鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角课后作业题3(附答案)
鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题4(附答案)
鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题4（附答案）一．选择题（共10小题）1．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（）A．一倍B．二倍C．三倍D．四倍2．如图中奥迪车商标的长为34cm，宽为10cm，则d的值为（）A．14B．16C．18D．203．下列说法正确的是（）A．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形B．任意一条直径都是圆的对称轴C．在等圆中，若圆心角相等，那么所对的弦也相等D．把一个图形绕着某一点旋转一个角度能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形4．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（）A．AC+CB＝AD+DB B．AC+CB＜AD+DBC．AC+CB＞AD+DB D．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定5．如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（）A．3cm B．C．4cm D．6．如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时10千米的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．若A城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响的时间为（）A．小时B．10小时C．5小时D．20小时7．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF＝1.25DF，则tan∠ABD的值为（）A．B．C．D．8．如图，CD为⊙O的直径，AB为弦，AB⊥CD，点E在圆上，若OF＝DF，则∠AEB的度数为（）A．135°B．120°C．150°D．110°9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（）A．70°B．80°C．75°D．60°10．已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm二．填空题（共10小题）11．如图所示，1条直线最多能将圆的内部分成2部分，2条直线最多能将圆的内部分成4部分．那么3条直线最多能将圆的内部分成部分，5条直线最多能将圆的内部分成部分．（每部分不要求全等）12．如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B （直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了m．13．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝32°，则∠AEO的度数．14．⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆心角度数是．15．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C．当△P AB是以AP为腰的等腰三角形时，线段BC 的长为．16．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC ＝60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为cm．17．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB的度数是．18．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝23°，则∠DCA的度数．19．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC上的一动点（不与点B、C重合）．连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为F，则线段BF长的最小值为．三．解答题（共8小题）21．如图，圆心为点M的三个半圆的直径都在x轴上，所有标注A的图形面积都是S A，所有标注B的图形面积都是S B．（1）求标注C的图形面积S C；（2）求S A：S B．22．说说弦和直径的关系，弧和半圆的关系．23．如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．（1）求证：CD＝CE．（2）求证：＝．24．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC 的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为．（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD ＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．25．如图，⊙O的两条弦AB∥CD（AB不是直径），点E为AB中点，连结EC，ED （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；（2）求证：EC＝ED．26．已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC＝8，EF＝2．（1）求AO的长；（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．27．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）若BC的长为6，求⊙O的半径．28．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．中央电视台“开心辞典”栏目曾有这么一道题：圆的半径增加了一倍，那么圆的面积增加了（）A．一倍B．二倍C．三倍D．四倍【解答】解：设圆的原来的半径是R，增加1倍，半径即是2R，则增加的面积是4πR2﹣πR2＝3πR2，即增加了3倍．故选：C．2．如图中奥迪车商标的长为34cm，宽为10cm，则d的值为（）A．14B．16C．18D．20【解答】解：∵宽为10cm，∴圆的直径是10cm，∴圆的重叠部分的宽是（40﹣34）÷3＝2cm，∴d＝20﹣2＝18cm．故选：C．3．下列说法正确的是（）A．平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形B．任意一条直径都是圆的对称轴C．在等圆中，若圆心角相等，那么所对的弦也相等D．把一个图形绕着某一点旋转一个角度能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形【解答】解：A、根据轴对称图形和中心对称图形的概念，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故错误；B、对称轴应是直径所在的直线，故错误；C、在等圆中，若圆心角相等，那么所对的弦也相等，正确；D、必须是旋转180°，故错误．故选：C．4．在⊙O中，C是的中点，D是上的任一点（与点A、C不重合），则（）A．AC+CB＝AD+DBB．AC+CB＜AD+DBC．AC+CB＞AD+DBD．AC+CB与AD+DB的大小关系不确定【解答】解：如图；以C为圆心，AC为半径作圆，交BD的延长线于E，连接AE、CE；∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB；∵∠DAC＝∠CBE，∴∠DAC＝∠CEB；∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠CAE﹣∠DAC＝∠CEA﹣∠CED，即∠DAE＝∠DEA；∴AD＝DE；∵EC+BC＞BE，EC＝AC，BE＝BD+DE＝AD+BD，∴AC+BC＞BD+AD；故选：C．5．如图，在⊙O中，弦AB长6cm，圆心O到AB的距离是3cm，⊙O的半径是（）A．3cm B．C．4cm D．【解答】解：如图所示，由题意知OC＝3，且OC⊥AB，∵AB＝6，∴AC＝AB＝3，则OA＝＝＝3，故选：B．6．如图，A城气象台测得台风中心在城正西方向300千米的B处，并以每小时10千米的速度沿北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．若A城受到这次台风的影响，则A城遭受这次台风影响的时间为（）A．小时B．10小时C．5小时D．20小时【解答】解：由题意得出：∠ABF＝30°，AB＝300km，∴AC＝150km，当AD＝200km，∴CD＝＝50（km），∴DE＝2×50＝100（km），∴100÷10＝10（小时）．故选：B．7．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上任意一点，点D是AC中点，OD交AC于点E，BD交AC于点F，若BF＝1.25DF，则tan∠ABD的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝，∴∠DAF＝∠DBA，∵∠ADF＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴＝，∴AD2＝DF•DB，∵BF＝1.25DF，∴可以假设DF＝4m，则BF＝5m，BD＝9m，∴AD2＝36m2，∵AD＞0，∴AD＝6m，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴tan∠ABD＝＝＝，故选：A．8．如图，CD为⊙O的直径，AB为弦，AB⊥CD，点E在圆上，若OF＝DF，则∠AEB的度数为（）A．135°B．120°C．150°D．110°【解答】解：连接OA，CA，CB，∵CD为⊙O的直径，AB为弦，AB⊥CD，OF＝DF，∴OA＝2OF，∴∠AOD＝60°，∴∠ACD＝30°，∴∠ACB＝60°，∴∠AEB＝120°，故选：B．9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AO⊥BC，垂足为点E，若∠ADC＝130°，则∠BDC的度数为（）A．70°B．80°C．75°D．60°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠ADC＝130°，∴∠ABE＝180°﹣130°＝50°，∵AO⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠BAE＝40°，∵AO⊥BC，∴BC＝2BE，∴∠BDC＝2∠BAE＝80°，故选：B．10．已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【解答】解：∵点P在半径为5cm的圆内，∴点P到圆心的距离小于5cm，所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合；故选：A．二．填空题（共10小题）11．如图所示，1条直线最多能将圆的内部分成2部分，2条直线最多能将圆的内部分成4部分．那么3条直线最多能将圆的内部分成7部分，5条直线最多能将圆的内部分成16部分．（每部分不要求全等）【解答】解：3条直线最多能将圆的内部分成4+3＝7部分；4条直线最多能将圆的内部分成7+4＝11条；5条直线最多能将圆的内部分成11+5＝16条．n条直线最多能将圆的内部分成（n2）部分．12．如图，一个人握着板子的一端，另一端放在圆柱上，某人沿水平方向推动板子带动圆柱向前滚动，假设滚动时圆柱与地面无滑动，板子与圆柱也没有滑动．已知板子上的点B （直线与圆柱的横截面的切点）与手握板子处的点C间的距离BC的长为Lm，当手握板子处的点C随着圆柱的滚动运动到板子与圆柱横截面的切点时，人前进了2L m．【解答】解：因为圆向前滚动的距离是Lm，所以人前进了2Lm．13．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝32°，则∠AEO的度数48°．【解答】解：∵，∠COD＝32°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝32°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝84°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣84°）＝48°．故答案为：48°14．⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆心角度数是60°．【解答】解：∵OA＝OB＝AB，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°．故答案为：60°15．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB＝8，P是弦AB所对的优弧上的动点，连接AP，过点A作AP的垂线交射线PB于点C．当△P AB是以AP为腰的等腰三角形时，线段BC的长为或．【解答】解：①当AB＝AP时，如图1，延长AO交PB于点D，过点O作OE⊥AB于点E，则AD⊥PB，AE＝AB＝4，∴BD＝DP，在Rt△AEO中，AE＝4，AO＝5，∴OE＝3，∵∠OAE＝∠BAD，∠AEO＝∠ADB＝90°，∴△AOE∽△ABD，∴＝，∴BD＝，∴BD＝PD＝，即PB＝，∵AB＝AP＝8，∴∠ABD＝∠P，∵∠P AC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△CP A，∴＝，∴CP＝，∴BC＝CP﹣BP＝﹣＝；③当P A＝PB时，如图2，连接PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，则PF⊥AB，∴AF＝FB＝4，在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝4，∴OF＝3，∴FP＝8，∵∠P AF＝∠ABP＝∠CBG，∠AFP＝∠CGB＝90°，∴△PFB∽△CGB，∴＝，设BG＝t，则CG＝2t，∵∠P AF＝∠ACG，∠AFP＝∠AGC＝90°，∴△APF∽△CAG，∴＝，∴＝，解得t＝，在Rt△BCG中，BC＝t＝，综上所述，当△P AB是等腰三角形时，线段BC的长为或，故答案为：或．16．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC ＝60cm．沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C1＝120°．（1）图2中，弓臂两端B1，C1的距离为30cm．（2）如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为10﹣【解答】解：（1）如图2中，连接B1C1交DD1于H．∵D1A＝D1B1＝30∴D1是的圆心，∵AD1⊥B1C1，∴B1H＝C1H＝30×sin60°＝15，∴B1C1＝30∴弓臂两端B1，C1的距离为30（2）如图3中，连接B1C1交DD1于H，连接B2C2交DD2于G．设半圆的半径为r，则πr＝，∴r＝20，∴AG＝GB2＝20，GD1＝30﹣20＝10，在Rt△GB2D2中，GD2＝＝10∴D1D2＝10﹣10．故答案为30，10﹣10，17．如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，联结OA，AC，如果∠OAB＝20°，那么∠CAB的度数是35°．【解答】解：连接OC交AB于E．∵C是的中点，∴OC⊥AB，∴∠AEO＝90°，∵∠BAO＝20°，∴∠AOE＝70°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝55°，∴∠CAB＝∠OAC﹣∠OAB＝35°，故答案为35°．18．在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．如图，若点D与圆心O不重合，∠BAC＝23°，则∠DCA的度数44°．【解答】解：连接BC，如图所示：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝23°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣23°＝67°，由翻折的性质得：所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝∠CDB＝67°，∴∠DCA＝∠CDB﹣∠BAC＝67°﹣23°＝44°，故答案为：44°．19．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD＝120°，AB＝AD＝2，则⊙O的半径长为．【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°．∵AD＝AB＝2，∴△ABD是等边三角形．∴DE＝AD＝1，∠ODE＝∠ADB＝30°，∴OD＝＝．故答案为20．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，E是BC上的一动点（不与点B、C重合）．连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为F，则线段BF长的最小值为2﹣4．【解答】解：如图，∵AE⊥DF，∴∠AFD＝90°，∴点F的运动轨迹是以AD为直径的⊙O，连接OB，OF．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAO＝90°，∵AB＝6，AO＝4，∴OB＝＝2，FO＝AD＝4，∵BF≥OB﹣OF，∴BF的最小值为2﹣4，故答案为2﹣4．三．解答题（共8小题）21．如图，圆心为点M的三个半圆的直径都在x轴上，所有标注A的图形面积都是S A，所有标注B的图形面积都是S B．（1）求标注C的图形面积S C；（2）求S A：S B．【解答】解：（1）由题意得到圆M的半径为（6﹣4）÷2＝1，则．（1分）（2）∴（3分）∵∴（5分）∴即S A：S B＝5：6（6分）22．说说弦和直径的关系，弧和半圆的关系．【解答】解：直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆．23．如图，在⊙O中，点C是优弧ACB的中点，D、E分别是OA、OB上的点，且AD＝BE，弦CM、CN分别过点D、E．（1）求证：CD＝CE．（2）求证：＝．【解答】（1）证明：连接OC．∵＝，∴∠COD＝∠COE，∵OA＝OB，AD＝BE，∴OD＝OE，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE．（2）分别连结OM，ON，∵△COD≌△COE，∴∠CDO＝∠CEO，∠OCD＝∠OCE，∵OC＝OM＝ON，∴∠OCM＝∠OMC，∠OCN＝∠ONC，∴∠OMD＝∠ONE，∵∠ODC＝∠DMO+∠MOD，∠CEO＝∠CNO+∠EON，∴∠MOD＝∠NOE，∴＝．24．问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC 的中点，即CD＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC……请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；实践应用：（1）如图3，已知△ABC内接于⊙O，BC＞AB＞AC，D是的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为BE＝CE+AC．（2）如图4，已知等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，D为AB上一点，连接DB，∠ACD ＝45°，AE⊥CD于点E，△BDC的周长为4+2，BC＝2，请求出AC的长．【解答】证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG，∵M是的中点，∴MA＝MC．在△MBA和△MGC中，，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB＝MG，又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD；实践应用（1）如图3，依据阿基米德折弦定理可得：BE＝CE+AC；故答案为：BE＝CE+AC；（2）∵AB＝AC，∴A是的中点，∵AE⊥CD，根据阿基米德折弦定理得，CE＝BD+DE，∵△BCD的周长为4+2，∴BD+CD+BC＝4+2，∴BD+DE+CE+BC＝2CE+BC＝4+2，∵BC＝2，∴CE＝2，在Rt△ACE中，∠ACD＝45°，∴AE＝CE＝2，∴AC＝4．25．如图，⊙O的两条弦AB∥CD（AB不是直径），点E为AB中点，连结EC，ED （1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；（2）求证：EC＝ED．【解答】（1）解：直线EO与AB垂直，理由是：连接OE，并延长交CD于F，∵EO过O，E为AB的中点，∴EO⊥AB；（2）证明：∵EO⊥AB，AB∥CD，∴EF⊥CD，∵EF过O，∴CF＝DF，∴EC＝ED．26．已知：如图，AO是⊙O的半径，AC为⊙O的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC＝8，EF＝2．（1）求AO的长；（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．【解答】解：（1）∵O是圆心，且点F为的中点，∴OF⊥AC，∵AC＝8，∴AE＝4，设圆的半径为r，即OA＝OF＝r，则OE＝OF﹣EF＝r﹣2，由OA2＝AE2+OE2得r2＝42+（r﹣2）2，解得：r＝5，即AO＝5；（2）∵∠OAE＝∠CAD，∠AEO＝∠ADC＝90°，∴∠AOE＝∠ACD，则sin∠ACD＝sin∠AOE＝＝．27．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（2）若BC的长为6，求⊙O的半径．【解答】解：（1）△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）延长BO交⊙O于E，连接CE，由圆周角定理得，∠E＝∠BAC＝60°，∴BE＝＝4，∴⊙O的半径为2．28．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′•OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．【解答】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，∵OA′•OA＝42，而r＝4，OA＝8，∴OA′＝2，∵OB′•OB＝42，∴OB′＝4，即点B和B′重合，∵∠BOA＝60°，OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，而点A′为OC的中点，∴B′A′⊥OC，在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′＝，∴A′B′＝4sin60°＝2．。
鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角课堂测试题1(附答案)
鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角课堂测试题1（附答案）一．选择题（共8小题）1．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，半径OA＝6，C是弧AB的中点，CD⊥OA，交AB于点D，则CD的长为（）A．B．3C．D．22．如图，B为在⊙O的半径OC上一点（不与O，C重合），点E在圆上，以OB，BE为边作矩形OBED，延长DO到点A，使OA＝OB，连接AC，则（）A．AC＞DB B．AC＜DB C．AC＝DB D．AC与BD的大小关系不能确定3．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．624．如图，点B、C、D在⊙O上，若∠BCD＝140°，则∠BOD的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°5．如图，点A，B，C在⊙O上，∠OAB＝65°，则∠ACB的度数为（）A．50°B．32.5°C．25°D．20°6．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝35°，则∠OBA的度数是（）A．35B．30°C．25°D．20°7．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝80°，∠OBC＝60°，则∠ODC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．30°8．如图所示，点A，B，C，D在⊙O上，CD是直径，∠ABD＝75°，则∠AOC的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．35°9．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知BC＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则圆心A到DE的距离等于．10．已知圆O的半径长为6，若弦AB＝6，则弦AB所对的圆心角等于．11．弦AB将⊙O分成度数之比为1：5的两段弧，则∠AOB＝°．12．已知，AB是⊙O的直径，AB＝m，C、D是⊙O上两点，且∠ADC＝α，则AC＝13．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB，∠OBA＝26°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是．14．如图，⊙O的弦AC与半径OB交于点D，BC∥OA，AO＝AD，则∠C的度数为°．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C＝70°，则∠ADE的大小为．16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝130°，则∠C＝．17．如图，点A、B、C在⊙O上，M、N分别是半径OA和OB的中点，且CM＝CN．求证：＝．18．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．19．在⊙O中，的度数为120°，点P为弦AB上的一点，连结OP并延长交⊙O于点C，连结OB，AC．（1）若P为AB中点，且PC＝1，求圆的半径．（2）若BP：BA＝1：3，请求出tan∠OP A．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．（1）求证：BD＝CD；（2）连结OD若四边形AODE为菱形，BC＝8，求DH的长．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB＝CD．22．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，求BC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，扇形OAB中，∠AOB＝120°，半径OA＝6，C是弧AB的中点，CD⊥OA，交AB于点D，则CD的长为（）A．B．3C．D．2【解答】解：连接OC，交AB于F，∵C是的中点，∴，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝＝60°，OC⊥AB，Rt△BOF中，OB＝OA＝6，∴OF＝OB＝3，∴CF＝6﹣3＝3，∵CD⊥OA，∴∠OEC＝90°，∴∠OCE＝30°，∵∠CFD＝90°，∴DF＝，CD＝2DF＝2，故选：D．2．如图，B为在⊙O的半径OC上一点（不与O，C重合），点E在圆上，以OB，BE为边作矩形OBED，延长DO到点A，使OA＝OB，连接AC，则（）A．AC＞DBB．AC＜DBC．AC＝DBD．AC与BD的大小关系不能确定【解答】解：连接OE．∵四边形OBED是矩形，∴OE＝BD，∵△AOC是直角三角形，∴AC＞OC，∵OE＝OC，∴BD＝OC，∴AC＞BD，故选：A．3．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．62【解答】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，∵AD∥OC，∴∠1＝∠2，∴弧AM＝弧DC＝62°，∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，故选：A．4．如图，点B、C、D在⊙O上，若∠BCD＝140°，则∠BOD的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°【解答】解：圆上取一点A，连接AB，AD，∵点A、B，C，D在⊙O上，∠BCD＝140°，∴∠BAD＝40°，∴∠BOD＝80°，故选：C．5．如图，点A，B，C在⊙O上，∠OAB＝65°，则∠ACB的度数为（）A．50°B．32.5°C．25°D．20°【解答】解：∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝65°，∴∠AOB＝50°，由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝25°，故选：C．6．如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝35°，则∠OBA的度数是（）A．35B．30°C．25°D．20°【解答】解：连接AO，如图：由OC⊥AB，得，∠OEB＝90°．∴∠2＝∠3．∵∠2＝2∠1＝2×35°＝70°．∴∠3＝70°，在Rt△OBE中，∠OEB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠3＝90°﹣70°＝20°，故选：D．7．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝80°，∠OBC＝60°，则∠ODC的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．30°【解答】解：∵∠A＝80°，∴∠C＝180°﹣80°＝100°，∠BOD＝2∠A＝160°，∴∠ODC＝360°﹣160°﹣60°﹣100°＝40°，故选：A．8．如图所示，点A，B，C，D在⊙O上，CD是直径，∠ABD＝75°，则∠AOC的度数为（）A．15°B．25°C．30°D．35°【解答】解：连接AC，∵∠ABD＝75°，∴∠DCA＝75°，∵OA＝OC，∴∠AOC＝180°﹣2×75°＝30°，故选：C．二．填空题（共8小题）9．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知BC＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则圆心A到DE的距离等于3．【解答】解：作AH⊥DE于H，作直径EF，连结DF，如图，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠DAE+∠DAF＝180°，∴∠BAC＝∠DAF，∴＝，∴BC＝DF＝6，∵AH⊥DE，∴EH＝DH，∵EA＝AF，∴AH为△EDF的中位线，∴AH＝DF＝3．∴圆心A到DE的距离等于：3．故答案是：3．10．已知圆O的半径长为6，若弦AB＝6，则弦AB所对的圆心角等于120°．【解答】解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA、OB，则AC＝BC＝AB＝3，在Rt△AOC中，OC＝＝3，∴OC＝OA，∴∠A＝30°，∴∠AOB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．∴弦AB所对的圆心角的度数为120°．故答案为120°．11．弦AB将⊙O分成度数之比为1：5的两段弧，则∠AOB＝60°．【解答】解：∵弦AB将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1：5，∴∠AOB＝×360°＝60°，故答案为：60．12．已知，AB是⊙O的直径，AB＝m，C、D是⊙O上两点，且∠ADC＝α，则AC＝m•sinα或m•sin（180°﹣α）【解答】解：当点D，B在直线AC的同侧时，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝∠ADC＝α，∴AC＝AB•sinα＝m•sinα．当点D，B在直线AC的两侧时，∠B＝180°﹣α，∴AC＝AB•sin（180°﹣α）＝m•sin（180°﹣α），综上所，AC＝m•sinα或m•sin（180°﹣α）．13．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB，∠OBA＝26°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是32°．【解答】解：∵OC⊥AB，∴＝，∴∠ADC＝∠BOC，∵∠B＝26°，∴∠BOC＝90°﹣26°＝64°，∴∠ADC＝×64°＝32°，故答案为32°．14．如图，⊙O的弦AC与半径OB交于点D，BC∥OA，AO＝AD，则∠C的度数为36°．【解答】解：∵BC∥OA，AO＝AD，∴∠AOD＝∠ODA，∠AOD＝∠B，∵∠BDC＝∠ODA，∴∠B＝∠BDC，∵∠AOD＝2∠C，∴∠B＝∠BDC＝2∠C，∵△BDC的内角和是180°，∴2∠C+2∠C+∠C＝180°，解得：∠C＝36°，故答案为：36°．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C＝70°，则∠ADE的大小为110°．【解答】解：∵∠C＝70°，AB∥CD，∴∠B＝110°∴∠ADE＝110°．故答案为：110°．16．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠A＝130°，则∠C＝50°．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣130°＝50°．故答案为：50°．三．解答题（共6小题）17．如图，点A、B、C在⊙O上，M、N分别是半径OA和OB的中点，且CM＝CN．求证：＝．【解答】解：∵OA＝OB，M、N分别是半径OA和OB的中点，∴OM＝ON，在△OCM与△OCN中，，∴△OCM≌△OCN，∴∠MOC＝∠NOC，∴＝．18．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC＝NC．【解答】证明：∵弧AC和弧BC相等，∴∠AOC＝∠BOC，又∵OA＝OB M、N分别是OA、OB的中点∴OM＝ON，在△MOC和△NOC中，，∴△MOC≌△NOC（SAS），∴MC＝NC．19．在⊙O中，的度数为120°，点P为弦AB上的一点，连结OP并延长交⊙O于点C，连结OB，AC．（1）若P为AB中点，且PC＝1，求圆的半径．（2）若BP：BA＝1：3，请求出tan∠OP A．【解答】解：（1）如图1，∵P是AB的中点，的度数为120°，∴OC⊥AB，∴∠POB＝60°，∠OBP＝30°，∴sin B＝＝，∴OP＝PC＝1，则OC＝2；（2）如图2，过点O作OD⊥AB于点D，由（1）知∠B＝30°，AD＝BD，∴OD：BD＝1：＝：3，设OD＝x，则BD＝3x，∵BP：BA＝1：3，∴PD＝x，∴tan∠DPO＝．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DH⊥AC于点H．（1）求证：BD＝CD；（2）连结OD若四边形AODE为菱形，BC＝8，求DH的长．【解答】（1）证明：如图，连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD．（2）解：如图，连接OE．∵四边形AODE是菱形，∴OA＝OE＝AE，∴△AOE是等边三角形，∴∠A＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∵OA＝OB＝BD＝CD∴AE＝EC，∴CD＝CE，∵∠C＝60°，∴△EDC是等边三角形，∵DH⊥EC，CD＝4，∴DH＝CD•sin60°＝2．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，求证：AB＝CD．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠C＝180°，∴∠B＝∠C，又∵AD∥BC，且AD≠BC，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴AB＝CD．22．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝90°，AB＝2，CD＝1，求BC的长．【解答】解：延长AD、BC交于E，∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠ADC＝90°，∠E＝30°，在Rt△ABE中，BE＝＝2，在Rt△CDE中，CE＝＝2，∴BC＝BE﹣CE＝2﹣2．。
鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后作业题1(附答案)
鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后作业题1（附答案）一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．面积相等的圆是等圆D．劣弧一定比优弧短2．下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦．（2）长度相等的两条弧一定是等弧．（3）面积相等的两个圆是等圆．（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（）A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜4．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（）A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y5．如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm6．如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）A．5米B．7米C．米D．米7．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO＝40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°8．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．不能确定9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点在⊙A外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D二．填空题（共10小题）11．平面上到点O的距离为3cm的点的轨迹是．12．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为cm．13．如图，AB是⊙O的直径，点CD在⊙O上并且在AB的同一侧，若∠C＝109°，则∠AOD的度数是．14．如图，在⊙O中，＝，∠1＝30°，则∠2＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．16．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD 长为寸．17．如图，在⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，BC＝9，∠BAC+∠EAD＝180°，则⊙A的直径等于．18．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为．19．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，已知∠BCD＝110°，格据推断出∠BAD的度数为70°，则她判断的依据是点．20．已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O 的半径为．三．解答题（共8小题）21．如图，从A村到E村有两条路（一条经过B、C、D村，另一条不经过），哪条路比较近呢？（两条路分别是由一个比较大的半圆和四个全等的小半圆组成的）22．如图所示，小丽家到学校有2条路线．分别以AB、BC和AC为直径的半圆弧，已知AB＝8千米，BC＝16千米．（1）比较①②两条路线，走哪条近；（2）如果AB＝a，BC＝b，那么①②两条路线的长度有什么变化呢？你得到什么样的结论？23．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．（1）求∠AOG的度数；（2）若AB＝2，求CD的长．24．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．25．如图，∠C＝90°，⊙C与AB相交于点D，AC＝6，CB＝8．求AD的长．26．如图，在△ABD中，AB＝AD，以AB为直径的圆交AD于点E，交BD于点F，过点D作DC∥AB交AF的延长线于点C，连接CB．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若AE＝7，BF＝2，求半圆的半径和菱形ABCD的面积．27．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．（1）求证：四边形OBDC是菱形；（2）若∠ABO＝15°，OB＝1，求弦AC长．28．（1）已知⊙O的直径为10cm，点A为⊙O外一定点，OA＝12cm，点P为⊙O上一动点，求P A的最大值和最小值．（2）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点．求证：CD＝CE．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的是（）A．长度相等的弧是等弧B．相等的圆心角所对的弧相等C．面积相等的圆是等圆D．劣弧一定比优弧短【解答】解：A、能完全重合的弧才是等弧，故本选项错误；B、必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；C、面积相等的圆是等圆；故本选项正确；D、在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短．故本选项错误．故选：C．2．下列判断结论正确的有（）（1）直径是圆中最大的弦．（2）长度相等的两条弧一定是等弧．（3）面积相等的两个圆是等圆．（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧．（5）圆上任意两点间的部分是圆的弦．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；（3）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；（4）同一条弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径；（5）圆上任意两点间的部分叫弧．错误；故选：B．3．如图所示A、B、C、D四点在⊙O上的位置，其中＝180°，且＝，＝．若阿超在上取一点P，在上取一点Q，使得∠APQ＝130°，则下列叙述何者正确？（）A．Q点在上，且＞B．Q点在上，且＜C．Q点在上，且＞D．Q点在上，且＜【解答】解：连接AD，OB，OC，∵＝180°，且＝，＝，∴∠BOC＝∠DOC＝45°，在圆周上取一点E连接AE，CE，∴∠E＝AOC＝67.5°，∴∠ABC＝112.5°＜130°，取的中点F，连接OF，则∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝90°+22.5°＝112.5°，∴∠ABF＝123.75°＜130°，∴Q点在上，且＜，故选：B．4．如图，AB为⊙O的直径，C为AB上一点，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，设∠BOC＝x°，∠ACD＝y°，则下列结论成立的是（）A．x+y＝90B．2x+y＝90C．2x+y＝180D．x＝y【解答】解：连接BC，由圆周角定理得，∠BAC＝∠BOC＝x°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣x°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D＝180°﹣∠B＝90°+x°，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝x°，∵AD∥OC，∴∠DAC＝∠OCA＝x°，∴∠ACD＝180°﹣∠DAC﹣∠D，即y＝180°﹣x°﹣（90°+x°）＝90°﹣x°，∴x+y＝90，故选：A．5．如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【解答】解：如图，连接OA，∵⊙O的直径CD＝12cm，∴OD＝OA＝OC＝6，∵OE：OC＝1：3，∴OE＝2，∵AB⊥CD，∴AB＝2AE，∠OEA＝90°，在Rt△OAE中，AE＝＝＝4，∴AB＝2AE＝8cm．故选：D．6．如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10米，净高CD＝7米，则此圆半径长为（）A．5米B．7米C．米D．米【解答】解：∵CD⊥AB，AB＝10米，由垂径定理得AD＝5米，设圆的半径为r，由勾股定理得OD2+AD2＝OA2，即（7﹣r）2+52＝r2，解得r＝米．故选：D．7．如图，△ABC内接于⊙O，连结OA，OB，∠ABO＝40°，则∠C的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°【解答】解：∵OA＝OB，∠ABO＝40°，∴∠AOB＝100°，∴∠C＝∠AOB＝50°，故选：C．8．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（）A．45°B．60°C．75°D．不能确定【解答】解：∠D＝∠AOC，∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B＝∠AOC，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，3∠D＝180°，∴∠D＝60°，故选：B．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝65°，分别连接AC，BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．55°C．65°D．70°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝65°．∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝50°，∴∠DBC＝∠CAD＝50°，故选：A．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，若以点A为圆心，以4为半径作⊙A，则下列各点在⊙A外的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【解答】解：连接AC，∵在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，∴BC＝AD＝3，∠B＝90°，∴AC＝＝5，∵AB＝4＝4，AC＝5＞4，AD＝3＜4，∴点B在⊙A上，点C在⊙A外，点D在⊙A内．故选：C．二．填空题（共10小题）11．平面上到点O的距离为3cm的点的轨迹是以O为圆心，3cm为半径的圆．【解答】解：平面上到点O的距离为3cm的点的轨迹是以O为圆心，3cm为半径的圆．故答案为以O为圆心，3cm为半径的圆．12．已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为10cm．【解答】解：∵⊙O的半径为5cm，∴⊙O的直径为10cm，即圆中最长的弦长为10cm．故答案为10．13．如图，AB是⊙O的直径，点CD在⊙O上并且在AB的同一侧，若∠C＝109°，则∠AOD的度数是38°．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠C＝180°﹣109°＝71°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A＝71°，∴∠AOD＝180°﹣71°×2＝38°，故答案为：38°．14．如图，在⊙O中，＝，∠1＝30°，则∠2＝30°．【解答】解：∵在⊙O中，＝，∴＝，∴∠1＝∠2＝30°．故答案是：30°．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则BD的长为．【解答】解：过点C作CE⊥AD于点E，则AE＝DE，∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝，∴AE＝＝＝，∴AD＝2AE＝，∴BD＝AB﹣AD＝5﹣＝，故答案为：．16．“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD 长为26寸．【解答】解：连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，∵AB⊥CD，AB＝1尺，∴AE＝AB＝5寸，在Rt△OAE中，OA2＝AE2+OE2，即r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13（寸）．∴CD＝2r＝26寸．故答案为：26．17．如图，在⊙A中，弦BC、ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，已知DE＝6，BC ＝9，∠BAC+∠EAD＝180°，则⊙A的直径等于3．【解答】解：作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴，∴DE＝BF＝6，∵CF是直径，∴∠CBF＝90°，∴CF＝＝＝3，故答案为：3．18．如图，AB是⊙O的一条弦，P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），C，D分别是AB，BP的中点．若AB＝4，∠APB＝45°，则CD长的最大值为2．【解答】解：∵C，D分别是AB，BP的中点∴CD＝AP，当AP为直径时，CD长最大，∵AP为直径，∴∠ABP＝90°，且∠APB＝45°，AB＝4，∴AP＝4∴CD长的最大值为2故答案为219．如图，点A，B，C，D是⊙O上的四个点，已知∠BCD＝110°，格据推断出∠BAD的度数为70°，则她判断的依据是点圆内接四边形的对角互补．【解答】解：∵点A，B，C，D是⊙O上的四个点，∠BCD＝110°，∴∠BAD＝70°，判断的依据是圆内接四边形的对角互补，故答案为：圆内接四边形的对角互补．20．已知点P为平面内一点，若点P到⊙O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则⊙O 的半径为2或3．【解答】解：当点P在圆内时，则直径＝5+1＝6，因而半径是3；当点P在圆外时，直径＝5﹣1＝4，因而半径是2．所以⊙O的半径为2或3．故答案为：2或3．三．解答题（共8小题）21．如图，从A村到E村有两条路（一条经过B、C、D村，另一条不经过），哪条路比较近呢？（两条路分别是由一个比较大的半圆和四个全等的小半圆组成的）【解答】解：设四个小半圆的半径是r，则大圆的半径是4r，则走大半圆的路长是4πr，走小半圆的路长是：4×πr＝4πr．则两条道路的长度相同．22．如图所示，小丽家到学校有2条路线．分别以AB、BC和AC为直径的半圆弧，已知AB＝8千米，BC＝16千米．（1）比较①②两条路线，走哪条近；（2）如果AB＝a，BC＝b，那么①②两条路线的长度有什么变化呢？你得到什么样的结论？【解答】解：（1）∵①路线的长＝AC•π＝（8+16）•π＝12π，②路线的长＝AB•π+BC•π＝（AB+BC）π＝AC•π＝12π，∴两条路线相等；（2）∵①路线的长＝AC•π＝（a+b）•π＝π，②路线的长＝AB•π+BC•π＝（AB+BC）π＝（a+b）π，∴两条路线相等；结论：不论AB，BC的长度怎么变化那么①②两条路线长度仍然相等．23．如图，已知AB，CG是⊙O的两条直径，AB⊥CD于点E，CG⊥AD于点F．（1）求∠AOG的度数；（2）若AB＝2，求CD的长．【解答】解：（1）连接OD，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠BOC＝∠BOD，由圆周角定理得，∠A＝∠BOD，∴∠A＝∠BOD，∵∠AOG＝∠BOD，∴∠A＝∠AOG，∵∠OF A＝90°，∴∠AOG＝60°；（2）∵∠AOG＝60°，∴∠COE＝60°，∴∠C＝30°，∴OE＝OC＝，∴CE＝＝，∵AB⊥CD，∴CD＝2CE＝．24．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC．探索∠ACB与∠BAC之间的数量关系，并说明理由．【解答】解：∠ACB＝2∠BAC．证明：∵∠ACB＝∠AOB，∠BAC＝∠BOC；又∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC．25．如图，∠C＝90°，⊙C与AB相交于点D，AC＝6，CB＝8．求AD的长．【解答】解：作CE⊥AD于E，如图，∵∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，∴AB＝＝10，∵CE•AB＝AC•BC，∴CE＝＝，在Rt△ACE中，AE＝＝＝，∵CE⊥AD，∴AE＝DE，∴AD＝2AE＝．26．如图，在△ABD中，AB＝AD，以AB为直径的圆交AD于点E，交BD于点F，过点D 作DC∥AB交AF的延长线于点C，连接CB．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若AE＝7，BF＝2，求半圆的半径和菱形ABCD的面积．【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠AFB＝90°，∴AC⊥BD，∵AB＝AD，∴BF＝DF，∵DC∥AB，∴∠CDF＝∠ABF，在△CFD和△AFB中，∴△CFD≌△AFB（ASA），∴CF＝AF，∴四边形ABCD为菱形；（2）解：∵BF＝2，∴BD＝4，连接BE，则∠AEB＝90°，设菱形的边长为2r，则DE＝AD﹣AE＝2r﹣7，∵BD2﹣DE2＝AB2﹣AE2，即42﹣（2r﹣7）2＝（2r）2﹣72解得r＝4或r＝﹣（舍去），∴BE＝＝＝，∴菱形ABCD的面积为：AD•BE＝8×＝8．27．如图，四边形ABDC内接于⊙O，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交⊙O于点D，连接OB、OC、BD、CD．（1）求证：四边形OBDC是菱形；（2）若∠ABO＝15°，OB＝1，求弦AC长．【解答】（1）证明：连接OD，由圆周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝120°，∵AD平分∠BAC，∴＝，∴∠BOD＝∠COD＝60°，∵OB＝OD，OC＝OD，∴△BOD和△COD是等边三角形，∴OB＝BD＝DC＝OC，∴四边形OBDC是菱形；（2）解：连接OA，∵OB＝OA，∠ABO＝15°，∴∠AOB＝150°，∴∠AOC＝360°﹣150°﹣120°＝90°，∴AC＝＝．28．（1）已知⊙O的直径为10cm，点A为⊙O外一定点，OA＝12cm，点P为⊙O上一动点，求P A的最大值和最小值．（2）如图：＝，D、E分别是半径OA和OB的中点．求证：CD＝CE．【解答】（1）解：∵⊙O的直径为10cm，∴⊙O的半径为10÷2＝5（cm），当点P在线段OA的延长线上时，P A取得最大值，当点P在线段OA上时，P A取得最小值∵OA＝12cm，∴P A的最大值为12+5＝17cm，P A的最小值为12﹣5＝7cm；（2）证明：连接CO，如图所示，∵OA＝OB，且D、E分别是半径OA和OB的中点，∴OD＝OE，又∵＝，∴∠COD＝∠COE，在△COD和△COE中，，∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE。
鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题2(附答案)
鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后练习题2（附答案）一．选择题（共10小题）1．到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆2．由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（）A．4πB．9πC．16πD．25π3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝100°，AD∥OC，则∠AOD＝（）A．20°B．60°C．50°D．40°4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．125．如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且DM：MC＝4：1，则AB的长是（）A．2B．8C．16D．6．乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m7．如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝60°，则圆周角∠ACB的度数是（）A．50°B．25°C．100°D．30°8．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（）A．2B．3C．D．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．70°10．已知⊙O的半径为6cm，点P在⊙O上，则OP的长是（）A．l2cm B．5cm C．6cm D．4cm二．填空题（共10小题）11．如果圆的半径为4厘米，那么它的面积为平方厘米．12．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为cm．13．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，要使AB＝CD，需要补充的条件是（补充一个即可）．14．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝度．15．半径为1的⊙O中，两条弦AB＝，AC＝1，∠BAC的度数为．16．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为米．17．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED＝．18．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝40°，∠CPB＝70°，则∠B的大小为（度）19．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对应的延长线分别交于点E、F，∠E＝α，∠F＝β，则∠A等于°．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆上，点B在半圆上，边AB、AO分别交于点C、D，点B、C、D对应的读数分别为160°、52°、40°，则∠A＝°．三．解答题（共8小题）21．如图是一个圆环，外圆半径R＝20 cm，内圆半径r＝10 cm，求这个圆环的面积．22．如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．作图说明：已知点AB＝4cm，到点A的距离小于2cm，到点B的距离小于3cm的所有点组成的图形．23．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点．（1）求证：DE＝EC；（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径24．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝DC，AC与BD相等吗？为什么？25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，若AC ＝6，BC＝8，求AD的长．26．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，BF∥OC，连接BC和CF，CF交AB于点G．（1）求证：∠OCF＝∠BCD；（2）若CD＝4，tan∠OCF＝，求⊙O半径的长．27．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD＝CE．28．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以r＝3为半径作圆，判断A、B两点和⊙O的位置关系．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．到圆心的距离不大于半径的点的集合是（）A．圆的外部B．圆的内部C．圆D．圆的内部和圆【解答】解：根据点和圆的位置关系，知圆的内部是到圆心的距离小于的所有点的集合；圆是到圆心的距离等于半径的所有点的集合．所以与圆心的距离不大于半径的点所组成的图形是圆的内部（包括边界）．故选：D．2．由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积为（）A．4πB．9πC．16πD．25π【解答】解：由所有到已知点O的距离大于或等于3，并且小于或等于5的点组成的图形的面积是以5为半径的圆与以3为半径的圆组成的圆环的面积，即π×52﹣π×32＝16π，故选：C．3．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC＝100°，AD∥OC，则∠AOD＝（）A．20°B．60°C．50°D．40°【解答】解：∵∠BOC＝100°，∠BOC+∠AOC＝180°，∴∠AOC＝80°，∵AD∥OC，OD＝OA，∴∠D＝∠A＝∠AOC＝80°，∴∠AOD＝180°﹣2∠A＝20°．故选：A．4．如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（）A．8B．10C．11D．12【解答】解：作直径CF，连结BF，如图，则∠FBC＝90°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∴BC＝＝8．故选：A．5．如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且DM：MC＝4：1，则AB的长是（）A．2B．8C．16D．【解答】解：连接OA，如图，∵DC⊥AB，且DC为圆O的直径，∴M为AB中点，即AM＝BM＝AB，又∵CD＝10，DM：MC＝4：1，∴DM＝DC＝8，MC＝DC＝2，且OA＝OD＝5，∴OM＝DM﹣OD＝8﹣5＝3，在Rt△AOM中，根据勾股定理得：OA2＝OM2+AM2，即AM＝＝4，则AB＝2AM＝8．故选：B．6．乌镇是著名的水乡，如图，圆拱桥的拱顶到水面的距离CD为8m，水面宽AB为8m，则桥拱半径OC为（）A．4m B．5m C．6m D．8m【解答】解：连接BO，由题意可得：AD＝BD＝4m，设B半径OC＝xm，则DO＝（8﹣x）m，由勾股定理可得：x2＝（8﹣x）2+42，解得：x＝5．故选：B．7．如图，已知∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB＝60°，则圆周角∠ACB的度数是（）A．50°B．25°C．100°D．30°【解答】解：∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°．故选：D．8．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（）A．2B．3C．D．【解答】解：连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，∵∠P＝30°，∴∠D＝∠P＝30°．∵AD是⊙O的直径，AD＝4，∴∠ABD＝90°，∴AB＝AD＝2．故选：A．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的一个外角∠EBC＝55°，分别连接AC、BD，若AC＝AD，则∠DBC的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．70°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝∠EBC＝55°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝55°，∴∠DAC＝70°，由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC＝70°，故选：D．10．已知⊙O的半径为6cm，点P在⊙O上，则OP的长是（）A．l2cm B．5cm C．6cm D．4cm【解答】解：∵点P在⊙O上，∴OP＝r＝6cm，故选：C．二．填空题（共10小题）11．如果圆的半径为4厘米，那么它的面积为16π平方厘米．【解答】解：圆的面积＝π•42＝16π（cm2）．故答案为16π．12．已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为8cm．【解答】解：∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm，∴⊙O的半径为8cm．故答案为：8．13．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，要使AB＝CD，需要补充的条件是＝（补充一个即可）．【解答】解：当＝时，AB＝CD，理由如下：∵＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD，故答案为：＝．14．如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝60度．【解答】解：如图，连接OA，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠C＝20°，∴∠OAB＝60°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝60°，故答案为：60．15．半径为1的⊙O中，两条弦AB＝，AC＝1，∠BAC的度数为15°或105°．【解答】解：如图1，当AC与AB在点A的两旁．连OC，OA，OB，如图，在△OAC中，∵OA＝OC＝1，AC＝1，∴△OAC为等边三角形，∴∠OAC＝60°；在△OAB中，∵OA＝OB＝1，AB＝，即12+12＝（）2，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∴∠OAB＝45°，∴∠BAC＝45°+60°＝105°；如图2，当AC与AB在点A的同旁．同（1）一样，可求得∠OAC＝60°，∠OAB＝45°，∴∠BAC＝∠OAC﹣∠OAB＝60°﹣45°＝15°．综上所述：∠BAC的度数为：105°或15°．故答案为：105°或15°．16．如图，圆弧形桥拱的跨度AB＝16米，拱高CD＝4米，则拱桥的半径为10米．【解答】解：设所在的圆的圆心是O．根据垂径定理，知C，O，D三点共线，设圆的半径是r，则根据垂径定理和勾股定理，得r2＝（r﹣4）2+64，∴r＝10．17．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠DCB＝110°，则∠AED＝20°．【解答】解：连接BE，如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠DEB+∠DCB＝180°，∴∠DEB＝180°﹣110°＝70°，∴∠AED＝∠AEB﹣∠DEB＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°18．如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，∠A＝40°，∠CPB＝70°，则∠B的大小为30（度）【解答】解：∵∠CPB是△APC的外角，∴∠CPB＝∠C+∠A；∵∠A＝30°，∠CPB＝70°，∴∠C＝∠CPB﹣∠A＝40°；∴∠B＝∠C＝30°；故答案为：30．19．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对应的延长线分别交于点E、F，∠E＝α，∠F＝β，则∠A等于（180°﹣α﹣β）°．【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠E+∠F＝180°，∴2∠A+α+β＝180°，∴∠A＝（180°﹣α﹣β）．故答案为：（180°﹣α﹣β）．20．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O在半圆上，点B在半圆上，边AB、AO分别交于点C、D，点B、C、D对应的读数分别为160°、52°、40°，则∠A＝24°．【解答】解：连接OC．可得∠COB＝160°﹣52°＝108°，∠AOB＝160°﹣40°＝120°，∴∠B＝（180°﹣108°）÷2＝36°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝24°．故答案为：24．三．解答题（共8小题）21．如图是一个圆环，外圆半径R＝20 cm，内圆半径r＝10 cm，求这个圆环的面积．【解答】解：大圆面积为：202πcm2小圆面积为：102πcm2400π﹣100π＝300πcm2∴答案为300πcm2．22．如何在操场上画出一个很大的圆？说一说你的方法．作图说明：已知点AB＝4cm，到点A的距离小于2cm，到点B的距离小于3cm的所有点组成的图形．【解答】解：在操场上用一根很长的绳子，固定一头，拉紧后另一头旋转一周即可得到一个很大的圆．阴影部分就是到点A的距离小于2cm，到点B的距离小于3cm的所有点组成的图形23．如图，AB为⊙O的直径，△ABC的边AC，BC分别与⊙O交于D，E，若E为的中点．（1）求证：DE＝EC；（2）若DC＝2，BC＝6，求⊙O的半径【解答】解：（1）连结AE，BD，∵E为的中点，∴＝，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠AEB是直径所对的圆周角，∴∠AEB＝90°，即AE⊥BC，∴∠AEB＝∠AEC＝90°，在△AEC和△AEB中，∴△AEC≌△AEB（ASA），∴CE＝BE，∴DE＝CE＝BE＝BC；（2）在Rt△CBD中，BD2＝BC2﹣CD2＝32，设半径为r，则AB＝2r，由（1）得AC＝AB＝2r，AD＝AC﹣CD＝2r﹣2，在Rt△ABD中AD2+BD2＝AB2，∴（2r﹣2）2+32＝（2r）2，解得：r＝4.5，∴⊙O的半径为4.5．24．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝DC，AC与BD相等吗？为什么？【解答】解：AC与BD相等．理由如下：∵AB＝DC，∴弧AB＝弧CD，∴弧AB+弧BC＝弧BC+弧CD，即弧AC＝弧BD，∴AC＝BD．25．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于D，若AC ＝6，BC＝8，求AD的长．【解答】解：作CE⊥AB于E，△ABC中，∠ACB＝90°，∴AB＝＝10，△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CE，∴6×8＝10×CE，解得，CE＝4.8，由勾股定理得，AE＝＝3.6，∵CE⊥AB，∴AD＝2AE＝7.2．26．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，BF∥OC，连接BC和CF，CF交AB于点G．（1）求证：∠OCF＝∠BCD；（2）若CD＝4，tan∠OCF＝，求⊙O半径的长．【解答】（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，∴，∴∠BCD＝∠BFC，∵BF∥OC∴∠OCF＝∠BFC，∴∠OCF＝∠BCD；（2）解：∵AB⊥CD，∴CE＝CD＝2，∵∠OCF＝∠BCD∴tan∠OCF＝tan∠BCD＝，∵CE＝2∴BE＝1，设OC＝OB＝x，则OE＝x﹣1，在Rt△OCE中，∵x2＝（x﹣1）2+22，解得x＝，即⊙O半径的长为．27．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AC平分∠BAD，且AB∥CE，求证：AD＝CE．【解答】证明：如图，∵AB∥CE，∴∠ACE ＝∠BAC ．又∵AC 平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠C＝∠CAD，∴＝，∴+＝+，∴＝，∴AD＝CE．28．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，以r＝3为半径作圆，判断A、B两点和⊙O的位置关系．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，∴BC＝3；∵AC＝4＞r，∴点A在圆外，∵BC＝r，∴点B在圆上。
鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角课堂测试题3(附答案)
鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角课堂测试题3（附答案）一．选择题（共8小题）1．如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（）A．100°B．110°C．120°D．135°2．如图，AB，CD是⊙O的直径，若∠AOC＝55°，则的度数为（）A．55°B．110°C．125°D．135°3．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝2cm，则⊙O的周长为（）A．4πcm B．6πcm C．8πcm D．10πcm4．如图，已知A、B、C都在圆O上，∠C＝35°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．70°C．60°D．35°5．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A＝36°，则∠OBC的度数为（）A．18°B．36°C．60°D．54°6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB＝55°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（）A．100°B．80°C．60°D．40°8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOC＝110°，则∠ADC＝（）A．55°B．110°C．125°D．70°二．填空题（共8小题）9．已知⊙O的半径为1，弦AB长为1，则弦AB所对的圆心角为．10．如图，有一圆经过△ABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与相交于D点，若∠B＝74°，∠C＝46°，则的度数是．11．如图，MN是⊙O的直径，MN＝8，∠AMN＝20°，点B为弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，则P A+PB的最小值为．12．如图，AB为⊙O的直径，点C为上的一点，且∠BAC＝30°，点B为的中点，则∠ABD的度数为．13．已知，∠AOB＝30°，点M，N是射线OA上的动点（都不与点O重合），且MN＝2，点P在射线OB上，若△MPN为等腰直角三角形，则PO的长为．14．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠AOC＝40°，则∠CDB的度数为．15．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝120°，则∠BAD＝．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠BCD＝130°，则∠ABD的度数是．三．解答题（共6小题）17．如图，已知圆O中，AB＝CD，连结AC、BD．求证：AC＝BD．18．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD＝BC，AB与CD相等吗？为什么？19．如图，AB，AC是⊙O的弦，过点C作CE⊥AB于点D，交⊙O于点E，过点B作BF ⊥AC于点F，交CE于点G，连接BE．（1）求证：BE＝BG；（2）过点B作BH⊥AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH＝4，AC＝2，求CE的长．20．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．21．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，AC平分∠BCD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若BD＝6cm，求⊙O的半径．22．如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，求证：△ABC是等边三角形．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于（）A．100°B．110°C．120°D．135°【解答】解：连接OC、OD，∵BC＝CD＝DA，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA，∵∠COB+∠COD+∠DOA＝180°，∴∠COB＝∠COD＝∠DOA＝60°，∴∠BCD＝×2（180°﹣60°）＝120°．故选：C．2．如图，AB，CD是⊙O的直径，若∠AOC＝55°，则的度数为（）A．55°B．110°C．125°D．135°【解答】解：∵∠AOC＝55°，∴∠AOD＝180°﹣55°＝125°，∴的度数为125°，故选：C．3．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝2cm，则⊙O的周长为（）A．4πcm B．6πcm C．8πcm D．10πcm【解答】解：如图，连接OD、OC．∵AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝2cm，∴，∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°．又OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝2cm，∴⊙O的周长＝2×2π＝4π（cm）．故选：A．4．如图，已知A、B、C都在圆O上，∠C＝35°，则∠AOB的度数是（）A．75°B．70°C．60°D．35°【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB＝35°，∴∠AOB＝70°，故选：B．5．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠A＝36°，则∠OBC的度数为（）A．18°B．36°C．60°D．54°【解答】解：∵∠A＝36°，∴∠BOC＝2∠A＝72°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OBC＝（180°﹣72°）＝54°．故选：D．6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，连接AC，BC，AD，CD．若∠CAB＝55°，则∠ADC的度数为（）A．55°B．45°C．35°D．25°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝55°，∴∠B＝35°，∴∠ADC＝∠B＝35°．故选：C．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠AOC的大小是（）A．100°B．80°C．60°D．40°【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B+∠ADC＝180°，又∠ADC＝140°，∴∠B＝40°，由圆周角定理得，∠AOC＝2∠B＝80°，故选：B．8．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠AOC＝110°，则∠ADC＝（）A．55°B．110°C．125°D．70°【解答】解：由圆周角定理得，∠B＝∠AOC＝55°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC＝180°﹣∠B＝125°，故选：C．二．填空题（共8小题）9．已知⊙O的半径为1，弦AB长为1，则弦AB所对的圆心角为60°．【解答】解：如图；连接OA、OB；∵OA＝OB＝AB＝1，∴△OAB是等边三角形；∴∠AOB＝60°；故弦AB所对的圆心角的度数为60°．故答案为：60°．10．如图，有一圆经过△ABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与相交于D点，若∠B＝74°，∠C＝46°，则的度数是28°．【解答】解：如图，连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，∵OD是△ABC的边BC的垂直平分线，∴∠BOE＝∠BOC，∵∠BAC＝∠BOC，∴∠BOE＝∠BAC，∵∠ABC＝74°，∠ACB＝46°，∴∠BOE＝∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°，∴∠BOD＝180°﹣∠BOE＝180°﹣60°＝120°，∵∠AOB＝2∠ACB＝92°，∴的度数为：92°，∴的度数为：120°﹣92°＝28°．故答案为：28°．11．如图，MN是⊙O的直径，MN＝8，∠AMN＝20°，点B为弧的中点，点P是直径MN上的一个动点，则P A+PB的最小值为4．【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为P A+PB的最小值，连接OB，OA′，AA′，∵AA′关于直线MN对称，∴＝，∵∠AMN＝20°，∴∠A′ON＝40°，∠BON＝20°，∴∠A′OB＝60°，∴△A′OB是等边三角形，∴A′B＝MN＝4，即P A+PB的最小值4．故答案为：4．12．如图，AB为⊙O的直径，点C为上的一点，且∠BAC＝30°，点B为的中点，则∠ABD的度数为60°．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∵点B为的中点，∴，∴∠ABD＝∠ABC＝60°，故答案为：60°13．已知，∠AOB＝30°，点M，N是射线OA上的动点（都不与点O重合），且MN＝2，点P在射线OB上，若△MPN为等腰直角三角形，则PO的长为2或4．【解答】解：若△MPN为等腰直角三角形，①如图1，当∠MNP＝90°，PN＝MN＝2，∵∠AOB＝30°，∴OP＝2PN＝4；②如图2，当∠NPM＝90°，PM＝PN时，过P作PH⊥MN于H，则PH＝MN＝1，∵∠AOB＝30°，∴OP＝2PH＝2，③如图3，当∠NMP＝90°，PM＝MN＝2，∵∠AOB＝30°，∴OP＝2PM＝4；综上所述，PO的长为4或2，故答案为：2或4．14．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠AOC＝40°，则∠CDB的度数为20°．【解答】解：连接OB，∵⊙O的直径CD垂直于AB，∴＝，∴∠BOC＝∠AOC＝40°，∴∠BDC＝∠AOC＝×40°＝20°．故答案为：20°．15．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝120°，则∠BAD＝60°．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°（圆内接四边形的对角互补）；又∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°．故答案为：60°．16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是⊙O的直径，∠BCD＝130°，则∠ABD的度数是40°．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝50°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝90°﹣∠A＝40°，故答案为：40°．三．解答题（共6小题）17．如图，已知圆O中，AB＝CD，连结AC、BD．求证：AC＝BD．【解答】证明：∵AB＝CD，∴＝，∴＝，∴BD＝AC．18．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD＝BC，AB与CD相等吗？为什么？【解答】解：AB与CD相等，理由如下：∵AD＝BC，∴＝，∴+＝+，即＝，∴AB＝CD．19．如图，AB，AC是⊙O的弦，过点C作CE⊥AB于点D，交⊙O于点E，过点B作BF ⊥AC于点F，交CE于点G，连接BE．（1）求证：BE＝BG；（2）过点B作BH⊥AB交⊙O于点H，若BE的长等于半径，BH＝4，AC＝2，求CE的长．【解答】（1）证明：由圆周角定理得，∠BAC＝∠BEC，∵CE⊥AB，BF⊥AC，∴∠ADC＝∠GFC＝90°，∴∠CGF＝∠BAC，∴∠BEC＝∠CGF，∵∠BGE＝∠CGF，∴∠BEC＝∠BGE，∴BE＝BG；（2）解：连接OB、OE、AE、CH，∵BH⊥AB，CE⊥AB∴BH∥CE，∵四边形ABHC是⊙O的内接四边形，∴∠ACH＝∠ABH＝90°，∴BF∥CH，∴四边形CGBH为平行四边形，∴CG＝BH＝4，∵OE＝OB＝BE，∴△BOE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，∴∠BAE＝∠BOE＝30°，∴DE＝AE，设DE＝x，则AE＝2x，由勾股定理得，AD＝＝x，∵BE＝BG，AB⊥CD，∴DG＝DE＝x，∴CD＝x+4，在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，即（x）2+（x+4）2＝（2）2，解得，x1＝1，x2＝﹣3（舍去）则DE＝DG＝1，∴CE＝CG+GD+DE＝6．20．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD＝50°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝6，OA＝10，求AB的长．【解答】解：（1）∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴＝，∴∠DEB＝∠AOD＝×50°＝25°；（2）根据勾股定理得，AC＝＝＝8，∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，∴AB＝2AC＝2×8＝16．21．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝120°，AC平分∠BCD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若BD＝6cm，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BCD，∠BCD＝120°，∴∠ACD＝∠ACB＝60°，∵∠ACD＝∠ABD，∠ACB＝∠ADB，∴∠ABD＝∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形；（2）解：作直径DE，连结BE，∵△ABD是等边三角形，∴∠BAD＝60°，∴∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是直径，∴∠EBD＝90°，∴∠EDB＝30°，∴DE＝2BE，设EB＝x，则ED＝2x，∴（2x）2﹣x2＝62∵x＞0，∴x＝2，∴即⊙O的半径为2．22．如图，A，P，B，C是⊙O上的四点，∠APC＝∠CPB＝60°，求证：△ABC是等边三角形．【解答】证明：由圆周角定理得，∠ABC＝∠CPB＝60°，∠CAB＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形。
鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后作业题3(附答案)
鲁教版2020九年级数学圆的有关性质课后作业题3（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）A．4B．5C．6D．102．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB＝4，AC＝2，S1﹣S2＝，则S3﹣S4的值是（）A．B．C．D．3．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．624．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm5．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P的弦AB的长为4，则a的值是（）A．2B．C．D．3+6．如图为球形灯笼的截面图，过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，则⊙O 半径为（）A．2dm B．dm C．dm D．dm7．如图，点A、B、C在⊙O上，D是的中点，若∠ACD＝20°，则∠AOB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°8．如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若AC＝CD，且∠ACD＝50°，则∠BAC 的度数为（）A．20°B．35°C．25°D．30°9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝9，AD＝15，∠BCD＝120°，弦AC平分∠BAD，则AC的长是（）A．B．C．12D．1310．在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，若OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．P在⊙O内B．P在⊙O上C．P在⊙O外D．P与A或B重合二．填空题（共10小题）11．若⊙O的半径为6cm，则⊙O中最长的弦为厘米．12．如图，一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为厘米．13．如图，AB为半圆O的直径，C为的中点，点P为半圆O外一点，且PB交半圆O 于D，若PC⊥PB交半圆O于D，若PC＝6，PD＝2，则该半圆O的直径为．14．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数．15．如图，AB是半圆O的直径，AB＝12，AC为弦，OD⊥AC于D，OE∥AC交半圆O于点E，EF⊥AB于F，若BF＝3，则AC的长为．16．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田（如图阴影部分面积）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为120°，半径等于4的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为．17．如图，O为圆心，点C在⊙O上，∠AOB＝70°，则∠ACB＝．18．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，外角∠DCE＝85°，则∠BAD＝．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A、B两点坐标分别为（3，4）、（3，﹣3）．已知点P是⊙O上的一点，点Q是线段AB上的一点，设△OPQ的面积为S，当△OPQ为直角三角形时，S的取值范围为．三．解答题（共8小题）21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．22．如图AB＝3cm，用图形表示：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合（用阴影表示，注意边界上的点是否在集合中，如果在，用实线表示，如果不在，则用虚线表示）．23．如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．求证：（1）AB＝CD；（2）AE＝CE．24．如图，在⊙O中，AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数．25．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．26．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使得CD＝BD，连结AC交⊙O于点F，连接BE，DE，DF．（1）若∠E＝35°，求∠BDF的度数．（2）若DF＝4，cos∠CFD＝，E是的中点，求DE的长．27．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，点D是的中点，点E在OC的延长线上，且CE＝AD，连接DE．（1）求证：四边形AOCD是菱形；（2）若AD＝6，求DE的长．28．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，求证：A，B，C，D四个点在同一个圆上．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（）A．4B．5C．6D．10【解答】解：因为五边形的各边长都和小圆的周长相等，所以小圆在每一边上滚动正好一周，在五条边上共滚动了5周．由于每次小圆从五边形的一边滚动到另一边时，都会翻转72°，所以小圆在五个角处共滚动一周．因此，总共是滚动了6周．故选：C．2．在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB＝4，AC＝2，S1﹣S2＝，则S3﹣S4的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵AB＝4，AC＝2，∴S1+S3＝2π，S2+S4＝，∵S1﹣S2＝，∴（S1+S3）﹣（S2+S4）＝（S1﹣S2）+（S3﹣S4）＝π∴S3﹣S4＝π，故选：D．3．如图，是半圆，O为AB中点，C、D两点在上，且AD∥OC，连接BC、BD．若＝62°，则的度数为何？（）A．56B．58C．60D．62【解答】解：以AB为直径作圆，如图，作直径CM，连接AC，∵AD∥OC，∴∠1＝∠2，∴弧AM＝弧DC＝62°，∴弧AD的度数是180°﹣62°﹣62°＝56°，故选：A．4．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．cm B．cm C．cm D．4cm【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD（角平分线的性质），∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3（cm），在Rt△DOE中，DE＝＝4（cm），在Rt△ADE中，AD＝＝4（cm）．故选：A．5．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P的弦AB的长为4，则a的值是（）A．2B．C．D．3+【解答】解：过P作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝＝＝1，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：D．6．如图为球形灯笼的截面图，过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，则⊙O 半径为（）A．2dm B．dm C．dm D．dm【解答】解：∵过圆心的CD垂直弦AB于D，AB＝2dm，CD＝4dm，∴BD＝AD＝1dm，在Rt△ODB中，OD2+DB2＝OB2，即（4﹣r）2+12＝r2，解得：r＝dm，故选：C．7．如图，点A、B、C在⊙O上，D是的中点，若∠ACD＝20°，则∠AOB的度数为（）A．60°B．70°C．80°D．90°【解答】解：连接OD，∴∠AOD＝2∠ACD，∵D是的中点，∴∠AOB＝2∠AOD＝4∠ACD＝80°，故选：C．8．如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点，若AC＝CD，且∠ACD＝50°，则∠BAC 的度数为（）A．20°B．35°C．25°D．30°【解答】解：∵AC＝CD，∴∠D＝∠CAD＝（180°﹣50°）＝65°∴∠ABC＝∠ADC＝65°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣65°＝25°．故选：C．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝9，AD＝15，∠BCD＝120°，弦AC平分∠BAD，则AC的长是（）A．B．C．12D．13【解答】解：过C作CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB延长线于F，则∠BFC＝∠DEC＝90°，∵AC平分∠BAD，∴CF＝CE，由勾股定理得：AF2＝AC2﹣CF2，AE2＝AC2﹣CE2，∴AF＝AE，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠FBC＝∠D，∠BAD+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝30°，在△FBC和△DEC中∴△FBC≌△DEC（AAS），∴BF＝DE，∵AB＝9，AD＝15，∴AF+AE＝AB+BF+AD﹣DE＝9+BF+15﹣DE＝9+15＝24，∴AF＝AE＝12，∵∠BAC＝30°，∠AFC＝90°，∴AC＝2CF，∴CF2+122＝（2CF）2，解得：CF＝4，∴AC＝2CF＝8，故选：B．10．在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3，若OP＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．P在⊙O内B．P在⊙O上C．P在⊙O外D．P与A或B重合【解答】解：连结OA，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB＝4，在Rt△OAC中，∵OC＝3，AC＝4，∴OA＝＝5，∴⊙O的半径为5，∵OP＝4＜OA，∴点P在⊙O内．故选：A．二．填空题（共10小题）11．若⊙O的半径为6cm，则⊙O中最长的弦为12厘米．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，∴⊙O的直径为12cm，即圆中最长的弦长为12cm．故答案为12．12．如图，一个周长为20厘米的大圆内有许多小圆，这些小圆的圆心都在大圆的一个直径上．则小圆的周长之和为20厘米．【解答】解：设大圆半径为R，小圆半径分别为r1，r2，…，r n，∵小圆的圆心都在大圆的一个直径上，∴2r1+2r2+…+2r n＝2R，∴2πr1++2πr2+…+2πr n＝2πR，而2πR＝20cm，∴2πr1++2πr2+…+2πr n＝20cm．故答案为20．13．如图，AB为半圆O的直径，C为的中点，点P为半圆O外一点，且PB交半圆O 于D，若PC⊥PB交半圆O于D，若PC＝6，PD＝2，则该半圆O的直径为20．【解答】解：连接AD，CO交于点H．∵＝，∴OC⊥AD，AH＝DH∵AB是直径，∴∠ADB＝∠PDH＝90°，∵PC⊥PB，∴∠P＝∠CHD＝∠PDH＝90°，∴四边形PDHC是矩形，∴∠PCO＝90°，PC＝DH＝AH＝6，∴PC⊥OC，∴PC是⊙O的切线，∴PC2＝PD•PB，∴PB＝18，∴BD＝18﹣2＝16，在Rt△ABD中，AB＝＝＝20，故答案为20．14．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦CE∥AB，弧CE的度数为40°，∠AOC的度数70°．【解答】解：连接OE，如图，∵弧CE的度数为40°，∴∠COE＝40°，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OCE＝（180°﹣40°）÷2＝70°，∵弦CE∥AB，∴∠AOC＝∠OCE＝70°．15．如图，AB是半圆O的直径，AB＝12，AC为弦，OD⊥AC于D，OE∥AC交半圆O于点E，EF⊥AB于F，若BF＝3，则AC的长为6．【解答】解：AB是半圆O的直径，AB＝12，∴OB＝OA＝6，∵BF＝3，∴OF＝OB﹣BF＝3，∵OD⊥AC，∴AD＝CD，∵OD⊥AC，EF⊥AB，∴∠ADO＝∠OFE＝90°，∵OE∥AC，∴∠DAO＝∠EOF，在△ADO和△OFE中，，∴△ADO≌△OFE（AAS），∴AD＝OF＝3，∴AC＝2AD＝6；故答案为：6．16．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝（弦×矢+矢2）．弧田（如图阴影部分面积）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为120°，半径等于4的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为．【解答】解：如图所示：由题意可得：OA＝4，∵∠AOB＝120°，∴∠AOD＝60°，∴OD＝2，AD＝2，∴弧田的面积＝，故答案为．17．如图，O为圆心，点C在⊙O上，∠AOB＝70°，则∠ACB＝35°．【解答】解：∵∠AOB＝70°，∴∠ACB＝∠AOB＝35°，故答案为：35°18．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，若∠ABD＝62°，则∠BCD＝28°．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝62°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝28°，∴∠BCD＝∠A＝28°．故答案为28°．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，外角∠DCE＝85°，则∠BAD＝85°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BAD＝∠DCE＝85°，故答案为：85°20．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A、B两点坐标分别为（3，4）、（3，﹣3）．已知点P是⊙O上的一点，点Q是线段AB上的一点，设△OPQ的面积为S，当△OPQ为直角三角形时，S的取值范围为≤S≤；．【解答】解：①当P为直角顶点时，当OQ最长时，如图1，OQ＝5，Q与A重合，PQ＝＝2，S大＝×1×2＝，当OQ最短时，OQ＝3，此时OQ⊥AB，PQ＝＝2，S小＝＝；②当O为直角顶点时，如图2，当Q与A重合时，OQ最大，此时S＝×1×5＝＞，当OQ⊥AB时，S最小，S＝＝，综上，当△OPQ为直角三角形时，S的取值范围为≤S≤；故答案为：≤S≤．三．解答题（共8小题）21．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E．已知AB＝2DE，∠AEC＝25°，求∠AOC的度数．【解答】解：连接OD，∵AB＝2DE＝2OD，∴OD＝DE，又∵∠E＝25°，∴∠DOE＝∠E＝25°，∴∠ODC＝50°，同理∠C＝∠ODC＝50°∴∠AOC＝∠E+∠OCE＝75°．22．如图AB＝3cm，用图形表示：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合（用阴影表示，注意边界上的点是否在集合中，如果在，用实线表示，如果不在，则用虚线表示）．【解答】解：到点A的距离小于2cm，且到点B的距离不小于2cm的所有点的集合如图所示：23．如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．求证：（1）AB＝CD；（2）AE＝CE．【解答】证明：（1）∵AD＝BC，＝，∴＝﹣，即＝，∴AB＝CD．（2）连接AC，∵＝，∴∠ACB＝∠DAC，∴AE＝CE．24．如图，在⊙O中，AC＝BD，∠1＝30°，求∠2的度数．【解答】解：∵在⊙O中，AC＝BD，∴∠AOC＝∠BOD，∴∠1+∠BOC＝∠2+∠BOC，∴∠1＝∠2＝30°．25．如图，已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，以A为圆心、AB为半径画圆，与边BC交于另一点D．（1）求BD的长；（2）连接AD，求∠DAC的正弦值．【解答】解：（1）如图连接AD，作AH⊥BD于H．∵Rt△ABC，∠BAC＝90°，BC＝5，AC＝2，∴AB＝＝，∵•AB•AC＝•BC•AH，∴AH＝＝2，∴BH＝＝1，∵AB＝AD，AH⊥BD，∴BH＝HD＝1，∴BD＝2．（2）作DM⊥AC于M．∵S△ACB＝S△ABD+S△ACD，∴××2＝×2×2+×2×DM，∴DM＝，∴sin∠DAC＝＝＝．26．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使得CD＝BD，连结AC交⊙O于点F，连接BE，DE，DF．（1）若∠E＝35°，求∠BDF的度数．（2）若DF＝4，cos∠CFD＝，E是的中点，求DE的长．【解答】解：（1）如图1，连接EF，BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB＝∠BFC＝90°，∵CD＝BD，∴DF＝BD＝CD，∴＝，∴∠DEF＝∠BED＝35°，∴∠BEF＝70°，∴∠BDF＝180°﹣∠BEF＝110°；（2）如图2，连接AD，OE，过B作BG⊥DE于G，∵∠CFD＝∠ABD，∴cos∠ABD＝cos∠CFD＝，在Rt△ABD中，BD＝DF＝4，∴AB＝6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝90°，∵BO＝OE＝3，∴BE＝3，∴∠BDE＝∠ADE＝45°，∴DG＝BG＝BD＝2，∴GE＝＝，∴DE＝DG+GE＝2+．27．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC＝60°，点D是的中点，点E在OC的延长线上，且CE＝AD，连接DE．（1）求证：四边形AOCD是菱形；（2）若AD＝6，求DE的长．【解答】证明：（1）∵点D是AC的中点，连接OD，∴，∴AD＝DC，∠AOD＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝120°，∴∠AOD＝∠DOC＝60°，∵OC＝OD，∴OA＝OC＝CD＝AD，∴四边形AOCD是菱形；（2）由（1）可知，△COD是等边三角形．∴∠OCD＝∠ODC＝60°，∵CE＝AD，CD＝AD，∴CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED＝∠OCD＝30°，∴∠ODE＝∠ODC+∠CDE＝90°，在Rt△ODE中，DE＝OD•tan∠DOE＝6×tan60°＝6．28．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，求证：A，B，C，D四个点在同一个圆上．【解答】证明：连接BD，取BD的中点O，连接OA，OC．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，OB＝OD，∴OA＝OB＝OD＝OC，∴A，B，C，D四个点在同一个圆上。
鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角课后作业题2(附答案)
鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角课后作业题2（附答案）一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的个数有（）①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等A．2个B．3个C．4个D．5个2．如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（）A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB3．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE ＝1，则AE的长为（）A．B．C．D．4．如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（）A．132.5°B．130°C．122.5°D．115°5．如图，在⊙O内（含边界）放置六个全等的正方形，这些正方形均有两个顶点在圆上，另两个顶点分别紧靠相邻正方形的顶点，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．6．如图，BD为⊙O的直径，点A为弧BDC的中点，∠ABD＝35°，则∠DBC＝（）A．20°B．35°C．15°D．45°7．如图，半径为5的⊙A中，DE＝2，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长为（）A．B．C．4D．38．如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD且AD＝AB，AE⊥CB于E，点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，下列结论：（1）OA⊥DB；（2）CD+CB＝2CE；（3）∠CBA ﹣∠DAC＝∠ACB；（4）若∠DAB＝90°，则CD+CB＝CA．其中正确的结论是（）A．（1）（3）（4）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为（）A．B．C．D．10．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB＝100°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．80°二．填空题（共10小题）11．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是．12．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是．13．如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，＝＝，则CM+DM 的最小值为．14．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为．15．如图，BD为⊙O的直径，∠A＝30°，BC＝1.5cm，则⊙O的半径是cm．16．我们常见的汽车玻璃升降器如图①所示，图②和图③是升降器的示意图，其原理可以看作是主臂PB绕固定的点O旋转，当端点P在固定的扇形齿轮上运动时，通过叉臂式结构（点B可在MN上滑动）的玻璃支架MN带动玻璃沿导轨作上下运动而达到玻璃升降目的．点O和点P，A，B在同一直线上．当点P与点E重合时，窗户完全闭合（图②），此时∠ABC＝30°；当点P与点F重合时，窗户完全打开（图③）．已知的半径OP＝5cm，＝cm，OA＝AB＝AC＝20cm．（1）当窗户完全闭合时，OC＝cm．（2）当窗户完全打开时，PC＝cm．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝11，P是AD边上一动点（不含端点A，D），E 是AB边上一点，连结PC，PE．（1）若BE＝2，∠EPC＝90°，则AP＝；（2）设BE＝a，若存在一点P使∠EPC＝90°，则a的取值范围是．18．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝140°，则∠A等于°．19．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝．20．如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F ＝70°，则∠A的度数是三．解答题（共8小题）21．已知：如图，在⊙O中，弦AB＝CD，那么∠AOC和∠BOD相等吗？请说明理由．22．如图，点A、B、C在⊙O上，＝．（1）若D、E分别是半径OA、OB的中点，如图1，求证：CD＝CE．（2）如图2，⊙O的半径为4，∠AOB＝90°，点P是线段OA上的一个动点（与点A、O不重合），将射线CP绕点C逆时针旋转90°，与OB相交于点Q，连接PQ，求出PQ 的最小值．23．如图，点C是上的点，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD＝CE．求证：点C是的中点．24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB，∠CDB＝108°，求∠DCB．25．已知正多边形每个内角比相邻外角大60°（1）求这个正多边形的边数；（2）求这个正多边形的内切圆与外接圆的半径之比；（3）将这个正多边形对折，并完全重合，求得到图形的内角和是多少度（按一层计算）？26．如图，BD是⊙O的直径，点A．C在圆周上，∠CBD＝20°，求∠A的度数．27．如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD＝160°，求∠BCD的度数．28．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB ＝45°．求⊙O半径的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．下列说法正确的个数有（）①半圆是弧；②面积相等的两个圆是等圆；③所对的弦长相等的两条弧是等弧；④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等；⑤等弧所对的圆心角相等A．2个B．3个C．4个D．5个【解答】解：①半圆是弧，正确；②面积相等的两个圆是等圆，正确，③所对的弦长相等的两条弧是等弧，错误，可能一条是优弧，一条是劣弧④如果圆心角相等，那么它们所对的弦一定相等，错误，应该同圆或等圆中．⑤等弧所对的圆心角相等，正确．故选：B．2．如图，在⊙O中，＝2，则以下数量关系正确的是（）A．AB＝AC B．AC＝2AB C．AC＜2AB D．AC＞2AB【解答】解：如图．连接BC．∵＝2，∴＝，∴AB＝BC，∴AB+BC＞AC，∴2AB＞AC，故选：C．3．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，点C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE＝1，则AE的长为（）A．B．C．D．【解答】解：连接OC．∵∠DOB＝120°，∴∠AOD＝60°，∵＝，∴∠DOC＝∠BOC＝60°，∴＝，∴OD⊥AC，设OA＝r，则OE＝r＝DE＝1，∴OA＝2，∴AE＝＝，故选：A．4．如图，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝57.5°，则∠BOC的度数为（）A．132.5°B．130°C．122.5°D．115°【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝57.5°，∴∠ACB＝∠ABC＝57.5°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝65°，∴由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝130°，故选：B．5．如图，在⊙O内（含边界）放置六个全等的正方形，这些正方形均有两个顶点在圆上，另两个顶点分别紧靠相邻正方形的顶点，则cos∠AOB的值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接FB．由题意：∠MEB＝∠FEN＝90°，∠MEN＝120°，∴∠BEF＝360°﹣120°﹣90°﹣90°＝60°，∵EB＝EF，∴△BEF是等边三角形，∴AB＝BF，∴＝，∴∠AOB＝＝30°，∴cos∠AOB＝，故选：C．6．如图，BD为⊙O的直径，点A为弧BDC的中点，∠ABD＝35°，则∠DBC＝（）A．20°B．35°C．15°D．45°【解答】解：∵∠ABD＝35°，∴的度数都是70°，∵BD为直径，∴的度数是180°﹣70°＝110°，∵点A为弧BDC的中点，∴的度数也是110°，∴的度数是110°+110°﹣180°＝40°，∴∠DBC＝＝20°，故选：A．7．如图，半径为5的⊙A中，DE＝2，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长为（）A．B．C．4D．3【解答】解：如图，延长CA交⊙A于点F，连结BF，则∠FBC＝90°，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝2，∴BC＝＝＝4，故选：C．8．如图，四边形ABCD的对角线CA平分∠BCD且AD＝AB，AE⊥CB于E，点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，下列结论：（1）OA⊥DB；（2）CD+CB＝2CE；（3）∠CBA ﹣∠DAC＝∠ACB；（4）若∠DAB＝90°，则CD+CB＝CA．其中正确的结论是（）A．（1）（3）（4）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）【解答】解：（1）中，根据点O为四边形ABCD的外接圆的圆心，则OA＝OB＝OD，即点O也是三角形ABD的外心，因此O是该三角形三边垂直平分线的交点，又AB＝AD，则OA⊥BD；故（1）正确；（2）中，延长CB至F，使BF＝CD，连接AF，根据圆内接四边形的对角互补，则∠ADC+∠ABC＝180°，又∠ABC+∠ABF＝180°，∴∠ABF＝∠ADC，又AB＝AD，BF＝CD；∴△ABF≌△ADC，∴AF＝AC，又AE⊥CF，∴CE＝EF，即CD+CB＝2CE，故（2）正确；（3）中，根据（2）中的方法，得∠DAC＝∠BAF，∴∠CBA﹣∠DAC＝∠CBA﹣∠BAF＝∠AFC＝∠ACB；因此（3）正确；（4）中，若∠DAB＝90°，则∠DCB＝90°，则∠ACE＝45°，得到△ACE是等腰直角三角形，根据（2）中的做法，则CD+CB＝2CE＝CA，故（4）错误．因此正确的结论有：（1）（2）（3），故选D．9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC两边于点D、E，则△CDE的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：连接AE，则AE⊥BC．又∵AB＝AC，∴E是BC的中点，即BE＝EC＝1．Rt△ABE中，AB＝，BE＝1，由勾股定理得：AE＝2．∴S△ABC＝BC•AE＝2．∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CDE＝∠CBA，∠CED＝∠CAB，∴△CDE∽△CBA，∴S△CDE：S△ABC＝CE2：AC2＝1：5．∴S△CDE＝S△ABC＝．故选：A．10．如图，两圆相交于A，B两点，小圆经过大圆的圆心O，点C，D分别在两圆上，若∠ADB＝100°，则∠ACB的度数为（）A．35°B．40°C．50°D．80°【解答】解：连OA，OB，如图，∵A，B，O，D都在⊙O上，∴∠D+∠AOB＝180°，而∠ADB＝100°，∴∠AOB＝80°，∴∠ACB＝∠AOB＝40°．故选：B．二．填空题（共10小题）11．如图，AB是⊙O的直径，点C是半圆上的一个三等分点，点D是的中点，点P是直径AB上一点，若⊙O的半径为2，则PC+PD的最小值是2．【解答】解：作D关于AB的对称点E，连接CE交AB于点P′，连接OC，OE，则根据垂径定理得：E在⊙O上，连接EC交AB于P′，则若P在P′时，DP+CP最小，∵C是半圆上的一个三等分点，∴∠AOC＝×180°＝60°，∵D是的中点，∴∠AOE＝∠AOC＝30°，∴∠COE＝90°，∴CE＝OC＝2，即DP+CP＝2，故答案为2．12．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是140°．【解答】解：设四个扇形的圆心角的度数是2x，4x，5x，7x，得出方程2x+4x+5x+7x＝360，解得：x＝20，故7×20°＝140°．故答案为：14013．如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，＝＝，则CM+DM 的最小值为16．【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，此时，点M为CM+DM的最小值时的位置，由垂径定理，＝，∴＝，∵＝＝，AB为直径，∴C′D为直径，∴CM+DM的最小值是16．故答案是：16．14．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为200°．【解答】解：最大扇形的圆心角的度数＝360°×＝200°．故答案为200°15．如图，BD为⊙O的直径，∠A＝30°，BC＝1.5cm，则⊙O的半径是 1.5cm．【解答】解：∵∠A＝30°，∴∠D＝∠A＝30°，∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵BC＝1.5cm，∴BD＝2BC＝3cm，∴⊙O的半径是1.5cm，故答案为：1.5．16．我们常见的汽车玻璃升降器如图①所示，图②和图③是升降器的示意图，其原理可以看作是主臂PB绕固定的点O旋转，当端点P在固定的扇形齿轮上运动时，通过叉臂式结构（点B可在MN上滑动）的玻璃支架MN带动玻璃沿导轨作上下运动而达到玻璃升降目的．点O和点P，A，B在同一直线上．当点P与点E重合时，窗户完全闭合（图②），此时∠ABC＝30°；当点P与点F重合时，窗户完全打开（图③）．已知的半径OP＝5cm，＝cm，OA＝AB＝AC＝20cm．（1）当窗户完全闭合时，OC＝20cm．（2）当窗户完全打开时，PC＝5cm．【解答】解：（1）∵OA＝AB＝AC＝20cm，∴∠OCB＝90°，∵∠ABC＝30°，∴∠BOC＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC＝OA＝20cm；故答案为：20；（2）连接PC，OE，作PG⊥MN于G，如图③所示：则∠OCB＝∠PGC＝90°，∴FG∥OC，设∠EOF＝n°，∵的长＝＝，解得：n＝90，∴∠EOP＝90°，由（1）得：当窗户完全闭合时，∠POC＝180°﹣60°＝120°，∴∠FOC＝30°，当窗户完全打开时，∠POC＝120°+30°＝150°，∴∠COE＝150°﹣90°＝60°，∴∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，BC＝OA＝20，∵BP＝AB+OA+OP＝45，∴BG＝BP＝，PG＝，∴CG＝BG﹣BC＝，在Rt△PCG中，由勾股定理得：PC＝＝＝5（cm）；故答案为：5．17．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝11，P是AD边上一动点（不含端点A，D），E 是AB边上一点，连结PC，PE．（1）若BE＝2，∠EPC＝90°，则AP＝3或8；（2）设BE＝a，若存在一点P使∠EPC＝90°，则a的取值范围是≤BE＜6．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，CD＝AB＝6，AP＝BC＝11，∵∠EPC＝90°，∴∠APE+∠AEP＝∠APE+∠CPD＝90°，∴∠AEP＝∠CPD，∴△APE∽△DCP，∴＝，∴＝，解得：AP＝3或AP＝8，故答案为：3或8；（2）设AP＝x，AE＝y，∵△APE∽△DCP，∴＝，即x（11﹣x）＝6y，∴y＝﹣x2+x＝﹣（x﹣5.5）2+，∴当x＝5.5时，y的最大值为，∵AE＝y取最大值时，BE取最小值为6﹣＝，∴a的取值范围为≤BE＜6．故答案为：≤BE＜6．18．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝140°，则∠A等于110°．【解答】解：由圆周角定理得，∠C＝∠BOD＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠C＝110°，故答案为：110．19．如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝70°．【解答】解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为：70°．20．如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F，若∠E+∠F ＝70°，则∠A的度数是55°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝∠BCF，∵∠EBF＝∠A+∠E，而∠EBF＝180°﹣∠BCF﹣∠F，∴∠A+∠E＝180°﹣∠BCF﹣∠F，∴∠A+∠E＝180﹣∠A﹣∠F，即2∠A＝180°﹣（∠E+∠F）＝110°，∴∠A＝55°，故答案为：55°．三．解答题（共8小题）21．已知：如图，在⊙O中，弦AB＝CD，那么∠AOC和∠BOD相等吗？请说明理由．【解答】解：∠AOC和∠BOD相等，理由：∵在⊙O中，弦AB＝CD，∴∠AOB＝∠COD，∴∠AOB﹣∠COB＝∠COD﹣∠COB，∴∠AOC＝∠BOD．22．如图，点A、B、C在⊙O上，＝．（1）若D、E分别是半径OA、OB的中点，如图1，求证：CD＝CE．（2）如图2，⊙O的半径为4，∠AOB＝90°，点P是线段OA上的一个动点（与点A、O不重合），将射线CP绕点C逆时针旋转90°，与OB相交于点Q，连接PQ，求出PQ 的最小值．【解答】解：（1）连接CO．∵═，∴∠AOC＝∠BOC，∵D、E分别是半径OA、OB的中点，∴，，∴OD＝OE，在△ODC和△OEC中，∵OD＝OE，∠AOC＝∠BOC，OC＝OC，∴△ODC≌△OEC（SAS）∴CD＝CE；（2）当CP⊥OA时，∵∠AOB＝90°，∠PCQ＝90°，∴∠CQO＝90°，即CQ⊥OB．∵∠AOC＝∠BOC，∴CP＝CQ，当CP与OA不垂直时，如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，M、N为垂足．∵∠AOC＝∠BOC，∴CM＝CN，又∵∠AOB＝90°，∴∠MCN＝90°，∴四边形CMON是正方形，∵∠PCQ＝90°，∴∠PCM＝∠QCN，∴△PCM≌△QCN（AAS）∴CP＝CQ，∴，∴当CP取得最小值即CM的长时，PQ有最小值，∴，PQ的最小值为4．23．如图，点C是上的点，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD＝CE．求证：点C是的中点．【解答】证明：∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，在Rt△COD和Rt△COE中∴Rt△COD≌R△COE（HL），∴∠COD＝∠COE，∴＝，∴点C是的中点．24．如图，AB是⊙O的直径，弦CD∥AB，∠CDB＝108°，求∠DCB．【解答】解：连接AC．∵∠A+∠D＝180°，∠D＝108°，∴∠A＝72°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣72°＝18°，∵CD∥AB，∴∠DCB＝∠ABC＝18°．25．已知正多边形每个内角比相邻外角大60°（1）求这个正多边形的边数；（2）求这个正多边形的内切圆与外接圆的半径之比；（3）将这个正多边形对折，并完全重合，求得到图形的内角和是多少度（按一层计算）？【解答】解：（1）设这个正多边形的每个外角的度数为x，则每个内角为x+60°，∴x+x+60°＝180°，∴x＝60°，∴这个多边形的边数＝360°÷60°＝6．故这个多边形的边数是6．（2）这个正多边形的内切圆和外接圆的半径之比＝：2；（3）当沿过两个端点的对称轴所在的直线折叠时，得到的图形是四边形，内角和是（4﹣2）×180°＝360°；当沿对边中点所在的直线折叠时，得到的图形是五边形，内角和是（5﹣2）×180°＝540°．26．如图，BD是⊙O的直径，点A．C在圆周上，∠CBD＝20°，求∠A的度数．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°（直径所对的圆周角是直角），∵∠CBD＝20°，∴∠D＝70°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠A＝∠D＝70°（同弧所对的圆周角相等）．27．如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD＝160°，求∠BCD的度数．【解答】解：∵∠BOD＝160°，∴∠BAD＝∠BOD＝80°，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∴∠BCD＝100°．28．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB ＝45°．求⊙O半径的长．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ADB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∵AB＝2，∴BC＝AB＝2，∴AC＝，∴⊙O半径的长为．。
九年级数学上册圆心角与圆周角练习题
九年级数学上册圆⼼⾓与圆周⾓练习题 九年级数学上册圆⼼⾓与圆周⾓的练习积累越多，掌握越熟练。
下⾯是店铺为⼤家带来的关于九年级数学上册圆⼼⾓与圆周⾓的练习题，希望会给⼤家带来帮助。
九年级数学上册圆⼼⾓与圆周⾓练习题⽬ ⼀、选择题 1.在同圆中，同弦所对的圆周⾓ ( )A.相等 B.互补 C.相等或互补 D.互余 2.3-63所⽰，A，B，C，D在同⼀个圆上，四边形ABCD的两条对⾓线把四个内⾓分成的8个⾓中，相等的⾓共有 ( )A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 3.3-64所⽰，⊙O的半径为5，弦AB，C是圆上⼀点，则∠ACB的度数是. 4.四边形 ABCD内接于⊙O，若∠BOD=100°，则∠DAB的度数为( )A.50°B.80°C.100°D.130° 5.是中国共产主义青年团团旗上的案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是( )A.180°B.15 0°C.135°D.120° 6.下列命题中，正确的命题个数是( ) ①顶点在圆周上的⾓是圆周⾓; ②圆周⾓度数等于圆⼼⾓度数的⼀半; ③900的圆周⾓所对的弦是直径; ④圆周⾓相等，则它们所对的弧也相等。
A、1个B、2个C、3个D、4个 ⼆、填空题 7.3-65所⽰，在⊙O中，∠AOB=100°，C为优弧ACB的中点，则∠CAB= 8.3-66所⽰，AB为⊙O的直径，AB=6，∠CAD=30°，则弦DC= . 9.3-67所⽰，AB是⊙O的直径，∠BOC=120°，CD⊥AB，求∠ABD的度数. 10.已知AB是⊙O的直径，AD ∥ OC弧AD的度数为80°，则∠BOC=_________ 11.⊙O内接四边形ABCD中，AB=CD则中和∠1相等的⾓有______。
12.弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AB上，则∠C的度数是________-. 三、解答题 13.3-68所⽰，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，以AB为直径的半圆分别交AC，BC于D，E，O为圆⼼，求∠DOE的度数. 14.(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D. (Ⅰ)①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长; (Ⅱ)②，若∠CAB=60°，求BD的长. 15.3-70所⽰，在⊙O中，AB是直径，弦AC=12 cm，BC=16 cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AD的长. 16.3-71所⽰，AB是半圆O的直径，C是半圆上⼀点，D是 AC的中点，DH⊥AB，H是垂⾜，AC分别交BD，DH于E，F，试说明DF=EF. 九年级数学上册圆⼼⾓与圆周⾓练习题答案 1.C 2.C 3.60°[提⽰：3-72所⽰，作OD⊥AB，垂⾜为D，则BD sin∠BOD BOD=60°，∴∠BOA=120°，∴∠BCA BOA=60°.故填60°.] 4.分析：因为∠BOD=100°，所以∠C=50°，所以∠A=130°，因为圆内接四边形的对⾓互补。
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鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角课后作业题3（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，在半圆⊙O中，直径AB＝4，点C、D是半圆上两点，且∠BOC＝84°，∠BOD ＝36°，P为直径上一点，则PC+PD的最小值为（）A．4B．2C．2D．22．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（）A．＝B．＝C．＝D．不能确定3．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，则α取值范围是（）A．36°≤α≤45°B．45°≤α≤54°C．54°≤α≤72°D．72°≤α≤90°4．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm5．如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（）A．50°B．40°C．100°D．80°6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC＝110°，则∠ABD的度数是（）A．35°B．46°C．55°D．70°7．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 8．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．120°B．80°C．100°D．60°10．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠B＝122°，则∠D＝（）A．58°B．116°C．122°D．128°二．填空题（共10小题）11．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是．12．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：①∠CBA＝30°，②OD⊥BC，③OE＝AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是．13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，则图中阴影部分的面积是．14．已知⊙O的弦AB把圆分成两部分的比为1：5，若AB＝3cm，则⊙O的半径等于cm．15．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，BC＝CD＝DE，若∠B＝98°，∠E＝116°，则∠A ＝°．16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD＝．17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝．18．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝100°，则∠D的度数为．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，若∠APB＝50°，则∠PBC＝．20．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为°．三．解答题（共8小题）21．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD＝CB，求证：AB＝CD．22．如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，求∠D的度数．23．如图，在⊙O中，＝（1）若∠C＝75°，求∠A的度数；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．24．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．25．如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在AB上，且F是的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．（1）求证：AC∥EF；（2）如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．26．如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F （1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D＝30°，CD＝2时，求圆中阴影部分的周长．27．已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：∠ABC+∠ADC＝180°．（用两种方法）28．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；（3）已知P A＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，在半圆⊙O中，直径AB＝4，点C、D是半圆上两点，且∠BOC＝84°，∠BOD ＝36°，P为直径上一点，则PC+PD的最小值为（）A．4B．2C．2D．2【解答】解：作点D关于AB的对称点DE，连接CE，交AB于点P，过点O作OF⊥CE，垂足为F，∵∠BOC＝84°，∠BOD＝36°，∴∠BOE＝36°，∠COE＝120°，∴∠C＝30°，∵AB＝4，∴OC＝2，∴OF＝1，CF＝，∴CE＝2，∴PC+PD的最小值为2，故选：B．2．如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，则与的关系是（）A．＝B．＝C．＝D．不能确定【解答】解：连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，∴OD＝OE，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∵OA＝OB，∴OD＝BC，∴BC＝OE＝OB＝OC，∴∠COB＝60°，∴∠AOC＝120°，∴＝，故选：A．3．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，则α取值范围是（）A．36°≤α≤45°B．45°≤α≤54°C．54°≤α≤72°D．72°≤α≤90°【解答】解：∵在△AOB中，OA＝OB，∠OAB＝α∴∠OBA＝α，∠AOB＝180°﹣2α∴当α＝36°时，∠AOB＝180°﹣2×36°＝108°108×5＝540°∵转360°恰好位于点A，540°﹣360°＝180°＞108°∴此时不位于弧AB上，A错误；当α＝60°时，∠AOB＝60°，60×5＝300°∴此时小华还没到达点A，故C错误；当α＝60°时，∠AOB＝60°，60×5＝300°当α＝90°时，点B在圆外，不符合题意，故D错误；故选：B．4．如图，半圆O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（）A．4cm B．3cm C．5cm D．4cm【解答】解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵∠CAD＝∠BAD，∴＝，∴∠DOB＝∠OAC＝2∠BAD，在△AOF和△ODE中，，∴△AOF≌△ODE，∴OE＝AF＝AC＝3，在Rt△DOE中，DE＝＝4，在Rt△ADE中，AD＝＝4，故选：A．5．如图，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，则∠OBC的度数是（）A．50°B．40°C．100°D．80°【解答】解：∵∠BAC＝50°，∴∠BOC＝100°，∵BO＝CO，∴∠OBC＝（180°﹣100°）÷2＝40°，故选：B．6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC＝110°，则∠ABD的度数是（）A．35°B．46°C．55°D．70°【解答】解：连接BC，∵∠AOC＝110°，∴∠ABC＝∠AOC═55°，∵CD⊥AB，∴＝，∴∠ABD＝∠ABC＝55°，故选：C．7．如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解答】解：A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；B、∵AC＝CD'，∴，由折叠得：，∴＝，故②正确；C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．8．如图，四边形ABCD是⊙O内接四边形，若∠BAC＝30°，∠CBD＝80°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【解答】解：由圆周角定理得，∠CAD＝∠CBD＝80°，∴∠BAD＝80°+30°＝110°，∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠BAD＝70°，故选：C．9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是（）A．120°B．80°C．100°D．60°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°，故选：A．10．如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，＝，∠B＝122°，则∠D＝（）A．58°B．116°C．122°D．128°【解答】解：连接AC、CE，∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC＝180°﹣∠B＝58°，∵＝，∴∠ACE＝∠AEC＝58°，∴∠CAE＝180°﹣58°﹣58°＝64°，∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠D＝180°﹣64°＝116°，故选：B．二．填空题（共10小题）11．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是51°．【解答】解：如图，∵＝＝，∠COD＝34°，∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝34°，∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝78°．又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，∴∠AEO＝×（180°﹣78°）＝51°．故答案为：51°．12．如图，已知点C，D是半圆上的三等分点，连接AC，BC，CD，OD，BC和OD相交于点E．则下列结论：①∠CBA＝30°，②OD⊥BC，③OE＝AC，④四边形AODC是菱形．正确的个数是①②③④．【解答】：如图，连接CD、AD、CO，，∵点C，D是半圆上的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝180°÷3＝60°，∴∠CBA＝∠AOC÷2＝60°÷2＝30°，即①正确；∵∠BEO＝180°﹣∠BOD﹣∠CBA＝180°﹣60°﹣30°＝90°∴OD⊥BC，即②正确．∵OB＝OC，OD⊥BC，∴E是BC的中点，又∵O是AB的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE＝AC，即③正确．∵AC⊥BC，OD⊥BC，∴AC∥OD，∵∠DCB＝∠BOD÷2＝60°÷2＝30°，∠CBA＝30°∴∠DCB＝∠CBA，∴CD∥AB，∴四边形AODC是平行四边形，∵∠AOC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AO＝AC，又∵四边形AODC是平行四边形，∴AO＝OD＝DC＝CA，∴四边形AODC是菱形，即④正确．综上，可得正确的结论有：①②③④．故答案为①②③④．13．如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB平行于半圆的直径且是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，则图中阴影部分的面积是72π．【解答】解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图，连OB，过O作OC⊥AB于C点，则AC＝BC＝12，∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC为小圆的半径，∴S阴影部分＝S大半圆﹣S小半圆＝π•OB2﹣π•OC2＝π（OB2﹣OC2）＝πBC2＝72π．故答案为72π．14．已知⊙O的弦AB把圆分成两部分的比为1：5，若AB＝3cm，则⊙O的半径等于3cm．【解答】解：∵弦AB将圆分成的两段弧所对的圆心角度数之比为1：5，∴∠AOB＝×360°＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∵⊙O的半径为3cm，∴AB＝3cm．故答案为：3．15．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，BC＝CD＝DE，若∠B＝98°，∠E＝116°，则∠A ＝102°．【解答】解：连接AC，AD，∵BC＝CD＝DE，∴＝＝，∴设∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝α，∵∠B＝98°，∠E＝116°，∴∠B+∠E﹣α＝98°+116°﹣α＝180°，∴α＝34°，∴∠BAE＝3α＝102°，故答案为：102°．16．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠BOC＝50°，AD∥OC，AD交⊙O于点D，连接AC，CD，那么∠ACD＝40°．【解答】解：连接OD，∵AD∥OC，∴∠DAB＝∠BOC＝50°，∵OA＝OD∴∠AOD＝180°﹣2∠DAB＝80°，∴∠ACD＝∠AOD＝40°故答案为40°17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝120°，则∠DCE＝120°．【解答】解：∵∠BOD＝120°，∴∠BCD＝＝60°．∴∠DCE＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120°．18．如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝100°，则∠D的度数为80°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠B＝100°，∴∠D＝80°，故答案为80°．19．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，AD∥BC，AC与BD相交于点P，若∠APB＝50°，则∠PBC＝25°．【解答】解：∵AD∥BC，∴＝，∴∠PBC＝∠PCB，∵∠APB＝50°，∴∠PBC＝25°，故答案为：25°．20．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，C是的中点，AB＝CD．若∠ODC＝50°，则∠ABC的度数为100°．【解答】解：∵C是的中点，AB＝CD．∴＝＝，∵∠ODC＝50°，∴∠A＝∠ACB＝∠COD＝×（180°﹣2∠ODC）＝×（180°﹣50°×2）＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣40°×2＝100°．故答案为：100．三．解答题（共8小题）21．如图，弦AB和弦CD相交于⊙O内一点E，AD＝CB，求证：AB＝CD．【解答】证明：∵AD＝BC，∴＝，∴＝，∴CD＝AB．22．如图，在⊙O中，＝，∠A＝40°，求∠D的度数．【解答】解：∵∠A＝40°，∴劣弧BC的度数为80°，则优弧BC的度数为：360°﹣80°＝280°，∴∠D＝140°．23．如图，在⊙O中，＝（1）若∠C＝75°，求∠A的度数；（2）若AB＝13，BC＝10，求⊙O的半径．【解答】解：（1）∵在⊙O中，＝，∴AB＝AC．∴∠B＝∠C＝75°．∴∠A＝180°﹣2×75°＝30°；（2）如图，延长AO交BC于D，则AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝5，∴在直角△ABD中，由勾股定理，得AD＝＝＝12．在直角△OBD中，由勾股定理，得OB2＝（12﹣OB）2+52，解得OB＝，即⊙O的半径是．24．如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A＝PC．【解答】证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．25．如图1，AB、EF是⊙O的直径，点C、F在AB上，且F是的中点，弦BC与FE交于点D，连接AC、BC、FC、FB、AE．（1）求证：AC∥EF；（2）如图2，过点C作FB的平行线，交EF于点N，M为线段CF的中点，连接MD并延长MD交AB于点H，连接FH．若EN＝2，AB＝6，求FH的长．【解答】（1）证明：∵点F是的中点，∴∠BAC＝∠BOC＝∠BOF，∴AC∥EF；（2）解：如图2，∵CN∥FB，OA＝OE＝OB＝OF，∴∠CNF＝∠OFB＝∠OBF＝∠E，∴AE∥FB，∴CN∥AE，∵AC∥EF，∴四边形AENC是▱AENC，∴AC＝EN＝2，∵OC＝OB，∠COF＝∠BOF，∴DC＝DB，OD⊥BC于点D，∵OD是△ABC的中位线，∴OD＝AC＝1，∵OB＝3，∴BD＝2，又∵MD是△BCE的中位线，∴MH∥FB，∴∠ODH＝∠OFB＝∠OBF＝∠DHO，∴OD＝OH，又∠DOH为公共角，∴△FOH≌△BOD，∴FH＝BD＝2．26．如图，AB为圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F （1）请写出三条与BC有关的正确结论；（2）当∠D＝30°，CD＝2时，求圆中阴影部分的周长．【解答】解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：①BC＝BD；②OF∥BC；③∠BCD＝∠A；④△BCE∽△OAF；⑤BC2＝BE•AB；⑥BC2＝CE2+BE2；⑦△ABC是直角三角形；⑧△BCD是等腰三角形．（2）∵CD＝2，∴CE＝，∵∠D＝∠A＝30°，∴AC＝2，AB＝4，∴＝＝π，∴周长为：+227．已知：四边形ABCD是⊙O的内接四边形．求证：∠ABC+∠ADC＝180°．（用两种方法）【解答】证法1：连接OA，OC，∵∠B＝∠1，∠D＝∠2，∴∠B+∠D＝（∠1+∠2）＝×360°＝180°；证法2：如图2，连接CA，BD，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠ADC＝∠1+∠3＝∠2+∠4，∴∠ADC+∠ABC＝∠2+∠4+∠ABC＝180°．28．如图，A、P、B、C是⊙O上四点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）连接OA，OB，当点P位于什么位置时，四边形PBOA是菱形？并说明理由；（3）已知P A＝a，PB＝b，求PC的长（用含a和b的式子表示）．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠CPB＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形；（2）解：当点P位于的中点时，四边形PBOA是菱形．理由如下：连接OP，如图1，∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，而P是的中点，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，又∵OA＝OP＝OB，∴△OAP和△OBP都为等边三角形，∴OA＝AP＝OB＝PB，∴四边形PBOA是菱形；（3）解：如图2，在PC上截取PD＝P A，又∵∠APC＝60°，∴△APD是等边三角形，∴P A＝DA，∠DAP＝60°，∵∠P AB+∠BAD＝∠BAD+∠DAC，∴∠P AB＝∠DAC，在△APB和△ADC中，∴△APB≌△ADC（ASA），∴PB＝DC，又∵P A＝PD，∴PC＝PD+DC＝P A+PB＝a+b．。