三年级奥数学练习试卷思维培训资料数阵图 (3)
三年级奥数之数阵图习题
数阵图
1、把1到6这六个数分别填入下图的六个圈内，使得每个正方形顶点上的数的和都为13。
2、将2到7这六个数，填入上图的圈中，使得每条线上的三个数的和相等。
练习：请将1到7这7个数填入下图中，使得每条线上的三个数的和相等。
3、将1到9这九个数填入下图，使得从中心出发的每条线段上的三个数的和相等。
练习：将1到8填入下图，使两个正方形顶点上的数的和相等，并且用斜线连接的4对数的和也都相等。
4、将1到5这五个数填入上图中，使得圆周上四个数的和与每条直线上的三个数的和都相等。
练习：在图中填上7、8、10、12，使得每个圆内的四个数的和相等。
5、将1到16填入4*4（16格）的正方形中，使每行、每列、每条对角线的和都相等。
数阵图练习
1、将6到10这五个数填入下图，使得每条边上的三个数的和相等。
2、将2到11填入下图，使得每条线段上的三个数之和相等。
3、将2到10填入下图，使得每条线上的四个数的和相等。
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小学三年级奥数 第39讲：数阵图
【例4】(★★★★★) 将1~7七个数字填入下图的七个○内，使每个圆周和每条直线上的 三个数之和都相等。
【例5】(★★★★) 将1~6这六个数字分别填入下图的六个○内，使得三条直线上的数 字之和都相等。
【例6】(★★★★★) 如图所示，大三角形被分成了9个小三角形。试将1，2，3，4，5，6， 7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要 求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等，问这5个数的和最大 可能是多少？
数阵图
数阵图：将一些数字按照一定的要求排列而成的某些 图形。
数阵图的分类：
辐射型
பைடு நூலகம்封闭型
复合型
【例1】(★★) 将1～7这七个数字，分别填入图中各个○内，使每条线段上的 三个○内数的和都等于14。
【例2】(★★★) 将1~11填入下图的各个圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数之和相 等。
1
【例3】(★★★) 你能把1～6六个数字分别填入下图的六个圆圈中，使每一边三个数相 加的和都等于11吗？
2
【本讲总结】 数阵图 一、分类
辐射型
封闭型
复合型
二、基本关系 各数之和＋重叠数×重叠次数＝线和×线数
三、辐射型数阵图 窍门：掐头、去尾、取中间
四、注意事项 (a)关键点：特殊位置 (b)(b) 复合型:在调整的时候，不能改变原有边和
3
三年级数阵图
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1.将1~7这七个数分别填入左下图中的○里，使每条直线上的三个数之和都等于12。
如果每条直线上的三个数之和等于10，那么又该如何填？
9
（第1题）（第2题）
2.将1~9这九个数分别填入右上图中的○里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。
如果中心数是5，那么又该如何填？
3将1~9这九个数分别填入右图中的小方格里，
使横行和竖列上五个数之和相等。
（至少找出两
种本质上不同的填法）
4.将3~9这七个数分别填入左下图的○里，使（第3题）
每条直线上的三个数之和等于20。
（第4题）（第5题）
5.将1~11这十一个数分别填入右上图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。
6.将1~7这七个数分别填入右图的○里，
使得每条直线上三个数之和与每个圆圈
上的三个数之和都相等。
小学奥数5-1-3-3 数阵图(三).专项练习
1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值．【例 2】 将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。
则从这个圆圈开始顺时针走n步进入另一个圆圈．依此下去，走7次恰好不重复地进入每个圆圈，最后进入的一个圆圈中写8．请给出两种填法．【例 4】在圆的5条直径的两端分别写着1～10（如图）。
现在请你调整一部分数的位置，但保留1、10、5、6不动，使任何两个相邻的数之和都等于直径另一端的相邻两数之和（画在另一个圆上）。
【例 5】图中是一个边长为1的正六边形，它被分成六个小三角形．将4、6、8、10、12、14、16各一个填入7个圆圈之中．相邻的两个小正三角形可以组成6个菱形，把每个菱形的四个顶点上的数相加，填在菱形的中心A、B、C、D、E、F位置上（例如：a b g f A+++=）．已知A、B、C、D、E、F依次分别能被2、3、4、5、6、7整除，那么a g d⨯⨯=___________．【例 6】在如图所示的圆圈中各填入一个自然数，使每条线段两端的两个数的差都不能被3整除。
小学奥数：数阵图(三).专项练习及答案解析
1.了解数阵图的种类2.学会一些解决数阵图的解题方法3.能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1.定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数阵图与数论【例 1】把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有种可能的取值．【考点】数阵图与数论【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题【解析】设顶点分别为A、B、C 、D、E，有45+A+B+C+D+E=55，所以A+B+C+D+E=10，所以A、B、C、D、E分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a1，公差为d.利用求和公式5（a1＋a1+4d）2=55，得a1+2d=11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0.例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-3.数阵图【答案】2种可能【例 2】将1~9填入下图的○中，使得任意两个相邻的数之和都不是3，5，7的倍数．【考点】数阵图与数论【难度】4星【题型】填空【解析】根据题意可知1的两边只能是3与7；2的两边只能是6与9；3的两边只能是1、5或8；4的两边只能是7与9．可以先将3—1—7--写出来，接下来7的后面只能是4，4的后面只能是9，9的后面只能是2，2的后面只能是6，可得：3—1—7—4—9—2—6--，还剩下5和8两个数．由于6814+=是7的倍数，所以接下来应该是5，这样可得：3—1—7—4—9—2—6—5—8—3．检验可知这样的填法符合题意．【答案】3—1—7—4—9—2—6—5—8—3【例 3】在下面8个圆圈中分别填数字l，2，3，4，5，6，7，8(1已填出)．从1开始顺时针走1步进入下一个圆圈，这个圆圈中若填n(n≤8)。
2020~2021学年三年级奥数思维能力训练：数阵图初步
10．在图中的A、B、C三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都相等，那么圆圈A中应填的数是多少？
参考答案
1．1
【解析】
【分析】
封闭型数阵图，线和是10，先求A，再求B，再求C。
【解析】
【分析】
辐射型数阵图问题，中间数是4，重复了2次，可利用数和、线和及中间数的关系进行求解。
【详解】
先求数和， ，中间数重复了2次，再求线和， ，所以每条直线的和是12，根据“4+1+7=12”，“4+2+6=12”，“4+3+5=12”，进行合理构造，完成数阵图。
【点睛】
辐射型数阵图，注意中间数的填法，考虑中间数除了4，还可以填多少。
【详解】
A=
B=
【点睛】
本题较为简单，根据数阵图的基本要求直接求解即可。
2．7
【解析】
【分析】
封闭型数阵图，1，B，C，D重复了1次，线和已知，按照D，C，B，A的顺序依次求解。
【详解】
D=
C=
【点睛】
本题较为简单，线和已经给出，按照线和相等这一基本原则，直接计算即可。
3．9
【解析】
【分析】
封闭型数阵图，根据线和相等，先求出B，然后求出线和，再求A和C。
8．
【解析】
【分析】
复合型数阵图问题，每块区域的数都重复了一次，利用数和、线和的关系进行求解。
【详解】
如图，
令 ；
已知a，b，c，d，e，f，g，h各自用了两次，计算数和， ；
(完整版)小学三年级奥数--数阵图
数阵图(一)在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
例1 把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3 。
重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。
试一试：练习与思考第1 题。
例2 把1～5 这五个数填入下页左上图中的○里（已填入5），使两条直线上的三个数之和相等。
分析与解：与例1 不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。
所以，必须先求出这个“和”。
根据例1 的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[（1+2+3+4+5）+5] ÷2=10。
三年级思维拓展- 数阵图
（2）要使每个五边形上的5个数和为20，那么2个五边形上的数的总和是：20×2=40.
（3）2个五边形上的数的总和比8个数的和多了：40-36=4
（4）多的6就是五边形交叉点重复计算了2次，即多算了1次。在1--8这8个数中有：1+3=4，所以中间位置填1和3.
思路点拨：观察发现中间的圆重复了3次，题目要求3条线上的和相等，那么，每条线上只要有两个数加起来和都相等，中间重复加任何一个数和也都相等。因为1+7=8,2+6=8,3+5=8，所以将4填在中间，再将分好的数填进圆内即可。
活学巧用：
1.，使每条边上的3个数之和都等于10。
活学巧用：
1.将2﹑3﹑4﹑5﹑6﹑7这6个数填在下面的圆圈里，使每条边上3个数的和等于15。
2.把数字1、2、3、4、5、6分别填入下图的圆圈内，使3条边上3个数字之和等于11。
3.将1——9这九个数填入下图中，使三角形每条边上四个数的和等于19
【例3】：将1--7这7个数填入○中，使每条线上三个数的和都相等。
2.计算出所给数的总和。
3.再计算出各个部分的总和。
4.两和之间找出“重复计算的数的和”，填出关键位置的数，再根据要求尝试，调整，填出其他位置上的数。
精选例题：
【例1】：将1、3、5、7、9这5个数分别填入□中，使每条线上的三个数的和都相等。
思路点拨：因为1、3、5、7、9中，一头一尾组合结果都为10，题目只要求每条线上三个数的和相等，那么，只要每条线上的两个数的和相等了，中间重复计算的数填任何一个，这两条线上的和也就相等了。
（5）先填被重复计算的数字，在通过计算填出其余的数字：2+6+8=16,4+5+7=16.
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例3 （学而思题库）将 10～20 填入左下图的○内，其中 15 已填好，使得每条边上的三个数字之和
都相等．
15
分析：中间○内的 15 是重叠数，并且重叠了四次，所以每条边上的三个数字之和等于 [(10＋11＋…＋ 20)＋15×4]÷5＝45．
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讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ ——学而思小学奥数讲义组
专题精讲
到底什么是数阵呢？我们先观察右面两个图： 左图中有 3 个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是， 每个圆周上的四个数字之和都等于 13．右图就更有意思了，1～9 九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字 之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于 15．上面两个图就 是数阵图．准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的 某种图形，有时简称数阵．
在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜， 奇妙无穷．它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人 有着极大的吸引力，以至有些人留恋其中，用毕生的精力来研究它的变化， 就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣．到底什么是数阵呢？ 下面我们一 起来研究吧．
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剩下的十个数中，两两之和等于(45－15＝)30 的有 10，20；11，19；12，18；13，17；14，16．
也可以这样求：五条边上两个数的和都是相等的，（10＋11＋…＋20）÷5＝
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第六讲 数字谜（二）—数阵图
教学目标
本讲通过对简单数阵的学习，让学生在数与数之间的变化中，感受到数字的奇妙，体会到数学思维 的乐趣
知识点：1．封闭型数阵图； 2．辐射型数阵图； 3．复合型数阵图．
想
挑
将 1、2、3、4、5、6 这六个数填在图中的空灯里，使
分析：在图中我们可以看出，中间圆圈里的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们 把它叫做“重叠数”．也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次， 即重叠了一次，其余各数均被加了一次．我们可以得出： (1＋2＋3＋4＋5)＋重叠数＝每条直线上三数 之和×2，所以，每条直线上三数之和等于(15＋重叠数)÷2． 因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是 1，3 或 5． 若“重叠数”＝1，则两条直线上三数之和为(15＋1)÷2＝8．填法见左下图； 若“重叠数”＝3，则两条直线上三数之和为 (15＋3)÷2＝9．填法见下中图； 若“重叠数”＝5，则两条直线上三数之和为 (15＋5)÷2＝10．填法见右下图．
2
1
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[巩固]把 1～5 这五个数填入下图中的○里(已填入 5)，使两条直线上的三个数之和相等．
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分析：与例题不同之处是已知“重叠数”为 5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数．，其余各数均被加了一遍， 所以两条直线上的三个数之和都等于 [(1＋2＋3＋4＋5)＋5]÷2＝10．因此，两条直线上另两个数(非 “重叠数”)的和等于 10－5＝5．非“重叠数”的和也可以这样求，因为 1～4 的和我们可以求，每条直 线上两端的数的和是：（1＋2＋3＋4）÷2＝5． 在剩下的四个数 1，2，3，4 中，只有 1＋4＝2＋3＝5．故有右上图的填法．
7 213 645
816 357 492
（一）辐射型数阵图
有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型 数阵图．填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析， 进行试验填数求解．
例1 （学而思题库）把 1～5 这五个数填入下图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等．
30，所以两两之和等于 30．
20
于是得到右图的填法．
[拓展]把 10～20 这 11 个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上三个圆圈内的数 的和都相等．请你把各种填法都写出来(中心圆圈内的数相同就视为一种填 法)．(1993 年武汉市小学数学竞赛试题)
战
每个大圆上的四盏灯里的数相加都等于 14．
吗
？
分析：将三个大圆上的所有数字相加，中间三个灯笼上的数字被加了 2 遍， 其余三个灯笼上的数字只加了一遍，所以，中间三个数的和为（1＋2＋3 ＋4＋5＋6）－14＝7，三个数相加等于 7 的情况只有 1＋2＋4，所以中间 的三个灯笼上的数为 1，2，4，这 6 个数中四个数相加等于 14 的组合有 (6521)(6431)(5432)，就可以填出：
即：(28＋中心数×2)÷3＝每条线段上三个数的和． 用试验的方法，将 1～7 这七个数作中心数分别代入上述关系式中．可求出中心数及每条直线上三 个数的和．经试验，若中心数取 2、3、5、6，此题无解；中心数取 1、4、7 时该题数阵图成立． （1）(28＋1×2)÷2＝10，中间圆圈内填 1，各线段其他两数和为 10－1＝9． （2）(28＋4×2)÷3＝12，中间圆圈内填 4，各线段其他两数和为 12－4＝8． （3）(28＋7×2)÷3＝14，中间圆圈内填 7，各线段其他两数和为 14—7＝7． 三种基本解法详见下图．
[注意] 求数阵问题的关键是找到关键数，也就是重复数，教会学生学会找关键数的方法是最重要的．
例2 （学而思题库）把 1～7 这七个数分别填入下图的○内，使每条线段上三个○内数的和相等．
分析：解这道题的关键是首先求出中心数．1～7 七个数的和是 28，而计算三条线段中数的和时，中心 圆的数要多加两次．因此可得如下关系式：28＋(中心数)×2＝每条线段上三个数的和×3．