第九讲有趣的数阵图(一)练习
09 第九讲 有趣的数阵图(一)
第7讲有趣的数阵图（一）【知识导航】1、认真分析数阵图中隐含的数量关系和数字的位置关系，以特殊的位置为突破口。
通常选择使用次数多的数作为关键数。
2、依据数阵图中的条件，建立所求的和与关键数的关系式，一般采用试验的方法，确定关键数的数值及相等的和。
3、数字比较复杂的图形，可采用化简数据，消去公共部分，设立未知量等方法。
基本训练1、把1—7这七个数分别填入下图中的七个圆圈内，使每条直线上的三个圆圈内各数之和都相等。
2、把1--11这11个数，分别填入下图的辐射型数阵图中，使每条线上三个○内数的和相等。
3、将1--9这9个数分别填入下图中，使每条线段上五个○内数的和相等。
4、把1—7这七个数分别填入圆圈内，使图中每个圆和每条直线上的三个数和都相等。
5、把1—9这九个数填入圆圈内，使每条对角线五数之和相等，大小正方形四角上四数之和也相等。
拓展提高6、下图中四个圆被相互分割成八个部分，在这八个部分中分别填入1或2，使得各圆内三个数字之和互不相同。
7、把1--10这10个数分别填入下图复合型数阵图中，使每条线上四个○内数的和相等，每个三角形三个顶点上○内的和边相等。
8、把4—9分别填入下图中的圈内，使每个圆周上四个数的和尽可能最大。
9、下图的六条线分别连着九个圆圈，其中一个圆圈里的数是6，请选出九个连续自然数（包括6在内），填入圈内，使每条线上各数的和都等于23。
10、把1-10这十个自然数填入图中的10个方格中，要求图中3个2×2的正方形中四数之和相等，那么这个和的最小值是几？想一想，算一算下图像十字路口的红绿灯吗？请你在每盏灯处分别填入1～9中的任何一个数字，让相连的每三个数相乘的得数都相同。
你能行吗？。
五年级下册数学奥数有趣的数阵图人教版
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
假设重叠数是a、b、c 5+6+7+8+9+10+a+b+c=24×3
45+a+b+c=72 a+b+c=27
8+9+10=27
8 76 9 5 10
2 9 561 3 8 45～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
中间的三个数只加一次， 三个角上的数都加了两次， 有三个数要设字母吗？
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六 个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
1
3
2
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
5
36+a+b=42 a+b=6
4
8
7
1+5=6或2+4=6
将1、3、5、7、9、11、13、15这八个数，分别填入图中的 八个○内，使得每个大圆上五个○内数的和都是39。
1+3+5+……+15=64
3
5
1
39×2-64=14
7
9
中间的两个圆圈数重叠一次， 15 13 11
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆 上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
2
3
1
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
奥数：有趣的数阵图
有趣的数阵图（一）教学要求：1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。
2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。
教学过程：一、导入新课语：如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。
它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵。
二、探索新课：1、教学例1：将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中，使横行、竖列三个数的和相解题思路：找出中间数，填在中间的公关位置，再剩下的数中，找一对和相等的数。
再分别填入。
2、教学例2：把1～6形式尝试，练习。
解题思路：由于三个顶点上的数要加二次，所以我们先假设，顶点，再推出，其它的点。
3、教学例3：把1～9这九个数，填入到方格中，使横、竖、斜上的三个数和相等。
解题思路：先观察数，1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6而5在中间其余的成对来填。
方法有多种。
4、教学例4：把1、2、3、5、6、7、填入右表，使每行三个数和相等，竖列二数也相等。
解题思路：有2行3列，而1＋2＋3＋5＋6＋7 ＝24，所以每行为12，这样分成（1、5、6）；（2、3、7）两组。
每列和是24÷3＝8，所以：（1、7）；（2、6）；（3、5）。
答案多种。
三、课堂练习：1、填上合适的数,2、用1～534、使横、竖、斜和相等。
余数的妙用（二）教学要求：1、使学生掌握正确计算有余数的除法。
2、培养学生活跃的思维能力，提高学习奥数的兴趣。
教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法，其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识，所以我们运用它还可以解决不少的数学难题。
今天，我们将继续学习余数的妙用（二）。
二、探索新知：1、教学例4：体育课排队，老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个人报2，这一排有（）人。
A、26B、27C、28D、32《吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题》解题思路：答案必须是5的倍数还要加2，所以我们经过计算发现可以选B D。
一年级奥数：《有趣的数阵图》
一年级奥数：《有趣的数阵图》《有趣的数阵图》课前预热所属体系板块：第二级下主要知识点：1、补全型（凑数）2、辐射型（最忙的数填在最忙的位置）；3、封闭型（凑数法）能力培养：运算能力体系对接：第四级下《数阵图》例题展示：课前预热：1）认识数阵图，简单的补全型要会做（先填只剩一个的，然后凑数）；2）了解小手拉大手；《有趣的数阵图》知识点精讲一、补全型数阵图 1、先填只剩1个的 2、凑数【例1】把1-10这十个数分别填入“六一”的10个空格里，使每条直线上所有数的和都是12。
【解析】要求是每条直线上所有数的和是12。
发现六一的“六”的一横的这条直线上只剩下一个空，根据计算填出5；剩下的分别进行凑数（情况较多时，要求按顺序来思考和凑数），最后发现还有两个空不知道，刚好还有两个数3和9，相加刚好是12 ，填进去即可。
二、辐射型数阵图通用：凑数法（最忙的数填最忙的位置） 连续数：砍头砍尾砍腰（小手拉大手）【例2】把3~9填入下面的中，使得每条直线上的数字之和都相等。
【解析】观察可得，这个数阵图是辐射型数阵图，而且让我们填的是连续的数字，所以可以采9用砍头砍腰砍尾的方法来完成。
3~8：3、4、5、6、7、8、9，头是3，腰是6，尾是9,其它的数“小手拉大手”。
三、封闭型数阵图（凑数法）【例3】小小三角阵，每边和为9，已知三个数，其它三个数怎么填？【解析】这个题我们可以用凑数法，如果最下面圆圈里面的数是1，那么答案不成立，接下来看最下面的圆圈里面是否能填2，正好可以得出答案，答案如上。
《有趣的数阵图》课后拓展练习1、把3，4，5，6，7这五个数分别填入空格中，使每条线上三个数相加的和都等于15。
2、把1、4、7、10、13、16、19七个数填入图中7朵花里，使每条直线上三个数的和为30。
3、把2-7填入中，使每条边上的三个数相加的和等于12。
4、将数字1—6填入下图中的小圆圈内，使每个大圆上4个数的和都是12。
奥数有趣的数阵图
奥数有趣的数阵图文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]有趣的数阵图（一）教学要求：1、使学生掌握解答有趣的数阵图的方法。
2、培养学生的逻辑思维能力和推理能力，以及联想、试探归纳等思维能力。
教学过程：一、导入新课语：如果把一些数按照一定的规律填在特定的图形里，那么这种图形，我们就称它为数阵图。
它是一种趣味性很强的游戏，它的形式很多，大概分为三种：封闭型数阵、辐射型数阵、复合型数阵。
二、探索新课：1、教学例1：将2、4、6、8、10填入“十字形数阵图中，使横行、竖列三个数的和相23、教学例3：把1～9解题思路：先观察数，1＋9＝2＋8＝3＋7＝4＋6而5在中间其余的成对来填。
方法有多种。
4、教学例4：把1、2、3、5、6、7、填入右表，使每行三个数和相等，竖列二数也相等。
解题思路：有2行3列，而1＋2＋3＋5＋6＋7 ＝24，所以每行为12，这样分成（1、5、6）；（2、3、7）两组。
每列和是24÷3＝8，所以：（1、7）；（2、6）；（3、5）。
答案多种。
三、课堂练习：1、填上合适的数,2、用1～53、填上数，使横、竖、斜和为4、使横、竖、斜和相等。
教学要求：12教学过程：一、导入新课：同学们都会正确计算有余数的除法，其实有余数除法还蕴含着丰富的数学知识，所以我们运用它还可以解决不少的数学难题。
今天，我们将继续学习余数的妙用（二）。
二、探索新知：1、教学例4：体育课排队，老师让同学们按1、2、3、4、5循环报数，最后一个人报2，这一排有（）人。
A、26B、27C、28D、32《吉林省“金翅杯”小学数学竞赛试题》解题思路：答案必须是5的倍数还要加2，所以我们经过计算发现可以选BD。
2、教学例5:……共一百个数字。
问：这100个数字中，8出现几次100个数字的和是多少解题思路：从数字的排列看，我们发现每6个数重复一次，所以周期数是6，总数是：100，我们就列算式：100÷6＝16 (4)再看8排在第几位它排在第4位，所以8出现的次数是6＋1＝7（次）第二个问：我们可以先算出每一个周期的数字和是多少1＋4＋2＋8＋5＋7＝27所以：27×6＝162再加上最后一次出现的数字：1＋4＋2＋8＝15得：162＋15＝1773、教学例6：1、2、3、4、5、6、7七盏灯各有一个开关，开始第2、4、6盏灯亮着，一个小朋友从第1到第7，再从第1到第7，拉了2000次，问这时那些灯亮着（湖北省黄冈市第三届小学生智力竞赛试题）解题思路：我们可以先找出每盏灯拉了多少次。
小学奥数系列：第九讲 有趣的数阵图(一)
第九讲有趣的数阵图（一）大家都知道了历史悠久的三阶幻方.再推广一些，结合某些几何图形，把一些数字填入图形的某种位置上，并使数字满足一定的约束条件，这类问题，习惯上称为“数阵图”.幻方是特殊的数阵图，幻方发展较快，因为它后来与试验方案设计及一些高深数学分支有关，成为数阵图中最重要课题.本讲主要介绍一般数阵图及解此类题的推理思考方法，由于它既有数字之间运算，又要结合图形，对开发学生综合思考和形象思维很有益.先看例题.例1 下面图形包括六个加法算式，要在圆圈里填上不同的自然数，使六个算式都成立，那么最右边圆圈中的数最少是几？分析为便于说理，各圆圈内欲填的数依次用字母A、B、C、D、E、F、G、H、I代替（上右图）.经观察，I=A+B+C+D.题目要I尽可能小，最极端的想法，希望A、B、C、D只占用1、2、3、4.但这会产生矛盾.因为1总要和2、3、4中的某两个实施加法，但1＋2给予G、H、E、F中某值为3与A、B、C、D中已有的3冲突；同样1+3给于G、H、E、F中某值为4又与A、B、C、D中已有的4冲突；所以A、B、C、D不能是1、2、3、4.那么退而求之，不妨先设A=1.如先考虑B，B尽可能小，最好，B=2，从而决定了E=3，C≠3，D≠3.这样一来，C，D只能取4和5.但如C=4导致G=5和D=5冲突，而C=5，D=4，又导致G=A+C=6和H=B+D=2+4=6冲突.在碰了钉子后，回看在A=1设定后，不应随随便便先填B的值.从结构上看，因为B，C 地位对称，不妨先考虑D.D尽可能小，最好设D=2，B、C至少取3、5，若如此，由B+D或C+D产生的5会与B、C中已有的5矛盾.所以，B、C可能取3、6.从而形成了：A=1、D=2、B、C取3、6（B，C地位对称）.这样一来其他字母所代表的值就立即推出，不妨设B=3，C=6，A+B=E=4，C+D=6+2=8=F；A+C=1+6=7=G，B+D=3+2=5=H，恰好满足E+F=4+8=12=I；G+H=7+5=12=I；综上所述：A=1，D=2，B=3，C=6决定了其他值，且决定了I=12.是一个较小的I的值，自然要问I值还可能比12小吗？分析I的值有三种不同的获得方式：I=A+B+C+D=E+F=G+H.3I=A+B+C+D+E+F+G+H，而8个字母最少是代表1、2、…、7、8的情况.3I≥（1+2+…+7+8）=36，I≥12.现已推出了使I=12的一种填法，所以是最佳方案了.例2 如右图，五圆相连，每个位置的数字都是按一定规律填写的，请找出规律，并求出x 所代表的数.分析经观察，图中所填数的规律为两个圆相交部分的数等于与它相邻两部分里的数的和的一半.比如：（26+18）÷2=22.（30+26）÷2=28.（24+30）÷2=27.解：x+18=17×2x=16.经检验，16和24相加除以2，也恰好等于20.例3 在下图中的各题中，将从1开始的连续自然数填入各题的圆圈中，要使每边上的数字之和都相等，中心处各有几种填法？（每小题请给出一个解）分析1 图（A）中的中心圆填入的数设为x，x参与3条线的连加，设每条线数字和都为S.由题意：1+2+3+…+7+2x=3S即28+2x=3S或28+2x≡0（mod 3）借用同余工具，是在两个未知数的不定方程中先缩小x应该取值的范围.在mod3情况下，只要试探x≡0，1，2三个值，很轻松地解出：x≡1（mod3），回复到x取值范围为1，2，…，7.有x1=1，x2=4，x3=7，得到：x1=1，S1=10；x2=4，S2=12；x3=7，S3=14；由此看出关键在求S（公共和）及x（参与相加次数最多的圆中值）.此方法对下面解（B）、（C）、（D）.都适用.注意：每条线上的数字之和随着中心数的变化而变化.分析2 我们分析图（B），首先应该考虑中心数，（B）题共10个数，由于中心数比其他数多使用了二次（总共使用三次）.如果中心数用x表示，三条边的数码总和应为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+2x=55+2x同理，因为是3条边，所以55+2x应是3的倍数55+2x≡0（mod 3），把x≡0、1、 2代入试验，得x≡1（mod 3），即x=1、4、7、10.四种解.①当x=1时，55+2x=57，57÷3=19②当x=4时，55+2x=63，63÷3=21③当x=7时，55+2x=69，69÷3=23④当x=10时，55+2x=75，75÷3=25读者可按照上面相似的规律自己去分析一下图中（C）、（D）两题.。
二年级第九讲简单的数阵图
第九讲简单的数阵图●知识导引一、数阵图数：连续，大小，奇偶性。
图：辐射型，封闭型，混合型。
二、突破口的选择1.数比较多的地方。
2.重叠部分：考虑第一个数，中间数，最后一个数。
三、方法1.尝试法（有序枚举）。
2.计算法：线和，数和，重叠部分。
●例题精讲例题1将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9按照要求填入下图的圆圈中，使得每边上的和为12（同一个数只能使用一次）。
★找数最多的部分作为突破口，有序的枚举，尝试进行填空。
练习1在下面的圆圈中填上适当的数，使每条直线上的三个数之和都是12。
例题2将1~16这十六个数分别填入下面的方框，使横行、竖列、斜对角的四个数的和都相等。
★先观察横行、数列、斜对角，寻找出题目的突破口，再从数多的部分入手，逐一填数，各个击破。
练习2将数字0、1、2、3、4、5、6、7、8、9分别填入下面的圆圈中，使得每边上的和为10，同一个数只能使用一次。
例题3把2，3，4，5，6这五个数分别填入空格中，使每行、每列上三个数相加的和都等于11，每个数只能是一次。
★找突破口（重叠部分），条件中要填的数是连续的，选择第一个、中间的、最后一个数进行重叠数的尝试，最后小数配大数。
练习3把5，6，7，8，9这五个数分别填入空格中，使每行、每列上三个数相加的和都等于22，每个数只能使用一次。
例题4将1~9这九个数分别填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于12，每个数只能使用一次。
★找突破口（重叠部分），条件给出的数是连续的，选择第一个、中间的、最后一个进行尝试。
练习4将1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数相加之和等于14，每个数只能使用一次。
例题5把1，2，3，5，7，9，11这七个数分别填入圆圈里，使每条直线上的三个数相加的和都为14，每个数只能使用一次。
★找突破口（重叠部分），条件给出的数不是连续的，奇偶性尝试或者计算的方法。
第09讲 数阵图(一)
第9讲 数阵图和幻方（一）爱因斯坦是举世文明的大科学家，以发明物理学上的相对论著称。
他在成名后，仍继续为德国的《法兰克福报》写稿，给读者提出一些数学问题。
下面是爱因斯坦做过的一道题目：如下图所示的几个圆的圆心是4个小的等腰三角形和3个大的等腰三角形的顶点，把数字1～9填入圆圈内，使这7个三角形中每个三角形顶点的数字之和都相等。
在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。
它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。
那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。
右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。
上面两个图就是数阵图。
准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。
要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。
我们还是先从几个简单的例子开始。
把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。
同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。
下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。
解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。
也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。
因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以 (1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。
重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。