qf(y)-f(px+qy) =p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b =p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy =pq(x-y)2=p(1-p)(x-y)2, 所以，①当x=y时，p(1-p)(x-y)2=0, 得pf(x)+qf(y)=f(px+qy); ②当x≠y时，(x-y)2>0, 所以pf(x)+qf(y)>f(px+qy). 综上所述，当x=y时，pf(x)+qf(y)=f(px+qy). 点评 比较大小，常用作差（商）比较法. 当x≠y时，pf(x)+qf(y)>f(px+qy).
(方法二) 由
a-b=f(-1)
a+b=f(1),
得
a=
b=
1 ［f(1)+f(-1)］ 2 1 ［f(1)-f(-1)］, 2
所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
以下同方法一.
点评 严格依据不等式的基本性质和运算法
则，是正确解答此类题目的保证，若先将参数 a,b的范围求出，而后再求f(-2)的范围，这样操 作是错误的，因为解题过程没有忠实题目所给 条件，即变形不等价，由所求的参数a,b的范 围并不能得到已知条件所给的f(-1)及f(1)的范 围，这样，已经改变了题目的条件，当然，所 求的结果就不是实际的结果.因此，在解题的 过程中，务必尽可能保持变形的等价性，以免 发生错误.
新课标高中一轮 总复习
理数
• 第六单元 • 不等式及不等式选 讲
知识体系
考纲解读
1.不等关系. 了解现实世界和日常生活中的不等关系， 了解不等式（组）的实际背景. 2.一元二次不等式. (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式 模型. (2)通过函数图象了解一元二次不等式与相 应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二 次不等式，会设计求解的程序框图.
第41讲
不等式的性质与基本不等 式及应用
1.了解现实世界与日常生活中的不 等关系，了解不等式(组)的实际背景.