江苏省包场高级中学高三数学讲义：专题六 解决三角函数的图像与性质问题

专题六 解决三角函数的图像与性质问题
【真题感悟】
1．已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为
3
π
的交点,则ϕ的值是 . 2．函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，
)0,0>>w A 的部分图象如图所示，则(0)f = .
3．若将函数()sin 24f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像向右平移ϕ个单位，
所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是________.
4．设常数a 使方程sin 3cos x x a +=在闭区间 上恰有三个解
123,,x x x ，则123x x x ++= .
【考点展示】
1． 已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则ω的值为________．
2．设函数)sin()(ϕω+=x x f ，0,0>>ωA ，若)(x f 在]2
,6[ππ上具有单调性，且
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛6322πππf f f ，则)(x f 的最小正周期为________. 3．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图像向右平移
4
π
个单位长度,所得图像经过点3(,0)4π,则
ω的最小值是 .
4．定义在区间⎪⎭
⎫
⎝
⎛
20π,
上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 .
5．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于 .
6．设,a b 均为大于1的自然数,函数()(sin ),()cos f x a b x g x b x =+=+,若存在实数m ,使得
()()f m g m =,则a b +=________.
7.已知)2
,0(π
∈x ，
2()sin(2)cos(2)2cos 63f x x x x ππ
=+-++， 若0)(=-a x f 有两个
不同的解，则a 的取值范围是
【典例导引】
例1 如图，摩天轮的半径为50 m ，点O 距地面的高度为60 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min
转一圈，摩天轮上点P 的起始位置在最低点处. ①试确定在时刻t （min ）时点P 距离地面的高度；
②在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85 m?
例2 设函数2()sin(
)2cos 1468
x x
f x ππ
π=--+． （1）求()f x 的最小正周期．
（2）若()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4
[0,]3
x ∈时()y g x = 的
最大值．
例3 已知向量()(),cos2,sin 2,a m x b x n ==，函数()f x a b =⋅，且()y f x =的图像过
点,312π⎛⎫
⎪⎝⎭
和点2,23π⎛⎫
- ⎪⎝⎭. （I ）求,m n 的值；
（II ）将()y f x =的图像向左平移()0ϕϕπ<<个单位后得到函数()y g x =的图像，若
()y g x =图像上各最高点到点()0,3的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.
例4 已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛<>+=2,0sin )(πϕϕωM x M x f 的部分图像如图所示.
（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,
的取值范围.
例5 已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是偶函数，且图像关于点)0,4
3(πM 对称，且
在区间上⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是单调函数，求ϕω,的值.
A 2
例6如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离)(OB 即为2m ，在圆环上设置三个等分点A 1，A 2，A 3。

点C 为OB 上一点（不包含端点O 、B ），同时点C 与点A 1，A 2，A 3，B 均用细绳相连接，且细绳
CA 1，CA 2，CA 3的长度相等。

设细绳的总长为y
（1）设∠CA 1O = θ (rad )，将y 表示成θ的函数关系式； （2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时 BC 应为多长。

（2）值与b 的最小值.
【课后巩固】
1．若函数)0)(sin()(πϕϕ<<+=x x f 是偶函数，则=-)6cos(ϕπ .
2．已知函数()f x =12tan x x +-，(0,
)2
x π
∈，则()f x 的单调减区间
是 ．
3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如下图所示，则f (π
3
)的值为 ．
4．已知角ϕ的终边经过点)2,1(-P ，函数)0)(sin()(>+=ωϕωx x f 图像的相邻两条对称轴之间的距离为3π，则=)12
(πf .
5．已知函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线()0y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递增区间是 ． 6．把函数x x f 2sin )(=的图像向右平移
6
π
个单位得到函数)(x g 的图像，则函数)(x g 在区间)2,0(π内所有极值点之和为 ．
7．已知)0)(3sin()(>+=ωπωx x f ，)3()6(ππf f =，且)(x f 在区间⎪⎭
⎫ ⎝⎛3,6ππ上有最小值，无最大
值，则=ω .
8．已知函数f （x ）=sin （2x πϕ+）的部分图象如图所示，点B ，C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于D ，E 两点， 则（BD BE +）·BC 的值为 .
9已知函数()sin 3cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图像与直线
2y =-的两个相邻交点
的距离等于π，则[0,]x π∈时()f x 的单调递减区间是
9．已知函数)3cos()6sin()(ππ-+-=x x x f ，2sin 2)(2x x g =. （1）若α时第一象限，且553)(=αf ，求)(αg 的值；
（2）求使)()(x g x f ≥成立的x 的取值集合.
10．已知函数())20,0,0(2cos )(2πϕωϕω<<>>-+=A A x A x f 的最大值为2，)(x f 图像的相邻
两对称轴的距离为2，在y 轴上的截距为1. （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈37,31x 时，求函数)1()(++=x f x f y 的值域.
11．已知函数()()π
sin (,0,0,0)2
f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><<R 的部分图象如图所示，P 是
图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O
为坐标原点．若4,OQ OP PQ === （1）求函数()y f x =的解析式；
（2）将函数()y f x =的图象向右平移2个单位后得到函数()y g x =的图象，当[]0,3x ∈
时，求函数()()()h x f x g x =⋅的值域．
12．已知函数)sin(2)(φ+=x x f ,其中x ∈R ，φ是常数,且2
0π
φ<
<．
(1)当函数)2
3()()(π
+
-=x f x f x F 为偶函数时，求φ的值； (2)当3πφ=时，将函数()y f x =的图像向左平移2
π
个单位,再向下平移1个单位,得到函
数()y g x =的图像. ①求()y g x =的解析式；
②对任意的m ∈R ,求()y g x =在区间[]π4,+m m 上零点个数的所有可能值.
13．已知函数
()cos sin ,[0,]2
f x x x x x π
=-∈，
（1）求证：
()0f x ≤；
（3）若sin x
a b x
<
<在(0,)2π上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值.
14．设向量)sin cos ,4
2(sin 2x x x ++=π，)sin cos ,sin 4(x x x -=，x f ⋅=)(.
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）已知常数0>ω，若)(x f y ω=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上增函数，求ω的取值范围；
（3）设集合{}
326|ππ≤≤=x x A ，{}2)(|<-=m x f x B ，若B A ⊆，求实数m 的取值范围.。