2.3.4平面与平面垂直的性质定理
2.3.4 平面与平面垂直的性质
1.面面垂直的定义：
两个平面相交，
如果它们所成的二面
角是直二面角，就说
这两个平面互相垂直。
回顾
2.面面垂直的判定定理：
一个平面过另一个平
面的垂线，则这两个平面 垂直。
a
a a
探究
A1 A
面面垂直的性质
D1
α
F
B1
D
C1
D
E
B
C
β
如果α⊥β
(1) α里的直线都和β垂直吗？
1 （锥体体积公式： V Sh ，其中 S 为底面面积， h 为高） 3
C A C1 A1 P
D B D1 B1
练习：
1、下列命题中错误的是（ B ） A 如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 直线平行于平面 β B如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 线都垂直于平面 β
α 内一定存在 α 内所有直 α 一
的中点， P 是线段 AD 的中点． （Ⅰ） 在平面 ABC 内， 试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l ， 说明理由，并证明直线 l 平面 ADD1 A1 ； （Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线 l 交 AB 于点 M ，交 AC 于点 N ，求二 面角 A A1M N 的余弦值．
C A C1 A1 P D1 D B B1
C如果平面 α 不垂直于平面 β ，则平面 定不存在直线垂直于平面 β
D如果平面 α 、β 都垂直于平面M，且 α 与 β 交于直线 a，则 a ⊥平面M
2、已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（B ）个 ①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意 直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无 数条直线；
课件9：2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质
∴三棱锥 A-PBC 的体积 VA-PBC＝VP-ABC＝13×PB×S△ABC＝12. (2)证明：如图，设 BD 与 AC 相交于点 O，连接 OE， ∵O 为 BD 的中点，E 是 DP 的中点，∴OE∥PB. 又 PB⊥平面 ABCD，∴OE⊥平面 ABCD. ∵BD⊂平面 ABCD，∴OE⊥BD， 由(1)知 AC⊥BD，又 AC∩OE＝O， ∴BD⊥平面 ACE.
∴PG⊥平面 ABCD. ∵BG⊂平面 ABCD，∴PG⊥BG. 又∵四边形 ABCD 是菱形，且∠DAB＝60°， ∴△ABD 是正三角形，则 BG⊥AD. 又∵AD∩PG＝G，且 AD，PG⊂平面 PAD，∴BG⊥平面 PAD. (2)由(1)可知 BG⊥AD，PG⊥AD. 又∵BG，PG 为平面 PBG 内两条相交直线，∴AD⊥平面 PBG. ∵PB⊂平面 PBG，∴AD⊥PB.
知识点二 平面与平面垂直的性质
[提出问题] 教室内的黑板所在的平面与地面所在的平面垂直． 问题 1：在黑板上任意画一条线与地面垂直吗？ 提示：不一定，也可能平行、相交(不垂直)． 问题 2：怎样画才能保证所画直线与地面垂直？ 提示：只要保证所画的线与两面的交线垂直即可．
[导入新知] 平面与平面垂直的性质定理 (1)文字语言： 两个平面垂直，则 一个平面内 垂直于交线的直线与另一个平面 垂直 ． (2)图形语言：
【随堂演练】
1．下列命题中错误的是
()
A．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β
B．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β
C．如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面 γ
D．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β
2.3.4平面与平面的垂直的性质
性质
若两个平面垂直,则在一个平面内 性质定理：
垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
在β内作直线BE⊥CD于B, 则∠ABE是二面角α-CD-β 的平面角 由α⊥β知,AB⊥BE ∴AB⊥β
A
D C B
E
又AB⊥CD 而BE和CD是β内的两条相交直线
面面垂直
线面垂直
举例
例： 已知
l , , ,
判定定理 判定定理
线线垂直
定义
线面垂直
性质定理
面面垂直
作业 1. 求证：两条异面直线不能同时
和一个平面垂直；
2. 求证：三个两两垂直的平面的 交线两两垂直.
平面与平面 垂直的性质
先直观感受平面与平面 垂直的情形
复习
1.定义：两个平面相交，如果它们所成 的二面角是直二面角，则两个平面垂直
记作α⊥β
性质:
1.凡是直二面角都相等； 2.两个平面相交,可引成四个二面角,如果其中有一 个是直二面角,那么其他各个二面角都是直二面角.
复习
若一个平面经过另一个平面 2.判定定理： 的一条垂线,则这两个平面互相垂直.
D
A垂直
思考
(1) 黑板所在平面与地面所在平面垂直,你能 否在黑板上画一条直线与地面垂直? (2) 如图,长方体中, 平面A1ADD1与平面 ABCD垂直,直线A1A A1 垂直于其交线AD,平 面A1ADD1内的直线 A A1A与平面ABCD垂 直吗？ D1 B1 D B C C1
求证： l
l
m
n
a
b P
证明：在平面 a m，b n
2[1].3.4平面与平面垂直的性质
![2[1].3.4平面与平面垂直的性质](https://img.taocdn.com/s3/m/1c34aaee551810a6f524863a.png)
2.3.4平面与平面垂直的性质一、学习导引 【知识梳理】面面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 【重点难点】重点： 性质定理及其证明过程； 难点： 性质定理的运用 【创新学法】1. 线线关系、线面关系、面面关系在证明过程中互相转化运用；2. 性质定理的证明与运用关键都在于在一个平面内作垂直于交线的直线. 【易错警示】在平面内作垂直于棱的直线，不是平面内的任意直线二、典题解读例1．对于直线l 平面βα,，下列命题中正确的命题是 （ D ） (A) 若αβα⊂⊥l , ，则β⊥l (B) 若γβγα⊥⊥, ，则βα// (C) 若ββα⊥⊥l , ，则α//l (D) 若γαβα⊥,//，则γβ⊥ 例2．已知γβγα⊥⊥,，且l =βα ，求证：γ⊥l证明：记OBOA ==γβγα 在平面γ内任取一点A 。
过A 作OA AE ⊥于E 。
γα⊥ ，AE l AE ⊥⇒⊥∴α。
同理可得：AF l AF ⊥⇒⊥β γ⊥∴l例3．已知γαβα⊥,//，求证：γβ⊥证明：记CDAB ==γβγα ，在平面γ内作直线AB l ⊥，则α⊥l .CD AB // CD l ⊥∴又γβγββα⊥∴⊂⊥∴,,,//l l 。
三、 延伸拓展例4．已知平面PAC ⊥平面BAC ，PC PB PA ==，（1）求证：BC AB ⊥；（2）设AB BC =，作出过AC 与平面PBC 垂直的平面，并证明两个平面垂直. 证明：（1）分别取AC 、BC 的中点M 、N 。
则BC PN AC PM ⊥⊥,BCAB ABMN MN ，BC ABCPM MN ，PAC ⊥∴⊥∴⊥⊥// 又平面又面（2）过M 作PN MH ⊥PBC 。
AHC PBC：MH 平面平面平面不难证明⊥∴⊥四、随堂练习1. 在下列关于直线m l ,与平面βα,的命题中,真命题是( )(A) 若β⊂l 且βα⊥，则α⊥l (B) 若β⊥l 且βα//，则α⊥l . (C) 若β⊥l 且βα⊥，则α//l (D) 若m =βα 且m l //，则α//l2.正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是1,AA AB 上的点，若0190=∠NMC，那么1NMB ∠的大小是 （ ）(A) 大于090 (B) 小于 090 (C) 等于 090 (D) 不确定3．在正四面体ABC P -中，F E D ,,分别是CA BC AB ,,的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 （ C ） （A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面PAE （C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面PAE ⊥平面ABC 4． 下列命题正确的是(A) 一个四边形有三个直角，那么该四边形是矩形； (B) 过空间一点作已知平面的垂线只能作一条；CHNMCBAP(C) 过空间一条直线至少能作一个平面与已知平面垂直； (D) 过空间一条直线至少能作一个平面与已知平面平行.5. 平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为4π和6π，过B A ,分别作两平面交线的垂线，垂足为','B A ，则'':B A AB = （ ）（A ）2∶1 （B ）3∶1 （C ）3∶2 （D ）4∶36.已知二面角βα--l 的大小是0120，平面αγ⊥，βγ⊥，且a =αγ ，b =βγ ，则直线b a ,的夹角是 .7. 直角梯形ABCD 中，BC AD //，090=∠A ， 1==AB AD ，2=BC .沿BD 翻折，使平面ABD ⊥平面BCD . (1) 求二面角A CD B --的大小； (2) 证明：平面ABC ⊥平面ADCABBC8．点P 是边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一动点，始终保持平面APB ⊥平面PBC ，且平面APC ⊥平面PBC ，求点P 到平面ABC 的最大距离.CB9. 三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3，（1）求证：AB ⊥BC；（2）设AB=BC=32，求AC与平面PBC所成角的大小.PAC B10．如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=AF=1，M是线段EF的中点。
2.3.4平面与平面垂直的性质
B 设过直线a与平面内的一点的平面与平面的交线为 b,∵a//,∴a//b,∵a⊥AB,∴b⊥AB,∵b在平面 内,⊥β,∴b⊥β,∴a⊥β
例3.已知平面, , 满足⊥, , ∩ l.求证: l⊥
证明: 如图,
设 m, n.
在γ内任取一点A(不在m,n上),
在γ内过点A作 a⊥m, b⊥n.
(A) 如果平面 ⊥平面 , 那么平面 内所 有直线都垂直于平面
(B) 如果平面 ⊥平面 , 那么平面 内一 定存在直线平行于平面
(C) 如果平面 不垂直于平面 , 那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
(D) 如果平面 ⊥平面 , 平面 ⊥平面 , ∩ l, 那么l⊥
(D)选项的证明看:例3.
∵ , ,
∴a⊥, b⊥.
β
又∵ l,
∴ a⊥l, b⊥l.
γn
l α
am bA
a, b,
a∩bA,
⇒l⊥.
结论 如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个 平面的交线垂直于这个平面.
如图：
l α
β γ
判断线面垂直的两种方法：
①线线垂直→线面垂直； ②面面垂直→线面垂直.
例4.AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一 点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC。
2. 已知两个平面垂直, 下列命题
① 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的任意一条直线.
② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内 的无数条直线. 另一个平面内垂直于前一个平面的无数条直线.
③ 一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面. ④ 过一个平面内任意一点作交线的垂线, 则此垂 线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是 ( B )
课件4： 2.3.3 直线与平面垂直的性质～2.3.4 平面与平面垂直的性质
跟踪训练2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上， PC⊥平面BDE. (1)证明：BD⊥平面PAC (2)若PA=1，AD=2，求二面角B－PC －A的正切值
（1）证明 ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥BD. ∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥BD. 又∵PA PC=P，BD 平面PAD. ∴BD⊥平面PAC. （2）解 设AC与BD交于点O,连接OE, ∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥OE. 又∵BO⊥平面PAC，∴PC⊥BO. ∴PC⊥平面BOE.∴PC⊥BE.
所以Rt△AEB≌Rt△BEP，
所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形．
由已知PC＝4，得AE＝BE＝2，△AEB的面积S＝2.
因为PC⊥平面AEB，
1
8
所以三棱锥P–ABC的体积V＝ 3 ·S·PC＝ 3 .
自测自评
1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有( D )
A．b∥α
B．b⊂α
A．AC
B．BD
C．A1D
D．A1D1
解析 ∵BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C， ∴BD⊥平面A1ACC1， ∴BD⊥CE.
谢 谢！
跟踪训练1 已知，如图，直线a⊥α，直线b⊥β，且 AB⊥a，AB⊥b，平面α∩β＝c.求证：AB∥c. 证明 过点B引直线a′∥a， a′与b确定的平面设为γ， ∵a′∥a，AB⊥a，∴AB⊥a′， 又AB⊥b，a′∩b＝B，∴AB⊥γ. ∵b⊥β，c⊂β，∴b⊥c① ∵a⊥α，c⊂α，∴a⊥c. 又a′∥a，∴a′⊥c② 由①②可得c⊥γ，又AB⊥γ，∴AB∥c.
如图，取AB中点D，连接PD、CD，
则PD⊥AB，CD⊥AB，又因为PD∩CD＝D，
2.3.3-2.3.4线面垂直,面面垂直的性质定理-悠
已知正方形ABCD和矩形 和矩形ACEF所在的平面互相垂 练 已知正方形 和矩形 所在的平面互相垂 直，AB= 2 ，AF=1，M是线段 的中点。 ， 是线段EF的中点。 是线段 的中点 平面BDE； （1）求证 ）求证AM//平面 平面 ； 的大小； （2）求二面角 −DF−B的大小； ）求二面角A− − 的大小 上确定一点P，使得PF与 所成的 （3）试在线段 上确定一点 ，使得 与BC所成的 ）试在线段AC上确定一点 E 角是60° 角是 °。
注1：① α ：
⊥ β ,α I β = l, a ⊂ α , a ⊥ b ⇒ a ⊥ β
证明： 在平面 内过B点作 ⊥ l， 证明： 在平面β内过 点作 内过 点作BE⊥ ， 又∵AB⊥ l， ⊥ ， ∴∠ABE就是二面角 -l -β的平面角 就是二面角α∴∠ 就是二面角 的平面角 ∴∠ABE=90 ，即AB⊥BE ∴∠ ⊥ 又∵l∩BE=B， ， ∴AB⊥β ⊥
如图， 于点A， 于点B， 例 如图，已知 α I β = l, CA ⊥ α于点 ，CB ⊥ β于点 ， 求证： a ⊂ α, a ⊥ AB, 求证：a // l .
注意：空间内，垂直于同一条直线的两直线平行的结论不成立 注意：空间内，垂直于同一条直线的两直线平行的结论不成立.
C β B α l A a
。
α
a
A
l
B E
β
面面垂直⇒ 面垂直” ②该定理作用：“面面垂直⇒线面垂直”，是判定线面垂 该定理作用： 面面垂直 直的依据，可以帮助我们快速找到面的垂线——平面内垂 直的依据，可以帮助我们快速找到面的垂线 平面内垂 直于两平面的交线的直线. 直于两平面的交线的直线
例 判断下列命题的真假 1.若α⊥β，那么 内的所有直线都垂直于 内的所有直线都垂直于β. 若 ⊥ ，那么α内的所有直线都垂直于
2. 3. 4 平面与平面垂直的性质
2.3.4 平面与平面垂直的性质【教案目标】<1）让学生在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理的正确认识；<2）能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生空间观念.<3）了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系，掌握等价转化思想在解决问题中的运用.b5E2RGbCAP 【教案重难点】重点：理解掌握面面垂直的性质定理和内容和推导。
难点：运用性质定理解决实际问题。
【教案过程】(一> 复习提问1.线面垂直判定定理：如果一条直线和一个平面内两条相交直线都垂直，则这条直线垂直于这个平面.2.面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.(二>引入新课已知黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗这样的直线分别有什么性质？试说明理由！p1EanqFDPw <三）探求新知已知：面α⊥面β，α∩β= a, ABα, AB⊥a于 B，求证：AB⊥β(让学生思考怎样证明>分析：要证明直线垂直于平面，须证明直线垂直于平面内两条相交直线，而题中条件已有一条，故可过该直线作辅助线.DXDiTa9E3d证明：在平面β内过B作BE⊥a，又∵AB⊥a，∴∠ABE为α﹣a﹣β的二面角，又∵α⊥β，∴∠ABE = 90° , ∴AB⊥BE又∵AB⊥a, BE∩a = B,∴AB⊥β面面垂直的性质定理：两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.<用符号语言表述）若α⊥β，α∩β=a, ABα, AB⊥a于 B，则AB⊥β师：从面面垂直的性质定理可知，要证明线垂直于面可通过面面垂直来证明，而前面我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明。
这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。
同学们在学习中要认真理解和体会。
RTCrpUDGiT <四）拓展应用例1.求证:如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线,在第一个平面内.例2．如图，已知平面α、β，α⊥β，α∩β =AB, 直线a⊥β, aα,试判断直线a与平面α的位置关系<求证：a∥α）(引导学生思考> 分析：因为直线与平面有在平面内、相交、平行三种关系>解：在α内作垂直于α、β交线AB的直线b，∵ α⊥β∴b⊥β∵ a⊥β∴ a ∥b ,又∵aα ∴ a ∥α课堂练习：练习第1、2题A组第1题<四）当堂检测1.如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，判断下面结论的正误。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
D
2.面面垂直的性质推论：
α P a
β
B
α b β A l a
设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平 垂直于同一平面的直线和平面平行（a ）. 面 的垂线a，直线a在平面 内
a
a∥α
请各位领导，老师批评指正 谢谢
Eβ D
α C B A
平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线 的直线与另一个平面垂直。
β a
符号语言：
l
α A
al 作用： 面面垂直线面垂直
何时用:已知面面垂直时.
l a a
问题2： 设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平
C B
两个平面垂直，其中 一个平面内垂直于交 线的直线垂直于另一 个平面。
获得猜想：
E
如果两个平面相互垂 直，那么在一个平面内 垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面。
b
D
a
B C A
问题1： , CD， AB , AB CD, 垂足为B，那么直线AB与平面β 的位置关系如何？ 为什么？ 垂直
面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系?
直线a在平面 内 α a
β
α
a
β
P
P
例1
如图，已知平面，， ，直线a满足a ,
a ，试判断直线a与平面的位置关系.
a‖ α
α b a
l
β A
例2.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形， 侧面PAB是等边三角形，且侧面PAB ⊥平 面ABCD， 求证：侧面PAB⊥侧面PBC
温故知新
面面垂直的判定方法： 1、定义法： 找二面角的平面角 2、判定定理： 要证两平面垂直，只要在其中一个平面 内找到另一个平面的一条垂线。
说明该平面角是直角。
（线面垂直面面垂直）
知识探究：
问题1:如果平面α 与平面β 互相垂直， 直线l在平面α 内，那么直线l与平面β 的位置关系有哪几种可能？
P
A E
D
B
C
练习：如图：在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC， 平面PAB⊥平面PBC。 求证：AB⊥BC。 P
D A C
B
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
1.平面与平面垂直的性质定理： 面面垂直 线面垂直
作业反馈
优秀小，刁聪慧， 陈凌睿，刘泽林，史国淼，张国栋+3分
存在问题：1.面面垂直性质定理理解不到位， 符号语言书写不全。 2.利用性质定理证明垂直书写不规 范，条件不全。
教学目标：
1.掌握平面与平面垂直的性质定理及符号语 言。 2.会应用性质定理证明垂直问题。 3.体会线线垂直.线面垂直.面面垂直的相互转 化。 4.培养学生分析问题解决问题的能力。
α l α l α l β β β
平行
相交
线在面内
观察实验：
（1）观察黑板所在的平面 和地面，它们是互相垂直的 ，那么黑板所在的平面里的 任意一条直线是否就一定和 地面垂直？
两个平面垂直，其 中一个平面的直线 不一定垂直于另一 个平面。
D’ A’ B’
C’
D
（2）观察长方体ABCDA`B`C`D`中，平面AA`D`D与 A 平面ABCD垂直，你能否在 平面AA`D`D中找一条直线垂 直于平面ABCD？