复数的有关概念-几何意义1
复数的几何意义是什么
复数的几何意义是什么复数的定义复数是形如a+bi的数。
式中a，b为实数，i是一个满足i=-1的数，因为任何实数的平方不等于-1，所以i不是实数，而是实数以外的新的数。
在复数a+bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。
当虚部等于零时，这个复数就是实数;当虚部不等于零时，这个复数称为虚数，虚数的实部如果等于零，则称为纯虚数。
由上可知，复数集包含了实数集，因而是实数集的扩张。
复数常用形式z=a+bi叫做代数式。
我们把形如z=a+bi(a、b均为实数)的数称为复数。
其中，a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。
当z的虚部b=0时，则z为实数;当z的虚部b≠0时，实部a=0时，常称z为纯虚数。
复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。
复数是由意大利米兰学者卡当在16世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
复数的四则运算公式复数运算法则有：加减法、乘除法。
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律。
此外，复数作为幂和对数的底数、指数、真数时，其运算规则可由欧拉公式e^iθ=cos θ+i sin θ(弧度制)推导而得。
加法法则：复数的加法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的和是 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i。
两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。
复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数z1，z2，z3，有： z1+z2=z2+z1;(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。
减法法则：复数的减法按照以下规定的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，则它们的差是 (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i。
两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个虚部的差。
5.1复数的概念及其几何意义-【新教材】北师大版高中数学必修第二册课件
O 1 2
x
的圆(如图(1)).
|z|=2
图(1)
典型例题
例3：在复平面内，表示下列复数的点Z
的集合是什么图形？
(1)|z|=2；
(2) 2≤|z|≤3.
解： (2)不等式2≤|z|≤3可以化为不等式组
|z|≤3，
|z|≥2.
典型例题
例3：在复平面内，表示下列复数的点Z
y
b
Z
O
a x
课文精讲
➢ 复数的几何意义
虽然两个复数一般不能比较大小，
但它们的模是非负实数，可以比较大小.
典型例题
例3：在复平面内，表示下列复数的点Z
的集合是什么图形？
(1)|z|=2；
(2) 2≤|z|≤3.
解： (1)复数z的模等于2表明，向量的
模等于2，即点Z到原点O的距离等于2，
y
因此满足条件|z|=2的点Z的集合
典型例题
例2：设x，y∈R，(x+2)-2xi=-3y+(y-1)i，
求x，y的值.
解： 由复数相等的定义，得
x+2=-3y
-2x=y-1
解这个方程组，得
x=1
y=-1
课文精讲
➢ 复数的几何意义
问题提出
我们知道，实数与数轴上的点一一对
应，可以用数轴上的点来表示实数.复数
z=a+bi(a，b∈R)由实部a和虚部b两个实
故答案为：1+i.
本课小结
复数的概念
复数的概念及其
几何意义
复数的几何意义
再 见
它是实数.
课文精讲
➢ 复数的概念
两个复数a+bi 与c+di (a，b，c ， d∈R)相等
复数的几何意义与三角形式
复数的几何意义与三角形式复数是数学中重要的概念，它包含了一个实部和一个虚部，可以表示为$a+bi$，其中$a$是实部，$b$是虚部，$i$是虚数单位，满足$i^2=-1$。
复数的几何意义是指将复数表示在复平面上的点。
复平面是一个平面直角坐标系，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
复数$a+bi$在复平面上的位置可以由其实部和虚部决定。
例如，复数$3+4i$在复平面上的位置是实轴上3的位置，再向上移动4个单位。
使用复数的三角形式可以更方便地表示复数在复平面上的位置。
复数$a+bi$的三角形式可以表示为$r(\cos\theta+i\sin\theta)$，其中$r$是复数的模长，表示复数到原点的距离，$\theta$是复数的辐角，表示复数与实轴的夹角。
这种表示方法的优势在于可以使用三角函数来直接计算复数的运算，更加简洁和直观。
在三角形式中，可以使用指数形式进一步简化复数的运算。
根据欧拉公式，$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，将三角形式中的$\cos\theta$和$\sin\theta$替换为指数形式可以得到$r \cdote^{i\theta}$。
这种形式方便了复数的乘法和幂运算。
例如，两个复数$r_1 \cdot e^{i\theta_1}$和$r_2 \cdot e^{i\theta_2}$的乘积可以表示为$r_1r_2 \cdot e^{i(\theta_1+\theta_2)}$，两个复数的幂可以表示为$(r \cdot e^{i\theta})^n=r^n \cdot e^{in\theta}$。
复数的几何意义在很多数学和工程应用中都非常重要。
首先，复数可以用来表示平面上的向量。
向量有大小和方向，复数的实部可以表示向量的大小，复数的虚部可以表示向量与实轴的夹角。
复数在向量运算中具有很好的性质，可以方便地进行加法、减法、乘法和除法。
其次，复数的几何意义在电路分析中扮演了重要角色。
复数的几何意义与运算规则
复数的几何意义与运算规则复数起源于解方程中无实数解的情况，它扩展了实数域，使得原本不可能的运算变得有解。
复数的几何意义和运算规则是理解和应用复数的基础。
本文将从几何角度解释复数，介绍复数的四则运算规则，并提供一些实例来进一步说明。
一、复数的几何意义复数可以表示为一个实数和一个虚数的和，其中实数部分代表复数在实轴上的位置，虚数部分代表复数在虚轴上的位置。
我们可以将复数表示为z=a+bi，其中a为实部，b为虚部。
从几何意义上看，复数可以在平面上表示为一个有序数对(a, b)，其中a为复数的实部，b为复数的虚部，平面上的每个点都表示一个复数。
实部和虚部决定了复数在平面上的位置。
二、复数的运算规则1. 加法复数的加法满足交换律和结合律。
当两个复数相加时，实部与实部相加，虚部与虚部相加，得到新的复数。
2. 减法复数的减法可以通过加法和乘法来计算。
减去一个复数相当于加上这个复数的相反数。
3. 乘法复数的乘法满足交换律和结合律。
两个复数相乘时，实部和虚部分别相乘后相加，得到新的复数。
4. 除法复数的除法可以通过乘法和共轭复数来计算。
除以一个复数相当于乘以这个复数的倒数。
三、实例说明例子1：假设有两个复数z1=2+3i和z2=1-2i，求它们的和、差、积和商。
解：两个复数的和：z1+z2=2+3i+1-2i=3+i两个复数的差：z1-z2=2+3i-(1-2i)=1+5i两个复数的积：z1*z2=(2+3i)*(1-2i)=8-1i两个复数的商：z1/z2=(2+3i)/(1-2i)=0.8+1.6i例子2：在复平面上，给定两个复数z1=2+3i和z2=4-2i，求它们的距离和中点。
解：两个复数的距离可以计算为：|z1-z2|=|2+3i-(4-2i)|=|-2+5i|=√((-2)^2+(5^2))=√29两个复数的中点可以计算为：(z1+z2)/2=((2+3i)+(4-2i))/2=(6+1i)/2=3+0.5i以上例子说明了复数的几何意义和运算规则在实际问题中的应用。
复数的几何意义
复数的几何意义2篇复数的几何意义（一）复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数构成，形如a+bi 的形式，其中a是实数部分，b是虚数部分，i是虚数单位。
虽然在实际生活中我们很少遇到复数，但是它在数学和物理学等学科中有着广泛的应用。
复数的几何意义就是描述复平面上的点，本文将从两个角度来探讨复数的几何意义。
首先，我们来看复数的几何意义与向量的关系。
复数可以表示为二维向量的形式(a，b)，其中a和b分别是复数的实部和虚部。
将复数对应到二维平面上，可以将复数a+bi表示为点(x，y)，其中x=a，y=b。
这样，复数就可以转化为二维平面上的一个点。
根据向量的性质，我们可以将复数相加、相减、相乘、相除等运算转化为向量的运算。
例如，两个复数相加就是将它们对应的点向量相加，两个复数相乘就是将它们对应的点向量进行缩放和旋转操作。
通过这种方式，复数的运算就可以直观地在二维平面上进行，这有助于我们更好地理解和掌握复数的运算规律。
其次，复数的几何意义还与极坐标系的相关性质有关。
复数可以用极坐标的形式来表示，即r(cosθ+ i sinθ)，其中r为复数的模，θ为复数的幅角。
在复平面上，复数对应的点可以看作是从原点出发的一个向量，其长度为r，与x轴正向之间的夹角为θ。
这样，复数的加法、减法、乘法等运算也可以用极坐标形式来表示。
例如，两个复数的乘积可以表示为r1 r2 (cos(θ1+θ2)+ i sin(θ1+θ2))，即两个向量的长度相乘，夹角相加。
通过极坐标形式，我们可以更直观地描述和理解复数的乘法运算。
综上所述，复数的几何意义可以从向量和极坐标两个角度来理解。
复数可以对应到二维平面上的一个点，它可以应用于向量运算和极坐标形式的运算。
这种几何意义的理解有助于我们更好地理解和应用复数，而不仅仅将其看作是一个抽象的符号。
通过深入研究和探讨复数的几何意义，我们可以更好地应用复数的性质解决实际问题，拓展数学的应用领域。
复数的几何意义（二）在前文中我们已经了解了复数的几何意义与向量和极坐标的关系。
《复数的概念及其几何意义》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
把新引进的数添加到实数集后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充，那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成？
，
，
．(如：，，，等)
所有新数集中的数都可以写成（，）的形式，因为，，，．
我们把形如（，）的数叫做复数．通常用字母表示，即
（，）．
实数的绝对值和向量的模的几何意义分别是什么？通过类比，你能说出复数的模的几何意义吗？
数轴上表示数的点到原点的距离，就叫做这个数的绝对值．而向量的大小称为向量的长度，也称为向量的模． 类比可得， 复数的模：．
从几何上来看复数（，）的模表示点到原点的距离．
全体复数构成的集合为，，叫做复数集，用字母一般记作．
复数集与实数集有什么关系呢？
对于复数（，），当且仅当时，它是实数，当且仅当时，它是实数，当时，叫做虚数，当且时，叫做纯虚数．
复数集
虚数集
实数集
你能写出自然数集、整数集、有理数集、实数集和复数集的关系，并用图表示吗？
显然实数集是复数集的真子集，即．
我们知道复数集是由形如（，）的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，那么，两个复数和（，）相等的含义是什么呢？
复数由实部和虚部唯一确定，所以判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等．
两个实数可以比较大小，但是两个负数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等．
解：向量平移后得到向量，则，因而向量所对应的复数是．注意：(1)向量平移后，所得向量的坐标不变．(2)向量的横坐标、纵坐标分别是其对应复数的实部与虚部．
结构框图
教材第167页练习第1-4题．
Байду номын сангаас
复数的几何意义(优秀经典公开课课件)
[母题变式] 1．在例 3(2)中，B→A对应的复数是 z，则 z ＝________. 解析 由例 3(2)的解析可知B→A对应的复数是 5－5i，即 z＝5－5i， 所以－z ＝5＋5i.
答案 5＋5i
2．在例 3(2)中，若点 A 关于实轴的对称点为点 C，则向量O→C对应的复数为 ________．
A．a＝0 或 a＝2
B．a＝0
C．a≠1 且 a≠2
D．a≠1 或 a≠2
解析 ∵复数 z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i 对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0， ∴a＝0 或 a＝2.
答案 A
4．已知复数 z 的实部为－1，虚部为 2，则|z|＝____________. 解析 |z|＝ －12＋22＝ 5. 答案 5
题型二 复数模的几何意义 [例 2] 设 z∈C，在复平面内对应点 Z，试说明满足下列条件的点 Z 的集合 是什么图形． (1)|z|＝3；(2)1≤|z|≤2. [解析] (1) |z|＝3 说明向量O→Z的长度等于 3，即复数 z 在复平面内对应的点 Z 到原点的距离为 3，这样的点 Z 的集合是以原点 O 为圆心，3 为半径的圆．
(2)若 z 对应的点在第三象限，则有
a2－1<0， 2a－1<0，
解得－1<a<21.
故 a 的取值范围是－1，21.
[规律方法] 按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都 对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可 根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．
B．－5－5i
C．5＋5i
D．5－5i
[解析] (1)由复数的几何意义， 可得O→Z1＝(5，－4)，O→Z2＝(－5,4)， 所以O→Z1＋O→Z2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)， 所以O→Z1＋O→Z2对应的复数为 0.
复数的几何意义
复数的几何意义一、复数的几何意义1、复数的几何表示：bi a z +=与复平面内的点）（b ,a Z 之间是一一对应的，即任何复数bi a z +=都可以用复平面内的点）（b ,a Z 来表示。
2、复数的向量表示：直角坐标系内的点）（b ,a Z 与始点在原点的向量）（b ,a OZ =是一一对应的，因此，复数bi a z +=也与向量）（b ,a OZ =一一对应，其中复数0对应零向量，任何复数bi a z +=可以表示为复平面内以原点O 为起点的向量OZ ，我们把这种表示像是叫做复数的向量表示法。
复数z=a+bi ↔复平面内的点Z （a ，b ）↔平面向量OZ 3、复数的模的几何意义复数z=a+bi 在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离. 即 |Z |=|a+bi |=22b a +4、复数的加法与减法的几何意义加法的几何意义 减法的几何意义)ZZ 2Z1yz 1z 2≠0时， z 1+z 2对应的向量是以OZ 1、OZ 2、为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ ， z 2-z 1对应的向量是Z 1Z 2 5、 复数乘法与除法的几何意义z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2）①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
< 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。
为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。