2008-2009武汉大学数学B期末考试

武汉大学数学与统计学院 B 卷
2008—2009第一学期《高等数学B1》期末考试试题
一、 试解下列各题：（''⨯=8756）
1、 求极限： 2
201
lim(cot )x x x
→- 2、
已知0
4x →=，求极限0
lim ()→x f x
3、 试证:若()f x 是可导的周期为l 的函数，则'()f x 也是以l 为周期的周期函数.
4、 求函数x
x x x f )1(1
)(2--=的间断点，并判断其类型。

5、已知
sin 1
()F x =
⎰
， 求 )(x F '
6、设函数y y x =()由方程0y
xy e +=确定，求
d d y x
7、计算不定积分+
+-⎰1
1(1)d x x x e x x
8、计算定积分⎰1
ln e
xdx
二、（10分）设直线1L 和2L 的方程为：2
4
1321:12111:
21--=--=+-=+=-z y x L z y x L 1）证明1L 与2L 是异面直线；
2）求平面π使1L 和2L 到π的距离相等； 3）求与1L 和2L 都垂直相交的直线L 。

三、（8分）设函数+≤⎧⎪=⎨>⎪⎩
sin 0
()0ax
x x b x f x e x ,问、a b 为何值时，)(x f 在0=x 处可导. 四、（10分）曲线2
x x
e e y -+=与直线0x =，x t =（0t >）及0y =围成一曲边梯形，该曲边梯形绕x 轴
旋转一周得一旋转体，其体积为()V t ，侧面积为()S t ，在x t =处的底面积为()F t 。

（1）求
()()
S t V t 的值；（2）计算极限()
lim ()t S t F t →+∞
五、（10分）设4
3()4
x y f x x ==-求： 1）函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值； 2）曲线)(x f y =的凸性区间、拐点。

六、（6分）设)(x f 为可微函数，试证：在任意两个零点之间必有点x 使()()f x f x λ'=。

武汉大学2008—2009第一学期 B 卷
《高等数学B1》试题参考答案(180学时用)
一、试解下列各题：（''⨯=8756）
1、解： 2222
22232
00001cos sin cos sin sin 2lim(cot )lim 2lim 2lim 3sin 3x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→----====-
2、解
: 000011()ln(12)()21224lim lim lim ()222x x x x f x x f x x f x x x →→→→+==== 故0
lim ()8→=x f x
3、解: 设x 是定义域中任意一点,由导数定义有:∆→++∆-+'+=∆0
()()
()lim
x f x l x f x l f x l x
∆→+∆-'==∆0()()
lim
()x f x x f x f x x
即()'f x 也是以l 为周期的周期函数.
4、解：由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .
因111lim ()lim 2x x x f x x
→→+==而)(x f 在1=x 处无定义，故1=x 为其可去间断点.又01
()lim
x x f x x →+==∞ ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点.综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.
5、解： )(x F '=x x cos sin 1⋅+
6、解：等式两端对x 求导得e 0y
y xy y ''++= 整理得2
e y y y x
-'=+
7、解：++++++-=+-=+⎰⎰⎰⎰⎰11111
211(1)d d (1)d d d x x x x x x x x x x
x e x e x x e x e x x e x x
+
+
+
+
=+-=+⎰⎰1111d d x x x x x
x
x
x
e
x xe
e
x xe
c
8、解：
=-=-=⎰
⎰1
11
1
ln ln ||1e
e e
e xdx x x dx e x
二、（10分）解：1）由题意知221
1)4,3,1()0,1,1(L M L M ∈-∈-，1L 与2L 的方向向量为：
}2,1,2{},1,2,1{21--=-=s s 由于0102
12121
4
42],,[2121≠-=----=s s M M
故两直线异面。

2）已知平面必须过线段21M M 的中点)2,1,0(0M 其法向量n 同时垂直于21,s s
所以可取
}1,0,1{52
1212121-=---=⨯=k
j i s s n
故所求方程为：2=+z x
3）因L 的方向向量}1,0,1{521-=⨯=s s s 所以过L 与1L 的平面1π的法向量为：}1,1,1{1011--=⨯=s s n
所以过L 与2L 的平面2π的法向量为：}1,4,1{522--=⨯=s s n
故平面1π的方程为：2=--z y x 故平面2π的方程为：74=-+z y x
所以直线L 的方程为：⎩
⎨⎧=-+=--742
:z y x z y x L
三、（8分） 解：要)(x f 在0=x 处连续，函数在某点处连续的充要条件是0
lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+
→→==成
立。

因为0
lim ()lim(sin )x x f x x x b b --→→=+=，00
lim ()lim 1ax
x x f x e ++
→→==，于是有1(0)b f ==，即1b =时函数在0=x 处连续。

由--
--→→-+-'===00()(0)sin 11(0)lim lim 0x x f x f x x f x x
0()(0)(0)lim x f x f f x ++→-'== 001
lim lim 0ax x x e a a a ax ++
→→-=⇒=故0,1a b ==时,函数)(x f 在0=x 处可导.
四、（10分）解 （1
）0
()2t
S t π=
⎰
022x x t
e e π-⎛+= ⎝⎰2
02π-⎛⎫+= ⎪⎝
⎭⎰x x
t e e dx 所以()
2()S t V t =。

（2）2()x t
F t y
π==2
2t t e e π-⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
()lim ()t S t F t →+∞2
02
22lim
2x x t
t t t e e dx e e ππ-→+∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⎰ 2
22lim 222t t t t t t t e e e e e e ---→+∞⎛⎫+ ⎪
⎝⎭=⎛⎫⎛⎫
+- ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭
lim t t t t t e e e e --→+∞+=-1= 五、（10分）解 函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y ，令 ,0='y 驻点 3,021==x x
列表
故单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 4)3(-
=y ,093>=''=x y 得4
27
)3(-=y 是极小值。

2
363(2)y x x x x ''=-=- 令0y ''=得0,2x =，拐点：（0，0）（2，-7）上凸区间：（0，2）
下凸区间：（-∞，0）（2，+∞）
六、（6分）证21,x x ∀为)(x f 的两个零点，设()()x
g x e
f x λ-=,由条件)(x
g 在[a,b]连续，在),(b a 内可导， 121122()()0()()x x g x e f x e f x g x λλ--====，则存在),(21x x ∈ξ使得0)(='ξg ，即
[()]|()()0x x e f x e f e f λλξλξ
ξλξξ---=''=-+=，从而()()f f λξξ'=。