江西省宜春市丰城中学2017届高三(上)第二次段考数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年江西省宜春市丰城中学高三（上）第二次段考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共小题，每小题5分，共60分.在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）1．若=a+bi（a，b∈R），i是虚数单位，则乘积ab的值是（）A．﹣15 B．3 C．﹣3 D．52．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）3．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．35．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．B．C．D．6．已知向量，满足||=2，||=3，且与+夹角的余弦值为，则•可以是（）A．4 B．﹣3 C．D．﹣27．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•=m，•+•=n，则（）A．m=2，n=4 B．m=3，n=1C．m=2，n=6 D．m=3n，但m，n的值不确定=a m+a n+mn，则等8．数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n于（）A．B．C．D．9．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x﹣sinx，若不等式f（﹣4t）＞f（2mt2+m）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣，0）C．（﹣∞，0）∪（，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）10．若a，b是函数f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q的值等于（）A．6 B．7 C．8 D．911．已知函数f（x）=．则f（）+f（）+…+f（）=（）A．2017 B．2016 C．4034 D．403212．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f'（x1）=，f'（x2）=，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，已知函数f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，1）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设f（n）=2+24+27+210+…+23n+13（n∈N*），则f（n）等于．14．某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40米，并在点C 处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°，且CE=1米，则烟囱高AB=米．15．设||=||=，若函数f（x）=|+x|（x∈R）的最小值为1，则•=．16．对于函数f（x）=|x3|﹣x2+（3﹣a）|x|+b有六个不同的单调区间，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的值域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切实数x 恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．18．已知△ABC的面积S满足2﹣≤S≤1，且•=﹣2，∠ACB=θ．（1）若=（sin2A，cos2A），=（cos2B，sin2B），求|+2|的取值范围；（2）求函数f（θ）=sin（θ+）﹣4sinθcosθ+cos（θ﹣）﹣2的最大值．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，满足a1=b1，2a2=b2，S2+T2=13，2S3=b3．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和为C n．20．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosC+=1．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a1=，a n+2S n S n=0（n≥2）．﹣1（1）判断是否为等差数列？并证明你的结论；（2）求S n和a n；（3）求证：．22．设f（x）=，g（x）=alnx（a＞0）．（Ⅰ）求函数F（x）=f（x）•g（x）的极值；（Ⅱ）若函数G（x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）x在区间内有两个零点，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）求证：当x＞0时，lnx+＞0．2016-2017学年江西省宜春市丰城中学高三（上）第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共小题，每小题5分，共60分.在每个题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将答案填写在答卷纸上）1．若=a+bi（a，b∈R），i是虚数单位，则乘积ab的值是（）A．﹣15 B．3 C．﹣3 D．5【考点】复数相等的充要条件．【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，把等式的左边化简到最简形式，再根据两个复数相等的充要条件，求出a、b 的值．【解答】解：∵=a+bi（a，b∈R），i是虚数单位，∴=a+bi，∴=a+bi，∴﹣1+3i=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣3，故选C．2．已知集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}，集合B={x|y=}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，1]C．（1，+∞）D．[1，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|2x2﹣x﹣1≤0}={x|（2x+1）（x﹣1）≤0}={x|﹣≤x≤1}=[﹣，1]，集合B={x|y=}={x|}={x|}=（0，1）∪（1，+∞），∴A∩B=（0，1）．故选：A．3．已知m∈R，“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=f（x）=2x+m﹣1有零点，则f（0）=1+m﹣1=m＜1，当m≤0时，函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y=log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y=2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y=2x+m﹣1有零点”是“函数y=log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是（）A．B．C．D．3【考点】余弦定理．【分析】将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．【解答】解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．==．∴S△ABC故选：C．5．已知sin（α+）+sinα=﹣，﹣＜α＜0，则cos（α+）等于（）A．B． C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】先将sin（）用两角和正弦公式化开，然后与sinα合并后用辅角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案．【解答】解：∵sin（）+sinα=sinα++sinα==﹣∴∴sin（）=﹣∵cos（α+）=cos（）=﹣sin（）=故选D．6．已知向量，满足||=2，||=3，且与+夹角的余弦值为，则•可以是（）A．4 B．﹣3 C．D．﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知展开，代入||=2，||=3，且与+夹角的余弦值为，即可求得•．【解答】解：由已知向量量，满足||=2，||=3，且与+夹角的余弦值为，得==，即，∴或．故选：D．7．如图，△ABC的AB边长为2，P，Q分别是AC，BC中点，记•+•=m，•+•=n，则（）A．m=2，n=4 B．m=3，n=1C．m=2，n=6 D．m=3n，但m，n的值不确定【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由于P，Q分别是AC，BC中点，可得m=•+•===；由于P，Q分别是AC，BC中点，可得，，代入n=•+•=+展开即可得出．【解答】解：∵P，Q分别是AC，BC中点，∴m=•+•=====2；∵P，Q分别是AC，BC中点，∴，，∴n=•+•=+===6．故选：C．=a m+a n+mn，则等8．数列{a n}满足a1=1，且对任意的m，n∈N*都有a m+n于（）A．B．C．D．【考点】数列的求和．【分析】数列{a n }满足a 1=1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m +n =a m +a n +mn ，可得a n +1﹣a n =1+n ，利用“累加求和”可得a n ，再利用“裂项求和”即可得出．【解答】解：∵数列{a n }满足a 1=1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m +n =a m +a n +mn ， ∴a n +1﹣a n =1+n ，∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1 =n +（n ﹣1）+…+2+1 =．∴=．则=2++…+=2=．故选：A ．9．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足：当x ≥0时，f （x ）=x ﹣sinx ，若不等式f （﹣4t ）＞f （2mt 2+m ）对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣）B ．（﹣，0）C ．（﹣∞，0）∪（，+∞）D ．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）【考点】函数恒成立问题．【分析】根据函数的单调性问题转化为2mt 2+4t +m ＜0，通过讨论m 的范围，得到关于m 的不等式，求出m 的范围即可．【解答】解：由f （x ）=x ﹣sinx ，可得f'（x ）=1﹣cosx ≥0， 故f （x ）在[0，+∞）上单调递增，再由奇函数的性质可知，f （x ）在R 上单调递增， 由f （﹣4t ）＞f （2mt 2+m ），可得﹣4t ＞2mt 2+m ，即2mt 2+4t +m ＜0， 当m=0时，不等式不恒成立；当m ≠0时，根据条件可得，解之得，综上，m ∈（﹣∞，﹣）， 故选：A ．10．若a ，b 是函数f （x ）=x 2﹣px +q （p ＞0，q ＞0）的两个不同的零点，且a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p +q 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【考点】等比数列的性质；等差数列的性质．【分析】由一元二次方程根与系数的关系得到a +b=p ，ab=q ，再由a ，b ，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a ，b 的方程组，求得a ，b 后得答案．【解答】解：由题意可得：a +b=p ，ab=q ， ∵p ＞0，q ＞0，可得a＞0，b＞0，又a，b，﹣2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，可得①或②．解①得：；解②得：．∴p=a+b=5，q=1×4=4，则p+q=9．故选：D．11．已知函数f（x）=．则f（）+f（）+…+f（）=（）A．2017 B．2016 C．4034 D．4032【考点】函数的值．【分析】根据函数的奇偶性求值即可．【解答】解：f（x）===2+，令g（x+）=，得g（x+）是奇函数，∴f（）+f（）+…+f（）=2×2016=4032，故选：D．12．定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足f'（x1）=，f'（x2）=，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”，已知函数f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，1）【考点】函数与方程的综合运用．【分析】根据定义得出=8a2﹣2a，相当于6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有两个根，利用二次函数的性质解出a的范围即可．【解答】解：f（x）=2x3﹣x2+m是[0，2a]上的“双中值函数”，∴=8a2﹣2a，∵f'（x）=6x2﹣2x，∴6x2﹣2x=8a2﹣2a在[0，2a]上有两个根，令g（x）=6x2﹣2x﹣8a2+2a，∴△=4+24（8a2﹣2a）＞0，g（0）＞0，g（2a）＞0，2a＞，∴＜a＜．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设f（n）=2+24+27+210+…+23n+13（n∈N*），则f（n）等于（n+5﹣）．【考点】数列的求和．【分析】首先根据题意分析出f（n）是首项为2，公比为8的等比数列的前n+5项和，然后由等比数列前n项和公式求之即可．【解答】解：数列2、24、27、210、…23n+13是首项为2，公比为23=8的等比数列，所以．故答案是：（8n+5﹣1）．14．某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°，且CE=1米，则烟囱高AB=1+20米．【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据三角形的内角和求出∠CBD，再根据正弦定理求得BC，即可求得AB．【解答】解：∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=45°，在△CBD中，根据正弦定理得BC==20，∴AB=1+tan30°•CB=1+20（米），故答案为：1+20．15．设||=||=，若函数f（x）=|+x|（x∈R）的最小值为1，则•=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的模长公式将条件进行化简，利用构造法，转化为一元二次函数进行求解即可．【解答】解：由于，函数（x∈R）的最小值为1，则，即的最小值为1，令，设g（x）=2x2+2tx+2，当且仅当时，g（x）取得最小值，因此，解得，所以．故答案为：16．对于函数f（x）=|x3|﹣x2+（3﹣a）|x|+b有六个不同的单调区间，则a的取值范围为（2，3）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由偶函数的定义，可知函数f（x）是偶函数，从而易得f（﹣2），同时，若f（x）有六个不同的单调区间，则由函数为偶函数，则只要证明函数在（0，+∞）上有三个单调区间即可．即：f′（x）=0有两个不同的正根．【解答】解：∵函数f（x）=+（3﹣a）|x|+b∴f（﹣x）=f（x）∴f（x）是偶函数∵f（x）有六个不同的单调区间又因为函数为偶函数∴当x＞0时，有三个单调区间即：f′（x）=x2﹣ax+3﹣a=0有两个不同的正根∴解得：2＜a＜3故答案为：（2，3）三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的值域为R；命题q：3x﹣9x＜a对一切实数x恒成立，如果命题“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】分别求出两个命题的为真命题的等价条件，利用复合命题真假之间的关系进行判断求解．【解答】解：若函数f（x）=lg（ax2﹣x+）的值域为R，则当a=0时，f（x）=lg（﹣x）的值域为R满足条件，若a≠0，要使函数f（x）的值域为R，则，即，即0＜a≤2，综上0≤a≤2；若3x﹣9x＜a对一切实数x恒成立，则设g（x）=3x﹣9x，则g（x）=3x﹣（3x）2，=设t=3x，则t＞0，则函数等价为y=t﹣t2=﹣（t）2+≤，即a＞，若“p且q”为真命题，则，即＜a≤2则若“p且q”为假命题，则a＞2或a≤．18．已知△ABC的面积S满足2﹣≤S≤1，且•=﹣2，∠ACB=θ．（1）若=（sin2A，cos2A），=（cos2B，sin2B），求|+2|的取值范围；（2）求函数f（θ）=sin（θ+）﹣4sinθcosθ+cos（θ﹣）﹣2的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数的最值．【分析】（1）由已知数量积可得abcosθ=2，代入S=，可得tanθ∈[2﹣，1]，从而求出θ的范围，再由向量模的公式可得|=5﹣4sin2θ，从而求得答案；（2）化简函数f（θ）=sin（θ+）﹣4sinθcosθ+cos（θ﹣）﹣2，令t=sinθ+cosθ=，然后利用配方法求得函数f（θ）的最大值．【解答】解：（1）由•=﹣2，得，又∠ACB=θ，得abcosθ=2，∴S==tanθ∈[2﹣，1]，而θ∈（0，π），∴，∵=（sin2A，cos2A），=（cos2B，sin2B），∴，．∴，∵，∴，∴5﹣4sin2θ∈[1，3]，∴|+2|∈[1，]；（2）f（θ）=sin（θ+）﹣4sinθcosθ+cos（θ﹣）﹣2=．设t=sinθ+cosθ=，∵，∴，∴t∈[]，y==，对称轴t=∉[]，∴当t=时y max=﹣2．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，满足a1=b1，2a2=b2，S2+T2=13，2S3=b3．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}通项公式；（Ⅱ）设c n=，求数列{c n}的前n项和为C n．【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，由已知列式求得首项和等差数列的公差及等比数列的公比，则数列{a n}、{b n}通项公式可求；（Ⅱ）把数列{a n}、{b n}通项公式代入c n=，然后利用错位相减法求得数列{c n}的前n项和为C n．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，则，解得，故；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：c n==，∴，．两式相减得：=．∴．20．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且cosC+=1．（1）求角A的大小；（2）若a=1，求△ABC的周长l的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【分析】（I）利用正弦定理、和差化积即可得出；（II）利用正弦定理、和差化积、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由已知得cosC+=1．即sinAcosC+sinC=sinB，又sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∴sinC=cosAsinC．∵sinC≠0，∴cosA=．又∵A∈（0，π），∴．（Ⅱ）由正弦定理得=sinB，c=sinC，∴l=a+b+c=1+sinB+sinC=1+ [sinB+sin（A+B）]=1+2．∵A=，∴B∈，∈，∴sin∈．故△ABC的周长l的取值范围是（2，3]．21．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=，a n +2S n S n ﹣1=0（n ≥2）．（1）判断是否为等差数列？并证明你的结论；（2）求S n 和a n ； （3）求证：．【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；数列的求和；数列递推式．【分析】（1）当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣2S n S n ﹣1，两边同除以S n S n ﹣1，可得，从而可得为等差数列；（2）由（1）知是以首项为2，公差为2的等差数列，从而可得S n ，利用a n +2S n S n ﹣1=0（n ≥2），可求a n ；（3）利用，表示S 12+S 22+…+S n 2，利用放缩法变为，从而利用裂项法求和，即可证得．【解答】解：（1）S 1=a 1=，∴当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣2S n S n ﹣1，∴∴为等差数列，首项为2，公差为2…（2）由（1）知=2+（n ﹣1）×2=2n ，∴…当n ≥2时，∴a n =…（3）==…22．设f （x ）=，g （x ）=alnx （a ＞0）．（Ⅰ）求函数F （x ）=f （x ）•g （x ）的极值；（Ⅱ）若函数G（x）=f（x）﹣g（x）+（a﹣1）x在区间内有两个零点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：当x＞0时，lnx+＞0．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求导数的变号零点，然后据此得到原函数的极大值或极小值点；（2）先利用导数研究函数的单调性、极值及最值的情况，然后结合数形结合思想构造出关于a的不等式（组）求解；（3）先将原不等式变形为两个函数比较大小的情形，然后转换为两个函数最值的比较问题，还是利用导数研究．【解答】解：（1）F（x）=f（x）•g（x）==．故F（x）在上递减，在上递增，所以为极小值点，所以=，无极大值．（2）．所以．由G′（x）=0得x=1或x=﹣a（舍去）．当x∈（0，1）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，G′（x）＞0，G（x）单调递增．要使G（x）在上有两个零点需满足：，即，解得．下面比较的大小．因为=．故．故a的范围是．（3）原不等式等价于．由（1）知f（x）=x2lnx的最小值为．设h（x）=，则．因为x＞0，所以h（x）在（0，2）单调递增，在（2，+∞）单调递减．h（x）max=h（2）=．又因为．所以f（x）min＞h（x）min，故．所以x＞0时，lnx．2016年12月21日。